2020年南阳春期六校第二次联考高二年级数学试题(理科)【附答案】
2020年河南省南阳市实验中学高二数学理联考试卷含解析
2020年河南省南阳市实验中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若对任意的实数，函数在上都是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A2. 设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的连续函数，且在处存在导数，若函数f(x)及其导函数满足，则函数f(x) ( )A. 既有极大值又有极小值B. 有极大值，无极小值C. 既无极大值也无极小值D. 有极小值，无极大值参考答案：C【分析】由，由于，可得，当时，，令，可得，利用其单调性可得：当时，取得极小值即最小值，，进而得出函数的单调性.【详解】因为，，所以，所以，因为函数是连续函数，所以由，可得，代入，可得，所以，当时，，令，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，取得极小值即最小值，所以，所以函数在上单调递增，所以既没有极大值，也没有极小值，故选C.【点睛】该题考查的是有关判断函数有没有极值的问题，涉及到的知识点有导数与极值的关系，导数的符号与函数单调性的关系，在解题的过程中，求的解析式是解题的关键.3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为（）A． B． C． D．参考答案：C4. = ( ) A． B. C.D．参考答案：D5. 下列语句中是命题的是（）A．周期函数的和是周期函数吗？ B．C． D．梯形是不是平面图形呢？参考答案：B略6. 则( )A. 1B. －1C. 1023D. －1023参考答案：D【分析】令二项式中的，又由于所求之和不含，令，可求出的值，代入即求答案．【详解】令代入二项式，得，令得，，故选D．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，一般在求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是进行求解本题属于基础题型．7.设F1和F2为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是（）。
2019-2020学年河南省南阳市第二实验高级中学高二数学理联考试题含解析
2019-2020学年河南省南阳市第二实验高级中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图21－7所示程序框图，若输出的结果y的值为1，则输入的x的值的集合为()图21－7A．{3} B．{2,3}C． D．参考答案：C2. 在复平面内，复数＋(1＋)2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B3. 执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A．－1 B．C．D．4参考答案：D4. 条件，条件，则是的（）（A）充分非必要条件（B）必要不充分条（C）充要条件（D）既不充分也不必要的条件参考答案：A略5. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极大值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＞0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x ＜﹣2时，xf′（x）＜0．由此观察四个选项能够得到正确结果．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极大值，∴当x＞﹣2时，f′（x）＜0；当x=﹣2时，f′（x）=0；当x＜﹣2时，f′（x）＞0．∴当x＞﹣2时，xf′（x）＞0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＜0．故选D．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．6. 不同的直线a，b，c及不同的平面α，β，γ，下列命题正确的是（）A．若a?α，b?α，c⊥a，c⊥b 则c⊥αB．若b?α，a∥b 则a∥αC．若a∥α，α∩β=b则a∥b D．若a⊥α，b⊥α 则a∥b参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据直线与平面垂直的判定定理和线线平行的判定定理，对四个选项进行一一判断；【解答】解：A、若a?α，b?α，c⊥a，c⊥b，若在平面α内直线a平行直线b，则c不一定垂直α，故A错误；B、已知b?α，a∥b，则a∥α或a?α，故B错误；C、若a∥α，α∩β=b，直线a与b可以异面，故C错误；D、垂直于同一平面的两直线平行，故D正确；故选D；7. 过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若|AB|=6，则线段AB的中点的横坐标为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的性质可得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x∴P=2设经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，AB中点横坐标为=2故选C．【点评】本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法．8. 已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1、2、…，则P(2＜X≤4)＝()A. B. C. D.参考答案：A9. 若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－bC．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b参考答案：C略10. 在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为A. 0.28B. 0.12C. 0.42D. 0.16参考答案：B【分析】两人考试相互独立，所以是相互独立事件同时发生的概率，按照公式求即可.【详解】甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为．选B. 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数，，随机输入，执行如右图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为__________．A. B. C.D.C12. 若指数函数的图像过点，则 _____________；不等式的解集为_____________.参考答案：；13. 空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是________．参考答案：略14. 曲线上的点到直线的最短距离为_____________,参考答案：略15. 已知是复数，定义复数的一种运算“”为：z=，若且，则复数参考答案：略16. 已知实数x，y满足条件，（为虚数单位），则的最小值是．17. 已知圆在伸缩变换的作用下变成曲线,则曲线的方程为________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
河南省南阳市六校-学年上学期第二次联考高二年级数学试题（扫描版含答案）
2020年秋期六校第二次联考高二年级数学参考答案1～5 BBAAB 6～10 DCADD 11～12 DA 13.3π 14. 3415. 6 16.3517.【解析】（1）当q 是真命题时，24a x x =−在[]0,3x ∈上有解即函数y a =与函数[]24,0,3y x x x =−∈有交点又[]24,0,3y x x x =−∈的值域为[]4,0−∴a 的取值范围为[]4,0−.................................................5分 （2）当p 是真命题时，由题意，2410x ax ++>在x ∈R 上恒成立，则2(4)40a −<，则1122a −<<，......................................6分 记当p 是真命题时，a 的取值集合为A ，则1122A a a =−<<； 记当q ¬是真命题时，a 的取值集合为B ，则{|4B a a =<−或}0a >...................8分 ∵()p q ∨¬是真命题，∴a 的取值范围是A B =∪{4a a <−或1}2a >−....................10分 18. 【解析】（1）在ADC △中，由正弦定理得：sin sin DC ACDAC ADC=∠∠，由题意得：sin ADC DAC ∠=∠=，903060BAD ∠=°−°=°， ∵6060ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+°>°， ∴120ADC =∠°，∴60B ∠=°；......................................6分（2）3DC =∵，9BC AC ∴==，∴在Rt ABC △中，cos C =， 在ACD △中，由余弦定理得：(22232318AD =+−××=，AD ∴= ......................................12分19.【解析】（1）∵点(),n n S 在函数()21122f x x x =+的图象上，21122n S n n ∴=+.① 当2n ≥时，()()21111122n S n n −=−+−，②①-②得n a n =；......................................5分 当1n =时，111a S ==，符合上式.()*n a n n ∴=∈N ．.....................................6分（2）由（1）得()2112n n a a n n +=+11122n n =− +， 13242111n n n T a a a a a a +∴=+++⋯111111123242n n =−+−++− + ⋯31114212n n =−+ ++．........................9分()()11013n n T T n n ∵+−=>++，∴数列{}n T 单调递增，{}n T ∴中的最小项为113T =. 要使不等式()1log 13n a T a >−对任意正整数n 恒成立， 只要()11log 133a a >−，即()log 1log a a a a −<.解得102a <<， 即实数a 的取值范围为10,2．......................................12分20.【解析】（1）将点()2,1−代入抛物线方程：()2221p =−×−可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =−，其准线方程为：1y =．......................................4分 （2）很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1−，设直线方程为1y kx =−，与抛物线方程24x y =−联立，消去y 可得：2440x kx +−=. 故：12124,4x x k x x +=−=−．......................................6分设221212,,,44x x M x N x −−，则12,44OM ON x x k k =−=−，直线OM 的方程为14x y x =−，与1y =−联立可得：14,1A x − ，同理可得24,1B x −，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x +−，圆的半径为：1222x x −，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x −==... 10分则圆的方程为：()()()2222141x k y k −++=+，令0x =整理可得：2230y y +−=，解得：123,1y y =−=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1−．......................................12分 21. 【解析】∵抛物线22:8C y x =的焦点为(2,0),∴284b −=,故2b =. ∴椭圆221:184x y C +=．......................................2分（1）设1122(,),(,)M x y N x y ,则221122221,841,84x y x y += += 两式相减得1212()()8x x x x +−+1212()()04y y y y +−=，又MN 的中点为(1,1),∴12122,2x x y y +=+=.∴21211 2y y x x −=−−. ∴直线MN 的斜率为12−．.......................................6分（2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时, 11m n +=+=．.................7分 当直线AB 的斜率存在且不为0时,设直线AB 的方程为(2)y k x =−，设1122(,),(,)A x y B x y ,联立方程得22(2),28,y k x x y =−+= ，消去y 并化简得222(12)8k x k x +−2880k +−=，∴2122812k x x k +=+，21228(1)12k x x k−=+．.......................................9分∴m ==，同理可得n =．.......................................11分∴11 m n +=2222122(11k k k k +++=++，为定值．.......................................12分 22.【解析】（1）设(),0F c ，∵直线AF()0,2A −∴2c =c =.又222c b a c a ==−解得2,1a b ==， ∴椭圆E 的方程为2214x y +=．......................................................4分（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意知l x ⊥轴时不成立，故可设直线l 的方程为：2y kx =−，联立22142,x y y kx += =−，消去y 得()221416120k x kx +−+=，当()216430k ∆=−>，∴234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k +==++，....................................................6分 ∴PQ ===点O 到直线l 的距离d =∴12OPQS d PQ ==△ (8)分 0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t==≤=++△，........10分 当且仅当2t=2=，解得k =时取等号，满足234k >∴OPQ ∆的面积最大时，直线l的方程为：2y x =−或2y x =−．......12分。
2020年河南省六市高三第二次联考理科数学试题 参考答案
| PQ |
20．解：（1）x =12× 0.04 +14× 0.12 +16× 0.28 +18× 0.36 + 20× 0.10 + 22× 0.06 + 24× 0.04 =17.40 千
元，故估计 50 位农民的年平均收入 x 为 17．40 千元．…………………………………3 分
3
（2）由题意知 X ∼ N (17.40, 6.92) ，
..............4 分
（2）设直线 PQ 的方程为： x = ty +1，则直线 MN 的方程为 x = ty
由
x x2
2
= +
ty +1
y2
得
=1
(2
+
t
2
)
y
2
+
2ty
−1
=
0
，
∆
=
4t
2
+
4(2
+
t
2
)
=
8(t
2
+ 1)
>
0
设 Q(x2, y2 ) ，则
y1
+
y2
=
−
2t 2+t2
且当 2 < t < t0 时， s(t) < 0 ；当 t > t 0 时， s(t) > 0 ，
即θ (x)在(2, t0 ) 上单调递减，在 (t0 , +∞) 上单调递增
所以θ (t= )min
θ= (t0 )
2t0 + 2t0 l= n t0 t0 − 2
t02 −= 2t0 t0 − 2
2020-2021学年河南省南阳市高二下学期A类重点高中六校联考数学(理科)参考答案
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7分
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河南省南阳市六校2022-2023学年高二下学期第二次联考数学试题含答案
2023年春期六校第二次联考高二年级数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列求导正确的是（）A.()sin cos x x '=-B.()1ln 33'=C.()122xx x -'=⋅ D.211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据常用函数的导数公式直接判断即可.【详解】()sin cos x x '=，A 错误；因为ln 3为常数，所以()ln 30'=，B 错误；()22ln 2xx'=，C 错误；因为12211()x x x x --'⎛⎫'==-=-⎪⎝⎭，所以D 正确.故选：D2.抛物线C ：24x ay =过点(2,1)-，则C 的准线方程为（）A.1y = B.1y =- C.1x = D.=1x -【答案】B 【解析】【分析】先求得参数a 的值，进而求得C 的准线方程.【详解】抛物线C ：24x ay =过点(2,1)-，则()224a -=，解之得1a =，则抛物线C 方程为24x y =，则C 的准线方程为1y =-故选：B3.若平面内两条平行线1l ：()120x a y +-+=，2l ：210ax y ++=间的距离为324，则实数=a （）A.2B.－2或1C.－1D.－1或2【答案】A 【解析】【分析】根据直线平行，求得a 的值，结合两平行线的距离公式，即可求解.【详解】因为两直线1l ：()120x a y +-+=，2l ：210ax y ++=平行，可得12(1)a a ⨯=-⨯且112a ⨯≠，解得2a =或1a =-，当2a =时，1:20l x y ++=，2:2210l x y ++=，即1:2240l x y ++=，可两平行线间的距离为324d ==，符合题意；当1a =-时，1:220l x y -+=，2:210l x y -++=，即2:210l x y --=，可两平行线间的距离为5d ==，不符合题意，舍去.故选：A.4.在等比数列{}n a 中，已知134a a =，9256a =，则7a 等于（）A.128B.128或－128C.64或－64D.64【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式计算可得结果.【详解】设公比为q ，由已知得21181·4256a a q a q ⎧=⎨=⎩，解得121q a =±⎧⎨=⎩，所以67164a a q ==.故选：D5.函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则（）A.3-是函数()y f x =的极大值点B.()y f x =在区间()3,1-上单调递增C.1-是函数()y f x =的最小值点D.()y f x =在0x =处切线的斜率小于零【答案】B 【解析】【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点、最值点、切线斜率的正负．【详解】根据导函数图象可知：当(),3x ∈-∞-时，()0f x '<，在()3,1x ∈-时，()0f x '>∴函数()y f x =在(),3-∞-上单调递减，在()3,1-上单调递增，3-是函数()y f x =的极小值点，故A错误，B 正确；∴在()3,1-上单调递增，1∴-不是函数()y f x =的最小值点，故C 不正确；∴函数()y f x =在0x =处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D 不正确.故选：B6.已知定义在R 上函数()f x 满足：()02f =，()()f x f x '<，则不等式()2e xf x <的解集为（）A.()1,+∞ B.(),0∞- C.()0,∞+ D.(),1-∞【答案】C 【解析】【分析】构造新函数()()e xf x h x =，利用导数求得()h x 的单调性，进而求得不等式()2e xf x <的解集.【详解】令()()exf x h x =，则()()()()()2e e ()0e e x xxx f x f x f x f x h x ''--'==<，则()h x 为定义域R 上减函数，则由()(0)h x h <可得0x >，又()00(0)2e f h ==，则由()2exf x <，可得0x >，则不等式()2e xf x <的解集为()0,∞+故选：C7.有一些网络新词，如“内卷”、“躺平”等，现定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“躺平点”，若函数()e xg x x =-，()ln h x x =，()10241024x x ϕ=+的躺平点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.b a c >>B.a b c>> C.c a b>> D.c b a>>【答案】A 【解析】【分析】根据定义求出,a c ，根据函数的单调性和零点存在性定理得b 的范围，再比较大小可得答案.【详解】因为()e xg x x =-，()e 1x g x '=-，由e e 1x x x -=-，得1x =，则1a =；因为()ln h x x =(0)x >，所以1()h x x '=，由()()'=h x h x ，得1ln x x=，则1ln b b =，设函数1()ln v b b b =-，则211()0v b b b'=+>，()v b 为增函数，因为(1)10v =-<，1(e)10ev =->，所以1e b <<，因为()10241024x x ϕ=+，()1024x ϕ'=，由102410241024x +=，得0x =，则0c =，所以b a c >>.故选：A8.已知椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的两个焦点分别为F 1，F 2，设Р为椭圆上一动点，角12F PF ∠的外角平分线所在直线为l ，过点F 2作l 的垂线，垂足为S ，当点Р在椭圆上运动时，点S 的轨迹所围成的图形的面积为：（）A.a 2B.4a 2C.2a π'D.24a π【答案】C 【解析】【分析】延长2F S 交1F P 的延长线于Q ，可证得2PQ PF =，且S 是2PF 的中点，由此可求得OS 的长度是定值，即可求点S 的轨迹为圆，进而可得结果【详解】P 是以1F ，2F 为焦点的椭圆上一点，过焦点2F 作12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为S ，延长2F S 交1F P 的延长线于Q ，得2PQ PF =，由椭圆的定义知122PF PF a +=，故有112PF PQ QF a +==，连接OS ，知OS 是三角形12F F Q 的中位线，∴OS a =，即点S 到原点的距离是定值a ，由此知点S 的轨迹是以原点为圆心、半径等于a 的圆．故点S 所形成的图形的面积为2a π．故选：C.二、选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知曲线C ：221mx ny +=，则（）A.若0m n =>，则曲线CB.若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y 轴上C.若曲线C 过点(，3⎛- ⎝，则C 是双曲线D.若0mn =，则曲线C 不表示任何图形【答案】BC【解析】【分析】对于A ，曲线C 可化为221x y n+=，表示圆，可求半径，判断A;对于B ，0m n >>时，曲线C 可化为22111x y m n+=，11 0m n <<可判断表示椭圆，判断B;对于C，将点(，3⎛- ⎝，代入曲线C ：221mx ny +=，求得曲线方程，判断C ;对于D ，可举特例进行说明，判断D .【详解】对于A ，0m n =>时，曲线C 可化为221x y n+=，故A 错误；对于B ，0m n >>时，曲线C 可化为22111x y m n+=表示的是椭圆，而11 0m n<<，所以其焦点在y 轴上，故B 正确；对于C，将点(，153⎛- ⎝，代入曲线C ：221mx ny +=，有2311512133m n m m n n ⎧+==⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩，0mn <，所以曲线C 是双曲线，故C 正确；对于D ，若1m =，0n =，满足条件，此时曲线C ：21x =，表示两条直线，故D 错误，故选：BC.10.已知公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且90S >，100S <，则下列结论正确的为（）A.{}n a 为递增数列B.n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列C.当n S 取得最大值时，6n = D.当12a =时，d 的取值范围为14,29⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】BD 【解析】【分析】根据90S >，100S <，推出50a >，560a a +<，60a <，由此推出0d <，A 错误；推出当nS取得最大值时，5n =，得C 错误；根据等差数列的求和公式得n S n ，再根据定义得B 正确；由5656a a a a >⎧⎪<⎨⎪+<⎩解不等式组可得D 正确.【详解】因为90S >，所以195559()9()9022a a a a a ++==>，50a >，因为100S <，所以1105610()5()02a a a a +=+<，故60a <，所以650d a a =-<，故{}n a 为递减数列，A 错误；根据50a >，60a <，得当n S 取得最大值时，5n =，C 错误；因为1(1)2n n n S na d -=+⋅，所以111222n S n d d a d n a n -=+=+-，所以111(1)12222n n S S d d d d n a n a n n +-=++---++2d=为常数，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，B 正确；当12a =时，由51615614240525029490a a d d a a d d a a a d d =+=+>⎧⎪=+=+<⎨⎪+=+=+<⎩，得1429d -<<-，所以d 的取值范围为14,29⎛⎫-- ⎪⎝⎭，D 正确.故选：BD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A.(0)0f =B.102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.(1)(4)f f -=D.(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确；对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．12.已知函数()πln sin cos 4f x x x x ⎛⎫+⎪⎭+ ⎝=-，下列说法正确的有（）A.函数()f x 是周期函数B.函数()f x 有唯一零点C.函数()f x 有无数个极值点D.函数()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调函数【答案】CD 【解析】【分析】根据πln 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不是周期函数，从而可判断选项A 错误；令π4x t -=，()ln g t t t =+，()1g t t t '=-，作出ln y t =-与y t =的图象，由图象可判断选项B ；作出1y t=与y t =的图象，由图可判断选项C ；通过图象可判断()g t 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭不单调，从而可判断选项D .【详解】()ππln 44f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为πln 4y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不是周期函数，则()f x 不是周期函数，A 错；令π4x t -=，()ln g t t t =+，()1g t t t '=-，令()0g t =，则ln t t -=，作出ln y t =-与y t =的图象，由图可知，ln y t =-与y t =的图象至少有两个交点，()g t ∴至少有两个零点，()f x \至少有两个零点，B 错误；作出1y t=与y t =的图象，由图可知，()g t '有无数个零点()g t ∴有无数个极值点，即()f x 有无数个极值点，C 正确；因为()g t '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭有零点，所以()g t 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭不单调，()f x \在π3,π44⎛⎫⎪⎝⎭不单调，D 正确；故选：CD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知函数()ln f x ax a x =--，且()f x 的最小值为0，则a 的值为______．【答案】1【解析】【分析】利用导数求出min 1()()f x f a=，结合已知最小值可得结果.【详解】()ln f x ax a x =--的定义域为(0,)+∞，1()f x a x'=-，当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上为减函数，此时()f x 无最小值，不合题意；当0a >时，令()0f x '<，得10x a<<；令()0f x '>，得1x a >，()f x 在1(0,a 上为减函数，在1(,)a +∞上为增函数，所以min 1()(1ln 0f x f a a a ==-+=，令()1ln g a a a =-+，1()1g a a'=-+，令()0g a '>，得01a <<，令()0g a '<，得1a >，所以()g a 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数，所以当1a =时，()g a 取得最大值(1)0g =，故1a =.故答案为：1.14.已知抛物线22x y =的焦点为F ，点M （3，6），点Q 在抛物线上，则MQ QF +的最小值为______．【答案】132【解析】【分析】根据抛物线的定义可求出结果.【详解】抛物线22x y =的准线方程为12y =-，过Q 作准线12y =-的垂线，垂足为N ，则||||QF QN =，所以MQ QF +113||||||622MQ QN MN =+≥=+=.当且仅当MQ 与准线垂直时，取等号.所以MQ QF +的最小值为132.故答案为：132.15.已知21()34ln 2f x x x x =--+在(,1)t t +上不单调，则实数t 的取值范围是______________【答案】()0,1【解析】【分析】先由函数求f ′（x ）＝﹣x ﹣34x +，再由“函数f （x ）12=-x 2﹣3x +4lnx 在(t ，t +1)上不单调”转化为“f ′（x ）＝﹣x ﹣34x +=0在区间（t ，t +1）上有解”从而有234x x x+-=0在（t ，t +1）上有解，进而转化为：x 2+3x ﹣4＝0在（t ，t +1）上有解，进而求出答案．【详解】∵函数f （x ）12=-x 2﹣3x +4lnx ，∴f ′（x ）＝﹣x ﹣34x +，∵函数f （x ）12=-x 2﹣3x +4lnx 在（t ，t +1）上不单调，∴f ′（x ）＝﹣x ﹣34x+=0在（t ，t +1）上有解∴234x x x+-=0在（t ，t +1）上有解∴g （x ）＝x 2+3x ﹣4＝0在（t ，t +1）上有解，由x 2+3x ﹣4＝0得：x ＝1，或x ＝﹣4（舍），∴1∈（t ，t +1），即t ∈（0，1），故实数t 的取值范围是（0，1），故答案为（0，1）．【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性与极值的关系，考查了转化思想，属于中档题．16.已知数列{}n a 满足1221,2,2n n a a a +==是()()22,2n n a n n λ++的等差中项，若()*212N n n a a n +>∈，则实数λ的取值范围为__________．【答案】[0,)+∞【解析】【分析】利用等差中项列式，探讨数列{}n a 项间关系，求出{}n a 的通项，再列出不等式求解作答.【详解】依题意，22(2)(2)n n na n a n n λ+=+++，即22(2)(2)n n na n a n n λ+-+=+，因此22n n a a n nλ+-=+，而121,2a a ==，即12112a a ==，于是得数列212{},{}212n n a a n n --都是以1为首项，λ为公差的等差数列，因此211(1)21n a n n λ-=+--，21(1)2n a n n λ=+-，即有2121(21)(1)n a n n n λ-=-+--，222(1)n a n n n λ=+-，由212n n a a +>得：21(21)22(1)n n n n n n λλ+++>+-，整理得31n λ>-，即13n λ>-，于是得13n λ>-对*N n ∈恒成立，而N n *∀∈，103n -<恒成立，则0λ≥，所以实数λ的取值范围为[0,)+∞.故答案为：[0,)+∞【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可.四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17.求满足下列条件的直线l 的一般式方程：（1）经过直线1:290l x y -+=,2:3230l x y ++=的交点P ，且经过点(2,4)；（2）与直线3:30l x y -=垂直，且点(2,5)Q -到直线l ．【答案】（1）5180x y -+=（2）330x y ++=或3230x y ++=.【解析】【分析】（1）解方程组得交点坐标，再根据两点式可求出结果；（2）根据垂直得斜率，再根据点到直线的距离公式可求出结果.【小问1详解】联立2903230x y x y -+=⎧⎨++=⎩，得33x y =-⎧⎨=⎩，即(3,3)P -，由两点式得334323y x -+=-+，即5180x y -+=.【小问2详解】因为l 与直线3:30l x y -=垂直，所以直线l 的斜率为13-，设直线1:3l y x b =-+，即330x y b +-=，=，解得1b =-或233b =-，所以直线l 的方程为330x y ++=或3230x y ++=.18.在数列{}n a 中，1111,20,N 3n n n n a a a a a n *++=+-=∈．（1）求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式．（2）设1n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项的和n S ．【答案】（1）证明见解析，121n a n =+；（2）11646n S n =-+【解析】【分析】（1）根据递推关系式，由等差数列的定义、通项公式求解即可；（2）根据裂项相消法求和即可得解.【小问1详解】因为1111,203n n n n a a a a a ++=+-=，所以0n a ≠，否则与113a =矛盾，故1112n n a a +-=，又113a =，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列，所以132(1)21nn n a =+-=+，因此121n a n =+．【小问2详解】由（1）知，11111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫=⋅==- ⎪++++⎝⎭∴1111111111112355721232323646n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ .19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()F ，且离心率为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过椭圆C 的左焦点，倾斜角为60 的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB 的面积．【答案】（1）22196x y +=（2）3611【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得椭圆C 的方程；（2）联立直线与椭圆方程，求出1212||||||y y y y +=-=，再根据()121||||||2AOB S OF y y =⋅⋅+△可求出结果.【小问1详解】依题意得c =3c a =，所以3a =，b ==所以椭圆C 的方程为22196x y +=.【小问2详解】因为直线AB 的倾斜角为60又直线AB 过点(F ，所以直线:AB y x =+，联立22196y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得21112360y y --=，144411360∆=+⨯⨯>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则121211y y +=，123611y y =-，所以1212||||||y y y y +=-==24311=，所以()1211||||||2211AOB S OF y y =⋅⋅+=△3611=.20.已知函数()4,xf x ae x a =-∈R ．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，求证：()210f x x ++>．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）求导后，对a 分类讨论，根据导数的符号可得结果；（2）()()22141x g x f x x e x x =++=-++，利用导数求出()g x 的最小值大于0即可得证明不等式成立.【详解】（1）()4xf x ae '=-，当0a ≤时，()()0,f x f x '<在R 上单调递减；当0a >时，令()0f x <′，可得4lnx a <，令()0f x >′，可得4ln x a >，所以()f x 在4,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在4ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0a ≤时，()f x 的增区间为(,)∞∞-+；当0a >时，()f x 的增区间为4ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为4,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）证明：当1a =时，()4x f x e x =-，令()()22141x g x f x x e x x =++=-++，()42x g x e x '=-+，令()h x =42x e x -+，因为()20xh x e '=+>恒成立，所以()g x '在R 上单调递增，()()030,120g g e '=-<'=->，由零点存在性定理可得存在()00,1x ∈，使得0()0g x '=，即00420x e x -+=，当0(,)x x ∈-∞时，()()0,g x g x '<单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>单调递增，所以()()0222000000000min 41424165,),(01xg x g x e x x x x x x x x ==-++=--++=-+∈，由二次函数性质可得()()min 10g x g >=，所以()0g x >，即()210f x x ++>，得证．21.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，点()04,P y 在抛物线C 上，且5PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，交直线l 于点M ，求证22MN FN 为定值．【答案】（1）24y x=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式求出2p =即可得解；（2）设直线:1l x ty =+，代入24y x =，求出2(21,2)M t t +，线段AB 的垂直平分线方程，令0y =，得N 的坐标，再根据两点间的距离公式可证结论正确.【小问1详解】因为||452p PF =+=，所以2p =，抛物线2:4C y x =，【小问2详解】由（1）知，(1,0)F ，设直线:1l x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=，216160t ∆=+>恒成立，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y t +=，21212()242x x t y y t +=++=+，所以线段AB 的中点2(21,2)M t t +，线段AB 的垂直平分线为22(21)y t t x t -=---，令0y =，得223x t =+，则2(23,0)N t +，所以()22222||21234MN t t t =+--+244t =+，22||23122FN t t =+-=+，所以22MN FN 222(44)422t t +==+（定值）.22.已知函数()22ln e x x f x a x=-+．（1）当1ea =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0x y -=（2）20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据函数零点的存在性定理及利用导数法求函数的单调性及函数的最值，再结合分类讨论即可求解.【小问1详解】因为()()221ln e x x f x a x-'=-，所以当1ea =时，()11f '=.又因为()11f =，所以()f x 在1x =处的切线方程11y x -=-，所以()f x 在1x =处的切线方程为0x y -=.【小问2详解】因为()()2ln e xx x ax f x x+-=，其中0x >，设()()2ln e x g x x x ax =+-，则()()()12e x x ax g x x+-'=，当0a ≤时，()0g x '>，则()g x 在()0,+∞单调递增，()g x 在()0,+∞上至多有一个零点，即()f x 在()0,+∞上至多有一个零点，不合题意，舍去．当0a >时，设()2e x h x ax =-，()()1e xh x a x '=-+，所以()0h x '<，()h x 在()0,+∞上单调递减.又()020h =>，2222e 0a h a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以020,a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∃，使得()00h x =，即00e 2x ax =，当()00,x x ∈时，()0h x >，此时()0g x ¢>，所以()g x 在()00,x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，此时()0g x '<，所以()g x 在()0,x +∞单调递减.所以()g x 在()0,+∞有极大值()0g x ，即()()()()00000000max 2ln e 2ln 22ln 1xg x x x ax x x x x =+-=+-=+-⎡⎤⎣⎦若00ln 10x x +-≤，则()0g x ≤，所以()0≤f x ，()f x 在()0,+∞上至多有一个零点，不合题意.…若00ln 10x x +->，设()ln p x x x =+，()110p x x '=+>，所以()p x 在()0,+∞单调递增.又()11p =，所以01x >.因为()()e 1e 0x x x x '=+>，所以e x y x =在()0,+∞单调递增，所以002e e x x a=>，即20e a <<，此时()00g x >，()00f x >因为111e e 11122(1e 2e 0e e e e g a a -⎛⎫=-+-=-+-< ⎪⎝⎭，()g x 在()00,x 单调递增，()00g x >，所以101,e x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =.又因为e 11ln x x x x ≥+>-≥，e 1x x x ≥+>，所以444444442ln 4e 2ln e e 0a a a g a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦.因为()g x 在()0,x +∞单调递减，()00g x >，且因为020,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以04x a >，所以204,x x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20g x =.所以204,x x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =．综上所述，若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】解决此类题型的关键第一问直接利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问利用零点的存在性定理及导数法求函数的单调性和最值但要注意对参数进行分类讨论.。
河南南阳六校2024年高二下学期第二次联考数学试题+答案
2024年春期六校第二次联考高二年级数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知数列2,4，…，根据其规律，16是该数列的（ ） A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项2．下列求导数运算中正确的是（ ） A ．()55x x′=B ．cos sin x x x ′=−C ．()33eex x′=D ．()322ln 3ln x x x x x ′=+3．若等比数列{}n a 的公比1q ≠且0q >，若356,,a a a 成等差数列，则3546a a a a ++等于（ ）ABC ．12D ．不确定4．若函数2()2ln f x x x =−在其定义域内的一子区间(1,1)k k −+上不是单调函数，则实数k 的取值范围为（ ） A ．13,22−B ．31,2C ．13,22−D ．31,25．甲乙两人合作对一组数据(),(1,2,3,,7)i i x y i = 进行回归分析，先是甲求出回归直线方程ˆ32yx =+，及样本点的中心(2,)m ．接着乙对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据(4,6)误输成了(6,4)，将这个数据修正后得到的回归直线方程为ˆ4ykx =+，则实数k =（ ） A ．138B ．53C ．103D ．526．已知函数()f x 的导函数为()f x ′，对任意x ∈R ，都有()()f x f x ′>−成立，若1(ln 2)2f =，则不等式1()e xf x >的解集为（ ） A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(ln 2,)+∞D ．(0,ln 2)7．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．设甲：数列{}n a 满足221111,44n n n a a a a ++=−=−；乙：数列{}n a 是公差为2的等差数列或公和为2的等和数列，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数e ()(ln )xf x k x x x=+−，若1x =是函数()f x 唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(,e]−∞B ．(,e)−∞C ．(e,)−+∞D ．[e,)−+∞二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．已知变量y 与x 存在线性相关关系，根据一组样本数据(),(1,2,,)i i x y i n = ，用最小二乘法建立的线性回归方程为3120y x =−+，则下列结论正确的是（ ） A ．变量y 与x B ．若r 表示y 与x 之间的样本相关系数，则3r =− C ．当变量10x =时，变量90y = D ．当变量10x =时，变量y 为90左右10．下列命题中，不正确的有（ ）A ．若,,a b c 成等比数列，则b 为,a c的等比中项，且b =B ．“数列{}n a 是等比数列”是“212n n n a a a ++=⋅”的充要条件 C ．若数列{}n a 与{}n b 是等比数列，则数列{}1,,n n n n n a a b b b⋅仍然成等比数列 D ．若数列{}n a 是等比数列，则232,,n n n n n S S S S S −−……仍然成等比数列 11．已知函数3()sin f x x x ax =+−，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数B ．当3a =−时，函数()f x 恰有两个零点C ．若()f x 为增函数，则1a ≤D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．在数列{}n a中，221()()n n n n a n −− =为奇数为偶数，前n 项和为n S ，则2n S =_______．13．对0x ∀>，不等式ln e 2ax x x≥−+恒成立，则实数a 的取值范围为_______． 14．为了解学生对科普的关注度（关注或不关注），对本校学生随机做了一次调查，结果显示被调查的男、女生人数相同，其中有56的男生“关注”，有23的女生“关注”，若依据小概率值0.001α=的独立性检验，认为学生对科普的关注度与性别有关联，则调查的总人数最少为_______人．参考公式：22(),()()()()n ad bc n a b c d a b a d a c b d χ−==+++++++ α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 x α2.7063.8415.0246.63510.828四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）某市旅游局通过文旅度假项目考察后，在“五一”期间推出了多个具体项目，销售火爆．其中乡村旅游项目推出了六条经典路线，六款不同价位的套票与相应价格x 的数据如下表．经数据分析、描点绘图，发现价格x 与购买人数y 近似满足关系式：(0,0)by ax a b =>>，对上述数据进行初步处理，其中ln ,ln ,1,2,,6i i i i v x w y i === ．附：①参考数据：66662111175.3,24.6,18.3,101.4i i i i i i i i i w v w v v =======∑∑∑∑；②对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线ˆˆˆw bv a =+的斜率和截距的最小二乘估计值分别为()()()1122211ˆˆˆ,n ni i i ii i n ni ii i v v w w v w nvwb a w bvv v vnv ===−−−===−−−∑∑∑∑． （1）根据所给数据，求y 关于x 的回归方程；（2）为进一步优化旅游方面的投资，相关部门在“五一”期间随机调查了200位旅游者，以了解不同年龄段的旅游者对不同项目的关注情况，得到如下信息表：50岁以上 50岁以下 关注A B C 、、 80人 40人 关注D E F 、、40人40人问是否有95%以上的把握认为关注的旅游项目与年龄段有关，并说明理由．附：22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ−==+++++++α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 x α2.7063.8415.0246.63510.82816．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为1,2n S a =，且满足()*132n n S S n n +=−∈N ．（1）证明：数列{}1n a −从第二项起是等比数列，并求数列{}()*n a n ∈N 的通项公式； （2）设1(21)n n b n a +=−，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 17．（本小题满分15分）已知函数2()ln f x x ax b x =++（其中实数,a b 为常数）． （1）若2,4a b =−=−，当[1,3]x ∈时，求函数()f x 的值域； （2）若20a b ++=，试讨论函数()f x 的单调性． 18．（本小题满分17分）已知函数2()ln (0)f x a x x ax a =−+≠． （1）当1a =时，证明：()0f x ≤；（2）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围． 19．（本小题满分17分）已知数列{}n a 和{}n b 满足11110,1,443,443n n n n n n a b b b a a a b ++==−=−+=−，且数列{}n b 的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S ； （2）令()12n n n c b S =+，记数列{}n c 前n 项和为n T ，证明：23n T <．2024年春期六校第二次联考 高二年级数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C 【解析】由等比数列通项公式可知，16为第9项．故选C ． 2．D3．A 【解析】由356,,a a a 成等差数列，得5362a a a =+，即23233332,21a q a a q q q ⋅=+=+．整理得()2(1)10q q q −⋅−−=，解得1q =或q =．由题意知，1q ≠且0,q q >∴()353546351a a a a a a a a q q ++∴==++．故选A ．4．D 【解析】函数()f x 定义域为(0,)+∞，求导得1()4f xx x ′=−，令()0f x ′=，得12x =当10,2x ∈时，()0,()f x f x ′<单调递减；当1,2x∈+∞时，()0,()f x f x ′>单调递增，由题意得111210k k k−<<+−≥ ，解得312k ≤<，故选D ． 5．D 【解析】由题意得3228m =×+=，假设甲输入的()11,x y 为(6,4)，则23162714x x x ++++=×= ，且23747856y y y ++++=×= ，则2378x x x +++= ，且23752y y y +++= ，则数据修改后可得，237412x x x ++++= ，且237658y y y ++++= ，1258,77xy =，所以样本中心点为1258,77，将其代入回归直线方程ˆ4y kx =+，得52k =．故选D ． 6．C 【解析】由题意可构造函数()()xg x e f x =，且()()()0x g x e f x f x ′′ =+>，则函数()g x 在R 上单调递增，且ln 2(ln 2)(ln 2)1g e f =⋅=所以不等式1()()1()(ln 2)ln 2xx f x e f x g x g x e>⇔⋅>⇔>⇔>， 故选C ．7．A 【解析】对于甲：由()2212n na a +−=得()()11220n n n n a a a a +++−⋅−−=，即12n n a a ++=或12n n a a +−=，则数列{}n a 是公和为2的等和数列或公差为2的等差数列，又因为11a =，所以1n a =或21na n =−；对于乙：当数列{}n a 是公和为2的等和数列或公差为2的等差数列时，通项未必为1n a =或21n a n =−，如摆动数列1,3,1,3,1,3−−−， (23)a n =+（其中15a =）所以，甲是乙的充分不必要条件．故选：A ．8．A 【解析】2211()1(1)(1)x x xx xe e ek x e f x k x x k x x x x x x ′−− =+−=−+−=−，令()x e g x x =， 则22(1)()x x x e x e e x g x x x′−−==，所以()x e g x x =在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， 所以()(1)1e g x g e ≥==，当k e =时，1(),(0,1),()0,()x x e f x e x f x f x x x ′′−=−∈< 单调递减，(1,),()0,()x f x f x ′∈+∞>单调递增，满足题意，当k e <时，0xe k x−>，显然1x =是函数()f x 唯一极值点，满足题意，所以k e ≤．故选A ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．AD10．ABD 【解析】对于A ，若1,2,4,,,a b c a b c ==−=等比，b 为,a c的等比中项，但b =A 错误；对于B ，充分性：若{}n a 为等比数列，可得121n n n n a a a a +++=，得212n n n a a a ++=⋅，满足充分性；必要性：若数列{}n a 是各项为零的常数数列，满足212n n n a a a ++=⋅，不满足{}n a 为等比数列，不满足必要性；故B 错误；对于C ，两个等比数列{}n a （公比为1q ）与{}n b （公比为2q ），它们的积数列{}n n a b ⋅是以11a b ⋅为首项，12q q ⋅为公比的等比数列，它们的商数列n n a b是以11a b 为首项12q q 为公比的等比数列，倒数数列1n b 是以11b 为首项21q 为公比的等比数列，故C 正确；对于D ，若等比数列{}n a 为1,1,1,1,1,1−−−，……，显然242640,0,0S S S S S =−=−=，……所以24264,,S S S S S −−，…不成等比数列，故D 错误．11．ACD 【解析】对于A ，函数()f x 满足()()f x f x −=−，函数()f x 为奇函数，故A 正确；2()cos 3f x x x a ′=+−当3a =−时，则2()cos 330f x x x ′=++>，所以函数()f x 在R 上为增函数，又(0)0f =，所以函数()f x 有且只有一个零点，故B 错误；若函数()f x 为增函数，则()0f x ′≥对任意的R x ∈恒成立，即2cos 3a x x ≤+令2()cos 3g x x x =+，则()6sin g x x x ′=−，令()6sin x x x ϕ=−，则()6cos 0x x ϕ′=−>，所以函数()g x ′在R 上为增函数，当0x <时，()(0)0g x g ′′<=，函数()g x 单调递减；当0x >时，()(0)0g x g ′′>=，函数()g x 单调递增．所以()min (0)1,1g x g a ==∴≤，故C 正确；当3a =时，2()cos 33f x x x ′=+−由C 可知，函数()f x ′在(,0)−∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，(1)(1)cos10,(0)20,f f f ′′′−==>=−<∴ 由函数零点存在定理可知，函数()f x ′在(1,0)−和(0,1)上都存在一个零点，因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，故D 正确．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．211222n n n −−+−【解析】()()22132124211222n n n n S a a a a a a n n −−=+++++++=−+−． 13．2,e−∞−【解析】由题意可分离参数，即对于20,ln 2x a x x ex x ∀>≤+−恒成立，令2()ln 2(0)f x x x ex x x =+−>，则只需min ()a f x ≤即可，则()ln 21(0)f x x ex x ′=+−>，1()20f x e x ′′=+>，所以()f x ′在(0,)+∞上单调递增，且10f e ′ =．所以当10,x e∈ 时，()0,()f x f x ′<单调递减；当1,x e∈+∞时，()0,()f x f x ′>单调递增；则min 12()f x f e e ==− ，所以实数a 的取值范围为2a e≤−． 14．300【解析】设男、女生人数均为()x x N +∈，可得如下22×列联表：由题意可得，2225222633610.82832722x x x x x x x x x χ×−×==≥××，所以2292.356x ≥，因为x 必须为6的整倍数，则2x 必须为12的整倍数，则min (2)300x =．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．解：（1）由于散点(),(1,2,,6)i i v w i = 集中在一条直线附近，可设回归直线方程为ˆˆˆw bv a =+，而611 4.16i i vv ==∑，611 3.056i i w w ===∑， 则6162221675.36 4.1 3.051ˆ101.46 4.126i ii ii v w vwbv v ==−−××==−×−∑∑……2分 1ˆˆ 3.05 4.112a w bv =−=−×=，所以回归直线方程为112w v =+……4分 因为ln ,ln i i i i v x w y ==，所以1ln ln 12y x =+……6分 则1,ln 12ba =，所以12y ex =．综上，y 关于x 的回归方程为12y ex =．……7分 （2）由于22200(80404040)505.556 3.84112080120809χ××−×==≈>×××……11分故有95%以上的把握认为关注的旅游项目与年龄段有关．……13分 16．解：（1）由1132322(2)n n n n S S n S S n n +−=−=−+≥两式相减得()()1132(2),131(2)n n n n a a n a a n ++=−≥∴−=−≥，即113(2)1n n a n a +−=≥−……4分2122112,4,2,131a a S a a −=∴===≠− ， ∴当2n ≥时，数列{}1n a −从第二项起是以3为公比的等比数列，且211a −=……6分213(2)n n a n −∴−=≥，即231(2)n n a n −=+≥，又12a =不适合该式，22,(1)31(2)n n n a n −= ∴= +≥……8分 （2）()111(21)(21)31(21)3(21)n n n n b n a n n n −−+=−=−+=−+−，……9分 设0121133353(21)3n n A n −=⋅+⋅+⋅++−⋅ ，① 则12131333(23)3(21)3n n n A n n −=⋅+⋅++−⋅+−⋅ ，②−①②得()121212333(21)3n n n A n −−=++++−−⋅1(1)3n n A n ∴=+−⋅……13分2(121)1(1)3(1)312n n n n n T n n n +−∴=+−⋅+=−⋅++．……15分17．解：（1）由题意得2()24ln ,[1,3]f x x x x x =−−∈则42(1)(2)()22,[1,3]x x f x x x x x′+−−−∈……2分令()0f x ′=得1x =−（舍去）或2x =……3分当12x ≤<时，()0f x ′<，函数()f x 单调递减；当23x ≤≤时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增，则max min (3)34ln 31(1),()1,()(2)4ln 2f f f x f x f =−<−==−==−……6分所以函数()f x 的值域为[4ln 2,1]−−．……7分（2）法一：由题意得2()(2)ln (0)f x x ax a x x =+−+>则222(2)(22)(1)()2(0)a x ax a x a x f x x a x x x x′++−+++−+−>……9分令()0f x ′=得22a x +=−或1x =下面就22a +−与0和1的位置关系分类讨论： ①当202a +−≤，即2a ≥−时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增…10分 ②当2012a +<−<，即42a −<<−时，()f x 在20,,(1,)2a +−+∞上单调递增， 在2,12a +−上单调递减……12分 ③当212a +−=，即4a =−时，()f x 在(0,)+∞上单调递增……13分 ④当212a +−>，即4a <−时，()f x 在2(0,1),,2a +−+∞上单调递增， 在21,2a +−上单调递减．……15分 法二：由题意得2()(2)ln (0)f x x b x b x x =+−−+>22(2)(2)(1)()22(0)b x b x b x b x f x x b x x x x′−++−−=−−+==>…9分令()0f x ′=得2bx =或1x = ①当02b≤，即0b ≤时，()f x 在(0,1)上单调道减．在(1,)+∞上单调递增……10分 ②当012b <<，即02b <<时，()f x 在0,,(1,)2b+∞上单调递增，在,12b 上单调递减……12分 ③当12b=，即2b =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增……13分 ④当12b >，即2b >时，()f x 在(0,1),,2b+∞上单调递增，在1,2b 上单调递减……15分 18．解：（1）当1a =时，2()ln ,0f x x x x x −+>2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x′−++−+−=−+==……2分当01x <<时，()0f x ′>，当1x >时，()0f x ′<所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减……4分所以max ()(1)0f x f ==，即()0f x ≤．……6分（2）函数2()ln (0)f x a x x ax a =−+≠的定义域为(0,)+∞由()0f x =得21ln ,(0,)x x x a x +=∈+∞……8分 因为函数()f x 有且只有一个零点，可设2ln ()x x g x x +=则函数2ln ()x x g x x +=与1y a=的图象有且只有一个交点 24311(ln )212ln ()x x x x x x x g x x x′ +⋅−+⋅ −− =……10分 令()12ln h x x x =−−，则2()1h x x ′=−− 因为0x >，所以()0h x ′<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0h =所以当01x <<时，()(1)0,()0h x h g x ′>=>，当1x >时，()(1)0,()0h x h g x ′<=< 所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且max()(1)1g x g ==……12分 经分析可得函数()y g x =的大致图象如图所示：又函数()y g x =与1y a =的图象有且只有一个交点，所以11a =或10a <，即1a =或0a < 综上所述：实数a 的取值范围是1a =或0a <……17分19．解：（1）由条件可联立11443443n n n n n n b b a a a b ++−=− +=− ，两式相加得()()1142n n n n a b a b +++=+，即1112n n n n a b a b +++=+ 则数列{}n n a b +是以111a b +=为首项，12为公比的等比数列，且通项为112n n n a b − +=①……2分 两式相减得()()112n n n n a b a b ++−+=−，即()()112n n n n a b a b ++−−−=− 则数列{}n n a b −是以111a b −=−为首项，2−为公差的等差数列，且通项为21n n a b n −=−+②……4分 由()12−①②得21122n n n b − =+……6分 则12221112211111(1321)11222222212n n n n n n S n −=+++−++++=+=+−− ……9分 （2）方法一：由（1）可知 ()222111111112(1)212(2)22n n n c b S n n n n n n n n n ===<==− +++++++当1n =时，111243T c ==<……12分 当2n ≥时， ()1231111111111111122435462112n n T c c c c c n n n n n n =++++<+−+−+−++−+−+− −−++1111112111242231232123n n n n =++−−=−+< ++++ ……16分 综上，对任意2,3n n N T +∈<．……17分 方法二：由（1）知，()2112(1)nn n c b S n ==++ 2222144441124(2)(2)1(21)(21)2121n n n n n n n n ==<==− −−+−+ ……11分 可得222144411 2(1)4(1)(22)(21)(23)2123n c n n n n n n n ===<=− +++++++……14分则123111111112355721212123n n T c c c c n n n n =++++<−+−++−+− −+++2223233n =−<+……16分 综上，对任意2,3n n N T +∈<．……17分。
2020-2021学年河南省南阳市高二下学期阶段检测考试数学(理)试题(解析版)
2020-2021学年河南省南阳市高二下学期阶段检测考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()51213i i z +=，则z =（ ）A ．15B ．12C ．1D ．5【答案】C 【分析】化简1251313z i =+，即得解. 【详解】因为13(512)125512131313i i i z i i -===++， 所以1z =． 故选：C2．已知函数2()6f x x =-，且()02f x '=，则0x =（ ）A B ．C ．D ．【答案】B【分析】依题意求出函数的导函数，再解方程即可；【详解】解：由题意可得()6f x '=-+，因为()0062f x '=-+=，所以0x = 故选：B3．已知x 为正数，随机变量ξ的分布列为则x =（ ） A ．19B ．112 C ．16D ．18【答案】C【分析】利用分布列的概率和为1，即可求解. 【详解】由分布列可知，321x x x ++=，得16x =． 故选：C4．下面给出的类比推理中（其中R 为实数集，C 为复数集），结论正确的是（ ）A ．由“已知,a b ∈R ，若a b =，则a b =±”类比推出“已知,a b C ∈，若a b =，则a b =±”B ．由“若直线a ，b ，c 满足//a b ，//b c ，则//a c ”类比推出“若向量a →，b →，c →满足//a b →→，//b c →→，则//a c →→”C ．由“已知,a b ∈R ，若0a b ->，则a b >”类比推出“已知,a b C ∈，若0a b ->，则a b >”D ．由“平面向量a →满足22a a →→=”类比推出“空间向量a →满足22a a →→=” 【答案】D【分析】根据复数知识判断选项A ；根据平面向量知识判断选项B ；根据复数不一定可以比较大小判断C ；根据空间向量知识判断选项D ；【详解】在复数集C 中，若两个复数满足||||a b =，则只表示它们的模相等，a ，b 不一定相等或相反，所以A 不正确；当b →为零向量，a →，c →为不共线的非零向量时，不满足向量平行的传递性，所以B 不正确；在复数集C 中，例如2a i =+，1b i =+，此时10a b -=>，但a ，b 都是虚数，无法比较大小，所以C 不正确；平面向量或空间向量a →，均满足22a a →→=，所以D 正确． 故选：D.5．某篮球运动员投篮的命中率为0.8，现投了7次球，则恰有5次投中的概率为（ ） A ．520.80.2⨯ B ．5527C 0.80.2⨯⨯C ．0.85D ．557C 0.8⨯【答案】B【分析】根据独立重复试验的概率计算公式直接计算出结果.【详解】根据独立重复试验的概率计算公式()()1n kkk nP X k C p p -==⋅-⋅可知：恰有5次投中的概率为55270.80.2P C =⨯⨯．故选：B.6．已知函数2()ln 21f x x x x =-+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．0x y +=B ．20x y --=C ．210x y +-=D ．240x y --=【答案】A【分析】根据导数的几何意义求解切线的斜率，最后写出切线方程即可.【详解】因为()2ln 2f x x x x '=+-， 所以(1)121f '=-=-． 因为()11f =-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()11y x +=--， 即0x y +=． 故选：A.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数在切点处的取值为切线的斜率，这类问题需要注意题目中的关键信息，是在这个点处还是过这个点，注意区别对待.7．一颗骰子连续掷两次，设事件A 为“两次的点数不相等”，B 为“第一次为奇数点”，则()|P B A =（ ） A ．1011 B ．56C ．12D ．512【答案】C【分析】根据已知条件先分析事件A 对应的情况数，然后分析事件,A B 同时发生的情况数，由此求解出()(),P A P AB 的值，再根据公式()()()P AB P B A P A =求解出结果.【详解】由题知，事件A 出现的情况有66630⨯-=种，事件A ，B 同时出现的情况有3515⨯=种，所以()1536P AB =，30()36P A =，()()()151302P AB P B A P A ===． 故选：C.8．A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次．A ，B ，C 去询问成绩，回答者对A 说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对B 说：“你的名次在C 之前．”对C 说：“你不是最后一名．”从以上的回答分析，6人的名次排列情况种数共有（ ） A ．108 B ．120 C ．144 D ．156【答案】A【分析】先选冠军有13C 种可能，最后一名有13C 种可能，再排剩下4个位置，即得解. 【详解】因为A ，B ，C 都没有得到冠军，所以从D ，E ，F 中选一个为冠军，有13C 种可能．因为C 不是最后一名，B 的名次又在C 之前，所以最后一名有13C 种可能，剩下4个位置．因为B ，C 定序，所以有442212 A A =种可能，所以6人的名次排列有3312108⨯⨯=种不同情况． 故选：A9．已知()272901291(21)(1)(1)(1)x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则2468a a a a +++=（ ） A ．10935 B ．5546 C ．5468 D ．5465【答案】D【分析】令1x t -=，则()2729012922(12)t t t a a t a t a t +++=++++，令0t =，得02a =；令1t =，可得0129a a a a ++++；令1t =-，可得0129a a a a -++-，进而可得结果.【详解】令1x t -=，则()2729012922(12)t t t a a t a t a t +++=++++，令0t =，则02a =． 令1t =，则012910935a a a a ++++=，令1t =-，则01291a a a a -++-=-，所以024********54672a a a a a -++++==， 所以246805467546725465a a a a a +++=-=-=． 故选：D.10．已知函数32()ln 2e f x x x x ax =-+-，若对任意的(0,)x ∈+∞，()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．21e ,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭B ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．21e ,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．)2e ,⎡+∞⎣【答案】A【分析】问题转化为22lnx a x ex x-++，令2()2lnx h x x ex x =-++，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而求出a 的取值范围即可．【详解】2()()2lnxf xg x a x ex x⇔-++， 令2()2lnxh x x ex x=-++，则2211()222()lnx lnxh x x e x e x x --'=-++=--+， 当0x e <<时，()0h x '>，当x e >时，()0h x '<， ()h x ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， ()h x ∴的最大值为21()h e e e=+，则21a e e+，故选：A11．十九大报告提出实施乡村振兴战略，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作．将这5名毕业生分配到该山区的A ，B ，C 三所小学，每所学校至少分配1人（ ）．A ．若甲不去A 小学，则共有120种分配方法B ．若甲、乙去同一所小学，则共有36种分配方法C ．若有一所小学分配了3人，则共有90种分配方法D ．共有120种分配方法 【答案】B【分析】A ．分析A 小学分别分配1,2,3人的分配方法数且甲不在A 小学，由此可计算出总的分配方法数；B ．分别考虑甲、乙所去的小学仅有2人，甲、乙所去的小学有3人，计算出对应的分配方法数再相加即可；C ．考虑将5人分成3，1，1三组，然后再将三组人分配给三所小学，计算出对应的分配方法数；D ．考虑5名毕业生分配到三所小学可以分成3，1，1或2，2，1两种情况，计算出总的分配方法数即可.【详解】5名毕业生分配到三所小学可以分成3，1，1或2，2，1两种情况，若A 小学安排1人且甲不在A 小学，则有()1322442456C C A C ⨯+=种分配方法，若A 小学安排2人且甲不在A 小学，则有21243236C C A =种分配方法， 若A 小学安排3人且甲不在A 小学，则有32428C A =种分配方法， 所以甲不去A 小学共有56368100++=种分配方法，所以A 错误；若甲、乙同去A ，当A 中仅有2人时，则将剩下3人分到B ，C 小学共有1223226C C A =种分配方法，当A 中有3人时，则将剩下3人平均分到A ，B ，C 三所小学共有336A =种分配方法，所以甲、乙去同一所小学共有()136636C +⋅=种分配方法，所以B 正确；若有一所小学分配了3人，先将5人分成3，1，1三组，再将三组人分配到三所小学，所以共有335360C A =种分配方法，所以C 错误； 由上根据部分平均分组可知一样共有311221352153132222150C C C C C C A A A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭种分配方法，所以D 错误； 故选：B.12．现有11棵树径（绕树底部围一圈得到的周长）均不相等的国槐需要种植在新办公楼的前面，种成一排，若要求从中间往两边看时，树径都依次变小，则树径排第五的那棵树和树径排第一（树径最大）的那棵树相邻的概率为（ ） A ．27B ．29C ．584D ．542【答案】D【分析】首先基本事件有510252C =，然后树径排第五的那棵树和树径排第一（树径最大）的那棵树相邻有46230C =，进而根据概率公式即可求得结果.【详解】将树径从高到低的11棵树依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，则1号必须排在正中间，从其余10棵中任选5棵排在1号的左边，剩下的5棵树排在1号的右边，有510252C =种排法．当排名第五的5号排在最高的1号的左边时，从6，7，8，9，10，11中任选4棵排在5号的左边，其余五棵排在1号的右边，有4615C =种排法，同理当排名第五的5号排在最高的1号的右边时，也有15种排法．所以树径排第五的那棵树和树径排第一的那棵树相邻的概率为30525242=． 故选：D.二、填空题13．已知z 为纯虚数，若()()12z i ++在复平面内对应的点在直线0x y -=上，则z =________．【答案】13i【分析】根据z 为纯虚数设()z ai a R =∈，由此计算出()()12z i ++并将其对应的点的坐标代入0x y -=，由此求解出a 的值，则z 可知.【详解】设()z ai a R =∈，则()()()()()1212221z i ai i a a i ++=++=-++． 因为()221a a i -++对应的点为()2,21a a -+，所以221a a -=+，解得13a =，故13z i =．故答案为：13i .14．在()622y x y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+的展开式中，34x y 的系数为________．【答案】58-【分析】求出62y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项，即可求出系数.【详解】因为62y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为61612rr r rr T C x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以34x y 的系数为4343661152228C C ⎛⎫⎛⎫⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：58-.15．已知函数ln ,1,()1(7),14x x f x x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若21x x >且()()12f x f x =，则21x x -的最小值是________． 【答案】118ln 2-【分析】首先画出函数的图象，由()()12f x f x t ==，解出12,x x ，并将21x x -转化为关于t 的函数，利用导数求函数的最小值. 【详解】作出函数()f x 的大致图象如图所示，设()()12f x f x t ==，则02t ≤<．由()()11174f x x t =+=，可得147x t =-；由()22ln f x x t ==，可得2t x e =． 令21()47tg t x x e t =-=-+，其中02t ≤<，则()4t g t e '=-．由()0g t '=，得2ln 2t =．当02ln 2t ≤<时，()0g t '<，则()g t 在[0,2ln 2)上单调递减； 当2ln 22t <<时，()0g t '>，则()g t 在[2ln 2,2]上单调递增． 所以min ()(2ln 2)118ln 2g t g ==-．即21x x -的最小值为118ln 2-． 故答案为：118ln 2-【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点，利用导数求函数的最值的综合问题，属于中档题型，本题的关键是结合函数的图象，得到t 的取值范围，并得到147x t =-，2tx e =.三、双空题16．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1,5,12,22,，总结规律并以此类推下去，第8个图形对应的点数为________，若这些数构成一个数列，记为数列{}n a ，则322112321a a a a ++++=________．【答案】92 336【分析】记第n 个图形的点数为n a ，由图形，归纳推理可得113(1)n n a a n --=+-，再根据累加得可得(31)2n n a n =-，进而求出8a ．由于(31)2n na n =-可得312n a n n -=，根据等差数列的前n 项和即可求出322112321a a a a ++++的结果. 【详解】记第n 个图形的点数为n a ，由题意知11a =，214131a a -==+⨯， 32132a a -=+⨯，43133a a -=+⨯，…，113(1)n n a a n --=+-，累加得147[13(1)](31)2n na a n n -=++++-=-，即(31)2n na n =-，所以892a =．又312n a n n -=， 所以3221111262(25862)213362321222a a a a +++++=++++=⨯⨯=．四、解答题17．2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利．为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础，在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲、乙两家农产品加工厂加工同一种农产品．已知食品安全监管部门随机抽检了两个加工厂生产的产品各100件，在抽取的200件产品中，根据检测结果将它们分为A ，B ，C 三个等级，A ，B 等级都是合格品，C 等级是次品，统计结果如下表（表一）所示．（表一）（表二）在相关政策的扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销毁．（1）请根据所提供的数据，完成上面的22⨯列联表（表二），若从抽取的100件乙产品中选取2件，求刚好1件合格品，1件次品的概率；（2）用频率代替概率，从甲、乙两加工厂各抽取2件产品，求甲抽到的合格产品件数比乙多的概率．【答案】（1）填表见解析；1633；（2）2150．【分析】（1）结合表（一）完成列联表即可，由排列组合可得古典型概率；（2）依题意可得，从甲、乙两加工厂各抽取1件产品，抽到合格品的概率分别为34，35．从甲、乙两加工厂各抽取2件产品，设抽到合格品的件数分别为X ，Y ，记事件A 为“从甲，乙两加工厂各抽取2件产品，甲抽到的合格产品件数比乙多”，则()()()()()()()102021P A P X P Y P X P Y P X P Y ===+==+==．进而可得结果. 【详解】（1）22⨯列联表如下因为100件乙产品中合格品60件，次品40件，所以所求概率为11604021001633C C C =．（2）因为用频率近似概率，所以从甲、乙两加工厂各抽取1件产品，抽到合格品的概率分别为34，35．从甲、乙两加工厂各抽取2件产品，设抽到合格品的件数分别为X ，Y ，记事件A 为“从甲，乙两加工厂各抽取2件产品，甲抽到的合格产品件数比乙多”，则()()()()()()()102021P A P X P Y P X P Y P X P Y ===+==+==．因为12333(1)1448P X C ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，239(2)416P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，234(0)1525P Y ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，123312(1)15525P Y C ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 所以349491221()8251625162550P A =⨯+⨯+⨯=．18．已知函数23215()6132f x a x ax x =-++在2x =处取得极大值．（1）求a ；（2）求经过点()()0,0f 且与曲线()y f x =相切的直线斜率． 【答案】（1）1a =；（2）6或2116． 【分析】（1）由题意可知0a ≠，求出函数的导函数，令()0f x '=，即可求出参数的值，还需判断函数的单调性进行检验；（2）由（1）知3215()6132f x x x x =-++，求出函数的导函数，设切点为()()00,x f x ，表示出切线方程，最后将点()0,1代入切线方程，求出0x ，即可得解；【详解】解：（1）由题意可知0a ≠，22()56(2)(3)f x a x ax ax ax '=-+=--． 令()0f x '=，得2x a =或3x a=． 当0a >时，23a a<，则22a =，得1a =，所以()(2)(3)f x x x '=--，所以当()(),23,x ∈-∞+∞时()0f x '>，()2,3x ∈时()0f x '<，即()f x 的单调递增区间是(,2)-∞和(3,)+∞，单调递减区间是()2,3， 当2x =时()f x 取得极大值，满足题意； 当0a <时，320a a<<，显然不合题意．故1a =． （2）由（1）知3215()6132f x x x x =-++，则(0)1f =，2()56f x x x '=-+．设切点为()()00,x f x ，则()200056f x x x '=-+，所以切线方程为()()32200000015615632y x x x x x x x ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，将点()0,1代入，得320025032x x -=，所以00x =，或0154x =．因为(0)6f '=，1521416f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，所以经过点()()0,0f 且与曲线()y f x =相切的直线斜率为6或2116． 19．某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项．（1）求甲选排球且乙未选排球的概率；（2）用X 表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X 的分布列． 【答案】（1）415；（2）答案见解析． 【分析】（1）利用古典概型计算公式可得：甲选排球的概率，乙未选排球的概率，再利用相互独立概率计算公式即可求出结果；（2）首先求出X 的可能取值，然后求出丙选排球的概率，进而求出对应概率，即可列出分布列.【详解】解：（1）设A 表示事件“甲选排球”，B 表示事件“乙选排球”，则12232()3C P A C ==，24353()5C P B C ==．因为事件A ，B 相互独立，所以甲选排球且乙未选排球的概率234()()()13515P AB P A P B ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭．（2）设C 表示事件“丙选排球”，则24353()5C P C C ==．X 的可能取值为0，1，2，3．1224(0)35575P X ==⨯⨯=；2221321234(1)35535535515P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；23222313311(2)35535535525P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；2336(3)35525P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为20．某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A ，B ，C 三大类，其中A 类有3个项目，每项需花费2小时，B 类有3个项目，每项需花费3小时，C 类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中选择3个项目，每个项目的选择机会均等．（1）求小张在三类中各选1个项目的概率；（2）设小张所选3个项目花费的总时间为X 小时，求X 的分布列． 【答案】（1）928；（2）答案见解析． 【分析】（1）在三类项目中各选一个有111332C C C 种选法，总的选法数有38C 种，两者相除即可求得所求概率；（2）先分析X 的可取值，对于每一个X 的取值，利用该值对应的选法数除以总的选法数即可求得对应概率，由此可得X 的分布列. 【详解】解：（1）记事件M 为在三类中各选1个项目则111332389()28C C C P M C ==，所以小张在三类中各选1个项目的概率为928． （2）X 的可能取值为4，5，6，7，8，9，则2123383(4)56C C P X C ===；21212332389(5)56C C C C P X C +===； 111323333819(6)56C C C C P X C +===； 212132333815(7)56C C C C P X C +===； 2133389(8)56C C P X C ===；33381(9)56C P X C ===．所以分布列如下表所示：21．已知数列{}n a ，{}n b 满足16a =，2154a =，12n n n a b a ++=，1n n n n n b a b +=+．（1）证明：{}n n a b 为常数数列，且13n n a a +>>．（2）设数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：499n nS <+．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）首先利用递推关系，两式相乘证明{}n n a b 为常数数列，进而得到9n nb a =， 通过基本不等式证明3n a >，接着证明10n n a a +-<即可； （2）利用13n n a a +<<，放缩得到()2211994n n a a +-<-，进而得到121111349n n b -⎛⎫≤⨯+⎪⎝⎭， 最后求和证明不等式即可. 【详解】证明：（1）因为1122n n n nn n n n n na b a b a b a b a b +++=⨯=+， 所以数列{}n n a b 为常数数列，因为16a =，2154a =，且1122a b a +=，所以132b =，故119n n a b a b ==，9n nb a =． 易知0n a >，则11932n n n a a a +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭（当且仅当3n a =时取等号）．因为163a =≠，所以3n a >．因为21902nn n na a a a +--=<，所以13n n a a +<<． （2）由()281n n a b =，得221181n n a b =， 因为13n n a a +<<，所以()222121811182744n n n n a a a a +⎛⎫=++<+ ⎪⎝⎭， 则()2211994n n a a +-<-， 所以()1122111992744n n na a --⎛⎫⎛⎫-≤-=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即1212794n na -⎛⎫≤⨯+ ⎪⎝⎭，所以122111181349n n n a b -⎛⎫=≤⨯+ ⎪⎝⎭． 当1n =时，211441999b =<+； 当2n ≥时，11111111144113449399914nn n n S n n -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭<++++=⨯+<+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，故499n n S <+． 【点睛】本题主要考查数列不等式的证明，在处理中要用到不等式的放缩，这类问题有一定的难度，适当的进行放缩是解决问题的关键，在备考中要多总结提高. 22．已知函数2()2e 1x f x ax =-+．（1）若()f x 在(0,)+∞上不单调，求a 的取值范围．（2）若()f x 在区间(0,)+∞上存在极大值M ，证明：1M a <+． 【答案】（1）(,)e +∞；（2）证明见解析．【分析】（1）求出函数的导函数()2x e f x x a x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，再令()xe g x x =，利用导数说明其单调性与最小值，即可求出参数a 的取值范围．（2）由（1）可知a e >，令()()h x f x ='，利用导数说明()f x '的单调性，即可得到存在0(0,1)x ∈，使得()00f x '=，从而得到当0x x =时，()f x 取得极大值，即02021x M e ax =-+，再利用基本不等式计算可得；【详解】（1）解：()()22x xe f x e ax x a x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭．令()xe g x x =，则2(1)()x x e g x x -'=．当01x <<时，()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减； 当1x >时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增． 故min ()(1)g x g e ==．因为()f x 在(0,)+∞上不单调，即()0f x '=在(0,)+∞有变号零点，所以a e >，即a 的取值范围为(,)e +∞．（2）证明：由（1）可知当a e ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则不存在极大值．当a e >时，1ln a <．()()2x f x e ax '=-，令()()h x f x ='，则()()2xh x e a '=-．令()0h x '=，则ln x a =．易知()f x '在()0,ln a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增． 因为(0)20f '=>，(1)2()0f e a '=-<，所以存在0(0,1)x ∈，使得()()00020xf x e ax '=-=．则当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,1x x ∈时()0f x '<． 故()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，所以当0x x =时，()f x 取得极大值，即02021x M e ax =-+．因为001x <<，所以0102x ->，且00122x x ≠-． 因为000x e ax -=，所以00xe ax =，则0220002121x M e ax ax ax =-+=-+2000122411411222x x x x a a a ⎛⎫+- ⎪⎛⎫=⋅⋅-+<+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，即1M a <+．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
2019-2020学年河南省南阳市六校高二下学期第二次联考数学(理)试题 word版
河南省南阳市六校2019-2020学年高二下学期第二次联考数学（理）试题考生注意：1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区．．．．．域书写的答案无效．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．. 4. 本卷命题范围：北师大版选修2-2（50%），选修2-3第一章、第二章（50%）.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，复数()2111i --的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 若函数()21f x x x=-，则()'1f =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 43. 根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为310，下雨的概率为1130，既刮东风又下雨的概率为415，则在下雨条件下刮东风的概率为（ ） A. 911 B. 811 C. 89D.254. 已知随机变量X 服从二项分布18,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()31E X -=（ ） A. 11B. 12C. 18D. 365. 5人排成一排，其中甲、乙相邻，且甲，乙均不与丙相邻的排法共有（ ） A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种6. 已知函数()x x af x e+=的图象在点()()1,1f 处的切线与直线20x ey -+=平行，则a =（ ） A. 1B. e -C. eD. -17. 设()28210012101(43)(21)(21)(21)x x a a x a x a x +-=+-+-+⋅⋅⋅+-，则1210a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A.34B. 34-C.54D. 28. 已知函数1()cos 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的极大值点为（ ） A. 6π-B. 3π-C.6π D.3π 9. 盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为（ ） A. 恰有1个是坏的 B. 4个全是好的 C. 恰有2个是好的D. 至多有2个是坏的10. 我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（ ） A . 30B. 60C. 90D. 12011. 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别13，12，p ，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为718，则p 的值为（ ） A.14B.13C. 23D. 3412. 已知函数2()2ln 3f x x a x =++，若[)()1212,4,x x x x ∀∈+∞≠，[]2,3a ∃∈，()()21122f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是（ ） A. [)2,-+∞B. 5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C. 9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D. 19,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数(),z a bi a b R =+∈，且()31z i i +=-，则2a b +=______.14. 已知随机变量ξ服从正态分布()24,N σ，若()20.3P ξ<=，则()26P ξ<<=______.15. 912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 项的系数为______.（用数字作答）16. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设复数()()21z a a a i a R =---∈.（1）若z 为纯虚数，求z z ⋅；（2）若z 在复平面内对应的点在第四象限，求a 的取值范围. 18. 设函数()321f x x ax =-+.（1）若()f x 在3x =处取得极值，求a 的值； （2）若()f x 在[]2,1--上单调递减，求a 的取值范围.19.（1）求91x ⎛ ⎝的展开式的常数项；（2）若1nx ⎛- ⎝的展开式的第6项与第7项的系数互为相反数，求展开式的各项系数的绝对值之和.20. 已知函数()21f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2425n n S n n f a +=+. （1）求1a ，2a ，3a ，4a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.21. 探月工程“嫦娥四号”探测器于2018年12月8日成功发射，实现了人类首次月球背面软着陆.以嫦娥四号任务圆满成功为标志，我国探月工程四期和深空探测工程全面拉开序幕.根据部署，我国探月工程到2020年前将实现“绕、落、回”三步走目标.为了实现目标，各科研团队进行积极的备战工作.某科研团队现正准备攻克甲、乙、丙三项新技术，甲、乙、丙三项新技术独立被攻克的概率分别为35，23，12，若甲、乙、丙三项新技术被攻克，分别可获得科研经费60万，40万，20万.若其中某项新技术未被攻克，则该项新技术没有对应的科研经费.（1）求该科研团队获得60万科研经费的概率；（2）记该科研团队获得的科研经费为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望. 22. 已知函数()()()()12'1403x f x f ef x x -=--+.（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若存在实数x ，使得()22322f x x x m ≤+++成立，求整数m 的最小值.2020年南阳春期六校第二次联考·高二年级数学试题（理科）参考答案、提示及评分细则一、选择题 1-5：ACBAB 6-10：DABCD11-12：CD1. A 复数21111(1)2i i -=--的共轭复数为112i +，对应的点是11,2⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.2. C ()22'1x f x x =+，则()'13f =. 3. B 记某地四月份某日刮东风为事件A ，某地四月份某日下雨为事件B ，则所求概率为()()()481511|1130P AB P A B P B ===.故选B.4. A 因为(31)3()1E X E X -=-，1()842E X =⨯=，所以()3111E X -=. 5. B 甲、乙相邻有22A 种排法，再与丙以外的两人全排列有33A 种排法，最后丙插入不与甲、乙相邻的两个空档，所以排法共有23123224A A C =种.6. D 1'()x x a f x e --=，1'(1)a f e e-==，所以1a =-. 7. A 令1x =，则原式化为012102a a a a =+++⋅⋅⋅+，令12x =，得054a =，所以121053244a a a +++=-=. 8. B 11()cos sin 222f x x x x x π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，()1'cos 2f x x =-，令()'0f x =，得3x π=±. 当,,2332x ππππ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()'0f x >；当,33x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()'0f x <， 所以()f x 在,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x 的极大值点为3π-.9. C 对于选项A ，概率为133741012C C C =.对于选项B ，概率为4741016C C =，对于选项C ，概率为2237410310C C C =.对于选项D ，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A 选项，恰好有一个坏的概率已经是13210>，故D 选项不正确.故选C.10. D 5艘驱逐舰分为两组，一组2艘，另一组3艘，有25C 种方法；3艘核潜艇分为两组，一组1艘，另一组2艘，有13C 种方法.分到两艘航母共有21225322120C C A A =种不同方法.11. C 在甲、乙、丙处投中分别记为事件A ，B ，C ，恰好投中两次为事件ABC ，ABC ，ABC 发生，故恰好投中两次的概率1111117(1)1132323218P p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23p =. 12. D 设12x x >，因为()()21122f x f x m x x -<-，所以()()112222f x mx f x mx +>+.记()()2g x f x mx =+，则()g x 在()0,+∞上单调递增，故()'0g x ≥在[)4,+∞上恒成立，即2220a x m x ++≥在[)4,+∞上恒成立，整理得am x x-≤+且在[)4,+∞上恒成立.因为[]2,3a ∈，所以函数a y x x =+在[)4,+∞上单调递增，故有44a m -≤+.因为[]2,3a ∃∈，所以max 19444a m ⎛⎫-≤+= ⎪⎝⎭，即194m ≥-. 二、填空题13. -6 14. 0.4 15. 63816. 0.245 13. -6 131iz i i-+==--，4z i =--，4a =-，1b =-，26a b +=-. 14. 0.4 因为(2)(6)0.3P P ξξ<=>=，所以(26)120.30.4P ξ<<=-⨯=.15. 638 912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项9921991122r rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令4r =，445916328T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.16. 0.245 甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立， 甲队以4:1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：10.30.70.50.50.70.03675p =⨯⨯⨯⨯=， ②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：20.70.30.50.50.70.03675p =⨯⨯⨯⨯=， ③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：30.70.70.50.50.70.08575p =⨯⨯⨯⨯=， ④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，其概率为：30.70.70.50.50.70.08575p =⨯⨯⨯⨯=， 则甲队以4:1获胜的概率为：12340.036750.036750.085750.085750.245p p p p p =+++=+++=.三、解答题17. 解析：（1）若z 为纯虚数，则2010a a a ⎧-=⎨-≠⎩，所以0a =，故z i =，z i =-，1z z ⋅=.（2）若z 在复平面内对应的点在第四象限，则2010a a a ⎧->⎨-+<⎩，得1a >.18. 解：（1）()2'32f x x ax =-，则()'32760f a =-=， 解得92a =. 经检验，当92a =时，()f x 在3x =处取得极值. （2）由题意可知，()2'320f x x ax =-≤对[]2,1x ∈--恒成立， 则32a x ≤对[]2,1x ∈--恒成立. ∵当[]2,1x ∈--时，333,22x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦， ∴3a ≤-，即a 的取值范围为(],3-∞-.19. 解：（1）因为91x ⎛- ⎝的通项是93921991((1)rr r r rrrT C C xx --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以常数项是()6679184T C =-=.（2）1n x ⎛ ⎝的通项为3211((1)n rr n r rrrr nnT C C xx --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则第6项与第7项分别为15526n nT C x -=-和697nn T C x -=，它们的系数分别为5n C -和6nC .因为第6项与第7项的系数互为相反数，所以56n n C C =，则11n =.因为111x ⎛ ⎝的各项系数的绝对值之和与111x ⎛ ⎝的各项系数之和相等，令1x =，得111x ⎛ ⎝的各项系数的绝对值之和为1122048=.20. 解：（1）由()2425n n S n n f a +=+， 即22252n n S a n n +=++，①所以12a =，由①得21122(1)5(1)2(2)n n S a n n n --+=-+-+≥，②①-②，得122(2)n n a a n n -=++≥. 当2n =时，21212a a =++，23a =； 当3n =时，32232a a =++，34a =； 当4n =时，43242a a =++，45a =. （2）由（1）猜想1n a n =+. 下面用数学归纳法证明：①当1n =时，由（1）可知猜想成立； ②假设n k =时猜想成立，即1k a k =+，此时22252k k S a k k +=++，()221352222k k k S k k a k =++-=+，当1n k =+时，2111322k k k k k S S a k a +++=+=++2(1)3(1)22k k +=++， 整理得()111k a k +=++， 所以当1n k =+时猜想成立.综上所述：对任意*n N ∈，1n a n =+成立.21. 解：（1）记“该甲、乙、丙三项新技术被攻克”分别为事件A ，B ，C ， 则3()5P A =，2()3P B =，1()2P C =，该科研团队获得60万科研经费的概率为()()311221532532P ABC P ABC =⨯⨯+⨯+⨯127101530=+=. （2）X 所有可能的取值为0，20，40，60，80，100，120，2111(0)()53215P X P ABC ===⨯⨯=，2111(20)()53215P X P ABC ===⨯⨯=，2212(40)()53215P X P ABC ===⨯⨯=，7(60)30P X ==， 3111(80)()53210P X P ABC ===⨯⨯=，3211(100)()5325P X P ABC ===⨯⨯=，3211(120)()5325P X P ABC ===⨯⨯=.所以随机变量X 的分布列为所以()020406015151530E X =⨯+⨯+⨯+⨯8010012010553+⨯+⨯+⨯=（万）. 22. 解：（1）()()()()12'1403x f x f e f x x -=--+()()()()1''1406x f x f e f x -⇒=--+，令1x =，得()02f =.令0x =，得()()()()10'14'124f f e f e -=-⇒=+.则()2223xf x e x x =-+，()'226xf x e x =-+，且()'f x 在x R ∈上单调递增，()'00f =，且当(),0x ∈-∞时，()'0f x <；当()0,x ∈+∞时，()'0f x >，则()2223xf x e x x =-+，且单调递增区间为()0,+∞，单调递减区间为(),0-∞.（2）因为()22322f x x x m ≤+++，所以215122x e x x m +--≤. 令215()122x h x e x x =+--，则()5'2x h x e x =+-，易知()'h x 在x R ∈上单调递增.又1'202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，3437'044h e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则存在唯一的013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0'0h x =， 且当()0,x x ∈-∞时，()0'0h x <；当()0,x x ∈+∞时，()0'0h x >， 则函数()h x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()02min 00015()122xh x h x e x x ==+--. 又()0'0h x =，00502xe x +-=，即0052x e x =-+， 则()2min0000515()1222h x h x x x x ==-+--()2001732x x =-+.因为013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()min 0271(),328h x h x ⎛⎫=∈-- ⎪⎝⎭.因为存在实数x ，使得()22322f x x x m ≤+++成立， 所以()min m h x ≥，又m Z ∈，则整数m 的最小值为0.。
2019-2020学年河南省南阳市高二下学期六校第二次联考数学(理)试题解析
甲队以4：1获胜包含的情况有：①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，④前5场比赛中，第四场负，另外4场全胜，由此能求出甲队以4：1获胜的概率．
解：
甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．
设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，
甲队以4：1获胜包含的情况有：
①前5场比赛中，第一场负，另外4场全胜，其概率为：p1＝0.3×0.7×0.5×0.5×0.7＝0.03675，
②前5场比赛中，第二场负，另外4场全胜，其概率为：p2＝0.7×0.3×0.5×0.5×0.7＝0.03675，
③前5场比赛中，第三场负，另外4场全胜，其概率为：p3＝0.7×0.7×0.5×0.5×0.7＝0.08575，
因为 ，所以函数 在 上单调递增，
故有 .因为 ，
所以 ，即 .
故选：D
点评：
本题考查了导数在不等式恒成立中的应用、函数单调性的应用，属于中档题.
二、填空题
13．已知复数 ，且 ，则 ______.
答案：
根据复数的基本运算法则进行化简求出复数 ，进而可 .
解：
， ， ， ， .
故答案为： .
点评：
本题考查复数模计算，比较基础.
A． B． C． D．
答案：A
求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可.
解：
因为 ，
故可得 ，
令 ，因为 ，
故可得 或 ，
则 在区间 单调递增，
在 单调递减，在 单调递增，
故 的极大值点为 .
故选：A.