解几中的定点问题解法举列
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型Last revision on 21 December 2020圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。
技巧在于：设哪一条直线如何转化题目条件圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。
如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。
下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。
求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7km k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。
定点定值
x=a 2E K DBAF g l Oy x解析几何中的定点、定值问题阳信一中 郑振华有关解析几何的问题中,常常涉及到证明直线过定点、两直线相交于定点、动圆过定点及两变量的和、差、积或两向量的数量积为定值的问题,对于每类问题如何解决,笔者给出了以下例题,以期能起到“以点带面”之功效. 一、共点直线系例1.已知(1)(1)20m x m y m +---=为直线l 的方程,求证：不论m 取任何实数,直线l 必过定点,并求出这个定点的坐标.证明:方法一:由直线l 的方程得20mx my m x y --++=,即(2)0m x y x y --++=. 当20x y --=且0x y +=时, 不论m 取任何实数方程恒成立,故直线l 必过定点解方程组200x y x y --=⎧⎨+=⎩得11x y =⎧⎨=-⎩,即定点坐标为(1,1)-.方法二: 由直线l 的方程得20mx my m x y --++=,(1)(1),m x m m y m ∴+-=-+(1)1(1)1,(1)(1)(1)(1)m x m m y m m x m m y m +--=-+-+-+=-+-,即11(1)(1),1m y x m m ++=-≠-因此当1m ≠时,直线l 必过定点(1,1).-当1m =时,原直线l 的方程为1,x =同样过点(1,1).- 综上所述,不论m 取取任何实数,直线l 必过定点(1,1).-【点评】(1)若直线方程中含有参数m ,可将方程整理成(,)(,)0f x y m x y ϕ+=的形式, 令(,)0(,)0f x y x y ϕ=⎧⎨=⎩,解得0x x y y =⎧⎨=⎩.则直线恒过点00(,)x y .(2)共点直线系:00()[y y k x x -=-定点00(,),x y k 为变数],表示一束过定点00(,)x y 的直线系(不包括直线0)x x =二、两动直线相交于定点(两变量的差为定值) 例2.已知直线l :1x my =+过椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的右焦点F ,且交椭圆C 于,A B 两点,点,,A F B 在直线2:g x a =上的射影依次为点,,D K E .连结,AE BD ,证明:当m 变化时,直线,AE BD 相交于一定点. 证明:因为(1,0)F ,所以2(,0).K a先探索:当0m =时,直线l ⊥x 轴,此时四边形A B E D 为矩形, 由对称性知,,AE BD 相交于F K 的中点21(,0).2a N +猜想: 当m 变化时,直线,AE BD 相交于一定点21(,0).2a N +证明:设22112212(,),(,),(,),(,).A x y B x y D a y E a y 首先证明当m 变化时,直线AE 过定点N .由22221,1,x m y x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得2222222()2(1)0.a b m y m b y b a +++-= 222224(1)0(1),a b a m b a ∆=+->>22212122222222(1),.mbb a y y y y a b ma b m-+=-=++12221,.1122AN EN y y k k a a m y --==---122211122AN EN y y k k a a m y --∴-=----22222121222222222221112(1)1()()221111()()2222a m bb a a m y y m y y a b m a b ma a a a m y m y -----+-++==------ 22222222212(1)2(1)0.1(1)()()2m a b m a b a a my a b m ---==---+,AN EN k k ∴=故,,A E N 三点共线;同理可证,,B D N 三点共线.所以,当m 变化时,直线,AE BD 相交于一定点.【点评】(1)若曲线在一般情况下具有某一性质,则在特殊情形下一定具有该性质,故上述例题首先取一特殊情况(直线斜率不存在)求出定点,然后给出一般情况下的证明. (2)证三条直线共点时,可首先证明两直线相交于一点,再证第三条直线过交点;同理,证明两直线相交于一点,可先证明一直线过定点,再证另一直线也过该点. 三、动圆恒过定点 例3已知椭圆22142xy+=,点P 是椭圆上异于顶点的任意一点,过点P 作椭圆的切线l ,交y轴与点,A 直线l '过点P 且垂直与l ,交y 轴与点.B 试判断以AB 为直径的圆能否经过定yxPQOBAy xBAPO 点？若能,求出定点坐标;若不能,请说明理由.解:设点0000(,)(0,0)P x y x y ≠≠,直线l 的方程为00(),y y k x x -=-代入22142xy+=,整理得2220000(34)8()4()120k x k y kx y kx ++-+--=.0x x =是方程的两个相等实根,00028()2,34k y kx x k-∴=-+解得003.4x k y =-[或根据234(0)2y x y =->求导解得]∴∴直线l 的方程为00003().4x y y x x y -=--令0x =,得点A 的坐标为220043(0,).4y x y +又222200001,4312,43x y y x +=∴+=∴点A 的坐标为03(0,).y又直线l '的方程为00004(),3y y y x x x -=-令0x =,得点B 的坐标为0(0,),3y -∴以AB 为直径的圆方程为003()()0,3y x x y y y ⋅+-⋅+=整理得2203()10.3y x y y y ++--=由2210,0x y y ⎧+-=⎨=⎩得1.0x y =±⎧⎨=⎩ ∴以AB 为直径的圆恒过定点(1,0)-和(1,0).【点评】过圆C ：220x y Dx Ey F ++++=与直线:0l Ax By C ++=交点的圆系方程为： 22()0x y D x Ey F Ax By C λ+++++++=.交点坐标由2200Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩解得 四、动点在某定直线上 例4.设椭圆C :221,42xy+=当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点,A B 时，在线段AB 上取点Q ,满足||||||||.A P Q B A Q P B ⋅=⋅证明:点Q 总在某定直线上.证明:设点,,Q A B 的坐标分别为1122(,),(,),(,).x y x y x y由题设知||,||,||,||AP PB AQ Q B 均不为零,记||||,||||AP AQ PB QB λ==则0λ>且 1.λ≠又,,,A P B Q 四点共线, 从而,.AP PB AQ Q B λλ=-=于是12124,1.11x x y y λλλλ--==--1212,1.11x x y y x λλλλ++==++从而2221224,1x x x λλ-=- ①2221221y y y λλ-=-. ②又点,A B 在椭圆C 上,即221124,x y += ③ 22222 4.x y += ④①+2⨯②并结合③,④得42 4.x y +=即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上. 【点评】(1)解答本题有两个关键，一是将向量模之间的关系转化成向量之间的线性关系，从而得到动点、定点之间的坐标关系；二是如何合理整合各关系式.（2）圆锥曲线上的动点满足三个基本条件:①动点满足曲线定义的几何条件;②动点满足曲线的几何性质;③动点坐标满足标准方程的代数条件.应充分利用这些特征,根据函数与方程思想和几何性质处理有关“定”的问题. 五、两变量的和为定值例5.已知抛物线:C 24,x y =其焦点为F ,过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点,交抛物线的准线l 于点,N 已知12,,NA AF NB BF λλ==求证:12λλ+为定值.证明:方法一:如图所示,设直线AB 的方程为11221,(,),(,),y kx A x y B x y =+则2(,1).N k--联立方程组24,1x yy kx ⎧=⎨=+⎩消去y 得22440,(4)160,x kx k --=∆=-+>故12124, 4.x x k x x +==-由12,NA AF NB BF λλ==得11122222,,x x x x kkλλ+=-+=-整理得1212221,1.kx kx λλ=--=--故12122112()kx x λλ+=--+1212224220.4x x k k x x k +=--⋅=--⋅=- 方法二:由已知12,,NA AF NB BF λλ==得120.λλ⋅<于是12||||,||||NA AF NB BF λλ=-①如图,过,A B 两点分别作准线l 的垂线,垂足 分别为11,A B ,则有11||||||,||||||AA NA AF NB BB BF ==② 由①、②得120.λλ+=【点评】如何利用题设条件中向量之间的线性关系,本例给出了启示,即根据向量平行将 12,λλ用坐标表示出来,进而化简整理证得;另利用初中所学的平面几何知识解决有关直线与抛物线的位置关系问题,有时可将解答过程大大简化. 六、两变量的积为定值 例6.已知曲线1C :22221(0,0)x y b a y ab+=>>≥与抛物线2C :22(0)x py p =>的交点分别为,A B (点A 在点B 左边),曲线1C 和抛物线2C 在点A 处的切线分别为12,,l l 且12,l l 的斜率分别为12,.k k 当b a为定值时,求证;12k k ⋅为定值(与p 无关),并求出这个定值.证明:设点A 的坐标为00(,),x y 曲线1C 的方程可写成:222200,,b b y a x y a x aa=-∴=-所以002001222220|()|.x x x x bx b x bx k y a y a a xa a x=='==-=-=---200122()x x b k k ay p⋅=-⋅⋅=又002021|()|,2x x x x x k y x pp==''===所以200122()x x b k k ay p⋅=-⋅⋅=222222x b b apy a-⋅=-为定值.【点评】由题意,两直线斜率都可通过求导求的,相乘约分即可求出定值,但复合函数的求导问题值得关注. 七、数量积为定值 例7.已知椭圆C :221,2xy +=点M 的坐标为5(,0)4,过椭圆右焦点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,对于任意的,k R ∈M A M B ⋅是否为定值？若是求出这个定值;若不是,请说明理由.解析:由已知得(1,0),F 直线l 的方程为(1).y k x =-由22(1),12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 2222(21)42(1)0,k x k x k +-+-=设1122(,),(,),A x y B x yF 2F 1yxBA P则2212122242(1),.2121kk x x x x k k -+==++112255(,)(,)44M A M B x y x y ∴⋅=-- 121255()()44x x y y --+2121255()()(1)(1)44x x k x x =--+--2221212525(1)()()416k x x k x x k=+-++++222222254()22254(1)212116k k k k k k k +-=+-++++2242257.211616k k --=+=-+由此可知,716M A M B ⋅=- 为定值. 【点评】证明数量积为定值,首先将向量用坐标表示,而进行怎样的转化,如何利用题设条件是证明的关键.八、直线斜率为定值 例8.已知椭圆22124xy+=的上、下焦点为12,,F F 点P 在第一象限且是椭圆上的点，并满足121PF PF ⋅=,过P 作倾斜角互补的两条直线,PA PB 分别交椭圆于,A B 两点. 求证:直线AB 的斜率为定值.证明;由题意可得12(0,2),(0,2),F F -设0000(,)(0,0),P x y x y >>则100200(,2),(,2),P F x y P F x y =--=---221200(2)1,PF PF x y ∴⋅=--= 又点00(,)P x y 在椭圆上,所以22001,24x y += 所以224,2y x -=从而2204(2)1,2y y ---=得0 2.y =则点P 的坐标为(1,2).因为直线P A 、P B 的斜率比存在,故不妨设直线P B 的斜率为(0)k k >,则直线P B 的方程为:2(1).y k x -=-由222(1),124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得 222(2)2(2)(2)40,k x k k x k ++-+--=设(,),(,),B B A A B x y A x y则22222(2)2(2)2221,1,222B B k k k k k k x x kkk----+==-=+++同理可得22222,2A k k x k+-=+则242,2A B k x x k -=+28(1)(1).2A B A B k y y k x k x k-=----=+所以直线AB 的斜率2A B AB A By y k x x -==-为定值.【点评】(1)若已知条件中的曲线满足某些特殊位置关系(本例中的倾斜角互补),则与这些曲线相关的点也可能较“特殊”.(2)当两直线的斜率满足120k k +=或121k k =-等关系时，若通过整理运算得到一关于1k 的关系式，关于2k 的关系式即用2k -或21k -代替上式中的1k 便可求的.。
圆锥曲线专题：定点问题中常见4种考法-高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)
圆锥曲线专题：定点问题中常见的4种考法一、常用方法技巧 1、参数无关法把直线或者曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
2、特殊到一般法根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
3、关系法对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
二、手电筒模型解题步骤1、概念：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如AP BP k k ⋅=定值，+AP BP k k =定值），直线AB 依然会过定点，因为三条直线形似手电筒，故称为手电筒模型。
2、解题步骤：第一步：由AB 直线y kx m =+，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围； 第二步：由AP 与BP 关系，得到一次函数()k f m =或()m f k =； 第三步：将()k f m =或()m f k =代入y kx m =+，得到()y y k x x =-+定定. 三、交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤第一步：设其中一条直线的斜率为1k ，求出直线方程；第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示出这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标；第三步：由上述两部，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程； 第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。
四、圆锥曲线的切点弦方程1、过抛物线()220y px p =>外一点()00,M x y 作抛物线的切线，切点弦方程为()00yy p x x =+；2、过椭圆()222210x y a b a b +=>>外一点()00,M x y 作椭圆的切线，切点弦方程为00221x x y ya b +=；3、过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>外一点()00,M x y 作双曲线的切线，切点弦方程为00221x x y ya b-=； 五、几个重要的定点模型1、过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点(),0F c -作两条相互垂直的弦AB ，CD ，若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，则直线MN 恒过定点222,0ac a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论） 2、动点()00,P x y 在直线0Ax By C ++=上，由P 引椭圆22221x y a b+=的两条切线，切点分别是M ，N ，则直线MN 恒过定点22,a A b B CC ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论）3、（1）过椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点20000222,y b x x y m ma ⎛⎫--- ⎪⎝⎭； （2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点0002,2y y x p m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭4、（1）过椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点()()2222002222,b ma x b ma y b ma b ma ⎛⎫++ ⎪- ⎪--⎝⎭（2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点002,p x y m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3、4两个结论对于圆与双曲线也成立，当22b a =时就是圆中的结论，用2b -替代2b 就可得到双曲线中的结论）题型一 手电筒模型恒过定点问题【例1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，且椭圆C 过点()2,1P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点,A B 是椭圆C 上异于点P 的两个不同的点，直线PA 与PB 的斜率均存在，分别记为12,k k ，若1212k k =-，试问直线AB 是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】（1）22+=182x y ；（2）过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，所以28a =，因为椭圆C 过点()2,1P ，所以22411a b +=，24118b+=，得22b =， 所以椭圆方程为22+=182x y ，（2）①当直线AB 的斜率存在时，设其方程为1122,(,),(,)y kx t A x y B x y =+，由22=++4=8y kx t x y ⎧⎨⎩，得222(41)8480k x ktx t +++-=， 222222644(41)(48)820k t k t k t ∆=-+-=-+>，所以12221228+=4+148=4+1kt x x k t x x k --⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 所以121222()241ty y k x x t k +=++=+， 22221212121228()()()41t k y y kx t kx t k x x kt x x t k -=++=+++=+，因为1212k k =-，所以12121212121211()11222()42y y y y y y x x x x x x ---++⋅==----++，所以1212121222()22()4y y y y x x x x -++=-++-，所以2222222824882222441414141t k t t ktk k k k ---⋅-⋅+=-+⋅-++++， 所以222222164824816164t k t k t kt k --++=-+---， 化简得22438210k t kt t ++--=，即(21)(231)0k t k t +-++=， 所以12t k =-或123kt +=-， 当12t k =-时，直线AB 的方程为12(2)1y kx k k x =+-=-+， 则直线过定点(2,1)（舍去）， 当123k t +=-时，直线AB 的方程为1221333k y kx k x +⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 所以直线过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，②当直线AB 的斜率不存在时，设直线为=x m （2m ≠），由22=+4=8x m x y ⎧⎨⎩，得22218m y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以=y所以21222111241(2)442m k k m m m ⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===---+， 解得=2m （舍去），或23m =， 所以直线也过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上，直线AB 恒过定点21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式1-1】已知直线2y =与双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>交于A ，B 两点，F 是C 的左焦点，且AF AB ⊥，2BF AF =. （1）求双曲线C 的方程；（2）若P ，Q 是双曲线C 上的两点，M 是C 的右顶点，且直线MP 与MQ 的斜率之积为23-，证明直线PQ 恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）2212y x -=；（2）证明见解析，直线PQ 恒过定点（-2，0）【解析】（1）因为AF AB ⊥，所以2AF =，4BF =，||AB =设双曲线C 的焦距为2c，由双曲线的对称性知||2AB c ==设双曲线C 的右焦点为F '，则22BF AF BF BF a '-=-==，得1a =，则b ==C 的方程为2212y x -=.（2）由已知得()1,0M ，设直线MP 与MQ 的斜率分别为1k ，2k ，①当直线PQ 不垂直于x 轴时：设直线PQ 的斜率为k ，PQ 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22,1,2y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2222220k x kmx m -+++=，当()22820m k ∆=-+>时，12222km x x k -+=-，212222m x x k +=-，那么()()()()()()()()2121212111212121212211111kx kx k y y m m x x km x x k k x x x m x x x x x ===----+++++-++ ()()()()()222222222222222222312222k m k mm k m k m k m k k m kmk mk m k k -++----====-++++-+-+， 得2m k =，符合题意.所以直线PQ 的方程为()2y k x =+，恒过定点（-2，0）. ②当直线PQ 垂直于x 轴时：设(),P t h ，因为P 是C 上的点，所以2222h t =-， 则()()()221222212221311t h t k k tt t +--====----，解得2t =-， 故直线PQ 过点（-2，0）. 综上，直线PQ 恒过定点（-2，0）.【变式1-2】已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，过F 且倾斜角为45︒的直线交抛物线于A ，B 两点，||8AB =. （1）求抛物线的方程：（2）已知()0,1P x -为抛物线上一点，M ，N 为抛物线上异于P 的两点，且满足2PM PN k k ⋅=-，试探究直线MN 是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.【答案】（1）24y x = （2）过定点，9,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（1）由已知,02PF ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2p y x =-联立直线与抛物线222y px p y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消y 可得，22304p x px -+=， 所以3A B x x p +=，因为||A B AB x x p =++4p =8=，所以24p =，即抛物线的方程为24y x =.（2）将()0,1P x -代入24y x =可得1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不妨设直线MN 的方程为(0),x my t m =+≠()11,,M x y ()22,N x y ，联立24y x x my t⎧=⎨=+⎩，消x 得2440y my t --=，则有124,y y m +=124,y y t =-21616m t ∆=+， 由题意1212111144PM PN y y k k x x ++⋅=⨯--124411y y =⨯--()1212161y y y y =-++2=-， 化简可得，94t m =-，代入21616m t ∆=+29164m m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭21163202m ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭此时直线MN 的方程为9(1)4x m y =-+，所以直线MN 过定点9,14⎛⎫⎪⎝⎭.【变式1-3】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，12,F F 为C 的左、右焦点，M 为C 上任意一点，12MF F S 最大值为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设不过点F 2的直线l ：y ＝kx +m （m ≠0）交椭圆C 于A ，B 两点．若x 轴上任意一点到直线AF 2与BF 2距离相等，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析，定点坐标为()2,0【解析】（1）由抛物线的方程24y x =得其焦点为()10，，则1c =， 当点M 为椭圆的短轴端点时，12MF F △面积最大，此时121212MF F Sc b =⋅⋅=，则1b =，所以a =故椭圆的方程为2212x y +=.（2）联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()222124220k x kmx m +++-=，()()()22222216412228210k m k m k m ∆=-+-=-+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，1122121122,1111y kx m y kx mk k x x x x ++====----，由题意可得120k k +=，1212011kx m kx m x x +++=--，即()()1212220kx x m k x x m +-+-=， ()2222242201212m km k m k m k k -⎛⎫⋅+-⋅--= ⎪++⎝⎭，解得2m k =-， 所以直线l 的方程为()2y k x =-，故直线l 恒过定点，该定点坐标为()2,0题型二 切点弦恒过定点问题【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是直线420y x =-+上的动点，过点P 做椭圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【答案】（1）221124x y +=；（2）是过定点，定点为121,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）由题意得2221222,c a b c a b ⎧=⎪⎪⨯⋅=⎨⎪=-⎪⎩解得22212,4,8,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的标准方程为221124x y +=．（2）当椭圆C 的切线斜率存在时，设点()11,M x y ，()22,N x y，1x ≠±2x ≠±(),420P d d -+， 切线PM 的方程为y kx m =+．联立22,1,124y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()2221363120k x kmx m +++-=．因为直线PM 与椭圆C 相切，故()()2222364133120k m k m ∆=-+-=，即22124m k =+，1223312134km km kx m k m --===-+，2221112124k m k y kx m m m m m-=+=-+==， 所以14m y =，113x k y =-，则切线PM 的方程为11143x y x y y =-+，即11312x x y y +=， 同理，切线PN 的方程为22312x x y y +=．当椭圆C的切线斜率不存在时，切点()或()-，当切点为()时，切线为x =3012y +⨯⨯=；当切点为()-时，切线为x =-3012y -+⨯⨯=． 又切点()11,M x y ，()22,N x y ，则切线PM 方程为11312x x y y +=， 切线PN 方程为22312x x y y +=．因为直线PM 与直线PN 相交于点P ，故()()1122342012,342012,x d y d x d y d ⎧+-+=⎪⎨+-+=⎪⎩由两点确定一条直线有直线MN 的方程为()342012xd y d +-+=， 整理得()1260120d x y y -+-=，联立120,60120,x y y -=⎧⎨-=⎩解得12,51,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故直线MN 过定点121,55⎛⎫⎪⎝⎭．【变式2-1】如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A（1）求椭圆C 的方程;（2）若过点A 作圆222:(1)(01)M x y r r ++=<<的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点若是，求出该定点;若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y += （2） 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】（1） 椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A∴可得2221b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,1a b ==∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）设切线方程为1y kx =+r =即()2221210r k k r --+-=设两切线,AB AD 的斜率分别为()1212,k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，根据韦达定理可得:121k k ⋅=由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消掉y 得:()221480k x kx ++=设()()1122,,,B x y D x y∴ 211112211814,1414k k x y k k -=-=++同理可得222121222222212188144,144144k k k k x y k k k k --=-=-==++++221122211111122114144141883414BDk k k k k k k k k k k ---+++==--+++∴∴直线BD 方程为2211122111141814314k k k y x k k k ⎛⎫-+-=-+ ⎪++⎝⎭ 令0x =，得()2221111222111114185205143143314k k k k y k k k k -+---=+⨯==-+++，∴ 故直线BD 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式2-2】抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 是椭圆22134x y +=的一个焦点．（1）求C 的准线方程；（2）若P 是直线240x y --=上的一动点，过P 向C 作两条切线，切点为M ，N ，试探究直线MN 是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由. 【答案】（1）1y =-；（2）直线MN 恒过定点(1,2)Q .【解析】（1）椭圆22134x y +=的焦点坐标为(0,1)和(0,1)-，又因为C 的焦点在y 轴正半轴上，所以C 的焦点坐标为(0,1)， 从而准线方程为1y =-；（2）由（1）知C 的方程为24x y =，即为24x y =，则2x y '=，设00(,)P x y ，切点11(,)M x y ，22(,)N x y ， 从而切线PM 方程为1111()2y y x x x -=-，即1112y x x y =-， 同理切线PN 方程为2212y x x y =-分别代入00(,)P x y 有010*******12y x x y y x x y⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 从而11(,)x y 和22(,)x y 均满足直线方程0012y xx y =-， 所以直线MN 的方程为0012y xx y =-，即0012y x x y =-， 又因为00(,)P x y 在直线240x y --=上，所以00122y x =-，所以直线MN 的方程为01(1)22y x x =-+， 从而直线MN 恒过定点(1,2)Q .【变式2-3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)F ，点P 到点F 的距离比点P 到直线3y =-的距离小1，记P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）在直线2y =-上任取一点M ，过M 作曲线C 的切线12l l 、，切点分别为A 、B ，求证直线AB 过定点．【答案】（1）28x y =；（2）证明见解析【解析】（1）设曲线C 上任意一点P 的坐标为(,)x y ，由题意知3y >-(3)1y =+-，即222(2)(2)x y y +-=+，化简得28x y =，所以曲线C 的方程为28x y = （2）证明：设222121,,,88x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB l 的方程为y kx n =+，联立方程28y kx n x y=+⎧⎨=⎩，整理得2880x kx n --=，所以264320k n ∆=+>，且12128,8x x k x x n +==-，又由28x y =，即28x y =，可得4x y '=，所以抛物线C 在点A 处的切线1l 的方程为()211148x x y x x =-+，即21148x x y x =-，同理直线2l 的方程为22248x x y x =-，联立方程2112224848x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得128x x y =， 又因为直线1l 与2l 的交点恰好在直线2y =-上，所以1228x x =-，即1216x x =-， 所以12816x x n =-=-，解得2n =.故直线l 的方程为2y kx =+，所以直线l 恒过定点()0,2题型三 相交弦中恒过定点问题【例3】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点P ⎝⎭在E 上. （1）求E 的方程；（2）过点2F 作互相垂直且与x 轴均不重合的两条直线分别交E 于点A ，B 和C ，D ，若M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，证明：直线MN 过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析【解析】（1）设122F F c =，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以b c =，因为点P ⎝⎭在E 上，所以2223144a b +=，又222a b c =+， 解得222,1a b ==，所以E 的方程为2212x y +=.（2）由（1）知2(1,0)F ，由题意知直线AB 和直线CD 的斜率都存在且不为0，设直线AB 方程为：1(0)x my m =+≠，与E 的方程联立221,21,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 并整理，得()222210m y my ++-=，且()224420m m ∆=++>，设()()1122,,,A x y B x y ，则12222m y y m +=-+，所以()12122422x x m y y m +=++=+， 所以点M 的坐标为222,22mm m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为AB CD ⊥，则直线CD 的方程为11x y m=-+， 同理得2222,2121m m N m m ⎛⎫⎪++⎝⎭，当22222212m m m ≠++，即1m ≠±时，直线MN 的斜率()22222232122221212MNm mm m m k m m m m +++==--++， 所以直线MN 的方程为()222322221m m y x m m m ⎛⎫+=- ⎪++-⎝⎭，所以()()()()2222222213232222212132m m m m y x x m m m m m m ⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=--=-- ⎪+++--+⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因为()()()()()()222222221621222223323232m m m m m m m -+-++===++++， 所以直线MN 的方程即为()232321m y x m ⎛⎫=-⎪-⎝⎭，显然直线MN 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭； 当22222212m m m =++，即1m =±时，则2121,,,3333M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或2121,,,3333M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时直线MN 的方程为23x =，也过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，直线MN 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.【变式3-1】在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到点()2,0F 的距离与它到直线32x =的距离P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l .1l 交曲线C 于A ，B 两点，2l 交曲线C 于S ，T 两点，线段AB 的中点为M ，线段ST 的中点为N ．证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）2213x y -=；（2）证明见解析，直线MN 过定点()3,0【解析】（1）设(),P x y， 化简得曲线C 的方程为2213x y -=.（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，①若直线1l ，2l 都存且不为零，设直线1l 的方程为()2y k x =-，则直线2l 的方程为()12y x k=--，由()22213y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，得()222231121230k x k x k --++=， 当2310k -=时，这个方程变为470x -+=只有一解， 直线1l 与曲线C 只有一个交点，不合题意，当2310k -≠时，()()()42221444311231210k k k k ∆=--+=+>，直线1l 与曲线C 恒有两个交点，由韦达定理， 21221231k x x k +=-，故线段AB 的中点为222623131k k M k k ，⎛⎫⎪--⎝⎭，同理，线段PQ 的中点为226233k N k k ，-⎛⎫⎪--⎝⎭， 若1k ≠±，则()2222222223136631313MNk kk k k k k k k k +--==----， 直线MN 的方程为()2222263331k k y x k k k ⎛⎫+=- ⎪---⎝⎭，即()()22331k y x k =--， 此时，直线MN 恒过点()3,0．若1k =±，则()3,1M ，()3,1N -或()3,1M -，()31N ,，直线MN 的方程为3x =， 此时直线MN 也过点()3,0，②若直线1l ，2l 中其中一条的斜率为0，另一条的斜率不存在， 不妨设1l 的斜率为0，则直线1l ：0y =，2l ：2x =x ＝2， 此时，直线MN 的方程为0y =，此时，直线MN 也过点()3,0， 综上，直线MN 恒过点()3,0．【变式3-2】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>A ，右顶点为B ，上顶点为C ，ABC的内切圆的半径为4． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）点M 为直线:1l x =上任意一点，直线AM ，BM 分别交椭圆E 于不同的两点P ，Q ．求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）2214x y +=；（2）()40，. 【解析】（1）ABC的内切圆的半径为4，2,,,AB a AO a OC b CB AC ====由等面积法得 11112222AC r CB r AB r AB OC ∴⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯，22111222222a b r ar ab +⨯⨯+⨯=⨯， 32223c a b c a ==+，解得2a b =， 22111222222a b r ar ab +⨯⨯+⨯=⨯得1,2b a ==.综上所述椭圆E 的标准方程为：2214x y +=.（2）设()()1122(1,),,,,M t P x y Q x y ，则直线AM 的方程为()23t y x =+与2214x y +=联立， 解得22281812,4949t t P t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭ 同理可得222824,4141t t Q t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.则直线PQ 的斜率为22222221242494181882434941t tt t t t t t t t -++=--+-+-++， 所以直线PQ 的方程为：2222122818494349t t t y x t t t ⎛⎫-+-=-- ⎪+++⎝⎭，即22(4)43ty x t =--+ 故直线PQ 恒过定点，定点坐标为()40，.【变式3-3】双曲线221169x y -=，过点P （5，0）的直线AB 和CD 相互垂直（斜率存在），M 、N分别是线段AB 和线段CD 的中点．求证：直线MN 过定点．【答案】证明见解析【解析】设AB 直线为(5)y k x =-，112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，可得0121()2x x x =+且0121()2y y y =+，由22111169x y -=，22221169x y -=，两式相减得到12121212916y y y y x x x x +-⋅=+-，即00916y k x ⋅=， 又由0011916(5)y k x y k x ⎧⋅=⎪⎨⎪=-⎩，解得211228045,169169k x k y k k ==--，即2228045,169169k k M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 当0k ≠时，将上式M 点坐标中的k 换成1k -，同理可得228045,169169k N k k -⎛⎫⎪--⎝⎭． ①当直线MN 不垂直于x 轴时，直线MN 的斜率()222222454571691698080161169169MNk kk k k k k k k k +--==----， 其方程()22245780169169161k k y x k k k -⎛⎫-=- ⎪---⎝⎭，化简得278016(1)7k y x k ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭， 此时直线MN 过定点80,07⎛⎫ ⎪⎝⎭．②当直线MN 垂直于x 轴时，2228080169169k k k =--，此时1k =±，直线MN 也过定点80,07⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上所述，直线MN 过定点80,07⎛⎫⎪⎝⎭．题型四 动圆恒过定点问题【例4】如图，已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>，其左､右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于第一象限的点P ，且121sin 3PF F ∠=.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于,A B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，()0,1.【解析】（1）法一：2121211sin ,23PF PF F PF PF a PF ∠==+=，123,22aPF a PF ∴==,222212112,2,PF F F PF F F c +==a ∴=，221a c =+,1,c a ∴=∴椭圆方程为：22 1.2x y +=. 法二：设()0,P c y ，代入椭圆方程，由221a c =+，解得201PF y a==， 21211sin ,3PF PF F PF ∠==1123,2,PF PF PF a a∴=+=a ∴=∴椭圆方程为：2212x y +=.（2）设动直线l 的方程为：13y kx =-，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()22416210,39k k x x +--=设()()1122,,,A x y B x y ， 则()()121222416,321921k x x x x k k +==-++，()222166464Δ12160.999k k k =++=+> 由对称性可设存在定点()0,M m 满足题设， 则()()1122,,,MA x y m MB x y m =-=-，由0MA MB ⋅=，可得()()12120x x y m y m +--=， 所以()()221212111033kx x k m x x m ⎛⎫⎛⎫+-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()()2222161411033921321k k k m m k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+--+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()()222613250m k m m -++-=，由题意知上式对k ∀∈R 成立，210m ∴-=且23250m m +-=，解得1m =.∴存在定点M ，使得以AB 为直径的适恒过这个点，且点M 的坐标为()0,1.【变式4-1】已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>1F ，2F ，T 为椭圆C 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知()0,1A ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析【解析】（1）因为椭圆Cc a =. 又当T 位于上顶点或者下顶点时，12TF F △面积最大，即1bc =. 又222a b c =+，所以1b c ==，a =所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）由题知，直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为12y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线l 代入椭圆C 的方程得：()2242430k x kx ++-=，由韦达定理得：122442k x x k -+=+，122342x x k -=+， 直线AM 的方程为1111y y x x -=+，直线AN 的方程为2211y y x x -=+，所以11,01x P y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，22,01x Q y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，所以以PQ 为直径的圆为21212011x x x x y y y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭， 整理得：()()221212121201111xxx xx y x y y y y ⎛⎫++++= ⎪----⎝⎭.①因为()()()121212222212121212412611114211284222x x x x x x y y k x x k x x k k k kx kx -====----++-+++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令①中的0x =，可得26y =，所以，以PQ为直径的圆过定点(0,.【变式4-2】已知定点()1,0A -，()2,0F ，定直线l ：12x =，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N ． （1）求E 的方程；（2）试判断以线段MN 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2213y x -=（0y ≠）．；（2）以线段MN 为直径的圆过定点()2,0和()1,0-．【解析】（1）设(),P x y122x =-，化简可得2213y x -=（0y ≠）．（2）解法1：假设以线段MN 为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在x 轴上，设(),0D t ．设直线BC 的方程为2x my =+，由22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 可得()22311290m y my -++=，由题意知2310m -≠．设()11,B x y ，()22,C x y ， 则1221231my y m +=--，122931y y m =-． 因为直线AB 的方程为()1111y y x x =++，所以点M 的坐标为()1131,221y x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭， 同理()2231,221y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭， 于是()1131,221y DM t x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭，()2231,221y DN t x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭． 由0DM DN ⋅=可得()()212129102411y y t x x ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭，即()212212129102439y y t m y y m y y ⎛⎫-+= ⎪⎡⎤+++⎝⎭⎣⎦， 即2222228113102936493131m t m m m m ⎛⎫--+= ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪--⎝⎭，即219024t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得2t =或1t =-，所以以线段MN 为直径的圆过定点()2,0和()1,0-．解法2：假设以线段MN 为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在x 轴上． 若BC 垂直于x 轴，则()2,3B ，直线AB 方程为1y x =+，所以点M 坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，此时以MN 为直径的圆的方程为21330222x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该圆与x 轴交于点()12,0D 和()21,0D -．下面进行验证．设直线BC 的方程为2x my =+，由22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 可得()22311290m y my -++=，由题意知2310m -≠．设()11,B x y ，()22,C x y ， 则1221231my y m +=--，122931y y m =-． 因为直线AB 的方程为()1111y y x x =++，所以点M 的坐标为()1131,221y x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()2231,221y N x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭． 因为()11133,221y D M x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭，()21233,221y D N x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭， 所以()()()1212112121212999944114439y y y y D M D N x x m y y m y y ⋅=+=+=++⎡⎤+++⎣⎦222228193104936493131m m m m m -=+=⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭． 同理220D M D N ⋅=．所以以线段MN 为直径的圆过定点()2,0和()1,0-．【变式4-3】已知抛物线()2:20C y px p =>与直线:20l x y +=交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为()8,p P y ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作直线m 交抛物线于点A ，B ，是否存在定点M ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点M ．若存在，请求出点M 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）存在,()4,4.【解析】（1）将12y x =-代入22y px =，得280x px -=； ∴882p =，可得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =． （2）设直线():84m x t y -=+，()11,A x y ，()22,B x y ．联立248(4)y x x t y ⎧=⎨-=+⎩，整理得2416320y ty t ---=， 所以124y y t +=，121632y y t =--．假设存在以AB 为直径的圆恒过(),M m n ， 则221212,,044y y MA MB m y n m y n ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 化简得()()222164488432160m t m n t m n m -+--+++-=，令2216404884032160m m n m n m ⎧-=⎪--=⎨⎪++-=⎩，可得4m n ==， 故以弦AB 为直径的圆恒过()4,4．。
定点定值问题
知识模块一几种常见的定点问题知识精讲常见定点问题的求解方法（1）常规联立，求谁设谁例：求直线过定点，则设直线，求出的值，或与的关系即可．（2）求出直线方程，求出定点例：求出直线所经过的两个点坐标（含有参数），表示出直线方程，证明直线过定点．（3）设出定点坐标，根据三点共线验证例：求直线经过轴一定点，可设定点为，根据求解．示例一已知“若点在椭圆上，则在点处的切线方程为”．现已知椭圆和点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，则直线过定点（）A. B. C. D.答案：C解法1解答：设，，则，由在，上得：，，故直线方程为：故直线恒过定点故选：．解法2根据切点弦定理知直线方程为：故直线恒过定点故选：．知识模块二平移齐次求解定点与定值问题知识精讲平移齐次问题的定义与解题方法在圆锥曲线综合问题中，如果一条直线与曲线交于，两点，坐标原点为．设，，且，的斜率存在则，可设直线①曲线方程②将①整体代入②得：③③式可化简为：，即 ,所以，这种整体代入，用韦达定理来表示斜率的方法，叫做齐次问题．但是，如果在平面内存在一点（非原点），且或满足一定关系时，这个时候就需要平移坐标原点至处，平移后曲线方程为（平移后，原坐标系的点坐标都会发生改变），此时，设，，则，．这种先经过平移坐标系，再构建齐次关系，最后用韦达定理表示斜率关系的方法，叫做平移齐次问题．示例二已知直线与抛物线：交于，两点，为坐标原点，若直线，的斜率，满足，则一定过点（）A. B. C. D.答案：A因为直线的斜率可能不存在，但斜率不可能为解答：所以设直线：，，联立，消得：，即所以又所以故直线：恒过点故选：A．。
解析几何中定值和定点问题
解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．【实例探究】题型1：定值问题:例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若为定值.解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1.∴椭圆C的方程为（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为易知F点的坐标为（2，0）.将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2，0）.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得又例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0).1）求椭圆方程2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值（1）a²-b²=c² =1设椭圆方程为x²/（b²+1）+y²/b²=1将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b²-9=0 解得b²=3 （另一值舍）所以椭圆方程为x²/4+y²/3=1（2）设AE斜率为k则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①x ²/4+y ²/3=1 ②①，②联立得出两个解一个是A （1,3/2）另一个是E （x1，y1） ①代入②消去y 得（1/4+k ²/3）x ²-（2k ²/3-k ）x+k ²/3-k-1/4=0 根据韦达定理 x1·1=（k ²/3-k-1/4）/（1/4+k ²/3）③ 将③的结果代入①式得y1=（-k ²/2-k/2+3/8）/(1/4+k ²/3)设AF 斜率为-k ，F （x2，y2） 则AF 方程为y-（3/2）=-k （x-1）④ x ²/4+y ²/3=1 ② ②④联立同样解得x2=（k ²/3+k-1/4）/（1/4+k ²/3） y2=（-k ²/2+k/2+3/8）/（1/4+k ²/3） EF 斜率为（y2-y1）/(x2-x1)=1/2所以直线EF 斜率为定值，这个定值是1/2。
1定点问题
平面解析几何——定点问题经典例题1：已知()2,0A -是椭圆()2222:10xyC a b a b+=>>与圆()22:9F x c y -+=的一个交点，且圆心F是椭圆的一个焦点。
（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 的直线交圆于P Q 、两点，连AP AQ 、分别交椭圆于M N 、点，试问直线M N 是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，请说明理由。
解法一：设点1122(,),(,),:M N M x y N x y l x m y n =+，将直线方程代入22143xy+=，整理化简得222(34)63120,m y m ny n +++-=21212226312,3434m n n y y y y m m --+==++1122(2,)(2,)AM AN x y x y ⋅=+⋅+ =221212(1)(2)()(2)m y y m n m y y n ++++++=()()2272034n n m ++=+ 即2,2()7n n =-=-或舍，故22:,(,0).77M N l x m y =--直线过定点解法二：设22:2,143PA xyl x m y =-+=代入，22(34)120.m y m y +-=得2226812(,),3434m mM m m -++点的坐标为同理设221:2,143PB xyl x y m=--+=代入，得2226812(,);3434m m N mm--++222222212127343468684(1)3434M Nmmm m m k m m m m m --++==----++，222212768:(),344(1)34M N m m m l y x m m m --=-+-+ 227()27,(,0).417M N m x y l m +=--化简故过定点 总结：求直线过定点问题的一般方法方法一：直接设直线方程，通过已知，找出直线特征；方法二：求点坐标，通过点坐标求出直线方程。
解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展解答
专题:解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展【问题提出】1.无论k 取任何实数，直线(1 +4k)x-(2 -3k)y+(2 -14k) =0必经过一个定点，则这个定点的坐标为2.已知直线丨：2ax +by-a +b =0 ；圆C : x 2 + y 2 - 2x-1 = 0 ,则直线I 与圆C 的位置关系为=1(a >■ b A 0)，点A,F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是圆PA 若 ——为常数，则椭圆的离心率为PF过点(1, 0).若对任意的实数 m ,定直线 l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线 I 的方程为.2x + y — 2= 0【探究拓展】2探究1：已知F 1、F 2分别为椭圆 G ：詁+詁=1(a Ab 》。
)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2：x 2=4y 的5焦点，点M是C 1与C 2在第二象限的交点，且阿七.(1) 求椭圆C 1的方程.(2)已知点P(1,3)和圆O ：X 2 +y 2 =b 2,过点P 的动直线I 与圆0相交于不同的两点 A,B ,在线段AB 上取一 点Q ,满足：AP = -A P B ,瓷=Z QB ,( A H 0且A H ±1).求证：点Q 总在某定直线上.4.平面直角坐标系 xOy 中,已知圆C ： x 2+ y 2— (6 — 2m)x — 4my + 5m 2— 6m = 0,直线 I 经 2 2x y3.已知椭圆C : —2 + —2a b2 2 2 O : x + y =b 上的动点,1 4变式1 :在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点A( — 4,0)、B(4,0),动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为①求O M 的方程;直线AF i , AF 2分别交椭圆于点 (1 )求证直线BO 平分线段AC ;(2) 设点P (m , n ) ( m , n 为常数)在直线BO 上且在椭圆外，过P 的动直线(1)求点 p 的轨迹方程;(2)设点 P 的轨迹与y 轴负半轴交于点 C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段 AC 的垂直平分线上，且在 y轴右侧，圆 M 被y 轴截得的弦长为a②当r 变化时，是否存在定直线 I 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线I 的方程；如果不存在，说明理由.2 2X y 变式2 :已知椭圆E : —2 + a b= 1(a Ab >0)的离心率为 弓3 ,它的上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2 ,MP N ,在线段MN 上取点Q ,满足—PN=器，试证明点Q 恒在一定直线上.B ,C .I 与椭圆交于两个不同点 M ,P探究2:平面直角坐标系xoy 中，圆G：(x + 3)2+(y -1)2=4和圆C2：(X-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线I过点A(4,0)，且被圆C I截得的弦长为2J3，求直线I的方程;(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线|1和|2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线|1被圆C1截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.-- ----------- ►A H变式1：在直角坐标系xOy中，点M到点F i(-J3,0)，F2(J3,O)的距离之和为4，点M的轨迹是C，与x轴的负半轴交于点A，轨迹C上有不同的两点P和Q，且AP-AQ-O(1)求轨迹C的方程;(2)直线PQ是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点？若不过定点，请说明理由.变式2:已知圆C:x2+y2=9，点A(—5,0)，直线l :x-2y = 0.(1)求与圆C相切，且与直线I垂直的直线方程;PB (2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B (不同于点A),满足：对于圆C上任一点P ,都有——PA 为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.变式3 :在平面直角坐标系xOy中，已知直线1: 2岳—y+ 3+ 8返=0和圆C1: x2+ y2+ 8x + F= 0.若直线I被圆C i截得的弦长为2j3 .设圆C i和x轴相交于A, B两点，点P为圆C i上不同于A, B的任意一点，直线FA, PB交y轴于M, N两点.当点P变化时，以MN为直径的圆C?是否经过圆C1内一定点?请证明你的结论;变式4:如图，椭圆的中心为原点 O ,离心率e =¥，—条准线的方程为x = 2{2.(1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点P 满足：O P = OM + 2ON ，其中M , N 是椭圆上的点，直线 0M 与ON 的斜率之积为一2,问: 是否存在两个定点 F i , F 2，使得|PFJ +|PF 2I 为定值？若存在，求出 F i , F 2的坐标；若不存在，说明理由.5:已知左焦点为F(— 1 , 0)的椭圆过点E(1 , 亜).过点P(1 , 1)分别作斜率为k i , k 2的椭圆的动弦 3 CD ，设M , N 分别为线段AB , CD 的中点. 求椭圆的标准方程； 若P 为线段AB 的中点，求k i ；若k i + k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.变式 AB ,2 2 X y探究 3 :已知椭圆p +笃=1（a；＞bA0）的左顶点为a b+ y2+ J3x -3y -6 = 0过A, F2两点求椭圆标准的方程; A，左、右焦点分别为F1,F2，且圆X2(2) 设直线PF2的倾斜角为a,直线PF1的倾斜角为3,当a,3- a= I n时证明：点P在一定圆上;3变式设椭圆的上顶点为Q,在满足条件（2）的情形下证明: PQ = PF i + PF2 .1:在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（X—1）2+ y2= 4, P为圆C上一点•若存在一个定圆过P作圆M的两条切线PA, PB,切点分别为A, B，当P在圆C上运动时，使得/ APB恒为60。
2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的定点问题(解析版)
圆锥曲线中的定点问题思路引导处理圆锥曲线中定点问题的方法：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立,k m 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．母题呈现考法1参数法求证定点【例1】(2022·临沂、枣庄二模联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为坐标平面内的一点，且|OP →|＝32PF 1→·PF 2→＝－34，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，直线MA ，MB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π2.证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．【解题指导】【解析】(1)设P 点坐标为(x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)．由题意得x 20＋y 20＝94，x 0＋cx 0－c＋y 20＝－34，解得c 2＝3，∴c ＝ 3.又e ＝c a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝1.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线AB 方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．y 2＝1，kx ＋m ，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又由α＋β＝π2，∴tan α·tan β＝1，设直线MA ，MB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝1，∴y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝1，即(x 1＋2)(x 2＋2)＝y 1y 2.∴(x 1＋2)(x 2＋2)＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，∴(k 2－1)x 1x 2＋(km －2)(x 1＋x 2)＋m 2－4＝0，∴(k 2－1)4m 2－44k 2＋1＋(km －2)28()41kmk -+＋m 2－4＝0，化简得20k 2－16km ＋3m 2＝0，解得m ＝2k ，或m ＝103k .当m ＝2k 时，y ＝kx ＋2k ，过定点(－2,0)，不合题意(舍去)．当m ＝103k 时，y ＝kx ＋103k 10,0)3-，∴直线AB 恒过定点10(,0)3-【例2】（2022·福建·漳州三模）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，M 为l 上一动点，过点M 作抛物线C 的切线，切点分别为,A B .（1）求证：MAB ∆是直角三角形；（2）x 轴上是否存在一定点P ，使,,A P B 三点共线.【解题指导】【解析】（1）由已知得直线l 的方程为1x =-，设()1,M m -，切线斜率为k ，则切线方程为()1y m k x -=+，（2分）将其与24y x =联立消x 得244()0ky y m k -++=.所以1616()0k m k ∆=-+=，化简得210k mk +-=，（4分）所以121k k =-，所以MA MB ⊥.即MAB ∆是直角三角形.（6分）（2）由（1）知1616()0k m k ∆=-+=时，方程244()0ky y m k -++=的根为2y k=设切点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则121222,y y k k ==.因为121k k =-，所以121244y y k k ==-.（10分）设:AB l x ny t =+，【点拨】由M 点出发向抛物线作量条切线，则切点A,B 所在直线与抛物线有两个焦点且其斜率不为零与24y x =联立消x 得2440y ny t --=，则124y y t =-，所以44t -=-，解得1t =，所以直线AB 过定点()1,0P .即x 轴上存在一定点()1,0P ，使,,A P B 三点共线.（12分）【解题技法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【跟踪训练】（2020·新课标Ⅰ卷理科）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．考法2先求后证法求证定点【例4】（2022·全国乙T21）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()0,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．【解题指导】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）斜率不存在时探究定点→设出直线方程→与椭圆C 的方程联立→求HN 的方程→是否过定点.【解析】（1）设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫ ⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.（2）3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得26(1,)3M ，26(1,3N-，代入AB方程223y x=-，可得263,3T+，由MT TH=得到265,)3H.求得HN方程：(223y x=--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P-的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y--+=.联立22(2)0,134kx y kx y--+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k+-+++=，可得1221226(2)343(4)34k kx xkk kx xk+⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34ky ykk ky yk-+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，且1221224(*)34kx y x yk-+=+联立1,223y yy x=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2yT y H y x y++-可求得此时1222112:()36y yHN y y x xy x x--=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y+-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k+++---+--=显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).-【解题技法】(1)定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.(2)以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x1，y1)＝0消参.【跟踪训练】模拟训练（2）方法一：设PQ 方程为x my =()2222234433x my m y my x y =-⎧⇒-+⎨-=⎩以PQ 为直径的圆的方程为(1x x -()(22121212x x x x x x y y y -+++-+由对称性知以PQ 为直径的圆必过()21212120x x x x x x y y -+++=，而()21212212431m x x m y y m +=+-=-()()212121222x x my my m y y =--=22222434931313m x x m m m --∴-++---()()22313510m x m x ⎡⎤⇒-+--=⎣⎦∴以PQ 为直径的圆经过定点(1,0方法二：设PQ 方程为2,x my P =-()22222311233x my m y my x y =-⎧⇒--⎨-=⎩由对称性知以PQ 为直径的圆必过设以PQ 为直径的圆过(),0E t ，()()1210EP EQ x t x t y ∴⋅=⇒--+ 而()()21212122x x my my m y =--=2229122431313m m m m m -=⋅-⋅+=--【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线等于零，得出定点．7．（2023·浙江·模拟预测）已知双曲线为双曲线E的左、右顶点，P为直线(1)求双曲线E的标准方程．(2)直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．理得1112,y y y y +（或1212,x x x x +），代入交点坐标后可得结论，如果是求动直线过定点，则可以引入参数求得动直线方程后，观察直线方程得定点．。
第06讲 定点问题(解析几何)(原卷版)
，求证：直线 MN 过定点，并求出该定点坐标．
斜率之比为定值，第三边过定点 【例5】如图所示，抛物线 C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F (1,0) ．
(1)求抛物线 C 的标准方程； (2)过 F 的两条直线分别与抛物线 C 交于点 A, A1 与 B, B1 (点 B1, A 在 x 轴的上方)．
变量，再进行消元，最后得到不受参数影响的量，就是定值．
1．对直线过定点的理解 如：①直线 y 2 k(x 1) 恒过定点 (1, 2) ； ②对于直线 l : y kx m ，若 m 2k ，则直线方程为 y k(x 2) ，显然 l 过定点 (2,0) ； ③无论 k 取任何实数，直线 (2k 3)x (k 1) y (4k 1) 0 必经过一个定点，则这个定点的坐标为_____． 【解析】直线 (2k 3)x (k 1) y (4k 1) 0 可化为 k(2x y 4) (3x y 1) 0 ，
令
2x 3x
y y
40 1 0
x
y
1 2
，故定点坐标为
(1,
2)
．
2．直线过定点问题的基本解法 方法1：设线法，用两个参数表示直线方程，一般步骤为： ①设直线方程为 y kx m (或 x ny t )，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系； ②结合韦达定理和已知条件，得到 k、b 或 m、t 的关系，或者解出 b、t 的值； ③将②的结果代入 y kx m (或 x ny t )，得到定点坐标． 方法2：解点法，用一个参数表示直线方程，一般步骤为： ①引进参数，根据已知条件，求出直线上两个点 A, B 的坐标(含参)； ②特殊位置入手，找到定点 P (有时可考虑对称性)；
斜率存在，分别记为
第9招 定点问题的常见3种类型
定点问题三种题解析几何定点定值问题是江苏高考的热点考点，一般在高考解答题中出现，因计算要求较高，且处理的思路和方法比较灵活,很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳,力求达到见题即秒的效果.一、圆过定点【例题】设动直线m kx y l +=：与椭圆E ：22143x y +=有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M 若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】 【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y ，得()0124834222=-+++m kmx x k . 因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点()00,y x P ，所以0≠m 且0=∆， 即()()0124344642222=-+-m k m k ，化简得03422=+-m k .(*) 此时m k k km x 434420-=+-=，m m kx y 300=+=，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m k P 3,4 由⎩⎨⎧+==m kx y x 4得()m k Q +4,4． 假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．解法一：设()0,1x M ，则0=•MQ MP 对满足(*)式的m 、k 恒成立． 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=m x mk MP 3,41，()m k x MQ +-=4,41，由0=•MQ MP ， 得0312********=+++-+-mk x x m kx m k ， 整理，得()034441211=+-+-x x m k x .(**) (1,0)M由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以⎩⎨⎧=+-=-0340441211x x x ,解得11=x .故存在定点()0,1M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .解法二：取0=k ，3=m ，此时()30，P ，()34，Q ，以PQ 为直径的圆为()()43222=-+-y x ，交x 轴于点()011，M ，()0,32M ； 取21-=k ，2=m ，此时⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1P ，()0,4Q ，以PQ 为直径的圆为1645432522=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ， 交x 轴于点()0,13M ，()0,44M ．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为()01，． 以下证明()0,1M 就是满足条件的点：因为M 的坐标为()0,1，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛--=m mk MP 3,14，()m k MQ +=43，， 从而0312312=++--=•mk m k MQ MP ， 故恒有MQ MP ⊥，即存在定点()0,1M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .解法三：由对称性可知设与直线 （*） （*）对恒成立， 得.【方法点睛】“解法一”与“解法三” 若直线或曲线过定点，则直线或曲线的表示一定含000(,)(0)P x y y >(,0)Mx 220031434x x y y y k y '+=⇒==⇒=-00000033(1):()(4,)4x x l y y x x Q y y --=--⇒000003(1)0()(4)0(1)(1)(3)x MP MQ x x x y x x x x y -=⇔--+⨯=⇔-=--0(2,2)x ∈-1x ⇔=(1,0)M有参变数，即直线系或曲线系，可将其方程变式为()()0,,=+y x g y x f λ（其中λ为参变量），由()0,=y x f 、()0,=y x g 确定定点坐标.“解法二” 即为赋值法，通过特殊值先求出公共点坐标，然后证明该公共点为定点.二、直线过定点【例题】若直线m kx y l +=：与椭圆C ：22143x y +=相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.【答案】2(,0).7【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-，1212122y y x x ∴⋅=---， 1212122()40y y x x x x +-++=，2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +->当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7【方法点睛】证明直线l 过定点，就是通过垂直寻找k 与m 两个参数之间的关系.即设出A 、B 点坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理，通过“设而不求”的方式建立k 与m 的函数关系，最后根据两个参数之间的函数关系，判断出定点.三、平面过定点【例题】已知圆O ：122=+y x ，点P 在直线:l 032=-+y x 上，过点P 作圆O 的两条切线，B A ,为两切点，（1）求切线长PA 的最小值，并求此时点P 的坐标；（2）点M 为直线x y =与直线l 的交点，若在平面内存在定点N (不同于点)M ，满足：对于圆 O 上任意一点Q ，都有QMQN 为一常数，求所有满足条件的点N 的坐标. 【答案】（1）52min =PA （2）)21,21(N 【解析】（1）设点),(00y x P81251)32(110202*********+-=--+=-+=-=x x x x y x PO PA =54)56(520+-x 故当560=x ，即)53,56(P 时，52min =PA （2）由题：⎩⎨⎧==-+xy y x 032，)1,1(M设),(b a N ，),(11y x Q ，满足12121=+y x 则)0()1()1()()(2121212122>=-+--+-=λλy x b y a x QM QN 整理得：0)31()(2)(22211=-+++-+-λλλb a y b x a ，对任意的点Q 都成立，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=-λλλ3)1(0022b a b a 解得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===212121b a λ，或⎪⎩⎪⎨⎧===111b a λ（舍） 即点)21,21(N 满足题意. 【方法点睛】由⎩⎨⎧==-+x y y x 032可得交点坐标)1,1(M ，设),(b a N ，),(11y x Q 利用QM QN 为一常数，建立等式，根据Q 的任意性，即可求得结论.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解几中的定点问题解法举例湖北老河口一中 安福辉 广阳直线恒过定点问题涉及解析几何的所有知识，综合性强，方法灵活，运算复杂，对能力要求高。
处理此类问题有以下办法。
策略：（1）对于有些直线恒过定点问题，可以先考虑动直线l 的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在动直线l 上。
（2）利用20(,,)at bt c a b c R ++=∈对t R ∈恒成立，则0,0,0a b c ===同时成立。
运用这一原理，可以证明直线过定点。
根据题意，设出变量t ，由2123(,)(,)(,)0f x y t f x y t f x y ++=得123(,)0(,)0(,)0f x y f x y f x y =⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而求得定点。
技巧：通常情况下，我们一般设直线斜率，建立参数方程，但当题目中点较多时 ，我们设点参数，可以使得求解较为简单。
以下举列说明。
1、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22,并且直线y x b =+是抛物线24y x =的一条切线。
(1)求椭圆C 的方程(2)过点S(0,13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,试问：在坐标平面是否存在一个定点T,使得以为AB 直径的圆恒过点T?若存在,求出点T 的坐标；若不存在,请说明理由。
解：(1)由题意易求椭圆方程为21y +=2x 2。
(2)当l 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程为当l 与y 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：221x y +=联立解得x=0,y=1即两圆相切于点(0,1)，因此，所求的点T 如果存在，只能是(0,1) 事实上，点T(0,1)就是所求的点，证明如下：当直线l 与x 轴垂直时，以AB 为直径的圆过点T(0,1)2222214()()331x y x y ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩当直线l 与x 轴不垂直时，可设直线l :13y kx =-由21y +=2x 2,联立,消去y 得：22(189)12160k x kx +--=，记 点1122(,),(,)A x y B x y ，则1221221218916189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-121212122121222244(1)(1)()()33416(1)()391641216(1)039189189TA TB x x y y x x kx kx k x x k x x k k k k k =+--=+--=+-++-=+-+=++ 所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过点(0,1),故存在点(0,1)。
另解：当直线l 与x 轴不垂直时，可设直线l :13y kx =-,设点T(x ，y)由2113y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2x 2消去y 得：22(189)12160k x kx +--=，记 点1122(,),(,)A x y B x y ，则1221221218916189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，则以AB 为直径的圆为2212121212()()0x x x x x x y y y y y y -+++-++=,又12122222212121212222222222221112k 2-18-2y +y =kx -+kx -=k -==33318k +93(18k +9)3(1+2k )1111-16112ky y =(kx -)(kx -)=k x x -k(x +x )+=k -k 3339318k +918k +91-20k 11-18k +=+=,9918k +918k +912k -16-21-1x -x++y +y+18k +918k +93(1+2k )所以222222222228k =018k +918k (x +y -1)-12kx+9(x +y )+6y-15=0x +y -1=0\x=09(x +y )+6y-15=0x=0,y=1⎧⎪⎨⎪⎩，整理得，，解得当l 与y 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：221x y +=,显然过点(0,1)所以存在点(0,1)。
2.设圆Q 过点P(0,2),且在x 轴上截得的弦RG 长为4 (1)求圆心Q 的轨迹E 方程(2)过点F(0,1)作轨迹E 的两条互相垂直的弦AB 、CD,设AB 、CD 的中点分别为M 、N,试判断直线MN 是否过定点?并说明理由. 解：（1）易求方程为24x y =（2）设(,),(,),(,),(,)A A B B M M N N A x y B x y M x y N x y直线AB 的方程为1(0)y kx k =+≠联立24x y =有：2440x kx --=222,21(2,21)2A BM M M x x x k y kx k M k k +∴====+∴+点的坐标为 同理可得：点N 的坐标为2221k k-+（，），直线MN 的斜率为222111M N MN M N k y y k k k x x k k k--+===-+，22121(2)1)k y k x k x k-∴--=--2其方程为，整理得k(y-3)=(k所以无论k 为何值，点(0,3)均满足方程。
03MN ∴直线恒过定点（，）3.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ,其右顶点为A,点B 在双曲线上,且2121212,3,BF F F F A AF BF F ⊥= 的周长为12。
(1)求双曲线的方程(2)若一过点P(4,0)的直线l 与双曲线相交于不同于顶点的两点M,N,且MP PN λ=,问在x 轴上是否存在定点G ,使12()0F F GM GN λ-=?若存在,求出所有这样的点的坐标,若不存在,请说明理由.解：（1）易求双曲线方程为2213y x -=（2）设在x 轴上存在定点0(,0)G x ，由题意设11222211221:4,(,),(,)413(1),,(4,),(4,)45(2)l x ky M x y N x y x ky y x MP PN MP x y PN x y y λ-=-=⎧⎪⎨-=⎪⎩∴≠∆⨯⨯⎧⎪⎪==-=-⎨⎪=⎪⎩∴ 222222122122由得:(3k -1)y +24ky+45=03k -10,=(24k)-445(3k -1)=36k +180>024k y +y =1-3k y y 3k -112210201212121020011120120,(,),(4,0)()0,0(1)4(1)21221,441yy y GM GN x x x x y y F F GM GN F F x x x x x ky ky ky y x y y λλλλλλλλλλλλλλ+==--=--+-=-∙=--+=∴-=-+=≠=+=+-+即由得当时，x 轴上任意一点G 均满足题意。
当时将(1)(2)代入得x 14,0).=01综上所述存在定点G(44.已知点(0,1)A -,点D 在x 轴上,点E 在y 轴正半轴上,点N 满足2,0DN N E A D DN =-∙=(1)求动点N 的轨迹C 方程(2)已知点(1,1)B -,若过点A 的动直线l 交轨迹C 于两点M 、P,直线MB 交轨迹C 与另一点Q.,证明直线PQ 恒过一个定点,并求出定点坐标.解：（1）易求轨迹C 的方程为()2102x y y =≠112233222112112211212122231313313213331313(,2),(,2),(,2)2122,,,2112(),(1)22122,,,2()12()(1)2122()AMPM BQQM M x x P x x Q x x x x x P M A k k x x x x x x x x x x x x B M Q k k x x x x x x x x x x x x x +-∴==-+=+∴=--∴===++-∴++=-++ （2）设点三点共线即即三点共线即即2223232322223222322323233322232323232322102,2()22()(),22()2(11222()2312,22()10210,2132()PQx x k x x x x PQ y x x x x x y x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x -+===+-∴-=+-=++-+=+-+++=+++=-=++=+ （）又直线：即）（）,把（）代入（）得即代入（）得23231(21)()1112x x x x x PQ +++=+++∴-可知直线过定点（，）链接练习：1.已知双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：与椭圆22184x y +=有公共焦点,且以抛物线22y x =的准线为双曲线C 的一条准线,动直线l 过双曲线C 的右焦点F 且与双曲线的右支交于P 、Q 两点(1)求双曲线C 的方程(2)无论直线l 绕点F 怎样转动,在双曲线C 上是否总存在定点M,使MP MQ ⊥恒成立?若存在,求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由.2.已知抛物线24y x =及点P(2,2),直线l 斜率为1,且不过点P,与抛物线交于A 、B 两点(1)求直线l 在y 轴上截距的取值范围.(2)若AP 、BP 分别与抛物线交于另一点C 、D,证明：AD 、BC 交于定点 3.已知直线:30l x y --=,抛物线C 的顶点在原点,焦点在y 轴正半轴上,S 是抛物线C 上任意一点,T 是直线l 上任意一点,若ST 的最小值为0d >时点S 的横坐标为2 (1)求抛物线的方程(2)设R 为抛物线准线上任意一点,过R 作抛物线的两条切线,切点分别为M 、N,直线MN 是否恒过一定点?若恒过定点,请指出定点,若不恒过定点,请说明理由.,参考答案：1、（1）2213yx-=（2）定点M(1,0)-2、(1)10,(2)02b b<≠且定点（，）3、(1)24x y=(2)(0,1)。