概率论教学中的几点认识
概率论知识点
概率论知识点概率论是一门研究随机现象数量规律的数学分支，它在众多领域都有着广泛的应用，如统计学、物理学、工程学、金融学等。
下面让我们来一起了解一些概率论中的重要知识点。
一、随机事件与概率在概率论中，我们首先要理解随机事件的概念。
随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
概率则是用来衡量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围在 0 到 1 之间。
如果一个事件发生的概率为 0，意味着它几乎不可能发生；如果概率为 1，则表示它一定会发生。
计算概率的方法有多种，比如古典概型、几何概型等。
在古典概型中，如果一个试验中所有可能的结果总数为 n，而事件 A 包含的结果数为 m，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
二、条件概率与乘法公式条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
例如，已知今天下雨，明天晴天的概率就是一个条件概率。
乘法公式则是用于计算两个事件同时发生的概率。
假设 P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 同时发生的概率 P(AB) ＝ P(A)P(B|A) 。
三、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式用于计算某个复杂事件的概率。
假设 B1，B2，，Bn 是一组两两互斥且并集为整个样本空间的事件，A 是一个任意事件，那么 A 的概率可以表示为 P(A) ＝ΣP(Bi)P(A|Bi) 。
贝叶斯公式则是在已知结果的情况下，反推导致该结果的各种原因的概率。
它与全概率公式密切相关，可以通过全概率公式推导得出。
四、随机变量及其分布随机变量是用来表示随机现象结果的变量。
它可以是离散的，也可以是连续的。
离散型随机变量的常见分布有二项分布、泊松分布等。
二项分布常用于描述 n 次独立重复试验中成功的次数，例如抛硬币多次，正面朝上的次数就可能服从二项分布。
泊松分布则常用来描述在一定时间或空间内稀有事件发生的次数。
对概率论教学的几点认识和探讨
Байду номын сангаас问题 的能力三个方面介绍 了在教学过程 中的一些经验体会。 关键词 ： 概率论 ； 学； 教 应用
Ａｂｓｒ ｃ ： ｉ ａ ｅ ｔ ｔａ ｈ ｎ ｒ ｃ ｉｅ ｎ ｒ ｄ ｃ ｄ ｉ ｈ ｒ ｃ ｓ ｆ ｔ ａ ｈ ｎ ｘ ｅ ｉ ｎ ｅ ｉ ｏ ｉ ｔ ｒ ｅ ｓ ｅ ｔ ｌ ａ ｎ ｎ ｏ ｔ ａ ｔＴｈ ｓ ｐ ｒ ｗｉｈ ｅ ｃ ｉ ｇ ｐ ａ ｔｃ ｉ ｔｏ ｕ ｅ ｎ ｔ ｅ ｐ ｏ ｅ ｓ ｏ ｅ ｃ ｉ ｇ ｅ ｐ ｒ ｃ ｎ ｓ ｍｅ ｎ ｈ ｅ ａ ｐ ｃｓ：ｅ ｒ ｉ ｇ ｔ ｍｏ ｉ ｚ ｔ ｅ ｐ ｅ ｂｌ ｅ ｈ ｉ ｅ ｔ ｕ ｉｓ ｏ ｈ ｓｕ ｅ ｔ ；ａ ｏ ａ ｅ ｓ ｎ ｎ ，ｅ ｈ ｎ ｅ ｔ ｅ ｒ ｎ ｅ ｓａ ｉ ｇ ｏ ａ ｉ ｃ ｎｃ ｐ ｓ ｆ ｔ ａ ｈ ｎ ａ ｄ ｔａ ｎ ｎ ｔ ｄ ｎ ｓ ｕｓ ａ ｅ ｎ ｌｓｓ ｎ ｈ ｓａ ｍ ｆ ｔ ｅ ｔ ｄ ｎ ｓ ｎ Ｉ ｃ ｌ ｒ ａ ｏ ｉ ｇ ｎ ａ ｅ ｈ ｉ ａ ｕ ｄ ｒ ｔｎｄ ｎ ｆ ｂ ｓｃ ｏ ｅ ｔ ｏ ｅ ｃ ｉ ｇ ｎ ｒ ｉ ｉ ｇ ｓ ｕ ｅ ｔ ｅ ｅ ａ ａ ｙ ｉ ｓ ｏ ｓ ｕ ｓ ａ ｄ ｐ ｏ ｌ ｍ－ ｏｖ ｎ ｂ ｌｔ ｓ ｆ ｉｓ ｅ ｎ ｒ ｂ ｅ ｓ ｌ ｉ ｇ ａ ｉ ｉ ｉｅ Ｋｅ ｒ ｓ ｒ ｂ ｂ ｌｔ ｔ ｅ ｒ ｙ ｗｏ ｄ ：ｐ ｏ ａ ｉｉ ｈ ｏ ｙ ｙ
“ 概率论”是理工科院校的一 门非 常重要 的公共基础课 ，是近代数学的一个重要组 成部 分 ，学好这门课程有助于学生理解现代数 学的 ８ ５ ．７ ４ ２７ 重要本质—— 不确定性 。这门课 程讨论 的内容 ２类 比推理 ， 加强学生对基本 概念 的理解 通 过现实生活中的例子 ， 一方面可 以有助 有别于“ 高等数学 ”“ ，线性代数” 两门数学课 ， 有 良好 的开端 只是成 功的一半 ， 仅有兴趣还 于学生掌握 知识点 ，另外可以培养学生分析 问 自己独特的概念和理论体系 ，在教学过程 中应 从本课程的特点 出发 ， 因材施 教 ， 才能提高教师 不 能学好这 门课 ，重要的还要让学生理解 知识 题 与解决 问题 的能力 。如讲到中心极 限定理 的 在 通过类 比加深 时候 ， 以补充有关保险的例子 ： 可 在人寿保险公 的教学质量和学生的学习效率。下面分别从三 的基本概念 。 归纳知识体系时 ， ０ ０ 个同一年龄的人参加 了同一种保 个方面谈一下 自己在教学过程 中的粗浅体会。 学生对知识 的记忆。如随机变量就是对随机事 司里有 １０ ０ 件 的一般化 ，有时一维随机变量不能完整 的描 险 ， 在一年里 ， 每个人死亡的概率 是 ０ ０ ， ． １参加 ０ １从实际出发 ， 调动学生 的学习积极性 就弓 入了二维随机变量 。 保险的人要年初交纳保费 １０ ， ０ 元 若参保人在 学习兴趣 与学习 的态度是学 好知识 的重 述概率特性 ， Ｉ 又 如概率论 中主要讨 论离散 型和连 续型 这 一年内死亡 ，则死亡家属可 以从保险公司获 要因素，因此在教学开篇是一定要让学生对这 ０ ０元 们课程 的内容感兴趣 ， 从而调动他们的学习积 两类 随机变量 ，对于离散 型随机变量主要用概 赔偿 金 ２ ０ ，求保 险公 司一年 内亏本的概 对于连续 型随机变量 ， 主要用密 率 。通过一些典型的实例引导学生从理论与实 极性 。比如上课时先介绍一下这 门课程在现实 率 函数来描述 ， 事 生活中的一些模型。 在生活中 ， 常常遇到商家的 度 函数来描述 ， 实上概率 函数和密度函数在 际联系 中理解和掌握数学 知识 ，另外还可以引 促销活动 。 某商场为了销售一批库存的洗发水 ， 描述 随机 变量的过程 中充 当的角色是一样 的 ， 导学生应用理论去解决 问题 ，从而培养学生的 数学应用能力。 采用 了如下的策略 ： 商家在一个盒子里放 ２ 个 都要求具有非负性 和规范性 。 Ｏ 类 比推理是学习的一个重要方法 ， 过类 通 参 考 文 献 乒乓球 ， 中 １ 个球上标有数字 ｌ ，其余 １ 其 ０ ０ ０ １张德然． 率论思 维论『 ． 肥 ： 概 Ｍ１ 合 中国科 学技 个球上标有数字 ５ ，现让顾 客从这个盒子 中取 比可以串联不 同层次 的类似 内容 ，帮助 学生理 ［］ 术 大学 出版社，０ ５１０ １４ ２ ０ ：０ — ２ ． １ ０个球 ， 把取出的 １ ０个球上的数字相加 ， 若数 解 与 记 忆 。 ３运用案 例教学 培养学 生分析 问题和解 【】 ２盛骤 ， 谢式千 ， 潘承毅． 概率论与数理统计ｆ ． Ｍ１ 字之和是 １ ， ０ 则商家送顾客一 台价值 ２ ０ 元 ０ ８０ 北京 ： 高等教 育出版社 ，０ １ ４— ５ ． ２０： ７１３ １ 的彩 电； 数字之和 是 ５ ， 商家送顾 客一套 决问题 的能力 若 ０则 价值 １ ０ 的音 响； ８ 元 ０ 若数 字之和是 ９ ， ５ 则商家 送顾客一件价值 １ ０ 的电热器 ；若数字之和 （ ２元 上接 ５ ７页） 控系统来实现 ， 可提高产品的精 车床为例， 在结构与重量 占 绝大部分的床身 、 主轴 是 ５ ，则商 家送顾客一 件价值 １０元 的电热 度和质量， 【 ５ ０ 减！ 产品的 品率和机床的故障率． ＞ 次 就 箱和尾座等零件都能再利用，而这些铸铁件年代 毯； 若数字 之和是 ９ ， 商家送顾 客一件 价值 加工复杂程度 、 ０则 数控机床投资费用和生产批量而 愈久 ， 然时效愈充分， 自 内应力的消除使得精度比 ３ 元 的衬 衣 ； ０ 若数字之 和是 ６ ， ０ 则商家送顾 客 言 ， 加工同一要求的工件 ， 工件复杂程度和精度愈 新铸件更稳定。从另一方面来说 这些 占机床总重 套价值 ３ Ｏ元的 内衣 ； 若数字之 和是 ８ 则商 高 ， ５， 数控机床功能越强， 生产批量越大 ， 采用数控 量高达 ８％的铸铁件的重复使用厩 节约了 ５ 社会资 家送顾客一条价值 ３ 的毛 巾； 数字之 和是 机床的效益越明显 ， 元 若 具体对比分析如表 １ 所示。 源， 又减少了重新生产铸铁件时对环境的污染＇ ｛ 土 ６， ５ 则商家送顾客一块价值 ３元的香皂 ； 数字 若 ５ 数控改造 的社会效益分析。由于机床本身 会效益十分显著。机床零件利用情况如表 ２ 所示。 之 和是 ８ ，则商 家送顾客一 个价值 １ 的牙 的特点 ， Ｏ 元 ６结论 机床改造所利用的床身 、 立柱等基础件都 刷； 若数字之和是 ７ ， ０ 则商家送顾 客一包价值 １ 是重而坚固的铸铁构件， 而不是那种焊接构件。以 机床数控改造是提高机床数控化率的既经 元 的面 巾纸 ； 但是 若数字 之和是 ７ ， ５ 则顾客需 济又见放快的途径。 普通胡床经数控改造后 ， 更适 表 ２ 机床 数控 改造前 后部 分 对比 用２ Ｏ元买商家一瓶洗发水（ 成本 ｌ Ｏ元 ） 。顾客 合加工复杂形状的零件， 同时能用于批量生产 ， 数 改造前 改造后 遇到这种情况会蜂涌而至 ，想反正 最坏 的是 控改造既可以延长机床产品的使用寿命 ， 提升机 梯形螺纹丝杠 滚 珠丝杠 花２ Ｏ元买一瓶洗发水 ， 运气好的话 ， 可能会 中 床产品的性能 ， 又节约能源 ， 实现废 品资源化 ， 从 旧机床 电柜 机床 电柜 大奖呢？事实上 ，这是商家的一种策 略。若有 而有效保护环境。 照明系统 日光灯 管 ５０ ０ ０个人参 加了这种活动 ， 则商家的平均收益 参 考文献 刀 架 四工位 电动 自转刀架 是（ 见公式 １ ） ［ 张立新等． Ｃ １ 普通车床改造成教学型数控 １ ］ 将 ６５ 公式 １ 即表 明商家若 能吸引 ５ ０ 名顾客 ００ 进给箱 、溜 板箱 车床的实践 机床与液压 ，０ １ ２０． 来参加这种活动 ，则商家不仅可 以销售库存 的 明兴祖． 数控加工技术 １ ． 北京 ： 化学工业出版 冷 却系统 冷却系统 商品 ， 而且还赚了不少。 社 ，０ ３ １ ２ ０ ．． 润滑 系统 润滑系统 从这个生 活中的例子 ， 以让学 生明 白这 可 【杨俊廉． ３ 】 机床数控系统课程设计指导书 北京： 床身 、主轴箱 、尾箱 等 床身、主轴箱 、尾箱 等 门学科 的应用 ， 而激发他们 的学习兴趣 ， 从 调动 中国科学 技术 出 版社， ９ ． １ １ ９ 数控 系统装置 他们学 习积极性 ， 这样 为学生学好这门��
概率论与数理统计课程总结
概率论与数理统计课程总结概率论的重要观点和关键发现1. 概率的定义概率是描述不确定性的数学工具，它告诉我们一个事件发生的可能性程度。
概率可以用来描述随机试验的结果，并帮助我们理解事件发生的规律。
2. 概率的公理化定义概率的公理化定义由科尔莫哥洛夫公理系统提出，包括三个公理：非负性（概率值非负）、规范性（样本空间的概率为1）和可加性（互斥事件的概率加起来等于它们分别的概率之和）。
3. 随机变量随机变量是概率论中的一个重要概念，它将样本空间中的元素映射到实数集上。
随机变量可以是离散型的（取有限或无限个值）或连续型的（取某一区间内的任意值）。
4. 概率分布随机变量的概率分布描述了随机变量取各个值的概率，可以用概率质量函数（对于离散型随机变量）或概率密度函数（对于连续型随机变量）来表示。
5. 期望和方差期望是随机变量的平均值，反映了随机变量的中心位置。
方差是随机变量离其期望值的平均偏离程度，反映了随机变量的离散程度。
6. 大数定律大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件的频率会趋近于其概率。
这意味着随机事件的长期平均结果会逼近理论结果。
7. 中心极限定理中心极限定理指出，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。
这是由于多个独立随机变量之和的分布趋近于正态分布。
数理统计的重要观点和关键发现1. 统计推断统计推断是通过样本数据对总体特征进行推断的方法。
它分为参数统计推断和非参数统计推断。
参数统计推断是假设总体具有某种概率分布，并对总体参数进行估计和假设检验。
非参数统计推断则更加自由，不需要对总体分布作出假设。
2. 抽样分布抽样分布是随机抽样统计量的概率分布。
它的性质决定了参数的估计和假设检验的准确性。
常见的抽样分布有正态分布、t分布、卡方分布和F分布。
3. 置信区间置信区间是对总体参数的一个范围估计，反映了估计的不确定性。
置信区间的计算方法依赖于样本数据和抽样分布的性质。
4. 假设检验假设检验是用来检验关于总体参数的假设是否成立的统计方法。
概率论与数理统计课程教学的几点思考
著名的“ 日问题” 生 。在《 红楼梦》 ６ 第 ２回中， 探春 说道 ： “ 一年十二个月， 月月有几个生 日。人多了就 这样巧， 也有三个一日的， 两个一 日的。” 这里叉 可引伸出一道概率问题 在多少个人 中至少有两个 同一天过生 日的概率超过 ｏ ？ ｊ 直觉往往会欺骗 我们 ， 这个问题的答案仅为 ２ 大大出乎多数人 ３， 的意料。现将问题转化为冷 Ａ ｆ ｎ个人中至少 ＝在 两人同一天过生 日 ， １ 求事件 Ａ的概率， 则有
引言
概率论与数理统计作为研究 随机性现象的 数学分支， 近年来得到了广泛的应用， 概率论与数 理统计的知识与方法已经成为许多学科不可缺少 的工具 ， 如金融 、 保险 、 管理 、 生命科学 、 人工智能 和计算机网络等。概率论与数理统汁课程也是高 等师范 院校数学与应用数学专业的专业主干课 程， 作为培养学生认识 、 理解随机性现象的－ Ｉ专 －＇ ］ 业基础课 ， 也得到学生和教师的重视。 但在学习该 课程时 ， —个普遍的感觉是， 内容抽象和思维方法 的不适应。这主要是由于在教学过程中 过分强调 书本知识的传授， 过多的繁杂的推理证明过程 ， 教 学过程中过于注重数学的推导和计算而忽略了应 用的背景。为了让学生不仅能够学到一些重要 的 数学概念、 方法和结论 ， 尤其能理解概率与统计 的 数学思想和思维方法， 并通过实践真正掌握解决 些随机现象的能力。 我们尝试在《 概率沦与数理 统计 断璧 教学中从以下几个方面改进 ： １ 重视应用实例讲解 ， 丰富教学内容 ， 激发学 生的学习兴趣 概率论 与数理统计课程 的传统教学方法重 视理论的系统性 ， 对结论由来强调详细的推导与 证明， 学生的主要精力集 中在严谨、 华美的理论推 导与证明上 ， 轻视了理沦联系实际、 把学到的理论 知识用到实际中 解决实践中的概率论与数理统计 问 题的学习。 传统教学方法的教学效果是， 学生学 习该门课程后普遍认为 “ 概率论与数理统计知识 有用 ， 但学了 不会用 ！ 。 ” 因此 ， 在概率与数理统计 知识越来越广泛直用于社会、 、 经济 生活的各个领
高中数学概率部分的几点思考
高中数学概率部分的几点思考为了全面贯彻素质教育，培养德、智、体、美全面发展的社会主义事业的建设者和接班人的教育方针，适应当前科学技术的迅猛发展，国际竞争日趋激烈、信息技术广泛应用的新形势，国家教育部开展了新一轮基础教育课程改革。
作为一线教师，在施教过程中发现新教材从内容到形式上都作了较大的改革，内容上删除了部分过于陈旧、繁琐的知识点。
形式上对原有知识体系进行了适当的调整。
如把数列一章列在函数之后，突出了数列的函数思想，对于高中阶段加强学生的基本数学思想很有益处。
同时，新教材中又增添了几部分内容，概率就是其中之一，对于这部分内容，发现几点知识内容及体系上的优点值得思考。
一、加入概率论与数理统计的必要性在前面所说的大环境下，我们很有必要把概率论与数理统计加进试验本教材中来。
落实具体，概率论是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的规律性的数学分支，二十一世纪以来，由于社会、生产和科学技术的飞速发展，概率论以它基础的数理统计，应用日益广泛，已渗透到整个社会的方方面面，尤其是现在，几乎每个大型企业、公司都需要对概论有颇深造诣的人才。
而且在大学中，几乎所有的专业都把概率论作为必修课，它是应用数学的一个重要分支。
二、概率论的理论基础是什么数学的基础是集合，几乎所有的数学分支，每一门学科都是从集合论开始研究的，概率论也不例外。
概率论就是从集合角度出发，研究大量的随机现象的规律性的一门学科，故在新教材的第一章中加入简单的数理逻辑是很科学的，使之能为概率论的研究服务。
但在有关概率的教材、教学用书中对集合作为概率的基础无从谈起，虽然在教材注脚中引用了许多的文氏图，但在教材中始终未见集合的运算，如概率论中最重要的交集、并集、差集，这就要求中学教师要从集合的角度出发，广泛应用文氏图这一工具来进行教学。
三、古典概型问题新教材中把排列、组合问题排在概率之前是很有必要的，只有掌握了排列、组合中的基本问题，才能更好的学习概率，而古典概型就是在排列、组合的基础上研究某一随机现象发生的概率，教材中对这一问题的安排很具合理性。
信息专业概率统计教学的几点思考
信息专业概率统计教学的几点思考概率论与数理统计是研究大量随机现象统计规律性的学科，广泛应用于自然科学、社会科学等领域，是信息与计算科学专业一门重要的基础课，其教学目的在于培养本专业学生应用统计方法解决实际问题的能力，使学生掌握概率论的基本知识，理解统计方法的基本，具有一定的统计应用能力。
在以信息专业的学生为授课对象的概率论与数理统计的教学过程中，如何进行教学，才能提高教学质量，使学生更好地掌握处理随机现象的基本理论和方法，培养他们解决某些实际问题的能力，这是每一位授课都需要认真思考的问题。
本文中，笔者结合自己的教学实践和教学经验，提出以下尝试性的建议：一、激发学生的学习兴趣课前备课是每一门学科教学过程中必不可少的第一步，概率论与数理统计的教学也一样。
理论知识不仅来源于生活，更能广泛应用于生活。
因此，在实例的选择上，不但要选取那些贴近生活的例子，而且还要选取学生既感兴趣又容易接受的例子。
如在讲“二项分布”时，可以选取这样的例子：某试卷由5道选择题组成，每道题有4个选项，其中只有一个选项是正确的。
若某学生对试卷内容一无所知，问该学生能及格的概率有多大？这个问题是学生非常关注的问题，答案是0.088。
从这一结果可以看出，1/ 4若对试题的内容一点不了解，即使在试题全部为选择题的情况下，想及格也几乎是不可能的，更不用说存在填空题和解答题的情况了。
通过这个例子告诫学生，在平时的学习中要踏踏实实，不能弄虚作假，抱有侥幸心理。
二、加强学生对基本概念的理解概率统计作为应用数学的一个分支，它的概念、公式、定理很多，题目难度大，而且还要用到以前课程的内容，如“数学分析”等，如果对前面的旧知识掌握得不好，学生学起来就会感到吃力。
例如：在讲解“随机变量”时，学生往往感觉离散型随机变量比较容易，而连续型随机变量比较抽象、不容易理解。
此时就要充分利用离散型随机变量与连续型随机变量的内在联系，可以从分布律具有的性质推知概率密度函数具有的性质。
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是数学中重要的一个分支领域，它使用数学方法研究随机现象的发生的概率，为我们研究和预测未来的发展提供可靠的依据。
本文旨在总结概率论的主要知识点，以供大家参考。
首先，概率的概念是概率论的基础。
概率是衡量一件事情发生的可能性的数字，它是描述不确定事件发生的概率的度量。
概率可以以0到1之间的数值来表示，0代表完全不可能发生，1代表一定发生，0.5代表可能发生。
其次，概率分布是概率论中的另一个重要概念。
概率分布是一个数学模型，用来描述一组数据中每个取值的概率。
其中常见的概率分布有高斯分布、泊松分布和指数分布等。
再说，条件概率也是概率论中的重要概念，它是“在已知一个条件的情况下，另一个条件发生的概率”的定义。
它与联合概率有关，联合概率是两个或多个事件同时发生的概率，它可以通过条件概率计算。
此外，抽样分布是概率论中另一个重要概念，它描述的是一个统计样本的概率分布，如正态分布、均匀分布等。
抽样分布中有重要的中心极限定理，它指出随着样本大小的增加，样本的分布会趋于正态分布。
接下来，统计推断也是概率论中的重要概念，它是指从一小部分数据中推断出全体数据概率分布的过程，它包括推断均值和概率分布等。
统计推断常用统计检验来进行，如卡方检验、t检验等。
最后，蒙特卡罗方法是概率论中一种重要的数值方法，它用于估算概率分布或积分的近似值。
它使用随机数来模拟现实情况，可以得出期望的推断，是一种比较精确的方法。
总的来说，概率论是一门复杂而又重要的数学学科，它研究随机现象的概率和不确定性的模型，研究的内容包括概率的定义、概率分布、条件概率、抽样分布以及蒙特卡罗方法等。
概率论的运用非常广泛，为人们预测未来发展提供了可靠的依据，也是目前许多领域发展的基础。
在教学中培养学生科学思维的几点认识——以《概率论与数理统计》教学为例
［ 文献标识码 ］Ａ ［ 文章编号 ］１７ ６２—８ ７ ２ １ ）０ ８ ４（０ ２ ２—０ ０ １０—０ ３
［ 中图分类Ｏ ｐ ｎ ｏ ｓ ａ ｕ ｌｉ ａ ｉ ｈｅ Ｓ ｕｄ ｎｔ Ｓ Ｓｃ ｅ ｔｆｃ Ｔｈｉ ｉ ｏ ｉ ｉ ｎ ｂｏ ｔ Ｃｕ ｔｖ ｔｎｇ ｔ ｔ ｅ ’ ｉ ｎ ｉ ｉ ｎｋ ｎｇ
学会学习 ，成 为可持 续发 展的社 会人 。另 一方 面 ，教学 活
讲授知识一样 ，把思 维方 式的传授 和知识 的传 授结合起 来 ，
让思维方式教育走到 前台 ，走入课堂 ，走 到学生 的心 目中。
二 、教 学 中学 生科 学 思维 的培 养非 常重 要
从科学 思维的本 质来 看 ，科学 思维 一般 指 的是理 性认 识基期 过程 ，也 即经 过 感性 阶段 获得 的大量 材料 ，通过 整 理 和改 造 ，形成概 念 、判 断 和推理 ，以反 映事 物 的本质 和
一
、
引言
更应该注重培养 学生 良好 的思维 方式 。学生 思维 方式 的培
概率论与数理统计课程教学的几点建议
概率论与数理统计课程教学的几点建议摘要：该文结合教学实践，从选例贴近生活，融入数学建模思想，借助计算机辅助软件三个方面提高概率论与数理统计的教学效果，培养学生分析问题和解决问题的能力。
关键词：概率论与数理统计数学建模Matlab软件概率论与数理统计作为理工类高等院校的一门重要基础课，在许多的学科中都有着重要的应用价值。
它是从大量观测中综合分析找出随机现象的统计规律性，因此，在理论和方法上有它独特的风格。
然而在实际教学过程中，教学和学习的效果都不理想，很多学生反映这门课程难懂、难学。
这在一定程度上影响了后续专业课程的学习，更无助于学生数学素养的培养。
传统的概率统计课程的教学，比较重视理论方面的教学，而对学生在实践方面训练较少。
因此，我们关注的核心问题是怎样把理论与实践结合起来，培养学生用理论解决实际问题的能力。
为了激发学生的学习兴趣，提高学生的创新能力和解决实际问题能力，该文对该课程的教学工作提出了以下几点建议。
1 教学过程中的选例贴近生活让学生对生活中的现象进行观察，把生活中的问题模型化，从而获取感性认识，以这一认识为背景，从问题出发引出新的概念、定理、公式。
用这种方式教师能很好地利用学生已有的知识或是容易理解的知识讲授新的知识，学生也能比较容易地通过已有的知识来理解并掌握新的知识。
社会保险是现实生活中我们经常会接触到的，人们出于对自身利益考虑，都有这样的疑问：在保险公司和投保人之间谁是最大受益者呢？假如2500个相同年龄和社会阶层的人参加了某个保险公司的人寿保险。
在1月1日这天，参加保险的人每人支付120元保险费给公司，那么他死亡时，家属可以从公司里领取20000元保险金。
假设在一年中每个人死亡的概率都为0.002，那么“保险公司亏本”的概率是多少呢？人们在长期实践中总结得出“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”，由此得出保险公司“受益匪浅”，基本上不会亏本。
2 概率论与数理统计课程教学融入数学建模思想数学建模就是运用数学知识解决实际问题的一门学科，在概率论与数理统计课程的教学中融入数学建模思想有两方面的好处：其一能够激发学生学习概率论与数理统计这门课的兴趣，再则能够更好的联系实际，解决实际问题。
概率论教学方法的几点认识
运用类 比的关键在于“ 出一个类似 的 ， 选 较易的问题 ， 去解决它 、 改 造它的解法 ， 以便它可以作为一个模式 。然后 利用刚建立的模式 ， 以达 到原来问题的解决。” 比如 ， 随机变量的独立性是概率论 中一个很 重要 的观念 ， 尤其是在 求有关概率问题是时 ， 有独立性这个条件将使得 运算大大简化 ， 以判 所 断随机变量的独立性问题是概率论中较普遍的问题 。 例 ２若 ∈ ， 独立 ， 且均服从 Ｎ０１。试证 Ｕ＝２－： 是独立的 。 （，） ￣ｑ ￡ ＋ 分 析 这 是 判 断 两 个 随 机 变 量 函 数 的 独 立性 问题 ， 由于 二 维 随 机 变 量的函数仍是随机变量 ，我们就可把此与一般二 维随机变量相类 比。 如果（，） ∈１ １ 是二维连续随机变量 ， ∈与 １也都是连续随机变量 ， 则 １ 它们的 密度函数分别为 ｐ ｘ， （ 。 ｄ ） ）大家熟知 ∈ １相互独立的充要条 件是 ｐｘ ｐｙ 与 １ （， ｙ＝ ∈ ） ）其 中 ｐｘｖ ≤与 １的联合 密度 函数 。 ）ｐｆｐ（ ， ｘ ｙ （，为 ） １ 通过该充要条件形式 的类比 ， 我们可得到另一个 等价命题 ： （１ 的联 合密度 函数 为 ｐｘ ） 设 ∈１ ，） （Ｙ， ， 则∈ 与 相互独立的充要条件是 ｐｘｙ 分离变量 ， （，） 可 即有 ｐｘｙ ｇ ）（） （，＝ （ ｈｙ。 ） ｘ 利用这样一个 简单模式 ， 我们就 可解决此题 的求证 问题 。证明从略。 三 、 重 与 其他 数 学 分 支 的 联 系 ， 养 学 生用 概 率论 思 维解 决 问 题 注 培 的 能 力 近年来 ， 数学上 的许多重大 突破， 绝大多数反 映了数学 的各分 支学 科之 间的相互交叉和渗透， 数学发展 日益表现出 内在的统一性。在概率 论 的教学过程 中应 当注重体 现概率论与数学 的其它分支学科 的紧密联 系， 使学生感悟数学 的统一性， 同时在思维和意识上取得一种进 步。 中心极限定理是概率论 的一个 重要内容 ，它是 阐明随机变量序列 ｛ 《１ 在什么条件 下趋于正态分布的一系列定理 ， 示了产生正态分布 的 揭 源泉 ， 是应用正态分布来解决各种实际问题的理论基础。利用中心极限 定理可解决其他数学 问题 ， 特别是有关求极限的问题。 这就要求 我们在 讲授概率论课程 的同时 ， 还要让 同学们 理解概率论思维的深刻性 ， 即对 于 具 体 的概 率 论 问 题 的思 考 能 抓 住 本 质 和 规 律 ，并 能 把 获 得 的 知 识 和 方法迁移应用于解决其他问题 。
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３ 概 ３ 注重 与先 行 课程 的衔接 和 融会 贯 ［】龙 永 红 ． 率 论 与 数 理 统 计 中的 典 型 例 题 分 析 与 习题 【 ． 京 ： 等 教 育 出版 Ｍ】北 高 通， 通过 实例讲 解用 到的微 积分知 识 社 ， ０ ４． ２０ 教 师 在 讲 解 基 本 概 念 和 原 理 时 ， 注 应
的 积 极 性 ， 且 还 可 以 使 学 生 加 深 对 知 识 而
的理 解 。 因此 讲 课 要 注 重理 论 联 系 实 际 ． 例 子取 材要新颖 ， 注 重科学性 、 实性 、 要 现 趣 味 性 。 如 ， 讲 述 随 机 变 量 的 数 字 特 征 比 在 时 ， 列举在股 票 、 售等风险 投资 中． 可 销 经 常运 用数学 期望来 预计收 益或决 策投资 。 而 测 量 误 差 、 品 的 质 量 以 及 考 试 成 绩 等 产 都涉及 到正态分布 的计算 问题。 在 例 题 选 择 编 排 上 注 重 教 学 的 针 对 性 和 层 次 性 。 如 在 具 体 的 讲授 中 ， 以加 例 可 入 一 些 实 际案 例 实 施 的 具 体 过 程 ， 方 面 一 激 发 了 学 生 学 习的 兴 趣 ， 一 方 面 也 培 养 另 了学 生 的 动 手 能 力 和 解 决 实 际 问 题 的 能 力 。 对 不 同 专 业 的学 生 ， 以侧 重讲 解 不 针 可 同的 环 节 。 如 ， 例 电磁 场 逆 问题 的 参 数 识 别 问 题 中 ， 以 就 物 理 模 型 的 建立 、 学 问题 可 数 的 处 理 、 策 变 量 的 选 取 、 号 的 噪 声 处 决 信 理 、 优 值 求 解 的 优 化 方 法 等 问 题 中 的 一 最 个环节侧 重讲解 。
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数 根 据 两 个 随 机 变 量 和 的卷 积 公 式 ， 得 的 密 度 函数 为 ：
（ ＝Ｉ （ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ矗 （— ） ， ’ ｚ ｚ ｘｘ ） ） ｄ
ｆ ０ １ ０
子 来 回顾 用 到 的 微 积 分 知 识 。 在 求 两 个 而 连 续 型 随 机 变 量 的 函 数 分 布 时 ， 点 在 积 难 分 限的确定 上 ， 过在 平面直 角坐标系 中 通 找 出 被 积 函 数 非 零 区 域 ， 利 用 高 等 数 学 再 的 知 识 积 分 即可 。 如 ， 一 简 单 电路 中 ， 例 在 两 电 阻 ８和 串联 联 接 ， Ｒ， 是 相 互 独 设 ， 立 的 随 机 变 量 ， 们 的 密 度 函 数 均 为 它
参 考 文 献
【】丁 正 生 ， 力 ， 昌兴 ， １ 杨 李 概率 论 与 数 理 统 计 简 明教 程 【 ． 京 ： 等 教 育 出版 Ｍ］ 北 高
社 ， ０ ５ ２０ ．
［】盛 骤 ， 式 千 ， 承 毅 ． ２ 谢 潘 概率 论 与 数 理 统 计 ［ ． 二 版 ． 京 ： 等 教 育 出版 社 ， Ｍ】 第 北 高
一
１基本概 念与理论知识 的讲解 要详略 得当， 深入浅 出 ，注重 内容之 间 的联
系
慨 率 论 是 一 门 内 容 抽 象 的 学 科 ， 大 有 量 的 定 理 、 式 需 要 记 忆 ， 往 让 学 生 产 公 往 生 畏 难 情 绪 。 果 不 注 重 知 识 之 间 的 衔 接 如 与 关 联 ， 学 生 在 似 懂 非 懂 的 情 况 下 死 让 记 硬 背 ， 定 是 事 倍 功 半 。 此 ， 知 识 点 肯 由 各 的 讲 解 要 详 略 得 当 ， 入 浅 出 ， 意 关 键 深 注 语 句 和 实 质 内 容 的 挖 掘 ， 清 要 点 和 实 讲 质 ， 量 让 学 生 做 到 华 罗 庚 提 出 的 “由 薄 尽 到厚 ” “ 厚到 薄 ” 书 的两个 阶段 。 与 由 读 例 如 ， 概 率 论 中 基 本 概 念 的 讲 解 ， 以 淡 对 可 化 随 机 事 件 的 频 率 与 概 率 定 义 及 其 相 互 联 系 ， 为 学 生 的 感 性 认 识 中 一 般 这 两 因 个 概 念 不 易 混 淆 ， 以 通 过 简 单 的 抛 硬 所 币 实 验 讲 解 即 可 。 调 由概 率 的 公 理 化 定 强 义 得 到 的 概 率 计 算 中 的 有 用 公 式 与技 巧 ， 如 加 法 公 式 、 立 事 件 计 算 的 相 互 转 化 对 等 。 调 古 典 概 型 的 重 要 地 位 ， 以 通 过 强 可 些 例 子 来 加 深 学 生 的 理 解 。 清 条件 概 讲
易知当 且仅当１≤ — １时， ０ ｚ ０ 上述积
分 的 被 积 函 数 不 等 于 零 （ １。 图 １ 得 ， 图 ）由 可 直 线 Ｚ ０将 被 积 函数 的 非 零 区 域 分 为 Ｄ ＝１ ２ 讲课例子 要新颖 ， 突出实用 和 Ｄ， 部 分 ， 区 域 Ｄ 中 ， 分 变 量 ｘ的 两 在 ｌ 积 概 率 论 由于 其 基 本 概 念 与 理 论 知 识 抽 范 围 为 由 ０到 Ｚ ， 在 区域 Ｄ 中 ， 分 变 而 积 象 复 杂 ， 想 方 法 独 特 ， 论 性 强 ， 认 为 量 的 范 围是 为 由 ｚ一１ 思 理 被 ０到 １ 所 以 Ｏ， 是 一 门 较 难 学 的课 程 。 师 在 讲 解 基 本 概 教 厂 将 的 表 达 式 代 入 即得 （） 念 和 理 论 知 识 的时 候 ， 果 能 够 通 过 实 际 如 １ ０ ０（ ０ ：一６ ｚ ５ ０ ６ ０ ０ 十：） ， 问题 来 引 入 ， 不 仅 可 以 极 大 的 调 动 学 生 则
理 论 前 沿
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概 率 论 教 学 中 的 几 点 认 识
王 丽
（ 安 邮 电 学 院 理 学 院 陕 西 西 安 ７ １ １ 西 １ ） ０２
摘 要： 针对概率论 教 学中学生的 学习兴 趣不足及 畏难情绪 等问题 ， 出改进概 率论教 学的几 点建 议 ： 基 本概念 与理论知 识的讲解要 详 提 １． 略 得 当 ， 入 浅 出， 重 内容 之 间 的联 系 ； 例 子 要 新 颖 ， 出 实 用 ； 注 重 与先 行 课 程 的 衔 接 ， 过 实 例 讲 解 用 到 的微 积 分 知 识 。 深 注 ２． 突 ３． 通 经过 实 践 证 明 ， 培 养 学 生 的 学 习兴 趣 和 解 决 实 际 问题 的 能 力 方 面 ， 果 良 好 。 在 效 关键词 ： 概率 论 教 学法 中图 分类号 ： ２ Ｇ６４ 文 献标 识 码 ： Ａ 文章 编号 ： ７ —９ ９ （ ０ ０ ０ （ ） ０ ３ ０ １ ３ ５ ２ １ ） ７ ｂ一Ｏ ９ － １ ６ ７
一
率是 对 古典概 型附加一 种条件 时得 到的 ， 它仍是 古 典概 型 ， 是 附加 了 条件 ， 只 即需 要 在 缩 小 了 的 样 本 空 间上 去 讨 论 。由 条 件 概 率 ， 到 了 计 算 一 些 随 机 事 件 概 率 的 得 有 力 工具 ， 乘 法原 理 、 概率 公 式 等 。 如 全 再 比 如 ， 述 随 机 变 量 及 其 分 布 时 ， 先 讲 首 要 阐 明 引 入 随 机 变 量 是 为 了将 随 机 实 验 的 结 果 数 量 化 ， 即 是 要 撇 开 样 本 空 间 也 的元 素 可 以 是 任 何 事物 这 个 次 要 因素 ， 而 抽 取 其 主 要 的 、 质 的 特 征 并 在 “ 粹 本 纯 数 字 的 ” 式 中 单 独 地 考 察 它 们 ， 而 确 形 从 定 这 些 事 物 的 发 展 规 律 。 入 随 机 变 量 之 引 后 ， 可 以 用 数 学 分 析 的 观 点 （ 如 ， 数 就 比 级 的求和 、 数的 积分等 ） 究随 机现象 了， 函 研 这 就 像 在 随 机 现 象 和 高 等 数 学 之 间 架 起 了一 座桥 梁 。
中 国科教 创新导Ｔ Ｃ ｉａ Ｅ ｕ ａ ｉｎ Ｉ ｏ ａ ｉｎ Ｈ ｒ ｌ Ｌ ｈ ｄ ｃ ｔ ｎ ｖ ｔ ｅ ａｄ ｎ ｏ ｎ ｏ
９ ３
（ （） ｌ００ ２ ｚ ５ ０ ｏ ０
） ０ ｚ ２ ，１ ０ 其它
４ 结 语
很 多 知 识 只 是 一 个 基 础 ， 养 学 生 的 培 逻 辑 思 维 能 力 和 解 决 实 际 问题 的 能 力 ， 才 是 教 学 的 目 的 。 此 ， 确认 识 该 课 程 ， 因 正 在 教 学 过 程 中 注 重 理 论 联 系 实 际 ， 活 采 用 灵 各 种 方 法 授 课 ， 提 高 教 学 质 量 ， 养实 用 是 培 型人才 的基础 。
重 与 先 行 课 程 的 衔 接 ， 量 通 过 例题 来 直 尽 观 地 说 明所 研 究 的 问题 以 及 涉 及 到 的 方 法
和 技 巧 。 如 ， 维 随 机 变 量 及 其 分 布 是 教 例 多
Ｏ １ ０ ｘ
图 １ 被 积 函数 的 非零 区域
学 中 的 一 个 难 点 ， 其 是 连 续 型 随 机 变 量 尤 涉 及 到 微 积 分 问题 时 ， 通 过 代 表 性 的 例 可
概 率 论 是 工 科 高 等 院 校 的 大 部 分 专 业 的 一 门 必 修 课 ， 继 高 等 数 学 和 线 性 代 数 是 之 后 的 又 一 门数 学 基 础 课 。 这 门 课 被 认 而 为 是 一 门较 难 学 的 课 程 。 因 有 以 下 几 点 ： 原 是 基 本 概 念 与 理 论 知 识 抽 象 复 杂 、 以 难 理 解 ， 想 方 法 独 特 ， 论 性 强 ， 到 实 际 思 理 遇 问题， 思维 难 干 开展 ； 二是 在 传 统 的 教学 中 往往是以教师讲解公式、 理为主 ， 定 忽视 了 实 践 应 用 的 环节 ， 使学 生 为考 试 而 学 习 ， 从 而失去 了学 习的动力与兴 趣 ； 三是 一 些 学 生 的 高 等 数 学 基 础 不 好 ， 遇 到 微 积 分 计 当 算 时 ， 于 畏 难 情 绪 就 放 弃 了 概 率 论 的 学 由 习 。 文针 对 以 上原 因 ， 出 了 改进 概 率 论 本 提 教学的 几点建议 。