高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(九) Word版含解析

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2024年新高考九省联考高三第二次模拟数学试题及答案

2024年高考第二次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合(){}{}ln 3,1A x y x Bx x ==−=≤−，则()A B =R （）A ．{}13x x −<≤B ．{}1x x >− C ．{1x x ≤−,或}3x >D ．{}3x x >2.已知复数i z a b =+（a ∈R ，b ∈R 且a b ），且2z 为纯虚数，则zz=（） A ．1B ．1−C ．iD ．i −3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b + 在向量()0,1j = 上的投影向量为（）A ． jB ． j −C ． 2jD ． 2j −4. “1ab >”是“10b a>>”（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（） A ．60 B ．114 C ．278 D ．3366.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（） A ． ()5,11,3 −−∪−+∞B ． [)5,1,3−∞−∪+∞C ． (][) ,21,−∞−∪+∞D ． [)()2,11,−−−+∞7.已知ABC ∆中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（） A ． 4πB ． 6πC ． 8πD ． 9π8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G 的四边均与椭圆22:164x y M +=相切，则下列说法错误的是（）A ．椭圆MB ．椭圆M 的蒙日圆方程为2210x y +=C ．若G 为正方形，则G 的边长为D ．长方形G 的面积的最大值为18二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得60分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的是（） A ．MN 的最小值是6 B ．若点5,22P，则MF MP +的最小值是4C ．113MF NF+= D ．若18MF NF ⋅=，则直线MN 的斜率为1± 10.已知双曲线()222:102x y E a a−=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（）A ．若E 的两条渐近线相互垂直，则a =B．若E E 的实轴长为1C ．若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅=D ．当a 变化时，1F PQ 周长的最小值为11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（） A ．11B D 与EF 是异面直线B ．存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APBC ．1A F 与平面1B EBD ．点1B 到平面1A EF 的距离为45三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为13.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.14. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对于任意的*n ∈N 都有321n n S a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项中的最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，求数列{}n b 的前20项和20T ．16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X 表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n 表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求X 的分布列；（2）若满足()0.6P X n ≥≤的n 的最小值为0n ，求0n ；（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较01nn =−与0n n =哪种方案更优.17．（15分）如图,在三棱柱111ABC A B C −中,直线1C B ⊥平面ABC,平面11AA C C ⊥平面11BB C C .(1)求证:1AC BB ⊥;(2)若12AC BC BC ===,在棱11A B 上是否存在一点P ,使二面角1P BC C −−?若存在,求111B PA B 的值;若不存在,请说明理由.18．（17分）已知函数()ln =−+f x x x a ．(1)若直线(e 1)yx =−与函数()f x 的图象相切，求实数a 的值； (2)若函数()()g x xf x =有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，证明：12121ln()x x x x +>+．（e 为自然对数的底数）．19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点Q,P 的距离之比()||0,1,||MQ MP λλλλ=>≠是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为224x y +=,定点分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点F 与右顶点A,且椭圆C 的离心率为1.2e = (1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于B ,D(点B 在x 轴上方),点S,T 是椭圆C 上异于B,D 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分.BTD ∠（1）求||||BF DF 的取值范围；（2）将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT 外接圆的面积为818π,求直线l 的方程.2024年高考第二次模拟考试高三数学全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．{13x x −<≤B ．{1x x >− C.{1x x ≤−,或}3x >D ．{3x x >【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可，【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤−，又{}1B x x =>−R 则(){}1A B x x ∪=>−R ，故选：B.A ．1B ．1−C ．iD ．i −【答案】D【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=−+，又因为2z 为纯虚数，所以2220a b ab −= ≠，即0a b =≠（舍）或0a b =−≠，所以i z a a =−，所以i z a a =+，所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z −−−====−+++−. 故选：D3.已知向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（）A. jB. j −C. 2jD. 2j −【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t −−=，求得2t =−，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b j jj j+⋅⋅ ，计算即可得解. 【详解】由向量()2,4a =−，()1,b t = ，若a与b共线，则240t −−=，所以2t =−，(1,2)a b +=−，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为： ()(1,2)(0,1)21a b j j j j j j+⋅−⋅⋅=⋅=，故选：C4. “1ab >”是“10b a>>”（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>，当a<0时，由1ab >，得10b a<<；所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件. 因为01010a b ab a a>>>⇔− > ，所以1ab >，所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题. 5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（） A.60 B.114 C.278 D.336【答案】D【解析】命题意图本题考查排列与组合的应用.录用3人，有 353360C A = 种情况；录用4 人，有 4232354333162C C A C A −=种情况；录用 5 人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A −+−=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +−−−=，点()3,0P −，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（） A. ()5,11,3 −−∪−+∞B. [)5,1,3−∞−∪+∞C. (][) ,21,−∞−∪+∞D. [)()2,11,−−−+∞【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥°，由此可求解. 【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a −+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1ra =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=°.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥°，故1sin sin 302r MPDPD ∠=≥°=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +−≥，解得[)5,1,3a∈−∞−∪+∞.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=°，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC ，则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为（） A. 4π B. 6πC. 8πD. 9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥−P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【详解】三棱锥−P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ，∴sin PA PQ θ==≤PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°，所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°，则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径R OB =，∴三棱锥−P ABC 的外接球的表面积224π4π6πS R ==×=．故选：B ．8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相【分析】由椭圆标准方程求得,a b 后再求得c ，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a =2b =，则c ，离心率为e =A 正确；当长方形G 的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，因此蒙，圆方程为2210x y +=，B 正确；设矩形的边长分别为,m n ，因此22402m n mn +=≥，即20mn ≤，当且仅当m n =时取等号，所以长方形G 的面积的最大值是20，此时该长方形G 为正方形，边长为C 正确，D 错误．故选：D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点，则下列结论正确的【分析】A ，根据12||=MN x x p ++结合基本不等式即可判断；B ，由抛物线定义知当,,P M A 三点共线时MF MP +；C ，D ，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A ，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x >，因为这些MN 倾斜角不为0，则设直线MN 的方程为32x ky =+，联立抛物线得2690y ky −−=，则12126,9y y k y y +=⋅=−，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=，则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确；对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小，即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确；对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误；对D ，1212123339()()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a −=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（） A. 若E的两条渐近线相互垂直，则a =B. 若EE 的实轴长为1C. 若1290F PF ∠=°，则124PF PF ⋅= D. 当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===，故A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a ==，解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=°，则122221224PF PF a PF PF c −=+=，整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=−==⋅=，故C 正确； D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF a QF QF a −=−= ，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +−=+=+，所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥，当且仅当84a a=，即a = 所以1F PQ周长的最小值为D 正确. 故选：ACD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别是棱,BC CD 的中点，则（）【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =− ，根据数量积为0得到BC m ⊥ ，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =−=− ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误； B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z −−−−=，即224222x xy y z z =− =− −=−，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ，设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⋅=⋅=++=⋅=⋅=+= ，令1a =，则0,1b c ==−，则()1,0,1m =−，因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=−= ，故BC m ⊥ ，BC //平面1APB ，故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =，故1A F 与平面1B EB则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⋅⋅−+− ⋅=⋅−=−+= ，令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n = ，则点1B 到平面1A EFD 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240 【解析】【详解】因为二项式nx+ 的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x+，则二项式展开式的通项3662166C C 2r r r r r rr T x x −−+=，令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r −−++ ≥ ≥ ，解得111433r ≤≤，因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x −×==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0 【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+′.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ′′=−⇔++=−()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +−⇔++−=12cos cos 1,0x x a ⇔=−=±=.故答案为014. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+ 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D Ay y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =−时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论．【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =−，圆()22114x y +−=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =−=+=−=+，当l y ⊥轴时，则1A Dy y ==，所以113131622AB CD+=+++=；当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =−，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n −++=，所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。

2024年九省联考高三数学模拟试卷与答案

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项2024年九省联考高三数学模拟试卷中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合==A B 1,2,3,4,5,1,2,3,6,7}{}{，记全集I A B =，则I A =（）A. 1,2,3}{B. 4,5}{C. 6,7}{D. 4,5,6,7}{2. 若复数=+−+z a a i 1i 2)(纯虚数，则实数a =（）A. 1B. −1C. ±1D. 03. 函数=+−f x x xe 22)(的零点有（） A. 4个 B. 2个C. 1个D. 0个4. 设集合∣=∈−A x y z x y z ,,,,1,0,1}{}{)(，那么集合A 满足条件“++=x y z 2 的元素个数为（） A 4B. 6C. 9D. 125. 已知函数⎩−+≤⎨=⎧>a x a x f x x x a 214,1log ,1)()(在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是（）A. ⎝⎭⎪⎛⎫20,1B. ⎝⎦⎥ ⎛⎤60,1C. ⎣⎭⎢⎪+∞⎡⎫6,1D. ⎣⎭⎢⎪⎡⎫62,116. 已知a b ,为正实数，且−a b ,,4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则+a b 的值等于（）A. 6B. 8C. 10D. 127. 已知球O 的直径为、=PC A B 是球面上两点，且==∠=PA PB APB 3π，则三棱锥P ABC −的体积（）A.2B.C.2D.8. 设F 为抛物线=C x y :22的焦点，P 为C 上一点且在第一象限，C 在点P 处的切线交x 轴于N ，交y 轴于T ，若∠=FPT 30，则直线NF 的斜率为（）A. －2B. C. −21 D. −3二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分，有选错得0分）．9. 已知A B ,分别为随机事件A B ,的对立事件，满足<<<<P A P B 01,01)()(，则下列叙述可以说明事件A ，B 为相互独立事件的是（）A. ∣=P B P BA )()( B. ∣∣=P BA PB A )()(C. )P A P B P AB +=()()(D. ∣+=P AB P AB P BA )()()( 10. 已知函数=++−f x x x x x sin cos sin cos )(，则下列关于函数f x )(的说法，正确的是（）A. f x )(的一个周期为2πB. f x )(的图象关于=x 2π对称 C. f x )(⎣⎦⎢⎥−⎡⎤44,ππ上单调递增D. f x )(的值域为⎦⎤211. 已知正四棱柱−ABCD A B C D 1111的底面边长为1，=AA 21，点P 在底面ABCD 内运动（含边界），点Q 满足[,0,1CQ mCC m =∈1]，则（）A. 当=m 21时，+A P PQ 1 B. 当=m 41时，存在点P ，使∠A PQ 1为直角C. 当=m 87时，满足⊥D P AQ 11的点P 的轨迹平行平面C BD 1D. 当=m 161时，满足⊥A P PQ 1的点P 的轨迹围成的区域的面积为4π三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12. 设向量()()2,0,,1a b m =−=，若)a b b +⊥(，则+=a b ______．13. 双曲线−=C x y 3:122的左、右焦点分别为F F ,12，O 为原点，M N ,为C 上关于原点对称的两点，若=NF MF 222，则=MO ______．14. 已知定义在R 上的偶函数f x )(满足=f x f x f x x 1212)()()(，且当>x 0时，>f x 0)(．若='=f f a 33)()(，则f x )(在点⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−−⎛⎫⎛⎫f 33,11处的切线方程为______．（结果用含a 的表达式表示）四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2（同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布μσN,2)(，其中μ近似为样本平均数σx ,2近似为样本方差s 2，为监控该产品的生产质量，每天抽取10个产品进行检测，若出现了质量指标值在−+μσμσ3,3)(之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取10个产品中尺寸在−+μσμσ3,3)(之外的产品数，求≥P X 1)(②请说明上述监控生产过程方法的合理性．附：≈−<<+=μσμσP X 0.99740.9743,330.997410)(16. 已知四边形ABCD 的外接圆面积为3π7，且==∠BD CD BAD 2,为钝角，（1）求∠BCD 和BC ；（2）若∠=ABD 7sin ，求四边形ABCD 的面积． 17. 在圆+=C x y :4122上任取一点P ．过点P 作x 轴垂线PD ，垂足为D ，点M 满足1DM DP =2．（1）求M 的轨迹C 2的方程；（2）设−A B 2,0,2,0)()(，延长MD 交C 2于另一点N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ，判断△BDE 与BDN 的面积之比是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．18. 在如图所示的几何体中，⊥DA 平面⊥ABC EB ,平面===ABC AC BC BE ,2，记M 为DC 中点，平面DAC 与平面EBC 的交线为l ．（1）求证：⊥l 平面ABC ；（2）若三棱锥−M ABC 的体积V 1与几何体ABCDE 的体积V 2满足关系=V V P 6,21为l 上一点，求当V 2最大时，直线CD 与平面PAB 所成角的正弦值的最大值． 19. 如果函数F x )(的导数='F x f x )()(，可记为⎰=F x f x dx )()(．若≥f x 0)(，则⎰=−f x dx F b F a ab)()()(表示曲线=y f x )(，直线==x a x b ,以及x 轴围成的“曲边梯形的面积．（1）若⎰=x F x dx 1)(，且=F 11)(，求F x )(；（2）已知<<α20π，证明：⎰<<αααxdx a cos cos 0，并解释其几何意义；（3）证明：π2π3ππ221cos1cos1cos1cosπn nnnnn 1，N ∈n *注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项2024年九省联考高三数学模拟试卷答案中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合==A B 1,2,3,4,5,1,2,3,6,7}{}{，记全集I A B =，则I A =（）A. 1,2,3}{B. 4,5}{C. 6,7}{D. 4,5,6,7}{【答案】C 【解析】【分析】先求I A B =，再求I A .【详解】全集{1,2,3,4,5,6,7==I A B }，则{6,7=I A }.故选：C.2. 若复数=+−+z a a i 1i 2)(是纯虚数，则实数a =（）A. 1B. −1C. ±1D. 0【答案】B 【解析】【分析】利用复数的定义及乘法法则计算即可. 【详解】由=+−+=−+−z a a a a i 1i 11i 22)()(，根据题意可知⎩−≠⎨⇒=−−=⎧a a a 101102. 故选：B3. 函数=+−f x x xe 22)(的零点有（）A. 4个B. 2个C. 1个D. 0个【答案】B 【解析】【分析】结合函数=y x e 与=−y x 22的图象可得正确的选项. 【详解】令=+−=f x x xe 202)(，即=−x x e 22，可知函数f x )(的零点个数即为=y x e 与=−y x 22的交点个数，结合函数的图像，可知=y x e 与=−y x 22的函数图像有两个交点，所以函数有两个零点，即函数=+−f x x xe 22)(的零点有2个.故选：C. 4. 设集合∣=∈−A x y z x y z ,,,,1,0,1}{}{)(，那么集合A 满足条件“++=x y z 2 的元素个数为（） A. 4 B. 6C. 9D. 12【答案】D 【解析】【分析】由题意对x y z ,,谁取0分类讨论即可求解.【详解】若=x 0，则∈−y z ,1,1}{，即有序数对y z ,)(有4种取法，同理若=y 0，则∈−x z ,1,1}{，即有序数对x z ,)(有4种取法，若=z 0，则∈−x y ,1,1}{，即有序数对x y ,)(有4种取法，综上所述，集合A 满足条件“++=x y z 2 的元素个数为44412.故选：D.5. 已知函数⎩−+≤⎨=⎧>a x a x f x x x a 214,1log ,1)()(在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是（）A. ⎝⎭⎪⎛⎫20,1B. ⎝⎦⎥ ⎛⎤60,1C. ⎣⎭⎢⎪+∞⎡⎫6,1D. ⎣⎭⎢⎪⎡⎫62,11【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数单调性以及对数函数性质列式求解.【详解】由题意可得：⎩−≥⎪⎨−<⎪⎧<<a a a 61021001，解得≤<a 6211，所以实数a 的取值范围是⎣⎭⎢⎪⎡⎫62,11. 故选：D.6. 已知a b ,为正实数，且−a b ,,4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则+a b 的值等于（） A. 6 B. 8C. 10D. 12【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析可知仅有−a b ,4,或−b a ,4,构成等比数列，且−a b ,,4或−b a 4,,构成等差数列，或−b a ,,4或−a b 4,,构成等差数列，结合等差、等比中项列式求解即可. 【详解】因为a b ,为正实数，且−a b ,,4可适当排序后成等比数列，可知仅有−a b ,4,或−b a ,4,构成等比数列，可得=ab 16，又因为−a b ,,4这三个数可适当排序后成等差数列，则有：若−a b ,,4或−b a 4,,构成等差数列，可得=−b a 24，即⎩=−⎨⎧=b a ab 2416，解得⎩=⎨⎧=b a 28或⎩=−⎨⎧=−b a 44（舍去），可得+=a b 10；若−b a ,,4或−a b 4,,构成等差数列，可得=−a b 24，即⎩=−⎨⎧=a b ab 2416，解得⎩=⎨⎧=b a 82或⎩=−⎨⎧=−b a 44（舍去），可得+=a b 10；综上所述：+=a b 10. 故选：C.7. 已知球O 的直径为、=PC A B 是球面上两点，且==∠=PA PB APB 3π，则三棱锥P ABC −的体积（）A.2B.C.2D.【答案】C 【解析】【分析】利用球体的性质先计算球心到平面APB 的距离，再根据棱锥的体积公式计算即可. 【详解】由题意可知△APB 为正三角形，设其外接圆圆心为M ，半径为r ，则=⇒==r PM r PA3sin π21，且⊥OM 平面APB ，所以==OM C 到平面APB 的距离为，所以三棱锥P ABC −的体积为⨯=312. 故选：C8. 设F 为抛物线=C x y :22的焦点，P 为C 上一点且在第一象限，C 在点P 处的切线交x 轴于N ，交y 轴于T ，若∠=FPT 30，则直线NF 的斜率为（）A. －2B.C. −21 D. −3【答案】D 【解析】【分析】设P 点坐标，利用导数的几何意义求得切线方程可先含参表示N ，T 坐标，再根据抛物线的定义可判定△FPT 为等腰三角形，根据其性质计算即可.【详解】易知⎝ ='⎭⎪=⇒⎛⎫F y y x x 220,,12，设⎝⎭⎪⎛⎫P a a 2,2，则C 在点P 处的切线方程为=−+⇒=−y a x a y ax a a 2222)(，所以⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−⎛⎫⎛⎫N T a a 22,0,0,2，显然N 为TP 中点，由抛物线定义可知=+=PF FT a 2212，即△FPT 为以F 为顶点的等腰三角形，所以⊥FN PT ，即∠=∠=FNO FPT 30，所以直线NF 的斜率为)tan 18030−=−3(. 故选：D【点睛】思路点睛：本题通过设P 点坐标，利用抛物线的切线方程含参表示N ，T 坐标，再根据抛物线的定义可判定△FPT 为等腰三角形，根据其性质计算即可.解析几何问题首先是几何题，所以利用几何特征可减少计算量，提高效率.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分，有选错得0分）．9. 已知A B ,分别为随机事件A B,对立事件，满足<<<<P A P B 01,01)()(，则下列叙述可以说明事件A ，B 为相互独立事件的是（）A. ∣=P B P BA )()( B. ∣∣=P BA PB A )()(C. )P A P B P A B +=()()(D. ∣+=P AB P AB P BA )()()( 【答案】ABD 【解析】【分析】根据事件相互独立的充要条件=P AB P A P B ()()()判断. 【详解】对于A ，由=P B P B A ()(|)，得=P A P B P AB ()()()即=P AB P A P B ()()()，所以A B ,相互独立，故A 正确;对于B ，由∣=P A P BA P BA ()())(，=P A P B A P BA ()(|)()得=P A P A P BA P BA ()()()()，又+=P AB P AB P B ()()()，所以−=−P A P A P BA P B P BA ()1()()()()，得−=−P BA P A P BA P A P B P A P BA ()()()()()()()即=P BA P A P B ()()()，所以B,A 相互独立，所以A B ,相互独立，故B 正确;对于C ，由+=⋃P A P B P A B ()()()，⋃=+−P A B P A P B P AB ()()()()，得=P AB ()0，由<<<<P A P B 01,01)()(得P A P B ≠()()0，故≠P AB P A P B ()()()，所以事件A ，B 相互独立错误，故C 错误;对于D ，由+=P AB P AB P B A (|))()(，得=P B P B A ()(|)，又 =P A P B A P AB ()(|)()，所以=P AB P A P B ()()()，所以A B ,相互独立，故D 正确. 故选：ABD.10. 已知函数=++−f x x x x x sin cos sin cos )(，则下列关于函数f x )(的说法，正确的是（）A. f x )(的一个周期为2π B. f x )(的图象关于=x 2π对称 C. f x )(在⎣⎦⎢⎥−⎡⎤44,ππ上单调递增D. f x )(的值域为⎦⎤2【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数的对称性与周期性结合诱导公式可判定A 、B ，再根据A 、B 结论及三角函数的图象与性质可判定C 、D. 【详解】对于A ，根据诱导公式可知：⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+++++−+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫f x x x x x 22222sin cos sin cos πππππ=−++=x x x x f x sin cos sin cos )(，故f x )(的一个周期为2π，即A 正确；对于B ，根据诱导公式可知：−=−+−+−−−f x x x x x πcos πsin πcos πsin π)()()()()(=−++=x x x x f x sin cos sin cos )(，所以f x )(的图象关于=x 2π对称，即B 正确；对于C ，易知−=−+−+−−−f x x x x x sin cos sin cos )()()()()(=−++=x x x x f x sin cos sin cos )(，即f x )(为偶函数，当⎣⎦⎢⎥∈⎡⎤x 40,π时，=++−=f x x x x x x sin cos cos sin 2cos )()(，显然此时函数单调递减，由偶函数的对称性可知⎣⎦⎢⎥∈−⎡⎤x 4,0π时函数单调递增，故C 错误；由B 结论可知⎣⎦⎢⎥−⎡⎤44,ππ为f x )(的一个周期，此区间上⎝⎭⎪===±=⎛⎫f x f f x f 402,πmax min)()()(D 正确.故选：ABD11. 已知正四棱柱−ABCD A B C D 1111的底面边长为1，=AA 21，点P 在底面ABCD 内运动（含边界），点Q 满足[,0,1CQ mCC m =∈1]，则（）A. 当=m 21时，+A P PQ 1 B. 当=m 41时，存在点P ，使∠A PQ 1为直角C. 当=m 87时，满足⊥D P AQ 11的点P 的轨迹平行平面C BD 1D. 当=m 161时，满足⊥A P PQ 1的点P 的轨迹围成的区域的面积为4π【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用对称性得到+A P PQ 1的最小；B 选项，设P s t ,,0)(，表达出A P PQ AQ ,,11222，利用+=A P PQ AQ 11222得到−+++−=s t s t 1102222)()(，方程无解，B 错误；C 选项，设P s t ,,0)(，表达出AQ D P s t ⋅=−++=20111，得到轨迹，由线线平行得到线面平行，C 正确；D 选项，设P s t ,,0)(，表达出⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−+−=⎛⎫⎛⎫s t 22411122，得到轨迹为圆，求出面积. 【详解】以D 为坐标原点，DA DC DD ,,1所在直线分别为x y z ,,轴，建立空间直角坐标系，则A Q 1,0,2,0,1,11)()(，则点Q 关于平面ABCD 的对称点为−'Q 0,1,1)(，连接'AQ 1，与平面ABCD 的交点即为使得+A P PQ 1取最小值的点P ，此时'+===A P PQ AQ 11A 正确；B 选项，当=m 41时，⎝⎭ ⎪⎛⎫A Q 21,0,2,0,1,11)(，设P s t ,,0)(，则=−++A P s t 141222)(，=+−+PQ s t 411222)(，⎝⎭ ⎪=++−=⎛⎫AQ 24112117122，令+=A P PQ AQ 11222，即−++++−+=s t s t 441411172222)()(，故−+++−=s t s t 1102222)()(，则需满足−===−=s s t t 10,0,0,10，不合要求，故不存在点P ，使∠A PQ 1为直角，B 错误；C 选项，当=m 87时，⎝⎭ ⎪⎛⎫A Q D 41,0,2,0,1,,0,0,2711)()(，设P s t ,,0)(，则()(710,1,1,0,21,1,,,,2AQ D P s t ⎛⎫⎛⎫=−=−−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4411)， AQ D P s t s t ⎛⎫⋅=−−⋅−=−++= ⎪⎝⎭421,1,,,201111)(，在平面ABCD 中画出P s t ,,0)(点的轨迹，如图所示，其轨迹为线段MN ，其中M N ,分别为AD AB ,的中点，其中MN BD //，又⊂BD 平面C BD 1，⊄MN 平面C BD 1，故MN //平面C BD 1，当=m 87时，满足⊥D P AQ 11的点P 的轨迹平行平面C BD 1，C 正确；D 选项，当=m 161时，⎝⎭ ⎪⎛⎫A Q 81,0,2,0,1,11)(，设P s t ,,0)(，则()1,,2,,1,A P s t PQ s t ⎛⎫=−−=−− ⎪⎝⎭811，则(A P PQ s t s t s s t t ⋅=−−⋅−−=−+−+−=⎝⎭⎪⎛⎫841,,2,1,011122)，即⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−+−=⎛⎫⎛⎫s t 22411122，故点P 的轨迹为以⎝⎭⎪⎛⎫22,11为圆心，21为半径的圆，刚好与正方形ABCD 相切，故面积为⎝⎭⎪=⎛⎫24ππ112，当=m 161时，满足⊥A P PQ 1的点P 的轨迹围成的区域的面积为4π1，D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示与解析几何的相关知识结合即可得解.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12. 设向量()()2,0,,1a b m =−=，若)a b b +⊥(，则+=a b ______．【解析】【分析】由向量垂直列方程得参数，进一步由模长公式即可求解. 【详解】由题意(()2,1,,1a b m b m +=−=)，因为)a b b +⊥(，所以−+=m m 210)(，解得=m 1，所以()1,1a b +=−，从而2a b +=..13. 双曲线−=C x y 3:122的左、右焦点分别为F F ,12，O 为原点，M N ,为C 上关于原点对称的两点，若=NF MF 222，则=MO ______．【解析】【分析】利用双曲线的定义及性质结合余弦定理计算即可.【详解】如图示，连接MF NF ,11，易知四边形MF NF 12平行四边形，=F F 412，根据双曲线的性质及已知有−=−==⇒=NF NF NF MF MF NF 24212222，根据余弦定理可知：⨯⨯∠=∠=+−+−F NF NF M OM 2828cos ,cos 244244122222222，又⨯⨯∠=−∠⇒+=⇒=+−+−F NF NF M OM OM 2828cos cos 024*******222222.14. 已知定义在R 上的偶函数f x )(满足=f x f x f x x 1212)()()(，且当>x 0时，>f x 0)(．若='=f f a 33)()(，则f x )(在点⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−−⎛⎫⎛⎫f 33,11处的切线方程为______．（结果用含a 的表达式表示）【答案】x ay ++=920 【解析】【分析】利用赋值法分别令=x 31，=x 1可得f 1)(，⎝⎭⎪⎛⎫f 31，根据f x )(为偶函数得⎝⎭ ⎪−⎛⎫f 31，由''=af x f x 33)()(，令=x 1、=x 31可得'⎝⎭⎪⎛⎫f 31，f x )(为偶函数求出⎝⎭⎪⎫'−⎛f 31，再由直线的点斜式方程可得答案. 【详解】因为=f a 3)(，所以=f f x f x 33)()()(，即=af x f x 3)()(，令=x 31，有⎝⎭⎪⨯=⎛⎫a f f 311)(，令=x 1，有⨯==a f f a 13)()(，所以=f 11)(，⎝⎭ ⎪=⎛⎫af 311，因为f x )(为偶函数，所以⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−==⎛⎫⎛⎫a f f 33111，由''=af x f x 33)()(，令=x 1得==''af f a 1333)()(，所以='f 13)(，令=x 31得''⎝⎭ ⎪==⎛⎫af f 33191)(，所以⎝'⎭ ⎪=⎛⎫af 319，因为f x )(为偶函数，所以⎝'⎭⎪−=−⎛⎫a f 319，所以f x )(在点⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−−⎛⎫⎛⎫f 33,11处的切线方程为⎝⎭ ⎪−=−+⎛⎫a a y x 3191，即x ay ++=920. 故答案为：x ay ++=920.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用赋值法、f x )(为偶函数求出⎝⎭⎪−⎛⎫f 31、⎝⎭⎪⎫'−⎛f 31，再由直线点斜式方程求解. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2（同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布μσN,2)(，其中μ近似为样本平均数σx ,2近似为样本方差s 2，为监控该产品的生产质量，每天抽取10个产品进行检测，若出现了质量指标值在−+μσμσ3,3)(之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的10个产品中尺寸在−+μσμσ3,3)(之外的产品数，求≥P X 1)(②请说明上述监控生产过程方法的合理性．附：≈−<<+=μσμσP X 0.99740.9743,330.997410)(【答案】（1）==x S 100;1592; （2）≥≈P X 10.0257)(;说明见解析. 【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数与方差计算公式计算即可；（2）根据正态分布的定义及性质计算、分析即可. 【小问1详解】由题意可知：=x （⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+700.0025800.009900.0221000.0321100.024⨯+⨯1200.0081300.0025）⨯=10100，S 2=[−⨯+−⨯+−⨯+701000.0025801000.009901000.022222)()()(−⨯+−⨯+1001000.0321101000.02422)()(−⨯+−⨯1201000.0081301000.002522)()(]⨯=10159，【小问2详解】①由题意可知生产状态正常，此时一个产品尺寸在−+μσμσ3,3)(之内的概率为0.9974，所以≥=−≈P X 110.99740.025710)(；②如果生产状态正常，此时一个产品尺寸在−+μσμσ3,3)(之外的概率只有−=10.99740.0026，一天内抽取10个零件中，发现尺寸在−+μσμσ3,3)(之外的概率只有0.0257，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监管过程方法合理.16. 已知四边形ABCD外接圆面积为3π7，且==∠BD CD BAD 2,为钝角，（1）求∠BCD 和BC ；（2）若∠=ABD 7sin ，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）∠=BCD 3π，=BC 3（2）【解析】【分析】（1）利用外接圆面积求出外接圆半径，进而由正弦定理得到=C sin ，求出=C 3π，再利用余弦定理求出=BC 3；（2）求出BCDS=2，并利用正弦定理和余弦定理求出=AD 2，=AB 1，利用三角形面积公式求出ABDS ，相加后得到答案【小问1详解】四边形ABCD 的外接圆面积为3π7,即△BCD 的外接圆面积为3π7，设△BCD 的外接圆半径为R ，则=R 3ππ72，解得=R 3，在△BCD 中，==C R BD sin 32，即=C sin 3，故=C 2sin ，因为∠BAD 为钝角，所以∠BCD 为锐角，故=C 3π，由余弦定理得⋅=+−BC CD C BC CD BD 2cos 222，即⋅=+−BC BC 322cos 47π2，故−=BC BC 322，解得=BC 3，负值舍去，【小问2详解】BCDSBC CD C =⋅=⨯⨯=2232sin 32sin π11，因为+=A C π，所以=A 3π2，在△ABD 中，由正弦定理得∠=ABD AAD BDsin sin ，又∠=ABD 7sin =72，解得=AD 2，在△ABD 中，由余弦定理得⋅=+−AB AD A AB AD BD 2cos 222，即=−+−AB AB 424712，解得=AB 1，故ABDSAB AD A =⋅=⨯⨯=2232sin 12sin π112，四边形ABCD 的面积为BCD ABDSS+=+=223. 17. 在圆+=C x y :4122上任取一点P ．过点P 作x 轴的垂线PD ，垂足为D ，点M 满足1DM DP =2．（1）求M 的轨迹C 2的方程；（2）设−A B 2,0,2,0)()(，延长MD 交C 2于另一点N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E ，判断△BDE 与BDN 的面积之比是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【答案】（1）+=y x 4122（2）是定值，定值为54【解析】【分析】（1）利用相关点法，设M x y ,)(，由题意可得P x y ,2)(，代入圆+=C x y :4122即可得结果；（2）设≠M x y y ,,0000)(，则−N x y D x ,,,0000)()(，根据题意求点E 的纵坐标，进而可得结果. 【小问1详解】设M x y ,)(，因为点M 满足1DM DP =2，即点M 为线段DP 的中点，可知P x y ,2)(，且点P 在圆+=C x y :4122上，则+=x y 4422，即+=y x 4122，所以M 的轨迹C 2的方程为+=y x4122.【小问2详解】设≠M x y y ,,0000)(，则−N x y D x ,,,0000)()(，则直线AM 的斜率+=x k y AM 200，可知直线DE 的斜率=−+y k x DE 200，即直线DE 的方程为=−−+y y x x x 2000)(，且直线BN 的方程为−=−−x y x y 2200)(，联立方程⎩−⎪=−−⎪⎨⎪⎪=−−⎧+x y x y y y x x x 22200000)()(，消去x 解得()−−=−y x y x y 440022002)(，且M x y ,00)(在椭圆上，则+=y x 410022，即−=−x y 440022，可得()()−−−−===−−−y x y y y yxy y y 44544400022220022)()(，即点E 的纵坐标为−y 540，所以BDE BDNS S==⋅−⋅BD y BD y 2512541400（定值）. .【点睛】方法点睛：求解定值问题三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．18. 在如图所示的几何体中，⊥DA 平面⊥ABC EB ,平面===ABC AC BC BE ,2，记M 为DC 中点，平面DAC 与平面EBC 的交线为l ．（1）求证：⊥l 平面ABC ；（2）若三棱锥−M ABC 的体积V 1与几何体ABCDE 的体积V 2满足关系=V V P 6,21为l 上一点，求当V 2最大时，直线CD 与平面PAB 所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析.（2）5【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理及性质定理可证.（2）根据条件求出AB AD ,长度，建立空间直角坐标系，用向量法求出直线CD 与平面PAB 所成角的正弦值，利用导数求出最大值.【小问1详解】因为⊥DA 平面⊥ABC EB ,平面ABC ，所以DA BE //, 又⊄DA 平面EBC ，⊂BE 平面EBC ，所以DA //平面EBC ,又⊂DA 平面DAC ，且平面DAC 与平面EBC 的交线为l ，所以DA l //，所以⊥l平面ABC .【小问2详解】设==DA h AB x ,2，取AB 的中点O ，因为=AC BC ，所以⊥CO AB ，因为M 为DC 中点，所以M 到平面ABC 的距离为h2，因为⊥DA 平面ABC ，⊂DA 平面ABED ，所以平面⊥ABC 平面ABED ，且平面⋂ABC 平面=ABED AB ，⊂CO 平面ABC ，所以⊥CO 平面ABED ，∴=⋅∆V S h ABC 3211，=⋅V S CO ABED 312，又=V V 6,21即⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯+x CO x CO hh 323222621112)(，解得=h 1，=⋅=⨯⨯=+V S CO x ABED 332211122)(=≤2，当且仅当−=x x 422，即=x 时取等号，所以当V 2最大时==AB CO ,如图建立空间直角坐标系，则A BC D ,,,)()())(,设>P t t ,0)()(，则(CD =−−2,2,1)，()(22,0,0,2,2,AB AP t ==)，设平面PAB 的一个法向量(111,,n x y z =)，因为n AB n AP ⊥⊥⎩⎪⎨⎪⎧，所以+=⎪=⎧tz 01111，令=y 1，则==−t x z 0,211，即0,2,n ⎛⎫=−⎪⎝⎭t 2，设直线CD 与平面PAB 所成角为θ，所以sin cos ,CD n −====θ5令+=+t y t 2122)(，则()()++='=++−+⋅−++tty t t t tt t 2221212222222222)()()()(，令y >'0，则−−<t t 202，所以−<<t 12，函数y 在0,2)(上为增函数，在+∞2,)(上为减函数，所以当=t 2时=y 23max ，即=θ5sin max )(，故直线CD 与平面PAB 所成角的正弦值的最大值5.19. 如果函数F x )(的导数='F x f x )()(，可记为⎰=F x f x dx)()(．若≥f x 0)(，则⎰=−f x dx F b F a ab)()()(表示曲线=y f x )(，直线==x a x b ,以及x 轴围成的“曲边梯形的面积．（1）若⎰=x F x dx 1)(，且=F 11)(，求F x )(；（2）已知<<α20π，证明：⎰<<αααxdx a cos cos 0，并解释其几何意义；（3）证明：π2π3ππ221cos1cos1cos1cosπn nnnnn 1，N ∈n *．【答案】（1）ln 1F xx（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中定积分的含义得到. （2）先由定积分的预算得到cos sin sin 0sina xdx ，再分别构造函数=−g x x x sin )(和=−h x x x x sin cos )(，利用导数分析单调性，证明结论；几何意义由题干中定积分的含义得到.（3）先由二倍角公式化简得到ππ1cos2cos2k k nn，再由定积分的意义得到πcos cos cos cos 2222⎛⎫++++ ⎪⎝⎭n n n nπ3π2π⎝⎭ ⎪<⎛⎫x dx 2cos π0，最后根据求导与定积分的运算得到⎰⎝⎭ ⎪=−==⎛⎫x dx F F π2π2cos 10sin 2π2π01)()(，最后得证. 【小问1详解】当>x 0时，因为='xx ln 1)(，所以设=+F x x C ln 1)(，又=F 11)(，代入上式可得=+=⇒=F C C 1ln11111)(，所以，当>x 0时，=+F x x ln 1)(；当<x 0时，设=−+F x x C ln 2)()(，同理可得=C 12，综上，=+F x x ln 1)(. 【小问2详解】因为=⎰=+F x xdx x C cos sin )(，所以cos sinsin 0sin a xdx ，设=−<<g x x x x 2sin ,0π)(，则−>'=g x x 1cos 0)(恒成立，所以g x )(在<<x 20π上单调递增，所以>=g x g 00min )()(，故<ααsin ，即cos a xdx ；设=−h x x x x sin cos )(，<<x 20π，则=>'h x x x sin 0)(恒成立，所以h x )(在<<x 20π上单调递增，>=h x h 00min )()(，所以0coscos a xdx ，综上，⎰<<αααxdx acos cos 0.几何意义：当<<x 20π时，曲线=y x cos 与直线=x 0（y 轴），=αx 以及x 轴围成的“曲边面积”大于直线=x 0（y 轴），=αx 以及x 轴，直线=αy cos 围成的矩形面积，小于=x 0（y 轴），=αx 以及x 轴，直线=y 1围成的矩形面积. 【小问3详解】因为2πππ1cos2cos 2cos,1,2,22k k k k n nnn，所以1cos n +++1πcos cos cos cos 2222⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n n nπ3π2π⎝⎭ ⎪<⎛⎫x dx 2cos π0，设=F x x 2πsin π2)(，则'=F x x 2cos π)(，所以⎰⎝⎭ ⎪=−==⎛⎫x dx F F π2π2cos10sin2π2π01)()(，故1cosn ++<π1. 【点睛】关键点点睛：1、由题干得到求导与定积分互为逆运算；2、证明不等式时可作差构造函数，求导，利用导数分析其单调性；3、利用定积分几何意义得到要证明的不等式间关系，再利用求导与定积分运算得出最后结果。

江苏省普通高等学校高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(五) Word版含解析

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，PA ，PB 分别交半圆O 于点D ，C.若AD ＝2，PD ＝4，PC ＝3，求BD 的长．B. (选修42：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3的一个特征值λ对应的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2，求实数m 与λ的值．C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝35t ，y ＝45t(t 为参数)．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．设圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．D. (选修45：不等式选讲)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某年级星期一至星期五每天下午每班排3节课，且每天下午每班随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)．(1) 求甲班和乙班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2) 记甲班和乙班“在一周(星期一至星期五)中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布与数学期望E(X)．设n ∈N *，n ≥3，k ∈N *.(1) 求值：① kC k n －nC k －1n －1；② k 2C k n －n(n －1)C k －2n －2－nC k －1n －1(k ≥2)；(2) 化简：12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C k n ＋…＋(n ＋1)2C n n .(五)(南京市、盐城市2017届高三第一次模拟考试)21.A.解：由切割线定理，得PD·PA ＝PC·PB ，则4×(2＋4)＝3×(3＋BC)，解得BC ＝5.(4分)又AB 是半圆O 的直径，故∠ADB ＝π2.(6分) 则在△PDB 中，有BD ＝PB 2－PD 2＝64－16＝4 3.(10分)B.解：由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，(4分) 则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＝λ，2＋6＝－2λ，(8分) 解得m ＝0，λ＝－4.(10分)C.解：直线l ：⎩⎨⎧x ＝35t ，y ＝45t (t 为参数)化为普通方程，得4x －3y ＝0，(2分) 圆C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化为直角坐标方程，得(x －1)2＋y 2＝1，(4分)则圆C 的圆心到直线l 的距离为d ＝|4|42＋（－3）2＝45，(6分) 所以AB ＝21－d 2＝65.(10分) D.解：由柯西不等式，得(x ＋2y ＋z)2≤(12＋22＋12)·(x 2＋y 2＋z 2)，即x ＋2y ＋z ≤12＋22＋12·x 2＋y 2＋z 2.(5分)因为x ＋2y ＋z ＝1，所以x 2＋y 2＋z 2≥16，当且仅当x 1＝y 2＝z 1，即x ＝z ＝16，y ＝13时取等号．综上，(x 2＋y 2＋z 2)min ＝16.(10分) 22.解：(1) 这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P ＝1－33×3＝23.(4分) (2) 由题意，得X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13， P(X ＝k)＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0，1，2，3，4，5.(6分) 所以X 的概率分布为(8所以X 的数学期望为E(X)＝5×13＝53.(10分) 23.解：(1) ①kC k n －nC k －1n －1＝k ×n ！k ！（n －k ）！－n ×（n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝n ！（k －1）！（n －k ）！－n ！（k －1）！（n －k ）！＝0.(2分) ②k 2C k n －n(n －1)C k －2n －2－nC k －1n －1＝k 2×n ！k ！（n －k ）！－n(n －1)×（n －2）！（k －2）！（n －k ）！－n ×（n －1）！（k －1）！（n －k ）！＝k ×n ！（k －1）！（n －k ）！－n ！（k －2）！（n －k ）！－n ！（k －1）！（n －k ）！＝n ！（k －2）！（n －k ）！⎝⎛⎭⎫k k －1－1－1k －1＝0.(4分) (2) (解法1)由(1)知，k ≥2时(k ＋1)2C k n ＝(k 2＋2k ＋1)C k n ＝k 2C k n ＋2kC k n ＋C k n ＝[n(n －1)C k －2n －2＋nC k －1n －1]＋2nC k －1n －1＋C k n ＝n(n －1)C k －2n －2＋3nC k －1n －1＋C k n ，(6分)故12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C k n ＋…＋(n ＋1)2C n n＝(12C 0n ＋22C 1n )＋n(n －1)(C 0n －2＋C 1n －2＋…＋C n －2n －2)＋3n(C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 2n ＋C 3n＋…＋C n n )＝(1＋4n)＋n(n －1)2n －2＋3n(2n －1－1)＋(2n －1－n)＝2n －2(n 2＋5n ＋4)．(10分) (解法2)当n ≥3时，由二项式定理，有(1＋x)n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C k n x k ＋…＋C n n x n ，两边同乘以x ，得(1＋x)n x ＝x ＋C 1n x 2＋C 2n x 3＋…＋C k n x k ＋1＋…＋C n n xn ＋1，两边对x 求导，得(1＋x)n ＋n(1＋x)n －1x ＝1＋2C 1n x ＋3C 2n x 2＋…＋(k ＋1)C k n x k ＋…＋(n ＋1)C n n x n ，(6分)两边再同乘以x ，得(1＋x)n x ＋n(1＋x)n －1x 2＝x ＋2C 1n x 2＋3C 2n x 3＋…＋(k ＋1)C k n x k ＋1＋…＋(n ＋1)C n n xn ＋1，两边再对x 求导，得(1＋x)n ＋n(1＋x)n －1x ＋n(n －1)(1＋x)n －2x 2＋2n(1＋x)n －1x ＝1＋22C 1n x ＋32C 2n x 2＋…＋(k ＋1)2C k n x k ＋…＋(n ＋1)2C n n x n .(8分)令x ＝1，得2n ＋n2n －1＋n(n －1)2n －2＋2n2n －1＝1＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C k n ＋…＋(n＋1)2C n n ，即12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C k n ＋…＋(n ＋1)2C n n ＝2n －2(n 2＋5n ＋4)．(10分)。

(全优试卷)江苏省普通高等学校高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题Word版含答案

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 为圆O 的一条弦，C 为圆O 外一点．CA ，CB 分别交圆O 于D ，E 两点．若AB ＝AC ，EF ⊥AC ，垂足为F ，求证：F 为线段DC 的中点．B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －21 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，设M ＝AB .(1) 求矩阵M ；(2) 求矩阵M 的特征值．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝m.若直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求实数m 的值．D. (选修45：不等式选讲) 解不等式：|x －1|＋2|x|≤4x.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD 中，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，点E 是线段PC 的中点．(1) 求异面直线AP 与BE 所成角的大小；(2) 若点F 在线段PB 上，使得二面角FDEB 的正弦值为33，求PFPB的值．23. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．(1) 求甲获胜的概率；(2) 求投篮结束时甲的投篮次数X 的分布列与期望．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，△ABC 是圆O 的内接三角形，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PB 交AC 于点E ，交圆O 于点D.若PE ＝PA ，∠ABC ＝60°，且PD ＝1，PB ＝9，求EC 的长．B. (选修42：矩阵与变换)已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －14属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.C. (选修44：坐标系与参数方程)自极点O任意作一条射线与直线ρcosθ＝3相交于点M，在射线OM上取点P，使得OM·OP＝12，求动点P的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)已知a≥2，x∈R.求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1) 求在一次游戏中摸出3个白球的概率；(2) 在两次游戏中，记获奖次数为X，求X的数学期望．已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，点R(1，2)在抛物线C上．(1) 求抛物线C的方程；(2) 过点Q(1，1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B.若直线AR，BR分别交直线l：y＝2x＋2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F.求证：AB 2＝BE·BD－AE·AC.B. (选修42：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 将点(－1，3)变换为(0，8)．(1) 求矩阵M ；(2) 求曲线x ＋3y －2＝0在M 的作用下的新曲线方程．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ＋2，y ＝rsin θ＋2(θ为参数，r ＞0)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1＝0.(1) 求圆C 的圆心的极坐标；(2) 当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值范围．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且a ＋b ＋c ＋d ＝1，求证：a 21＋a ＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d ≥15.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A ，B ，C 三个测试项目．假定张某通过项目A 的概率为12，通过项目B ，C 的概率均为a(0＜a ＜1)，且这三个测试项目能否通过相互独立．(1) 用随机变量X 表示张某在测试中通过的项目个数，求X 的概率分布和数学期望E(X)(用a 表示)；(2) 若张某通过一个项目的概率最大，求实数a 的取值范围．在如图所示的四棱锥SABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，∠DAB ＝∠ABC＝90°，SA ＝AB ＝BC ＝a ，AD ＝3a(a ＞0)，E 为线段BS 上的一个动点．(1) 求证：DE 和SC 不可能垂直；(2) 当点E 为线段BS 的三等分点(靠近B)时，求二面角SCDE 的余弦值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C.若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC.B. (选修42：矩阵与变换)求椭圆C ：x 29＋y 24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 00 12对应的变换作用下所得的曲线的方程．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)设c ＞0，|x －1|＜c 3，|y －1|＜c3，求证：|2x ＋y －3|＜c.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BA D ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点．(1) 求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；(2) 点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．设n∈N *，f(n)＝3n＋7n－2. (1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求证：对任意正整数n，f(n)是8的倍数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，PA ，PB 分别交半圆O 于点D ，C.若AD ＝2，PD ＝4，PC ＝3，求BD 的长．B. (选修42：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3的一个特征值λ对应的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，求实数m 与λ的值．C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝45t (t 为参数)．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．设圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．D. (选修45：不等式选讲)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某年级星期一至星期五每天下午每班排3节课，且每天下午每班随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程)．(1) 求甲班和乙班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；(2) 记甲班和乙班“在一周(星期一至星期五)中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布与数学期望E(X)．设n∈N *，n ≥3，k ∈N *. (1) 求值： ① kC kn －nC k －1n －1；② k 2C kn －n(n －1)C k －2n －2－nC k －1n －1(k≥2)；(2) 化简：12C 0n ＋22C 1n ＋32C 2n ＋…＋(k ＋1)2C kn ＋…＋(n ＋1)2C nn .江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，E 是圆O 内两条弦AB 和CD 的交点，过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ，G 为切点，已知EF ＝FG.求证：EF∥CB.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2113，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1.求矩阵C ，使得AC ＝B.C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，x ，y 都是正数，且a ＋b ＝1.求证：(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，两张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.(1) ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由； (2) 求随机变量ξ的期望E(ξ)．在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M(1，－3)，N(5，1)．若点C 的坐标满足OC →＝tOM →＋(1－t)ON →(t∈R )，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点．(1) 求证：OA⊥OB；(2) 在x 轴上是否存在一点P(m ， 0)，使得过点P 任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点？若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)已知圆O 的直径AB ＝4，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE ＝2CD ，求△OCE 的面积．B. (选修42：矩阵与变换)已知向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P′(3，3)，求矩阵A .C. (选修44：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，求直线θ＝π4(ρ∈R )被曲线ρ＝4sin θ所截得的弦长．D. (选修45：不等式选讲)求函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，且BQ ＝λBB 1(λ≠0)．(1) 若λ＝12，求AP 与AQ 所成角的余弦值；(2) 若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°，求实数λ的值．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2＝2py(p ＞0)上的点M(m ，1)到焦点F 的距离为2.(1) 求抛物线的方程；(2) 如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，CB 与圆O 相切于点B ，E 为线段CB 上一点，连结AC ，AE ，分别交圆O 于D ，G 两点，连结DG 并延长交CB 于点F.若EB ＝3EF ，EG ＝1，GA ＝3，求线段CE 的长．B. (选修42：矩阵与变换)已知变换T 将平面上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0，1)分别变换成点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M .(1) 求矩阵M ；(2) 为矩阵M 的特征值．C. (选修44：坐标系与参数方程)设极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(1) 求曲线C 的直角坐标方程；(2) 设直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋2(t 为参数)与曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的长．D. (选修45：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x －1|.若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a .【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某小区停车场的收费标准如下：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙两人独立来该停车场停车(各停车一次)，且两人停车时间均不超过5小时．设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示．(1) 求甲、乙两人所付停车费相同的概率；(2) 设甲、乙两人所付的停车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)．23. 如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝∠CBA＝90°，PA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝2.E ，F ，G 分别为BC ，PD ，PC 的中点．(1) 求EF与DG所成角的余弦值；(2) 若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图所示，△ABC 是圆O 的内接三角形，且AB ＝AC ，AP ∥BC ，弦CE 的延长线交AP 于点D.求证：AD 2＝DE·DC.B. (选修42：矩阵与变换)已知a ，b ∈R ，若点M(1，－2)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b4对应的变换作用下得到点N(2，－7)，求矩阵A 的特征值．C.(选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin 2α(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π4，试求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标．D. (选修45：不等式选讲)已知|x|＜2，|y|＜2，求证：|4－xy|＞2|x－y|.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的．(1) 求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；(2) 设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．23.已知F n(x)＝(－1)0C0n f0(x)＋(－1)1C1n f1(x)＋…＋(－1)n C n n f n(x)(n∈N*)(x＞0)，其中f i(x)(i∈{0，1，2，…，n})是关于x的函数．(1) 若f i(x)＝x i(i∈N)，求F2(1)，F2 017(2)的值；(2) 若f i (x)＝x x ＋i (i∈N )，求证：F n (x)＝n ！（x ＋1）（x ＋2）…（x ＋n ）(n∈N *)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，过圆O 外一点P 作圆O 的切线PA ，切点为A ，连结OP 与圆O 交于点C ，过点C 作AP 的垂线，垂足为D.若PA ＝25，PC∶PO＝1∶3，求CD 的长．B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132，列向量X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤47.若AX ＝B ，直接写出A －1，并求出X .C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6被射线θ＝θ0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ρ≥0，θ0为常数，且θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2所截得的弦长为23，求θ0的值．D. (选修45：不等式选讲)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝6，求4x 2＋y 2的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，以正四棱锥VABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz ，其中Ox∥BC，Oy ∥AB ，E 为VC 中点．正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有cos 〈BE →，DE →〉＝－1549.(1) 求ha的值；(2) 求二面角BVCD 的余弦值．23.对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法．利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式．例如，考察恒等式(1＋x)2n＝(1＋x)n(1＋x)n(n∈N *)，左边x n的系数为C n2n ，而右边(1＋x)n(1＋x)n＝(C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n)(C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n)， x n的系数为C 0n C nn ＋C 1n C n －1n ＋…＋C n n C 0n ＝(C 0n )2＋(C 1n )2＋…＋(C n n )2，因此，可得到组合恒等式C n2n ＝(C 0n )2＋(C 1n )2＋…＋(C n n )2. (1) 根据恒等式(1＋x)m ＋n＝(1＋x)m (1＋x)n (m ，n ∈N *)两边x k(其中k∈N ，k ≤m ，k ≤n)的系数相同，直接写出一个恒等式；(2) 利用算两次的思想方法或其他方法证明：∑⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 2,k ＝0C 2k n ·2n －2k ·C k 2k ＝C n2n ，其中⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 2是n 2的最大整数．指不超过江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 为半圆O 的直径，D 为弧BC 的中点，E 为BC 的中点．求证：AB·BC＝2AD·BD.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.求实数a ，b 的值．C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m(m∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数)．当圆心C 到直线l 的距离为2时，求m 的值．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，1a 3＋1b 3＋1c 3＋27abc 的最小值为m ，解关于x 的不等式：|x ＋1|－2x ＜m.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙、丙分别从A ，B ，C ，D 四道题中独立地选做两道题，其中甲必选B 题． (1) 求甲选做D 题，且乙、丙都不选做D 题的概率；(2) 设随机变量X 表示D 题被甲、乙、丙选做的次数．求X 的概率分布和数学期望E(X)．23.已知等式(1＋x)2n －1＝(1＋x)n －1(1＋x)n.(1) 求(1＋x)2n －1的展开式中含x n的项的系数，并化简：C 0n －1C nn ＋C 1n －1C n －1n ＋…＋C n －1n －1C 1n ；(2) 求证：(C 1n )2＋2(C 2n )2＋…＋n(C n n )2＝nC n2n －1.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一点，PC 是∠APB 的平分线，E 是AB ︵的中点．求证：直线PC 经过点E.B. (选修42：矩阵与变换)已知实数a ，b ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b3对应的变换将直线x －y －1＝0变换为自身，求a ，b的值．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的圆心到直线2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1的距离．D. (选修45：不等式选讲)已知a＞0，b＞0，求证：(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，E 是棱PC的中点．(1) 求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(2) 若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角FABP的正弦值．23. 已知函数f1(x)＝x2＋48，对任意正整数n，有f n＋1(x)＝x2＋6f n（x），求方程f n(x)＝2x的所有解．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M. (1) 如图①，若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长； (2) 如图②，若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN.B. (选修42：矩阵与变换)设a ，b ∈R ，已知直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x ＋y －91＝0.求实数a ，b 的值．C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 2，y ＝4k (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. (选修45：不等式选讲)设a≠b，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab(a 2＋b 2)．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2，∠ABC ＝π3，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点． (1) 求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；(2) 点M 在线段A 1D 上，A 1MA 1D＝λ.若CM∥平面AEF ，求实数λ的值．23. 现有n （n ＋1）2(n≥2，n ∈N *)个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：** ** * *…………………………* * …… * * (1)..................第2行 (3)………………第n行设M k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*.记M1＜M2＜…＜M n的概率为p n.(1) 求p2的值；(2) 求证：p n＞C2n＋1（n＋1）！.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l ，圆O 交于点D ，E.求∠DAC 的大小和线段AE 的长．B. (选修42：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4)．(1) 求矩阵M ；(2) 求矩阵M 的另一个特征值．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1) 把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝3，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，已知正四棱锥PABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且PM PA ＝BNBD ＝13. (1) 求异面直线MN 与PC 所成角的大小； (2) 求二面角NPCB 的余弦值．23. 设|θ|＜π2，n 为正整数，数列{a n }的通项公式a n ＝sin n π2tan nθ，其前n 项和为S n .求证：(1) 当n 为偶数时，a n ＝0；当n 为奇数时，a n ＝(－1)n －12tan nθ； (2) 对任何正整数n ，S 2n ＝12sin 2θ·．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，已知△ABC 内接于圆O ，连结AO 并延长交圆O 于点D ，∠ACB ＝∠ADC.求证：AD·BC ＝2AC·CD.B. (选修42：矩阵与变换)设矩阵A 满足：A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3，求矩阵A 的逆矩阵A －1.C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22l ，y ＝22l (l 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t (t为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. (选修45：不等式选讲)设x ，y ，z 均为正实数，且xyz ＝1，求证：1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x ≥xy ＋yz ＋zx.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．(1) 求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；(2) 假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a 为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a.求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望．23.设n≥2，n ∈N *.有序数组(a 1，a 2，…，a n )经m 次变换后得到数组(b m ，1，b m ，2，…，b m ，n )，其中b 1，i ＝a i ＋a i ＋1，b m ，i ＝b m －1，i ＋b m －1，i ＋1(i ＝1，2，…，n)，a n ＋1＝a 1，b m －1，n ＋1＝b m－1，1(m≥2)．例如：有序数组(1，2，3)经1次变换后得到数组(1＋2，2＋3，3＋1)，即(3，5，4)；经第2次变换后得到数组(8，9，7)．(1) 若a i ＝i(i ＝1，2，…，n)，求b 3，5的值；(2) 求证：b m，i＝i＋j C j m，其中i＝1，2，…，n.(注：当i＋j＝kn＋t时，k∈N*，t＝1，2，…，n，则a i＋j＝a t)江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径，点B 和点C 在直线AE 的两侧．求证：AB·AC＝AD·AE.B. (选修42：矩阵与变换) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y2，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，且AX ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，其中x ，y ∈R . (1) 求x ，y 的值；(2) 若B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 2，求(AB )－1.C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的极坐标方程是ρ2－8ρcos θ＋15＝0，直线l 的极坐标方程是θ＝π4(ρ∈R)．若P，Q分别为曲线C与直线l上的动点，求PQ的最小值．D. (选修45：不等式选讲)已知x ＞0，求证：x 3＋y 2＋3≥3x＋2y.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T(3，0)．动点P 满足PS⊥l，垂足为S ，且OP →·ST →＝0.设动点P 的轨迹为曲线C.(1) 求曲线C 的方程；(2) 设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点且直线PQ 过点(1，0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x 轴的交点为N.求证：向量SM →与NQ →共线．23. 已知数列{a n }共有3n(n∈N *)项，记f(n)＝a 1＋a 2＋…＋a 3n .对任意的k∈N *，1≤k ≤3n ，都有a k ∈{0，1}，且对于给定的正整数p(p≥2)，f(n)是p 的整数倍．把满足上述条件的数列{a n }的个数记为T n .(1) 当p ＝2时，求T 2的值；1 3．(2) 当p＝3时，求证：T n＝江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于A ，B 两点，DC ⊥OB 于点C ，且DE ＝2BE ，求证：2OC ＝3BC.B. (选修42：矩阵与变换) 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 3 b 的一个特征值λ1＝－1及对应的特征向量e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.求矩阵M 的逆矩阵．C. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α∈，α为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝a(a∈R )．若曲线C 1与曲线C 2有且仅有一个公共点，求实数a 的值．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，求证：b 2a ＋c 2b ＋a2c ≥a ＋b ＋c.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分(n∈N *)的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．(1) 求在一局游戏中得3分的概率；(2) 求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望E(X)．23. 已知f n (x)＝C 0n x n－C 1n (x －1)n＋…＋(－1)k C kn (x －k)n＋…＋(－1)n C nn (x －n)n，其中x∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n.(1) 试求f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的值；。

江苏省普通高等学校高三招生考试20套模拟测试数学试题(九) Word版含解析

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.已知集合A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}，若A ∪B ＝{0，1，2，3}，则实数a 的值为____________．2.已知复数z 满足z 2＝－4，若z 的虚部大于0，则z ＝____________．3.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50～90km/h 的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图(如图所示)，则速度在70km/h 以下的汽车有________辆．(第3题)4.运行如图所示的伪代码，则输出的结果S 为____________． S ←1 I ←1 WhileI ＜5 S ←S ＋2 I ←I ＋1 EndWhile PrintS (第4题)5.函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，若AB ＝5，则ω的值为____________．(第5题)6.若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为______________．7.抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 216－y 29＝1渐近线的距离为____________．8.已知矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥DABC 的体积为__________．9.若公比不为1的等比数列{a n }满足log 2(a 1·a 2·…·a 13)＝13，等差数列{b n }满足b 7＝a 7，则b 1＋b 2＋…＋b 13的值为____________．10.定义在R 上的奇函数f(x)满足当x ≥0时，f(x)＝log 2(2＋x)＋(a －1)x ＋b(a ，b 为常数)．若f(2)＝－1，则f(－6)的值为____________．11.已知|OA →|＝|OB →|＝2，且OA →·OB →＝1.若点C 满足|OA →＋CB →|＝1，则|OC →|的取值范围是____________．12.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋cosx ，x ≥0，x （a －x ），x ＜0.若关于x 的不等式f(x)＜π的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，π2，则实数a 的取值范围是____________．13.已知点A(0，1)，B(1，0)，C(t ，0)，点D 是直线AC 上的动点，若AD ≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为____________．14.已知正数a ，b ，c 满足b ＋c ≥a ，则b c ＋ca ＋b的最小值为____________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinA ＝35，tan(A －B)＝－12.(1) 求tanB 的值； (2) 若b ＝5，求c.16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面PDC ，点E 为棱PD的中点．求证：(1) PB∥平面EAC；(2) 平面PAD⊥平面ABCD.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C 上某点P 分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元/百米、40万元/百米．建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则曲线C 符合函数y ＝x ＋42x 2(1≤x ≤9)模型，设PM ＝x ，修建两条道路PM ，PN 的总造价为f(x)万元．题中所涉及长度单位均为百米．(1) 求f(x)的解析式；(2) 当x 为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价．18.(本小题满分16分)已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足：a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝λa n a n ＋1(λ≠0，n ∈N *)．(1) 若a 1，a 2，a 3成等比数列，求实数λ的值； (2) 若λ＝12，求S n .如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，左顶点为A(－4，0)，过点A 作斜率为k(k ≠0)的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知点P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的k(k ≠0)都有OP ⊥EQ ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；(3) 若过点O 作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD ＋AEOM的最小值．20.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝e x ⎣⎡⎦⎤13x 3－2x 2＋（a ＋4）x －2a －4，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． (1) 若函数f(x)的图象在x ＝0处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，求a 的值； (2) 关于x 的不等式f(x)＜－43e x 在(－∞，2)上恒成立，求a 的取值范围；(3) 讨论函数f(x)极值点的个数．(九)1.2解析：A ＝{0，a}，B ＝{0，1，3}, A ∪B ＝{0，1，2，3}，则a ＝2.本题考查了集合并集的概念．本题属于容易题．2.2i 解析：复数z ＝x ＋yi ，则z 2＝x 2－y 2＋2xyi ＝－4, 得x 2－y 2＝－4，xy ＝0，则x ＝0，y ＝2，所以z ＝2i.本题考查了复数的平方运算以及虚部的概念．本题属于容易题．3.75解析：速度在70km/h 以下的频率为0.05×10＝0.5，150×0.5＝75辆．本题考查了频率分布直方图的知识．本题属于容易题．4.9解析：I ＝1时，S ＝3；I ＝2时，S ＝5；I ＝3时，S ＝7；I ＝4时，S ＝9；I ＝5时，输出的结果S 为9.本题考查伪代码的知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．5.π3解析：AB ＝5，|y A －y B |＝4，则|x A －x B |＝3＝T2，则T ＝6＝2πω，ω＝π3.本题主要考查三角函数周期求法．本题属于容易题．6.13解析：甲与丙都不在第一天值班，说明乙在第一天值班，则乙在第一天值班的概率为13.本题主要考查古典概型中对立事件、互斥事件的概率．本题属于容易题． 7.35解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，双曲线x 216－y 29＝1渐近线方程为3x －4y ＝0，点(1，0)到渐近线的距离为35.本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点，点到直线的距离公式．本题属于容易题．8.245解析：三棱锥DABC 的高为125，△ABC 的面积为6，则三棱锥DABC 的体积为245.本题考查三棱锥的体积问题．本题属于容易题．9.26解析：log 2(a 1·a 2·…·a 13)＝13得a 1·a 2·…·a 13＝213，a 137＝213，a 7＝2，b 7＝2，则b 1＋b 2＋…＋b 13＝13b 7＝26.本题考查等比数列和等差数列的性质．本题属于中等题．10.4解析：f(0)＝0，得b ＝－1，f(2)＝－1，得a ＝0，当x ≥0时，f(x)＝log 2(2＋x)－x －1，f(－6)＝－f(6)＝－(－4)＝4.本题考查奇函数的性质，本题属于中等题．11.[6－1，6＋1] 解析：∵OA →·OB →＝1，∴∠AOB ＝π3，建系可设A(2，0)，B ⎝⎛⎭⎫22，62，C(x ，y)，∴OA →＋CB →＝⎝⎛⎭⎫322－x ，62－y ，∴⎝⎛⎭⎫x －3222＋⎝⎛⎭⎫y －622＝1，∴C 的轨迹是以点M ⎝⎛⎭⎫322，62为圆心的圆， ∴OM ＝⎝⎛⎭⎫3222＋⎝⎛⎭⎫622＝6， ∴|OC →|∈[6－1，6＋1]．本题通过建系来解决，重点考查了向量坐标运算和圆的性质.本题属于中等题． 12.(－2π，＋∞) 解析：当x ≥0时，f(x)＝2x ＋cosx ，∵f ′(x)＝2－sinx ＞0，f(x)递增，结合f(0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π可知f(x)＜π的解集为⎣⎡⎭⎫0，π2.当x ＜0时，f(x)＝－x 2＋ax ，不等式f(x)＜π可化为x 2－ax ＋π＞0，当Δ＝a 2－4π＜0即－2π＜a ＜2π时，x 2－ax ＋π＞0恒成立，满足题意；当Δ＝a 2－4π≥0即a ＜－2π或a ＞2π时，x 2－ax ＋π＞0的解集为x ＜a －a 2－4π2或x ＞a ＋a 2－4π2.依题意知a ≥2π时，a －a 2－4π2＞0.综上可知，实数a 的取值范围是(－2π，＋∞)本题考查利用导数判断函数的单调性，一元二次不等式解法，以及分类讨论思想的运用．本题属于难题．13.4解析：直线AC 的方程为xt＋y ＝1即x ＋ty －t ＝0，设D(x ，y)，∵AD ≤2BD 即AD 2≤4BD 2，∴x 2＋(y －1)2＜4[(x －1)2＋y 2]，⎝⎛⎭⎫x －432＋⎝⎛⎭⎫y ＋132≥89表示圆外区域及圆周上的点，直线x ＋ty －t ＝0与圆⎝⎛⎭⎫x －432＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝89相离，⎪⎪⎪⎪43－13t －t 1＋t2≥223，化简得t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥2＋3或t ≤2－ 3.∴正整数t 的值的值为4.本题考查直线与圆的位置，一元二次不等式解法，以及数形结合思想的运用.本题属于难题．14.2－12解析：由b ＋c ≥a ，得b c ＋1≥a c ，则b c ＋c a ＋b ＝b c ＋1a c ＋b c ≥b c ＋12×b c ＋1＝b c ＋12＋12b c ＋12－12≥2－12.本题考查基本不等式的运用，以及代数式的变形.本题属于难题． 15.解：(1) 在锐角三角形ABC 中，由sinA ＝35，得cosA ＝1－sin 2A ＝45，(2分)所以tanA ＝sinA cosA ＝34.(4分)由tan(A －B)＝tanA －tanB 1＋tanA ·tanB＝－12，得tanB ＝2.(7分)(2) 在锐角三角形ABC 中，由tanB ＝2，得sinB ＝255，cosB ＝55，(9分)所以sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB ＝11525.(11分)由正弦定理b sinB ＝c sinC ，得c ＝bsinC sinB ＝112.(14分)16.证明：(1) 连结BD 与AC 相交于点O ，连结OE.(2分) 因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．因为E 为棱PD 中点，所以PB ∥OE.(4分) 因为PB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ，所以直线PB ∥平面EAC.(6分)(2) 因为PA ⊥平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以PA ⊥CD.(8分)因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD.(10分) 因为PA ∩AD ＝A ，PA ，AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD.(12分)因为CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD. (14分)17.解：(1) 在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C 的方程为y ＝x ＋42x2(1≤x ≤9)，PM ＝x ，所以点P 坐标为⎝⎛⎭⎫x ，x ＋42x 2，直线OB 的方程为x －y ＝0，(2分)则点P 到直线x －y ＝0的距离为|x －⎝⎛⎭⎫x ＋42x 2|2＝|42x 2|2＝4x2.(4分) 又PM 的造价为5万元/百米，PN 的造价为40万元/百米，则两条道路总造价为f(x)＝5x ＋40·4x2＝5⎝⎛⎭⎫x ＋32x 2(1≤x ≤9)．(8分) (2) 因为f(x)＝5x ＋40·4x 2＝5⎝⎛⎭⎫x ＋32x 2，所以f′(x)＝5⎝⎛⎭⎫1－64x 3＝5（x 3－64）x 3.(10分) 令f′(x)＝0，得x ＝4，列表如下：所以当x ＝4时，函数f(x)有最小值，最小值为f(4)＝5⎝⎭⎫4＋3242＝30.(13分) 答：(1) 两条道路PM ，PN 总造价为f(x)＝5⎝⎛⎭⎫x ＋32x 2(1≤x ≤9)； (2) 当x ＝4时，总造价最低，最低造价为30万元．(14分)(注：利用三次均值不等式f(x)＝5⎝⎛⎭⎫x ＋32x 2＝5(x 2＋x 2＋32x 2)≥5×338＝30，当且仅当x 2＝x 2＝32x 2，即x ＝4时等号成立，照样给分) 18.解：(1) 令n ＝1，得a 2＝21＋λ.令n ＝2，得a 2S 3－a 3S 2＋a 2－a 3＝λa 2a 3，所以a 3＝2λ＋4（λ＋1）（2λ＋1）.(2分)由a 22＝a 1a 3，得⎝⎛⎭⎫21＋λ2＝2λ＋4（λ＋1）（2λ＋1），因为λ≠0，所以λ＝1.(4分)(2) 当λ＝12时，a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1，所以S n ＋1a n ＋1－S n a n ＋1a n ＋1－1a n ＝12，即S n ＋1＋1a n ＋1－S n ＋1a n ＝12，(6分)所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋1a n 是以2为首项，公差为12的等差数列，所以S n ＋1a n ＝2＋(n －1)·12，即S n ＋1＝⎝⎛⎭⎫n 2＋32a n ，①(8分) 当n ≥2时，S n －1＋1＝⎝⎛⎭⎫n －12＋32a n －1，②①－②得，a n ＝n ＋32a n －n ＋22a n －1，(10分) 即(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1，所以a nn ＋2＝a n －1n ＋1(n ≥2)，(12分)所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋2是首项为13的常数列，所以a n ＝13(n ＋2)．(14分)代入①得S n ＝⎝⎛⎭⎫n 2＋32a n －1＝n 2＋5n 6.(16分)19. 解：(1) 因为左顶点为A(－4，0)，所以a ＝4.又e ＝12，所以c ＝2.(2分)因为b 2＝a 2－c 2＝12，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.(4分)(2) 直线l 的方程为y ＝k(x ＋4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝k （x ＋4），消元得x 216＋[k （x ＋4）]212＝1.化简得(x ＋4)[(4k 2＋3)x ＋16k 2－12]＝0，所以x 1＝－4，x 2＝－16k 2＋124k 2＋3.(6分)当x ＝－16k 2＋124k 2＋3时，y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 2＋124k 2＋3＋4＝24k 4k 2＋3，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 2＋124k 2＋3，24k 4k 2＋3. 因为点P 为AD 的中点，所以P 的坐标为(－16k 24k 2＋3，12k 4k 2＋3)，则k OP ＝－34k (k ≠0)．(8分)直线l 的方程为y ＝k(x ＋4)，令x ＝0，得E 点坐标为(0，4k)，假设存在定点Q(m ，n)(m ≠0)，使得OP ⊥EQ ，则k OP k EQ ＝－1，即－34k ·n －4km＝－1恒成立，所以(4m ＋12)k －3n ＝0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋12＝0，－3n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝0，因此定点Q 的坐标为(－3，0)．(10分)(3) 因为OM ∥l ，所以OM 的方程可设为y ＝kx 。

江苏高三数学20套数学附加题

实战演练·高三数学附加分20套江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222对应的变换将曲线C 变为曲线C′，求曲线C′的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的方程为 ρ＝2acos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 1、x 2、x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知点A(1，2)在抛物线Γ：y 2＝2px 上．(1) 若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3，求1k 1－1k 2＋1k 3的值； (2) 若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB 、BC 、CD 、DA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．23. 设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中a i ＝2或－2(1≤i ≤2m)．(1) 求满足“对任意的k(k ∈N *，1≤k ≤m)，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ；(2) 若对任意的k 、l(k 、l ∈N *，1≤k ≤l ≤m)，都有| i ＝2k －12la i |≤4成立，求满足“存在k(k ∈N *，1≤k ≤m)，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN ＝2AM.求证：AB ＝2AC.B. (选修4-2：矩阵与变换)设二阶矩阵A 、B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，求B －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z均为正数，求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1) 求S＝32的概率；(2) 求S的分布列及数学期望E(S)．23.记1，2，…，n满足下列性质T的排列a1，a2，…，a n的个数为f(n)(n≥2，n∈N*)．性质T：排列a1，a2，…，a n中有且只有一个a i>a i＋1(i∈{1，2，…，n－1})．(1) 求f(3)；(2) 求f(n)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A 、B 、C 、D 、E ，求证：AB·CD ＝BC·DE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知a 、b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3所对应的变换T M 把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a 、b.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求点M ⎝⎛⎭⎫2，π6关于直线θ＝π4的对称点N 的极坐标，并求MN 的长．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 、y 、z 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32，点M 、N 分别在PA 、BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13. (1) 求证：MN ⊥AD ；(2) 求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．23.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ＝0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．(1) 求概率P(ξ＝0)；(2) 求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，若△ABC面积S＝34AD·AE，求∠BAC的大小．B. (选修4-2：矩阵与变换)求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002M⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1成立的矩阵M.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O、B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM＝PB，当P变化时，求动点M轨迹的长度．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a、b、c均为正数，且a＋2b＋4c＝3.求1a＋1＋1b＋1＋1c＋1的最小值，并指出取得最小值时a、b、c的值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．(1) 分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数；(2) 猜想凸n边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．23.从集合M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}．(1) 求a、b、c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；(2) 记a、b、c三个数中相邻自然数的组数为ξ(如集合{3，4，5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ＝2)，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，等腰梯形ABCD 内接于圆O ，AB ∥CD.过点A 作圆O 的切线交CD 的延长线于点E.求证：∠DAE ＝∠BAC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点(1，1)，求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫23，π6，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，求点P 到直线l 的距离．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x≥1，y≥1，求证：x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱锥PABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2a，点O、D分别是AB、PB的中点，PO⊥AB，连结CD.(1) 若PA＝2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；(2) 若二面角APBC的余弦值的大小为55，求PA.23. 设集合A、B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．(1) 若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；(2) 若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE ⊥AC.求证：AC ＝2OD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 32 1的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)求经过极坐标为O(0，0)、A ⎝⎛⎭⎫6，π2、B ⎝⎛⎭⎫62，π4三点的圆的直角坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知曲线C ：y 2＝2x －4.(1) 求曲线C 在点A(3，2)处的切线方程； (2) 过原点O 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两不同点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1·(1＋a n )＝1.(1) 试计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2) 猜想|a n ＋1－a n |与115⎝⎛⎭⎫25n －1(其中n ∈N *)的大小关系，并证明你的猜想．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的一条直径，C 、D 是圆O 上不同于A 、B 的两点，过B 作圆O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN ＝BM.求证：(1) ∠NBD ＝∠DBM ；(2) AM 是∠BAC 的角平分线．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值；(2) 求A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝532＋2cos θ，y ＝72＋2sin θ(θ为参数)，以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点⎝⎛⎭⎫3，π3为圆心，且过点⎝⎛⎭⎫2，π2的圆．(1) 求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； (2) 求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证： (1) abc ≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知直线l ：y ＝2x －4与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，T(t ，0)(t>0且t ≠2)为x 轴上任意一点，连结AT 、BT 并延长与抛物线C 分别相交于A 1、B 1.(1) 设A 1B 1斜率为k ，求证：k·t 为定值；(2) 设直线AB 、A 1B 1与x 轴分别交于M 、N ，令S △ATM ＝S 1，S △BTM ＝S 2，S △B 1TN ＝S 3，S △A 1TN ＝S 4，若S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，求t 的值．23如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝π2，顶点C 1在底面△ABC 内的射影是点B ，且AC ＝BC ＝BC 1＝3，点T 是平面ABC 1内一点．(1) 若T 是△ABC 1的重心，求直线A 1T 与平面ABC 1所成的角；(2) 是否存在点T ，使TB 1＝TC 且平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出线段TC 的长度；若不存在，说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝5，属于特征值λ＝5的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换为(－2，4)，求矩阵M .22. (本小题满分10分)已知直线l 的极坐标方程是ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42，圆M 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ是参数)．(1) 将直线的极坐标方程化为普通方程； (2) 求圆上的点到直线l 上点距离的最小值．23. (本小题满分10分)如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m.(1) 若m ＝1，求异面直线AP 与BD 1所成角的余弦；(2) 是否存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成角的正弦值是13若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．24. (本小题满分10分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次．在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次．某同学在A 处的命中率为p ，在B 处的命中率为q.该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为X 0 2 3 4 5 Pp 1p 2p 3p 4p 5(1) 若p ＝0.25，p 1＝0.03，求该同学用上述方式投篮得分是5分的概率；(2) 若该同学在B 处连续投篮3次，投中一次得2分，用Y 表示该同学投篮结束后所得的总分．若p<23q ，试比较E(X)与E(Y)的大小．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C ＝50°，求∠DEF 的度数．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b (其中a ＞0，b ＞0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某品牌汽车4S 店经销A 、B 、C 三种排量的汽车，其中A 、B 、C 三种排量的汽车依次有5、4、3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1) 求该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率；(2) 记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．23. 已知点A(－1，0)，F(1，0)，动点P 满足AP →·AF →＝2|FP →|.(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M 、N ，问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，求矩阵M 的特征值，并任选择一个特征值，求其对应的特征向量．22.(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3，半径R ＝2，试判断圆C 是否通过极点，并求圆C 的极坐标方程．23. (本小题满分10分)如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为4的正方形，顶点S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别是2、1.又P是SC的中点，E是BC上一点，CE＝1，SO＝3，过O在底面内分别作AB、BC垂线Ox、Oy，分别以Ox、Oy、OS为x、y、z轴建立空间直角坐标系．(1) 求平面PDE的一个法向量；(2) 问在棱SA上是否存在一点Q，使直线BQ∥平面PDE？若存在，请给出点Q在棱SA上的位置；若不存在，请说明理由．24.(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4y，在直线y＝－1上任取一点M，过M作抛物线C的两条切线MA、MB.(1) 求证：直线AB过一个定点，并求出这个定点；(2) 当弦AB中点的纵坐标为2时，求△ABM的外接圆的方程．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1) 求矩阵A ；(2) 若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x 、y 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．(1) 求恰有2人申请A大学的概率；(2) 求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．23.设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，有f(n)∈Z；②任意m、n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求f(n)的表达式．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB ＝AD ，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CD AB ＝ABBE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1) 圆的普通方程； (2) 圆的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．(1) 求甲同学至少有4次投中的概率；(2) 求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．23.设S n ＝C 0n －C 1n －1＋C 2n －2－…＋(－1)m C m n －m ，m 、n ∈N *且m ＜n ，其中当n 为偶数时，m ＝n2；当n 为奇数时，m ＝n －12. (1) 证明：当n ∈N *，n ≥2时，S n ＋1＝S n －S n －1；(2) 记S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，求S 的值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上的一点，过D 作直线DP ∥CA ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P.求证：△PAE ∽△BDE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1且M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A(1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝12AB ，点E 是棱AB 上一点且AEEB ＝λ.(1) 证明：D 1E ⊥A 1D ；(2) 若二面角D 1ECD 的大小为π4，求λ的值．23. 设数列{a n }共有n(n ≥3，n ∈N )项，且a 1＝a n ＝1，对每个i(1≤i ≤n －1，i ∈N )，均有a i ＋1a i ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2. (1) 当n ＝3时，写出满足条件的所有数列{a n }(不必写出过程)；(2) 当n ＝8时，求满足条件的数列{a n }的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1(k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a 、k 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A(2，0)、B(0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 面积的最大值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在正四棱锥PABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M 、N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD.(1) 若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ；(2) 若二面角MBDA 的大小为π4，求线段MN 的长度．23. 已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，…，集合S k 中所有元素的平均值记为b k .将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，…，数组T 中所有数的平均值记为m(T)．(1) 若S ＝{1，2}，求m(T)；(2) 若S ＝{a 1，a 2，…，a n }(n ∈N *，n ≥2)，求m(T)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，EC 与圆O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P ，已知AE ＝EB ＝4，AD ＝5，求AP 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知点M(3，－1)绕原点逆时针旋转90°后，且在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02b 对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a 、b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)如图，在极坐标系中，设极径为ρ(ρ＞0)，极角为θ(0≤θ＜2π)．圆A 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点C 在极轴的上方，∠AOC ＝π6.△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形，若C为OP 的中点，求点Q 的极坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)已知不等式|a－2|≤x2＋2y2＋3z2对满足x＋y＋z＝1的一切实数x、y、z都成立，求实数a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Axyz中，已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B、D、B1分别在x、y、z轴上，B1A＝3，P是侧棱B1B上的一点，BP＝2PB1.(1) 写出点C1、P、D1的坐标；(2) 设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标．23.如图，圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，A n(n∈N*，n≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n.(1) 写出a2，a3，a4的值；(2) 写出a n的表达式，并用数学归纳法证明．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F.求证：△DEF ∽△EAF.B. (选修4-2：矩阵与变换)若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0－1 2把直线l ：x ＋y －2＝0变换为另一条直线l′：x ＋y －4＝0，试求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P(0，1)，曲线C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求PA·PB 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x ＞0，y ＞0，a ∈R ，b ∈R .求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y .【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1，0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N 为平面内的动点，且满足PM →·PF →＝0，PM →＋PN →＝0.(1) 求动点N 的轨迹C 的方程；(2) 设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS 、QT ，切点分别为S 、T ，设切线QS 、QT 的斜率分别为k 1、k 2，直线QF 的斜率为k 0，求证：k 1＋k 2＝2k 0.23.各项均为正数的数列{x n }对一切n ∈N *均满足x n ＋1x n ＋1＜2.证明：(1) x n ＜x n ＋1； (2) 1－1n＜x n ＜1.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．B. (选修42：矩阵与变换) 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cost ，y ＝2sint (t 为参数)，曲线C 在点(1，3)处的切线为l.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)设x 、y 、z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求证：x ＋y ＋z ＝3147.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一批产品需要进行质量检验，质检部门规定的检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件产品都是合格品，则通过检验；若有2件产品是合格品，则再从这批产品中任取1件作检验，这1件产品是合格品才能通过检验，否则不能通过检验，也不再抽检；若少于2件是合格品，则不能通过检验，也不再抽检．假设这批产品的合格率为80%，且各件产品是否为合格品相互独立．(1) 求这批产品通过检验的概率；(2) 已知每件产品检验费为125元，并且所抽取的产品都要检验，记这批产品的检验费为ξ元，求ξ的概率分布及数学期望．23.已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝3n －19，b n ＝2n .将{a n }与{b n }中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{c n }．(1) 试写出c 1，c 2，c 3，c 4的值，并由此归纳数列{c n }的通项公式； (2) 证明你在(1)所猜想的结论．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为圆O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F.求证：△PDF ∽△POC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d (c 、d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4，0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.(1) 求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；(2) 求二面角BAB1C平面角的余弦值．23.在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．(1) 当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；(2) 求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知AB ＝6，CD ＝25，求线段AC 的长度．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求ad －bc 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A 、B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值．。

高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(十一) Word版含解析

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)
数学附加分(满分分，考试时间分钟)
.【选做题】在、、、四小题中只能选做两题，每小题分，共分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
.(选修：几何证明选讲)
如图，圆的直径＝，为圆上一点，＝.过作圆的切线，⊥于点，且交圆于点，求的长．
.(选修：矩阵与变换)
已知矩阵＝，求逆矩阵－的特征值．
.(选修：坐标系与参数方程)
在极坐标系中，已知点，圆的方程为ρ＝θ(圆心为点)，求直线的极坐标方程．
.(选修：不等式选讲)
已知≥，≥，求证：＋≥(＋)．
【必做题】第、题，每小题分，共分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
.如图，在四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，＝，＝＝，是棱上一点，且＝.
() 求直线与所成角的余弦值；
() 求二面角的余弦值．
.已知函数()＝(＋)，设()为－()的导数，∈*.
() 求()，()的表达式；
() 写出()的表达式，并用数学归纳法证明．
(十一)
.解：因为圆的直径为，为圆上一点，
所以∠＝°，＝＝＝.
因为直线为圆的切线，所以∠＝∠.
所以△∽△，所以＝＝.(分)
因为＝，＝，
所以＝＝，＝＝.
由＝·，得＝＝＝.(分)
.解：设－＝，则
－＝＝，
所以＝，
所以解得
所以－＝.(分)
－的特征多项式(λ)＝
＝(λ－)＝，所以λ＝或.
所以，矩阵的逆矩阵－的特征值为或.(分)
.解：(解法)以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系.。

江苏省普通高等学校高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(二十) Word版含解析

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)已知AB ，CD 是圆O 两条相互垂直的直径，弦DE 交AB 的延长线于点F.若DE ＝24，EF ＝18，求OE 的长．B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1：x 24＋y 22＝1，求曲线C 的方程．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1.以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ，y ＝rsin θ(θ为参数)．若直线l 与圆C 相切，求r 的值．D. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝3.求证：c 2a ＋a 2b ＋b 2c ≥3.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是边长为2的等边三角形，PC ＝13，M 在PC 上，且PA ∥平面BDM. (1) 求直线PC 与平面BDM 所成角的正弦值；(2) 求平面BDM 与平面PAD 所成锐二面角的大小．23. 一只袋中装有编号为1，2，3，…，n 的n 个小球，n ≥4，这些小球除编号以外无任何区别，现从袋中不重复地随机取出4个小球，记取得的4个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为ξn ，如ξ4＝3，ξ5＝3或4，ξ6＝3或4或5，记ξn 的数学期望为f(n)．(1) 求f(5)，f(6)； (2) 求f(n)．(二十) (盐城市2017届高三第三次模拟考试)21.A.解：设半径为r ，由切割线定理，得 FB ·FA ＝FE·FD ，即18×42＝FB·(FB ＋2r)．(4分)在△DOF 中，由勾股定理，得DF 2＝OD 2＋FO 2，即422＝r 2＋(r ＋BF)2.(8分)由上两式解得r ＝614，即OE 的长为614.(10分)B.解：设曲线C 上任一点为(x ，y)，经过变换T 变成(x 0，y 0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即x 0＝x ，y 0＝22y.(6分)又x 204＋y 202＝1，得x 2＋y 2＝4.(10分) C.解：由题意，得直线l 的直角坐标方程为x －3y －2＝0，(4分) 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2.(8分)由直线和曲线相切，得r ＝21＋3＝1.(10分)D.证明：因为a ，b ，c ∈R ，所以由基本不等式，得c 2a ＋a ≥2c ，a 2b ＋b ≥2a ，b 2c＋c ≥2b.(4分)三式相加，得c 2a ＋a 2b ＋b2c≥a ＋b ＋c.又a ＋b ＋c ＝3，所以c 2a ＋a 2b ＋b 2c≥3.(10分)22.解：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 为正三角形，作AD 边上的高PO ，因为平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，由面面垂直的性质定理，得PO ⊥平面ABCD.又ABCD 是矩形，同理CD ⊥平面PAD ，知CD ⊥PD ，PC ＝13，PD ＝2，故CD ＝3.(2分)以AD 中点O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OP 所在直线为z 轴，AD 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的坐标系，则P(0，0，3)，A(1，0，0)，B(1，3，0)，C(－1，3，0)，D(－1，0，0)．连结AC 交BD 于点N ，因为PA ∥平面MBD ，平面APC ∩平面MBD ＝MN ，所以MN ∥PA.又N 是AC 的中点，所以M 是PC 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫－12，32，32.(4分)设平面BDM 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，BD →＝(－2，－3，0)，DM →＝⎝⎛⎭⎫12，32，32，n ·BD →＝0，n ·DM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3y ＝0，x 2＋3y 2＋3z2＝0，令x ＝1，解得y ＝－23，z ＝13，所以取n ＝⎝⎛⎭⎫1，－23，33.(1) 设PC 与平面BDM 所成的角为θ，则sin θ＝|PC →·n |PC →|·|n||＝31313，所以直线PC 与平面BDM 所成角的正弦值为31313.(6分)(2) 平面PAD 的法向量为向量CD →＝(0，－3，0)，设平面BDM 与平面PAD 所成的锐二面角为φ，则cos φ＝|CD →·n |CD →|·n|＝12，故平面BDM 与平面PAD 所成锐二面角的大小为π3.(10分)23.解：(1) ξ5的概率分布如下：则f(5)＝E(ξ5)＝185.(2分)ξ6的概率分布如下：则f(6)＝E(ξ6)＝215.(4分)(2) (解法1)ξn ＝3，4，5，…，n －1，P(ξn ＝i)＝（n －i ）C 2i －1C 4n(i ＝3，4，…，n －1)，(6分)∴f(n)＝E(ξn )＝i ＝3n －1⎣⎡⎦⎤i ×（n －i ）C 2i －1C 4n＝1C 4n ∑i ＝3n －1[i ×(n －i)C 2i －1] ＝1C 4n i ＝3n －1⎣⎡⎦⎤i ×（n －i ）（i －1）（i －2）2＝1C 4n i ＝3n －1⎣⎡⎦⎤3（n －i ）×i （i －1）（i －2）6＝3C 4n ∑i ＝3n －1[(n －i)×C 3i ]＝3C 4n i ＝3n －1(nC 3i －iC 3i ) ＝3C 4n ∑i ＝3n －1[(n ＋1)C 3i －(i ＋1)C 3i ] ＝3C 4n ∑i ＝3n －1[(n ＋1)C 3i －4C 4i ＋1] ＝3C 4n 错误! ＝3C 4n 错误! ＝3C 4n [(n ＋1)C 4n －4C 5n ＋1]＝35(n ＋1)．(10分) (解法2)ξn ＝3，4，5，…，n －1，P(ξn ＝i)＝（n －i ）C 2i －1C 4n(i ＝3，4，…，n －1)， ∴f(n)＝E(ξn )＝i ＝3n －1⎣⎡⎦⎤i ×（n －i ）C 2i －1C 4n ，得f(4)＝3，f(5)＝185，f(6)＝215. 猜想f(n)＝35(n ＋1)．(6分)下面用数学归纳法证明．证明：①n ＝4，5，6时猜想显然成立； ②假设n ＝k(k ≥4)时猜想成立，即f(k)＝i ＝3k －1⎣⎡⎦⎤i ×（k －i ）C 2i －1C 4k ＝35(k ＋1)，则∑i ＝3k －1[i(k －i)C 2i －1]＝35(k ＋1)C 4k ，当n ＝k ＋1时f(n)＝f(k ＋1)＝∑i ＝3k[i ×（k ＋1－i ）C 2i －1C 4k ＋1]＝1C 4k ＋1∑i ＝3k [i(k ＋1－i)C 2i －1] ＝1C 4k ＋1∑i ＝3k [i(k －i)C 2i －1＋iC 2i －1] ＝1C 4k ＋1∑i ＝3k [i(k －i)C 2i －1]＋1C 4k ＋1∑i ＝3k iC 2i －1 ＝1C 4k ＋1∑i ＝3k ＝1[i(k －i)C 2i －1]＋1C 4k ＋1∑i ＝3k3C 3i ＝1C 4k ＋1⎣⎡⎦⎤35（k ＋1）C 4k ＋3C 4k ＋1i ＝3k C 3i ＝1C 4k ＋1⎣⎡⎦⎤35（k ＋1）C 4k ＋3C 4k ＋1C 4k ＋1＝35[(k ＋1)＋1]，即n ＝k ＋1时命题也成立．综上①②，对一切n(n ≥4)猜想都成立．(10分)。

2020年高考数学模拟试题附参考答案解析(各省市模拟题汇编)(9)

A． 8
B． 6
C． 4
D． 2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共
4 小题，每小题 5 分．
13． [2019 ·平罗中学 ] 某中学为调查在校学生的视力情况，拟采用分层抽样的方法，从该校三个年
级中抽取一个容量为 30 的样本进行调查，已知该校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4:5: 6 ，
则应从高三年级学生中抽取 ______名学生．
）
A．
B．
C．
D．
5．[2019 ·南昌外国语 ] 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的 a ， b 分别为 16，20，则输出的 a （）
A． 0
B． 2
C． 4
D． 1
6． [2019 ·广州测试 ] 已知 sin cos 1 ，其中 5
绘制了他在 26 岁 35 岁（ 2009 年 2018 年）
注：年龄代码 1 10 分别对应年龄 26 35 岁．
（ 1）由散点图知，可用回归模型 y bln x a 拟合 y 与 x 的关系，试根据有关数据建立 y 关于 x 的回
归方程；
（ 2）如果该 IT 从业者在个税新政下的专项附加扣除为 3000 元/ 月，试利用（ 1）的结果，将月平均
2
19．（12 分） [2019 ·福建毕业 ] “工资条里显红利，个税新政入民心”．随着
2019 年新年钟声的
敲响，我国自 1980 年以来，力度最大的一次个人所得 R（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段．某
IT 从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，之间各年的月平均收入 y （单位：千元）的散点图：

高三招生考试20套模拟测试数学试题(十) Word版含解析

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数学(满分分，考试时间分钟)参考公式：锥体的体积公式：＝，其中为底面积，为高．一、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．.已知集合＝{－＝}，＝{－，，}，则∩＝．.已知复数＝(是虚数单位)，则＝．.书架上有本数学书，本物理书．若从中随机取出本，则取出的本书都是数学书的概率为．.运行如图所示的伪代码，其结果为．←←＋.某校高一年级有学生人，高二年级有学生人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取人，其中从高一年级学生中抽取人，则从高三年级学生中抽取的人数为．.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点(，)，则其焦点到准线的距离为．.已知实数，满足则目标函数＝－的最小值为．.若一个正方体与底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为．.在△中，设，，分别为角，，的对边，若＝，＝，＝，则边＝．.设是等比数列{}的前项和，>，若－＝，则－的最小值为．.如图，在△中，＝＝，∠＝，＝，则·的值为．.在平面直角坐标系中，过点(－，)的直线与圆：(－)＋＝相交于、两点．若点恰好是线段的中点，则直线的方程为．.设()是定义在上的奇函数，且()＝＋，设()＝若函数＝()－有且只有一个零点，则实数的取值范围是．.设函数＝的图象上存在两点、，使得△是以为直角顶点的直角三角形(其中为坐标原点)，且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是．二、解答题：本大题共小题，共分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．.(本小题满分分)设函数()＝(ω＋φ)的部分图象如图所示．() 求函数＝()的解析式；() 当∈时，求()的取值范围．.(本小题满分分)如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，∠＝，是棱的中点．求证：() ∥平面；() 平面⊥平面.。

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江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)
数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修4-1：几何证明选讲)
如图，∠PAQ 是直角，圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点B ，C.求证：BT 平分∠OBA.
B. (选修4-2：矩阵与变换)
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1
4，求矩阵A 的特征值和特征向量．
C. (选修4-4：坐标系与参数方程)
在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋13＝0，已知A ⎝
⎛⎭⎫1，3π2，B ⎝
⎛⎭⎫3，3π2，P 为圆C 上一点，求△PAB 面积的最小值．
D. (选修4-5：不等式选讲)
设x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2
≥2y ＋3.
【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 是直角三角形，AB ＝AC ＝1，AA 1
＝2，点P 是棱BB 1上一点，满足BP →＝λBB 1→(0≤λ≤1)．
(1) 若λ＝13
，求直线PC 与平面A 1BC 所成角的正弦值； (2) 若二面角PA 1CB 的正弦值为23
，求λ的值．
23. 已知数列{a n }满足a n ＝3n －2，f(n)＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n
，g(n)＝f(n 2)－f(n －1)，n ∈N *.求证：
(1) g(2)＞13
； (2) 当n ≥3时，g(n)＞13
.
(九)
21. A. 证明：连结OT.
因为AT 是切线，所以OT ⊥AP.(2分)
因为∠PAQ 是直角，即AQ ⊥AP ，
所以AB ∥OT ，
所以∠TBA ＝∠BTO.(5分)
又OT ＝OB ，所以∠OTB ＝∠OBT ，(8分)
所以∠OBT ＝∠TBA ，即BT 平分∠OBA.(10分)
B. 解：矩阵A 的特征多项式为
f(λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6，(2分) 由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.(4分)
当λ1＝2时，特征方程组为⎩
⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x －2y ＝0，故属于特征值λ1＝2的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤21；(7分) 当λ2＝3时，特征方程组为⎩
⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，x －y ＝0，故属于特征值λ2＝3的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11.(10分) C. 解：圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋43x －4y ＋13＝0，即(x ＋23)2＋(y －2)2＝3.(4分)
又A(0，－1)，B(0，－3)，所以AB ＝2.(6分)
P 到直线AB 距离的最小值为23－3＝3，(8分)
所以△PAB 面积的最小值为12
×2×3＝ 3.(10分) D. 证明：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，
2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y)＋1（x －y ）2
(4分) ＝(x －y)＋(x －y)＋1（x －y ）2≥33（x －y ）21（x －y ）2
＝3，(8分) 所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2
≥2y ＋3.(10分) 22. 解：以A 为坐标原点O ，分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建
立空间直角坐标系Oxyz.
因为AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A 1(0，0，2)，B 1(1，0，2)，P(1，0，2λ)．(1分)
(1) 由λ＝13得，CP →
＝⎝⎛⎭⎫1，－1，23，A 1B →＝(1，0，－2)，A 1C →
＝(0，1，－2)，
设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·A 1B →
＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2z 1＝0，
y 1－2z 1＝0.
不妨取z 1＝1，则x 1＝y 1＝2，
从而平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(2，2，1)．(3分) 设直线PC 与平面A 1BC 所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈CP →，n 1〉|＝|CP →·n 1|CP →|·|n 1||＝
22
33，
所以直线PC 与平面A 1BC 所成的角的正弦值为22
33.(5分)
(2) 设平面PA 1C 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， A 1P →
＝(1，0，2λ－2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1C →
＝0，n 2·A 1P →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－2z 2＝0，
x 2＋（2λ－2）z 2＝0.
不妨取z 2＝1，则x 2＝2－2λ，y 2＝2，
所以平面PA 1C 的法向量为n 2＝(2－2λ，2，1)．(7分) 则cos 〈n 1，n 2〉＝9－4λ
34λ2－8λ＋9.
因为二面角PA 1CB 的正弦值为2
3，所以9－4λ34λ2－8λ＋9＝5
3，(9分)
化简得λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝1或λ＝－9(舍去)，故λ的值为1.(10分)
23. 证明：(1) 由题意知，a n ＝3n －2，g(n)＝1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1
a n2
，(1分) 当n ＝2时，g(2)＝1a 2＋1a 3＋1a 4＝14＋17＋110＝69140＞1
3.(2分)
(2) 用数学归纳法加以证明：
① 当n ＝3时，g(3)＝1a 3＋1a 4＋1a 5＋…＋1
a 9
＝17＋110＋113＋116＋119＋122＋125
＝17＋⎝⎛⎭⎫1
10＋113＋116＋⎝⎛⎭⎫1
19＋1
22＋1
25
＞18＋⎝⎛⎭⎫116＋116＋116＋⎝⎛⎭⎫132＋132＋132
＝18＋316＋332＞18＋316＋116＞13，
所以当n ＝3时，结论成立．(4分)
② 假设当n ＝k 时，结论成立，即g(k)＞13，
则n ＝k ＋1时，
g(k ＋1)＝g(k)＋⎝⎛⎭⎫
1
a k2＋1＋1a k2＋2＋…＋1a （k ＋1）2－1
a k (6分)
＞13＋⎝⎛⎭⎫
1a k2＋1＋1a k2＋2＋…＋
1
a （k ＋1）2－1
a k
＞13＋2k ＋13（k ＋1）2－2－1
3k －2
＝13＋（2k ＋1）（3k －2）－[3（k ＋1）2
－2]
[3（k ＋1）2－2]（3k －2）
＝13＋3k 2－7k －3
[3（k ＋1）2－2]（3k －2），
由k ≥3可知，3k 2－7k －3＞0，即g(k ＋1)＞13.
所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可得，当n ≥3时，g(n)＞13.(10分)。