空间向量的线性运算习题课
1.1.1空间向量及其线性运算课件(人教版)(2)
表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决
立体几何问题.
在本章，我们就来研究这些问题.
情景引入
引例1
这是一个做滑翔
伞运动的场景.你能
想象,在滑翔过程中,
飞行员会受到来自哪
些不同方向、大小各
异的力吗？
这是一个做滑翔
伞运动的场景.可以
若 0， a与a的方向相反；
若 0， a 0.
空间向量
实数与空间向量a的积
是一个向量，记作 a，
其长度和方向规定如下：
（1） a a
（2）若 0, a与a的方向相同；
若 0， a与a的方向相反；
若 0， a 0.
2. 空间向量的线性运算
人教A版202X高中数学选择性必修第一册
第一章 空间向量与立体几何
1.1.1 空间向量及其线性运算
星
学习目标
（1）经历向量及其运算由平面空间推广的过程，了解空间向量的
概念，发展数学抽象素养；
（2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
（3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
（4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
反过来，a与b有什么位置关系时，a=λb？
对任意两个空间向量a, b（b 0）
, a / / b 存在实数，使a b
a
l
P
O
O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行
的非零向量称为直线l的方向向量
对于直线l上任意一点P，由向量共线的充要条件可知，存在唯一确
定的实数，使得 OP a . 也就是说，直线可以由其上一点和它的
课时作业2：1.1.1 第二课时 空间向量的线性运算
第二课时 空间向量的线性运算基础达标一、选择题1.如图，在四面体OABC 中，D 为BC 的中点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则AD →＝( )A.a ＋12b －cB.12a －12b ＋cC.－a ＋12b ＋12cD.a ＋12b －12c解析 AD→＝OD →－OA →＝12(OB →＋OC →)－OA →＝－a ＋12b ＋12c .答案 C2.在空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( )A.a ＋b －cB.c －a －bC.c ＋a －bD.c ＋a ＋b解析 如图，∵AB→＋BC →＋CD →＋DA →＝0，即a ＋b ＋CD →－c ＝0，∴CD →＝c －a －b .答案 B3.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－nAA 1→，则m ，n 的值分别是( )A.12，－12B.－12，－12C.－12，12D.12，12解析 如图，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12DC 1→＝AD →＋12 (DC →＋DD 1→ )＝AD →＋12 (AB →＋AA 1→ )＝AD→＋12AB →＋12AA 1→，故m ＝12，n ＝－12.答案 A4.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为BD 1→的是( ) A.①② B.②③ C.③④D.①④解析 如图，①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A → )＋DD 1→＝(B 1D 1→＋D 1D → )＋DD 1→＝B 1D 1→＋(D 1D →＋DD 1→ )＝B 1D 1→≠BD 1→ .综上所述，①②符合题意.答案 A5.P 为正六边形ABCDEF 所在平面外一点，O 为正六边形ABCDEF 的中心，则P A →＋PB →＋PC →＋PD →＋PE →＋PF →等于( ) A.2PO → B.4PO → C.6PO→ D.12PO→ 解析 由O 是正六边形ABCDEF 的中心，得OA→＋OD →＝0，OB →＋OE →＝0，OC →＋OF →＝0，∴P A →＋PB →＋PC →＋PD →＋PE →＋PF →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD →＋PO →＋OE →＋PO →＋OF →＝6PO →. 答案 C 二、填空题6.设e 1，e 2是不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________.解析 由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，又A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使得AB →＝λBD →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，即(2－λ)e 1＝(－k －4λ)e 2，又e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧2－λ＝0，－k －4λ＝0，解得k ＝－8.答案 －87.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点.用AB →，AD →，AA 1→表示向量MN →，则MN →＝__________.解析 MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →＋12 (CB →＋BB 1→ )＝12AB →＋AD →＋12 (－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→.答案 12AB →＋12AD →＋12AA 1→8.在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB→＋12BC →－32DE →－AD→化简的结果为________.解析 如图，延长DE 交棱BC 于点F ，连接AF ，则AB→＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝DF→＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.答案 0 三、解答题9.如图，设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心.求证：AG→＝13(AB →＋AC→＋AD →).证明 连接BG ，延长后交CD 于点E ，由G 为△BCD 的重心，知BG→＝23BE →，且E 为CD 的中点， ∴BE→＝12BC →＋12BD →， ∴AG→＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB→＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)]＝13(AB →＋AC →＋AD →).10.如图，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点中的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB→相等的所有向量；(4)试写出AA 1→的相反向量.解 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个.(2)由于这个长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→，共8个.(3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→，共3个. (4)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →，共4个.能力提升11.已知空间四边形OABC ，M 在AO 上，满足AM MO ＝12，N 是BC 的中点，且AO →＝a ，AB→＝b ，AC →＝c ，用a ，b ，c 表示向量MN →为( ) A.13a ＋12b ＋12cB.13a ＋12b －12cC.－13a ＋12b ＋12cD.13a －12b ＋12c 解析 因为空间四边形OABC 中，M 在AO 上，满足AM MO ＝12，N 是BC 的中点，且AO →＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，所以MN →＝MA →＋AB →＋12BC →＝MA →＋AB →＋12(AC →－AB →)＝MA→＋12AB →＋12AC →＝－13a ＋12b ＋12c .故选C. 答案 C12.已知四边形ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值：(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →. (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 解 如图，(1)因为OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12P A →－12PC →， 又OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →， 所以x ＝y ＝－12. (2)因为P A →＋PC →＝2PO →，所以P A →＝2PO →－PC →. 又因为PC→＋PD →＝2PQ →， 所以PC→＝2PQ →－PD →. 从而有P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →.又P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →， 所以x ＝2，y ＝－2.创新猜想13.(多选题)下列命题中正确的是( )A.在四边形ABCD 中，若BC →＝2AD →，则四边形ABCD 为梯形B.若|a ＋b |＝|a －b |，则|a |＝|b |C.若a ，b ，c 为非零向量，且a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cD.空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内解析 对于A ：由BC →＝2AD →得BC ∥AD 且BC ＝2AD ，故四边形ABCD 为梯形，故A 正确；对于B ：由|a ＋b |＝|a －b |只能说明以表示a ，b 的有向线段为邻边的四边形为矩形，但|a |与|b |不一定相等，故B 错；C 正确，对于D ：在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故D 正确，故选ACD. 答案 ACD14.(多填题)如图，在四面体ABCD 中，E ，F ，H 分别为棱CD ，AD ，BC 的中点，连接BE ，DH ，交于点G ，连接AG ，HF ，则(1)AG→＋13BE →＋12CA →＝________； (2)12(AB →＋AC →－AD →)＝________. 解析 (1)如图，连接EF ，∵G 是△BCD 的重心，∴GE→＝13BE →.又∵12CA →＝EF →，∴由向量加法的三角形法则可知 AG→＋13BE →＋12CA →＝AG →＋GE →＋EF →＝AE →＋EF →＝AF →， 即AG→＋13BE →＋12CA →＝AF →. (2)如图，分别取AB ，AC 的中点P ，Q ，连接PH ，QH ，AH ，则四边形APHQ 为平行四边形.∵12AB →＝AP →，12AC →＝AQ →，AP →＋AQ →＝AH →，12AD →＝AF →， ∴12(AB →＋AC →－AD →)＝12AB →＋12AC →－12AD →＝AP →＋AQ →－AF →＝AH →－AF →＝FH →. 答案 (1)AF→ (2)FH →。
高中数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算 课时分层练习题含答案解析
1.1.1 空间向量及其线性运算基础练习一、单选题1.下列命题中，假命题是（ ）A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等 【答案】D【解析】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.C.零向量：模长为0的向量.真命题.D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.. 2．在下列命题中：①若向量,a b 共线，则,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线是异面直线，则,a b 一定不共面； ③若三个向量,a b c ，两两共面，则,a b c ，三个向量一定也共面；④已知三个向量,a b c ，，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：若三个向量,,a b c 两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误 3.在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++.其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行或重合；所以①错；②因为向量是可以自由移动的量，因此即使a 、b 所在的直线是异面直线，a 、b 也可以共面；所以②错；③若a 、b 、c 三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此a 、b 、c 三向量不一定共面；所以③错；④若三向量a 、b 、c 共面，若向量p 不在该平面内，则向量p 不能表示为p xa yb zc =++，所以④错.4．如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，且2OM MA =，BN NC =，则MN =（ ）A ．221332a b c ++ B ．111222a b c +-C ．211322a b c -++ D ．121232a b c -+ 【答案】C【解析】因为MN ON OM =-，又因为()()2211,3322a OM OA ON OB OC cb =+===+， 所以211322MN a b c =-++ 5．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++ B ．1122a b c --+ C ．1122a b c -+ D ．1122-++a b c 【答案】D【解析】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+11112AA B D =+()1111112AA B A A D =++()112AA AB AD =+-+ 因为,AB a AD b ==,1AA c =，则()112AA AB AD +-+1122a b c =-++即1122BM a b c =-++，6.在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是（ ） A ．OM OA OB OC =-- B ．111532OM OA OB OC =++C ．0MA MB MC ++=D ．0OM OA OB OC +++=【答案】C【解析】对于A 选项，由于11111--=-≠，所以不能得出,,,M A B C 共面. 对于B 选项，由于1111532++≠，所以不能得出,,,M A B C 共面. 对于C 选项，由于MA MB MC =--，则,,MA MB MC 为共面向量，所以,,,M A B C 共面. 对于D 选项，由0OM OA OB OC +++=得OM OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以不能得出,,,M A B C 共面. 二、填空题7．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______． 【答案】18【解析】P ，A ，B ，C 四点共面，且3148OP OA OB OC t =++，31148t ++=，解得18t =.8．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有1133OM xOA OB OC =++，则x ＝________. 【答案】13【解析】已知1133OM xOA OB OC =++且M ，A ，B ，C 四点共面， 则11133x ++= ，解得x=13三、解答题9．已知平行四边形ABCD 从平面AC 外一点O 引向量．,OE k OA OF k OB →→→→==，,OG k OC OH k OD →→→→==．求证：四点E ，F ，G ，H 共面【解析】∵,OE k OA OF k OB →→→→==；∴||OE OFk OA OB==； EF //AB ，且EF ＝|k |AB ；同理HG //DC ，且HG ＝|k |DC ，AB ＝DC ； ∴EF //HG ，且EF ＝HG ； ∴四边形EFGH 为平行四边形； ∴四点E ，F ，G ，H 共面.提升训练一、多选题 1．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB A b c a D AA ===，则下列等式正确的是（ ）A ．1122BM a b c =-++B ．11122A M a b =+ C ．1122AM a b c =++ D ．1AC a b c =++ 【答案】ABCD【分析】利用向量加法的三角形法则，平行四边形法则即可求答案. 【详解】()()11111112222BM BB B M AA AD AB c b a a b c =+=+-=+-=-++，故A 正确； ()111111111112222A M A C A D AB a b ==+=+，故B 正确； 111122AM AA A M c a b =+=++，故C 正确； 11AC AB BC CC a b c =++=++2．对空间任意一点O 和不共线三点A ，B ，C ，能得到P ，A ，B ，C 四点共面的是（ ） A ．OP OA OB OC =++ B ．111333OP OA OB OC =++C ．311488OP OA OB OC =++D ．2OP OA OB OC =--【答案】BC【分析】方法一：根据向量共面定理可得存在唯一一组数,x y ，使得PA xPB yPC =+，可得1111x yOP OA OB OC x y x y x y =-+++-+-+-，根据选项依次列方程组求解可判断.方法二：根据共面定理的推论可得.【详解】方法一：若P ，A ，B ，C 四点共面，则存在唯一一组数,x y ，使得PA xPB yPC =+， 则()()OA OP x OB OP y OC OP -=-+-， 整理可得1111x yOP OA OB OC x y x y x y =-+++-+-+-，对A ，若OP OA OB OC =++，则1111111x y xx y yx y ⎧-=⎪+-⎪⎪=⎨+-⎪⎪=⎪+-⎩，方程组无解，不能得到P ，A ，B ，C 四点共面，故A 错误；对B ，若111333OP OA OB OC=++，则1113113113x y x x y y x y ⎧-=⎪+-⎪⎪=⎨+-⎪⎪=⎪+-⎩，解得1,1x y =-=-，符合，可以得到P ，A ，B ，C 四点共面，故B 正确；对C ，若311488OP OA OB OC =++，则1314118118x y x x y y x y ⎧-=⎪+-⎪⎪=⎨+-⎪⎪=⎪+-⎩，解得11,66x y =-=-，符合，可以得到P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确；对D ，若2OP OA OB OC =--，则1211111x y xx y yx y ⎧-=⎪+-⎪⎪=-⎨+-⎪⎪=-⎪+-⎩，方程组无解，不能得到P ，A ，B ，C 四点共面，故D 错误. 故选：BC.方法二：根据共面定理的推论可得，若P ，A ，B ，C 四点共面，则对于空间中任意一点O ，有OP xOA yOB zOC =++uu u r uu r uu u r uuu r，且满足1x y z ++=，则由选项可得只有BC 满足.3．给出下列命题，其中为假命题的是（ ）A ．若向量,,a b c 是空间一组基底，则,,23a b a c c b -+-也是空间的一组基底B ．已知n ⊥平面α，m 为直线l 的一个方向向量，若n m ⊥、则直线l ∥面αC ．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量,(,)n a b R λμλμ=+∈且,0λμ≠，//m nD ．已知空间的三个不共面向量,,OA OB OC ，若243OD OB OC OA +=-，则D 、A 、B 、C 四点共面【答案】BCD【分析】A 项，结合定义可判断正确；B 项，直线l 也可能在平面内α；C 项，m n ⊥；D 项，结合四点共线公式可判断错误【详解】对A ，若向量,,a b c 是空间一组基底，则由(),,,,,,,,0ma nb pb qc xa yc m n p q x y +++≠构成的向量均不共面，故,,23a b a c c b -+-也是空间的一组基底，A 正确； 对B,当直线l α⊂时，也满足题设条件，则B 错误；对C ，若向量m 垂直于向量a 和b ，向量,(,)n a b R λμλμ=+∈且,0λμ≠，则n 一定在由,a b 向量组成的平面内，则m n ⊥，故C 错误；对D ，因为空间的三个不共面向量,,OA OB OC ，若满足243OD OB OC OA +=-，则243OD OC OA OB =--，2431≠--，故D 、A 、B 、C 四点不共面，D 错误， 4．有下列命题，其中真命题的有（ ） A ．若//AB CD ，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若//AB AC ，则A ，B ，C 三点共线C ．若12,e e 为不共线的非零向量， 1212214,510a e eb e e =-=-+，则a //bD ．若向量123,,e e e 是三个不共面的向量，且满足等式k 11e ＋k 22e ＋k 33e ＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0 【答案】BCD【分析】由向量平行，结合各点的位置关系判断A 、B 的正误；利用平面向量共线的判定可判断C 的正误；应用反证法，假设等量关系中系数不都为0，结合题设等量关系及向量共线的判定即可知D 的正误.【详解】根据共线向量的定义，若//AB CD ，则AB //CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错； 由//AB AC 且AB 、AC 有公共点A ，故B 正确；由12122144()4510a e e e eb =-=--+=-，所以a //b ，故C 正确，若条件等量关系中系数不都为0，则k 11e ＋k 22e 与k 33e 不可能共线，显然与题设矛盾，故D 正确．。
1.1.1空间向量及其线性运算课件(人教版)(2)
∴a+(b+c)=(a+b)+c
问题：如何证明空间向量加法结合律？
结论：一般地，对于三个不共
面的向量a，b，c，以点O为起
点，a，b，c为邻边做平行六面
体，则a，b，c的和等于以O为
起点的平行六面体的体对角线
所示的向量。
【 探 究 】 如图， 在平 行六 面体 ABCD ABCD 中 ，分 别标 出
B
b
O
A
a
• 任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两向量
• 空间任意两个向量都是共面的
• 由于空间任意两个向量都可以转化为同一个平面内的向量，所以凡涉及
空间两个向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用于它们.
练习: 给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
（2）若空间向量
教学重点：
空间向量的线性运算和运算律.
教学难点：
共线向量定理及共面向量定理.
情景引入
这是一个做滑翔伞运动
的场景.可以想象,在滑翔过
程中,飞行员会受到来自不同
方向、大小各异的力.显然这
些力不在同一个平面内.这就
是我们今天要学习的空间向
量.
新课讲授
空间向量的有关概念
空间向量是平面向量的推广，其表示
方法以及一些相关概念与平面向量一致。
= k( AB + AD )= k( OB - OA+ OD - OA )
= OF - OE +OH - OE = EF + EH .
由向量共面的充要条件可知，
EH ,EF ,EG 共面，
又 EH ,EF ,EG过同一点E，从而E,F,G,H 四点共面.
数学第一章空间向量与立体几何1-1第1课时空间向量及其线性运算练习含解析新人教A版选择性必修第一册
第1课时 空间向量及其线性运算学习目标 1.理解空间向量的有关概念.2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律．知识点一 空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. 4．几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量 与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a ，都有0∥a相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量思考 空间中的两个向量是不是共面向量？答案 是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 知识点二 空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a ＋b ＝OA →＋ AB → ＝OB →减法a －b ＝OA →－OC →＝CA →数乘当λ>0时，λa ＝λOA →＝PQ →； 当λ<0时，λa ＝λOA →＝MN →；当λ＝0时，λa ＝0运算律 交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：a ＋(b ＋c )＝(a ＋b )＋c ，λ(μa )＝(λμ)a ；分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .思考1 怎样作图表示三个向量的和，作出的和向量是否与相加的顺序有关？答案 可以利用三角形法则和平行四边形法则作出三个向量的和．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变． 思考2 由数乘λa ＝0，可否得出λ＝0? 答案 不能．λa ＝0⇔λ＝0或a ＝0.1．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × ) 2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ )3．空间两非零向量相加时，一定可以用平行四边形法则运算．( × ) 4．向量AB →与AC →是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上．( √ )一、向量概念的应用例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．方向相反的两个向量是相反向量 B ．空间中任意两个单位向量必相等C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＞|CD →|，则AB →＞CD →D ．相等向量其方向必相同 答案 D解析 A 中，方向相反，长度相等的两个向量是相反向量；B 中，单位向量模都相等而方向不确定；C 中，向量作为矢量不能比较大小，故选D. (2)(多选)下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的加法满足结合律D ．任一向量与它的相反向量不相等 答案 BC解析 |a |＝|b |，说明a 与b 模相等，但方向不确定；对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确；空间向量的加法满足结合律，C 正确；零向量的相反向量仍是零向量．故选BC.反思感悟 空间向量的概念问题在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1 下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是________． ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． 答案 ①解析 根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点和终点无关，④不正确．综上可知只有①正确． 二、空间向量的加减运算例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′———→.解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AA ′—→＋A ′D ′———→＝AD ′—→. (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′———→＝AA ′—→＋A ′B ′———→＋B ′C ′———→ ＝AB ′—→＋B ′C ′———→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．延伸探究试把本例中的体对角线所对应向量AC ′—→用向量AA ′—→，AB →，AD →表示． 解 在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′—→＝AC →＋AA ′—→， 在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →. 故AC ′—→＝AB →＋AD →＋AA ′—→.反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2 (多选)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1—→的是( )A.A 1D 1—→－A 1A —→－AB →B.BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→C.AD →－AB →－DD 1—→D.B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→ 答案 AB解析 A 中，A 1D 1—→－A 1A —→－AB →＝AD 1—→－AB →＝BD 1—→； B 中，BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→＝BC 1—→＋C 1D 1—→＝BD 1—→；C 中，AD →－AB →－DD 1—→＝BD →－DD 1—→＝BD →－BB 1—→＝B 1D —→≠BD 1—→；D 中，B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→＝BD →＋AA 1—→＋DD 1—→＝BD 1—→＋AA 1—→≠BD 1—→.故选AB. 三、空间向量的线性运算例3 在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F ，H 分别为边CD ，AD 和BC 的中点，化简下列各表达式． (1)AG →＋13BE →＋12CA →；(2)12(AB →＋AC →－AD →)．解 (1)因为G 是△BCD 的重心，所以|GE →|＝13|BE →|，所以13BE →＝GE →，又因为12CA →＝EF →，所以由向量的加法法则，可知AG →＋13BE →＋12CA →＝AG →＋GE →＋EF →＝AE →＋EF →＝AF →.从而AG →＋13BE →＋12CA →＝AF →.(2)如图所示，分别取AB ，AC 的中点P ，Q ，连接PH ，QH ，则四边形APHQ 为平行四边形，且有12AB →＝AP →，12AC →＝AQ →，而AP →＋AQ →＝AH →，12AD →＝AF →，所以12(AB →＋AC →－AD →)＝AP →＋AQ →－AF →＝AH →－AF →＝FH →.反思感悟 利用数乘运算进行向量表示的注意点(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．跟踪训练3 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A —→＝c ，则下列向量中与B 1M —→相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c答案 A解析 B 1M —→＝B 1B —→＋BM →＝A 1A —→＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .1．“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B2．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝3答案 D解析 向量a ，b 互为相反向量，则a ，b 模相等，方向相反，故选D. 3．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0 C.AB →－AC →＝CB → D.AB →＝－BA → 答案 B4．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形 D ．矩形答案 A解析 ∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →， ∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．5．化简：5(3a －2b )＋4(2b －3a )＝________. 答案 3a －2b1．知识清单： (1)向量的概念．(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)． (3)向量的线性运算的运算律． 2．方法归纳：三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想． 3．常见误区：对空间向量的理解应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数．1．(多选)下列说法中，正确的是( ) A ．模为0是一个向量方向不确定的充要条件B ．若向量AB →，CD →满足|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向，则AB →＞CD →C ．若两个非零向量AB →，CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →互为相反向量 D.AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合 答案 AC解析 A 正确，模不为0的向量方向是确定的． B 错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小． C 正确，由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，所以AB →，CD →互为相反向量．D 错误，AB →＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向．但A 与C ，B 与D 不一定重合． 2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0 D.MN →答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0，故选C. 3．在空间四边形OABC 中，OA →＋AB →－CB →等于( ) A.OA → B.AB → C.OC →D.AC →答案 C4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( ) A.AB →＋A 1D 1—→＋C 1A 1—→ B.AB →－AC →＋BB 1—→ C.AB →＋AD →＋AA 1—→ D.AC →＋CB 1—→答案 A解析 在A 选项中，AB →＋A 1D 1—→＋C 1A 1—→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0. 5．如果向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( ) A.AB →＝AC →＋BC → B.AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC →同向 D.AC →与CB →同向 答案 D6．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________. 答案 AD →解析 AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是________． 答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝AB →＋BC →＋DC →－DA →＝AC →＋AC →＝2AC →.8．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________. 答案 29.如图所示的是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，化简下列各式：(1)AB →＋AD →＋AA 1→； (2)DD 1—→－AB →＋BC →.解 (1)AB →＋AD →＋AA 1—→＝AC →＋AA 1—→＝AC 1—→.(2)DD 1—→－AB →＋BC →＝AA 1—→－AB →＋BC →＝BA 1—→＋BC →＝BD 1—→.10．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解 AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.因为E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点， 所以BE →＝EC →，EF →＝GD →.所以AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →. 故所求向量为AD →，AF →，如图所示．11．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AB → C.AC → D.BA →答案 D解析 方法一 DA →＋CD →－CB →＝(CD →＋DA →)－CB →＝CA →－CB →＝BA →. 方法二 DA →＋CD →－CB →＝DA →＋(CD →－CB →)＝DA →＋BD →＝BA →.12．在三棱锥A －BCD 中，E 是棱CD 的中点，且BF →＝23BE →，则 AF →等于( )A. 12AB →＋34AC →－34AD →B. AB →＋34AC →－34AD →C ．－5AB →＋3AC →＋3AD →D.13AB →＋13AC →＋13AD → 答案 D解析 因为 E 是棱 CD 的中点，BF →＝23BE →，所以 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BE →＝AB →＋23(AE →－AB →)＝23AE →＋13AB →＝13(AC →＋AD →)＋13AB →＝13AB →＋13AC →＋13AD →. 13．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝________. 答案 －c －a ＋b 解析 如图，A 1B —→＝B 1B —→－B 1A 1—→＝B 1B —→－BA →＝－CC 1—→－(CA →－CB →) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b .14．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简A 1O —→－12AB →－12AD →＝________.(2)用AB →，AD →，AA 1—→表示OC 1—→，则OC 1—→＝________. 答案 (1)A 1A —→ (2)12AB →＋12AD →＋AA 1—→解析 (1)A 1O —→－12AB →－12AD →＝A 1O —→－12(AB →＋AD →)＝A 1O —→－AO →＝A 1O —→＋OA →＝A 1A —→.(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)，所以OC 1—→＝OC →＋CC 1—→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1—→＝12AB →＋12AD →＋AA 1—→.15．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→，则x ＋y ＋z ＝________.答案 6解析 在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′——→＝AB →＋BC →＋CC ′——→，又AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y 2＝1，z 3＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，z ＝3，∴x ＋y ＋z ＝6.16.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →.解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1—→＋A 1D 1——→＋D 1P —→＝a ＋AD →＋12D 1C 1——→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b . (2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC → ＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c . (3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A —→＋AP → ＝－12a ＋⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c .。
1.1.1 空间向量及其线性运算(第1课时)空间向量及其线性运算
思考题1 下列命题是真命题的是( )
A．表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量 不在同一个平面内
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量A→B，C→D满足|A→B|>|C→D|，且A→B与C→D同向，则A→B>C→D
√D．若两个非零向量A→B与C→D满足A→B＋C→D＝0，则A→B∥C→D
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思考3 向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ 提示 没有关系．
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【知识拓展】 空间向量与平面向量的一致性 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完 全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为 相反向量的充要条件是两个向量的模相等，方向相反．
可以记作A→B，其模记为|a|或|A→B|.
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知识点二 几类特殊的空间向量
特殊向量
定义
零向量
模为_0__的向量
单位向量
模为_1__的向量
相反向量 与向量a长度相__等__而方向_相__反_的向量
相等向量
方向_相__同_且模_相__等__的向量
表示法
0 |a|＝1或
|A→B|＝1
－a a＝b或
A→B＝C→D
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课前自学
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知识点一 空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，我们把具有_大__小__和_方__向__的量叫做空间向量． (2)空间向量的长度：空间向量的_大__小__叫做空间向量的长度或模．
①几何表示法：空间向量用_有__向__线__段____表示. (3)表示法②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也
提示 起点、终点未必相同．
空间向量及应用专题1002：空间向量的线性运算
专题1002：空间向量的线性运算例：如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→.跟踪训练1 如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.跟踪训练2：如图，在三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示NM →，则NM →等于( )A.12(－a ＋b ＋c ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(－a －b ＋c ) 跟踪训练3．已知空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a ，b 的夹角为π3，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA →＝2a ＋b ，OB →＝3a －b ，则△OAB 的面积为( ) A.52 3 B.54 3 C.74 3 D.114跟踪训练4．(多选)有下列四个命题，其中不正确的命题有( )A ．已知A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0B ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →C ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量D ．对于空间的任意一点O跟踪训练5．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z ＝________.。
高考数学复习典型题型专题讲解与练习54 空间向量及其线性运算
高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题54 空间向量及其线性运算题型一 空间向量共线的判定1．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP mOA nOB =+，其中m ＋n ＝1，则（ ） A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对 【答案】A【解析】因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ， 所以(1)OP n OA nOB =-+，即()OP OA n OB OA -=-， 即AP nAB =，所以AP 与AB 共线． 又AP ，AB 有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB . 故选：A.2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( ) A ．AB BC AC +=B ．AB BC AC -= C ．AB BC =D ．AB BC = 【答案】C【解析】对于空间中的任意向量，都有 AB BC AC +=，说法A 错误；若AB BC AC -=，则AC BC AB +=，而AC CB AB +=，据此可知BC CB =，即,B C 两点重合，选项B错误；AB BC=，则A、B、C三点共线，选项C正确；AB BC=，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项D错误；本题选择C选项.3．AB与CD共线是直线AB∥CD的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量共线的定义，可知若AB与CD共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若AB∥CD，则AB与CD共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知AB与CD共线是直线AB∥CD的必要不充分条件，故选B4．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断EF与AD BC+是否共线.【答案】证明见解析.【解析】解：连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别为AB、CD的中点.∴11,22GF AD EG BC ==.又∵E、F、G三点共面，∴1()2EF GF EG AD BC=+=+，即EF与AD BC+共线.5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且123A F FC =，求证：E ，F ，B 三点共线.【答案】证明见解析.【解析】设1,,AB a AD b AA c ===， ∵112A E ED =，123A F FC =，∴11123A E A D =，1125A F AC =，而11A D AD b == ∴123A E b =，111222()()()555A F AC AA AB AD AA a b c =-=+-=+-. ∴1122()53EF A F A E a b c =-=--,又1123EB EA A A AB a b c =++=--, ∴25EF EB =，即E ，F ，B 三点共线. 题型二 由空间向量共线求参数值6．已知非零向量324a m n p =--，(1)82b x m n y p =+++，且m 、n 、p 不共面．若//a b ，则x y +=（ ）．A ．13-B ．5-C ．8D ．13 【答案】 B【解析】//a b 且0a ≠，∴b a λ=，即(1)82324x m n y p m n p λλλ+++=--，又m 、n 、p 不共面，∴138224x y λλλ+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得13x =-，8y =，5x y +=-.故选：B .7．在四面体ABCD 中,E,F 分别是棱BC,AD 的中点,设AB =a,AC =b,AD =c,且EF =xa+yb+zc,则x,y,z 的值分别为( ) A ．-12,-11,22B ．-11,22,-12C ．11,22,-12D ．12,-11,22【答案】A【解析】根据题意，画出图形如下图所示：由图可知1122EF EC CD DFBC CD AD =++=+- ()1122111222AC AB AD AC AD AB AC AD =-+--=-+111222a b c =--+ 所以111,,222x y z =-=-= 所以选A8．设1e ,2e 是两个不共线的空间向量，若122AB e ke =-，1233CB e e =+，12CD ke e =+，且,,A B D 三点共线，则实数k 的值为_______．【答案】4或-1【解析】因为,,A B D 三点共线，所以存在实数λ使得12 2AB BD AB e ke λ==-，()1232BD CD CB k e e =-=--，()232k k λλ⎧=-⎨-=-⎩所以2340k k --=，解得1k =-或4. 题型三 空间向量共面的判定9．A ，B ，C 不共线，对空间内任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点（ ）A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面 【答案】B【解析】因为311488OP OA OB OC =++， 所以()()()6OP OA OB OP OC OP -=-+-，86OP OA OB OC =++， 6AP PB PC=+，即1166AP PB PC =+， 故P ，A ，B ，C 四点共面， 故选：B10．已知空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，下列能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是（ ）A ．OP OA OB OC =++B ．111333OP OA OB OC =++ C ．1122OP OA OB OC =-++D ．以上都不对 【答案】B【解析】设OP xOA yOB zOC =++且1x y z ++=，则()1OP xOA yOB x y OC =++--，()()OP OC x OA OC y OB OC ∴-=-+-，则CP xCA yCB =+，所以，CP 、CA 、CB 为共面向量，则P 、A 、B 、C 四点共面. 对于A 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面； 对于B 选项，111333OP OA OB OC =++，1111333++=，P 、A 、B 、C 四点共面； 对于C 选项，1122OP OA OB OC =-++，1110122-++=≠，P 、A 、B 、C 四点不共面. 故选：B.11．,,,A B C D 是空间四点，有以下条件： ①11OD OA OB OC 23=++； ②111234OD OA OB OC =++；③111OD OA OB OC 235=++； ④111OD OA OB 236OC =++， 能使,,,A B C D 四点一定共面的条件是______ 【答案】④【解析】对于④111OD OA OB 236OC =++，1111236++=，由空间向量共面定理可知,,,A B C D 四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件. 故答案为：④12．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足111333OM OA OB OC =++.（1）判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面； （2）判断点M 是否在平面ABC 内.【答案】（1）,,MA MB MC 共面；（2）点M 在平面ABC 内. 【解析】（1）由题意，知：3OM OA OB OC =++，∴()()OA OM OM OB OM OC -=-+-，即MA BM CM MB MC =+=--， 故,,MA MB MC 共面得证.（2）由（1）知：,,MA MB MC 共面且过同一点M . 所以,,,M A B C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内.13．如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM=13BD ，AN=13AE.求证:向量MN CD DE ，，共面.【答案】证明见解析【解析】因为M 在BD 上，且13BM BD =，所以111333MB DB DA AB ==+. 同理1133AN AD DE =+. 所以MN MB BA AN =++ =1133DA AB ++BA +1133AD DE +=21213333BA DE CD DE +=+.又CD 与DE 不共线，根据向量共面的充要条件可知MN CD DE ，，共面. 题型四 由空间向量共面求参数值14．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，都有1133OM xOA OB OC =++，则x 的值是A ．1B ．0C ．3D ．13【答案】D【解析】因为1133OM xOA OB OC =++，且,,,M A B C 四点共面，所以必有11133x ++=，解得13x =，故选D ． 15．O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______．【答案】18【解析】P ，A ，B ，C 四点共面，且3148OP OA OB OC t =++，31148t ++=，解得18t =. 故答案为: 1816．已知P 为空间中任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且4136PA x P DB PB C →→→=-+，则实数x 的值为_________.【答案】13【解析】414131()363626PA PC PC P PB x DB PB x PB PD P P C B x D →→→→→→→→→→→=-+=-+-=--，又∵P 是空间任意一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面， ∴31126x --=，解得 x =13，故答案为：13题型五 空间共线向量定理的推论及应用17．(多选)若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP =m OA +n OB ，其中m+n=1，则结论正确的有（ ）A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．O ，A ，B ，P 四点共面D ．P ，A ，B 三点共线 【答案】ACD【解析】解:因为1m n +=，所以1m n =-，所以OP =()1OA B n n O -⋅+⋅， 即OP OA -=n (OB OA -)， 即AP =n AB ，所以AP AB 与共线.又AP AB ，有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB. 因为OP =m OA +n OB ，故O ，A ，B ，P 四点共面. 故答案为：ACD18．已知M ，N 分别是四面体OABC 的校OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设向量OA a =，OB b =，OC c =，则OP =______(用{},,a b c 表示)【答案】111633OP a b c =++【解析】OP ON NP =+，1()2ON OB OC =+，13NP NM =，NM OM ON =-，12OM OA =．∴OP ON NP =+13ON NM =+1()3ON OM ON =+-2133ON OM =+2111()3232OB OC OA =⨯++⨯111633OA OB OC =++111633a b c =++． 故答案为：111633OP a b c =++19．已知P 和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O ，都有OP =2OA OB OC λ++，则λ＝________.【答案】－2【解析】由四点共面的充分必要条件可得：211λ++=，解得：2λ=-.故答案为2-．20．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的值.【答案】13,8x y =-=【解析】∵//a b ∴()324182m n p x m n yp λ⎡⎤--=+++⎣⎦，∴()13,82,24x y λλλ+==-=-，∴13,8x y =-=.题型六 空间共面向量定理的推论及应用21．已知O 为空间任意一点，若311488OP OA OB OC =++，则,,,A B C P 四点（ ）A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B【解析】由空间向量共面定理的推论若aOA bOB cOC OP =++，满足1a b c ++=，则,,,A B C P 四点共面，311488OP OA OB OC =++，而3111488++=，故,,,A B C P 四点共面.故选：B.22．如图，正四面体ABCD 的棱长为1，BCD △的中心为O ，过点O 的平面a 与棱AB ，AC ，AD ，BD ，CD 所在的直线分别交于P ，Q ，R ，S ，T ，则111AP AQ AR ++=（）A ．52B ．3C ．133D ．4 【答案】B 【解析】因为O 为BCD △的中心，所以()13AO AB AC AD =++，设AP x =，AQ y =，AR z =，所以111333AO AP AQ AR x y z=++．因为O ，P ，Q ，R 四点共面，所以1111333x y z ++=，即1113x y z++=，1113AP AQ AR ++=. 故选：B.23．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M ，A ，B ，C 共面的是（ ）A ．OM OA OB OC =++B ．2OM OA OB OC =--C ．1123OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++【答案】D【解析】设OM xOA yOB zOC =++，若点M 与点,,A B C 共面，则1x y z ++=， 只有选项D 满足.故选：D.24．空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--，则实数x 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A【解析】因为空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点P 都有5133PA PB xPC PD =--，所以51133x --=，解得13x =. 故选A。
课时作业7：3.1.1空间向量的线性运算
3.1.1空间向量的线性运算一、选择题1．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则D 1B →等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a ＋b ＋cC ．a －b －cD ．－a ＋b ＋c2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→、AD ′→、BD →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．是等长的向量 C ．是共面向量D ．是不共面向量3．如图所示在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的共有( ) (1)(AB →＋BC →)＋CC 1→ (2)(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→ (3)(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→ (4)(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个4．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有以下等式，其中不正确的是( ) A.D 1B →＝D 1D →＋D 1A 1→＋D 1C 1→ B.D 1B →＝D 1C 1→＋B 1B →＋CB → C.D 1B →＝D 1A 1→＋A 1B →＋A 1A → D.D 1B →＝D 1C 1→＋C 1D →＋DB →5．如图所示的空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A.32DB →B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG →6．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 中，O 为BD 1与AC 1的交点，下列说法正确的是( ) A.AO →＝12(AB →＋AD →＋AA 1→)B.AO →＝13AC 1→C.BO →＝12(BA →＋BC →＋BD →1)D.BO →＝14(AC 1→＋BD 1→)7．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c, 点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23 a ＋12b ＋12cC.12a ＋12 b －23cD.23a ＋23b －12c8．已知G 是正方形ABCD 的中心，点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，则P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝( )A ．4PG →B ．3PG →C ．2PG →D.PG →9．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形10．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →等于( )A.AA ′→＋12AB →＋12AD →B.12AA ′→＋12AB →＋12AD →C.12AA ′→＋16AB →＋16AD →D.13AA ′→＋16AB →＋16AD → 二、填空题11．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________.12．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式AB →－CD →＋BC →－DA →的化简结果为________．13．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a －5b ＋8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.14．四棱锥P —OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，点E 为PC 的中点且BE →＝x a ＋y b ＋z c ，由x ，y ，z 的值分别为________________．三、解答题15．在四面体ABCD 中，E 、F 分别为棱AC 、BD 的中点，求证：AB →＋CB →＋AD →＋CD →＝4EF →.16．A 是△BCD 所在平面外一点，M ，N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若BD ＝4试求MN 的长．17．如图所示，在四面体O —ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，试用a ，b ，c 表示向量OE →.18．如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM MC ＝21，N 为PD 中点，求满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x 、y 、z 的值．参考答案一、选择题 1． C【解析】D 1B →＝D 1A 1→＋A 1A →＋AB →＝－b ＋(－c )＋a ＝a －b －c .故选C 2． C【解析】∵AB 1→－AD 1→＝D 1B 1→＝BD →，∴共面．故选C. 3． D【解析】代入检验知选D. 4． C【解析】D 1A 1→＋A 1B →＋A 1A →＝D 1B →＋A 1A →≠D 1B →. 故选C. 5． B【解析】MG →－AB →＋AD →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →. 6． A【解析】AB →＋AD →＋AA 1→＝AC →＋AA 1→＝AC 1→. 故选A. 7． B【解析】MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12×(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .∴应选B. 8． A【解析】P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝PG →＋GA →＋PG →＋GB →＋PG →＋GC →＋PG →＋GD →＝4PG →＋(GA →＋GC →)＋(GB →＋GD →)，∵ABCD 是正方形，G 是它的中心， ∴GA →＋GC →＝GB →＋GD →＝0，故原式＝4PG →. 9． B【解析】画图利用空间向量的运算法则首尾相接 AO →＋OB →＝AB →，DO →＋OC →＝DC →， ∴AB →＝DC →.故选B. 10． D【解析】AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →)＝13AA ′→＋13×12A ′C ′→＝13AA ′→＋16(A ′B ′→＋A ′D ′→) ＝13AA ′→＋16A ′B ′→＋16A ′D ′→. 二、填空题 11． AD →【解析】AC →－BC →＋BD →＝AC →＋CB →＋BD →＝AD →。
高等数学-第七章空间解析几何与向量代数习题课
A12
B12
C
2 1
A22
B
2 2
C
2 2
（3）直线与平面相交（夹角）
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) , 平面 的法向量为
n ( A, B,C), 则它们的交角： Am Bn Cp
sin
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
（4）线、面之间的平行与垂直
3 3
则
a 15 , b 5 a 25
17
3
17
于是
p ( 15 17 , 25 17, 0 )
【例8】已知向量 a (4, 3, 2)，u 轴与三坐标轴正向构成 相等锐角，求 a 在 u 轴上的投影。
分析：先求出 u 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。
解：设 u 轴的方向余弦分别为 cos,cos ,cos ，
解：M1M2 (1, 2,1)
| M1M2 | 2
方向余弦为
cos 1
2
, cos
2 2
, cos
1 2
方向角为 2 , 3 , 1
3
4
3
【例2】确定 , , 的值，使向量i 3 j ( 1)k 与向量
( 3)i ( ) j 3k 相等。并求此时向量的模与方向余弦。
分析： 向量相等的定义是向量坐标对应相等。
解： 由已知条件得
3
3
1 3
易得
1
4
1
即当 1, 4, 1 时两向量相等。 此时向量为
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空间向量的线性运算导学案（三）
习题课
目标检测
(一)增强信心
1．空间四边形ABCD 中，,,,c AD b BC a AB ===则=CD ( )
A ．c b a -+
B.c b a --
C ．c b a +--
D ．c b a ++-
2．若},,{c b a 是空间的一个基底，向量,,b a n b a m -=+=，那么可以与n 、m 构成空间另一个基底的向量是( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．a 2
3．平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′中，设,,,c O O b OC a OA ='==G 为BC ′的中点，用a ，b ，c 表示向量
OG ，则OG ＝( )
A ．c b a 2121++
B ．c b a ++2121
C ．c b a 2121++
D ．c b a 2
1
21-+
4．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C
一定共面的是 （ ）
A ．OC O
B OA OM ++=
B ．O
C OB OA OM --=2
C ．OC OB OA OM 3
1
21++=
D ．OC OB OA OM 3
1
3131++=
5．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ）
A ．n m //
B ． n m ⊥
C ．n m n m 也不垂直于不平行于,
D ．以上三种情况都可能
6.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则x ，y ，z 的值分别为________．
二：能力提升
7．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，若,3211C C z BC y AB x AC ++=则x ＋y ＋z ＝( )
A ．1
B ．
6
7 C ．
6
5 D ．
3
2 8．已知空间四边形OABC ，点M 、N 分别是OA 、BC 的中点，且c OC b OB a OA ===,,，用c b a ,,表示向量=MN ______.
9．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 为CC 1的中点，NC AN 2
1
=
，若,1CC z AD y AB x NM ++=则x ＝______，y ＝______，z ＝______.
10．在空间平移△ABC 到△A 1B 1C 1，△ABC 与△A 1B 1C 1不在同一平面内，连接对应顶点，设
,,,1c AC b AB a AA ===M 是BC 1的中点，N 是B 1C 1的中点，用基底},,{c b a 表示向量MN ______ 11.下列命题：
①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝0； ②若MB ＝x MA ＋y MB ，则M 、P 、A 、B 共面； ③若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
12．在四面体O －ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．
13．设向量},,{c b a 是空间一个基底，则一定可以与向量b a q b a p -=+=,构成空间的另一个基底的向
量是 （ ）
A ．a
B ．b
C ．c
D ．b a 或
（三）挑战自我
14．如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1,,AA b AD a AB ==,2,MC AM c ==
ND N A 21=，试用基底},,{c b a 表示.MN
15．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，设C AC b AB a AA ===,,1，M 是A 1B 的中点，点N 在CM 上，且CN ∶CM ＝1∶4，试用基底},,{c b a 表示N C 1.
16．如图，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，D 为BC 的中点，设
c OC b OB a OA ===,,，试用向量c b a ,,表示向量OG 和GH .
O
A /
C
M
E
D /
B /
A
D
B
课后作业布置
1．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ＝xAB yAC z AS ++，则x ＋y ＋z ＝ ．
2.如图，在正方体///B D CA OADB -中，，点E 是AB 与OD 的交点,M 是OD /与CE 的交点，试分别用向量OC OB OA ,,表示OD 和OM
3.已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG
自我小结：
老师寄语： 昨天，已经成为历史，明天，还是个未知数，今天，才是最宝贵的，愿你
在今后的时间里，珍惜每一个今天！。