数列复习知识点大全
数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳
1.等差数列的定义与性质
定义： （ 为常数）,
等差中项: 成等差数列
前n 项和()()11122
n n a a n n n S na d +-==+ 性质: 是等差数列
（1）若 , 则
（2）数列 仍为等差数列, 仍为等差数列, 公差为 ；
（3）若三个成等差数列, 可设为
（4）若 是等差数列, 且前 项和分别为 , 则
（5） 为等差数列 （ 为常数, 是关于 的常数项为0的二次函数） 的最值可求二次函数 的最值；或者求出 中的正、负分界项,
2.等比数列的定义与性质
定义: （ 为常数, ）, .
等比中项： 成等比数列 , 或 .
前 项和: （要注意！ ）
性质: 是等比数列
（1）若 , 则
（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q .
注意: 由 求 时应注意什么？
时, ；
时, .
4.求数列前n 项和的常用方法
(1) 裂项法
（2）错位相减法
如: ①
()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……
② ①—②()21
11n n n x S x x x nx --=++++-……
时, , 时,。
数学数列知识点归纳总结
数学数列知识点归纳总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合，通常用一对大括号{}表示，其中的每个数称为数列的项。
例如：{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个数列，它包含了无穷多个项，每个项都是自然数。
1.2 数列的表示数列可以用不同的方式表示，常见的表示方法有公式法、图形表示法和文字描述法。
- 公式法：可以用一个通项公式来表示数列的每一项，例如：an = n^2表示数列{1, 4, 9, 16, ...}的通项公式。
- 图形表示法：可以用图形来表示数列，例如：等差数列可以用直线表示，等比数列可以用曲线表示。
- 文字描述法：可以用文字描述数列的规律，例如：数列{2, 4, 6, 8, ...}可以描述为“每一项都比前一项大2”。
1.3 数列的分类数列可以按照不同的规律进行分类，常见的分类有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
- 等差数列：数列中相邻两项的差等于一个常数，这个常数称为公差。
- 等比数列：数列中相邻两项的比等于一个常数，这个常数称为公比。
- 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和，例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...1.4 数列的通项公式数列的通项公式是指数列中任意一项与项号之间的函数关系式，一般用an表示第n项的值，n表示项号。
如果一个数列存在通项公式，则可以利用通项公式计算数列的任意项的值。
1.5 数列的性质数列有许多重要的性质，例如数列的有界性、单调性、敛散性以及极限等。
- 有界性：如果数列的项有上界或下界，则称该数列是有界的。
- 单调性：如果数列的项都单调递增或单调递减，则称该数列是单调的。
- 敛散性：数列是否有极限，如果有极限则称该数列是收敛的，否则是发散的。
二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数的数列，这个常数称为公差。
例如：{2, 4, 6, 8, ...}就是一个等差数列，公差为2。
高中数列知识点总结公式大全
高中数列知识点总结公式大全一、数列的概念与简单表示法。
（一）数列的定义。
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），往后各项依次叫做这个数列的第2项，第3项，…，第n项，…。
（二）数列的表示法。
1. 列举法。
将数列中的项一一列举出来表示数列的方法。
例如数列1,3,5,7,9,·s。
2. 通项公式法。
如果数列{a_n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
例如数列a_n=2n - 1，n∈ N^*就表示首项为1，公差为2的等差数列。
3. 图象法。
数列是特殊的函数，可以用图象来表示。
以序号n为横坐标，相应的项a_n为纵坐标，描点画图来表示数列。
其图象是一群孤立的点。
4. 递推公式法。
如果已知数列{a_n}的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项a_n与它的前一项a_n - 1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
例如斐波那契数列a_1=1,a_2=1,a_n=a_n - 1+a_n -2(n≥slant3,n∈ N^*)。
二、等差数列。
（一）等差数列的定义。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
即a_n-a_n - 1=d(n≥slant2,n∈ N^*)。
（二）等差数列的通项公式。
a_n=a_1+(n - 1)d，其中a_1为首项，d为公差。
1. 推广公式。
a_n=a_m+(n - m)d，(m,n∈ N^*)。
（三）等差数列的前n项和公式。
1. S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}2. S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d（四）等差数列的性质。
1. 若m,n,p,q∈ N^*，且m + n=p + q，则a_m+a_n=a_p+a_q。
数列基础 知识点总结
数列基础知识点总结一、概念及基本性质1. 什么是数列数列是按照一定的顺序排列的一组数，这些数依次排列在一条直线上，每个位置都有一个数与之对应。
一般用a1, a2, a3,...an表示数列的各个元素，其中ai称为数列的项，i称为项的序号。
2. 数列的概念数列中的每一个数称为数列的项，这些项的次序具有规律性，规律性可以通过公式、图形、语言等方式来表示。
3. 数列的基本性质数列中的数可以是有限个也可以是无限个。
数列中的数包括有序数列和无序数列。
有序数列又包括等差数列、等比数列、等比对数数列、斐波那契数列等。
二、等差数列1. 等差数列的定义如果一个数列中，从第二个数起，每个数与它的前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就是等差数列。
2. 等差数列的通项公式对于等差数列{an}，如果an的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
3. 等差数列的前n项和公式对于等差数列{an}，其前n项和为Sn=n(a1+an)/2。
4. 等差数列的性质（1）等差数列的前两项和后两项等于同一个数。
（2）等差数列的前后两项相等。
（3）等差数列的和的公式Sn=n(a1+an)/2。
5. 等差数列的应用等差数列在实际生活中有很多应用，比如金融领域的利息计算、交通领域的运输成本计算等。
三、等比数列1. 等比数列的定义如果一个数列中，从第二个数起，每个数与它的前一个数的比等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列。
2. 等比数列的通项公式对于等比数列{an}，如果an的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
3. 等比数列的前n项和公式对于等比数列{an}，如果q≠1，则其前n项和为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)；如果q=1，则Sn=na1。
4. 等比数列的性质（1）等比数列的前后两项比相等。
（2）等比数列的和的公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
（3）等比数列的连乘公式Πn=a1q^(n-1)。
数列知识点归纳总结
数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数组成的。
数列知识点归纳总结如下：一、数列的定义1. 数列是由有限个或无限个数字组成的序列。
2. 数列中的数字按照一定的顺序排列。
3. 数列中的每个数字都有一个对应的位置或项数。
二、数列的分类1. 按项数分类：有限数列和无限数列。
2. 按项的性质分类：整数数列、实数数列、复数数列等。
3. 按项的规律分类：等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
三、等差数列1. 等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差都相等的数列。
2. 等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
3. 等差数列的求和公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn表示前n项和。
四、等比数列1. 等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比都相等的数列。
2. 等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r表示公比。
3. 等比数列的求和公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。
五、斐波那契数列1. 斐波那契数列是指从第三项起，每一项都是前两项之和的数列。
2. 斐波那契数列的前几项为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...3. 斐波那契数列没有通项公式，但可以用递归或循环的方式生成。
六、递推关系与通项公式1. 递推关系是指数列中相邻两项之间的关系。
2. 递推关系可以用来推导出数列的通项公式。
3. 通项公式是用来表示数列中任意一项的公式。
4. 通项公式可以通过递推关系、图形法、矩阵法等方式推导得出。
七、数列的应用1. 数列在数学中有广泛的应用，如级数求和、概率计算、线性方程组求解等。
2. 数列在自然科学、经济学、计算机科学等领域也有重要的应用。
八、数列的极限1. 数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项趋向于一个确定的数值。
常见数列知识点总结归纳
常见数列知识点总结归纳数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的研究在数学中具有广泛的应用，涉及到多个领域。
本文将对常见数列的相关知识点进行总结和归纳。
一、等差数列等差数列是最基础也是最常见的数列类型之一。
它的特点是数列中的每一项与前一项之间的差值都是相等的。
1. 通项公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
2. 前n项和公式等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等差数列具有多个性质和运算规则，例如：任意两项之和等于其间项数乘以公差、删除相同项后，剩下的数列仍然是等差数列等。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的特点是数列中的每一项与前一项之比都是相等的。
1. 通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
2. 前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等比数列也有多个性质和运算规则，例如：相邻两项之商等于公比、删除相同项后，剩下的数列仍然是等比数列等。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中an为第n项，an-1为第n-1项，an-2为第n-2项。
斐波那契数列具有独特的性质，例如：相邻两项之比逐渐接近黄金分割比、在数列中，某一项与它之后的项之商趋近于黄金分割比等。
四、几何数列几何数列是一种特殊的数列，它的前一项与后一项之比都是相等的。
几何数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
几何数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
数列知识要点梳理
数列知识要点梳理知识点一：数列的概念1、数列的定义：数列是按一定顺序排列的一列数，如1，1，2，3，5，…，a n，…，可简记为{a n} 注意：（1）数列可以看作是定义在自然数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}上的函数。
函数当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值，，…，，…，通常用代替，于是数列的一般形式为a1，a2，…，，…，简记为。
其中是数列的第n项，也叫做通项。
（2）数列的特征：有序性。
一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的顺序有关，“顺序”是对数列本质属性的刻画。
（3）数列的定义域是离散的，因而其图象也是离散的点集。
2、数列的通项公式一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。
注意：①不是每个数列都能写出它的通项公式。
如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。
如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。
3、数列的表示：(1)列举法：如-2，-5，-8，…注意：数列的列举法与集合的列举法不一样，主要就是有序与无序的差别。
(2)图象法：由点组成的图象；是离散的点集。
(3)解析式法：用数列的通项公式a n=f(n)，n∈N*或其他式子表示的数列。
4、数列的分类：（1）按项数：有限数列和无限数列；（2）按单调性：递增数列、递减数列（递增数列与递减数列统称为单调数列）；（3）按照任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分：有界数列、无界数列；（4）其他数列：摆动数列、常数列。
5、数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。
注意：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值。
有关数列知识点总结
有关数列知识点总结一、数列的概念与分类1、数列的概念数列是一组按照一定规律排列的数字的集合，其中每个数字称为数列的项。
数列通常用a1, a2, a3,…, an, …表示，其中a1表示第一个项，an表示第n个项。
数列中的每一个数字称为该数列的项，即数列中的每一个数字都有特定的位置。
数列的项数可以是有限的，也可以是无限的。
2、数列的分类数列按其数值的性质和变化规律的不同，可以分为等差数列、等比数列、递推数列、调和数列、斐波那契数列等多种类型。
等差数列：如果一个数列中任意相邻两项的差都相等，则称该数列为等差数列，差值常用d表示。
等比数列：如果一个数列中任意相邻两项的比都相等，则称该数列为等比数列，比值常用q表示。
递推数列：数列中的每一项都是由前面的项按照一定的规律递推而来的，这样的数列就是递推数列。
调和数列：如果一个数列的任意两项的倒数的平均数等于它们的算术平均数，则称该数列为调和数列。
斐波那契数列：第一项和第二项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和的数列，称为斐波那契数列。
除此之外，数列还可以按照项数的有限性或无限性来分为有限数列和无限数列，按照数值的正负性来分为正数列、负数列和正负交替数列等。
二、等差数列1、等差数列概念等差数列是指一个数列中任意相邻两项的差都相等，这个相等的差值称为公差，常用d表示。
等差数列的递推公式为an = a1 + (n-1)d。
2、等差数列求和公式对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
如果要求等差数列前n项的和Sn，则可以使用以下的等差数列求和公式：Sn = n*(a1 + an)/2 = (2*a1 + (n-1)d)*n/2其中，n表示项数，a1表示首项，an表示末项，d表示公差。
三、等比数列1、等比数列概念等比数列是指一个数列中任意相邻两项的比都相等，这个相等的比值称为公比，常用q表示。
等比数列的递推公式为an = a1 * q^(n-1)。
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《数列》复习1.数列的通项（求数列通项公式的常用方法：）（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。
（2）公式法：等差数列与等比数列。
（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：11,(1),(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商求积法 2.等差数列{}n a 中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性； （2）1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-；（3）{}n ka 也成等差数列；两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (4)1211221213,,m m m m m m m a a a a a a a a a +++++++++++++ 仍成等差数列. （5）1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+，21()22n d dS n a n =+-， 2121n n S a n -=-，()(21)n n nn A a f n f n B b =⇒=-.(6)若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；若2p qm +=，则2p q m a a a +=,()0p q p q a q a p p q a +==≠⇒=，,()()p q p q S q S p p q S p q +==≠⇒=-+；m n m n S S S mnd +=++.（7）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则2a bA +=叫做,a b 的等差中项。
（8）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法。
（9）若等差数列的项数为2()+∈Nn n ，则，奇偶nd S S =-1+=n na a S S 偶奇； 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇 3.等比数列{}n a 中：（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。
（2）11n n a a q-=n m m a q -=；（3）{||}n a 、{}n ka 成等比数列；{}{}n n a b 、成等比数列{}n n a b ⇒，}/{n n b a 成等比数列. （4） ,,,232n n n n n S S S S S --（0≠n S ）成等比数列. ①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列. ②当q ≠－1或k 为奇数时，k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列（5）111111 (1) (1)(1) (1) (1)1111n n n n na q na q S a a a a q a q q q q q q q q ==⎧⎧⎪⎪==--⎨⎨-+≠=≠⎪⎪----⎩⎩. （6）p q m n p q m n b b b b +=+⇒⋅=⋅；22m p q m p q b b b =+⇒=⋅m nm n m n n m S S q S S q S +=+=+.（7）“首大于1”的正值递减等比数列中，前n 项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n 项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；（8）并非任何两数总有等比中项. 仅当实数,a b 同号时，实数,a b 存在等比中项.对同号两实数,a b 的等比中项不仅存在，而且有一对G =也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时)。
（10）判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法 4.等差数列与等比数列的联系：各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列。
为等差数列，则为等差数列，反之若数列，则为各项均为正数的等比}{}log {n n c n b a a nb c为等比数列。
利用这点可以从其中之一的性质类比推导另一数列的性质。
5.数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式③1123(1)2n n n ++++=+ ，22221123(1)(21)6n n n n ++++=++ ，2135(21)n n ++++-= ，2135(21)(1)n n +++++=+ .（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n 和公式的推导方法之一）.(5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： （6）分类讨论法 （7）奇偶求和法 ①111(1)1n n n n =-++ ②1111()()n n k k n n k =-++，③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =--++++ 6．等差数列n s 的最值问题⑴等差数列的前n 项和为n S ，在0 d 时，有最大值. d>0时有最小值。
如何确定使n S 取最大（小）值时的n 值，有两种方法：一是由n da n d S n )2(212-+=利用二次函数的性质求n 的值. 二是（1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足⎩⎨⎧≥≤+01m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
7．等比数列的前n 项和公式的常见应用题：⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：)1(1])1(1[)1()1()1(12r r a r a r a r a a n n +-+-=+++++++-⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可取款：)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1])1(1)[1(12r r r a +-+-+.⑶分期付款应用题：贷款为a 元； m 个月将贷款全部付清；r 为年利率，每月归还x 元.()()()()()()()()1111111 (1112)1-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m m m mm m mr r ar x r r x r a x r x r x r x r a附通项公式求法：1．1+n a =n a +)(n f 型（累加法：）n a =（n a －1-n a ）+（1-n a －2-n a ）+…+（2a －1a ）+1a =)1(-n f +)2(-n f +…+)1(f +1a 例 1.已知数列{n a }满足1a =1，1+n a =n a +n 2（n ∈N +），求n a .[解] n a =n a －1-n a +1-n a －2-n a +…+2a －1a +1a =12-n +22-n +…+12+1 =2121--n=n 2－1∴n a =n 2－1 （n ∈N +）2．)(1n g a ann =+型（累乘法：）n a =1-n n a a ·21--n n a a …12a a·1a = .1a )1(g .)2(g . …)1(-n g例2、已知数列{n a }满足1a =23，11n n n a a n +=+，求n a 。
解：由已知得11n n a na n +=+，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入上式得n-1个等式累乘，即3241231........n n a a a a a a a a -= 1231......234n n-⨯⨯⨯ 所以11n a a n =，又因为123a =也满足该式，所以23n a n=。
3．1+n a =p n a +q 型（p 、q 为常数）方法：（待定系数法） （1）1+n a +1-p q =)1(-+p q a p n ，再根据等比数列的相关知识求n a . （2）1+n a －n a =)(1--n n a a p 再用累加法求n a .或解方程 （3）11++n n p a =n n p a +1+n p q，先用累加法求nn p a 再求n a .例3.已知{n a }的首项1a =a （a 为常数），n a =21-n a +1（n ∈N +，n ≥2），求n a . [解] 设n a －λ=2（1-n a －λ），则λ=－1∴n a +1=2（1-n a +1）∴{1+n a }为公比为2的等比数列. ∴n a +1=（a+1）·12-n ∴n a =（a+1）·12-n －14．1+n a =p n a +)(n f 型（p 为常数） 方法：变形得11++n n p a =n n p a +1)(+n pn f ， 则{n npa }可用累加法求出，由此求n a . 例4.已知{n a }满足1a =2，1+n a =2n a +12+n .求n a .[解]112++n n a =n n a 2+1∴{n na 2}为等差数列. nn a 2=n n a =-+121∴n a =n ·n 2 5．形如n n n n da ca a a +=++11 （d c ;为常数，且0,0≠≠d c ）的递推公式， 可令nn n n b a b a 1,111==++。
则可转化为q pa a n n +=+1型；例6. 已知1a =1，1+n a =22+n na a （n ∈N +），求n a . [解] x =22+x x∴021==x x ∴n a 1=11-n a +C∵1a =1，2a =32，∴代入，得C=21∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为首项为1，d=21的等差数列. ∴n a 1=21+n ∴n a =12+n （n ∈N +） 6. )0,0(1>>=+n q n n a p pa a对数变换法：例：已知数列{}n a 满足)2(10,10121≥==-n a a a n n ，求n a 7．“已知n S ，求n a ”型方法：n a =n S －)2(1≥-n S n ,11s a = （注意1a 是否符合）例6.设n S 为{n a }的前n 项和，n S =23（n a－1），求n a （n ∈N +）[解] ∵n S =23（n a －1） （n ∈N +） ∴当n=1时，1a =23（1a －1） ∴1a =3当n ≥2时，n a =n S －1-n S=23（n a －1）－23（1-n a －1） ∴n a =31-n a ∴n a =n 3（n ∈N +）9．“已知n a ，1+n a ，n S 的关系，求n a 型(方法：构造与转化的方法.)例8. 已知{n a }的前n 项和为n S ，且n a +2n S （1+n S －1+n a －n a ）=0（n ≥2），1a =21，求n a .[解] 依题意，得n S －1-n S +2n S ·1-n S =0∴n S 1－11-n S =2 ∴nS 1=２+2（n －１）=2n ∴n S =n21，1-n S =)1(21-n∴n a =n S -1-n S=－2×n21×)1(21-n=)1(21n n -（2≥n ） ∴n a =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈-=+)2,()1(21)1(21n N n n n n 前n 项和n S例：试化简下列和式：21123(0)n n S x x nx x -=++++≠解：①若x=1，则S n =1+2+3+…+n =(1)2n n + ②若x ≠1,则21123n n S x x nx -=++++2323n n xS x x x nx =++++两式相减得：2(1)1n x S x x -=+++…+n n nx x --111nn x nx x -=--∴ 21(1)1n nn x nx S x x-=--- 练习题：1．数列 ,10,6,3,1的一个通项公式是 （ ）A ．)1(2--n nB ．12-n C ．2)1(+n n D ．2)1(-n n 2．已知数列{}n a 满足)2()1(11≥-+=--n a a a nn n n 且11=a ，则32a a = （ ） A ．２ B ．14 C ．４ D ．123．等差数列{}n a 的首项11=a ，如果521,,a a a 成等比数列，那么公差d 等于 （ ） A ．2 B ．-2 C ．2或0 D ．2±4．数列的前n 项和2522-+=n n s n ，则此数列一定是 （ ） A ．递增数列 B ．等差数列 C ．等比数列 D ．常数列5．凸五边形各内角度数成等差数列，则其中必有一个内角等于 （ ） A ．108 B ．120 C ．90 D ．726．在a 和)(b a b ≠两数之间插入n 个数，使它们与b a 、组成等差数列，则该数列公差为（ ） A ．n a b - B ．1+-n a b C ．1+-n b a D ．2+-n ab 7．设等比数列{}n a 的前n 项和c s nn -=3, 则c 等于 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．一个等比数列的前n 项和为48，前n 2项和为60，那么前n 3项和为 （ ） A ．84 B ．75 C ．68 D ．639． 设{a n }是等差数列，S n 是前n 项的和，且S 5 < S 6, S 6 = S 7 > S 8，则下列结论错误的是（ ） A ．d <0 B ．a 7=0 C ．S 9>S 5 D ．S 6、S 7均为S n 的最大值10．{}n a 是一个等差数列且171074=++a a a ，771454=+++a a a ．若13=k a ，则ｋ等于 （ ）Ａ．16 Ｂ．18 Ｃ．20 Ｄ．2211．等比数列前n 项和为S n ,有人算得S 1=8,S 2=20,S 3=36,S 4=65,后来发现有一个数算错了，错误的是 （ ）Ａ．S 1 Ｂ．S 2 Ｃ．S 3 Ｄ．S 412．若相异三数a(b-c),b(c-a),c(a-b)组成以q 为公比的等比数列，则q 满足的方程是 （ ） A. q 2-q+1=0 B 、q 4+q 2-1=0 C 、q 2+q+1=0 D 、q 4+q 2+1=0 13．如果数列｛a n ｝的前n 项和S n =23a n －3，那么这个数列的通项公式是 （ ） A ．a n =2（n 2+n+1） B ．a n =3·2n C ．a n =3n+1 D ．a n =2·3n 14．若两个等差数列｛a n ｝．｛b n ｝前n 项和A n 和B n 满足27417++=n n B A n n （n N ∈*），则1111b a 的值是 A ．47 B ．23 C ．34 D ． 7178（ ） 15．已知等差数列前n 项和为S n ,若S 12>0，S 13<0,则此数列中绝对值最小的项是 （ ） A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ． 第8项16．已知｛a n ｝是等比数列，a 1=2,q=3,又第m 项至第n 项和为720，则m 的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 17．在各项均为正数的等比数列｛a n ｝中若a 4·a 7=9,则log 3a 1+log 3a 2+…＋log 3a 10等于 （ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ． 14 18．若关于x 的方程x 2-x +a =0和x 2-x +b =0(a ≠b )的四个根可组成首项为41的等差数列，则a +b 的值是 （ ）A.83 B.2411C.2413 D.7231 19、数列{n a }满足1a =1, 2a =32，且n n n a a a 21111=++- (n ≥2)，则n a 等于（ ）． A 、12+n B 、(32)n -1 C 、(32)n D 、22+n20、数列{a n }的通项公式是a n =11++n n (n ∈N*),若前n 项的和为10,则项数为 （ ）A ．11B ．99C ．120D ．12121、一小球从100m 的高处自由落下,每一次着地后又弹回原来高度的一半,当它第10次落地时,小球共经过的路程是 （ ）A. 1929964B. 2529964C. 3929964D. 4529964二填空题1、已知等差数列{a n }中，a 1、a 3、a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++=_________.2、设数列{n a }满足)3)((31,313421121≥-=-==---n a a a a a a n n n n ，，则数列{n a }的通项公式为n a ＝_________________.3、nn n a a a 23,111+==+，则=n a _________________.4．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，下列｛a n ｝的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第_________组.(写出所有符合要求的组号)①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 这里n 为大于1的整数,S n 为｛a n ｝的前n 项和.5、在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0,则有等式a 1+a 2+a 3+…+a n = a 1+a 2+a 3+…+a 19-n (n<19,n ∈N *)成立.类比以上性质，相应地：在等比数列中，若b 9=1,则有等式____________________________成立.6、数列{a n }的通项公式为a n = ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+为偶数）（为奇数n n n n22)(15 则数列的前2m 项的和S 2m = __________. 三、解答题1．已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，试求这个数列的公比和项数．2、已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a .3．陈老师购买安居工程集资房一套72m 2,单价为1000元/m 2，国家一次性补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再过一年又付款一次等等，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%（按复利计息），那么每年应付款多少元？（计算结果精确到百元，可参考数据：1.075 9≈1.921,1.07510≈2.065,1.07511≈2.221)．4（2005年，北京模拟）猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个．第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个．以后第天早上都吃前一天剩下的一半后还要吃一个．到第十天早上想吃时，见只剩下一个桃子了．求第一天共摘了多少个桃子？31、（12分）)4(2≥n n 正数排成n 行n 列nnn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ,,,,,,,,,,,,321333323122322211131211 其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知163,81,1434224===a a a ,求nn a a a a ++++ 332211的值．答案一、 选择题 CBCAA BBDCB CCDCC CBDAC 二、 填空题 1、1或1613 2、2)31(2161-⋅+-=n n a 3、n n 23- 4 .①④ 5、b 1b 2b 3…b n = b 1b 2b 3…b 17-n (n<17,n ∈N *). 6、22512-+++m m m 三解答题1．解: 设该等比数列｛a n ｝的公比为q, 项数为2n,则)(12531264212531--++++=++++=++++=n n n a a a a q a a a a S a a a a S 偶奇所以,q=85170=奇偶S S =2又 255=+奇偶S S ,所以2551)1(21=--qq a n ，又已知11=a 所以，25622=n ,所求数列的项数为2n=82、解：首先由n n a n n S )12(-=易求递推公式： 1232,)32()12(11+-=∴-=+--n n a a a n a n n n n n 5112521221=--=∴--a a n n a a n n 将上面n —1个等式相乘得：.)12(12(1)12)(12(357)32)(12)(12(13)72)(52)(32(1-+=∴-+=⋅--+⋅---=n n a n n n n n n n n a a n n3、解：设每年应付款x 元.陈老师个人需付款72×1000-28800-14400=28800,由分期付款的知识,可得方程:x x x +++++=+⨯ 8910%)5.71(%)5.71(%)5.71(28800即 1%)5.71(1%)5.71(%)5.71(288001010-+-+⋅=+⨯x所以 42001%)5.71(%5.7%)5.71(288001010≈-+⨯+⨯=x . 答: 陈老师每年应付4200元.4、【解析】设从第一天开始顺次每天还没有吃时的桃子数组成的数列为｛a n ｝，由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧-==+1211110n n a a a 设x a =1，由前面介绍的求通项的方法可以求得2)21)(2(1-+=-n n x a ∴ 12)21)(2(910=-+=x a解得 1534=x 即第一天猴子共摘了1534个摘子．5、略解：依题意，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，设这个公比为q ，又设第一行组成的等差数列的公差为d ，可得方程组：211638181)(1)3(11343311421124===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+==+=q d a dq a q d a a q d a a 1322332211222212122221++++=∴+++=++++=n nnnn S na a a a S 两式相减得：1122211221212121++--=-+++=n n n n n n Snnn na a a a 222332211+-=++++∴ ．。