简谐运动运动方程的推导
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
1 Hz , 2 6
T 2 1 6s, /4
（2）势能 总能
Epkx2/2, EkA 2/2
由题意， k2 x/2k2 A /4, xA/ 24.2 41 02m
（3）从平衡位置运动到 xA/ 2
的最短时间为 T / 8。
即为 6/80.75s
) )
O
A/2
x
(B)
A/2
O
x
A
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
五、两个同频率简谐运动的相位关系
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
x2 比 x1 超前
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
五、两个同频率简谐运动的相位关系
(或 x1 比 x2 落后 ) 的最短时间为 T / 8。
x Acos( t )
半径
圆周运动小球 角速度
振幅
角频率 简谐振动物体
角坐标
相位
例：一物体做谐振动，振幅为 A，在起始
时刻质点的位移为 A/2 且向 x 轴的正方向
运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：
质点运动的周期和振幅。
五、两个同频率简谐运动的相位关系
= 2 v = 2 /T
质点运动的周期和振幅。
A
，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最O大值，求振动表达式．
(C ) x A/2
(D)
A/2
O
x
A
[D]
四、简谐运动的能量
1. 动能
Ek
1 mv 2
2
1 kA2 sin 2( t )
2
掌握
Ek max
用微积分推导简谐运动的位移时间公式
用微积分推导简谐运动的位移时间公式
已知：以弹簧振子作为研究对象，弹簧振子的质量为m ，设所经历的时间为t ，且当t=0时，弹簧振子处于受力平衡位置，弹簧的拉力系数为k （单位为N/m ），设弹簧振子的初速度为V 0，试推导弹簧振子位移s 与时间t 的关系。
解：设s 与t 的表达关系为s=s(t)
由导数的意义知，s '=s ' (t)表示位移s 在时间上的变化率，
即当时间为t 时，弹簧振子的速度v= s '
同理，当时间为t 时，弹簧振子的加速度a=v '=s"
弹簧振子所受的弹力F=-ks=ma
即，-ks=m s"
对该微分方程整理得 0m
k s"=+
s 其特征方程为 02=+m k λ 显然k 和m 都为正物理量，所以该特征方程Δ＜0
于是该特征方程具有共轭复根 i m
k ±=λ 由二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式得，原微分方程的通解为 t m
k C t m k C s sin cos 21+= 其中C 1、C 2都是与t 无关的常量
由已知条件得，当t=0时，s=0，于是C 1=0 所以t m k C s sin
2= 对s 进行求导得t m
k m k C v cos 2= 由已知条件得，当t=0时，V=V 0 所以k m v C 0
2= 所以，最终确认简谐运动的位移时间公式为t m k k m v s sin 0
= 由该公式可以得出，该简谐运动的振幅为k
m v 0，振幅与初速度的大小、弹簧振子的质量、弹簧的拉力系数有关。
该简谐运动的周期为k m π
2，周期与弹簧振子的质量、弹簧的拉力系数有关，与初速度大小无关。
简谐运动的二阶微分方程
简谐运动的二阶微分方程简谐运动的概念简谐运动是一种重复性的周期性振动，其振幅大小不变，振动方向始终在同一平面内，且振动速度与位移成正比。
常见的简谐运动包括弹簧振子、单摆等。
简谐运动的数学描述简谐运动可以用一个二阶微分方程来描述，即：$$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0$$其中，$x$表示物体的位移，$t$表示时间，$\omega$表示角频率。
解析解求解方法我们可以使用特征方程法求解上述微分方程。
首先，将微分方程写成标准形式：$$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0$$然后假设$x=e^{rt}$为微分方程的解，则有：$$\frac{d^2(e^{rt})}{dt^2} + \omega^2(e^{rt}) = 0$$化简可得：$$r^2e^{rt}+\omega^2e^{rt}=0$$移项得到：$$(r^2+\omega^2)e^{rt}=0$$因为$x=e^{rt}$不可能为零，所以有$r^2+\omega^2=0$。
解得$r=\pm i\omega$。
因此，微分方程的通解为：$$x(t) = c_1\cos(\omega t) + c_2\sin(\omega t)$$其中，$c_1$和$c_2$为任意常数。
简谐运动的物理意义简谐运动的物理意义是，一个物体在受到一个恒力作用下，以一定的频率做周期性振动。
简谐运动可以用来描述许多物理现象，如弹簧振子、单摆等。
在实际应用中，我们可以通过测量物体的振幅和周期来确定其频率和角频率。
简谐运动的应用简谐运动在生活中有许多应用。
例如，在音乐中，声音就是通过空气分子做周期性振动而产生的。
此外，在机械工程领域中，弹簧振子、单摆等都是基于简谐运动原理设计的。
总结简谐运动是一种重复性的周期性振动，可以用一个二阶微分方程来描述。
解析解求解方法使用特征方程法，在实际应用中可以通过测量物体的振幅和周期来确定其频率和角频率。
简谐运动应用
1．能量表达式
（1）推导
以弹性振子为例。假设在t时刻质点的位移为x，速度为v，则
则系统动能为：
系统势能为：
因而系统的总能量为
考虑到 ，则
（2）结论
弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。
（3）解释
由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与势能相互转化，总能量保持不变。
因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为
因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为
结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等于总能量的一半。
三、应用
1．应用1——记忆振幅公式
由能量守恒关系可得：kA2/2=mv02/2+kx02/2
解之即得：
2．应用2——推导简谐运动相关方程
在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重力势能），且二者之和保持不变，因而有
合振动
由于相位差 随时间变化，故合振动的振幅也随时间而变化，不是简谐运动。这里只讨论 ， 的情形，即两个频率相差很小，此时
由于 随时间变化比 要缓慢得多，因此可以近似地将合振动看成是振幅按 缓慢变化得角频率为 的“准周期运动”。这种两个频率都较大但两者频差很小的同方向简谐运动合成时，所产生的合振幅时而加强时而减弱的现象称为拍频（beat）。
振子恰好从准周期运动变为非周期运动。与弱阻尼和过阻尼比较，在临界阻尼情况下振子回到平衡位置而静止下来所需时间最短。
此时，β可以理解为衰减常量（attenuation constant），它的倒数称为弛豫时间（relaxation time），τ=1/β，β越大，弛豫时间越短，则振动衰减越快。
4．应用
2．运动方程
简谐运动位移公式推导
简谐运动位移公式推导简谐运动是指具有周期性、振幅恒定、且运动方向与作用力方向相同的运动。
在简谐运动中，物体的位移可以用一个简单的数学公式来描述。
下面我将给出简谐运动位移公式的推导。
假设一个质点进行简谐运动，其运动方程可以表示为：x = X*sin(ωt + φ)其中，x表示质点的位移，X表示质点的振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
首先，我们知道简谐运动是一种周期性运动，即在一个周期内，物体的运动状态会重复出现。
一个周期的长度为T，即在时间T内，物体完成一次完整的往复运动。
因此，我们可以将角频率ω定义为：ω=2π/T接下来，我们考虑质点的初始运动状态。
初相位φ表示在t=0时刻质点的位移相对于振动的初始位置的差距。
当φ=0时，质点位于振动的初始位置；当φ=π/2时，质点位于振动的最大位移位置。
因此，我们可以得到：x = X*sin(ωt + φ)接下来，我们来推导简谐运动的位移公式。
我们将位移公式的形式写成以下形式：x = A*sin(ωt) + B*cos(ωt)其中，A和B是待定系数。
我们可以通过初始条件来确定这些系数。
当t=0时，由于质点的初始位移为X，所以我们有：x(0) = A*sin(ω*0) + B*cos(ω*0) = X由此可得B=X，即B的取值为振幅X。
当t=0时，由于质点的初始速度为0，所以我们有：v(0) = A*ω*cos(ω*0) - B*ω*sin(ω*0) = 0根据初中学的三角函数性质，sin(0) = 0，cos(0) = 1，所以我们有：v(0)=A*ω*1-B*ω*0=A*ω=0由此可得A=0，即A的取值为0。
综上所述，我们得到了简谐运动的位移公式：x = X*sin(ωt)简谐运动的位移公式中，位移与时间的关系是一个正弦函数关系。
其中，X表示振幅，表示质点的最大位移；ω表示角频率，表示单位时间内的相位改变量。
简谐运动具有周期性和重复性，其运动状态会在一个周期内周期性地发生变化。
简谐运动方程推导
简谐运动方程推导引言简谐运动是物理学中一种重要的运动形式，广泛应用于机械振动、电磁波等领域。
本文将从基础原理出发，对简谐运动方程进行推导，并进行详细的解释和讨论。
一、简谐运动的定义简谐运动是指一个物体沿直线或曲线来回振动，且运动规律满足线性、恢复力和调和运动的条件。
简谐运动的特点是周期性、等幅、振动方向沿直线或曲线。
二、简谐运动方程的推导简谐运动的方程可以通过以下步骤推导得到：步骤一：建立物体受力的模型考虑一个质点在弹簧上的简谐振动，假设振动方向为水平方向。
该质点受到恢复力和阻尼力的作用。
我们可以通过以下公式描述质点受力的模型：F=−kx−bv其中，k为弹簧的劲度系数，x为振动的位移，b为阻尼系数，v为质点的速度。
步骤二：应用牛顿第二定律根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度。
将受力模型代入牛顿第二定律，我们可以得到：−kx−bv=ma其中，m为质点的质量，a为质点的加速度。
步骤三：推导运动方程将质点的加速度与位移的关系进行求导，得到速度和加速度之间的关系：a=dvdt=d2xdt2将上面的式子代入牛顿第二定律的方程中，我们可以得到简谐运动的方程：d2x dt2+bmdxdt+kmx=0这个二阶微分方程就是简谐运动的方程。
三、简谐运动方程的解析解对于简谐振动的方程，可以通过求解二阶微分方程得到解析解。
假设解为x= Asin(ωt+φ)，其中A表示振幅，ω表示角频率，φ表示相位差。
带入简谐运动的方程，我们可以得到：ω2Asin(ωt+φ)+bmωAcos(ωt+φ)+kmAsin(ωt+φ)=0化简上式，我们可以得到：ω2Asin(ωt+φ)+bmωAcos(ωt+φ)+kmAsin(ωt+φ)=0ω2Asin(ωt+φ)+bmωAcos(ωt+φ)+kmAsin(ωt+φ)=0ω2sin(ωt+φ)+bmωcos(ωt+φ)+kmsin(ωt+φ)=0利用三角恒等式将上式中的sin(ωt+φ)和cos(ωt+φ)转化为sinωt和cosωt的形式，我们可以得到：(ω2+km)Asinωt+bmωAcosωt=0根据三角函数的性质，我们可以得到以下两个方程：ω2+km=0bmω=0由第一个方程可以解得角频率：ω=√km由第二个方程可以解得阻尼系数和质量的关系：b=0因此，当b=0时，简谐振动的方程为：x=Asin(√kmt+φ)四、简谐运动的特性1.振动周期：简谐运动的振动周期T由角频率ω决定，T=2πω。
谐振子运动方程
谐振子运动方程谐振子是物理学中一个重要的模型，用于描述有固定平衡位置的物体在受到力的作用下的振动。
谐振子在很多领域都有应用，比如机械振动、电路振荡以及量子力学等。
通过对谐振子的研究，可以深入理解振动的特性和规律。
谐振子的运动方程是描述谐振子振动的基本方程。
在经典力学中，一个简单的谐振子由质点和弹簧组成，并且假设没有外力作用。
谐振子的运动方程可以通过牛顿第二定律推导出来。
我们假设一个质量为m的质点沿着一条直线上运动，它与原点处的一个弹簧相连接。
弹簧的劲度系数为k，原点是谐振子的平衡位置。
当质点偏离平衡位置时，弹簧会施加一个与质点位移成正比的力。
根据胡克定律，弹簧对质点的作用力可以表示为F = -kx，其中F是作用在质点上的力，x是质点的位移。
根据牛顿第二定律，当质点受到的合力不为零时，它将加速度。
因此，我们可以得到方程m*a = -k*x，其中a是质点的加速度。
由于加速度是位移的二阶导数，我们可以将运动方程改写为二阶微分方程m*x'' = -k*x。
这是一个关于位移x的二阶常微分方程，解此方程即可得到谐振子的运动方程。
我们假设解的形式为x(t) = A*cos(ωt + φ)，其中A是振幅，ω是角频率，φ是相位常数。
将上述解代入运动方程中，我们可以得到ω的表达式。
由于二阶导数为负号，我们可以得到方程-m*ω^2*A*cos(ωt + φ) = -k*A*cos(ωt + φ)。
两边化简后得到-m*ω^2 = -k，即ω =sqrt(k/m)。
从上述解中可以看出，谐振子的振动是一种简谐运动，即振幅不变、频率恒定的振动。
在运动过程中，质点在平衡位置附近往复振动，通过正弦函数描述运动曲线。
谐振子在物理学中有很多应用。
在机械振动中，谐振子可以用来模拟弹簧振子、摆锤等物体的振动。
在电路中，电感和电容组成的电路也可以看作谐振子。
此外，在量子力学中，谐振子是描述原子和分子的振动性质的重要模型。
总结起来，谐振子的运动方程是一个关于位移x的二阶微分方程。
物理竞赛讲义-7.1简谐振动
7.1简谐振动一、简谐运动的定义1、平衡位置：物体受合力为0的位置2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反F k x =-二、简谐运动的性质F kx =-''mx kx =-取试探解（解微分方程的一种重要方法）cos()x A t ωϕ=+代回微分方程得：2m x kx ω-=-解得： 22T πω==对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数cos()x A t ωϕ=+sin()v A t ωωϕ=-+2cos()a A t ωωϕ=-+由以上三个方程还可推导出：222()vx A ω+=2a x ω=-三、简谐运动的几何表述一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动。
因此ω叫做振动的角频率或圆频率，ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心角，也叫做初相位。
四、常见的简谐运动1、弹簧振子(1)水平弹簧振子(2)竖直弹簧振子2、单摆（摆角很小）sin F mg mg θθ=-≈-x l θ≈因此： F k x =-其中： mg k l=周期为：222T πω===例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动?例3、位于铅垂平面内的“∠”形等截面弯管．两管分别与水平面成α角和β角．如图所示．其内盛有长为l、质量为m的液柱，受扰动后，液柱将沿管作往返振荡，求振荡周期(设管壁无阻力)．例4、如图所示，假想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放置一个小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力，试求小球的最大速度，以及小球从A运动到B所需要的时间，已知地球半径为R，地球半径为R，A和B之间的直线距离为L，设地球内部质量密度均匀，不考虑地球的自转。
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简谐运动运动方程的推导
简谐运动是指振动中子的运动是由位移、速度和加速度之间的连
续的变化所构成的，它可以在一定的时间周期内保持一定的振幅。
它
可以在物理、化学和生物等方面都应用到。
简谐运动的方程非常常用，本文将对它进行推导。
首先，假设对物体受到力的情况。
物体在某一点的情况可由位移
量x来描述，当物体受到力F时，则位移发生变化，这个变化被称为
加速度，用a表示。
即
F=ma
其中，m表示物体的质量。
接下来，我们考虑物体在某点受到力的情况，将这个问题转化成
物理学中一般运动的问题，有运动律
F = m(d^2x/dt^2)
当物体受到正弦振动力F时，运动律可以写成
F = m [ d^2 x/dt^2 + w^2 x]
其中，ω是正弦振动频率。
将左边等式引入到右边等式中，
ma - mw^2 x = 0
这就是简谐运动方程，将它转化成恒定解：
x = A·cos(ω·t+Φ)
其中，A表示振幅，ω表示角速度，t表示时间，Φ表示初相。
从简谐运动方程可看出，简谐运动物体的位移与时间呈正弦变化，简谐运动的速度与位移相反，与时间呈余弦变化，简谐运动的加速度
与时间呈正弦变化。
由此可见，简谐运动是一种正弦振动，具有特定
形态的变量序列，即在给定的时间周期内保持一定的振幅。
简谐运动的方程的推导很自然，物体受到力的情况被物理学通用
的运动律描述出来，而当受力为正弦振动力时，即得到简谐运动的方
程，它的恒定解可形时正弦曲线，而振幅即为恒定解的最大值。
从上面可以看出，简谐运动及其方程对物理、化学和生物等学科都有重要意义，它用来描述位移、速度和加速度变化关系，以及物体受力状态，是许多科学研究中重要的概念。
希望通过本文可以让读者对简谐运动及其方程有更深入的理解。