简谐运动位移公式推导
简谐振动及其周期推导与证明(原创)
简谐振动及其周期公式的推导与证明简谐振动：如果做机械振动的物体，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律， 这样的振动叫做简谐振动。
位移：用x 表示，指振动物体相对于平衡位置的位置变化，由简谐振动定义可以得出x 的一 般式：)cos(ϕω+=t A x （下文会逐步解释各个物理符号的定义）；振幅：用A 表示，指物体相对平衡位置的最大位移；全振动：从任一时刻起，物体的运动状态（位置、速度、加速度），再次恢复到与该时刻完 全相同所经历的过程；频率：在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f 表示；周期：物体完成一次全振动所用的时间，用T 表示；角频率：用ω表示，频率的2π倍叫角频率，角频率也是描述物体振动快慢的物理量。
角频 率、周期、频率三者的关系为：ω=2π/T =2πf ；相位：ϕωφ+=t 表示相位，相位是以角度的形式出现便于讨论振动细节，相位的变化率就是角频率，即dtd φω=； 初相：位移一般式中ϕ表示初相，即t =0时的相位，描述简谐振动的初始状态；回复力：使物体返回平衡位置并总指向平衡位置的力。
（因此回复力同向心力是一种效果力）如果用F 表示物体受到的回复力，用x 表示小球对于平衡位置的位移，对x 求二阶导即得：)cos(2ϕωω+-=t A a又因为F=ma ，最后可以得出F 与x 关系式：kx x m F -=-=2ω由此可见，回复力大小与物体相对平衡位置的位移大小成正比。
式中的k 是振动系统的回复力系数（只是在弹簧振子系统中k 恰好为劲度系数），负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。
简谐振动周期公式：km T π2=，该公式为简谐振动普适公式，式中k 是振动系统的回复力 系数，切记与弹簧劲度系数无关。
单摆周期公式：首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于10°）下，单摆的运 动可以近似地视为简谐振动。
我们设偏角为θ，单摆位移为x ，摆长为L ，当θ很小时，有关系式：Lx ≈≈≈θθθtan sin ， 而单摆运动的回复力为F=mgsin θ，那么单摆运动中回复力系数L mg k =，代入简谐振动周期普适公式可得： gL T π2= 简谐振动周期公式推导与证明：（1）求导法：对x 求二阶导，得：)cos(2ϕωω+-=t A a ，由F=ma= -kx 得：mk =ω， km T πωπ22==。
简谐运动周期公式的推导
简谐运动周期公式的推导
假设质点的位移与时间的关系遵从正弦的规律，即它的振动图象（x —t 图象）是一条正弦，这样的运动叫做简谐运动。
由定义可知，质点的位移时间关系为
()ϕω+=t A x sin (1)
对时间求导数可得速度随时间变化的规律：
()ϕωω+==t A dt
dx v cos ………………（2） 再次对埋单求导数可得加速度随时间变化的规律：
()ϕωω+-==t A dt
dv a sin 2………………（3） 由牛顿第二定律可知，质点受到的合力为：
ma F = (4)
由（3）（4）可知：
()ϕωω+-=t mA F sin 2 (5)
将（1）式代入（5）式可得：
x m F 2ω-= (6)
上式中，m 和ω都是常数，从而可以写成下面的形式
kx F -= (7)
对于的弹簧振子来说，（7）式中的k 表示弹簧的劲度系数k m =2
ω，即 m
k =ω………………（8） 由数学知识知，质点完成一次全振动的时间，即周期 ωπ2=
T (9)
由（8）（9）可得： k
m T π2=………………（10） 对于单摆的周期公式。
设单摆的摆长为l ，球的质量为m ，做小角度摆动时，在某个瞬间的摆角为θ，偏离平衡位置的位移为x 。
根据l
x ≈≈θθsin 知，它的回复力
x l mg F -
=………………（11） 对比（7）式可知，l
mg k =，将这个结果代入（10）可得单摆小角度摆动的周期 g
l T π
2= (12)。
简谐运动的公式描述-粤教版选修3-4教案
简谐运动的公式描述一、简谐运动的定义简谐运动是指一个物体在一个恒定的回复力作用下，做周而复始的往返运动的运动形式。
其运动轨迹为直线上的正弦曲线，又称为正弦运动。
例子包括弹簧振子、摆锤等。
二、简谐运动的特点•游动力和游动速度均周期性发生变化•游动力恒定，游动速度最大，位置中心•游动速度恒定，游动力最大，位置偏离中心•匀速线为中心位置，游动路线为直线•一个简谐运动周期内，消耗的能量是一定的三、简谐运动的公式描述1. 位移公式简谐运动最基本的公式是位移公式，即：$$ x = A\\sin(\\omega t + \\varphi) $$其中，x是物体的位移，A是振幅，表示物体离开平衡位置的最远距离；$\\omega$是角频率，表示单位时间内的角位移量；t是时间；$\\varphi$是初相位，表示物体在一个周期内初始时刻的相位。
2. 速度公式简谐运动的速度公式为：$$ v = A\\omega\\cos(\\omega t + \\varphi) $$其中，v是物体的速度。
3. 加速度公式简谐运动的加速度公式为：$$ a = -A\\omega^2\\sin(\\omega t + \\varphi) $$其中，a是物体的加速度。
4. 周期公式简谐运动的周期公式为：$$ T = \\frac{2\\pi}{\\omega} $$其中，T是一个简谐运动完成一个周期所需要的时间。
5. 频率公式简谐运动的频率公式为：$$ f = \\frac{1}{T} = \\frac{\\omega}{2\\pi} $$其中，f是简谐运动的频率，表示每秒钟完成的周期数。
四、课堂练习1.将$x=2\\sin(4\\pi t)$、$v=8\\pi\\cos(4\\pi t + \\frac{\\pi}{2})$、$a=-32\\pi^2\\sin(4\\pi t)$代入上面五个公式求解一下该简谐运动的振幅、角频率、初相位、周期、频率、，并画出物体的运动图。
简谐运动知识点[整理]
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一讲简谐运动单摆和弹簧振子【知识梳理】一、简谐运动的基本概念1．定义物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。
表达式为：F= -kx（1）简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。
也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。
不同于以前所讲的在一段时间内的位移。
（2）回复力是一种效果力。
是振动物体在沿振动方向上所受的合力（指向平衡位置）（3）“平衡位置”不等于“平衡状态”。
平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。
（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）但振子不振动则停留在平衡位置。
（4）F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。
凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。
2．几个重要的物理量间的关系要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。
（1）由定义知：F∝x，方向相反。
（2）由牛顿第二定律知：F∝a，方向相同。
（3）由以上两条可知：a∝x，方向相反。
（4）v和x、F、a之间的关系最复杂：x的方向-背向平衡位置 F与a的方向-指向平衡位置x、F、a三者大小同步变化且与v异步（过同一位置v有两个方向）3．从总体上描述简谐运动的物理量振动的最大特点是往复性或者说是周期性。
因此振动物体在空间的运动有一定的范围，用振幅A来描述；在时间上则用周期T来描述完成一次全振动所须的时间。
（1）振幅A是描述振动强弱的物理量。
（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）（2）周期T是描述振动快慢的物理量。
（频率f=1/T也是描述振动快慢的物理量）周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。
简谐运动位移公式推导
简谐运动位移公式推导问题：质量为m的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。
如图（a）所示，将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m物体将作往复运动，试求位移x与时间t的函数关系式。
图（a）分析：m物体在弹力F的作用下运动，显然位移X与弹力F有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F替换成关于X与t的量，再求解该微分方程。
推导：取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴，向右为正。
设弹力为F,由胡克定律,K为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。
根据牛顿第二定律，m物体加速度a====-x(1) 可令=(2)代入（a）,得=X或X=0(3)显然，想求出位移X与时间t的函数关系式，须解出此微分方程求解：对于X=0，即X’’+X=0 (4)(4)式属可将阶的二阶微分方程，若设X’=u，消去t,就要把把X”转化为关于X与t的函数，那么X’’===u,u+X=0, u X下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得=得=+C，即+C1(5)u=x’,x’==(6)再次分离变量，=dt (7)两边积分，右边=t，但左边较为复杂，经过仔细思考，笔者给出一种求解方法：运用三角代换，令X=(7)式左边化为==-,两边积分，得-–=t+C2由此可得，X=t+),即X=A t+) (8)其中A, Ψ皆为常数此方程即为简谐运动方程若Ψ=0,X-t为余弦曲线，如图（b）所示图（b）验证：通过高频照相机拍摄后发现m的轨迹为周期摆动的简谐曲线，与X=A t+)图像基本吻合，故可判断X=A t+)即为所求,如图（c）所示。
图（c）。
简谐运动位移公式推导
简谐运动位移公式推导简谐运动是指物体绕固定轴或点做往复运动，其位移随时间的变化呈现正弦或余弦函数的一种运动。
在物理学中，简谐运动可主要通过位移公式进行计算和描述。
本文将为大家介绍简谐运动的位移公式，并对其推导过程进行详细的阐述。
简谐运动的位移公式为y(t) = A cos(ωt + φ)其中，y(t)为物体在时刻t的位移；A表示振幅，即物体的最大位移；ω为角频率，表示单位时间内物体运动的圆周角度；φ为初相位，表示物体在时刻t=0时的位相差值。
为了推导该式，我们需要先从物体运动的速度和加速度入手。
在简谐运动中，物体的速度和加速度分别为：v(t) = - Aω sin(ωt + φ)a(t) = -Aω2cos(ωt + φ)其中，符号“-”表示物体运动的方向与速度和加速度方向相反。
然后，我们将加速度a(t)除以振幅A得到a(t) / A = -ω²cos(ωt + φ)接着，利用牛顿第二定律F=ma，其中F为物体所受合力，m为物体的质量，在简谐运动中，物体所受合力为恢复力F=-kx，其中k为弹性系数，x为物体的位移，因此有：ma = -kx即m(d²x/dt²) = -kx我们将上式中的x替换成y(t)，即m(d²y/dt²) = -ky(t)将y(t)的解设为y(t) = Acos(ωt + φ)，则有y''(t) = -Aω²cos(ωt + φ) = (-k/m)Acos(ωt + φ)由于y(t)是满足简谐运动的运动，因此我们可以得到y''(t) = -ω²y(t)将上两式联立可以得到ω²y(t) = (-k/m)y(t)即y(t) = A cos(ωt + φ)其中A = (k/m)^(1/2)，ω = (k/m)^(1/2)通过以上推导过程可以证明简谐运动的位移公式为y(t) = A cos(ωt + φ)。
简谐运动的位移速度加速度之关系
简谐运动的位移、速度、加速度之关系江苏省丰县中学(221700) 特级教师 戴儒京研究简谐运动的位移、速度、加速度之关系,可以根据: 做匀速圆周运动的质点,在其直径上的投影,做简谐运动来进行研究.如图1所示.设某质点从A 点开始,沿半径为R 的圆做匀速圆周运动,运动的角速度为ϖ,则经过时间t,到达图中P 位置时,其半径转过的角为:t ϖθ=.此时质点在其直径上的投影为:θcos R x =,如把圆周运动的半径R 当做简谐运动的振幅A,则有:t A x ϖcos =. (1) 这就是简谐运动的位移公式.从图中可以看出,匀速圆周运动的线速度v 在x 轴上的投影为θθsin )90cos(0v v v x -=--=.将匀速圆周运动的线速度公式R v ϖ=中的半径R 换成简谐运动的振幅A,则公式变为t A v x ϖϖsin -=,即为简谐运动的速度公式t A v ϖϖsin -=.(2)从图中可以看出,匀速圆周运动的向心加速度a 在x 轴上的投影为θcos a a x -=.将匀速圆周运动的向心加速公式R a 2ϖ=中的半径R 换成简谐运动的振幅A,则公式变为t A a x ϖϖsin 2-=,即为简谐运动的加速度公式t A a ϖϖcos 2-=.(3)公式(2)(3)也可以不从图1而用微分法得出:因为t A x ϖcos =,所以==dt dx v t A ϖϖsin -, ==dtdv a t A ϖϖcos 2-. 简谐运动的位移x 、速度v 、加速度a 与时间t 的关系也可以用图象表示如图2所示.图2例题1：图3为一弹簧振子的振动图象，由此可知（ ）：图3A. 在t 1时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最大 B ． 在t 2时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最小 C ． 在t 3时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最小 D ． 在t 4时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最大解：此图象表示的位移与时间的关系为:t A x ϖsin =,则速度与时间的关系为:t A v ϖϖcos =, 加速度与时间的关系为:t A a ϖϖsin 2-=,据此可画出图象如图4图4而动能的大小由速度的大小决定,弹性力的大小由加速度确定,从图4可以看出,振子的速度最大时动能最大，分别在t2、t4时刻，排除A、C；在t2、t4时刻，振子在平衡位置，回复力最小为零，即所受的弹力最小，本题选B。
简谐运动位移公式推导资料讲解
简谐运动位移公式推导资料讲解简谐运动是指一个物体在受到恢复力的作用下，保持一个恒定的周期性振幅的运动。
在简谐运动中，物体的位移与时间之间的关系可以由位移公式来描述。
首先，我们来推导简谐运动的位移公式。
设物体的运动轨迹为一条直线，物体在坐标轴上作简谐运动。
假设物体在t=0时刻位于最大位移处，并按照正方向振动。
物体的位移可以用x 表示，位移的大小与物体的位于坐标轴的位置有关。
根据定义，简谐运动的周期T是指运动一个完整的往复运动所需的时间。
而频率f是指在单位时间内完成的往复运动的次数。
物体在简谐运动中，位移随时间的变化可以用正弦函数来表示：x(t) = A * sin(ωt + φ)其中，A表示振幅，ω表示角频率，φ表示初始相位。
为了简化推导，我们可以设t=0时刻位相为0，即φ=0。
此时，位移公式可以简化为：x(t) = A * sin(ωt)接下来，我们需要找到位移随时间的变化规律。
假设物体的运动是由一个由质点线性组合而成的复杂（叠加）运动所产生的。
这个复杂运动可以分解成多个简谐运动的叠加。
根据赫尔蔡振动合成定理，任意时刻任意一点的位移可以表示为：x(t) = Σ[ A* sin(ωt) ]其中，Σ表示对所有简谐运动分量求和。
根据三角函数的正交性质，任意两个不同的角频率分量的位移在一个周期内的时间积分为0，即：∫[ sin(ω1t) * sin(ω2t) ] dt = 0当ω1≠ω2时成立。
由此，我们可以推导得到物体的位移平方与时间的关系：x(t)^2 = [ A * sin(ω1t) + A * sin(ω2t) + ... ]^2= A^2 * [ sin^2(ω1t) + sin^2(ω2t) + ... ]= A^2 * (1/2) * [ 1 - cos(2ω1t) + 1 - cos(2ω2t) + ... ]= (A^2/2) * [ n - Σcos(2ωnt) ]其中n表示简谐运动的个数。
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简谐运动位移公式推导
简谐运动是指具有周期性、振幅恒定、且运动方向与作用力方向相同的运动。
在简谐运动中，物体的位移可以用一个简单的数学公式来描述。
下面我将给出简谐运动位移公式的推导。
假设一个质点进行简谐运动，其运动方程可以表示为：
x = X*sin(ωt + φ)
其中，x表示质点的位移，X表示质点的振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
首先，我们知道简谐运动是一种周期性运动，即在一个周期内，物体的运动状态会重复出现。
一个周期的长度为T，即在时间T内，物体完成一次完整的往复运动。
因此，我们可以将角频率ω定义为：ω=2π/T
接下来，我们考虑质点的初始运动状态。
初相位φ表示在t=0时刻质点的位移相对于振动的初始位置的差距。
当φ=0时，质点位于振动的初始位置；当φ=π/2时，质点位于振动的最大位移位置。
因此，我们可以得到：
x = X*sin(ωt + φ)
接下来，我们来推导简谐运动的位移公式。
我们将位移公式的形式写成以下形式：
x = A*sin(ωt) + B*cos(ωt)
其中，A和B是待定系数。
我们可以通过初始条件来确定这些系数。
当t=0时，由于质点的初始位移为X，所以我们有：
x(0) = A*sin(ω*0) + B*cos(ω*0) = X
由此可得B=X，即B的取值为振幅X。
当t=0时，由于质点的初始速度为0，所以我们有：
v(0) = A*ω*cos(ω*0) - B*ω*sin(ω*0) = 0
根据初中学的三角函数性质，sin(0) = 0，cos(0) = 1，所以我们有：v(0)=A*ω*1-B*ω*0=A*ω=0
由此可得A=0，即A的取值为0。
综上所述，我们得到了简谐运动的位移公式：
x = X*sin(ωt)
简谐运动的位移公式中，位移与时间的关系是一个正弦函数关系。
其中，X表示振幅，表示质点的最大位移；ω表示角频率，表示单位时间内
的相位改变量。
简谐运动具有周期性和重复性，其运动状态会在一个周期内周期性地
发生变化。
在一个周期内，质点会从最大位移向负方向运动，然后向正方
向运动，过零点再向负方向运动，如此往复。
周期的长度为T，即质点完
成一次完整的往复运动所需要的时间。
角频率ω表示在一个周期内相位
改变的快慢程度，ω的值越大，相位改变得越快，一个周期内完成的往
复次数也越多。