简谐振动的运动方程
一维简谐振动方程
一维简谐振动方程简谐振动是指物体在沿着直线方向上进行往复运动的一种振动形式。
简谐振动方程是描述简谐振动过程中物体位移与时间的关系的方程。
它可以用数学方式表示为：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，x(t)表示振动物体在时间t时刻的位移；A表示振幅，即位移的最大值；ω表示角频率，它与周期T的关系是ω=2π/T；φ表示初相位，它决定了位移曲线的起始位置。
简谐振动的特点是周期性和对称性。
周期性是指振动物体以一定的时间间隔重复相同的位移值。
对称性是指振动物体出现正向位移和反向位移的时间是对称的。
根据简谐振动方程，我们可以推导出一些重要的物理量和特性。
首先是振动周期T，它表示振动物体完成一个完整振动往复运动所需要的时间。
根据角频率与周期的关系，可以得到T=2π/ω。
其次是振动频率f，它表示振动物体每秒钟振动的次数。
振动频率与角频率的关系是f=ω/2π。
再次是振动速度v和加速度a，它们分别表示振动物体在给定时刻的速度和加速度。
根据位移x关于时间的一阶和二阶导数，可以得到振动速度和加速度的表达式：v(t) = dx(t)/dt = -Aωsin(ωt + φ)a(t) = dv(t)/dt = -Aω²cos(ωt + φ)振动速度和加速度的正负号与振动物体的位置有关。
当x(t)为正时，振动速度为负，即物体向负方向运动；当x(t)为负时，振动速度为正，即物体向正方向运动。
同样地，当x(t)为正时，振动加速度为正；当x(t)为负时，振动加速度为负。
简谐振动还有一个重要的特性是能量守恒。
振动物体由于受到弹力恢复力的作用而具有动能和势能。
动能由振动物体的速度决定，势能由振动物体的位移决定。
在一个振动周期内，动能和势能之间不断转化，但总能量保持不变。
具体地说，简谐振动的总能量等于振动物体的最大势能或动能，可以表示为：E=1/2kA²其中，k表示振动系统的弹性系数，它与物体的质量m和振动频率f之间的关系是k = 4π²mf²。
大学物理简谐振动
A2
A
A2 sin 2
2 -1
2
O
1 A1 x2
A1 sin 1
x2 x
x1x1
x2
x
A1 cos1 A2 cos2
合振动振幅：A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1. 两个分振动的相位相同（同相）
5 (或 3 )
4
4
第六章
机械波
mechanical wave
6.1 机械波的产生、传播和描述 波动: 振动在空间中的传播过程.
机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程. 波动
电磁波: 交变电磁场在空间中的传播过程. 6.1.1 机械波的产生
当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个 部分之间的弹性力作用，振动就由近及远地传播出去. (1) 机械波实质上是介质中大量质点参与的集体振动;
20 0.47
(2) 30为何值时, x1+x3 的振幅为最大; 30为何值时, x2+x3的振幅为最小.
x1 0.05cos10t 3 4
x2 0.06cos10t 4
x3 0.07 cos10t 30
30
10
0 时，x1+x3 振幅最大：30
10
3
4
30 20 时，x2+x3 振幅最小：30 20
t 时刻点 P 的振动状态
P点在
t
时刻的位移
y P ,t
yO ,t x
u
A c os [ (t
x) u
0 ]
波函数 (波方程)
y( x, t )
A cos[ (t
简谐运动的表达式
简谐运动的表达式
创新微课
【解析】据x=Asin（ωt+ φ ）得到：A1=4a，A2=2a。 A1 / A2=4a/2a=2 又ω=4πb及ω=2πf得：f1=f2=2b
1
它们的相位差是： △φ = （4πbt+ 3π/4） － （4πbt+ π/2） =π
创新微课 现在开始
简谐运动的表达式
简谐运动的表达式
一、简谐运动弦函数y=Asin(ωx+φ)，简谐运动的位移随时间变化的规律 （振动方程）应为： x=Asin(ωt+φ)
简谐运动的表达式
创新微课
二、各物理量的意义
简谐运动的振动方程 x=Asin(ωt+φ)：
1、振幅：A是物体振动的振幅。
别为多少?
1
(2)求振子在5 s内通过的路程。
(3)根据振动图象写出该简谐运
动的表达式。
简谐运动的表达式
创新微课
【解析】(1)由图象可知: 振幅:A=2 cm 周期:T=0.8 s 频率:f==1.25 Hz。 (2)在5 s内通过的路程:
s=×4A= ×4×2 c1m=50 cm。
(3)由图象可知:振子的初相为
0,ω=2πf=2.5π rad/s 表达式为:x=2sin 2.5πt cm。
【答案】(1)2 cm 0.8 s 1.25 Hz
cm
(2)50 cm
(3) x=2sin 2.5πt
简谐运动的表达式
创新微课
【练习】两个简谐振动分别为:
x1=4asin（4πbt+ π/2） 和 x2=2asin（4πbt+ 3π/4）
1
4.3 简谐振动的能量
T
E
2
一个周期内的平均势能为: 一个周期内的平均势能为
1 Ep = T
∫
T
0
1 2 1 kx dt = 2 T
∫
0
1 m ω 2 A 2 cos 2 (ωt + φ )dt 2
mω 2 A2 = 2T
∫Leabharlann T0mω 2 A2 1 2 1 cos 2 (ωt + φ )dt = = kA = E 4 4 2
信息学院 物理教研室
结论: 结论 1、弹簧振子的动能和势能的平均值相等， 、弹簧振子的动能和势能的平均值相等， 且等于总机械能的一半； 且等于总机械能的一半； 2、任一简谐振动总能量与振幅的平方成 、 正比； 正比； 3、振幅不仅给出简谐振动运动的范围， 、振幅不仅给出简谐振动运动的范围， 而且还反映了振动系统总能量的大小及振动的 强度。 强度。 这些结论同样适用于任何简谐振动
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二、能量的平均值 简谐振动在一个周期中的平均动能为: 简谐振动在一个周期中的平均动能为 1 T1 E k = ∫ m ω 2 A 2 sin 2 (ωt + φ )dt T 0 2 T T 2 2 2 ∫0 sin (ωt + φ )dt = mω A T 2 2 = ∫0 sin (ωt + φ )dt 2T T T 2 ∫0 cos (ωt + φ )dt = mω 2 A2 1 2 1
一、简谐振动的能量 关于振动的运动方程、速度表达式为: 关于振动的运动方程、速度表达式为 x = Acos(ωt +φ ) v = −Aω sin(ωt +φ ) 则动能和势能分别为: 则动能和势能分别为
简谐运动的图象和公式
• 图像绘制方法 1、描点法
第一个1/2周期： t 时间t(s) 0 第二个1/2周期： 7t 时间t(s) 6t
0
0
2t
0
3t
0
4t
0
5t
0
6t
0
位移x(cm） 20.0
-17.8
-10.1
0.1
10.3
17.7
20.0
0
8t
0
9t
0
10t
0
11t
0
12t
0
位移 x(cm)
20.0
17.7
10.3
以x代表质点对于平衡位置的位移，t代表时间，则
x A sint
（1）公式中的A 代表什么? A叫简谐运动的振幅。表示简谐运动的强弱。 （2）ω叫做什么?它和T、f之间有什么关系?
叫圆频率。表示简谐运动的快慢。 它与频率的关系： =2f
（3）公式中的相位用什么来表示?
“ t+” 叫简谐运动的相位。表示简谐运动所处的状态。
二、简谐运动的图象作用:
1.物理意义:简谐运动的振动图象表示某个振动物体 相对平衡位置的位移随时间变化的规律。 注意：振动图象不是振子运动的轨迹。 2. 从简谐运动的振动图象可以知道振动物体的运动情 况。 （1）从图象可以知道振幅。 （2）从图象可以知道周期（频率）。（曲线相邻两最 大值之间的时间间隔） （3）从图象可以知道任一时刻物体对平衡位置的位移， 从而确定此时刻物体的位置。 (4)从图象可以确定任一时刻物体的速度大小和方向， 以及某一段时间速度大小变化情况。
x
·
t = 0 A
x
参考圆
简谐运动的位移公式:
x A cos( t )
简谐振动运动方程
简谐振动运动方程简谐振动是物理学中一种重要的振动形式，它在自然界和工程领域中都有广泛应用。
简谐振动的运动方程描述了振动物体在平衡位置附近的周期性运动规律，可以用于解释弹簧振子、摆钟、电路中的振荡电流等现象。
简谐振动的运动方程可以表示为x = A*cos(ωt+φ)，其中x表示振动物体距离平衡位置的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位差。
这个方程描述了振动物体随时间变化的位置情况。
简谐振动的周期是指振动物体完成一次完整振动所需要的时间。
周期T与角频率ω之间有关系T = 2π/ω。
振动的频率则是指单位时间内完成的振动次数，可以表示为 f = 1/T = ω/2π。
振动的频率与角频率是相互关联的，它们描述了振动物体的快慢程度。
简谐振动的振幅是指振动物体离开平衡位置的最大位移量。
振幅越大，振动物体的运动范围就越大。
振动物体的能量也与振幅有关，振幅越大，能量越高。
振幅与振动物体的势能和动能之间也存在着一定的关系。
简谐振动的初相位差是指振动物体在某一时刻与参考点的位移差。
初相位差决定了振动物体的起始位置，它与振动物体的初始条件有关。
初相位差的不同会导致振动物体的运动规律发生变化。
简谐振动的运动方程可以通过牛顿定律和胡克定律推导得到。
牛顿定律指出，物体的加速度与作用在物体上的合外力成正比，胡克定律则描述了弹簧的弹性特性。
将这两个定律结合起来，可以得到简谐振动的运动方程。
简谐振动在自然界和工程中都有广泛的应用。
在自然界中，摆钟的摆动、弹簧振子的弹动、声波的传播等都是简谐振动。
在工程领域中，简谐振动的原理被应用于建筑物的抗震设计、机械振动的控制、电路中的振荡电流等。
简谐振动还有一些特殊的性质。
例如，简谐振动的位移、速度和加速度之间存在着一定的相位关系。
位移和速度的相位差是π/2，位移和加速度的相位差是π。
这些相位关系可以通过简谐振动的运动方程进行推导得到。
简谐振动是物理学中一种重要的振动形式，它可以用运动方程来描述振动物体的运动规律。
简谐振动与波动
简谐振动与波动简谐振动和波动是物理学中两个重要的概念。
简谐振动是指一个物体以固定的频率在一个平衡位置周围做往复运动，而波动则是指能量以波的形式传播的现象。
虽然它们有一些相似之处，但是它们在定义、特点和应用等方面也有一些不同之处。
一、简谐振动简谐振动是指一个物体在一个平衡位置附近做往复运动的现象。
它的特点是振动周期固定，且在平衡位置处的加速度与离平衡位置的距离成正比。
例如，一个挂在弹簧上的质点，在没有外力作用下会以固定的频率上下振动。
简谐振动的周期T和频率f之间有如下关系：T=1/f。
简谐振动还有一个重要的特点是它的运动方程是一个正弦函数。
设x为质点相对平衡位置的位移，t为时间，A为振幅，ω为角频率，则简谐振动的运动方程可以表示为：x=Acos(ωt+φ)，其中φ为初相位。
简谐振动在物理学中有广泛的应用，例如钟摆的运动、声波的传播以及电磁波的振荡等，都可以通过简谐振动来进行描述和解释。
二、波动波动是指能量以波的形式传播的现象。
波动可以分为机械波和电磁波两种类型。
机械波是指需要介质才能传播的波动，例如水波和声波；而电磁波则是不需要介质就能传播的波动，例如光波和无线电波。
波动的特点之一是它的能量传播方向与波传播方向垂直。
例如，水波在向前传播时，水分子的振动方向是垂直于波的传播方向的。
此外，波动还具有反射、折射、干涉和衍射等现象。
波动可以用波函数来描述。
对于机械波，它的波函数可以表示为y(x,t)=Asin(kx-ωt+φ)，其中y为波的振幅，x为波的位置，t为时间，A为振幅，k为波数，ω为角频率，φ为初相位。
波动是物理学中一个广泛研究的领域，它不仅涉及到声波、光波等常见的波动现象，还涉及到其他一些特殊的波动，例如量子波动和粒子波动等。
三、简谐振动与波动的关系简谐振动和波动虽然是两个不同的概念，但它们之间存在着一定的联系。
事实上，简谐振动可以看作是一种特殊的波动现象。
从数学表达上看，简谐振动的运动方程和波动的波函数非常相似，都具有正弦函数形式。
简谐振动的方程
m
O
x X
k mg / l
令向下有位移x, 则 f mg k (l x) kx
作谐振动
设振动方程为
x A cos(t 0 )
k m g l 9.8 10rad / s 0.098
由初条件得
A x0 (
2
v0
) 2 0.098m
0 是t =0时刻的位相—初位相
(4)简谐振动的旋转矢量表示法
A
t
t t
t0
o
x
x
x A cos(t )
请看动画……
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
三 简谐运动的特征
1）
2） 3）
F kx
d2 x 2 x 2 dt
(平衡位置
x0 )
v0 0 arctg ( ) 0, x0
由x0=Acos0=-0.098<0 cos0<0, 取0= 振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)m
(2)按题意 t=0 时
m
O
x X
x0=0，v0>0
x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2 x=9.810-2cos(10t+3/2) m
x t 图
x A cos t
x
A
t
v t 图
v A sin t
A cos(t
A
2 )
2
v
t
a t 图
a A 2 cos t
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简谐振动的运动方程
简谐振动是我们生活中非常常见的一种物理现象，它是一种周期
性的振动，比如钟摆的摆动、弹簧的伸缩、机械波的传播等都可以理
解为简谐振动。
简谐振动的运动方程可以表示为：x = A*sin(ωt + φ)。
其中，x 表示位移，A 表示振幅，ω 表示角频率，t 表示时间，
φ 表示初始相位。
这个方程告诉我们，简谐振动的运动轨迹是正弦曲线，振幅为 A，周期为T = 2π/ω，频率为f = ω/(2π)。
我们如果要想更加深入地理解简谐振动，可以从以下几个方面来
探讨。
首先，我们需要知道简谐振动的特点是什么。
简谐振动的最基本
特点就是周期性，相邻两个极值点之间的时间间隔是稳定的。
此外，
简谐振动对外力的响应也非常敏感，当外力频率接近振动系统的特征
频率时，振幅会急剧增加，这种现象被称为共振。
其次，我们需要掌握简谐振动的运动规律。
通过运动方程，我们
可以知道简谐振动的位移和时间之间存在一个正弦函数关系，这个关
系告诉我们简谐振动的位移随着时间而变化，当 t = 0 时位移最大，
当 t = T/4 时位移为零，当 t = T/2 时位移最小，当 t = 3T/4 时
位移为零。
最后，我们需要了解简谐振动在实际应用中的意义。
简谐振动在很多领域都有着广泛的应用，比如钟表的计时、天平的称重、电子电路的稳定等等。
在工程领域中，利用简谐振动原理可以设计出各种振动器和传感器，这些设备对于航空、航天、汽车、电子等行业都有着非常重要的意义。
总之，掌握简谐振动的运动规律和特点，对于我们了解各种物理现象和工程应用有着非常重要的指导意义。