3-5线性系统的稳定性分析
线性系统的稳定性分析实验报告
线性系统的稳定性分析实验报告本实验旨在对线性系统的稳定性进行分析，包括定义稳定性、利用极点分布法分析稳定性、利用本征模态分析稳定性、以及使用Matlab进行稳定性分析等内容。
一、实验背景稳定性是控制系统研究中一个非常重要的概念，它与系统的性能、可靠性、控制策略等密切相关。
简而言之，稳定性就是指当输入信号发生变化时，系统能否在一定时间范围内维持稳定状态。
对于线性系统，稳定性的分析可以通过系统的传递函数、本征模态等途径进行求解。
二、实验设备（1）计算机（2）Matlab软件三、实验过程及结果1.定义稳定性在控制系统稳定性分析中，一般都是针对线性时不变系统进行讨论。
对于线性时不变系统，我们可以采用两种常用的定义方法来判断其稳定性：（1）定义1：系统是稳定的，当且仅当系统的输入信号有界时，系统的输出信号也有界。
（2）定义2：系统是稳定的，当且仅当系统的特征方程所有极点的实部均小于0。
2.利用极点分布法分析稳定性极点分布法是一种常用的线性时不变系统稳定性分析方法，通过计算系统的特征方程的极点分布来判断系统的稳定性。
例如，现有一个传递函数为G(s)= 1/ (s+1)(s-2)的系统，可以写出系统的特征方程：s^2-s-2=0求解特征方程，得到系统的两个极点为s1=2,s2=-1，其中s2=-1的实部小于0，符合定义2的稳定性判断标准，因此该系统是稳定的。
3.利用本征模态分析稳定性本征模态是指一组特定的正交基，通过它们可以表示出系统的任意初始状态和任意输入下的响应。
因此，本征模态分解法是一种可以用来分析线性可逆系统稳定性的工具。
例如，现有一个传递函数为G(s)= 1/(s+3)的系统，对应的状态空间方程为：x(t+1)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)其中，A=[-3]，B=[1]，C=[1]，D=0。
求解系统的本征值，得到该系统的特征根为-3，证明该系统是非常稳定的。
因此，该系统满足定义2的稳定性判断标准。
线性系统的稳定性分析
第三章 线性系统的稳定性分析3.1 概述如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的。
否则，系统不稳定。
一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于工程实施的。
因此，稳定性问题是系统控制理论研究的一个重要课题。
对于线性系统而言，其响应总可以分解为零状态响应和零输入响应，因而人们习惯分别讨论这两种响应的稳定性，从而外部稳定性和内部稳定性的概念。
应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多。
然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至是不可能的。
李雅普诺夫(A.M. Lyapunov)稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。
本章首先介绍外部稳定性和内部稳定性的概念及其相互关系，然后介绍李雅普诺夫稳定性的概念及其判别方法，最后介绍线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析。
虽然在非线性系统的稳定性问题中，Lyapunov 稳定性分析方法具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。
技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。
在本章中，对于实际非线性系统的稳定性分析仅限于几种简单的情况。
3.2 外部稳定性与内部稳定性3.2.1 外部稳定：考虑一个线性因果系统，如果对一个有界输入u （t ），即满足条件：1()u t k ≤<∞的输入u （t ），所产生的输出y （t ）也是有界的，即使得下式成立：2()y t k ≤<∞则称此因果系统是外部稳定的，即BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定。
注意：在讨论外部稳定性的时候，我们必须要假定系统的初始条件为零，只有在这种假定下面，系统的输入—输出描述才是唯一的和有意义的。
系统外部稳定的判定准则系统的BIBO 稳定性可根据脉冲响应矩阵或者传递函数矩阵来进行判别。
a) 时变情况的判定准则对于零初始条件的线性时变系统，设(,)G t τ为脉冲响应矩阵，则系统BIBO 稳定的充要条件是，存在一个有限常数k ，使对于一切0[,),(,)t t G t τ∈∞的每一个元0(,)(1,2,.......;1,2,.....)(,)ij tij t g t i q j p g t d k τττ==≤<∞⎰有即，(,)G t τ是绝对可积的。
3.5线性控制系统的稳定性
6.
对于线性定常系统，零输人响应与零状态 响应稳定性的条件是一致的。
线性定常系统是稳定的，则一定是渐近稳 定，一定是大范围渐近稳定。
二、线性定常系统稳定的充分必要条件 线性定常系统的稳定性表现为输出时间响 应的收敛性。
如果系统在扰动（初始状态）的作用下， 其暂态响应随着时间的推移逐渐衰减并趋 于零（即平衡工作点），则称该系统为渐 近稳定，简称稳定。反之，若在初始扰动 作用下，系统的暂态响应随着时间的推移 而发散，则称系统为不稳定。
第一列各元素符号没有变化，表示有一对共扼虚根存在。 相应的系统也属于不稳定或临界稳定。
(2) 某一行各项系数全为零或只有等于零的 一项
这种情况表明特征方程存在以原点为对称 的实根，或以原点为对称的虚根，或以虚 轴为对称的两对共轭复根。
系统属于不稳定或临界稳定。
可以降阶求其虚根和共轭复根。
二、赫尔维茨(Hurwitz)稳定判据
可以用一正整数去乘以或除以某一行的各项。 不改变稳定性的结论 ，可简化运算 。
③最后，用劳思判据判断系统稳定性。
3．劳思判据：
系统稳定的充要条件是表中第一列各元素的 符号均为正，且不等于零。
表中第一列若有负系数，闭环系统不稳定；
各系数符号改变的次数等于具有正实部特 征根的个数。
例 1：已知系统的特征方程如下，判断稳定性 劳斯表
4．劳思稳定判据的特殊情况
特殊情况是指某行的第一列系数为零。出 现特殊情况时系统是不稳定的。
(1) 第一列系数为零，其它系数不全为零。 处理方法：以很小的正数ε代替该行第一列 系数，使运算能够继续。
第一列系数中当ε趋于零时， 2-2/ε项的值为一负数。 第一列系数的符号改变了两次系，统不稳定。
§3-5线性系统稳定性及稳定判据
K* 0
560- K* 0
14 0 K* 560 即 0 K 14
若要求闭环极点 s平在面上全部位s 于1垂线之,左 则令s s1 1,代入原特征方 ,得程
s13 11s12 15s1 ( K * 27) 0 相 应 的Ro uth表 为
s13 s12
s 11
s10 则解得
或其特征根全部位于s平面的左半部。
例. 试判断系统 C(S)
1
的稳定性。
R(S) S 3 4S 2 5S 2
解:
32 S 4S
5S 2 0
2
2
(S 1)(S 3S 2) (S 1) (S 2) 0
S1 -1, S2 -1, S3 -2 由 于 三 个 特 征 根 都 具负有实 部,
00 n 0 0
an-1 an-3 0 an an-2 0
0 0
0
00 00 00
0 0 a0 0 0 0 a1 0 0 0 a2 a0
例: 设系统的特征方程式为2s4 s3 3s2 5s10 0, 试用胡尔维茨判据
判断该系统的稳定性。
解: 1 50 0
2 3 10 0 4 0 1 5 0
解： （1）特征方程各项系数大于0
（2）列劳斯阵
s4
1
1
1
s3
2
2
s2 0(用代替） 1
当ε→0时s1， s0
2
2
， 该项符号为负，因此，劳斯阵中第一列系数符号改
1
2 2 0
例设系统的特征方程为 s3 3s 2 0
试应用判据判别实部为正的特征根的个数。
解
s3
1
-3
改变一次
s2 0
自动控制原理课件：线性系统的稳定性和稳态特性分析
上述系统在干扰作用消失后，能够恢复到 原始的平衡状态，或者说系统的零输入响应具 有收敛性质，则系统为稳定的。
由此可得到线性系统稳定的充分必要条件: 系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于复数s平面的左半部．
系统给定误差传递函数为
Er (s) R(s)
1 1 G(s)
1
1 K (0.5s 1)
s(s 1)(3s 1)
Er
(s)
s(s
s(s 1)(3s 1) 1)(3s 1) K (0.5s
1)
R(s)
esr
lim
s0
sEr
(s)
lim s
s0
s(s 1)(3s 1)
1
s(s 1)(3s 1) K(0.5s 1) s
3.3 劳斯稳定判据 线性系统稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（复数s平面
的左半部）．但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯判据，
避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统
的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据．
１．劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式
下面要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能 力．
这里讨论的稳态误差仅限于由系统结构、参数及输入信号的不 同而导致的稳态误差，不包含由于具体元件的灵敏性、温湿度影响所 带来的误差问题。
控制系统的输入包含给定输入和扰动量， 对应的控制系统的稳态误差也分为两类：
给定稳态误差
扰动稳态误差
Er (s) R(s) B(s) R(s) Er (s)Gc (s)Go (s)H(s)
《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算
伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
K 1, 1
r(t) 1(t),k p , ess 0
r(t) t, kv 1, ess 1
r(t)
1 2
t2, ka
0, ess
位置随动系统
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
14
4.扰动作用下稳态误差
R(s)
-
E(s)
R(s) E(s) 20
s4
N (s)
+
2
C(s)
s(s 2)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
28
3-20
R
-
K1
U
K2 S(T1S 1)
C
G(s)
K1K 2
B
s(T1s 1)(T2s 1)
1 T2S 1
(s)
C(s) R(s)
T1T2 s 3
K1K2 (T2s 1) (T1 T2 )s2 s
1
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
7
3.输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess
Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
1
R LimG(s)H (s)
Lim s R
s0
K Lim s
27
参考答案: Kp= ,kv=5,ka=0,essr=0.4，essn=-0.2
四、控制系统如图, r(t) 1 2t, n(t) 1(t), 试计算
线性系统的稳定性分析与判据
线性系统的稳定性分析与判据稳定性是线性系统分析中的重要概念，它描述了系统在输入和干扰下的响应是否趋于有界。
稳定性分析和判据在控制工程、通信工程等领域具有广泛的应用。
本文将介绍线性系统稳定性的基本概念、分析方法和判据。
一、线性系统稳定性的基本概念线性系统由一组线性方程表示，可用状态空间模型描述。
在进行稳定性分析之前，我们先来了解一些基本概念。
1. 输入与输出：线性系统接收一个或多个输入信号，并产生相应的输出信号。
输入和输出可以是连续的信号或离散的序列。
2. 状态：系统的状态是指能够完全描述系统行为的一组变量。
状态可以是连续的或离散的，通常用向量表示。
3. 零状态响应与完全响应：零状态响应是指系统在无外部输入的情况下的输出。
完全响应是指系统在有外部输入的情况下的输出。
4. 稳定性：一个线性系统是稳定的，当且仅当其任何有界的输入所产生的响应也是有界的。
如果系统输出在有界输入下有界，我们称系统是BIBO（Bounded-Input, Bounded-Output）稳定的。
二、系统稳定性的分析方法稳定性分析主要通过判定系统的特征值来实现。
系统的特征值决定着系统的响应特性，在稳定性分析中起着关键作用。
1. 特征值分析：特征值是描述系统动态特性的重要指标。
对于连续系统，特征值是状态方程的解的指数项；对于离散系统，特征值是状态方程的解的系数。
通过计算特征值，可以判断系统的稳定性。
2. 极点分析：极点是特征值的实部和虚部共同确定的。
稳定系统的特征值的实部都小于零，不稳定系统至少有一个特征值的实部大于零。
3. 频域分析：稳定性分析还可以通过频域方法进行。
常见的频域分析方法包括幅频响应法和相频响应法。
通过分析系统的频率特性，我们可以得到系统的稳定性信息。
三、线性系统稳定性的判据除了特征值分析和频域分析，我们还可以利用一些判据来判断系统的稳定性。
1. Nyquist准则：Nyquist准则是常用的稳定性判据之一。
通过计算系统的传递函数在复平面上的闭合轨迹，可以判断系统的稳定性。
自动控制理论 第10章 李雅普诺夫稳定性分析
２）如果ｘｅ＝０为系统的平衡状态，则李氏函数应满足Ｖ（ｘｅ）＝ Ｖ（０）＝０。但当ｘ（ｔ）≠ ０
时， 不管其分量大于零或小于零，均能使Ｖ（ｘ）＞０。
基于上述的性质，人们常以状态矢量ｘ的二次型函数Ｖ（ｘ）作为李氏函数
的候选函数，即
式中，ｘ为实变数矢量。只要矩阵Ｐ是正定的，则上式所示的Ｖ（ｘ）就符 合对李氏函数性质的要求。
对于连续定常系统，李雅普诺夫第二方法是根据Ｖ（ｘ）和
的性
质去判别它的稳定性。因此需要研究以下两个问题：
１）具备什么条件的函数才是李雅普诺夫函数，简称李氏函数。
２）怎样利用李氏函数去判别系统平衡状态的稳定性？
由对图10-2所示系统的讨论，可知李氏函数必须要同时具有如下两个性质：
１）李氏函数是自变量为系统的状态矢量ｘ（ｔ）的标量函数。
态是不稳定的。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
6
为了能更直观地理解上述平衡状态稳定性的概念，
下图在二维状态平面上分别画出了系统平衡状态的稳 定、渐近稳定和不稳定３种情况。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
7
自动控制理论
第二节 李雅普诺夫第二方法
正定函数
2021/6/18
11
自动控制理论
由上式可见，除了ｘｅ＝０外，系统的能量Ｖ（ｘ）在运动过程中由于 受到了阻尼器的阻尼作用而不断地减小，最后使Ｖ（ｘ）＝０。这个例子很 容易把能量函数Ｖ（ｘ）与实际系统联系起来。然而，对一般的系统而言， 至今还没有一个普遍适用“能量函数” 的表达式。对此，李雅普诺夫提出了 一个虚拟的能量函数，人们称它为李雅普诺夫函数，用Ｖ（ｘ）表示。
则称系统的平衡状态ｘｅ是渐近稳定的。
线性系统的稳定性分析ppt
03
时域仿真法
利用计算机仿真技术，对线性时变系统进行时域仿真。通过观察系统状
态变量的时域响应曲线，判断系统的稳定性。若系统状态变量最终趋于
零或稳定在某个固定值附近，则系统稳定。
PART 05
线性系统稳定性优化与控 制
系统稳定性优化方法
频域分析法
通过频率响应函数判断系 统稳定性，采用频域校正 方法如超前、滞后校正优 化系统性能。
根轨迹法
利用根轨迹图分析系统稳 定性，通过调整开环增益 或引入附加零点、极点改 善系统性能。
状态空间法
基于状态空间模型分析系 统稳定性，采用状态反馈 或输出反馈控制策略进行 系统优化。
控制器设计与实现
PID控制器
根据系统性能指标设计PID控制器 参数，实现闭环控制并优化系统 稳定性。
最优控制器
应用最优控制理论设计控制器，如 线性二次型调节器（LQR）或线性 二次型高斯控制（LQG），以实现 系统性能最优。
根轨迹法
01
02
03
根轨迹绘制
根据系统开环传递函数的 零点和极点，绘制根轨迹 图。
根轨迹分析
通过观察根轨迹的走向、 交点和与虚轴的相对位置， 判断系统在不同参数下的 稳定性。
根轨迹与系统性能
通过分析根轨迹与系统性 能指标（如超调量、调节 时间等）的关系，进一步 评估和优化系统性能。
PART 04
PART 03
线性时不变系统稳定性分 析方法
时域分析法
初始状态响应法
01
通过分析系统对初始状态的响应来判断稳定性，如系统的零输
入响应是否趋于零。
脉冲响应法
02
利用系统的脉冲响应函数，观察系统对脉冲输入的响应是否收
线性系统的稳定性分析与控制
线性系统的稳定性分析与控制线性系统的稳定性是控制理论中的重要概念，对于系统设计和控制算法的选择具有重要的指导意义。
本文将对线性系统的稳定性分析与控制进行探讨，并介绍一些常用的稳定性分析方法和控制策略。
一、线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性可以通过系统的特征方程来进行判断。
特征方程是描述系统动态行为的一个重要方程，其形式为 sI-A=0，其中s是复变量，I是单位矩阵，A是系统的状态矩阵。
1.定态响应法定态响应法是一种简单直观的稳定性分析方法。
通过对特征方程的根进行判断，可以得到系统的稳定性信息。
如果特征方程的所有根都具有负的实部，即根的实部小于零，那么系统是稳定的；如果特征方程存在根具有正的实部，那么系统是不稳定的。
2.奇异值分析法奇异值分析法是一种基于矩阵理论的稳定性分析方法。
通过计算系统的奇异值，可以得到系统的稳定性信息。
如果系统的奇异值都小于1，那么系统是稳定的；如果系统的奇异值存在大于1的值，那么系统是不稳定的。
3.频域分析法频域分析法是一种基于信号频谱的稳定性分析方法。
通过对系统的传递函数进行频谱分析，可以得到系统的稳定性信息。
如果系统的传递函数在整个频率范围内都满足 Nyquist 准则，即曲线不绕过点 (-1,0)，那么系统是稳定的；如果系统的传递函数在某些频率点满足 Nyquist 准则，即曲线绕过点 (-1,0)，那么系统是不稳定的。
二、线性系统的控制策略线性系统的控制旨在通过选择合适的控制策略来改变系统的动态特性，使系统满足设计要求。
1.比例控制器比例控制器是一种简单的控制策略，通过调整比例增益，使系统的输出与期望值之间保持一定的比例关系。
比例控制器可以用于稳定系统的稳态误差，并改善系统的响应速度。
然而，比例控制器无法消除系统的超调和振荡。
2.积分控制器积分控制器是一种通过积分操作来减小系统稳态误差的控制策略。
积分控制器可以消除系统的稳态误差，但会增加系统的响应时间。
同时，在实际应用中需要注意积分饱和现象的出现。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D( s) ( s1 1)3 34.6( s1 1) 2 7500( s1 1) 7500 K1 s13 31.6s12 7433.8s1 (7500 K1 7466.4) 0
劳思表如下 s3 1
s
1
s
s = s1 - 1
7433.8 7500 K1 7466.4
（2）劳斯表第一列元素的符号改变次数= s右半平面特征根的个数
［例］
已知系统的特征方程为 s 4 2s3 3s 2 4s 5 0 试用劳斯判据分析系统的稳定性。
解 列劳斯表
s4 s3
2
1 2
2 3 1 4 1 2 1 4 2 5 6 1
3 4
5
5 0
s
7500 7500 K1
s3 s2 s1 s0
1 34.6
s 34.6s 7500s 7500 K1 0
2015-1-23
0 K1 34.6
34.6 7500 7500 K1 34.6 10 7500 K1
3、劳斯（Routh）稳定判据（8）
（2）当要求闭环极点全部位于s 1 垂线的左边，求 K1 的取值范围。（相 对稳定性） 解： 令 s s1 1 得系统新的特征方程为：
2015-1-23
8
3、劳斯（Routh）稳定判据（6）
［例］ 已知系统的特征方程为
s 6 2s 5 8s 4 12s 3 20s 2 16s 16 0
分析系统的稳定性。 解：由特征方程列劳斯表
辅助方程： ( s) 2s 12s 16
4 2
s6 s5 s4 s3
2015-1-23 9
3、劳斯（Routh）稳定判据（7）
3. 劳斯判据的应用
①判定稳定性，确定正根的个数。 ②确定使系统稳定的参数取值范围。
R( s)
E (s)
1
C (s) n 2 s( s 2n )
K1 / s
［例］ 设比例-积分（PI）控制系统 0.2 n 86.6 如图所示，
an an 4 an 1 an 5 b2 an 1 an 1an 4 an an 5 an 1
an 1 an 3 b1 b2 c1 b1 b1an 3 b2 an 1 5 b1
sn s n 1 s n2
s n 3
an an 1
an 2
1 2 2 0
8 12 12 0
20 16 16 0
16
求导：
d( s ) 8s 3 24 s 0 ds
s3 s2 s1 s0
8(1) 24(3) 0 3 1 3 8 8 0
解辅助方程A(s)=0：
s1, 2 j 2
s3,4 j 2
劳斯阵出现全零行时，表明特征方程具有大小相等而方向相反的根。如：大小相 等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。
（1）确定使系统稳定 K1 取值范围。
解：
R( s)
E ( s) s+K
s
1
n 2 ( s K1 ) ( s) 3 s 2n s 2 n 2 s K1n 2
D( s) s 2n s n s K1n
3 2 2 3 2 2
C (s) n 2 s( s 2n )
s4 s3 s2 s
1
-1
（
3 0 2） 0
0
1
s0
（
）
9 32
［结论］劳斯阵第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两 个极点在s的右半平面。 用一个正数去乘某行，不会改变系统的稳定性结论。
2015-1-23 7
3、劳斯（Routh）稳定判据（5）
特殊情况
[例]：
5 4 2
——不稳（缺3次项） ——可能稳定
D(s) s 4 5s3 7s 2 2s 10 0
2015-1-23
4
3、劳斯（Routh）稳定判据（2）
2. 劳斯判据
特征方程： an sn an1sn1 ...... a1s a0 0
计算劳斯表
an an 2 an 1 an 3 b1 an 1 an 1an 2 an an 3 an 1
3-5
线性系统的稳件 3、劳斯（Routh）稳定判据
2015-1-23
1
1、稳定的概念及定义
f
d
c
f A 图c
A
A'
A
f
图a
图b
图a为稳定的系统。图b为不稳定系统。 图c中，小球在C范围内，系统是稳定的，故可以认为该系统是条件稳定系统。 稳定性：指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。
an4
an6
… … … … … …
an 3
an 5
an7
c1
c2
c3 d3
c4
… … … … … …
s
n4
d1
d2
d4
s2
s1 s0
2015-1-23
e1
f1 g1
e2
… … …
b1
b2
b3
b4
…
…
…
3、劳斯（Routh）稳定判据（3）
劳斯判据
（1）系统稳定
劳斯表第一列元素全为正
设系统的特征方程为
稳定 [例 ]
D(s) an sn an1sn1 ...... a1s a0 0
ai 0 (i 0,1,2,, n)
D(s) s5 6s 4 9s3 2s 2 8s 12 0
——不稳
D(s) s 4s 6s 9s 8 0
s
2
31.6
-1
s1 s0
31.6 7433.8 (7500 K1 7466.4) 31.6 解得 7500 K1 7466.4
0.995 K1 32.3
11
2015-1-23
s1
2015-1-23
s0
5
结论：系统不稳定。变号 两次，有两个闭极点在右 半s平面。
6
3、劳斯（Routh）稳定判据（4）
[例]：系统的特征方程为： s5 2s 4 s3 3s 2 4s 5 0
s
5
1 2 0.5 9 32 9 5
1 3 1.5 5 0 0
4 5 0 0 0 0
s4 s3 s2 s s
1 0
s 4 2 s 3 s 2 2s 1 0
1 2 0( ) 2 2 1 1 2 0 1 0 0 0 2 0 0
2
劳思表某一行第一项系数为零， 而其余系数不全为零时，用 代 替零，继续劳斯判据。
1
［结论］系统是不稳定的，有两个根具有正实部。
稳定：系统在扰动作用下偏离了原来的平衡位置，当扰动消除后，系统能回到原来
的平衡位置，则称系统稳定；否则系统不稳定。
！！！稳定是系统能够正常运行的首要条件。
2015-1-23 2
2、稳定的充要条件
稳定 所有特征根都具有负
实部（不包括虚轴）
2015-1-23
3
3、劳斯（Routh）稳定判据（1）
1、稳定的必要条件