【数学】河北省承德二中2016-2017学年高二下学期第一次月考(理)
2016-2017学年第二学期高二理科第一次月考数学试卷
2016-2017学年第二学期高二理科第一次月考数学试卷2016-2017 学年第二学期高二理科第一次月考数学试卷2016-2017 学年第二学期3 月考试高二数学 (理 )试题一、 ：（本大 共12 个小 , 每小 5 分, 共 60 分 . 在每小 出的四个 中 , 只有一 是切合 目要求的）1. 已知 量 x, y 呈 性有关关系，回 方程? 2x ， 量 x, y 是（）y 1A ． 性正有关关系B ．由回 方程没法判断其正 有关关系C ． 性 有关关系D．不存在 性有关关系2. 的 架有三 ，第一 有 3 本不一样的数学 ，第二本有 5 本不一样的 文 ，第三 有 8 本不一样的英 ， 从中任取一本 ，共有（ ）种不一样的取法。
（A ）120 （B ）16 (C)64 (D)393. C 22C 32C 42L C 162 等于（）：A 、 C 154B 、C 163 C 、 C 173D 、 C 1744. 者要5 名志愿者和他 帮助的2 位老人摄影，要求排成一排，2 位老人相 但不排在两头，不一样的排法共有（）A 、1440 种B 、960 种C 、720 种D 、480 种5. 国 期 ，甲去某地的概率1，乙和丙二人去此地的概率1 、1，假设他 三人的行31 人去此地旅行的概率45互相不受影响， 段 起码有 （）A 、1B、3C、1D、 5960512606.一件 品要 2 道独立的加工工序，第一道工序的次品率 a ,第二道工序的次品率b, 品的正品率 （）：A.1-a-bＢ .1-abＣ.(1-a)(1-b)Ｄ.1-(1-a)(1-b)7.若 n 正奇数， 7nC n 7n 1C n 2 7n 2C n n被 9 除所得余数是（）A 、 0B 、 3C 、－ 1D 、 88. 随机 量 ~ B1 ， P( 3) 的 （）6，2A.5 B.3C.5D. 71616 8169.（ 1-x ）2n-1睁开式中，二 式系数最大的 是A ．第 n-1B ．第 nC ．第 n-1 与第 n+1D ．第 n 与第 n+110.用 0，1，2，3，4 成没有重复数字的所有五位数中，若按从小到大的 序摆列， 数字 12340 是第（）个数 .A.6B.9C.10D.811.要从 10 名女生与 5 名男生中 出 6 名学生 成 外活 小 ， 切合按性 比率分 抽的概率 （）A ．B ．C ．D ．12. a 、b 、β 整数（ β＞ 0），若 a 和 b 被 β除得的余数同样 , 称 a 和 bβ同（mod β） ,已知 a=1+C +C ?2+C?22+⋯ +C ?219， b=a （mod10), b 的 能（）A ．2010B ． 2011C ．2012D ． 2009二、填空 ( 本大 共 4 小 , 每小 5 分 , 共 20 分, 将答案填在 中的横 上 )13. 已知 C 18k C 182k 3 ， k=。
2016-2017年河北省邢台市高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年河北省邢台市高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极大值点为（）A．1B．2C．1.7D．2.72．（5分）下面四个推理中，属于演绎推理的是（）A．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72015的末两位数字为43B．观察（x2）′＝2x，（x4）′＝4x3，（cos x）′＝﹣sin x，可得偶函数的导函数为奇函数C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应3．（5分）曲线在处的切线方程为（）A．B．C．D．4．（5分）如图所示，两个阴影部分的面积之和可表示为（）A．B．C．D．5．（5分）若a，b，c∈R且c﹣a＝2，则“2a+b＞1”是“a，b，c这3个数的平均数大于1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）设函数f（x）＝1+sin2x，则等于（）A．﹣2B．0C．3D．27．（5分）若函数在区间（1，m）上递减，则m的最大值为（）A．e B．2C．e2D．8．（5分）若∀x＞0，4a＞x2﹣x3恒成立，则a的取值范围为（）A．B．C．D．9．（5分）P为椭圆上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则直线P A1与P A2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则（）A．直线P A1与P A2的斜率之和为定值B．直线P A1与P A2的斜率之和为定值2C．直线P A1与P A2的斜率之积为定值D．直线P A1与P A2的斜率之积为定值210．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的递减区间为（）A．（0，4）B．C．D．（0，1），（4，+∞）11．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，a4＝7且4S n＝n（a n+a n+1），则S10等于（）A．90B．100C．110D．12012．（5分）若函数f（x）满足：x3f′（x）+3x2f（x）＝e x，f（1）＝e，其中f′（x）为f （x）的导函数，则（）A．f（1）＜f（3）＜f（5）B．f（1）＜f（5）＜f（3）C．f（3）＜f（1）＜f（5）D．f（3）＜f（5）＜f（1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）观察数组：（1，1，1），（3，2，6），（5，4，20），（7，8，56），（a，b，c），…，则a+b+c＝．14．（5分）若，则a3＝．15．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为x．16．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）+1＞0，f（1）＝5，则不等式的解集为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝xe x+5．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[0，1]上的值域．18．（12分）已知函数f（x）＝x3+x．（1）求定积分的值；（2）若曲线y＝f（x）的一条切线经过点（0，﹣2），求此切线的方程．19．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+6（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝9时，求方程的解的个数．20．（12分）如图，将直角△ABC沿着平行BC边的直线DE折起，使得平面A′DE⊥平面BCDE，其中D、E分别在AC、AB边上，且AC⊥BC，BC＝3，AB＝5，点A′为点A 折后对应的点，当四棱锥A′﹣BCDE的体积取得最大值时，求AD的长．21．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）＝．（1）设a＝3xf（x）﹣7（x﹣1），b＝﹣2lnx+6x﹣6，求证：对任意正数x，在a与b中至少有一个不大于0；（2）讨论函数g（x）在区间上零点的个数．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点，求a的值；（2）若f（x）在（1，2）上存在极值，求a的取值范围；（3）当x＞0时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年河北省邢台市高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极大值点为（）A．1B．2C．1.7D．2.7【解答】解：由图可知f（x）在（1，1.7）上递增，在（1.7，2）上递减，∴f（x）的极大值点为1.7．故选：C．2．（5分）下面四个推理中，属于演绎推理的是（）A．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72015的末两位数字为43B．观察（x2）′＝2x，（x4）′＝4x3，（cos x）′＝﹣sin x，可得偶函数的导函数为奇函数C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属，所以钠能与水发生反应【解答】解：选项A、B都是归纳推理，选项C为类比推理，选项D为演绎推理．故选：D．3．（5分）曲线在处的切线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：因为y′＝2x+1，所以y′|x＝0＝1，所以切线方程为y﹣＝x，即．故选：B．4．（5分）如图所示，两个阴影部分的面积之和可表示为（）A．B．C．D．【解答】解：由定积分的定义及数形结合可知两个阴影部分的面积之和为．故选：C．5．（5分）若a，b，c∈R且c﹣a＝2，则“2a+b＞1”是“a，b，c这3个数的平均数大于1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a，b，c这3个数的平均数大于1，则，a+b+a+2＞3，∴2a+b＞1，反之，亦成立，故选：C．6．（5分）设函数f（x）＝1+sin2x，则等于（）A．﹣2B．0C．3D．2【解答】解：∵f′（x）＝2cos2x，∴．故选：D．7．（5分）若函数在区间（1，m）上递减，则m的最大值为（）A．e B．2C．e2D．【解答】解：令得x＝e；当x＞1时，令f′（x）＜0得1＜x＜e，∴m max＝e．故选：A．8．（5分）若∀x＞0，4a＞x2﹣x3恒成立，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：设f（x）＝x2﹣x3（x＞0），则f′（x）＝2x﹣3x2＝x（2﹣3x），当时，f′（x）＜0，f（x）递减；当时，f′（x）＞0，f（x）递增．∴，∴，∴．故选：A．9．（5分）P为椭圆上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则直线P A1与P A2的斜率之积为定值．将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点A1、A2的任意一点，则（）A．直线P A1与P A2的斜率之和为定值B．直线P A1与P A2的斜率之和为定值2C．直线P A1与P A2的斜率之积为定值D．直线P A1与P A2的斜率之积为定值2【解答】解：设P（x0，y0），则，即，∵、，∴，为定值．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝的递减区间为（）A．（0，4）B．C．D．（0，1），（4，+∞）【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，而g′（x）＝，故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，故选：D．11．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，a4＝7且4S n＝n（a n+a n+1），则S10等于（）A．90B．100C．110D．120【解答】解：由数列{a n}的前n项和为S n，a4＝7且4S n＝n（a n+a n+1），可得4S3＝3（a3+7），4S2＝2（a2+a3），4S1＝a1+a2，∴a2＝3a1，a3＝5a1，从而4×9a1＝3（5a1+7），即a1＝1，∴a2＝3，a3＝5，∴4S4＝4（a4+a5），∴a5＝9，同理得a7＝13，a8＝15，…，a n＝2n﹣1，∴，经验证4S n＝n（a n+a n+1）成立，∴S10＝100．故选：B．12．（5分）若函数f（x）满足：x3f′（x）+3x2f（x）＝e x，f（1）＝e，其中f′（x）为f （x）的导函数，则（）A．f（1）＜f（3）＜f（5）B．f（1）＜f（5）＜f（3）C．f（3）＜f（1）＜f（5）D．f（3）＜f（5）＜f（1）【解答】解：由x3f′（x）+3x2f（x）＝e x，得到[x3f（x）﹣e x]'＝0，设x3f（x）﹣e x＝c，因为f（1）＝e，所以c＝0，∴x＝0不满足题意，x≠0时，f（x）＝，f′（x）＝，所以f（3）＜f（5）＜f（1）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）观察数组：（1，1，1），（3，2，6），（5，4，20），（7，8，56），（a，b，c），…，则a+b+c＝169．【解答】解：易知数组的第1个数依次成等差数列，第2个数依次成等比数列，且这两个数列的通项公式分别为a n＝2n﹣1，，第3个数为该数组前2个数的积．∴a＝a5＝9，∴b＝b5＝16，∴c＝ab＝144，∴a+b+c＝169．故答案为169．14．（5分）若，则a3＝．【解答】解：由题可知，得到＝，∴，即．故答案为：．15．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为x．【解答】解：第1关收税金：x；第2关收税金：（1﹣）x＝x；第3关收税金：（1﹣﹣）x＝x；…，可得第8关收税金：x，即x．故答案为：．16．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）+1＞0，f（1）＝5，则不等式的解集为（0，1）．【解答】解：由x2f′（x）+1＞0，设，则＝＞0．故函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，故g（x）＜0的解集为（0，1），即的解集为（0，1）．故答案为：（0，1）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝xe x+5．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在[0，1]上的值域．【解答】解：（1）f′（x）＝（x+1）e x，令f′（x）＝0得x＝﹣1，令f′（x）＞0得x＞﹣1，∴f（x）的增区间为（﹣1，+∞）．令f′（x）＜0得x＜﹣1，∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1）．（2）当时x∈[0，1]，f′（x）＞0，∴f（x）在[0，1]上递增，∴f（x）min＝f（0）＝5，f（x）max＝f（0）＝e+5，∴f（x）在[0，1]上的值域为[5，e+5]．18．（12分）已知函数f（x）＝x3+x．（1）求定积分的值；（2）若曲线y＝f（x）的一条切线经过点（0，﹣2），求此切线的方程．【解答】解：（1），∵f（x）＝x3+x是奇函数，y＝x2是偶函数，∴，，∴．（2）设切点为（m，m3+m），f（x）＝x3+x的导数为f′（x）＝3x2+1，∵f′（m）＝3m2+1，∴，∴m3+m+2＝3m2+m，∴m3＝1，∴m＝1．故切点为（1，2），且该切线的斜率为4，则此切线的方程为y﹣2＝4（x﹣1）即y＝4x﹣2．19．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+6（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝9时，求方程的解的个数．【解答】解：（1）令得x1＝0，，当a＝0时，f′（x）＝6x2≥0，则f（x）在R上递增．当a＞0时，x1＜x2，由f′（x）＜0得；由f′（x）＞0得x＜0或．则f（x）在上递减，在（﹣∞，0），上递增．当a＜0时，x1＞x2，同理可得，f（x）在上递减，在，（0，+∞）上递增．（2）当a＝9时，f′（x）＝6x（x﹣3），当0＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，3）上递减．当x＜0或x＞3时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0），（3，+∞）上递增，∴f（x）在x＝0处取得极大值f（0）＝6，在x＝3处取得极小值f（3）＝﹣21，∵，∴方程的解的个数为3．20．（12分）如图，将直角△ABC沿着平行BC边的直线DE折起，使得平面A′DE⊥平面BCDE，其中D、E分别在AC、AB边上，且AC⊥BC，BC＝3，AB＝5，点A′为点A 折后对应的点，当四棱锥A′﹣BCDE的体积取得最大值时，求AD的长．【解答】解：由勾股定理得AC＝4，设AD＝x，则CD＝4﹣x．因为△AED∽△ABC，所以，则四棱锥A′﹣BCDE的体积为：，所以，当时，V′（x）＞0，V（x）递增；当时，V′（x）＜0，V（x）递减．故，故时，V（x）取得最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝，g（x）＝．（1）设a＝3xf（x）﹣7（x﹣1），b＝﹣2lnx+6x﹣6，求证：对任意正数x，在a与b中至少有一个不大于0；（2）讨论函数g（x）在区间上零点的个数．【解答】解：（1）（反证法）证明：假设a，b中没有一个不大于0，即a＞0，b＞0，则a+b＝lnx﹣x+1＞0．设h（x）＝lnx﹣x+1，则，令h′（x）＞0，得0＜x＜1；令h′（x）＜0，得x＞1．所以h（x）max＝f（1）＝0，即h（x）＝lnx﹣x+1≤0．故a+b＝lnx﹣x+1＞0与lnx﹣x+1≤0矛盾，从而，对任意正数x，在a，b中至少有一个不大于0．（2）由题可得，令g（x）＝0，得．设＝，令F′（x）＜0，得；令F′（x）＞0，得e2＜x≤e4．故F（x）在上递减，在（e2，e4]上递增．∴，且，．当或m＞2ln4时，g（x）无零点．当或时，g（x）有1个零点；当时，g（x）有2个零点．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点，求a的值；（2）若f（x）在（1，2）上存在极值，求a的取值范围；（3）当x＞0时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴，∵，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，代入得a+5＝﹣2a﹣1⇒a＝﹣2．（2）∵为（0，+∞）上的减函数，f（x）在（1，2）上存在极值，∴．（3）当x＞0时，f（x）＜0恒成立，则，即对x＞0恒成立．设，，设h（x）＝1﹣lnx﹣x3（x＞0），，∴h（x）在（0，+∞）上递减，又h（1）＝0，则当0＜x＜1时，h（x）＞0，g′（x）＞0；当x＞1时，h（x）＜0，g′（x）＜0．∴，∴，即a的取值范围为．。
河北省承德市高二数学下学期第一次月考试题
河北省承德市2016-2017学年高二数学下学期第一次月考试题注：本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间90分钟一．选择题（共60分，每题5分）1．设z ＝10i3＋i ，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i2．复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i3．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间[3,3＋Δt ]中，相应的平均速度等于( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt 4．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－35．下列结论：①(sin x )′＝－cos x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个6．曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为( )A.π6 B ．3π4 C.π4 D ．π37．曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )A.π22 B ．π2 C.π44D ．2π28．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 9．已知m ，n ∈R ，则“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝111．已知点P (8，a )在抛物线y 2＝4px 上，且点P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．1612．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4二．填空题（共20分，每题5分）13．抛物线x ＝14my 2的焦点坐标是________．14．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.15．当h 无限趋近于0时，lim h →03＋h2－32h＝________.16．若f (x )＝e －x(cos x ＋sin x )，则f ′(x )＝________. 三．解答题17（本题10分）．求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝e x ＋1e x －1.（4）f (x )＝e xx －2.18．(本题12分)已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b 使az ＋2b z ＝(a ＋2z )2. 19．(本题12分)求函数f (x )＝x 2－ln x ；的单调区间：20．(本题12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5， 求m 的值、抛物线方程和准线方程．21．(本题12分)已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．22．(本题14分)设函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，求实数a 的取值范围 .承德八中2016-2017学年第二学期第一次月考二．填空题（共20分，每题5分）13 14 15 16本题10分18本题12分19本题12分20本题12分21本题12分22本题14分 答案1. 解析：z ＝10i 3＋i ＝10i(3－i)(3＋i)(3－i)＝30i ＋1032＋12＝1＋3i ，z ＝1－3i ，故选D.答案：D2. 解析：由题意得z －3＝52－i＝2＋i ，所以z ＝5＋i.故z ＝5－i ，应选D.答案：D3解析：选A v －＝Δs Δt ＝[(3＋Δt )2＋3]－(32＋3)Δt ＝6Δt ＋(Δt )2Δt＝6＋Δt .4解析： ∵f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 a (x ＋Δx )＋3－(ax ＋3)Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ＝3.答案： C 5解析： (sin x )′＝cos x ，故①错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，故②错误； (log 3x )′＝1x ln 3，故③错误；(ln x )′＝1x，故④正确．答案： B6解析： f ′(x )＝x 2－2x ，k ＝f ′(1)＝－1，故切线的倾斜角为3π4.答案： B7解析： 切线方程为y ＝－x ，故围成的三角形的面积为π22.答案： A8解析：选C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24.9解析：选C 若方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，则必有m ·n ＜0；当m ·n ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线．所以“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件．10解析：选A 由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， 因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.11解析：选B 准线方程为x ＝－p ，∴8＋p ＝10，p ＝2.∴焦点到准线的距离为2p ＝4. 12解析：选C ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，∴－p2＝－1，即p ＝2.13解析：解析：方程改写成y 2＝4mx ，得2p ＝4m ，∴p ＝2m ，即焦点(m,0)．答案：(m,0)14解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：1615解析：lim h →0(3＋h )2－32h ＝lim h →06h ＋h2h＝lim h →0(6＋h )＝6.答案：6 16解析：f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋ sin x e x ′＝(cos x －sin x )e x －e x(cos x ＋sin x )e 2x ＝－2sin x e x＝－2e －x sin x . 答案：－2e －xsin x17解：y ＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1， y ′＝(x 3＋x 2－x －1)′＝3x 2＋2x －1. (2)y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(3)y ′＝(e x＋1)′(e x－1)－(e x＋1)(e x－1)′(e x －1)2＝e x(e x－1)－(e x＋1)e x(e x －1)2＝－2ex(e x －1)2.（4）f ′(x )＝e x (x －2)－ex (x －2)2＝e x(x －3)(x －2)2.18解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.∵a ，b ∈R ，∴由复数相等，得22424(2)a b a a a b a ⎧⎨⎩＋＝＋，－＝＋．∴两式相加整理，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝2.19解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x.因为x ＞0，所以2x ＋1＞0，由f ′(x )＞0，解得x ＞22， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞； 由f ′(x )＜0，解得x ＜22，又x ∈(0，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 20解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2.作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5，而|MN |＝3＋p2，3＋p2＝5，即p ＝4. 所以抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±2 621解：已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1.∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6在双曲线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－522a 2－(－6)225－a2＝1.化简，得4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254.又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24.∴所求双曲线的标准方程为x2－y224＝1.22解析：f′(x)＝3x2＋a，∵f(x)在(1，＋∞)内是增函数，∴3x2＋a≥0对x∈(1，＋∞)恒成立，即a≥－3x2对x∈(1，＋∞)恒成立．又－3x2<－3，∴a≥－3.答案：[－3，＋∞)。
河北省承德高二下学期2月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．下列命题中正确的是（ ）A ．对给定的数列，其通项公式有且只有一个{}n a B ．在等差数列中，若，则{}n a m n p q a a a a +=+m n p q +=+C ．若存在非零常数，使对任意，都有，则数列为等比数列 q *n ∈N 1n n a qa +={}n a D ．若，其中、为常数，则数列是公差为的等差数列 n a pn q =+p q {}n a p 【答案】D【分析】列举数列0，1，0，1，…判断选项A ；列举为常数列，判断选项B ；列举，判{}n a 0n a =断选项C ；利用等差数列的定义判断选项D ．【详解】对于A ，数列0，1，0，1，…的通项公式可以是，或，命题错cos 2n n a π=1(1)2nn a +-=误；对于B ，若为常数列，则任何两项之和相等，结论不成立，命题错误﹔对于C ，若，{}n a 10a =则，数列不是等比数列，命题错误；对于D ，当时，，0n a ={}n a 2n ≥()11n n a a pn p n p --=--=结论成立，命题正确. 故选：D.2．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是的前项和，则等于{}n a 134,,a a a n S {}n a n 9S （ ） A ． B ． C ．10 D ．08-6-【答案】D【分析】由a1，a3，a4成等比数列，可得=a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n 项和公23a 式即可得出．【详解】∵a1，a3，a4成等比数列，∴=a1a4， 23a ∴=a1•（a1+3×2）， 21(22)a +⨯化为2a1=-16， 解得a1=-8． ∴则S9=-8×9+ ×2=0， 982⨯故选D ．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．在等比数列中，，，，则数列的前项和为（ ）{}n a 22a =48a =0n a >{}2log n a n A ．B ．C ．D ．(1)2n n +212n (-)(1)2n n -212n (+)【答案】C【解析】根据等比数列的通项公式列式求出，可得，再根据对数知识可得2q =12n n a -=，最后根据等差数列的求和公式可得结果. 122log log 21n n a n -==-【详解】设等比数列的公比为，则，.{}n a q 10a >0q >∵，即，∴.又，∴.422a a q =282q =2q =±0q >2q =∴，2212222n n n n a a q ---=⋅=⨯=∴.122log log 21n n a n -==-∴数列的前项和为. {}2log n a n (1)012(1)2n n n -++++-= 故选：C.【点睛】关键点点睛：根据等比数列的通项公式求解是解题关键.4．在数列中，，，若，则（ ） {}n a 35a =()120n n a a n N ++--=∈25n S =n =A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】由题意可得是等差数列，利用等差数列的通项公式和前项和公式即可求的值. {}n a n n 【详解】因为， ()120n n a a n N ++--=∈所以是公差为2等差数列， {}n a 因为，，35a =25n S =所以 ，解得 ， ()1122512252a n n na +⨯=⎧⎪⎨-+⨯=⎪⎩115a n =⎧⎨=⎩故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，等差数列通项公式，等差数列前项和公式以及基本量n 的计算，属于基础题.5．已知，数列，，，与，，，，都是等差数列，则的值是（ ） x y ≠x 1a 2a y x 1b 2b 3b y 2121a ab b --A ．B ．C ．D ．43345445【答案】A【分析】根据等差数列的通项公式，分别表示出，，整理即可得()213y x a a =+-()214y x b b =+-答案.【详解】数列，，，和，，，，各自都成等差数列，x 1a 2a y x 1b 2b 3b y ，，()213y x a a ∴=+-()214y x b b =+-，()()212134a a b b ∴-=-． 212143a ab b -∴=-故选:A ．6．已知数列的前项和为．若，，则（ ）{}n a n n S 114a =112n n n S S a +=++20S =A ． B ．C ．D ．1020100400【答案】C【分析】由可证得数列为等差数列，利用等差数列求和公式可得结果. 11n n n a S S ++=-{}n a 【详解】由得：， 112n n n S S a +=++1112n n n n a S S a ++=-=+数列是以为首项，为公差的等差数列，.∴{}n a 14122012019120100422S ⨯∴=⨯+⨯=故选：C.7．数列的前项和的值等于（ ）111111,3,5,7,,(21),248162n n -+ n n S A ． B ． C ． D ． 2112nn +-2121_2nn n -+21112n n -+-2112nn n -+-【答案】A【分析】把整数部分与分数部分分开，分组变为一个等差数列与一个等比数列的和．【详解】, ()1111321242n n S n ⎛⎫⎡⎤=++⋯+-+++⋯+ ⎪⎣⎦⎝⎭111(121)221212n n n ⎛⎫- ⎪+-⋅⎝⎭=+-2112n n =+-故选：A【点睛】本题考查考查分组求和法，掌握等差数列与等比数列前项和公式是解题基础．n8．已知数列中，且，则为（ ）{}n a 11a =()133nn n a a n a *+=∈+N 16a A ．B ．C ．D ．16141312【答案】A【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，代入1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 即可.16n =【详解】由得：，又，133n n n a a a +=+1311133n n n n a a a a ++==+111a =数列是以为首项，为公差的等差数列，，∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭113()1121133n n n a +∴=+-=，. 32n a n ∴=+1616a ∴=故选：A.二、多选题9．数列是首项为1的正项数列，，是数列的前项和，则下列结论正确的{}n a 123n n a a +=+n S {}n a n 是（ ） A ． B ．数列是等比数列313a ={}3n a +C ． D ．43n a n =-122n n S n +=--【答案】AB【解析】由已知构造出数列是等比数列，可求出数列的通项公式以及前项和，结合选{}3n a +{}n a n 项逐一判断即可．【详解】，∴，∴数列是等比数列 123n n a a +=+()1323n n a a ++=+{}3n a +又∵，∴，∴，∴，11a =()11332n n a a -+=+123n n a +=-313a =∴.()2412323412n n n S n n +-=-=---故选：AB.10．下列说法正确的有（ ）A ．若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．B ．等差数列的单调性是由公差决定的． {}n a dC ．等差数列的前项和公式是常数项为的二次函数．n 0D ．已知等差数列的通项公式，则它的公差为． {}n a 32n a n =-2-【答案】BD【分析】根据等差数列的定义可判断A ；根据等差数列的单调性可判断B ；根据等差数列前项和n 的性质可判断C ；根据等差数列的通项公式确定公差即可判断D.【详解】若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列，故A 不正确；对于等差数列，因为，故的符号决定数列的单调性，故等差数列的单调性是{}n a 1n n a a d +-=d {}n a 由公差决定的，故B 正确；d 当等差数列为常数列时，其前项和不是二次函数，故C 不正确；{}n a n 1n S na =等差数列的通项公式，所以，则它的公差为{}n a 32n a n =-()()112322n n a a n n d +-=---=-=2-，故D 正确. 故选：BD.11．若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ） {}n a q n S {}n a n A ．若是递增数列，则，； B ．若，，则是递减数列 {}n a 10a <0q <10a >01q <<{}n a C ．若，则； D ．若，则是等比数列 0q >4652S S S +>1n nb a ={}n b 【答案】BD【分析】根据数列单调性判断方法结合等比数列性质即可判断A ，B ；利用特例法即可判断C ；利用等比数列的性质即可判断D ．【详解】在等比数列中若，则奇数项与偶数项异号，是摆动数列，不是单调数列，故A 不正0q <确；等比数列中：若，，则恒成立，所以{}n a 10a >01q <<()11111110n n n n n a a a q a q a q q --+-=-=-<{}n a 是递减数列，故B 正确；若等比数列中，则，，则，故C 不正确；{}n a 1q =461114610S S a a a +=+=51210S a =4652S S S +=设等比数列的公比为，若，则，所以是等比数列，公{}n a (0)q q ≠1n n b a =111111n n n n n nb a a b a q a +++==={}n b比为：，故D 正确； 1q故选：BD ．12．已知有一段路共有米，有一人从第二天起每天走的路程减半，天恰好走完了这段路则下1865.列说法正确的是（ ）A ．第一天走的路程比后四天走的路程多米B ．第二天走了米648C ．第三天走了全程的D ．后三天共走了米18144【答案】AB【分析】根据已知条件，结合等比数列的前项和公式，求出，即可推出，即可n 1a 11962n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭依次求解判断正误．【详解】记每天走的里程数为，前项和为， {}n a n n S 由题意可知，是公比为的等比数列，{}n a 12由可得，，解得，5186S =155112186112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-196a =故，11962n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭所以，故第一天走的路程比后四天走的路程多米，故A 正2345511869690a a a a S a +++=-=-=6确；又，故第二天走了米，故B 正确；12196482a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭48又，故第三天走的不是全程的，故C 不正确；2311962418623.2528a ⎛⎫=⨯=≠⨯= ⎪⎝⎭18，则后三天共走了米，故D 不正确. 345512186964842a a a S a a ++=--=--=42故选：AB.三、填空题13．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，若S 2021＜0，S 2022＞0，则当Sn 最小时，n 的值为 __． 【答案】1011【分析】由已知结合等差数列的性质得出a 1011＜0，a 1011+a 1012＞0，从而可求． 【详解】解：因为等差数列{an }的中，S 20212021a 1011＜0，()1202120212a a +==S 2022＝1011（a 1+a 2022）＝1011（a 1011+a 1012）＞0， 所以a 1011＜0，a 1011+a 1012＞0， 则当Sn 最小时，n ＝1011． 故答案为：1011．14．已知各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则______．{}n a 1a 312a22a 91078a a a a +=+【答案】3+【分析】利用等比数列的通项公式以及等差中项求出公比即可求解. 【详解】数列各项都是正数的等比数列 {}n a ，，成等差数列，1a 312a 22a 则， 3122a a a =+即， 21112a q a a q =+可得，212q q =+解得，1q =1q =所以2229107878783a a a q a q qa a a a ++===+++故答案为：3+【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、等比数列的性质，等差中项的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.15．已知数列的前项和为，且满足，则______{}n a n n S 11233n n a a a n -++⋯+=4S =【答案】4027【分析】对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得n a {}n a 的值.4S 【详解】解：，可得时，，11233n n a a a n -+++= 1n =11a =时，，又，2n ≥2121331n n a a a n --++⋯+=-11233n n a a a n -++⋯+=两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的131n n a -=113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭1n ={}n a 13等比数列，可得．441140127133S -==-【点睛】本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题. n S n a n 16．数列的前项和为，则数列的前项和__． {}n a n 26n S n n =-{}n a 101210a a a +++= 【答案】58【分析】根据与的关系，利用相减法求得，再根据确定其各项的正负取值情况，从而可n a n S n a n a 求的值.1210a a a +++ 【详解】因为数列的前项和为{}n a n 26n S n n =-所以当时，；1n =2111615a S ==-⨯=-当时，， 2n ≥()()()221616127n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦又符合上式，所以，15a =-*27,N n a n n =-∈所以时，，时，， 13n ≤≤0n a <4n ≥0n a >故1210123410a a a a a a a a +++=---+++ .()()()()41013731137513582222a a a a +⨯+⨯+⨯--⨯=-=-=故答案为：.58四、解答题17．已知数列的前项和为，且．{}n a n n S ()2*235n S n n n N =-∈（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若等比数列满足，，求数列的前项和．{}n b 12b a =24b a ={}23n n a b -n n T 【答案】（1）；（2）．()*34n a n n N =-∈235242n n n --⨯+【分析】（1）利用可得答案； 1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）求出，，然后分组，利用等差、等比数列的前项和公式212n n b -=()34232342nn n a b n ⨯-=--n 计算可得结果.【详解】（1）因为在数列中，，{}n a 2235n S n n =-所以， ()()()21231512n S n n n -=---≥两式相减得，即， 268n a n =-()342n a n n =-≥当时，，1n =111a S ==-所以．()*34n a n n N =-∈（2）由（1）知，，， 122b a ==248b a ==因为数列是等比数列，设公比为，所以， {}n b q 21842b q b ===所以，121242n n n b --=⨯=所以，()34232342nn n a b n ⨯-=--所以 ()()121223n n n T a a a b b b =+++-+++…… ()()112323444422n n n a a +=-++++…()()4143134214nn n -=-+--⨯-．235242n n n =--⨯+【点睛】本题考查了由求，考查了等比数列的通项公式，考查了等差、等比数列的前项和公n S n a n 式，考查了分组求和，属于基础题.18．已知数列的前n 项和为，且，，，在公差不为0的等差数列{}n a n S 11a =121n n a S +=+*n ∈N 中，，且，，成等比数列.{}n b 24b =1b 2b 4b （1）求数列，的通项公式； {}n a {}n b （2）记，求的前n 项和.n n n c a b =-{}n c n T 【答案】（1），；（2）.13n n a -=2n b n =1(31)(1)2n n n --+【解析】（1）由证明是等比数列，得到通项公式，利用等比数列的性质1(2)n n n a S S n -=-≥{}n a n a求得等差数列的公差，得通项； {}n b d n b （2）分组求和法计算．n T 【详解】（1）∵，∴，两式相减得，121n n a S +=+121(2)n n a S n -=+≥13(2)n n a a n +=≥又因为，∴，∴.设等差数列的公差为d ，23a =213a a =13()N n n a a n +=∈+13n n a -=，{}n b ∵，，成等比数列，，∴.1b 2b 4b 221422()(2)2b b b b d b d d ==-+⇒=2n b n =（2）由（1）知，，所以132n n n n c a b n -=-=-2113332(12)n n T n -=++++-+++……. 131(1)(31)(1)132n n n n n n -=-+=--+-【点睛】方法点睛：本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，分组求得法求和．数列求和的常用方法：公式法，错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法．注意对应的数列特征．19．已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列. {}n a n n S 12a =2a 32a +4a (1)求数列的通项公式； {}n a (2)设数列满足，求数列的前项和 {}n b 21log n n nb a a =+{}n b n n T 【答案】(1)；2n n a =(2)．22122n n n n T ++=-【分析】（1）设的公比为，根据等差数列的性质列方程求得后可得通项公式； {}n a q q （2）写出，由分组求和法求和． n b 【详解】（1）设的公比为（）， {}n a q 0q >因为，且，，成等差数列，12a =2a 32a +4a 所以，即，解得， 2432(2)a a a +=+32222(22)q q q +=+2q =所以； 2n n a =（2）由（1）， 12n nb n =+． n T 2111()(12)222n n =+++++++ 211(1)(1)2122122212n n n n n n -+++=+=--20．已知等差数列的前项和为，，且，．{}n a n n S *n ∈N 5624a a +=315S =（Ⅰ）求的通项公式；{}n a （Ⅱ）设，求数列的前项和． 211n n b a =-{}n b n n T 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 21n a n =+4(1)n n T n =+【分析】(Ⅰ)设出公差，借助题设条件建立方程组求解；(Ⅱ)借助题设条件运用裂项相消法求解．【详解】(Ⅰ)设 的公差为 ，．{}n a d 5624a a += 315S =，．12924a d ∴+=13315a d +=联立方程 ，解得 1129243315a d a d +=⎧⎨+=⎩132a d =⎧⎨=⎩．*21()n a n n ∴=+∈N (Ⅱ) ()21111114141n n b a n n n n ⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭111111142231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ． 111414(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭21．已知等差数列的公差为1，且成等比数列.{}n a d 134,,a a a (1)求数列的通项公式；{}n a (2)设数列，求数列的前项和.52n a n b n +=+{}n b n n S 【答案】(1)；5n a n =-(2).()11222n n n n S ++=+-【分析】（1）根据等差数列基本量的运算可得，进而即得；14a =-（2）由题可得，然后利用分组求和法即得． 522n a n n b n n +=+=+【详解】（1）在等差数列中，因为成等比数列，{}n a 134,,a a a 所以 ，即 ，又， 2314a a a =()22111+23a d a a d =+1d =所以，14a =-所以数列的通项公式；{}n a 415n a n n =-+-=-（2）由题可知，522n a n n b n n +=+=+∴123n n S b b b b =++++()()232222123n n =+++++++++ ()()2121=122nn n -++-. ()11222n n n ++=+-22．已知等差数列的前项和为，，，数列满足．{}n a n n S 21a =714S ={}n b 221232n nnb b b b +⋅⋅⋅=(1)求数列和的通项公式；{}n a {}n b (2)若数列满足，求数列的前项和．{}n c n n n c a b =⋅{}n c n n T 【答案】(1)； 12n a n =2n n b =(2)()121n n T n =-+【分析】（1）利用等差数列的通项公式及等差数列的前项和求，利用当时n {}n a 2n ≥求； 1231231n n n b b b b b b b b b -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅{}n b （2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为数列是等差数列，且，，{}n a 21a =714S =设数列的公差为，所以，解得， {}n a d ()1111771142a d a a d +=⎧⎪⎡⎤⎨++-⎣⎦=⎪⎩11212a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以. ()1111222n a n n =+-⨯=当时，，1n =2112122b +==当时，，当时仍成立，2n ≥()()2221231112312222n n n n n n n n b b b b b b b b b +-+--⋅⋅⋅===⋅⋅⋅1n =所以. 2n n b =（2）由（1）得， 1222n n n n c n -=⨯=⋅所以①，()01221122232122n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯②， ()12312122232122n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯①②得，-()012111222222212n n n n n T n n -⨯--=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯-所以. ()121n n T n =-+。
数学---河北省承德二中2016-2017学年高二下学期第一次月考(文)
河北省承德二中2016-2017学年高二下学期第一次月考（文）第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.将极坐标（4，）化为直角坐标是( ) A ．（2，2）B ．（2，2） C ．（2，2）D ．（2，2）2.点(1,2)在圆18cos 8sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩的( )A ．内部B ．外部C ．圆上D ．与θ的值有关 3.在极坐标系中, 圆θ=ρcos 2的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．()2cos 0=θρ∈ρ=θ和R B ．()2cos 2=θρ∈ρπ=θ和R C ．()1cos 2=θρ∈ρπ=θ和R D ．()1cos 0=θρ∈ρ=θ和R 4.直线：3x ﹣4y ﹣9=0与圆：，（θ为参数）的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 5.已知直线l ：（t 为参数），则直线的倾斜角为( )A ．110°B ．70°C ．20°D ．160° 6.不等式|3x －2|<4的解集是( )A.{}x |x ＞2B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－23或x ＞2 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－23＜x ＜2 7.若a ，b ，x ，y ∈R ，则是成立的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8.在极坐标系中，点(2，3π)到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为( )A ．2B ．249π+C.249π+D ．39.圆x2+y2=4经过变换公式后，得到曲线方程是( ) A．+y2=1 B．x2+=1 C．x2+=1 D．+y2=1 10.把方程1xy=化为以t参数的参数方程是( )A．1212x ty t-⎧=⎪⎨⎪=⎩B．sin1sinx tyt=⎧⎪⎨=⎪⎩C．cos1cosx tyt=⎧⎪⎨=⎪⎩D．tan1tanx tyt=⎧⎪⎨=⎪⎩11.在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是( )A． B．C．D．12. 不等式|x﹣1|+|2x﹣1|≤5的解集为( )A．[﹣1，）B．[﹣1，1] C．（，1] D．[﹣1，]第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.经过点P（2，），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是．14.曲线（为参数）与y轴的交点是．15.设P（x，y）是曲线C：(θ为参数，0≤θ＜2π）上任意一点，则的取值范围是．16.不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对恒成立，则________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.17.（本小题满分10分）已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角α=，（Ⅰ）写出直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆x 2+y 2=4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．18.（本小题满分12分）在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为：.（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程； （Ⅱ）若点在圆上，求的取值范围.19. （本小题满分12分）已知函数)1(1)(>-+-=m m x x x f ，若4)(>x f 的解集是{}40><x x x 或．（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）关于的不等式4)(2-+<a a x f 有解，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分12分）已知f （x ）=|x+a|，g （x ）=|x+3|﹣x ， 记关于x 的不等式f （x ）＜g （x ）的解集为M ．（Ⅰ）若a﹣3∈M，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若[﹣1，1]⊆M，求实数a的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足+=n时，求7a+4b的最小值．22. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy中直线l过点且倾斜角为α，在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中曲线C的方程为，已知直线l与曲线C交于不同两点M，N．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求的取值范围．参考答案一、选择题1.C2.A3.B4.D5.A6.D7.C 8.D 9.B 10.D 11.B 12.D二、填空题13.14.15.16.(－∞，－1]∪[4，＋∞)三、解答题17.解：（Ⅰ）直线的参数方程为，即（t为参数）．（Ⅱ）把直线代入x2+y2=4，得，t1t2=﹣2，则点P到A，B两点的距离之积为2．18.解：（Ⅰ）由已知有：将代入上式得曲线C的普通方程为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆的参数方程为，（为参数）∴∴的取值范围为19.解：（Ⅰ）∵m>1∴作出函数的图象，由f(x)>4的解集为{}40><x x x 或及函数图象得,得m=3（Ⅱ）由绝对值不等式得从而：不等式4)(2-+<a a x f 有解可化为解得：或故实数a 的取值范围是或20. 解：（Ⅰ）依题意有：|2a ﹣3|＜|a|﹣（a ﹣3）， 若a≥，则2a ﹣3＜3，∴≤a ＜3， 若0≤a ＜，则3﹣2a ＜3，∴0＜a ＜， 若a≤0，则3﹣2a ＜﹣a ﹣（a ﹣3），无解， 综上所述，a 的取值范围为（0，3）；（Ⅱ）由题意可知，当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）＜g （x ）恒成立， ∴|x+a|＜3恒成立，即﹣3﹣x ＜a ＜3﹣x ，当x ∈[﹣1，1]时恒成立， ∴﹣2＜a ＜2．21. 解：（Ⅰ）因为函数定义域为R ， 所以|x+1|+|x ﹣1|﹣m≥0恒成立．设函数g （x ）=|x+1|+|x ﹣1|，则m 不大于函数g （x ）的最小值．又|x+1|+|x ﹣1|≥|（x+1）﹣（x ﹣1）|=2，即g （x ）的最小值为2，所以m≤2． 故m 的取值范围为（﹣∞，2]；（Ⅱ）由（1）知n=2，正数a，b满足所以==，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时，等号成立．所以7a+4b的最小值为．22.解：（Ⅰ）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ2（1+sin2θ）=1得x2+2y2=1，即曲线C的直角坐标方程为x2+2y2=1．（Ⅱ）设直线l参数方程为，代入曲线C的直角坐标方程得，则，∴，∴，由题设知得，故．。
高二数学第二学期理科第一次月考(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二学期第一次月考高二数学理科试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项符合题目要求）1. 已知集合P={x|1≤x≤3}，Q={x|(x-1)2≤4}，则P Q=（）A．[-1，3] B . [1，3] C. [1，2] D. (],3-∞2. 已知，则（）A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2）C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）3．下列说法正确的是（）A．“sinα=”是“cos2α=”的必要不充分条件B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0或y≠0”C．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜，则p∧（￢q）是真命题D．从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是分层抽样4.已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．x ﹣1 0 2 3 4f（x） 1 2 0 2 0当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55. 如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）A． B．C． D．6.函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（）A． B．C. D．7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．18B．16C． D．18．如果函数f （x ）为奇函数，当x<0时，f （x ）= ln(-x)+3x,则曲线在点(1,-3)处的切线方程为 ( ).32(1) .32(1) .34(1) .34(1)A y x B y x C y x D y x +=--+=-+=--=+9. 已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆C 上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．410.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD ，△PAB 和△PAD 都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（ ） A ．45° B ．75° C ．60° D ．90° 11．已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x ﹣4y=0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．（0，] B ．（0，] C ．[，1） D ．[，1）12. 设函数f （x ）在（m ，n ）上的导函数为g （x ），x ∈（m ，n ），若g （x ）的导函数小于零恒成立，则称函数f （x ）在（m ，n ）上为“凸函数”．已知当a ≤2时，3211()62f x x ax x =-+，在x ∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f （x ）在（﹣1，2）上结论正确的是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．没有极大值，有极小值C ．既有极大值，也有极小值D ．既无极大值，也没有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13.设向量(,1)a m =,(1,2)b =,且222a b a b +=+,则m=________. 14.函数2cos 2y x =的图象可由sin 2cos 2y x x =+的图象至少向左平移_______个单位长度得到.15.若函数2()f x x x a =-（）在 2x =处取得极小值，则a =________． 16. 设函数()f x 的导函数是'()f x ,且'1()2() () ,2f x f x x R f e ⎛⎫>∈=⎪⎝⎭（e 是自然对数的底数），则不等式2()f lnx x <的解集为___________.三．解答题（本大题共6小题，共70分；说明：17-21共5小题，每题12分，第22题10分）. 17. 已知数列{a n }（n ∈N *）的前n 项的S n =n 2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求使成立的最小正整数n 的值．18.设函数f （x ）=lnx ﹣x+1. （Ⅰ）分析f （x ）的单调性； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x.19.如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求二面角E ﹣BF ﹣C 的正弦值．20.已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，F 是椭圆的焦点，点A （0，﹣2），直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．21.已知函数2()1xe f x x mx =-+.（Ⅰ）若()2,2m ∈-，求函数()y f x =的单调区间;（Ⅱ）若10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[]0,1x m ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在直线y x =上方？请写出判断过程.22.（选修4-4坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．高二第一次月考理科数学参考答案一、BDCCC DBBBD BA 二、13. -2 ； 14 . 8π； 15. 2 ； 16. ()0,e .三、 17.解：（Ⅰ）∵S n =n 2，当n ≥2时，S n ﹣1=（n ﹣1）2∴相减得a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣1又a 1=S 1=1符合上式∴数列{a n }，的通项公式a n =2n ﹣1 （II ）由（I ）知∴T n =b 1+b 2+b 3++b n ==又∵∴∴成立的最小正整数n 的值为518.解：（Ⅰ）由f （x ）=lnx ﹣x+1，有'1()(0)xf x x x-=>，则()f x 在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减； （Ⅱ）证明：当x ∈（1，+∞）时，1＜＜x ，即为lnx ＜x ﹣1＜xlnx ．结合（Ⅰ）知，当1x >时'()0f x <恒成立，即()f x 在（1，+∞）递减，可得f （x ）＜f （1）=0，即有lnx ＜x ﹣1；设F （x ）=xlnx ﹣x+1，x ＞1，F′（x ）=1+lnx ﹣1=lnx ，当x ＞1时，F′（x ）＞0，可得F （x ）递增，即有F （x ）＞F （1）=0， 即有xlnx ＞x ﹣1，则原不等式成立； 19.解：（Ⅰ）证明：由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B （0，0，0），A （0，﹣1，），D （，﹣1，0），C （0，2，0），因而E （0，，），F （，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF ⊥BC ．（Ⅱ）在图中，设平面BFC 的一个法向量=（0，0，1），平面BEF 的法向量=（x ，y ，z ），又=（，，0），=（0，，），由得其中一个=（1，﹣，1），设二面角E ﹣BF ﹣C 的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos ＜，＞|=||=，因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．20.解：（Ⅰ） 设F （c ，0），由条件知，得又，所以a=2，b 2=a 2﹣c 2=1，故E 的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l ⊥x 轴不合题意，故设直线l ：y=kx ﹣2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） 将y=kx ﹣2代入，得（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 当△=16（4k 2﹣3）＞0，即时，从而又点O 到直线PQ 的距离，所以△OPQ 的面积=，设，则t ＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y=x ﹣2或y=﹣x ﹣2．…（12分）21. 解：（Ⅰ）易知()2,2m ∈-时，函数的定义域为R ，()()()2'2222(1)2(1)(1)()11x xx e x mx x m e e x x m f x xmx xmx -+-----==-+-+，①若11,m +=即0m =，则'()0f x ≥，此时()f x 在R 上递增；②11,m +>即02m <<，则当(),1x ∈-∞和()1,x m ∈++∞时，'()0f x >，()f x 递增；当()1,1x m ∈+时，'()0f x <，()f x 递减；综上，当0m =时，()f x 的递增区间为(),-∞+∞；当02m <<时，()f x 的递增区间为(),1-∞和()1,m ++∞，()f x 的减区间为()1,1m +（Ⅱ）当10,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（Ⅰ）知()f x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减.令()g x x =，①当[]0,1x ∈时min max ()(0)1,()1,f x f g x ===这时函数()f x 的图象总在直线()g x 上方. ②当[]1,1x m ∈+时,函数()f x 单调递减，所以1min()(1)2m e f x f m m +=+=+，()g x 的最大值为1m +.下面(1)f m +判断与1m +的大小，即判断xe 与(1)x x +的大小，其中311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦解法一：令()(1)xm x e x x =-+，则'()21xm x e x =--，令'()()h x m x =，则'()2xh x e =-.因为311,.2x m ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦所以'()20x h x e =->，所以'()m x 单调递增.又因为'(1)30m e =-<，3'23()402m e =->，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得0'00()210.x m x e x =---所以()m x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以022200000000()()21 1.x m x m x e x x x x x x x ≥=--=+--=-++因为当031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2000()10,m x x x =-++>所以(1)x e x x >+，即(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方.解法二：判断xe 与(1)x x +的大小可以转化为比较x 与[]ln (1)x x +的大小.令[]()ln (1)x x x x ϕ=-+，则2'21()x x x x x ϕ--=+，令2()1,u x x x =--当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，易知()u x 递增，所以31()()024u x u ≤=-<，所以当31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以3315()()ln0224x ϕϕ≥=->.所以[]ln (1)x x x >+，所以(1)xe x x >+，所以(1)1f m m +>+，所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方. 22.解：（1）曲线C 1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y 2=cos 2α+sin 2α=1，即有椭圆C 1：+y 2=1； 曲线C 2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y ﹣4=0，即有C 2的直角坐标方程为直线x+y ﹣4=0； （2）由题意可得当直线x+y ﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。
河北省承德市高二下学期2月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．若为数列的前项和，且，则（ ）n S {}n a n 1n nS n =+51a =A ．B ．C ．D ．305665130【答案】D【分析】根据公式直接求出，进一步求出答案. 1n n n a S S -=-5a 【详解】∵ 5545454151416530=-=-=-=++a S S ∴. 5130a =故选：D.【点睛】本题考查数列前项和与通项公式的关系，属于基础题.n 2．已知数列的前项和为，且，则（ ）{}n a n n S 2410n S n n =-26a a =A ．52 B ．68 C ．96 D ．108【答案】B【分析】根据数列的前项和为，求得数列的通项公式，即可求得的值，得到答案.n n S 26a a 【详解】由题意，数列满足，{}n a 2410n S n n =-可得当时，可得， 2n ≥()()22141041101814n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦所以. ()()268214861468a a =⨯-⨯⨯-=故选：B.3．在等差数列中，若，，求等于（ ） {}n a 1612a a +=47a =9a A ． B ．C ．D ．616717【答案】D【分析】根据给定条件，求出等差数列的首项及公差即可计算作答.{}n a 【详解】设等差数列的公差为，依题意，解得，{}n a d 11251237a d a d +=⎧⎨+=⎩1a 1,d 2==于是，因此. 1(1)21n a a n d n =+-=-929117a =⨯-=故选：D4．已知等比数列的前项和是，，，则（ ） {}n a n n S 22a =-4254SS=147a a a =A ．B ．C ．D ．181414-18-【答案】D【解析】设等比数列的公比为，由等比数列的前n 项和公式可得，再由等比数列的性{}n a q 214q =质即可得解.【详解】设等比数列的公比为，显然，{}n a q 1q ≠则，解得， ()()42422111511411a q S q q S a q q--==+=--214q =又.()33321474211248a a a a a q⎛⎫===-⨯=- ⎪⎝⎭故选：D.5．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，a 3＋a 7＝6，S 11＝11，则公差d 的值为（ ） A ．1 B ．－1C ．2D ．－2【答案】D【分析】根据等差数列的性质求解即可【详解】因为等差数列{an }，，,故，故，故376a a +=1111S =5626,1111a a ==563,1a a == 652d a a =-=-故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解，可利用等差数列的性质求解，属于基础题 6．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了米，最后三天3600共跑了米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） 10800A ．米 B ．米C ．米D ．米34000360003800040000【答案】B【解析】利用等差数列性质得到，，再利用等差数列求和公式得到答案. 21200a =143600a =【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为，n a 则，故，，故，123233600a a a a ++==21200a =13141514310800a a a a ++==143600a =则. ()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=故选：B.7．在等比数列中，已知，（ ） {}n a 433a a =2462123nna a aa a a aa ++++= A ．B ．C ．D ．332n --1332n --332n -1332n +-【答案】D【解析】先求出等比数列的公比，再利用等比数列的前和公式求和. {}n a 3q =n 【详解】设等比数列的公比为.∵，∴，{}n a q 433a a =3q =∴. ()()12324621231313331132n n n nn n q q a a a a q q q q a a a a q +-⨯--++++=++++===-- 故选：D【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列的通项特征，灵活选择求和的方法求解. 8．某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五10%年，这个厂的总产值为 A ． B ．C ．D ．41.151.1610(1.11)⨯-511(1.11)⨯-【答案】D【分析】利用等比数列的求和公式即得.【详解】依题意可得，从今年起到第五年这个厂的总产值为；.52551(110%)[1(110%)]1(110%)1(110%)1(110%)11(1.11)1(110%)⋅+-+⋅++⋅+++⋅+==⨯--+ 故选：D二、多选题9．若数列的前项和为，则下列错误的是（ ）{}n a n n S A ．若数列为等差数列，则一定可转化为 {}n a n S ()2,R n S pn qn p q =+∈B ．若，则数列为等差数列()2,R n S pn qn p q =+∈{}n a C ．若实数满足，则数列为等比数列1,a q ()()11101nn a q S aq-=≠-{}n aD ．若数列为等比数列，为公比，则{}n a q ()111nn a q S q-=-【答案】CD【分析】根据等差数列及前n 项和公式，分析判断AB ；举例并结合等比数列的定义分析判断CD 作答.【详解】对于A ，令等差数列的公差为，则， {}n a d 211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-令，则有，A 正确； 1,22d dp a q =-=2(,R)n pn qn p S q =+∈对于B ，数列的前项和，，{}n a n 2(,R)n pn qn p S q =+∈1a p q =+当时，，显然满足上式，2n ≥221(1)(1)2n n n a S S pn qn p n q n pn p q -=-=+----=-+1a p q =+即，，为常数，数列为等差数列，B 正N n *∈2n a pn p q =-+12(1)22n n a a p n pn p +-=+-={}n a 确；对于C ，数列前项和，当时，，{}n a n ()()11101nn a q S aq-=≠-0q =1n S a =当时，，不是等比数列，C 错误； 2n ≥1110n n n a S S a a -=-=-={}n a 对于D ，数列为等比数列，当公比时，前项和，无意义，D 错误.{}n a 1q =n 1n S na =()111nn a q S q-=-故选：CD10．若数列满足则（ ）{}n a 113,33(2),nn n a a a n -==+≥A ．是等差数列 B ．是等比数列 {}3nn a {}3nn a C ．数列的通项公式D ．数列的通项公式 {}n a 3nn a n =⋅{}n a 3n nn a =【答案】AC【分析】变形给定的递推公式即可判断选项A ，B ；求出数列的通项即可判断选项C ，D 作答. {}3nn a 【详解】在数列中，当时，，即，而，即，则{}n a 2n ≥133nn n a a -=+11133n n nn a a --=+13a =113a={}3n na 是首项为1，公差为1的等差数列， 因此，，， 1(1)13nn a n n =+-⨯=3n n a n =⋅所以A 正确，B 不正确，C 正确，D 不正确. 故选：AC11．已知等比数列中，满足，公比，则（ ） {}n a 11a =2q =A ．数列是递减数列B ．数列是递增数列{}n a {}n a C ．数列是递减数列D ．数列是等差等列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】BC【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再结合单调数列的意义判断ABC ；利用等差{}n a 数列定义判断D 作答.【详解】等比数列中，，公比，则，{}n a 11a =2q =1112n n n a a q --==，而，即有，因此数列是递增数列，A 错误，B 正确； 112212nn n n a a +-==>0n a >1n n a a +>{}n a 由，得，因此数列是递减数列，C 正确； 10n n a a +>>111n na a +<1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭因为不是常数，因此数列不是等差等列，D 错误. 1111111222n n n n n a a -+-=-=-1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭故选：BC12．已知等差数列 的前n 项和为 ，且 ，则（ ） {}n a 67,n S S S <78S S >A ．在数列中， 最大 {}n a 1a B ．在数列中， 或 最大 {}n a 3a 4a C ．310S S =D ．当 时， 8n ≥0n a <【答案】AD【分析】根据，且，可推出，，故，可判断AD 正确，B 错67S S <78S S >70a >8780a a a <>，0d <误，结合等差数列的性质可判断，判断C. 103770S S a -=>【详解】为等差数列，∵，且， {}n a 67S S <78S S >∴ ， 7678787800S S a S S a a a -=>-=<>，，即，0d <∴{an }是递减等差数列，最大，当 时，，当 时，， 1a 7n ≤0n a >8n ≥0n a <故AD 正确，B 错误，， 10310987654770S S a a a a a a a a ++++=++-=>则 ，故C 错误， 103S S ≠故选：AD ．三、填空题13．设等比数列的公比为，其前项和为，若，，则{}n a q n n S 2232S a =+4432S a =+q =__________． 【答案】或1-32【分析】根据已知条件，由首项和公比列方程组求解．【详解】等比数列的公比为，若，，则， {}n a q 2232S a =+4432S a =+1q ≠则有，①，()11132a q a q +=+② 4311(1)32,1a q a q q-=+-②-①，化简可得：，解得或 2230q q --=1q =-32q =故答案为： 或1-3214．已知等差数列的前项和为，等比数列前项和为，若，，且{}n a n n S {}n b n n T 918S =-1352S =-，，则的值为_________． 55b a =77b a =42T T 【答案】3【分析】利用等差数列的前项和公式及性质计算，再结合等比数列的前项和公式计算作答. {}n a n n 【详解】等差数列的前项和为，则，即有， {}n a n n S 19959()9182a a S a +===-552b a ==-，即有，令等比数列的公比为，则，11313713()13522a a S a +===-774b a ==-{}n b q 2752b q b ==所以. 414242212(1)1113(1)11b q T q qq b q T qq ---===+=---故答案为：315．数列是公差不为零的等差数列，它的前n 项的和为，若且，，成等比数{}n a n S 515S =2a 4a 5a 列，则的值为________. 9S 【答案】9【分析】直接根据等差数列，等比数列公式列方程组计算得到答案.【详解】，成等比数列，即，，5151015S a d =+=245,,a a a 2425a a a =()()()211134a d a d a d +=++解得或（舍去），故，151a d =⎧⎨=-⎩130a d =⎧⎨=⎩919369S a d =+=故答案为：.9【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，意在考查学生的计算能力，属于基础题. 16．数列的前项和为，若，则__．{}n a n n S 1(1)n a n n =+5S =【答案】56【分析】，然后利用裂项求和法进行运算． 5125111122356S a a a =++⋯+=++⋯+⨯⨯⨯【详解】 5125S a a a =++⋯+ 111122356=++⋯+⨯⨯⨯ 111111122356=-+-+⋯+-． 15166=-=故答案为:．56【点睛】本题考查数列的求和，解题时要注意裂项求和法的合理应用．四、解答题17．已知数列的前项和，数列是首项为2，公比为2的等比数列．{}n a n 2n S n ={}n n b a -（1）求数列和数列的通项公式； {}n a {}n n b a -（2）求数列的前项和．{}n b n n T 【答案】（1）；；（2）.21n a n =-2nn n b a -=n T 1222n n +=-+【解析】（1）由与的关系得出数列的通项公式，再由等比数列的通项公式得出数列n S n a {}n a的通项公式；{}n n b a -（2）由（1）得出数列的通项公式，再由分组求和法求解即可. {}n b 【详解】（1）由题意知111a S ==当时，，符合 2n ≥()221121n n n a S S n n n -=-=--=-11a =21n a n =-所以，21n a n =-由题意知．2nn n b a -=（2）由（1）可知，，221nn b n =+-()()()()12122121212221321122n n n n n n T b b b n -+-=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-=+-1222n n +=-+18．已知等差数列的公差，且，，成等比数列． {}n a 2d =1a 2a 4a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和．12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭{}n n a b +n n S 【答案】（1）；（2）. 2n a n =211343n n S n n =+-+⨯【解析】（1）根据等比中项性质可构造方程求得，由等差数列通项公式可求得结果；1a （2）由（1）可得，可知为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求n b {}n b 得结果.【详解】（1）成等比数列，，即，124,,a a a 2214a a a ∴=()()21113a d a a d +=+，解得：， ()()211126a a a ∴+=+12a =.()2212n a n n ∴=+-=（2）由（1）得：，，， 2111224n a n nn b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭114n n b b +∴=114b =数列是首项为，公比为的等比数列，∴{}n b 1414()()123123n n n S a a a a b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()2322111124444nn n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 211343nn n =+-+⨯【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前项和的问题；关键是能够n 根据通项公式证得数列为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得{}n b 结果.19．已知等差数列的公差为1，且成等比数列. {}n a d 134,,a a a (1)求数列的通项公式；{}n a (2)设数列，求数列的前项和.52n a n b n +=+{}n b n n S 【答案】(1)； 5n a n =-(2).()11222n n n n S ++=+-【分析】（1）根据等差数列基本量的运算可得，进而即得；14a =-（2）由题可得，然后利用分组求和法即得．522n a nn b n n +=+=+【详解】（1）在等差数列中，因为成等比数列，{}n a 134,,a a a 所以 ，即 ，又，2314a a a =()22111+23a d a a d =+1d =所以，14a =-所以数列的通项公式；{}n a 415n a n n =-+-=-（2）由题可知，522n a nn b n n +=+=+∴123n n S b b b b =++++()()232222123n n =+++++++++()()2121=122n n n -++-. ()11222n n n ++=+-20．已知数列的前n 项和为，满足．{}n a n S ()()*231n n S a n =-∈N （1）求数列的通项公式；{}n a（2）若，，设数列的前n 项和为，求证：． 3log n n b a =12n n n c b b +={}n c n T 2n T <【答案】（1）；（2）证明见解析.3nn a =【分析】（1）先令求得，再由时，与原式作差证得是等比数1n =13a =2n ≥11233n n S a --=-{}n a 列，写出通项公式即可；（2）先利用对数性质化简，得到，再求和进行消项即得结果.n b n =1121n c n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭【详解】解：（1）当时，，得， 1n =11233a a =-13a =当时，①，2n ≥233n n S a =-②，11233n n S a --=-①－②得，所以， 1233n n n a a a -=-13nn a a -=所以数列是首项，公比的等比数列，{}n a 13a =3q =所以；3nn a =（2），则， 33l 3log og nn n b a n ===122112(1)1n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭12311111111111212233411n n n T c c c c c n n n n -⎛⎫=+++⋯++=-+-+-+⋯+-+- ⎪-+⎝⎭． 112222111n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列的前n 项和的常见类型： （1）等差型，其中是公差为的等差数列； 111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭{}n a ()0d d≠（2=（3）指数型；()11n n na a a a +-=-（4）对数型. 11log log log n aa n a n na a a a ++=-21．设为数列的前项和，已知，． n S {}n a n 23a =121n n a a +=+(1)证明：数列为等比数列；{}1n a +(2)判断，，是否成等差数列并说明理由．n n a n S ?【答案】(1)证明见解析；(2)成等差数列，理由见解析.【分析】（1）求出，将给定等式两边同时加1，利用等比数列定义判断作答.11a =121n n a a =+＋（2）由（1）可得，进而求出，再利用等差中项的意义判断作答.21n n a =-n S 【详解】（1）因为，，则，解得，23a =121n n a a +=+21213a a =+=11a =因此，，而，()1121n n a a ++=+112a +=所以是首项为2，公比为2的等比数列.{}1n a +（2）由（1）知，，即，因此， 12n n a +=21nn a =-11222212n n n S n n ++-=-=---于是，()()1122222212n n n n n n S n n a +++=+--=-=-=所以，，成等差数列.n n a n S 22．已知数列满足，数列的前项的和为.{}n a 111,21n n a a a +==+{}n b n 2n S n =（1）求出数列，的通项公式；{}n a {}n b （2）若，求数列的前项的和.n n n c b a =⋅{}n c n n T 【答案】（1）.，.（2）21n n a =-21n b n =-*n ∈N 126(23)2n n T n n +=+-⋅-【解析】（1）根据构造法即可求出数列的通项公式，根据与的关系即{}n a n b n S 11,1,2n n n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求出的通项公式；{}n b （2）根据，即可采用分组求和法和错位相减法求出数列的前n n n c b a =⋅(21)2(21)n n n =-⨯--{}n c 项的和．n n T 【详解】（1）由，可得，而，可推出，121n n a a +=+()1121n n a a ++=+11a =10n a +>即，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列． 1121n n a a ++=+{}1n a +∴，∴.11222n n n a -+=⋅=21n n a =-即数列的通项公式为. {}n a ()*21,n n a n N =-∈由数列的前项的和为，可得，{}n b n 2n S n =111b S ==当时，，2n ≥221(1)21n n n b S S n n n -=-=--=-当时，也符合．故数列的通项公式为．1n ={}n b ()*21,n b n n N =-∈（2）由（1）可知， ()(21)21n n n n c b a n =⋅=-⋅-(21)2(21)n n n =-⨯--设，，23123252(21)2n n A n =⨯+⨯+⨯++-⋅ 23121232(23)2(21)2n n n A n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅ 两式相减可得， ()23122222(21)2n n n A n +-=++++--⋅ 化简可得，．16(23)2n n A n +=+-⋅而数列的前项的和为， {21}n -n 2(121)2n n n B n +-⨯==所以. 126(23)2n n T n n +=+-⋅-【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，涉及到构造法和与的关系的n a n S 11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩应用，以及利用分组求和法，错位相减法求数列的和，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．。
河北省承德市市第二中学高二数学理模拟试题含解析
河北省承德市市第二中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是A．B．C．D．参考答案：B略2. 已知两直线，若则的取值为（）A. B. C. D.参考答案：A3. 下列判断不正确的是（）A．画工序流程图类似于算法的流程图，自上而下，逐步细化B．在工序流程图中可以出现循环回路C．工序流程图中的流程线表示两相邻工序之间的衔接关系D．结构图中基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系参考答案：B【考点】程序框图；结构图．【分析】本题考查的流程图和结构图的基本概念，只要根据流程图和结构图的相关概念逐一进行分析，即可求解．【解答】解：因为每个工序是不能重复执行．∴在工序流程图中不能出现循环回路．故答案B不正确故选B4. 已知集合，则为( ).（A）（1，2）（B）（C）（D）参考答案：A略5. 右图中有一个信号源和五个接收器。
接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。
若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 ( )A. B. C. D.参考答案：D略6. 如图，在大小为45°的二面角A-EF-D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D 两点间的距离是()A. B.C. 1D.参考答案：D【分析】由，利用数量积运算性质展开即可得到答案【详解】,故故选【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础。
7. （5分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度参考答案：B8. 抛物线的一组斜率为2的平行弦中点的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 射线(不含端点）参考答案：D9. 在等差数列中，若，则该数列的前2011项的和为A．2010 B．2011 C． 4020 D．4022参考答案：D10. 下列推理过程不是演绎推理的是（）．A．①② B．②③ C．③④ D．②④①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数，2019不能被2整除；②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为棱长的立方；③在数列{a n}中，，，由此归纳出{a n}的通项公式；④由“三角形内角和为180°”得到结论：直角三角形内角和为180°。
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河北省承德二中2016-2017学年 高二下学期第一次月考（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项.）1. 在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的减区间为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(0,2)D ．(－∞，0)3. O 为原点，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则|||OA ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．44. 由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为( )A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①5. 在极坐标系中，点(2，π3)到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 36. 设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12 D ．－27. 用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等号左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 38. 直线03sin 70(t )cos 70x t y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的倾斜角是（ ）A ．020 B. 070 C. 0110 D. 0160 9. 函数y ＝ln xx 的最大值为( )A ．e－1B ．eC ．e 2 D.10310. 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)B ．[－3，3]C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3) 11. 观察以下等式：3333331=11+2=91+2+3=36，，，3333333331+2+3+4=1001+2+3+4+5=225，……由此可以推测33331+2+3+...+n =（ ）A ．(n 1)2n + B. 2(2n 1)- C. 2(n 1)4n - D. 22(n 1)4n +12．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．） 13. ʃ2π0|sin x |d x=____________14. 在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7， 类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是__________________________________15. 曲线2cos 12sin x y θθθ=⎧⎨=+⎩（为参数）与2x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）交点的个数为__________16. 点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________三.解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm,当其体积最大时，底面半径和高分别为多少？18. 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：a ＋12＋b ＋12≤2.19. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的 最小值并求此时该点坐标。
20. 已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． （1）求a ；（2）求函数f (x )的单调区间和极值；21. 设过原点O 的直线与圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)求点M 的轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线22. 设函数(x)1e xf -=-（1） 判断并证明f (x )在定义域内的单调性； （2）证明：当x ＞－1时，f (x )≥xx ＋1；（3）设当x ≥0时，f (x )≤xax ＋1，求a 的取值范围．参考答案1.B2.C3. C4.D5.D6.D7.C8.D9.A 10. B 11.D 12.B 13. 414. 5748b b b b +<+ 15. 2 16.217. 解：设圆锥的高为h ，则圆锥的底面半径为2400r h =-则圆锥的体积为231(h)(400),(0h 20)33r h V h h ππ==-<< 则21(h)(4003h )3V π'=- 当(h)0V '>时，解得：203h>3；当(h)0V '<时，解得：2030<h<3所以(h)V 在203(0,)3单调递减，在203(,20)3递增 所以当203h=3cm 时，此时 2063r =cm ，V(h)有最大值 18. 方法1（综合法）证明：∵1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14.∴12(a ＋b )＋ab ＋14≤1. ∴⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤1. 从而有2＋2⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤4. 即⎝⎛⎭⎫a ＋12＋⎝⎛⎭⎫b ＋12＋2⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤4. ∴⎝⎛⎭⎫a ＋12＋b ＋122≤4. ∴a ＋12＋b ＋12≤2. 方法2（分析法）略19. 解：31|2cos()4||2(cos sin )4||3cos sin 4|622222d πααααα++-+-+===所以min 2d =，此时α可取56π，此时该点坐标为31(,)22- 20.解：（1）因为fx )＝a 1＋x＋2x －10，所以f＝ a4＋6－10＝0，因此a ＝16． （2）由（1）知，f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)，fx )＝2(x 2－4x ＋3)1＋x ．当x ∈(－1，1)∪(3，＋∞)时，fx )＞0；当x ∈(1，3)时，fx )＜0．所以f (x )的单调增区间是(－1，1)、(3，＋∞)；f (x )的单调减区间是(1，3)． 极大值为(1)16ln 29f =-，极小值为(3)16ln 421f =- 21. 解：2220x x y -+=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入得： （1）圆C 极坐标方程为：2cos ρθ=(2)设圆C 上的点为00(x ,y )P ，则M 坐标(x,y)满足0022x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则0022x x y y =⎧⎨=⎩代入圆C 方程得：22(21)41x y -+=，所以点M 极坐标方程为cos ρθ=，是半径为12的圆22. 解： (1) 1(x)0x f e'=>在定义域(,)-∞+∞内增 （2）当x ＞－1时，f (x )≥xx ＋1当且仅当e x ≥x ＋1．令g (x )＝e x －x －1，则g x )＝e x －1．当x ≤0时gx )≤0，g (x )在(－∞，0]是减函数；当x ≥0时gx )≥0，g (x )在[0，＋∞)是增函数．于是函数g (x )在x ＝0处达到最小值，因而当x ∈R 时，g (x )≥g (0)，即e x ≥x ＋1． 所以当x ＞－1时，f (x )≥xx ＋1．（3）由题意x ≥0，此时f (x )≥0，当a ＜0时，若x ＞－ 1 a ，则x ax ＋1＜0，f (x )≤xax ＋1不成立；当a ≥0时，令h (x )＝axf (x )＋f (x )－x ，则f (x )≤xax ＋1当且仅当h (x )≤0．h (x )＝af (x )＋axfx )＋fx )－1＝af (x )－axf (x )＋ax －f (x )＝(a －ax －1)f (x )＋ax ．由（1）知f (x )≥xx ＋1，即x ≤(x ＋1)f (x )，h (x )＝(a －ax －1)f (x )＋ax ≤(a －ax －1)f (x )＋a (x ＋1)f (x )＝(2a －1)f (x )． （ⅰ）当0≤a ≤ 12时，hx )≤0，h (x )在[0，＋∞)是减函数，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤x ax ＋1． （ⅱ）当a ＞ 1 2时，由（ⅰ）知f (x )≤x0·x ＋1，即x ≥f (x )，h (x )＝(a －ax －1)f (x )＋ax ≥(a －ax －1)f (x )＋af (x )＝(2a －1－ax )f (x )， 当0＜x ＜2a －1a时，hx )＞0，所以h (x )＞h (0)＝0，即f (x )＞xax ＋1． 综上，a 的取值范围是[0， 12]．。