机电一体化(第6章-机电一体化系统建模与分析)

后的总的等效转动惯量和阻尼系数。 即等效成为：
齿轮传动系统可机电比拟于理想变压器系统：
比拟关系为
根据电压、电流变换关系： 可得一次侧的电压、 电流微分方程为：
6、热力学系统 加热系统：温度为Te
的冷液体流入加热箱，电加 热均匀后，为温度T0，流出。
液体流量恒为Q，液体比热为S，容器热容量为C，电热器热功 率为q(t)。 以q(t)为输入量，以出口、入口处的温度差T=T0-Te为输出量， 则有系统的动态方程为：
称为输出方程，描述了输出变量与状态变量（和输入 变量）间的线性组合变换关系，为代数方程。
C称为输出矩阵，D为直接传递矩阵。 状态方程与输出方程一起构成为系统的状态空间表达 式。状态空间描述把系统的运动归结为“输入-状态-输出”， 能更深刻地揭示系统运动的本质。
SISO系统的 系统状态图
MIMO系统的系统状态图
..
.
.
.
.
m 2x2(t)F 2(t)k2(x2(t)x1(t))c2(x2(t)x1(t))k3(x3(t)x2(t))c3(x3(t)x2(t))
..
.
.
m 3x3(t)F 3(t)k3(x3(t)x2(t))c3(x3(t)x2(t))
m 1 00 x 1 c 1 c 2 c 2 0 x 1 k 1 k 2 k 2 0 x 1 F 1 ( t) 0m 2 0 x 2 c 2 c 2 c 3 c 3 x 2 k 2 k 2 k 3 k 3 x 2 F 2 ( t) 00m 3 x 3 0 c 3 c 3 x 3 0 k 3 k 3 x 3 F 3 ( t)
直流电机的模型为： 位置伺服控制系统的方框图：
闭环传递函数： 成为二阶系统
例2：火车机车驱动控制系统
放大器：
功率放大器为非线性特性， 需做线性化处理。
例3：电液伺服系统
该电液伺服系统的闭环传函为：
对于以上SISO线性系统，既可用高阶微分方程来描述 输入-输出关系：
也可用一阶微分方程组来描述：
对于MIMO系统，更适于用一阶微分方程组的形式来描述：
状态与状态变量 设以上MIMO系统的状态变量记为：
输 入 函 数 ： u T ( t ) u 1 ( t ) , u 2 ( t ) ,, u m ( t ) T
电气网络
（a）R-C电路1
（b）R-C电路2 R、C换位
（c）Ｒ-L-C电路
（d）R-C滤波网络
以（d）为例说明
I1sUr sR 1Uc1s,I2sUc1sR2Uc s Uc1sI1sC1SI2s ,UcsC12SI2s
负载效应
机械网络 (机械振动基础)
单自由度系统
c
md2 dyt2 (t)cdyd(tt)ky(t)F(t)
一、机电一体化系统的建模
（一）动态系统的经典数学模型及其分析
物理的动力学系统，动态过程；能量、信号的转换作用。 系统数学模型的建立方法：
1）分析法（解析法），得到解析模型（机理模型）； 2）系统辨识。 系统的非线性、时变性的处理
用解析法建立系统微分方程、传递函数的一般步骤（经典模型）
➢分析系统工作原理和系统中变量的关系，确定系统的输入量与输 出量 ➢选择合适的中间变量，根据基本的物理定律，列写出系统中每一 个元件的输入与输出的微分方程式 ➢消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式 ➢对非线性项加以线性化 ➢或做拉普拉斯变换，变代数方程消元或用方框图等效、梅逊公式 等方法形成传递函数。
CdT SQT q dt
7、液位系统 下图所示为存在交联作用的复杂液位系统。
流量与液面差间近 似取线性关系q=h/R， R为阀门液阻。C1、 C2为液容，即容器截 面积。
有方程：
消去中间变量，得： 比拟于电网络：
8、机电控制系统 （1）执行电动机
取：
电动机动态方框图：
传递函数： 直流电机本身为开环系统，存在一由反电动势构成的
状态变量的个数一般等于系统所包含的独立储能元件 的数目。一个n阶系统有n个独立的状态变量，为状态的最 大线性无关组，或称最小变量组。选择不唯一，一般取系统 中易于测量观测的量作状态变量。
前述的M-C-K系统的状态空间表达式即为： R-L-C系统的状态空间表达式即为：
状态空间表达式为现代控制理论的基本模型！同时也是动力学系 统研究的一种重要模型。 现代控制理论与经典控制理论特性的比较：
输 出 函 数 ： c T ( t ) c 1 ( t ) , c 2 ( t ) ,, c r ( t ) T
系统的动态特性可用一阶微分方程组来描述如下：
矩阵形式为：
称为状态方程，记为： xA xB u
描述了输入作用下的系统状态运动过程。
称A为系统矩阵，B为输入矩阵或控制矩阵。
输出变量则可列写成：yCxDu
或写作
Y1s Y2s
G11s G21s
G12sU1s G22sU2s
Gs就是该系统的 阵传递函
用拉氏变换做微分方程组的传递函数矩阵，中间变量的消元
其它： 机械传动系统； 液压系统； 机电系统； 热力学系统；等等
微分方程的求解 系统响应的求解、分析
（二）动态系统的现代数学模型及其分析
y x1
y x1
(1)状态空间描述是系统输入、状态和输出诸变量间的时域描述， 涉及系统全部信息，比传递函数法更为完善，为系统的内部描述法；
(2)状态空间描述特别适于多变量系统的描述； (3)状态空间描述法不仅适于线性系统，还适于时变系统，非线性 系统以及非零初始条件下的系统分析求解； (4)用向量、矩阵表达系统的状态空间方程，系统状态空间描述的 形式及其求解计算适于计算机处理、分析和设计，直观简单、方法统一； (5)n个一阶微分方程组的求解比一个n阶微分方程的求解简单，并 有标准型法、状态分解法等求解方法。 (6)输出反馈、状态反馈，可达到极点的任意配置，以及最优控制， 所用方法严谨统一，而基于传递函数的根轨迹法、频率响应法等经典设计 法，实质为一种试凑法，不能得到某种意义下的最优性能。
状态空间 表达式：
4、多自由度振动系统的状态空间表达
多自由度振动系统振动方程转换为相应的状态空间方程可 有统一的方法：
系统振动方程 M X C X K X F 变形为： X M 1 C X M 1 K X M 1 F
取 X 1X ,X 2X
得状态方程为：
X X 1 2 M 0 1 K M I 1 C X X 1 2 M 0 1 F
振动方程
传递函数
取状态变量：
非刚性耦合使系统阶次增高，会引起谐振传递至整个系统， 带来稳定性等问题。联接轴刚度k无穷大时，可简化为：
3、油井钻井平台与钻孔机的简化模型。钻井平台向钻孔机提供 驱动力矩，带动钻轴转动，钻头受被钻物体的接触力矩。
求输入（驱动）力 矩τ2与转角θ2间关 系。
取状态变量
弹簧-质量-阻尼器系统
(a)主动隔振力学模型 (b) 被动隔振力学模型
隔振的力学模型
二自由度振动系统：
具有黏性阻尼的二自由度 系统强迫振动：
m m 1 2 x x 1 2 ( c c 2 1 x 2 c 2 k )x 2 1 x 2 (k c 1 2 x 1 k 2 ) k x 2 1 x 1 c 2 F x 2 2 ( t) k 2 x 2 F 1 (t) m 0 1m 0 2 x x 1 2 c 1 c 2 c 2 c c 2 2 x x 1 2 k 1 k 2 k 2 k k 2 2 x x 1 2 F F 1 2 ( ( t t ) )
(7)系统传递函数（微分方程）与状态空间方程两种数学模型之间 可相互转换。
（三）典型实例的选讲
1、一老式货运汽车的悬挂系统如下图所示，求汽车相对于路面 的位移x和悬挂部分的位移y1之间的关系。
系统振动方程：
又令：
得状态空间表 达式为：
2、电动机通过弹性轴联 接惯性负载的简化模型
求电动机输出力矩 Tm与负载转角θL间 关系
为形式：M X C X K X F 称为振动方程
第一主振型
第二主振型
二自由度系统的自由振动
主振型图
三自由度阻尼 振动系统
运用隔离体法，对每个质量块进行分析，可得该三自由 度系统的运动微分方程为：
..
.
.
.
m 1x1(t)F 1(t)k1x1(t)c1x1(t)k2(x2(t)x1(t))c2(x2(t)x1(t))
至于输出方程，可根据实际的求解要求而容易写出！
5、齿轮传动系统
以下图中，T为输入转矩，忽略轴的弹性，同轴齿轮的
转动惯量和阻尼系数归并。以转轴1的转角θ1为输出量。求T与
θ1间的关系。并记：
nn1 r1 T1 2
n2 r2 T2 1
两转轴的力矩平衡方程为：
消元中间变量，得T与θ1间关系： 分别为转轴2等效于转轴1
三自由度系统及其固有模态振型
连续体振动系统 均匀简支梁：
简支梁的前三阶主振型可形如下图所示：
均匀悬臂梁： 悬臂梁的前三阶主振型可形如下图所示：
对于多输入-多输出的系 统，要用传递函数关系 阵去描述它们间的关系， 如右图所示的系统
Y1sG11sU1sG12sU2s 二输入二输出系统 Y2sG21sU1sG22sU2s
自反馈回路。
以角速度为输出量时为一阶惯性系统！
（2）伺服控制系统பைடு நூலகம்
例1：电视卫星天线位置伺服系统。 认为电视卫星天线有大的惯量，而忽略其负载力矩。
电位器：设对输入、输出增益相同，则 差值放大器和功率放大器的电压放大倍数分别为：A1，A2
齿轮系的传动关系：
、 分 别 为 电 机 输 出 转 角 和 天 线 转 角 m