人教版高中数学必修一学案：《对数函数及其性质》(含答案)

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高中数学人教A版必修第一册学案与练习对数函数的概念、图象及性质

4.4 对数函数学习目标1.通过对数函数的概念及对数函数图象和性质的学习，培养数学抽象、直观想象素养.2.通过对数函数图象和性质的应用，培养逻辑推理、数学运算素养.第1课时对数函数的概念、图象及性质1.对数函数的概念一般地，函数y=log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞).2.对数函数的图象与性质我们可以借助指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质:对数函数的概念[例1] (1)下列函数是对数函数的是( )A.y=lg 10xB.y=log3x2C.y=ln xD.y=lo g13(x-1)(2)若函数f(x)=log a x+(a2-4a-5)是对数函数，则实数a= . 解析:(1)由对数函数的定义，得y=log a x(a>0，a≠1)是对数函数，由此得到y=ln x是对数函数.故选C.(2)由对数函数的定义可知，{a2-4a-5=0,a>0,a≠1,解得a=5.答案:(1)C (2)5判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如y=log a x(a>0，且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件: (1)系数为1.(2)底数为大于0，且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x.针对训练1:(1)若函数y=log a x+a 2-3a+2为对数函数，则a 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为 .解析:(1)因为函数y=log a x+a 2-3a+2为对数函数，所以{a 2-3a +2=0,a >0,a ≠1,解得a=2.故选B. (2)设函数f(x)=log a x(x>0，a>0，且a ≠1)，因为对数函数的图象过点M(9，2)，所以2=log a 9，所以a 2=9，又a>0，解得a=3.所以此对数函数的解析式为y=log 3x. 答案:(1)B (2)y=log 3x对数型函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域.(1)y=log a (3-x)+log a (3+x)(a>0，且a ≠1); (2)f(x)=1log 12(2x+1).解:(1)由{3-x >0,3+x >0,得-3<x<3，所以函数的定义域是{x|-3<x<3}.(2)由题意有{2x +1>0,2x +1≠1,解得x>-12，且x ≠0，则函数的定义域为(-12，0)∪(0，+∞).(1)求解含对数式的函数定义域，若自变量在底数和真数上，要保证真数大于0，底数大于0，且不等于1. (2)对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞).(3)形如y=log g(x)f(x)的函数，定义域由{f (x )>0,g (x )>0,g (x )≠1来确定.(4)形如y=f(log a x)的复合函数在求定义域时，必须保证每一部分都要有意义.针对训练2:函数f(x)=√lgx +lg(5-3x)的定义域是( ) A.[0，53) B.[0，53]C.[1，53) D.[1，53]解析:函数f(x)=√lgx +lg(5-3x)的定义域是{x|{x >0,lgx ≥0,5-3x >0}，即{x|1≤x<53}.故选C.对数函数的图象类型一对数型函数图象过定点问题[例3] (1)函数y=log a (x-3)+1(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是()A.(4，1)B.(3，1)C.(4，0)D.(3，0)(2)若函数y=log a (x-1)+8(a>0，且a ≠1)的图象过定点P ，且点P 在幂函数f(x)=x α(α∈R)的图象上，则f(12) = .解析:(1)令x-3=1，求得x=4，y=1，可得它的图象恒过定点P(4，1).故选A. (2)令x-1=1，解得x=2，此时y=8，此函数图象过定点P(2，8). 由点P 在幂函数f(x)=x α(α∈R)的图象上知， 2α=8，解得α=3，所以f(x)=x 3，所以f(12)=( 12) 3=18.答案:(1)A (2)18涉及与对数函数有关的函数图象过定点问题的一般规律:若f(x)=klog a g(x)+b(a>0，且a ≠1)，且g(m)=1，则f(x)图象过定点P(m ，b).针对训练3:(1)(多选题)下列四个函数中过相同定点的函数有( ) A.y=ax+2-a B.y=x a-2+1C.y=a x-3+1(a>0，a ≠1)D.y=log a (2-x)+1(a>0，a ≠1)(2)已知函数f(x)=log a(x-m)+n的图象恒过定点(3，5)，则lg m+lg n 的值是.(3)函数y=log a(2x-1)+3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是.解析:(1)由于函数y=ax+2-a=a(x-1)+2，令x=1，可得y=2，故该函数经过定点(1，2)，由于函数y=x a-2+1，令x=1，可得y=2，故该函数经过定点(1，2)，由于y=a x-3+1(a>0，a≠1)，令x-3=0，求得x=3，y=2，故该函数经过定点(3，2)，由于y=log a(2-x)+1(a>0，a≠1)，令2-x=1，求得x=1，y=1，故该函数经过定点(1，1).故选AB.(2)函数f(x)=log a(x-m)+n的图象恒过定点(1+m，n)，又函数f(x)的图象恒过定点(3，5)，故1+m=3，n=5，即m=2，n=5，所以lg m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1.(3)令2x-1=1，得x=1，y=3，所以函数的图象恒过定点P(1，3). 答案:(1)AB (2)1 (3)(1，3)类型二对数型函数图象的识别[例4] 函数y=-lg |x+1|的大致图象为( )解析:法一函数y=-lg |x+1|的定义域为{x|x≠-1}，可排除A，C;当x=1时，y=-lg 2<0，显然只有D符合题意.故选D.法二y=-lg |x+1|={-lg(x+1),x>-1, -lg(-x-1),x<-1,又x∈(-1，+∞)时，y=-lg(x+1)是减函数.故选D.对数型函数图象的识别一定要注意利用对数式的真数大于0确定函数的定义域，注意利用对数型函数图象所过定点，同时结合单调性进行判断，也可以利用函数图象的变换进行判断.针对训练4:(1)(2021·河南开封期末)函数y=|lg(x+1)|的图象是( )(2)如图，①②③④中不属于函数y=log2x，y=log0.5x，y=-log3x的一个是( )A.①B.②C.③D.④解析:(1)函数的定义域为(-1，+∞)，图象与x轴的交点是(0，0).故选A.(2)根据函数的图象，函数y=log a x(a>0，且a≠1)的底数决定函数的单调性，当底数a>1时，函数单调递增，当0<a<1时，函数单调递减，当底数a>1，x>1时，满足底数越大函数的图象越靠近x轴，故①对应函数y=log2x的图象，根据对称性，④对应函数y=log0.5x的图象，③对应函数y=-log3x的图象，②与函数的图象相矛盾，故②不符合题意.故选B.类型三根据图象求解析式中的参数的范围[例5] 已知函数y=log a(x+c)(a，c为常数.其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a>1，c>1B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1D.0<a<1，0<c<1解析:因为函数单调递减，所以0<a<1.当x=1时，log a(x+c)=log a(1+c)<0，即1+c>1，所以c>0，当x=0时，log a(x+c)=log a c>0，所以0<c<1.故选D.根据图象求解析式中的参数的范围和图象识别的方法是一致的，也是主要利用函数的单调性和图象上特殊点的坐标的大小建立有关参数的不等式.针对训练5:(1)如图，若C1，C2分别为函数y=log a x和y=log b x的图象，则( )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1(2)已知定义在R上的函数f(x)=log2(a x-b+1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )A.0<1a <1b<1 B.0<1b<a<1C.0<b<1a <1 D.0<1a<b<1解析:(1)由对数的性质log a a=1(a>0，且a≠1)，画一条直线y=1，如图所示，由图可知0<b<a<1.故选B.(2)由函数单调性可知，a>1，f(0)=log2(1-b+1)，故0<log2(1-b+1)<1，解得0<b<1，由log2(a-1-b+1)<0可得a-1<b，所以0<1a<b<1.故选D.典例探究:如图，直线x=t与函数f(x)=log3x和g(x)=log3x-1的图象分别交于点A，B，若函数y=f(x)的图象上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则t的值为( )A.√3+22B.3√3+32C.3√3+34D.3√3+3解析:由题意A(t ，log 3t)，B(t ，log 3t-1)，|AB|=1，设C(x ，log 3x)，因为△ABC 是等边三角形，所以点C 到直线AB 的距离为√32，所以t-x=√32，x=t-√32，所以C(t-√32，log 3(t-√32))，根据中点坐标公式可得log 3(t-√32) =log 3t+log 3t -12=log 3t-12=log 3√3，所以t-√32=√3，解得t=3√3+34.故选C.应用探究:已知正方形ABCD 的面积为36，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y=3log a x ，y=2log a x 和y=log a x(其中a>1)的图象上，则实数a 的值为( ) A.√3 B.√6 C.√36D.√63解析:设B(x ，2log a x)，因为BC 平行于x 轴，所以C(x ′，2log a x)，即log a x ′=2log a x ，所以x ′=x 2，所以正方形ABCD 的边长|BC|=x 2-x=6，解得x=3.由已知，AB 垂直于x 轴，所以A(x ，3log a x)，正方形ABCD 的边长|AB|=3log a x-2log a x=log a x=6，即log a 3=6，a 6=3，a=√36.故选C.1.函数f(x)=log 2(3+2x-x 2)的定义域为( C ) A.[-1，3] B.(-∞，-1)∪(3，+∞) C.(-1，3) D.(-∞，-1)∪[3，+∞)解析:由3+2x-x 2>0，得-1<x<3，所以f(x)的定义域为(-1，3).故选C.2.已知对数函数f(x)的图象过点(4，12)，则f(x)等于( A )A.log 16xB.log 8xC.log 2xD.lo g 116x解析:由题意设f(x)=log a x(a>0，且a ≠1)，由函数图象过点(4，12)可得f(4)=12，即log a 4=12，所以4=a 12，解得a=16，故f(x)=log 16x.故选A.3.如图所示的曲线是对数函数y=log a x ，y=log b x ，y=log c x ，y=log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为 .解析:由题图可知函数y=log a x ，y=log b x 的底数a>1，b>1，函数y=log c x ，y=log d x 的底数0<c<1，0<d<1.过点(0，1)作平行于x 轴的直线l(图略)，则直线l 与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c ，d ，a ，b ，显然b>a>1>d>c>0. 答案:b>a>1>d>c4.已知函数y=log a (x+3)+89(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f(x)=3x -b 的图象上，则b= . 解析:对于y=log a (x+3)+89，令x+3=1，得x=-2，则y=89，所以函数y=log a (x+3)+89(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A(-2，89)，又点A 也在函数f(x)=3x -b 的图象上，则89=3-2-b ，求得b=-79.答案:-79[例1] 已知函数y=f(x)的定义域是[0，2]，那么g(x)=f (x 2)1+lg (x+1)的定义域是( )A.(-1，-910)∪(-910，√2]B.(-1，√2]C.(-1，-910)D.(-910，√2)解析:依题意，{0≤x 2≤2,x +1>0,1+lg (x +1)≠0,解得-1<x<-910或-910<x ≤√2.故选A.[例2] 已知函数y=log 3x 的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且线段AB 的中点在x 轴上，则x 1·x 2= .解析:因为函数y=log 3x 的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，所以y 1=log 3x 1，y 2=log 3x 2.根据中点坐标公式得y1+y2=0，即log3x1+log3x2=0，所以log3(x1x2)=0，x1·x2=1.答案:1[例3] (1)求函数f(x)=log a(a x-1)(a>0，且a≠1)的定义域;(2)求函数f(x)=log a[(a-1)x-1]的定义域.解:(1)由a x-1>0，即a x>1，当a>1时，f(x)的定义域为(0，+∞)，当0<a<1时，f(x)的定义域为(-∞，0).(2)由题意(a-1)x-1>0，且a>0，a≠1，当a>1时，x>1;a-1.当0<a<1时，x<1a-1所以当a>1时，f(x)的定义域为(1，+∞);a-1当0<a<1时，f(x)的定义域为(-∞，1).a-1[例4] 已知函数f(x)=lg(a x-b x)(a>1>b>0).(1)求y=f(x)的定义域;(2)证明f(x)是增函数;(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，+∞)上恒取正值?(1)解:要使函数有意义，必有a x-b x>0，a>1>b>0，可得(a) x>1，解得x>0，b函数的定义域为(0，+∞).(2)证明:设g(x)=a x-b x，再设x1，x2是(0，+∞)上的任意两个数，且x1<x2，则g(x1)-g(x2)=a x1-b x1-a x2+b x2=(a x1-a x2)+(b x2-b x1)，对于函数y=a x为增函数，y=b x为减函数，所以a x1-a x2<0，b x2-b x1<0，所以g(x1)-g(x2)<0，所以g(x)在(0，+∞)上为增函数，因为y=lg x在(0，+∞)上为增函数，所以f(x)在(0，+∞)上为增函数.(3)解:因为f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以命题f(x)恰在(1，+∞)取正值等价于f(1)≥0，所以a-b≥1.选题明细表基础巩固1.函数f(x)=ln(x+2)+的定义域为( B )√2-xA.(2，+∞)B.(-2，2)C.(-∞，-2)D.(-∞，2)解析:由题意可知{x +2>0,2-x >0,解得-2<x<2.故选B.2.已知f(x)=a -x ，g(x)=log a x ，且f(2)·g(2)>0，则函数f(x)与g(x)的图象是( D )解析:因为f(2)·g(2)>0，所以a>1，所以f(x)=a -x 与g(x)=log a x 在其定义域上分别是减函数与增函数.故选D.3.已知函数f(x)=a x-1+log b x-1(a>0，且a ≠1，b>0，且b ≠1)，则f(x)的图象过定点( C ) A.(0，1) B.(1，1) C.(1，0) D.(0，0)解析:当x=1时，f(1)=a 0+log b 1-1=1+0-1=0，所以f(x)的图象过定点(1，0).故选C.4.(多选题)函数f(x)=log a (x+2)(0<a<1)的图象过( BCD ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析:作出函数f(x)=log a (x+2)(0<a<1)的大致图象如图所示，则函数f(x)的图象过第二、第三、第四象限.故选BCD.5.已知f(x)为对数函数，f(12)=-2，则f(√43)= .解析:设f(x)=log a x(a>0，且a ≠1)，则log a 12=-2，所以1a2=12，即a=√2，所以f(x)=lo g √2x ，所以f(√43)=lo g √2 √43=log 2(√43)2=log 2243=43.答案:436.(2021·江苏启东期末)已知函数f(x)=log a (x+b)(a>0，a ≠1，b ∈R)的图象如图所示，则a= ，b= .解析:由图象得{log a (0+b )=2,log a (-2+b )=0,解得{a =√3,b =3.答案:√3 3能力提升7.已知函数y=lg(x 2-3x+2)的定义域为A ，y=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为B ，则( D ) A.A ∩B= B.A=BC.A ⫋BD.B ⫋A解析:由x 2-3x+2>0，解得x<1或x>2，所以A=(-∞，1)∪(2，+∞);由{x -1>0,x -2>0,解得x>2，所以B=(2，+∞).故B ⫋A.故选D.8.已知等式log 2m=log 3n ，m ，n ∈(0，+∞)成立，那么下列结论:①m=n;②n<m<1;③m<n<1;④1<n<m;⑤1<m<n.其中可能成立的是( B ) A.①② B.①②⑤ C.③④ D.④⑤解析:当m=n=1时，有log 2m=log 3n ，故①可能成立;当m=14，n=19时，有log 2m=log 3n=-2，故②可能成立;当m=4，n=9时，有log 2m=log 3n=2，此时1<m<n ，故⑤可能成立.可能成立的是①②⑤.故选B. 9.如图，四边形OABC 是面积为8的平行四边形，OC ⊥AC ，AC 与BO 交于点E.某对数函数y=log a x(a>0，且a ≠1)的图象经过点E 和点B ，则a= .解析:设点E(b ，c)，则C(b ，0)，A(b ，2c)，B(2b ，2c)，则{2bc =8,log a b =c ,log a (2b )=2c ,解得b=c=2，a=√2.答案:√210.已知f(x)=|log 3x|. (1)画出函数f(x)的图象;(2)讨论关于x 的方程|log 3x|=a(a ∈R)的解的个数. 解:(1)f(x)={log 3x ,x ≥1,-log 3x ,0<x <1,函数f(x)的图象如图所示.(2)设函数y=|log 3x|和y=a ，当a<0时，两图象无交点，原方程解的个数为0个. 当a=0时，两图象只有1个交点，即原方程只有1个解. 当a>0时，两图象有2个交点，即原方程有2个解. 11.已知函数f(x)=log 2[ax 2+(a-1)x+14].(1)若定义域为R ，求实数a 的取值范围; (2)若值域为R ，求实数a 的取值范围.解:(1)要使f(x)的定义域为R ，则对任意实数x 都有t=ax 2+(a-1)x+14>0恒成立.当a=0时，不合题意;当a ≠0时，由二次函数图象(图略)可知{a >0,Δ=(a -1)2-a <0,解得3-√52<a<3+√52.故所求实数a 的取值范围为(3-√52，3+√52).(2)要使f(x)的值域为R ，则有t=ax 2+(a-1)x+14的值域必须包含(0，+∞).当a=0时，显然成立;当a ≠0时，由二次函数图象(图略)可知，其图象必须与x 轴相交，且开口向上，所以{a >0,Δ=(a -1)2-a ≥0, 解得0<a ≤3-√52或a ≥3+√52.故所求a 的取值范围为[0，3-√52]∪[3+√52，+∞).应用创新12.已知函数f(x)=|log 2x|，正实数m ，n 满足m<n ，且f(m)=f(n)，若f(x)在区间[m 2，n]上的最大值为2，则n+m= . 解析:根据题意并结合函数f(x)=|log 2x|的图象知，0<m<1<n ，所以0<m 2<m<1.根据函数图象易知，当x=m 2时函数f(x)取得最大值，所以f(m 2)=|log 2m 2|=2.又0<m<1，解得m=12.再结合f(m)=f(n)求得n=2，所以n+m=52.答案:52。

精选人教版高一数学必修1第24课时对数函数的性质及其应用(含解析)

，的图象可以看作是将函数y ＝log 2|2x |的图象向右平移[2，＋∞)上恒有|f (x )|>1，则实数a 的取值范围是<12或a >2解：(1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎨⎧2＋x >02－x >0，解得－2<x <2.∴函数y ＝f (x )的定义域为{x |－2<x <2}．(2)由(1)，可知函数y ＝f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，关于原点对称，对任意x ∈(－2,2)，有－x ∈(－2,2)． ∵f (－x )＝lg (2－x )＋lg (2＋x )＝lg (2＋x )＋lg (2－x )＝f (x )， ∴函数y ＝f (x )为偶函数．11．(13分)已知y ＝log a (2－a x )在[0,1]上是x 的减函数，求a 的取值范围．解：因为a >0且a ≠1.(1)当a >1时，函数t ＝2－a x >0是减函数，由y ＝log a (2－a x )在[0,1]上是关于x 的减函数，知y ＝log a t 是增函数，∴a >1. 由x ∈[0,1]时，2－a x ≥2－a >0，得a <2. ∴1<a <2.(2)当0<a <1时，函数t ＝2－a x >0是增函数，由y ＝log a (2－a x )在[0,1]上是关于x 的减函数，知y ＝log a t 是减函数，∴0<a <1，由x ∈[0,1]时，2－a x ≥2－1>0. ∴0<a <1.综上，0<a <1或1<a <2.能力提升12．(5分)设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1·x 2·…·x 2013)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22013)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 答案：C解析：∵f (x )＝log a x ，f (x 1·x 2·…·x 2013)＝8，∴由对数的运算性质，得f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22013)＝f (x 21·x 22·…·x 22013)＝f [(x 1·x 2·…·x 2013)2]＝log a (x 1·x 2·…·x 2013)2＝2log a (x 1·x 2·…·x 2013)＝2×8＝16.13．(15分)如图所示，在函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1，x ≥1)的图象上有A ，B ，C 三点，它们的横坐标分别是t ，t ＋2，t ＋4.(1)若△ABC 的面积为S ，求S ＝f (t )； (2)判断S ＝f (t )的单调性； (3)求S ＝f (t )的最大值．(t ，log a t )，B (t ＋2，log ＋2)|－(|log a t |＋|log a 2log a (t ＋2)＋log a t ＋log a (log a t t ＋t ＋2.log a t t ＋t ＋2＝log －t ＋2]．当t ≥1时，(t 单调递增，4t ＋2单调递减，t ＋2单调递增．∵0＜a ＜1，∴t )＝log a [1－4t ＋2]为递减函数．(3)∵t ≥1，∴≥9,1－t ＋2≥5，∵S ＝f (t )是减函数，∴函数有最大值5。

人教版高中数学必修一表格式学案：《对数函数及其性质》

2.2.2 对数函数及其性质（二）（一）教学目标1．知识技能（1）掌握对数函数的单调性.（2）会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.2．过程与方法（1）通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.（2）培养学生的数学应用的意识.3．情感、态度与价值观（1）用联系的观点分析、解决问题.（2）认识事物之间的相互转化.（二）教学重点、难点1、重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小.2、难点：不同底数的对数比较大小.（三）教学方法启发式教学a>和利用对数函数单调性比较同底对数的大小，而对数函数的单调性对底数分1<<两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题目中a01含有字母，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论.对于不同底数的对数大小的比较，应插入中间数，转化为两组同底数的对数大小的比较，从而使问题得以解决.（四）教学过程.；堂评价，师生共同讨论完成第四题）判断函数）上是增函数；）上是减函数还是增函数？≠1.；.备选例题例1 比较下列各组数的大小：（1）log0.7 1.3和log0.71.8；（2）log35和log64.（3）(lg n)1.7和(lg n)2 (n＞1)；【解析】（1）对数函数y= log0.7x在(0, +∞)内是减函数. 因为1.3＜1.8，所以log0.71.3＞log0.71.8.（2）log35和log64的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解.因为log35＞log33 = 1 = log66＞log64，所以log35＞log64.（3）把lg n看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lg n讨论.若1＞ln n＞0，即1＜n＜10时，y = (lg n)x在R上是减函数，所以(lg n)1.7＞(lg n)2；若lg n＞1，即n＞10时，y = (lg n)2在R上是增函数，所以(lg n)1.7＜(lg n)2.若ln n = 1，即n = 10时，(ln n)1.7 = (ln n)2.【小结】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较. 在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a＞1时是增函数，0＜a＜1时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是–1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练.例2 求证：函数f (x ) =xx-1log 2在(0, 1)上是增函数. 【分析】根据函数单调性定义来证明. 【解析】设0＜x 1＜x 2＜1，则f (x 2) – f (x 1) = 212221log log 11x xx x --- 21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅ ∵0＜x 1＜x 2＜1， ∴12x x ＞1，2111x x --＞1.则2112211log x x x x --⋅＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数.。

人教A版高中数学必修一全册导学案对数函数及其性质(3)

课题：2.2.2 对数函数及其性质（3）一、三维目标：知识与技能：能够解决对数函数形式的复合函数单调性及最值问题，并可以利用图像来解决相关问题。

过程与方法：① 通过师生之间，学生与学生之间的合作交流，使学生学会与别人共同学习。

② 通过探究对数函数形式的复合函数单调性，感受复合思想，培养学生数学的分析问题的意识。

情感态度与价值观：通过学生的相互交流来加深理解对数函数形式的复合函数的理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听，接受别人建议的优良品质。

二、学习重、难点：重点：准确描绘出对数函数形式的复合函数单调性。

难点：依据图像来进行对相关问题的处理。

三、学法指导：对比指数函数相关性质。

四、知识链接：B1.函数y =的定义域为B2.若log 2log 20m n >>时，则m ，n 的大小关系是五、学习过程：B 例1、讨论函数2()log (321)a f x x x =--的单调性。

思路分析:本题为复合函数,要注意求解定义域和对a 进行讨论。

解:由23210x x -->得函数的定义域为113x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭或x<- 则当a>1时，若x>1,∵u=2321x x --为增函数， ∴2()log (321)a f x x x =--为增函数。

若x<13-,∵u=2321x x --为减函数， ∴2()log (321)a f x x x =--为减函数。

当1>a>0时，若x>1,∵u=2321x x --为增函数， ∴2()log (321)a f x x x =--为减函数。

若x<13-,∵u=2321x x --为减函数， ∴2()log (321)a f x x x =--为增函数。

B 变式训练1:求以下函数的单调区间：（1）)32x x (log y 22+-= （2）23x log y = （3）212y log (x x)=-C 总结 )x (f log y a = 单调区间的求法：C 例2、已知[]3()2log ,1,9,f x x x =+∈求()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值，及此时x 的值思路分析：要求()()22y f x f x=+⎡⎤⎣⎦的最大值，要做两件事，一是求表达式，二是求定义域。

人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：4.4.2 第1课时对数函数的图象和性质学案(一)

4．4.2 对数函数的图象和性质第1课时对数函数的图象和性质(一)学习目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.4.了解反函数的概念及它们的图象特点．知识点一对数函数的图象和性质对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表y＝log a x (a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈『1，＋∞)时，y∈『0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈『1，＋∞)时，y∈(－∞，0』对称性函数y＝log a x与y＝1logax的图象关于x轴对称思考对数函数图象的“上升”或“下降”与谁有关？『答案』底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．知识点二反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换．1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝3x 的反函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．『答案』－log 32『解析』 y ＝f (x )＝log 3x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝log 312＝－log 32. 2．函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是________．(填序号)『答案』 ③『解析』由底数大于1可排除①，②，y ＝lg(x ＋1)可看作是y ＝lg x 的图象向左平移1个单位长度(或令x ＝0得y ＝0，而且函数为增函数)．3．已知函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是增函数，则函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”) 『答案』增『解析』因为函数y ＝a x 在R 上是增函数，所以a >1，所以y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数．4．函数y ＝log a x ＋1(a >0，且a ≠1)的图象过定点________．『答案』 (1,1)『解析』因为对数函数y ＝log a x 的图象过定点(1,0)，所以函数y ＝log a x ＋1的图象过定点(1,1)．一、对数函数的图象及应用例1 (1)如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0<a b >1D ．b >a >1 『答案』 B『解析』作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知00，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ＝________，c ＝________.『答案』－2 2『解析』 ∵函数的图象恒过定点(3,2)， ∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c ，得2＝log a (3＋b )＋c .又当a >0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立， ∴c ＝2,3＋b ＝1，∴b ＝－2，c ＝2.(3)已知f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)满足f (－5)＝1，试画出函数f (x )的图象．解因为f (－5)＝1，所以log a 5＝1，即a ＝5，故f (x )＝log 5|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x >0，log 5(－x )，x <0.所以函数y ＝log 5|x |的图象如图所示．(教师) 延伸探究1．在本例中，若条件不变，试画出函数g (x )＝log a |x －1|的图象．解因为f (x )＝log 5|x |，所以g (x )＝log 5|x －1|，如图，g (x )的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到的．2．在本例中，若条件不变，试画出函数h (x )＝|log a x |的图象．解因为a ＝5，所以h (x )＝|log 5x |.h (x )的图象如图所示．反思感悟对数函数图象的变换方法(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．跟踪训练1(1)函数f(x)＝log a|x|＋1(a>1)的图象大致为()『答案』 C『解析』∵函数f(x)＝log a|x|＋1(a>1)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，当x>0时，f(x)＝log a x＋1是增函数；当x<0时，f(x)＝log a(－x)＋1是减函数，又∵图象过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知选C.(2)画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间．解函数y＝|log2(x＋1)|的图象如图所示．由图象知，其值域为『0，＋∞)，单调减区间是(－1,0』，单调增区间是(0，＋∞)．二、比较大小例2(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是()A．b<a<c B．a<b<cC．c<b<a D．b<c<a『答案』 D『解析』因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以b<c<a.(2)比较下列各组中两个值的大小：①log31.9，log32；②log23，log0.32；③log aπ，log a3.14(a>0，a≠1)；④log50.4，log60.4.解①因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9<log32.②因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32.③当a>1时，函数y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，则有log aπ>log a3.14；当0<a<1时，函数y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，则有log aπ<log a3.14.综上所得，当a>1时，log aπ>log a3.14；当0<a<1时，log aπ<log a3.14.④在同一直角坐标系中，作出y＝log5x，y＝log6x的图象，再作出直线x＝0.4(图略)，观察图象可得log50.4<log60.4.反思感悟比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．跟踪训练2 比较大小：(1)log a 5.1，log a 5.9(a >0，且a ≠1)； (2)log 3π，log 23，log 3 2.解 (1)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又5.1<5.9，所以log a 5.1<log a 5.9；当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，又5.1<5.9，所以log a 5.1>log a 5.9. 综上，当a >1时，log a 5.1<log a 5.9；当0<a <1时，log a 5.1>log a 5.9. (2)∵log 23＝12log 23，又1<log 23<2，∴12<log 23<1.又log 32＝12log 32<12，log 3π>1，∴log 3π>log 23>log 3 2.1．函数y ＝log a (x －1)(0<a <1)的图象大致是( )『答案』 A『解析』 ∵0<a <1，∴y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，故排除C ，D ；又函数y ＝log a (x －1)的图象是由y ＝log a x 的图象向右平移一个单位长度得到的，故A 正确． 2．若a ＝20.2，b ＝log 43.2，c ＝log 20.5，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．b >c >a『答案』 A『解析』 ∵a ＝20.2>1>b ＝log 43.2>0>c ＝－1，∴a >b >c .3．下列式子中成立的是( ) A ．log 0.44<log 0.46 B ．1.013.4>1.013.5 C ．3.50.3<3.40.3 D ．log 76<log 67『答案』 D『解析』因为y ＝log 0.4x 为减函数，故log 0.44>log 0.46，故A 错；因为y ＝1.01x 为增函数，所以1.013.4<1.013.5，故B 错；由幂函数的性质知，3.50.3>3.40.3，故C 错，log 76<1<log 67，D 正确．4．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫32，23，则a ＝________.『答案』2『解析』因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，23在y ＝f (x )的图象上，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32在y ＝a x 的图象上，则有32＝23a ，所以a 2＝2，又因为a >0，a ＝ 2.5．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间『a,2a 』上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.『答案』 4『解析』 ∵a >1，∴f (x )＝log a x 在『a,2a 』上递增， ∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴12a ＝2，∴a ＝4.1．知识清单：(1)对数函数的图象及性质．(2)利用对数函数的图象及性质比较大小． 2．方法归纳：图象变换、数形结合法． 3．常见误区：作对数函数图象易忽视底数a >1与0<a <1两种情况．。

人教版高中数学必修一学案：《对数函数》(含答案)

2.2 对数函数解读对数概念及运算对数是中学数学中重要的内容之一，理解对数的定义，掌握对数的运算性质是学习对数的重点内容．现梳理这部分知识，供同学们参考．一、对数的概念对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log a N ＝N .例1 计算：log 22＋log 51＋log 3127＋9log 32. 分析根据定义，再结合对数两个恒等式即可求值．解原式＝1＋0＋log 33－3＋(3log 32)2＝1－3＋4＝2.点评解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数．二、对数的运算法则常用的对数运算法则有：对于M >0，N >0.(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝n log a M .例2 计算：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18. 分析运用对数的运算法则求解．解由已知，得原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.点评对数运算法则是进行对数运算的根本保证，同学们必须能从正反两方面熟练应用．三、对数换底公式根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式：log a b ＝log c b log c a(a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，b >0)．由对数换底公式又可得到两个重要结论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log an b m ＝m nlog a b . 例3 计算：(log 25＋log 4125)×log 32log 35. 分析在利用换底公式进行化简求值时，一般是根据题中对数式的特点选择适当的底数进行换底，也可选择以10为底进行换底．解原式＝(log 25＋32log 25)×log 322log 35＝52log 25×12log 52＝54. 点评对数的换底公式是“同底化”的有力工具，同学们要牢记．通过上面讲解，同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互化的依据，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径．对数的运算性质，同学们要熟练掌握，在应用过程中避免错误，将公式由“正用”“逆用”逐步达到“活用”的境界．数换底公式的证明及应用设a >0，c >0且a ≠1，c ≠1，N >0，则有log a N ＝log c N log c a，这个公式称为对数的换底公式，它在对数的运算中有着重要的应用，课本中没有给出证明，现证明如下：证明记p ＝log a N ，则a p ＝N .**式两边同时取以c 为底的对数(c >0且c ≠1)得log c a p ＝log c N ，即p log c a ＝log c N .所以p ＝log c N log c a ，即log a N ＝log c N log c a. 推论1：log a b ·log b a ＝1.推论2：log an b m ＝m nlog a b (a >0且a ≠1，b >0)．例4 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645的值；(2)求log 23·log 34·log 45·…·log 6364的值．解 (1)因为log 189＝a,18b ＝5，所以lg 9lg 18＝a . 所以lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.所以log 3645＝lg (5×9)lg 1829＝lg 5＋lg 92lg 18－lg 9 ＝b lg 18＋a lg 182lg 18－a lg 18＝b ＋a 2－a. (2)log 23·log 34·log 45·…·log 6364＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 5lg 4·…·lg 64lg 63＝lg 64lg 2＝6lg 2lg 2＝6. 点评对数运算法则中，对数式都是同底的，凡不同底的对数运算，都需要用换底公式将底统一，一般统一成常用对数．例5 已知12log 8a ＋log 4b ＝52，log 8b ＋log 4a 2＝7，求ab 的值．解由已知可得⎩⎨⎧16log 2a ＋12log 2b ＝52，13log 2b ＋log 2a ＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧ log 2a ＋3log 2b ＝15，3log 2a ＋log 2b ＝21.解得⎩⎪⎨⎪⎧log 2a ＝6，log 2b ＝3. 所以a ＝26，b ＝23.故ab ＝26·23＝512.点评发现底数“4”，“8”与“2”的关系，将底数统一成“2”，解决问题比较简单．此外还有下面的关系式：log N M ＝log a M log a N ＝log b M log b N； log a M ·log b N ＝log a N ·log b M ；log a M log b M ＝log a N log b N＝log a b ；N log a M ＝M log a N .数函数图象及性质的简单应用对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题思路、获得问题结果的重要途径．能准确地作出对数函数的图象是利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提，而数形结合是研究与对数函数的有关问题的常用思想．一、求函数的单调区间例6 画出函数y ＝log 2x 2的图象，并根据图象指出它的单调区间．解当x ≠0时，函数y ＝log 2x 2满足f (－x )＝log 2(－x )2＝log 2x 2＝f (x )，所以y ＝log 2x 2是偶函数，它的图象关于y 轴对称．当x >0时，y ＝log 2x 2＝2log 2x ，因此先画出y ＝2log 2x (x >0)的图象为C 1，再作出C 1关于y 轴对称的图象C 2，C 1与C 2构成函数y ＝log 2x 2的图象，如图所示．由图象可以知道函数y ＝log 2x 2的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是(0，＋∞)．点评作图象时一定要考虑定义域，否则会导致求出错误的单调区间，同时在确定单调区间时，要注意增减区间的分界点，特别要注意区间的开与闭问题．二、利用图象求参数的值例7 若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于( ) A.13 B. 2 C.22 D ．2 解析当a >1时，f (x )＝log a (x ＋1)的图象如图所示．f (x )在[0,1]上是单调增函数，且值域为[0,1]，所以f (1)＝1，即log a (1＋1)＝1，所以a ＝2，当0<a <1时，其图象与题意不符，故a 的值为2，故选D.答案 D点评 (1)当对数的底数不确定时要注意讨论；(2)注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域)．三、利用图象比较实数的大小例8 已知log m 2<log n 2，m ，n >1，试确定实数m 和n 的大小关系．解在同一直角坐标系中作出函数y ＝log m x 与y ＝log n x 的图象如图所示，再作x ＝2的直线，可得m >n .点评不同底的对数函数图象的规律是：(1)底都大于1时，底大图低(即在x >1的部分底越大图象就越接近x 轴)；(2)底都小于1时，底大图高(即在0<x <1的部分底越大图象就越远离x 轴)．四、利用图象判断方程根的个数例9 已知关于x 的方程|log 3x |＝a ，讨论a 的值来确定方程根的个数．解因为y ＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ， x >1，－log 3x ， 0<x <1，在同一直角坐标系中作出函数与y ＝a 的图象，如图可知：(1)当a <0时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0；(2)当a ＝0时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根有1个；(3)当a >0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根有2个．点评利用图象判断方程根的个数一般都是针对不能将根求出的题型，与利用图象解不等式一样，需要先将方程等价转化为两端对应的函数为基本函数(最好一端为一次函数)，再作图象．若含有参数，要注意对参数的讨论，参数的取值不同，函数图象的位置也就不同，也就会引起根的个数不同．三类对数大小的比较一、底相同，真数不同例10 比较log a 2与log a 33的大小．分析底数相同，都是a ，可借助于函数y ＝log a x 的单调性比较大小．解由(2)6＝8<(33)6＝9，得2<33.当a >1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，故log a 2<log a 33；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，故log a 2>log a 33.点评本题需对底数a 的范围进行分类讨论，以确定以a 为底的对数函数的单调性，从而应用函数y ＝log a x 的单调性比较出两者的大小．二、底不同，真数相同例11 比较log 0.13与log 0.53的大小．分析底数不同但真数相同，可在同一坐标系中画出函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 的图象，借助于图象来比较大小；或应用换底公式将其转化为同底的对数大小问题．解方法一在同一坐标系中作出函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 的图象，如右图．在区间(1，＋∞)上函数y ＝log 0.1x 的图象在函数y ＝log 0.5x 图象的上方，故有log 0.13>log 0.53.方法二 log 0.13＝1log 30.1，log 0.53＝1log 30.5. 因为3>1，故y ＝log 3x 是增函数，所以log 30.1<log 30.5<0.所以1log 30.1>1log 30.5. 即log 0.13>log 0.53.方法三因为函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 在区间(0，＋∞)上都是减函数，故log 0.13>log 0.110＝－1，log 0.53<log 0.52＝－1，所以log 0.13>log 0.53.点评方法一借助于对数函数的图象；方法二应用换底公式将问题转化为比较两个同底数的对数大小；方法三借助于中间值来传递大小关系．三、底数、真数均不同例12 比较log 323与log 565的大小．分析底数、真数均不相同，可通过考察两者的范围来确定中间值，进而比较大小．解因为函数y ＝log 3x 与函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上都是增函数，故log 323<log 31＝0，log 565>log 51＝0，所以log 323<log 565. 点评当底数、真数均不相同时，可找中间量(如1或0等)传递大小关系，从而比较出大小．综上所述，比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论，如例10；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小，如例11；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较，如例12.学对数给你提个醒对数函数是函数的重要内容之一，由于同学们对概念、定义域、值域、图象等知识点掌握得不够好，经常出现解题错误，现将这些错误进行归纳并举例说明．一、忽视0没有对数例13 求函数y ＝log 3(1＋x )2的定义域．错解对于任意的实数x ，都有(1＋x )2≥0，所以原函数的定义域为R .剖析只考虑到负数没有对数．事实上，由对数的定义可知，零和负数都没有对数．正解 {x |x ≠－1}二、忽视1的对数为0例14 求函数y ＝1log 2(2x ＋3)的定义域．错解由2x ＋3>0，得x >－32，所以定义域为{x |x >－32}．剖析当2x ＋3＝1时，log 21＝0，分母为0没有意义，上述解法忽视了这一点．正解 {x |x >－32且x ≠－1}三、忽视底数的取值范围例15 已知log (2x ＋5)(x 2＋x －1)＝1，则x 的值是( )A ．－4B ．－2或3C ．3D ．－4或5错解由2x ＋5＝x 2＋x －1，化简得x 2－x －6＝0，解得x ＝－2或x ＝3.故选B.剖析忽视了底数有意义的条件：2x ＋5>0且2x ＋5≠1.当x ＝－2时，2x ＋5＝1，应舍去，只能取x ＝3.正解 C四、忽视真数大于零例16 已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2x y的值．错解因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y ，即x y ＝1或x y ＝4，所以log 2x y ＝0，或log 2x y＝4. 剖析错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件，x >0，y >0，x －2y >0，所以x >2y >0，所以x ＝y 不成立．正解因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y ，因为x >0，y >0，x －2y >0，所以x ＝y 应舍去，所以x ＝4y ，即x y＝4，所以log 2x y＝4. 五、对数运算性质混淆例17 下列运算：(1)log 28log 24＝log 284； (2)log 28＝3log 22；(3)log 2(8－4)＝log 28－log 24；(4)log 243·log 23＝log 2(43×3)．其中正确的有( ) A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个错解 A剖析 (1)log 28log 24真数8与4不能相除；(3)中log 2(8－4)不能把log 乘进去运算，没有这种运算的，运算log 284＝log 28－log 24才是对的；(4)错把log 提出来运算了，也没有这种运算，正确的只有(2)．正解 D六、忽视对含参底数的讨论例18 已知函数y ＝log a x (2≤x ≤4)的最大值比最小值大1，求a 的值．错解由题意得log a 4－log a 2＝log a 2＝1，所以a ＝2.剖析对数函数的底数含有参数a ，错在没有讨论a 与1的大小关系而直接按a >1解题．正解 (1)若a >1，函数y ＝log a x (2≤x ≤4)为增函数，由题意得log a 4－log a 2＝log a 2＝1，所以a ＝2，又2>1，符合题意．(2)若0<a <1，函数y ＝log a x (2≤x ≤4)为减函数，由题意得log a 2－log a 4＝log a 12＝1，所以a ＝12，又0<12<1，符合题意，综上可知a ＝2或a ＝12.巧借对数函数图象解题数形结合思想，就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合．通过对图形的认识、数形转化，来提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易、化抽象为具体．它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．一、利用数形结合判断方程解的范围方程解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化．例1 方程lg x＋x＝3的解所在区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)答案 C解在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝lg x与y＝－x＋3的图象(如图所示)．它们的交点横坐标x0显然在区间(1,3)内，由此可排除选项A、D.实际上这是要比较x0与2的大小．当x0＝2时，lg x0＝lg 2，3－x0＝1.由于lg 2<1，因此x0>2，从而判定x0∈(2,3)．点评本题是通过构造函数用数形结合法求方程lg x＋x＝3的解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．二、利用数形结合求解的个数例2 已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1)时，f(x)＝x，则方程f(x)＝lg x的根的个数是________．解析构造函数g(x)＝lg x，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，易知有4个根．答案 4点评本题学生极易填3，其原因是学生作图不标准，尤其是在作对数函数的图象时没有考虑到当x＝10时，y＝1.因此，在利用数形结合法解决问题时，要注意作图的准确性．三、利用数形结合解不等式例3 使log2x<1－x成立的x的取值范围是______________________________________．解析构造函数f(x)＝log2x，g(x)＝1－x，在同一坐标系中作出两者的图象，如图所示，直接从图象中观察得到x∈(0,1)．答案(0,1)点评用数形结合的方法去分析解决问题，除了会读图外，还要会画图，绘制图形既是利用数形结合方法的需要，也是培养我们动手能力的需要．数函数常见题型归纳一、考查对数函数的定义例4 已知函数f (x )为对数函数，且满足f (3＋1)＋f (3－1)＝1，求f (5＋1)＋f (5－1)的值．解设对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，由已知得log a (3＋1)＋log a (3－1)＝1，即log a [(3＋1)×(3－1)]＝1⇒a ＝2.所以f (x )＝log 2x (x >0)．从而得f (5＋1)＋f (5－1)＝log 2[(5＋1)×(5－1)]＝2.二、考查对数的运算性质例5 log 89log 23的值是( ) A.23 B ．1 C.32D ．2 解析原式＝log 29log 28·1log 23＝23·log 23log 22·1log 23＝23. 答案 A三、考查指数式与对数式的互化例6 已知log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，求log abc x 的值．解由已知，得a 2＝x ，b 3＝x ，c 6＝x ，所以a ＝x 12，b ＝x 13，c ＝x 16. 于是，有abc ＝x 12＋13＋16＝x 1，所以x ＝abc ，则log abc x ＝1.四、考查对数函数定义域和值域(最值)例7 (江西高考)若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎦⎤－12，0 C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 答案 A解析要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)>0＝log 121， ∴0<2x ＋1<1，∴－12<x <0. 例8 已知函数f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，则函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值为________，最小值为________．解析由已知，得函数g (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9⇒1≤x ≤3.且g (x )＝f 2(x )＋f (x 2) ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6.则当log 3x ＝0，即x ＝1时，g (x )有最小值g (1)＝6；当log 3x ＝1，即x ＝3时，g (x )有最大值g (3)＝13.答案 13 6五、考查单调性例9 若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 为( )A.24B.22C.14D.12解析由于0<a <1，所以f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上递减，在区间[a,2a ]上的最大值为f (a )，最小值为f (2a )，则f (a )＝3f (2a )，即log a a ＝3log a (2a )⇒a ＝24. 答案 A 六、考查对数函数的图象例10 若不等式x 2－log a x <0在(0，12)内恒成立，则a 的取值范围是________．解析由已知，不等式可化为x 2<log a x .所以不等式x 2<log a x 在(0，12)内恒成立，可转化为当x ∈(0，12)时，函数y ＝x 2的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，如图所示．答案 [116，1) 点评不等式x 2<log a x 左边是一个二次函数，右边是一个对数函数，不可能直接求解，充分发挥图象的作用，则可迅速达到求解目的．巧比对数大小一、中间值法若两对数底数不相同且真数也不相同时，比较其大小通常运用中间值作媒介进行过渡．理论依据：若A >C ，C >B ，则A >B .例11 比较大小：log 932，log 8 3. 解由于log 932<log 93＝14＝log 822<log 83，所以log 932<log 8 3. 点评以14为纽带，建立起放缩的桥梁，解题时常通过观察确定中间值的选取．二、比较法比较法是比较对数大小的常用方法，通常有作差和作商两种策略．理论依据：(1)作差比较：若A －B >0，则A >B ；(2)作商比较：若A ，B >0，且A B>1，则A >B . 例12 比较大小：(1)log 47，log 1221；(2)log 1.10.9，log 0.91.1.解 (1)log 47－log 1221＝(log 47－1)－(log 1221－1)＝log 474－log 1274＝1log 744－1log 7412，由于0<log 744<log 7412，所以1log 744>1log 7412，即log 47>log 1221. (2)由于log 1.10.9，log 0.91.1都小于零，所以|log 1.10.9||log 0.91.1|＝(log 1.10.9)2＝(－log 1.10.9)2 ＝(log 1.1109)2>(log 1.11110)2＝1，故|log 1.10.9|>|log 0.91.1|，所以log 1.10.9<log 0.91.1.点评将本例(1)推广延伸为：若1<A 0，则log A B >log AC (BC )，进而可比较形如此类对数的大小．三、减数法将对数值的大概范围确定后，两边同减去一个数，通过局部比较大小．理论依据：若A －C >B －C ，则A >B .例13 比较大小：log n ＋2(n ＋1)，log n ＋1n (n >1)．解因为log n ＋2(n ＋1)－1＝log n ＋2n ＋1n ＋2>log n ＋2n n ＋1>log n ＋1n n ＋1＝log n ＋1n －1.所以log n ＋2(n ＋1)>log n ＋1n .点评将本例推广延伸为：若1<A 0，则log A ＋C (B ＋C )>log A B ，进而可比较形如此类对数的大小．四、析整取微法将对数的整数部分分别析取出来，通过比较相应小数部分的大小使得问题获解．理论依据：若A ＝log a M ＝k ＋x ，B ＝log b N ＝k ＋y ，且x >y ，则A >B .例14 比较大小：log 123，log 138. 解令log 123＝－2＋x ，log 138＝－2＋y ，于是2－(－2＋x )＝3,3－(－2＋y )＝8，则2－x －3－y ＝34－89<0，故2－x <3－y . 两边同时取对数，化简得x lg 2>y lg 3，则x y >lg 3lg 2>1，即x >y ，故log 123>log 138. 点评这种方法便于操作，容易掌握，并且所涉及的知识又都是通性通法，有利于“回归课本，夯实基础”，此法值得深思．例15 对于函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在一常数c ，对任意x 1∈D ，存在惟一的x 2∈D ，使f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .已知f (x )＝lg x ，x ∈[10,100]，则函数f (x )＝lg x 在[10,100]上的均值为( )A.32B.34C.110D ．10 分析该题通过定义均值的方式命题，以定义给出题目信息，是当前的一种命题趋势．其本质是考查关于对数和指数的运算性质和对定义的理解与转化．解析首先从均值公式可得lg (x 1x 2)＝2c ，所以x 1x 2＝102c ＝100c .因为x 1，x 2∈[10,100]，所以x 1x 2∈[100,10 000]．所以100≤100c ≤ 10 000.所以1≤c ≤2.从选项看可知成为均值的常数可为32.故选A.答案 A例16 函数y ＝|log 2x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值为( )A ．3 B.34 C ．2 D.23分析对函数的性质的分析研究一直是高中数学的重点，尤其是二次函数、指数函数和对数函数等重点函数的形态研究．本题正是以函数y ＝log 2x 为基础而编制，从定性分析和定量的计算中刻划a ，b 的关系．结合函数的图象(图象是函数性质的立体显示)数形结合易于寻找、确定二者的关系．解析画出函数图象如图所示．由log 2a ＝－2得a ＝14.由log 2b ＝2得b ＝4.数形结合知a ∈[14，1]，b ∈[1,4]．考虑函数定义域，满足值域[0,2]的取值情况可知，当b ＝1，a ＝14时，b －a 的最小值为1－14＝34.故选B.答案 B解题要学会反思解题中的反思是完善解题思路的有效方法，面对一道较为综合的题，寻找解题思路时，想一步到位，往往不太现实；边解边反思，逐步产生完善、正确的解题思路，却是可行的，请看：题目：已知函数f (x )＝log m x －3x ＋3，试问：是否存在正数α，β，使f (x )在[α，β]上的值域为[log m (β－4)，log m (α－4)]？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．甲：在[α，β]上的值域为[log m (β－4)，log m (α－4)]，也就是⎩⎪⎨⎪⎧log mα－3α＋3＝log m (β－4)，log mβ－3β＋3＝log m(α－4)⇒⎩⎪⎨⎪⎧αβ－5α＋3β＝9，αβ－5β＋3α＝9⇒α＝β，与α<β矛盾，故不存在．乙：你的解答不全面，你的求解建立在一个条件的基础上，就是函数f (x )是增函数，而题目并没有说明这个函数是增函数呀！丙：没错，应该对m 进行讨论．设0<α≤x 1<x 2≤β，由于x 1－3x 1＋3－x 2－3x 2＋3＝6(x 1－x 2)(x 1＋3)(x 2＋3)<0，那么0<x 1－3x 1＋3<x 2－3x 2＋3.讨论：(1)若0<m <1，则log m x 1－3x 1＋3>log m x 2－3x 2＋3，即f (x 1)>f (x 2)，得f (x )为减函数．(2)若m >1，则log m x 1－3x 1＋3<log m x 2－3x 2＋3，即f (x 1)<f (x 2)，得f (x )为增函数．若m 存在，当0<m <1时，则 ⎩⎪⎨⎪⎧log mβ－3β＋3＝log m(β－4)，log mα－3α＋3＝log m(α－4)⇒⎩⎪⎨⎪⎧β2－2β－9＝0，α2－2α－9＝0. 显然α，β是方程x 2－2x －9＝0的两根，由于此方程的两根中一根为正，另一根为负，与0<α<β不符，因此m 不存在；当m >1时，就是甲的解题过程，同样满足条件的α，β不存在．老师：乙和丙实质上是对甲的解法做了个反思．通过你们的讨论可以看出，反思的作用相当大，它可以使思路逐步完善，最终形成完美的解题过程．对数函数高考考点例析对数函数是高中数学函数知识的重要组成部分，关于对数函数的考查在高考中一直占有重要的地位．下面我们针对近几年高考中考查对数函数知识的几个着眼点作一一剖析，希望对大家的学习有所帮助．考点一判断图象交点个数1．(湖南高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1，x 2－4x ＋3， x ＞1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析作出函数f (x )与g (x )的图象，如图所示，由图象可知：两函数图象的交点有3个．答案 C考点二函数单调性的考查2．(江苏高考)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，＋∞考点三求变量范围3．(辽宁高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ， x ≤1，1－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析当x ≤1时，由21－x ≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12，即x >1，所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．答案 D考点四比较大小(一)图象法4．(天津高考)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c＝log 2c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 解析由2a>0，∴log 12a >0，∴0<a <1.同理01， ∴c 最大在同一坐标系中作出y ＝2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝log 12x 的图象如图所示，观察得a <b .∴a <b <c . 答案 A (二)排除法当我们面临的问题不易从正面入手直接挑选出正确的答案或解题过程繁琐时，可以从反面入手，因为选择题的正确答案已在选项中列出，从而逐一考虑所有选项，排除其中不正确的，则剩下的就是正确的答案．5．(全国高考)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 解析首先比较a ，b ，即比较3ln 2,2ln 3的大小， ∵3ln 2＝ln 8＜ln 9＝2ln 3， ∴a ＜b .故排除B 、D. 同理可得c ＜a . 答案 C (三)媒介法对于直接比较困难时，常插入媒介，以此为桥梁进行比较，常插入0或1.6．(山东高考)下列大小关系正确的是( ) A ．0.43>30.4<log 40.3 B ．0.43<log 40.3<30.4 C ．log 40.3<0.43<30.4 D ．log 40.3<30.4<0.43 解析分析知0<0.43<1,30.4>30＝1， log 40.3<log 41＝0，故log 40.3<0.43<30.4.故选C. 答案 C (四)特值法对于有些有关对数不等式的选择题，通过取一些符合条件的特殊值验证，往往也能简便求解．7．(青岛模拟)已知0<x <y <a <1，则有( ) A ．log a (xy )<0 B ．0<log a (xy )<1 C ．1<log a (xy )<2 D ．log a (xy )>2解析取x ＝18，y ＝14，a ＝12，代入log a (xy )检验即可得D.答案 D。

人教A版高一数学必修一 2.2.1 对数的运算性质学案(有答案)

对数的运算性质（学案）一、学习目标1．理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)．二、自主学习教材整理1对数的运算性质阅读教材P 64至P 65“例3”以上部分，完成下列问题．对数的运算性质：如果a >0，且a ≠1，M>0，N >0，那么：(1)log a (M·N )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝nlog a M__(n ∈R )．教材整理2 换底公式阅读教材P 65至P 66“例5”以上部分，完成下列问题．对数换底公式：log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1，b >0，c>0，且c≠1)；特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．三、合作探究例1.求下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18; (2)2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2； (3)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72；(4)2log 32－log 3329＋log 38－52log 53. 【自主解答】(1)法一；原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二；原式＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝2lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3＋2lg 2＝2lg 2＋lg 34lg 2＋2lg 3＝12. (3)原式＝log 33343＋lg (25×4)＋2＝log 33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154. (4)原式＝2log 32－(log 325－log 39)＋3log 32－5log 532＝2log 32－5log 32＋2log 33＋3log 32－9＝2－9＝－7.归纳总结：1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．例2.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1个有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 【自主解答】设物质的原有量为a ，经过t 年，该物质的剩余量是原来的13，由题意可得a ·0.75t ＝13a ， ∴⎝⎛⎭⎫34t ＝13，两边取以10为底的对数得lg ⎝⎛⎭⎫34t ＝lg 13，∴t(lg 3－2lg 2)＝－lg 3， ∴t ＝－lg 3lg 3－2lg 2≈0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4(年)．归纳总结：解对数应用题的步骤例3. (1)已知log 1227＝a ，求log 616的值； (2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值.【自主解答】(1)由log 1227＝a ，得3lg 32lg 2＋lg 3＝a ，∴lg 2＝3－a 2a lg 3. ∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝43－a 3＋a . (2)法一；原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28·log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二；原式＝⎝⎛⎭⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝⎛⎭⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎫13lg 53lg 2⎝⎛⎭⎫3lg 2lg 5＝13.法三原式＝(log 2153＋log 2252＋log 2351)·(log 512＋log 5222＋log 5323)＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝3×⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·log 52＝3×133＝13. 归纳总结：1．在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ·log b a ＝1，log a b ·log b c·log c d ＝log a d ，log a m b n ＝n mlog a b ，log a a n ＝n ，等，将会达到事半功倍的效果．四、学以致用1．求下列各式的值：(1)lg 25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25. 【解】(1)原式＝lg 25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg 25＋1－lg 25＝1.(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.2．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．【解】设9.0级地震所释放的能量为E 1,5.0级地震所释放的能量为E 2.由9.0＝23(lg E 1－11.4)，得lg E 1＝32×9.0＋11.4＝24.9.同理可得lg E 2＝32×5.0＋11.4＝18.9，从而lg E 1－lg E 2＝24.9－18.9＝6.故lg E 1－lg E 2＝lg E 1E 2＝6，则E 1E 2＝106＝1 000 000，即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1 000 000倍．3.求值：log 225·log 3116·log 519＝________. 【解析】原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2·－4lg 2lg 3·－2lg 3lg 5＝16. 【答案】16五、自主小测1．若a >0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy >0，则下列各式不恒成立的是()①log a x 2＝2log a x ；②log a x 2＝2log a |x |；③log a (xy )＝log a x ＋log a y ；④log a (xy )＝log a |x |＋log a |y |.A ．②④B ．①③C ．①④D ．②③ 2．lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于() A ．lg 2 B ．lg 3C ．lg 4D ．lg 5 3．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝________.(用m ，n 表示)4．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.5．已知log 189＝a ,18b ＝5，求log 3645.参考答案1.【解析】 ∵xy >0，∴①中，若x <0，则不成立；③中，若x <0，y <0也不成立，故选B .【答案】 B2.【解析】 lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝⎛⎭⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A .【答案】 A3.【解析】 log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n .【答案】 m ＋2n4.【解析】原式＝(lg 2)2＋lg 2·(1＋lg 5)＋2lg 5＝lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2.【答案】 25.【解】法一 ∵log 189＝a ,18b ＝5，即log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×5log 1818×2＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a . 法二 ∵log 189＝a ,18b ＝5，即log 185＝b .于是log 3645＝log 189×5log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a . 法三 ∵log 189＝a ,18b ＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg 9×5lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝alg 18＋b lg 182lg 18－alg 18＝a ＋b 2－a .。

【精品教学设计】高一数学人教A版必修一精品教案：《2.2.2对数函数 Word版含答案》教案

材料二：以与为例研究互为反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联系？
师：说明：
（1）互为反函数的两个函数是定义域、值域相互交换，对应法则互逆的两个函数；
（2）由反函数的概念可知“单调函数一定有反函数”；
（3）互为反函数的两个函数是描述同一变化过程中两个变量关系的不同数学模型．
师：引导学生探索研究材料二．
由对数函数的定义可知，对数函数是把指数函数中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画的图象时，也是把指数函数的对应值表里的和的数值对换，而得到对数函数的对应值表，如下：
表一．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
1
248…Fra bibliotek表二．
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
1
2
4
8
…
教学程序与环节设计：
教学过程与操作设计：
环节
呈现教学材料
师生互动设计
创
设
情
境
材料一：
当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：
（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？
（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？

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⑵设 y 1= log a x , y 2= log b x ,其中 a>1, b>1(或 0<a<1 , 0<b<1)，则当 x>1 时, ，即若a>b ，则y 1<y 2.当0<x<1时，"底大图高”，即若a>b ，则y 1>y 2. 自主学习@学习目标1. 掌握对数函数的概念、图象和性质.2 •能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质.®自学导引1. 对数函数的定义：一般地，我们把函数y = log a x （a>0,且1）叫做其中x 是自变量，函数的定义域是（0,+m）. 2.对数函数的图象与性质定义 y = log a x (a>0，且1)底数a>10<a<1yd 11对点讲练对数函数的图象规律方法（1）y = log a x （a>0，且a 丰1）图象无限地靠近于 y 轴，但永远不会与 C 2， C 3, 【例1】下图是对数函数y = log a x 的图象，已知a 值依次是（）C 4相应的 A.3 3 1 3、5 10a 值取3，3, 3, 10,则图象 C 1, 3C ・3、 3、 104 1 3B. 3、、、3 10 5 41 3 D 、 3、、310 5图象定义域值域单调性共点性函数值特点 x € x€ 对称性 + ^ )R在(0,+^ )上是减函数 _，即卩 x = 1 时，y = 0 ,x € (0,1)时，y € — x € [1 ,+s )时， y€ , 1 函数y = log a x 与y = log x 的图象关于 a在（0,+^ ）上是增函数图象过定点 ____（0,1）时，y € ______[1, +m）时， (0, 对称3•反函数对数函数y = log a x（a>0且a 丰1）和指数函数互为反函数.y 轴相交. “底大I低”⑵设y1= log a x, y2= log b x,其中a>1, b>1(或0<a<1 , 0<b<1)，则当x>1 时,，即若a>b，则y1<y2.当0<x<1时，"底大图高”，即若a>b，则y1>y2.(2)设 y 1= log a x , y 2= log b x ,其中 a>1, b>1(或 0<a<1 , 0<b<1)，则当 x>1 时，"底大图低”，即若a>b ，则ycy 2.当0<x<1时，“底大图高”，即若a>b ，则y 1>y 2.自主学习1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．1. 对数函数的定义：一般地，我们把函数y = log a x(a>0,且a * 1)叫做 _____________________其中x 是自变量，函数的定义域是 (0,+m).2. 对数函数的图象与性质定义 y = log a x (a>0，且 a * 1)底数a>10<a<1图象定义域(0,+^ )值域R单调性共点性在(0,+s )上是增函数在(0,+^ )上是减函数图象过定点，即x = 1时，y = 0x € (0,1)时，y € ______________________ ; x € (0,1)时，y € _____________x € [1 ,+s )时，x € [1 ,+s )时， y€ ____________________ y€ _______________________1函数y = log a x 与y = log x 的图象关于对称a3. 反函数对数函数y = log a x (a>0且a 丰1)和指数函数 _____________________________ 互为反函数.对点讲练对数函数的图象【例1】下图是对数函数y = log a x 的图象，已知 C 2， C 3， C 4 相应的 a 值依次是 ()函数值特点对称性 a 值取 3， 34， 35， 110，则图象 C 1，(2)设 y 1= log a x , y 2= log b x ,其中 a>1, b>1(或 0<a<1 , 0<b<1)，则当 x>1 时，"底大图低”，即若a>b ，则ycy 2.当0<x<1时，“底大图高”，即若a>b ，则y 1>y 2.规律方法 (1)y = lo g a x(a>0，且a 丰1)图象无限地靠近于 y 轴，但永远不会与 y 轴相交.A.4、3、 13、5、10B. 4、 1 、 33、10、54C.43、 3、10D.3、13 10、5(2)设 y 1= log a x , y 2= log b x ,其中 a>1, b>1(或 0<a<1 , 0<b<1)，则当 x>1 时，"底大图低”，即若a>b ，则ycy 2.当0<x<1时，“底大图高”，即若a>b ，则y 1>y 2.自主学习1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．1. 对数函数的定义：一般地，我们把函数y = log a x(a>0,且a * 1)叫做 _____________________其中x 是自变量，函数的定义域是 (0,+m).2. 对数函数的图象与性质定义 y = log a x (a>0，且 a * 1)底数a>10<a<1图象定义域(0,+^ )值域R单调性共点性在(0,+s )上是增函数在(0,+^ )上是减函数图象过定点，即x = 1时，y = 0x € (0,1)时，y € ______________________ ; x € (0,1)时，y € _____________x € [1 ,+s )时，x € [1 ,+s )时， y€ ____________________ y€ _______________________1函数y = log a x 与y = log x 的图象关于对称a3. 反函数对数函数y = log a x (a>0且a 丰1)和指数函数 _____________________________ 互为反函数.对点讲练对数函数的图象【例1】下图是对数函数y = log a x 的图象，已知 C 2， C 3， C 4 相应的 a 值依次是 ()函数值特点对称性 a 值取 3， 34， 35， 110，则图象 C 1，(2)设 y 1= log a x , y 2= log b x ,其中 a>1, b>1(或 0<a<1 , 0<b<1)，则当 x>1 时，"底大图低”，即若a>b ，则ycy 2.当0<x<1时，“底大图高”，即若a>b ，则y 1>y 2.规律方法 (1)y = lo g a x(a>0，且a 丰1)图象无限地靠近于 y 轴，但永远不会与 y 轴相交.A.4、3、 13、5、10B. 4、 1 、 33、10、54C.43、 3、10D.3、13 10、5(2)设 y 1= log a x , y 2= log b x ,其中 a>1, b>1(或 0<a<1 , 0<b<1)，则当 x>1 时，"底大图低”，即若a>b ，则ycy 2.当0<x<1时，“底大图高”，即若a>b ，则y 1>y 2.自主学习1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．1. 对数函数的定义：一般地，我们把函数y = log a x(a>0,且a * 1)叫做 _____________________其中x 是自变量，函数的定义域是 (0,+m).2. 对数函数的图象与性质定义 y = log a x (a>0，且 a * 1)底数a>10<a<1图象定义域(0,+^ )值域R单调性共点性在(0,+s )上是增函数在(0,+^ )上是减函数图象过定点，即x = 1时，y = 0x € (0,1)时，y € ______________________ ; x € (0,1)时，y € _____________x € [1 ,+s )时，x € [1 ,+s )时， y€ ____________________ y€ _______________________1函数y = log a x 与y = log x 的图象关于对称a3. 反函数对数函数y = log a x (a>0且a 丰1)和指数函数 _____________________________ 互为反函数.对点讲练对数函数的图象【例1】下图是对数函数y = log a x 的图象，已知 C 2， C 3， C 4 相应的 a 值依次是 ()函数值特点对称性 a 值取 3， 34， 35， 110，则图象 C 1，(2)设 y 1= log a x , y 2= log b x ,其中 a>1, b>1(或 0<a<1 , 0<b<1)，则当 x>1 时，"底大图低”，即若a>b ，则ycy 2.当0<x<1时，“底大图高”，即若a>b ，则y 1>y 2.规律方法 (1)y = lo g a x(a>0，且a 丰1)图象无限地靠近于 y 轴，但永远不会与 y 轴相交.A.4、3、 13、5、10B. 4、 1 、 33、10、54C.43、 3、10D.3、13 10、5(2)设 y 1= log a x , y 2= log b x ,其中 a>1, b>1(或 0<a<1 , 0<b<1)，则当 x>1 时，"底大图低”，即若a>b ，则ycy 2.当0<x<1时，“底大图高”，即若a>b ，则y 1>y 2.自主学习1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．1. 对数函数的定义：一般地，我们把函数y = log a x(a>0,且a * 1)叫做 _____________________其中x 是自变量，函数的定义域是 (0,+m).2. 对数函数的图象与性质定义 y = log a x (a>0，且 a * 1)底数a>10<a<1图象定义域(0,+^ )值域R单调性共点性在(0,+s )上是增函数在(0,+^ )上是减函数图象过定点，即x = 1时，y = 0x € (0,1)时，y € ______________________ ; x € (0,1)时，y € _____________x € [1 ,+s )时，x € [1 ,+s )时， y€ ____________________ y€ _______________________1函数y = log a x 与y = log x 的图象关于对称a3. 反函数对数函数y = log a x (a>0且a 丰1)和指数函数 _____________________________ 互为反函数.对点讲练对数函数的图象【例1】下图是对数函数y = log a x 的图象，已知 C 2， C 3， C 4 相应的 a 值依次是 ()函数值特点对称性 a 值取 3， 34， 35， 110，则图象 C 1，(2)设 y 1= log a x , y 2= log b x ,其中 a>1, b>1(或 0<a<1 , 0<b<1)，则当 x>1 时，"底大图低”，即若a>b ，则ycy 2.当0<x<1时，“底大图高”，即若a>b ，则y 1>y 2.规律方法 (1)y = lo g a x(a>0，且a 丰1)图象无限地靠近于 y 轴，但永远不会与 y 轴相交.A.4、3、 13、5、10B. 4、 1 、 33、10、54C.43、 3、10D.3、13 10、5(2)设 y 1= log a x , y 2= log b x ,其中 a>1, b>1(或 0<a<1 , 0<b<1)，则当 x>1 时，"底大图低”，即若a>b ，则ycy 2.当0<x<1时，“底大图高”，即若a>b ，则y 1>y 2.自主学习1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．1. 对数函数的定义：一般地，我们把函数y = log a x(a>0,且a * 1)叫做 _____________________其中x 是自变量，函数的定义域是 (0,+m).2. 对数函数的图象与性质定义 y = log a x (a>0，且 a * 1)底数a>10<a<1图象定义域(0,+^ )值域R单调性共点性在(0,+s )上是增函数在(0,+^ )上是减函数图象过定点，即x = 1时，y = 0x € (0,1)时，y € ______________________ ; x € (0,1)时，y € _____________x € [1 ,+s )时，x € [1 ,+s )时， y€ ____________________ y€ _______________________1函数y = log a x 与y = log x 的图象关于对称a3. 反函数对数函数y = log a x (a>0且a 丰1)和指数函数 _____________________________ 互为反函数.对点讲练对数函数的图象【例1】下图是对数函数y = log a x 的图象，已知 C 2， C 3， C 4 相应的 a 值依次是 ()函数值特点对称性 a 值取 3， 34， 35， 110，则图象 C 1，(2)设 y 1= log a x , y 2= log b x ,其中 a>1, b>1(或 0<a<1 , 0<b<1)，则当 x>1 时，"底大图低”，即若a>b ，则ycy 2.当0<x<1时，“底大图高”，即若a>b ，则y 1>y 2.规律方法 (1)y = lo g a x(a>0，且a 丰1)图象无限地靠近于 y 轴，但永远不会与 y 轴相交.A.4、3、 13、5、10B. 4、 1 、 33、10、54C.43、 3、10D.3、13 10、5(2)设 y 1= log a x , y 2= log b x ,其中 a>1, b>1(或 0<a<1 , 0<b<1)，则当 x>1 时，"底大图低”，即若a>b ，则ycy 2.当0<x<1时，“底大图高”，即若a>b ，则y 1>y 2.自主学习1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．1. 对数函数的定义：一般地，我们把函数y = log a x(a>0,且a * 1)叫做 _____________________其中x 是自变量，函数的定义域是 (0,+m).2. 对数函数的图象与性质定义 y = log a x (a>0，且 a * 1)底数a>10<a<1图象定义域(0,+^ )值域R单调性共点性在(0,+s )上是增函数在(0,+^ )上是减函数图象过定点，即x = 1时，y = 0x € (0,1)时，y € ______________________ ; x € (0,1)时，y € _____________x € [1 ,+s )时，x € [1 ,+s )时， y€ ____________________ y€ _______________________1函数y = log a x 与y = log x 的图象关于对称a3. 反函数对数函数y = log a x (a>0且a 丰1)和指数函数 _____________________________ 互为反函数.对点讲练对数函数的图象【例1】下图是对数函数y = log a x 的图象，已知 C 2， C 3， C 4 相应的 a 值依次是 ()函数值特点对称性 a 值取 3， 34， 35， 110，则图象 C 1，(2)设 y 1= log a x , y 2= log b x ,其中 a>1, b>1(或 0<a<1 , 0<b<1)，则当 x>1 时，"底大图低”，即若a>b ，则ycy 2.当0<x<1时，“底大图高”，即若a>b ，则y 1>y 2.规律方法 (1)y = lo g a x(a>0，且a 丰1)图象无限地靠近于 y 轴，但永远不会与 y 轴相交.A.4、3、 13、5、10B. 4、 1 、 33、10、54C.43、 3、10D.3、13 10、5。