Ch2_2插值余项与误差估计
Ch2_2插值余项与误差估计
一、插值余项
2.2 .3 插值多项式中的误差
从上节可知 , y f ( x )的 Lagrange 插值
Ln ( x )
yl
j0
n
j j
( x)
满足
但
Ln ( xi ) f ( xi )
x [a, b]
i 0 ,1, , n L n ( x ) f ( x ) 不会完全成立
K ( x)
f
( n 1)
( ) f
( n 1)
( n 1)! ( ) ( n 1)!
所以
R n ( x ) K ( x ) n 1 ( x )
n 1 ( x )
称 R n ( x )为插值多项式 Pn ( x )的余项 ( 截断误差 )
定理1. 设 f ( x )在区间 [ a , b ]上 n 1阶可微
0.0167
0.330365.
由（2.17）,其截断误差
R1 ( x) M2 2
1 2
( x x0 )( x x1 ) ,
1 2 f ( )( x x0 )( x x1 ),
其中
Байду номын сангаас
R1 ( x)
f ( )2 ( x)
M 2 max f ( x) max sin x sin x1 0.3335,
x0 x x1 x0 x x1
于是
R1 (0.3367) sin 0.3367 L1 (0.3367)
1 2
0.3335 0.0167 0.0033
5
0.92 10 .
用抛物插值计算，由公式（2.5）得
计量经济学ch2 双变量模型：系数估计
9
28
10
29
需求量
消平 费均 者需 数求 量量
46 47 48 49 50 51 7 48
45 46 47 48
5 46
42 44 46 48
5 44
38 42 44 46 47
6 42
39 40 42 43
5 40
35 37 38 39 42 43 7 38
34 36 38 40
5 36
32 33 34 35 36 37 7 34
五、案例6：通货膨胀率和设备利用率
理论分析（当产能利用率超过95%以上,代 表设备使用率接近全部,通货膨胀的压力将 随产能无法应付而急速升高)
数据表7-4 散点图 估计和结果 结论的经济意义
案例6：通货膨胀率和设备利用率
设备利用率是指每年度设备实际使用时间 占计划用时的百分比。是指设备的使用效 率。是反映设备工作状态及生产效率的技 术经济指标。
反向拍卖反向拍卖也叫拍买，常用于政府 采购、工程采购等。由采购方提供希望得 到的产品的信息、需要服务的要求和可以 承受的价格定位，由卖家之间以竞争方式 决定最终产品提供商和服务供应商，从而 使采购方以最优的性能价格比实现购买。
定向拍卖这是一种为特定的拍卖标的物而 设计的拍卖方式，有意竞买者必须符合卖 家所提出的相关条件，才可成为竞买人参 与竞价
密封递价拍卖 称招标式拍卖。由买主在规定的时 间内将密封的报价单（也称标书）递交拍卖人， 由拍卖人选择买主。这种拍卖方式，和上述两种 方式相比较，有以下两个特点：一是除价格条件 外，还可能有其他交易条件需要考虑：二是可以 采取公开开标方式，也可以采取不公开开标方式。 拍卖大型设施或数量较大的库存物资或政府罚没 物资时，可能采用这种方式。
ch2-4Hermite插值
则Hermite插值多项式为：
H ( x ) hi ( x ) yi H i ( x ) y'i
i 0
n
Hermite插值多项式的构造
hi ( x )在x j ( j i )处的函数值与导数值均 为0，
故可设 : hi ( x ) [a b( x xi )] [l i ( x )]2
这里li(x)为拉格朗日插值基函数
把 hi ( xi ) 1 h'i ( xi ) 0 (i 0,1,, n) 代入得
hi ( xi ) b l ( xi ) 2[a b( x xi )]l i ( xi )l i ( xi ) a 1; b 2al i ( xi ) 0
2. Hermite插值的基本定理；
3. Hermite插值多项式的构造 4.分段三次Hermite插值； 5.一般插值问题。
对x x1 1有：h0 (1) 0, h1 (1) 1, H 0 (1) 0,
(0) 0可设 由条件h0 (0) 1, h0 (1) 0, h0 h0 ( x ) (ax b)( x 1)
(0) 0, 得b a 1 利用h0 (0) 1, h0 所以h0 ( x ) ( x 1)( x 1) 1 x
( x i ) y i ( i 0,1,2,...n) '( xi ) y
' i
( i 0,1,2,...n)
保持插值曲线在节点处有切线（光滑）， 使插值函数和被插函数的密和程度更好 。
二、 Hermite插值问题的提法
设函数f(x) 在区间[ a, b] 上有 n+1个互异节点 a=x0<x1<x2<……<xn=b , 定义在[a,b]上函数f(x) 在节点上满足: f(xi) = yi, f ' (xi)=y ' i, i=0,1,2……n 求一个次数不高于2n+1次的插值多项式H(x)
代数插值算法与误差估计
代数插值算法与误差估计1. 线性插值与抛物插值线性插值 当n=1时：已知 xk, xk+1；yk, y k+1， 求线性插值多项式 101()L x a a x =+ 使得：1()k k L x y =且111()k k L x y ++=.可见，1()L x 是过(,)k k x y 和11(,)k k x y ++的一条直线。
()111()k kk k k ky y L x y x x x x ++-=+-- 点斜式11111()k kk k k k k kx x x x L x y y x x x x ++++--=+-- 两点式令()11k k k k x x l x x x ++-=-，()11kk k kx x l x x x ++-=-则：()()111()k k k k L x l x y l x y ++=+称()k l x 及()1k l x +为一次插值基函数，或线性插值基函数。
注意：基函数 ()10i j ij i jl x i jδ=⎧==⎨≠⎩抛物线插值 当n=2时：已知xk-1，xk, xk+1；yk-1, yk, y k+1， 求二次插值多项式 2()L x 使得：211()k k L x y --=，2()k k L x y =，211()k k L x y ++=。
可见，2()L x 是过11(,)k k x y --，(,)k k x y 和11(,)k k x y ++的抛物线。
利用基函数法构造()10i j ij i jl x i jδ=⎧==⎨≠⎩ i , j = k-1, k, k+1 因此构造()()()()()11111k k k k k k k x x x x l x x x x x +---+--=-- ()()()()()1111k k k k k k k x x x x l x x x x x -+-+--=--()()()()()11111k k k k k k k x x x x l x x x x x -++-+--=-- 此时：()()()21111()k k k k k k L x l x y l x y l x y --++=++称()1k l x -，()k l x 及()1k l x +为二次插值基函数，或抛物插值基函数。
线性插值与二次插值公式ppt课件
MATLAB计算程序
1
x=0:.6:1.8; y=erf(x);
0 .8
x=x';y=y';
A=[ones(4,1) x x.^2 x.^3]; 0.6
p=A\y;
0 .4
a0=p(1);a1=p(2); 0 .2
a2=p(3);a3=p(4);
t=0:.2:2;
0
0
0 .5
1
1 .5
2
u=a0+a1*t+a2*t.^2+a3*t.^3;
plot(x,y,'o',t,u)
12
拉格朗日插值的基函数构造法
n=1 线性插值问题 x
x0
x1
已知函数表 f(x)
y0
y1
求满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1的线性插值多项式 L1(x)
由过两点直线方程,得
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
化为等价形式
L1( x)
当 x∈(0.5, 1)时
Erf ( x) 1 [( x 0.5) 0.8427 (1 x) 0.5205] 1 0.5
当 x∈(1, 1.5)时
Erf ( x) 1 [( x 1) 0.9661 (1.5 x) 0.8427] 1.5 1
3
实际问题中遇到的函数f(x)有的表达式复杂，有 的只提供了离散点上的函数值或导数值。为了进 一步分析问题的性质和变化规律，自然希望找到 一种简单函数p(x)，能近似描述函数f(x)的变化规 律，又便于处理。把这个函数p(x)称作f(x)的近似 函数。
数值分析课件CH2_赖志柱201303
Numerical Analysis
2.2.1 Lagrange插值多项式
20
数值分析
Numerical Analysis
21
数值分析
Numerical Analysis
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数值分析
Numerical Analysis
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数值分析
Numerical Analysis
24
数值分析
Numerical Analysis
8
数值分析
Numerical Analysis
2.1.2 多项式插值
9
数值分析
Numerical Analysis
• 求插值函数 P( x) 的方法称为插值法，插值点在插 值区间内的叫内插值，否则称为外插值。
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数值分析
Numerical Analysis
• 若 P( x) 为分段的多项式，就称为分段插值。 • 若 P( x) 为三角多项式，就称为三角插值。 • 若 P( x) 为有理分式(函数)，就称为有理插值。
• 为函数 f 在 xi 上的零阶均差(差商)，称
f [ xi , x j ]
f [ xi ] f [ x j ] xi x j
,(i j )
• 为 f 在 xi , x j 上的一阶均差(差商)，称
47
数值分析
Numerical Analysis
f [ xi , x j , xk ]
25
数值分析
Numerical Analysis
26
数值分析
Numerical Analysis
27
数值分析
Numerical Analysis
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Ch2插值法
Ch2. 插值法§1. 插值问题引例 矿井中某处的瓦斯浓度y 与该处距地面的距离x 有关，现用仪器测得从地面到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据(,)(0,1,2,,10)= i i x y i ，根据这些数据完成下列工作：(1)寻找一个函数，要求从此函数中可近似求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度；(2)估计井下600米处的瓦斯浓度。
第一个问题可归结为“已知函数在n x x x ,,,10⋅⋅⋅处的值，求函数在区间[]n x x ,0内其它点处的值”，这种问题适宜用插值方法解决。
但对第二个问题不宜用插值方法，因为600米已超出所给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差。
解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下500处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离之间的函数关系)(x f ，由)(x f 求井下600米处的瓦斯浓度。
定义 设)(x f y =在[]b a ,中1+n 个点n x x x <⋅⋅⋅<<10处的值)(i i x f y =为已知，现根据上述数据构造一个简单函数)(x p ，使i i y x p =)(，这种问题称为插值问题。
i x x p x f ),(),(,i i y x p =)(分别称为被插值函数、插值函数、插值节点和插值条件。
若)(x p 为多项式，则此问题称为多项式插值或代数插值。
定理1 在插值节点n x x x ,,,10⋅⋅⋅处，取给定值n y y y ,,,10⋅⋅⋅，且次数不高于n 的插值多项式是存在且唯一的。
证 令n n x a x a a x p +⋅⋅⋅++=10)(，则根据插值条件i i y x p =)(有下列等式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++==+⋅⋅⋅++=n n n n n n nn nn yx a x a a x p y x a x a a x p y x a x a a x p 10111101000100)()()( （关于i a 的1+n 阶线性方程组）， 其系数行列式是范德蒙（V andermonde ）行列式()011111100≠-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∏≥>≥j i n j innnnn x xx x x x x x D 。
数值分析学习公式总结
数值分析学习公式总结数值分析是以计算机为工具，对数学问题进行数值计算和近似方法的研究。
在数值分析中，有许多重要的数学公式和算法被广泛应用。
下面是一些数值分析中常用的公式和算法的总结。
1.插值公式：-拉格朗日插值公式：假设有给定的n个点(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)，则对于任意一个x，可以通过拉格朗日插值公式计算出相应的y值。
-牛顿插值公式：利用差商构造的插值公式，对给定n个点进行插值，得到一个多项式函数。
2.数值积分公式：-矩形法：将区间分割成若干小矩形，计算每个矩形的面积然后求和。
-梯形法：将区间分割成若干个梯形，计算每个梯形的面积然后求和。
-辛普森法则：将区间分割成若干个小区间，通过对每个小区间应用辛普森公式计算出近似的定积分值。
3.数值微分公式：-前向差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。
-后向差分公式：类似于前向差分公式，但是利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。
-中心差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点两侧的值之间的差异，通过近似计算导数的值。
4.数值解线性方程组方法：-直接法：高斯消元法，LU分解法等。
-迭代法：雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法等。
5.最小二乘拟合法：-线性最小二乘拟合：通过线性回归的方法，寻找最佳的拟合直线。
-非线性最小二乘拟合：通过非线性回归的方法，寻找最佳的非线性拟合曲线。
6.数值求解常微分方程方法：-欧拉法：将微分方程离散化，通过迭代计算得到近似解。
-改进欧拉法：利用欧拉法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。
- 二阶龙格-库塔法：利用四阶Runge-Kutta法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。
7.插值法的误差估计：-真实误差：插值函数与原函数之间的差异。
-误差界：对于给定的插值公式，通过计算条件和边界限制，得到误差的上限。
8.特殊函数的数值计算：-常用特殊函数的近似计算方法，如阶乘函数，指数函数，对数函数等。
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M 2 = max | f ′′( x )| = f ′′(169 )| ≤ 1.14 × 10 −4 |
M 3 = max | f ′′′( x )|= f ′′′(144 )|≤ 1.51 × 10 −6 |
144 ≤ x ≤ 225
2010-122010-12-31 7
N 2 = ω 2 ( x )| = (175 − 169 )(175 − 225)| = 300 | |
且 ϕ ( xi ) = f ( xi ) − Pn ( xi ) − K ( x )ω n + 1 ( xi ) = Rn ( xi ) − K ( x)ω n +1 ( xi ) = 0
注意t与x 的区分
也可令ϕ (t ) = R( x )ω n + 1 (t ) − R (t )ω n + 1 ( x )
2010-122010-12-31 2
f ( x) − Pn ( x) − K ( x)ω n +1 ( x) = 0 若引入辅助函数ϕ (t ) = f (t ) − Pn (t ) − K ( x)ω n +1 (t ) 则有 ϕ (x ) = f ( x ) − Pn ( x ) − K ( x )ω n + 1 ( x ) = 0
§2.2 .3 插值多项式中的误差
一、插值余项
从上节可知, y = f ( x)的Lagrange插值
Ln ( x ) = ∑ y j l j ( x )
j =0 n
满足
但
Ln ( xi ) = f ( xi )
∀x ∈ [a, b]
i = 0,1, L, n Ln ( x) = f ( x) 不会完全成立
i = 0,1, L, n
因此, 若令x ≠ xi , ϕ (t )在区间[a, b]上至少有n + 2个零点, 即
ϕ ( x) = 0 , ϕ ( xi ) = 0 , i = 0,1,2,L , n
由于Pn ( x)和ω n +1 ( x)为多项式,因此若f ( x)可微, 则ϕ (t )也可微
i =0
n
则
f ( n + 1 ) (ξ ) ω n + 1 ( x) | Rn ( x )| = (n ( n + 1)!
1 ≤ M n+1 Nn+1 ( n + 1)!
2010-122010-12-31
6
例1: 在上节例1.中, 若f ( x ) = x , 三个节点为144 ,169 ,225
用线性插值计算，取 x0 = 0.32, x1 = 0.34, 由公式（2.1）
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sin 0.3367 ≈ L (0.3367) 1
y1 − y0 = y+ (0.3367 − x0 ) x1 − x0
= 0.314567 + 0.01892 ×0.0167 0.02
= f ( n +1) (ξ ) − K ( x) ⋅ (n + 1)! = 0
4
f ( n +1) (ξ ) K ( x) = (n + 1)!
所以
f ( n +1) (ξ ) Rn ( x) = K ( x)ω n +1 ( x) = ω n +1 ( x) (n + 1)!
称Rn ( x)为插值多项式Pn ( x)的余项(截断误差)
的值并估计截断误差. 解 由题意, 取
y − yk L (=) .34, k + = +1 333487, − xk ) x 0= y y k 0. (x 1 x1 1 xk +1 − xk
x0 = 0.32, y0 = 0.314567,
（点斜式），
x2 = 0.36, y2 = 0.352274.
因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n + 1个零点
设 其中
Rn ( x) = K ( x)ω n +1 ( x)
ω n +1 ( x) = ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − xn )
K (x)为待定函数
Rn ( x) = f ( x) − Pn ( x) = K ( x)ω n +1 ( x)
(11.25 − 10)(11.25 − 12) (11.25 − 10)(11.25 − 11) + × 2.397895 + × 2.484907 (11 − 10)(11 − 12) (12 − 10)(12 − 11)
2010-122010-12-31
= 2.420426
15
在区间[10,12]上lnx的三阶导数的上限M3=0.002,可 得误差估计式
ϕ (t ) = f (t ) − Pn (t ) − K ( x)ω n +1 (t )
由于 因此
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( ϕ ( n+1) (t ) = f ( n +1) (t ) − Pn( n +1) (t ) − K ( x)ω nn +1) (t ) +1 ( + ϕ ( n +1) (ξ ) = f ( n +1) (ξ ) − Pn( n +1) (ξ ) − K ( x)ω nn 11) (ξ ) +
N 3 = ω 3 ( x )| = (175 − 144 )(175 − 169 )(175 − 225 )|= 9300 | |
1 1 ≤ M 2 N 2 ≤ × 1.14 × 10 − 4 × 300 ≤ 1.71 × 10 −2 | R1 ( x )| 2! 2
1 1 | R2 ( x )| ≤ M 3 N 3 ≤ × 1.51 × 10 − 6 × 9300 ≤ 2.35 × 10 −3 3! 6
n
Lagrange型余项
其中 ω n + 1 ( x ) = ∏ ( x − xi ) , ξ ∈ ( a , b ) , 且依赖于x.
i =0
2010-122010-12-31 5
设
M n + 1 = max| f ( n + 1 ) ( x )|
a ≤ x ≤b
N n + 1 = ω n + 1 ( x )|= ∏ ( x − xi )| | |
R2 (11.25) ≤ M3 | (11.25 − 10)(11.25 − 11)(11.25 − 12) |< 0.00007 3!
实际上,ln11.25=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058.
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16
= 0.330374.
2010-122010-12-31 12
这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样， 这说明查表时用二次插值精度已相当高了. 由（2.18）, 截断误差限
R2 (x) ≤ M3 (x − x0 )( x − x1)(x − x2 ) , 6
其中
′ M3 = m ax f ′′(x) = cos x0 < 0.828,
从以上分析可知, 在求 175时 用Lagrange二次插值比线性插值的 误差更小
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例2 已知 sin 0.32 = 0.314567, sin 0.34 = 0.333487,
sin 0.36 = 0.352274, 用线性插值及抛物插值计算 sin 0.3367
< 0.178×10−6.
2010-122010-12-31
14
例
给定函数表
x lnx
10
11
12
13
2.302585 2.397895 2.484907 2.56494 9 用二次插值计算ln11.25的近似值,并估计误差. 解 取节点x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有
(11.25 − 11)(11.25 − 12) ln11.25≈L2(11.25) = (10 − 11)(10 − 12) × 2.302585
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根据Rolle定理, ϕ ′(t )在区间(a, b)上有至少n + 1个零点 再由Rolle定理, ϕ ′′(t )在区间(a, b)上有至少n个零点 依此类推
在区间( a, b)内至少有一个点ξ , 使得ϕ (t )的n + 1阶导数为零
ϕ ( n +1) (ξ ) = 0
= 0.330365.
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10
由（2.17）,其截断误差
R (x) ≤ 1 M2 (x − x0 )(x − x1) , 2
1 1 f ′′(ξ )ω2 (x) = f ′′(ξ )(x − x0 )(x − x1), 2 2
x0 ≤x≤x1
其中
R (x) = 1
M2 = m f ′′(x) = m −sin x = sin x1 ≤ 0.3335, ax ax
x0 ≤x≤x2
于是
R2 (x) =
1 f ′′′(ξ )(x − x0 )(x − x1)(x − x2 ), 6
ξ ∈[x0 , x2 ]
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（2.18）
13
R2 (0.3367) = sin 0.3367 − L2 (0.3367)
1 ≤ ×0.828×0.0167×0.033×0.0233 6
x0 ≤x≤x1
于是பைடு நூலகம்
R (0.3367) = sin 0.3367 − L (0.3367) 1 1
1 ≤ ×0.3335×0.0167×0.0033 2