插值法的事后误差估计.
Ch2_2插值余项与误差估计
一、插值余项
2.2 .3 插值多项式中的误差
从上节可知 , y f ( x )的 Lagrange 插值
Ln ( x )
yl
j0
n
j j
( x)
满足
但
Ln ( xi ) f ( xi )
x [a, b]
i 0 ,1, , n L n ( x ) f ( x ) 不会完全成立
K ( x)
f
( n 1)
( ) f
( n 1)
( n 1)! ( ) ( n 1)!
所以
R n ( x ) K ( x ) n 1 ( x )
n 1 ( x )
称 R n ( x )为插值多项式 Pn ( x )的余项 ( 截断误差 )
定理1. 设 f ( x )在区间 [ a , b ]上 n 1阶可微
0.0167
0.330365.
由（2.17）,其截断误差
R1 ( x) M2 2
1 2
( x x0 )( x x1 ) ,
1 2 f ( )( x x0 )( x x1 ),
其中
Байду номын сангаас
R1 ( x)
f ( )2 ( x)
M 2 max f ( x) max sin x sin x1 0.3335,
x0 x x1 x0 x x1
于是
R1 (0.3367) sin 0.3367 L1 (0.3367)
1 2
0.3335 0.0167 0.0033
5
0.92 10 .
用抛物插值计算，由公式（2.5）得
等距节点分段二次插值的误差估计
(x xn )
当点
x
与插值节点
{xi
}n i0
互不相同时，构造以
t
为新自变量的函数
g(t) f (t) (t) k(x)n1 (t)
g(t) 在区间[a, b] 上的 n 2 个互异零点： x 、{xi}in0
当 g(t) 充分光滑时， g (n1) (t) 在开区间(a, b) 内至少存在一个零点ξ
特别的取 =Pn span 1, x, x2 ,, xn , 即
Pn (x ) (x ) a0 a1x a2x 2 an x n , ai R , 0 i n
2019/6/9
5
4 . 存在惟一性
分析 对于多项式插值问题，插值条件（1）等价于确 定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组
f (x)
0 m3 m2
f (m) (x)
插值余项： Rn (x) f (x) (x)
2019/6/9
7
误差估计(续1)
分析： Rn (xi ) f (xi ) (xi ) 0, i 0,1, 2, , n
Rn (x) f (x) (x) k(x)n1(x) n1(x) (x x0 )(x x1)
0ik 0 i k 1
Lk (x) Lk1(x) A (x x0 )( x x1)(x xk1)
Lk
li (
(x) x)
(
k
f (xi )li (x)
i0
(x x0 )(x x1)(x xi x0 )(xi x1)(xi
拉格朗日插值法理论及误差分析
拉格朗日插值法理论及误差分析拉格朗日插值法理论及误差分析浅析拉格朗日插值法目录：一、引言二、插值及多项式插值的介绍三、拉格朗日插值的理论及实验四、拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式五、1、截断误差在[a,b]区间上用Ln(x)近似未知或复杂函数f(x)，其截断误差是指Rn?x??f?x??Ln?x?通常称Rn?x?为拉格朗日插值余额。
注意到利用公式估计截断误差实际上非常困难。
一是因为它要计算函数f(x)的高阶导数，当f(x)很复杂时，计算量很大，而当f(x)没有可用来计算的表达式时，导数无法准确计算；二是因为即使能得到高阶导数的解析式，但于?的具体位置不知道，所以要估计高阶导数在插值区间上的界一般是非常困难的事情。
因此，公式并不实用。
2、截断误差的实用估计式既然公式估计误差时不实用，那么实际中如何估计截断误差呢？假设插值条件中包含n+2组数据?,n,n?, 1f(xi)?yi , i?0,1那么利用n+1组数据我们可以构造一个n 次拉格朗日插值多项式Ln(x)，利用后n+1组数据我们可以构造另一个n次拉格朗日插值多项式L*n(x)。
利用公式知，他们各自的插值余项为f(x)?Ln(x)?1f(n?1)(?)(x?x0)(x?x1)?(x?xn),(n?1)!1f(n?1)(?*)(x?x1)(x?x2)?(x?xn?1), (n?1)!f(x)?L*n(x)?两式相减得L*n(x)?Ln(x)?并可写成1fn?1(?)(x?x1)?(x?xn)(xn?1?x0),(n?1)!L*(x)?Ln(x)1(n?1)f(?)(x?x1)?(x?xn)?n.(n?1)!xn?1?x0注意到上式中利用fn?1(?)?fn?1(?*).该条件在很多情况下是成立的。
利用式可得?Ln(x)?L*n(x)R(x)?f(x)?L(x)?,n? nx0?xn?1? ? *?R*(x)?f(x)?L*(x)?Ln(x)?Ln(x),nn?xn?1x0?式给出了用Ln(x)或L*n(x)作近似计算时的实用误差估计式，它不需要计算高阶导数，也不用估计插值区间上高阶导数的界。
康斯插值及其误差估计
康斯插值及其误差估计康斯插值法是一种常用的数值分析方法，用于在给定数据点的情况下估计函数在其他点的值。
本文将介绍康斯插值法的基本原理及其误差估计方法。
一、康斯插值法的基本原理康斯插值法是一种多项式插值法，它的基本思想是利用已知数据点的函数值构造一个多项式，然后用这个多项式来估计函数在其他点的值。
假设我们有n个数据点，分别是(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，则康斯插值法的多项式表示为：P(x) = f(x0) + ∑i=1n(ai(x-x0)i)其中，x0是我们要估计函数值的点，f(x0)表示函数在x0点的真实值，ai是多项式的系数，可以通过求解插值条件得到。
插值条件是指多项式必须经过所有的数据点，即：P(xi) = yi，i=1,2,...,n这个条件可以得到n个方程，n个未知数，可以解出多项式的系数。
二、康斯插值法的误差估计由于康斯插值法只是通过已知数据点构造一个多项式进行估计，因此存在误差。
我们需要对这个误差进行估计，以便判断估计值的可靠性。
误差估计的方法是通过拉格朗日余项公式得到的。
假设函数f(x)在[x0,xn]区间内具有n+1阶连续导数，则余项可以表示为：Rn(x) = (x-x0)(x-x1)...(x-xn)f(n+1)(ξ)/n!其中，ξ是x0,x1,...,xn中的某个数，f(n+1)(ξ)表示f(x)在ξ点的(n+1)阶导数。
我们可以利用余项公式来估计插值多项式的误差。
具体来说，我们假设函数f(x)在[x0,xn]区间内具有n+1阶连续导数，且在x0,xn之外的点x的函数值都已知，则插值多项式P(x)的误差可以估计为： |f(x)-P(x)| ≤ M/(n+1)!|(x-x0)(x-x1)...(x-xn)| 其中，M是函数f(x)在[x0,xn]区间内的最大值。
这个公式告诉我们，插值多项式的误差与插值点的数量有关，插值点越多，误差越小。
三、康斯插值法的应用康斯插值法广泛应用于科学计算和工程实践中。
拉格朗日插值法理论及误差分析
浅析拉格朗日插值法目录：一、 引言二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。
插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。
在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。
插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。
现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。
插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。
二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
xx 0y y1y 1n y -ny 1x 1n x -nx2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示：图1 3、多项式插值 3.1 基本概念假设()y f x =是定义在区间,a b ⎡⎤⎣⎦上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<<<≤处的函数值01,,n y y y 。
找一个简单的函数，例如函数()P x ，使之满足条件(),0,1,2,,,i P x y i n == （3.1）通常把上述01n x x x <<< 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项式，条件（3.1）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。
3.2 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式：1011()m m m m m P x a x a x a x a --=+++那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数011,,,m ma a a a -。
插值多项式的误差估计
插值多项式的误差估计说到插值多项式，哎呀，很多人第一反应就是：这个玩意儿听起来好复杂！就好像把数学书当作枕头，想避开它一样。
可是，你知道吗？其实它真的比你想的要亲民得多，接下来咱们就聊聊这个插值多项式的“误差估计”问题，别担心，我会把它说得有趣、又好懂，保证你不打瞌睡。
咱们要知道啥是插值多项式。
哎，这个名字一听就有点学术味儿，没错，它的确是数学中的一大宝贝。
简单来说，插值多项式就是通过一些已知数据点来构造一个多项式，这个多项式能够“穿过”所有这些点。
比如，你给我几个点的坐标，我就能画出一条曲线，让它正好把这些点串联起来。
听起来挺酷对吧？就像是你在画一条平滑的道路，路上有几个路标，插值多项式就像是帮你描绘这条路的设计师。
好了，讲到这里大家应该都差不多明白了插值多项式是啥东西。
为什么要关心它的误差呢？这就有意思了。
你看，插值多项式是个近似工具，通俗来说就是：它帮你做的事情，可能完美无缺，但也可能会有点差错，尤其是当你插值点的数量多了，误差可能会变得明显。
所以，咱们就需要估计这个误差，弄明白它到底有多大，能不能接受。
你要知道，误差其实就是咱们计算出来的值和实际值之间的差距。
举个例子来说，你在测量一块蛋糕的尺寸，测得说它有30厘米长，实际上它可能是29.8厘米长。
那个0.2厘米的差距，就是误差。
再比如，你去打篮球投篮时，看到篮筐就在眼前，结果投出去的球偏离了一点点——那个偏差就叫误差。
那插值多项式的误差呢，也是类似的道理，只不过它出现在你用数学模型来逼近某些实际情况时。
好啦，怎么估计这个误差呢？咱们得知道它不是随便就能抓住的。
哎，我得告诉你，插值的误差是一个挺狡猾的小东西。
它不只是和你选的点数有关，甚至和这些点的位置有关系。
有时候你选的点再多，误差反而可能会更大！这就像是你搞了个很复杂的程序，想着搞定所有问题，结果反而弄得一团糟。
所以，估计误差时可得小心，别被表面现象给迷惑了。
通常，我们会通过误差公式来估算。
代数插值算法与误差估计
代数插值算法与误差估计1. 线性插值与抛物插值线性插值 当n=1时：已知 xk, xk+1；yk, y k+1， 求线性插值多项式 101()L x a a x =+ 使得：1()k k L x y =且111()k k L x y ++=.可见，1()L x 是过(,)k k x y 和11(,)k k x y ++的一条直线。
()111()k kk k k ky y L x y x x x x ++-=+-- 点斜式11111()k kk k k k k kx x x x L x y y x x x x ++++--=+-- 两点式令()11k k k k x x l x x x ++-=-，()11kk k kx x l x x x ++-=-则：()()111()k k k k L x l x y l x y ++=+称()k l x 及()1k l x +为一次插值基函数，或线性插值基函数。
注意：基函数 ()10i j ij i jl x i jδ=⎧==⎨≠⎩抛物线插值 当n=2时：已知xk-1，xk, xk+1；yk-1, yk, y k+1， 求二次插值多项式 2()L x 使得：211()k k L x y --=，2()k k L x y =，211()k k L x y ++=。
可见，2()L x 是过11(,)k k x y --，(,)k k x y 和11(,)k k x y ++的抛物线。
利用基函数法构造()10i j ij i jl x i jδ=⎧==⎨≠⎩ i , j = k-1, k, k+1 因此构造()()()()()11111k k k k k k k x x x x l x x x x x +---+--=-- ()()()()()1111k k k k k k k x x x x l x x x x x -+-+--=--()()()()()11111k k k k k k k x x x x l x x x x x -++-+--=-- 此时：()()()21111()k k k k k k L x l x y l x y l x y --++=++称()1k l x -，()k l x 及()1k l x +为二次插值基函数，或抛物插值基函数。
计算方法(2)-插值法
2
2
yk1 2
f (xk
h
2
),
y
k
1 2
f (xk
h) 2
21
3.牛顿向后插值公式
Nn (xn
th)
yn
tyn
t(t 1) 2!
2
yn
t(t
1)
(t n!
n
1)
n
yn
(t 0)
插值余项
Rn
(xn
th)
t(t
1) (t (n 1)!
Nn (x0
th)
y0
ty0
t(t 1) 2!
2
y0Leabharlann 插值余项t(t
1)
(t n!
n
1)
n
y0
Rn (x0
th)
t(t
1) (t (n 1)!
n)
h n1
f
(n1) ( ),
(x0 , xn )
20
二.向后差分与牛顿向后插值公式
杂.
根据f(x)函数表或复杂的解析表达式构
造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似.
2
2.问题的提法
1)已知条件 设函数y f (x)在区间[a,b]上
连 续, 且 在n 1个不 同点a x0 , x1, , xn b 上 分 别 取 值y0 , y1, , yn
数值分析中的插值误差估计方法改进
数值分析中的插值误差估计方法改进数值分析中的插值方法在实际问题中具有广泛的应用，它可以通过已知数据点来预测未知点的数值。
然而，由于插值方法本质上是一种近似方法，所以误差估计对于评估插值结果的准确性至关重要。
在本文中，将介绍一些改进的插值误差估计方法，旨在提高插值结果的精度和可靠性。
一、局部插值误差估计方法改进在传统的插值方法中，常用的误差估计方法是根据插值多项式的导数或高阶导数来评估插值误差。
然而，这种方法在整个插值区间上都是一致的，无法有效捕捉到插值函数在局部区域的误差特性。
因此，可以考虑改进的误差估计方法，如点云法 (point clouds)。
点云法是一种基于局部关联性的误差估计方法，它通过在插值节点附近构建点云集合，并根据点云集合的分布情况来评估插值误差。
具体步骤为：首先，选择插值节点附近的一组数据点，构建点云集合；然后，计算点云集合中数据点的平均值和标准差，作为误差估计的指标。
通过这种方式，点云法能够更准确地反映插值函数在局部区域的误差情况，从而提供更可靠的误差估计结果。
二、自适应插值误差估计方法改进传统的插值误差估计方法通常采用固定的误差界限来判断插值结果的准确性。
然而，在实际问题中，插值函数的误差分布可能在不同的区域有显著差异，因此需要一种自适应的误差估计方法来适应这种变化。
自适应插值误差估计方法是一种基于局部误差界限的方法，它根据插值函数在不同区域的误差特性来调整误差界限。
具体步骤为：首先，通过初始插值方法得到插值函数；然后，计算插值函数在不同区域的误差界限；最后，根据误差界限对插值函数进行修正，得到更准确的插值结果。
自适应插值误差估计方法的优势在于它能够根据实际问题的特点来自动调整误差界限，从而提高了插值结果的精度和可靠性。
同时，自适应插值误差估计方法还可以减少不必要的计算量，提高算法的效率。
三、混合插值误差估计方法改进除了局部插值误差估计方法和自适应插值误差估计方法外，还可以考虑将两种方法进行混合，以得到更准确的插值误差估计结果。
数值计算中的插值方法与误差分析
数值计算中的插值方法与误差分析数值计算是一门应用数学学科，广泛应用于科学与工程领域。
在实际问题中，我们常常需要通过已知的离散数据点来估计未知的数值。
插值方法就是为了解决这个问题而设计的。
插值方法是一种基于已知数据点，推断出未知数据点的数值计算方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
下面我们将重点介绍这两种方法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是插值方法中最常见的一种。
它是基于拉格朗日多项式的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
拉格朗日插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）根据已知数据点构造Lagrange插值多项式：L(x) = Σ(yi * Li(x)), i = 0, 1, ..., n其中，Li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)), j ≠ i（2）计算未知点x对应的函数值y：y = L(x)拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算方便。
然而，它也存在着一些问题，比如插值多项式的次数较高时，多项式在插值区间外的振荡现象明显，容易引起插值误差。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常见的插值方法。
它是基于差商的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
牛顿插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）计算差商：f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)（2）根据已知数据点构造Newton插值多项式：N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)), i = 0, 1, ..., n-1（3）计算未知点x对应的函数值y：y = N(x)牛顿插值法的优点是适用范围广，可以方便地添加新的数据点进行插值。
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插值法的事后误差估计
已知
解要用线性插值求
为。
经计算易得在
，试用线性插值求
点的值，可取
的解析式，故不能直接利用拉格朗日余项式做误差估计。
为此，
为节点的线性插值式为
，则有
的近似值，并估计插值误差。
为插值节点，记线性插值式但是，由于不知道
下面用另外一种方法来估计误差。
设以
其中
均属于由
和所决定的区间。
假设
和
，结果有
在该区间内变化不大，则将上面两个式子相除，消去近似相等的
整理得
（1）这表明，
再计算出
的插值误差。
由此可得
大致等于
的误差估计
，按此估计式，只要
进一步还可以考虑用事后误差估计式（1）对
大致误差值，如果用这个误差值作为
进行修正。
因为式（1）给出了
的的一种补偿，得到
可以期望，
是
（2）的更好的插值结果。
可以算得
在本题中，利用上述
事实上，被插值函数
精度的确提高了。
为
，按上述方法得到的插值结果与抛物插值的结果相同，
值得说明的是，这并不只是简单的巧合。
将式（2）展开即可证明，上述
插值多项式。
根据这种思想，人们还建立了逐步线性插值的埃特金插值法。
就是抛物。