数值分析典型习题

题型一:有效数字

1,

的首位数字x 1,

x *的相对误差不超过0.5×10-5，至少

要保留几位有效数字.(2010-2011)

1*115

12

11||10100.510222

6n n r x n e x n ---=≤

?=?≤??≥=解答：设至少要保留位有效数字，则有解得， n 5.7取位有效数字.

2，

0.5×10-4，至少要保留几位有效数字?(2009-2010)

3,已知21.787654为有效数，确定其绝对误差界与相对误差界.(2007-2008)

*6

*1187

11

||102111||1010102224

n r e e x ----=?=?=?=??解答：

4,已知30.49876为有效数，确定其绝对误差界.(2006-2007B) 5,设有效数x=12.4567,确定x 的绝对误差界.(2004-2005)

题型二：插值多项式

1,已知f(x)的函数值：f(0)=-2, f(1)=1, f(2)=5, 用反插值法求f(x)=0在[0，2]内的近似根x *.(2010-2011)

11111202012012010210122021()()()()()()()

()()()()()()()()()()

(2)(5)(2)(1)

012(12)(15)(52)(51)2991422884

y y y y y y y y y y y y y L y f y f y f y y y y y y y y y y y y y y y y y y ----------=?+?+?

------+-+-=+?

+?

+-+-=+-解答：对y=f(x)的反函数x=f 进行二次插值2*229

(0)42

y x L ≈=

故，

2,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(-1)=1, f(0)=2, f ’(0)=3, f(1)=7; (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式H 3(x);

(2),x ∈[-1,1], 确定用H 3(x)代替f(x)的误差界（已知|f (4)(x)|≤M 4，x ∈[-1,1]).(2010-2011)

32001001201232233)),(0,1,2)()()[,]()[,,]()()1(1)2(1)(0)

232()()(1)(0)(1)232()'(i i H x f x i N x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x H x N x k x x x x x k x x H ===+-+--=++++-=++=++--=+++-L 解答：(1),满足插值条件（（的二次插值多项式为：也可用拉格朗日插值法满足题设插值条件的插值多项式为：2323(4)23

44

3)43(31)'(0)'(0)3()232

()(2),(1)(0)(1),(1,1)4!

1||=4!496

x x k x H f H x x x f R x x x M M R ζζ=++-===+++--∈-≤?由得：k=0故：误差（x)=则误差界（x)

3,已知f(x)的函数值：f(0)=2, f(1)=4, f(2)=9, 写出二次拉格朗日插值多项式及余项.(2009-2010)

4,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=1, f(2)=2, f ’(1)=3, f(3)=9; (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；

(2)计算f(1.6)的近似值；若M 4=0.5，估计f(1.6)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2009-2010)

5,写出满足条件H(0)=1, H(1)=0, H ’(1)=1, H(2)=1的三次插值多项式，并给出误差估计式.(2008-2009B)

6,已知一组数据，求函数f(x)=0的根.(2008-2009B)

7,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(0)=1, f(1)=3, f ’(1)=1, f(2)=9, (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式，写出误差估计式；

(2),计算f(1.8)的近似值：若M 4=1，估计f(1.8)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2007-2008)

8,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=2, f(2)=4, f ’(2)=5, f(3)=8, (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；

(2),计算f(2.5)的近似值：若M 4=0.5,估计f(2.5)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2006-2007）

9,已知f(x)的如下函数值表

选取合适的插值节点，用二次插值多项式计算f(0.35)的近似值.(2005-2006) 10,已知f(x)=sinx 的如下函数值表

用插值多项式计算sin1.8, 并估计误差界.(2004-2005)

11,用f(x)的关于互异节点集112{}{}n n

i i i i x x -==和

的插值多项式g(x)和h(x)构造出关于节点集1{}n

i i x =的插值多项式.(2005-2006)（课后习题）

-11111121111{}(),()(){}(),()()()()))()

())]()

n n i i i i n n n n n n n n n n n n n n q x q x g x x x x x x x x x g A x x g x ==------=----=

-L 解答：法一：设关于节点集x 的插值多项式为则与有共同插值节点x ，则设：q(x)=g(x)+Aw w f(x (x )

由q(x )=f(x 得，w w 故：q(x)=g(x)+[f(x (x )w 法二：设q(x)=g(x)+1-122311111()

()(){}()()()()(),01

()=()[()()]()[()()]

()()()()()()[()()]=-n n i i n n n n n n n n n n x g x h x B g x h x B x x x x x x B x x x g x h x B

A

x x g x h x B

q x f x h x A

h x g x x x g x h x B

A B -=---=---≠----===+--L Aw 由于和有共同插值节点x ，则存在常数，使得则，w 故：q(x)=g(x)+由得得

1

111()

[()()]

()

n n x x x x h x g x x x ----则：q(x)=g(x)+

12,(1),已知f(x)的如下函数值：f(0)=1,f(1)=3,f(3)=5,写出二次拉格朗日插值多项式L 2(x);

(2),若同时已知：f ’(1)=1,用待定系数法求埃尔米特插值多项式H 3(x)；

(3),当(3)(4)

1|()|2|()|4,[0,3]f x f x x ≤≤≤≤∈及3时，x 不取节点，[0,3]x ∈，求

32()()

|

|()()

f x H x f x L x --的上界.(2011-2012)

题型三：最佳平方逼近多项式及最小二乘法

1,已知函数值表：

用二次多项式y=C 0+C 1X+C 2X 2

按最小二乘法拟合改组数据,并求平方逼近误差.(2010-2011)（2005-2006）

()

000102030410111213142021222324012()()()()()11111()()()()()21012()()()()()4101401210,5010010010034T T T T x x x x x A x x x x x x x x x x y A AC A y c c c ??????????????????? ? ?

==-- ? ?

? ?

????

==??? ?? ?? ?????解答：

法一：线性拟合的法方程组为：即()()0122

2*

2

0000100011402583

,0,357583357

0581358||||=(y,y)-Y 01210402023531701(,)0,(,)(T c c y x C x x

x δ???α?α???α???? ?=? ?? ????

===-

=-???? ? ? ? ? ?=-= ? ? ? ?- ? ?????

====解得:c 则平方逼近误差：法二：构造首项系数为的正交多项式：

（x)=1

（x)=x-1112

11021100

002

*

22

022

2

2

0,)0

(,)(,)2,()()2(,)(,)46583

()()0(2)(,)514357

(,)8

||||=(y,y)-(,)35i i i i i i i i i

x x y x x x x y ?????βαα?β?????????δ??======----==++-=-=

∑

∑（x)（x)=x 则,平方逼近误差：

2,求2

1

()1f x x =

+在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式及平方逼近误差（去

权函数ρ(x)=x).(2009-2010) 3,通过实验获得以下数据：

请用最小二乘法求形如y=a+bx 2

的经验公式.(2008-2009)

T T A AC A y =解析：

4,利用正交多项式的性质构造首项系数为1的正交多项式1{()}i i g x ∞

=,有下列公

式：010

111()1

()()()()(),(1,2,...)

k k k k k g x g x x g x x g x g x k ααβ+--==-=--=其中：

111(,)

,(0,1,2...)

(,)

(,)

,(1,2...)

(,)

k k k k k k k k k k xg g k g g g g k g g αβ---=

=== (1),求[0,1]上首项系数为1的正交多项式（权函数ρ(x)=1),g 0(x),g 1(x),g 2(x) (2),以上述正交多项式为基，求sinx 在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求平方逼近误差.(2008-2009B)(2004-2005)

01

00001

1

0001

2

01111211021102110000*010001(1),()1(,)11,()(,)

2

2

1()(,)121(,)2()2

(,)11,()()()()(,)126(,)(,)(2),()(,)(g x xdx xg g g x x x g g dx x x dx xg g g g x dx g g g x x g x g x x x g g g f g f x g g g g αααβαβ?===

==-=-

-===

-===--=-+

=

+????解答：212

12211

1

2

0020

111222

0002

2

2

*

2

2

0(,)

,)(,)

11()sin ()sin sin 11621()()1126()()260.00746 1.09130.23546(,)||||(,)0.000623.

(,)i i i i

g f g g g g g x x xdx x xdx xdx x x x dx x dx x x dx x x f g f f f g g ?=+-+-=?+?-+?-+--+=-+--=-=??????∑平方逼近误差：

5,以正交多项式为基，求函数2

1()1f x x =

+在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多

项式，并求平方逼近误差.(2007-2008)(权函数ρ(x)=x,(2011-2012))

2012012220

1201()1,(),(),111()2,()1,()22422

111122342

1111345411

1112224

5

61.0656,0.503x x x x x f In f f In C F In c c c In ???π???π=====-=-=????

? ??? ? ? ? ? ??=- ? ? ? ? ? ??? ? ?- ? ?

??

??==-解答：

法一：取解得，，，正规方程组为：H 即：解得：c c 2*222*00001000111110110002,0.07423

() 1.06560.503020.07423=(f,f)-F 0.000029041()1

1

(,)223,()1(,)332

(,)8(,)1,(,)15(,)T n p x x x C g x xg g g x x x g g xg g g g g g g g δαααβ=-=--======-=-

====

c 故二次最佳平方逼近多项式：平方逼近误差：法二：构造首项系数为的正交多项式：221100*2

01220120011222*18

82163

()()()()()()15318510

(,)(,)(,)

()()()() 1.06560.503020.07423(,)(,)(,)=(f,f)-F 0.00002904

T n g x x g x g x x x x x f g f g f g p x g x g x g x x x g g g g g g C αβδ=--=-

--=-+=++=--=则：平方逼近误差：

6,通过实验获得以下数据：

请用最小二乘法求形如v =的经验公式，并求平方误差.(2006-2007)

01

:c c v

=+解答转化

题型四：代数精确度

1,确定参数α，使求积公式20

()[(0)()]['(0)'()]2

h

h

f x dx f f h h f f h α≈++-?的代数精确度

尽可能高，并求其代数精确度.(2010-2011)

23322

4423

20()1,,()1

(),=

121()()(0)(03)2121()()0+)(04)212

()[(0)()]['(0)'()]2

h h h f x x f x f x x h f x x f x dx h h h h f x x f x dx h h h h

f x dx f f h h f f h αα====++-=≠+-≈++-???解答：令显然成立

令得又时：时：（故具有三次代数精确度.

2,确定参数A 1，A 2，使求积公式12()()(0)()3

h

h h

f x dx A f h A f f h -≈-++?的代数精确度尽可能高，并求其代数精确度.(2009-2010)

3,建立高斯型求积公式1

211221()()()x f x dx A f x A f x -≈+?.(2009-2010)

23

12

121

13

11221

1

224

11221

1

335

11221

1212

00

010

00

1

,

2

3

2

5

1

3

()1

(,)

0,()

(,)

x

A A x dx

A x A x x dx

A x A x x dx

A x A x x dx

x A A

g x

xg g

g x x x

g g

αα

α

-

-

-

-

+==

+==

+==

+==

=-===

=

===-=

?

?

?

?

解答：

法一：已知求积公式有3次代数精确度，令f(x)=1,x,x得

解上述方程组得：x

法二：构造二次正交多项式

1111

1100

2

21100

212

11

22

21

12

11

1221

12

1

(,)(,)3

0,

(,)(,)5

3

()()()()

5

()0,

11

,

33

1

()[(

3

xg g g g

g g g g

g x x g x g x x

g x x

x x x x

A x dx A x dx

x x x x

x f x dx f f

β

αβ

ρ

--

-

====

=--=-

==-=

--

=?==?=

--

≈+

??

?

令得高斯点： x

故高斯型求积公式为：

方法三：设[-1,1]上权(x)22

2

1

2

2

1

12

2

1

2

2

12

1122

22

1122

33

1122

2

12121

().

223

()0,+0,

535

2

()0,0,0

5

3

().

5

2

:

3

2

5

()()(),(

g x x ax b

b

x g x dx b

a

x xg x dx a

g x x

A A

A x A x

A x A x

A x A x

x x x x x x c x c x

??

-

-

=++

===-

?===

=-

+=

+=

+=

+=

=--=++

?

?

=x,首项系数为1的二次正交多项式为

则有：即

即

所以剩下步骤同法二.

法四

显然

2

2222

11221111222122112211122212

2

2

3322

11122211221112221122

1

1

2

)()0

()()()()()()()

223

0,

535

()()()()()

2

0,0

5

3

(),

5

x

A x A x A x c x c A x c x c A x A x c A x A x c A A

c

c

A x x A x x A x A x c A x A x c A x A x

c

c

x x

?

??

??

?

==

+=+++++=+++++

=+==-

+=+++++

===

=-剩下步骤同法二.

4,确定求积公式()()(0)()h

h f x dx Af h Bf Cf h -≈-++?中的参数A,B,C ，使其代数精度尽量高，并指出其代数精确度.(2008-2009B) 5,确定求积公式1

0211123

()()()()343234

f x dx f f f ≈

-+?的代数精确度.(2006-2007B) 6,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代数精确度1

0120113

()(

)()()424

f x dx A f A f A f ≈++?.(2005-2006) 7,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代数精确度101()()(0)()h

h f x dx A f h A f A f h --≈-++?.(2004-2005) 8,已知h>0，建立高斯型求积公式：

21122()()()h

h

x f x dx A f x A f x -≈+?

.(2011-2012)

题型五：求积公式的最少节点数

1,设定积分32

0x e dx -

?，问用复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6

，所需要的最少节点数为多少？(2010-2011)

(4)2

2

4

4(4)46

1

(),()16

301[]||()|1018018016960

17.05

19.

x x

S f x e f x e b a h f h f h b a

h

η---==--=-≤?=<-=解答：复化辛普森公式截断误差：|R 解得：h<0.176,n>故应取个节点 2,设定积分13

0x e dx -

?，问用复化梯形求积公式进行计算，要求误差小于10-6

，所

需要的最少节点数为多少？（2009-2010）

(2)

3

3

2

2(2)26

1(),()9

101[]||()|1012189162

2.8

.

x x T f x e f

x e

b a h f h f h b a

h

η-

--==--=-≤?=<-=解答：复化梯形公式截断误差：|R 解得：h<0.357,n>故应取4个节点

3,给定积分2

0cos2xdx ?，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6

，所需要的最少节点数各为多少？ （注：2(2)4(4)

[](),[](),[,]122880

T S b a b a R f h f R f h f a b ηηη--=-

=-∈）(2008-2009B) 4,给定积分14

0x e dx -

?，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6

，所需要的最少节点数各为多少？（2007-2008） 5，给定积分2

1Inxdx ?，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？ （已知：2(2)4(4)

1212[](),[](),,(,)12180

T S b a b a R f h f R f h f a b ηηηη--=-=-∈）（2006-2007） 6,用积分8

2

1

22dx In x

=?计算In2，要使所得近似值具有7位有效数字，问用复化辛普森求积公式至少需要取多少个节点？（2005-2006）

4(4)

8(4)5

2(4)-7

44(4)4-7[](),[2,8]

18011122,(),()223

|()|,[2,8]

8

1

7[]102

631

[]||()|10180180880282

0.04472,S S S b a R f h f In dx f x f x x x x

f x x R f b a h R f h f h h n h

ηηη-=-∈===≤∈≤?-=-≤?=≤?-≤≥=?解答：复化辛普森公式截断误差公式：

则使所得的近似值具有位有效数字，即令：|134.2

137故至少需要取个节点.

7，用积分6

21

3dx In x

=?计算In3，要使所得近似值具有5位有效数字，问用复化梯形求积公式至少需要取多少个节点？（2004-2005）

8,对于定积分1

0()I f x dx =?，当M 2=1/8,M 4=1/32,用11点的复化辛普森(Simpson)求积公式求I 的截断误差为R s [f],用n 个节点的复化梯形求积公式求I 的截断误差为R T [f],要使R T [f]≤R s [f]，n 至少是多少？

（M 2=max|f ”(x)|,M 4=max|f (4)

(x)|,[0,1]x ∈).(2011-2012)

题型六：Doolittle 分解及方程组求解

1,求矩阵212454635??

? ?

?-??

的Doolittle 分解.(2010-2011)

212100212454210030635321001LU ?????? ? ???

== ? ??? ? ???---??????

解答：A=

2,求矩阵114103241??

?- ?

???

的Doolittle 分解.(2009-2010)

3,设线性方程组1234101351

1415241016

2

1

16x x x x ---?????? ? ? ?- ?

? ?

?= ? ? ?- ? ? ?-????

?? (1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解；

(2),用所得的Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2007-2008&2005-2006)

123412341

010

1

3101

311000

1321

14

124100

0132241011

1916

2116

210

001313191,,,)(5,0,11,)

13

,,,)(1,1,1,1).T T

T T A LU LY b y y y UX Y x x x --????--?? ??

?

- ? ???-

?

=== ???

--- ? ??

? ? ???

-- ???

???

???==---==--解答：由得：(y 由得：(x

4,设线性方程组123411

4

151

0131241076

2118x x x x -?????? ? ? ?

-- ?

? ?

?=

? ? ? ? ? ?

-????

?? (1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解；

(2),用所得的Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2006-2007)

5,设线性方程组：123123123231

53478113

x x x x x x x x x ++=+-=-++=-

(1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解； (2),利用上述分解结果求解该线性方程组.(2004-2005)

6,用高斯顺序消去法求解线性方程组：

1324123424253

2431737

x x x x x x x x x x +=+=+++=+=.(2010-2011)

4321102051

02051

02050

10130

10130

1013=124317

022312

002160

10

370

10

370

00242,2,1, 1.x x x ?????? ? ? ?

? ? ?→→ ? ? ? ? ? ???????

====解答：增广矩阵回代求解：x

7,用高斯顺序消去法求解线性方程组:123123123347

2212320

x x x x x x x x x -+=-+-=---=.(2009-2010)

题型七：条件数及范数

1,求线性方程组121239107

898

1510

x x x x x --=+==的系数矩阵A 的条件数cond 1(A),并说明其含义.

（2010-2011）

1111191008900015910089010015()||||||||1919361

1A A cond A A A A b ----?? ?

= ?

???

?? ?-- ?= ?

?

?

?

?==?=解答：系数矩阵条件数远大于，这说明当和有小扰动时会引起解的较大误差，即该方程组是病态的.

2,设矩阵150

00910089A ?? ?=-- ?

???

，求cond ∞(A).（2009-2010）

3,设三阶对称矩阵A 的特征值分别为：-2,1,3，求||A||2及cond 2(A).(2007-2008)

2121222||||3

||||()|||||||| 3.

A A cond A A A --========解答：则：

4,若n 元线性方程组Ax=b 为病态的，可以得到关于系数矩阵A 的什么性质.(2006-2007)

5,若111123124A ??

?= ?

???

,求cond 1(A).（2005-2006）求cond ∞(A).(2004-2005)

6,设1231032475A -??

?=-- ?

?-??

,求1||||||||A A ∞与.(2007-2008)

7,若1234A ??

= ???

,求谱半径()A ρ

.(2005-2006) 52

ρ解答：最大特征值：（A)=

题型八：雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代

1，写出求解方程组12312312373212

41021534818

x x x x x x x x x -+=--=--=的雅可比迭代公式，并说明其收敛

性.(2010-2011)

(1)()()123(1)()()213(1)()()312(0)1

(3212)

71

(4215)

101(3418)8

7324102348.

k k k k k k k k k J x x x x x x x x +++=-+=--++=--++-?? ?

=-- ? ?--??

解答：雅可比迭代公式为：

x 雅可比迭代法迭代矩阵：B 严格对角占优，

故求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量x 收敛 2，设有方程组：132********

211

2212

x x x x x x x -=+=-++=，讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法

解此方程组的收敛性.(2010-2011)

112330200030000202100002000121221000200020031

()0021102||0,=0=-J J J L D U B D L U E B B λλλλρ---???????? ? ? ? ?

=++=++ ? ? ? ?

? ? ? ?--????????

?

? ? ?

?

=-+=- ? ?

?- ???-=解答：A=雅可比迭代矩阵：得，（）<1,故用雅可比迭代法解答此方程组对任意(0)1123(0)20031

-()00211001211

||0,=012

-S S S B D L U E B B λλλλρ-?

? ? ?

?

=-+=- ? ?

? ?

??-===

初始向量x 都收敛.

高斯赛德尔迭代矩阵：得，（）<1,故用高斯赛格尔迭代法解答此方程组对任意初始向量x 都收敛.

3,写出求解方程组：12312312353212

4721535818

x x x x x x x x x -+=--=--=的高斯-赛德尔迭代公式，并说明收敛

性.(2009-2010)

4,用雅可比迭代法求解以313132323A ??

?

= ? ?-??

为系数矩阵的线性方程组时，确定其收

敛性.(2009-2010)

5,设线性方程组1231231232211

6

2222

x x x x x x x x x -+=-+-=--+=-，讨论分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭

代法解此线性方程组的收敛性，若收敛，请给出迭代格式.(2008-2009B)

6,设线性方程组：1231231232215

20

2225

x x x x x x x x x +-=-++=++=-

(1),证明求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量收敛；相应的高斯-赛德尔迭代法不是关于任意初始向量收敛； (2),取(0)

(0,0,0)T x

=，用雅可比迭代法进行求解，要求

(1)()5||||10k k x x +--<.(2007-2008)

11231123022()101220||0,===0)1022()023002||0,0,2,)1

-J J J S S S D L U E B D L U E λλλλρλλλλρ---?? ?

=-+=-- ?

?--??

-=<-??

?

=-+=- ?

???

-====>解答：

(1):B B 解得：，（B B 解得：（B 所以用雅可比迭代法解此方程组对任意初始向量都收敛,而用高斯赛德尔迭代法解此方程组不是对任意初始向量都收敛.(2):(1)()()123(1)

()

()

2

1

3

(1)()()312(0)(1)(2)(3)(4)221520

2225(0,0,0)(15,20,25)(105,60,35)(205,160,65)(205,160,65)k k k k k k k k k T T T T

T

x x x x

x x x x x x x x x +++=-+-=--+=---==--=--=-=-雅可比迭代公式：x 当时，计算得：（精确解）.

7,设线性方程组:1231231238210

27325431111

x x x x x x x x x ++=--++=-+=-

(1),写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并确定其收敛性； (2),取(0)

(0,0,0)T x

=，用高斯-赛德尔迭代法计算x (3).(2006-2007)

8,设线性方程组Ax=b 的系数矩阵232131t A t t ?? ?

= ? ?-??

，其中t<0，问t 取何值时雅可

比迭代法关于任意初始向量都收敛.(2006-2007)

12122223021

()0310422

||()0=0=-,=

)12||<1,t<-2,or t>2

0, 2.

J J J t t D L U t t t t E B t t t

t

t t λλλλλλρ-?

?-- ? ? ?

=-+=-- ? ? ?- ?

??

-=-=<<<-解答：雅可比迭代矩阵B 得，，雅可比迭代法对于任意初始向量都收敛，则（B 即：得又故

9,1),设线性方程组：12123234324

3430424

x x x x x x x +=+-=-+=-

写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式，并确定该迭代法的收敛性；

2),设线性方程组：123123123104413

410811481025

x x x x x x x x x ++=++=++=

写出求解该方程组的高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并确定该迭代法的收敛性.(2004-2005)

10,给定方程组：123123123225

1

223

x x x x x x x x x +-=++=++=

(1),用三角分解法解此方程组；

(2),写出解此方程组的雅可比迭代公式，说明收敛性；取初始向量x 0=(0,0,0)T

,

当2

1||||10k k x x -+-<时，求其解.(2011-2012)

11,

设()

2

125

3sin 3

421sin

cos 43tan 5k k k k k k k A

k k k k

k

??

- ?+ ? ?

= ?+???

?

，求()lim k k A →∞.(2007-2008)

()

020lim 021205K k A →∞

??

?= ? ???

解答： 12,若()

()11,lim 1sin sin k k k k k k A

A k k k k →∞??

?

+=

? ?

???

求.(2004-2005) ()01lim 10K k A →∞

??

= ???

解答： 题型九：非线性迭代

1,

设计一个算法求.(2008-2009B)

101125

(),0.2k k k

x x x +=+>解答：牛顿迭代公式：x

2,

给出用牛顿法求围.(2010-2011)

66155

6'5"4"*00001050

517001701170

[5]66()170,()60,()300()()0,.1170

(5)61170

()(5)6k k k k k k

x x x x x x x x f x x f x x f x x x f x f x x x x x x g x x x +=-=-=-=+=-=>=>>?><=+=+

解答：的正根.

由牛顿迭代法得迭代公式：当故此时收敛到当0<

设'611*01850

()(5)0,()0,

6:0,.0.

x g x x g x g x

x x x x x ∈=-<∈>=

>>∈>故故回到前段.所以当迭代公式也收敛到综上：

3,给出用牛顿法求近似值的迭代公式，并给出初值的取值范围.(2009-2010) 解答：方法同上.

4,设φ(x)=x+c(x 2

-5),当c 为何值时，x k+1

=φ(x k )，(k=0,1,2…)产生的序列

{x k }

收敛于c 为何值时收敛最快？

(2010-2011)

2'

'**1**'*5),||<1,||<110,0;.

k k cx x c ?????+-=-<<<<解答：(x)=x+c(x (x)=1+2cx

x (x )收敛，则有(x )即1+2cx 又当(x )=0,即

5,设2

()(3)x x c x ?=+-，应如何选取常数c 才能使迭代1(),(0,1,2)k k x x

k ?+==L

具有局部收敛性？C 取何值时，这个迭代收敛最快？取x 0=2,c =计算()

x ?的不动点，要求当61||10k k x x -+-<时结束迭代.(2004-2005)