三年中考2010-2012全国各地中考数学试题分类汇编汇编：直角三角形与勾股定理
2012年全国各地中考数学真题分类汇编第24章直角三角形与勾股定理一.选择题1．（2012•广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．2.（2012毕节）如图.在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E式垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A.23B.2C.43D. 43.（2012湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（）5A.20B.10C.5D.24.（2012安徽）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）DA.10B.54C. 10或54D.10或1725. （2012•荆门）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）A ．B ．C ．D ．6. ( 2012巴中)如图3，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD≌△ACD 的条件是( )A.AB=ACB.∠BAC=900C.BD=ACD.∠B=450二.填空题7.( 2012巴中)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长,且满足关系c 2-a 2-b 2 +|a-b|=0,则△ABC的形状为______ 8（2012泸州）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=6cm ，则BC= .9.（2012青岛）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm ，底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.11.（2012南州）如图1，矩形ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 的坐标为（ ）A 、（2，0）B 、1,0）C 、）D 、）12．（2012临沂）在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2cm ，CD⊥AB，在AC 上取一点E ，使EC=BC ，过点E 作EF⊥AC 交CD 的延长线于点F ，若EF=5cm ，则AE= cm ．13.（2012陕西）如图，从点()02A ，发出的一束光，经x 轴反射，过点()43B ，，则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为 ．14．（2012•资阳）直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 10或8 ．15．（2012无锡）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD 沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于 3 cm．16.(2012黔西南州)如图6，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为______________．三.解答题17．（2012菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC 相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．2011年全国各地中考数学真题分类汇编第24章直角三角形与勾股定理一、选择题1.（2011山东滨州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°, ∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1)（）A.9.1B.9.5C.3.1D.3.52. （2011山东烟台，7,4分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道，则O到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）A2m B.3mC.6mD.9m3. （2011台湾全区）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？A．100 B．180 C．220 D．2604. （2011湖北黄石，7，3分）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图(3)，则三角板的最大边的长为A. 3cmB. 6cmC. 32cmD. 62cm5. （2011贵州贵阳，7，3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（第7题图）（A ）3.5 （B ）4.2 （C ）5.8 （D ）76. （2011河北，9，3分）如图3，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6,D,E 分别在AB,AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（ ）A ．21B ．2C ．3D ．4图3A '【答案】B7.8.二、填空题1. （2011山东德州13,4分）下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．【答案】① ④2. （2011浙江温州，16，5分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2，S3．若S1，S2，S3＝10，则S2的值是．【答案】1033. (2011重庆綦江，16，4分) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°,∠B＝90°,BC＝6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE＝米时,有DC＝AE＋BC.14【答案】：34. （2011四川凉山州，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么222+=”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：a b c。
【答案】如果三角形三边长a，b，c，满足222+=，那么这个三角形是直角三角形a b c5. （2011江苏无锡，16，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，D、E、F分别是AB 、BC 、CA 的中点，若CD = 5cm ，则EF = _________cm ．【答案】56. （2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC 中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，则AB ＝ ▲ ．【答案】157. （2011贵州安顺，16，4分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，AC =8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是 ．【答案】6cm 2 8. （2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB =14cm ，则阴影部分的面积是________cm 2.第16题图A CB EF D（第16题）【答案】4929.10． 三、解答题1. （2011四川广安，28，10分）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m 、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直．．．．．．角三角形．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长． 【答案】由题意可得，花圃的周长=8+8+2. （2011四川绵阳23，12）王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔.已知第一条边长为a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.(1)请用a 表示第三条边长；(2)问第一条边长可以为7米吗？为什么?请说明理由，并求出a 的取值范围；(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;若不能，请说明理由.【答案】(1)第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a-（2a+2）=28-3a(2)不可以是7，∵第一条边为7，第二条边为16，第三条边为7，不满足三边之间的关系，不可以构成三角形。
132＞a ＞5ACEB(3)5,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形4. （2011四川乐山25，12分）如图,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,点E 在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.(1)如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是证明:(2)如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是证明(3)如图(14.1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是(写出关系式,不必证明)5. （2011四川乐山18，3分）如图，在直角△ABC中，∠C=90，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数。
【答案】解：∵AD平分∠CAD∴∠CAD=∠BAD∵DE垂直平分AB∴AD=BD,∠B=∠BAD∴∠CAD=∠BAD=∠B∵在Rt ΔABC 中，∠C=90º∴∠CAD+∠DAE+∠B=90º∴∠B=30º6. （2011山东枣庄，21，8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）画线段AD ∥BC 且使AD =BC ，连接CD ；（2）线段AC 的长为 ，CD 的长为 ，AD 的长为 ；（3）△ACD 为 三角形，四边形ABCD 的面积为 ；（4）若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是 ．解：（1）如图； ……………………………1分（2）2，5； ………………4分（3）直角，10； ……………………6分 ABCE第21题图 D ABCE（4）12． ……………………………8分 2010年全国各地中考数学真题分类汇编第24章 直角三角形与勾股定理一、选择题1．（2010 浙江台州市）如图，△ABC 中，∠C =90°，AC =3，点P 是边BC 上的动点，则AP 长不可能．．．是(▲)A ．2.5B ．3C ．4D ．5【答案】A2．（2010山东临沂）如图，ABC ∆和DCE ∆都是边长为4的等边三角形，点B 、C 、E在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为E DCBA（第3题）（AB）C）D）【答案】D3．（2010 四川泸州）在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，则该三角形为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ． 钝角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B4．（2010 广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ， 现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（A ）4 cm（B ）5 cm （C ）6 cm （D ）10 cm【答案】B5．（2010广西南宁）图1中，每个小正方形的边长为1，ABC ∆的三边c b a ,,的大小关系式：（A ）b c a << （B ）c b a <<（C ）b a c << （D ）a b c << 图1A 第15题B CD E【答案】C6．（2010广东湛江）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A.1，2，3B.2，3，4C.3，4，5D.4，5，6【答案】C二、填空题1．（10湖南益阳）如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，AD 是底边上的高，E 为AC 中点，则DE ＝ ．【答案】42．（2010辽宁丹东市）已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ．【答案】n )2(AB CDEF G 第15题图3．（2010 浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么APQR的周长等于．【答案】4．（2010四川宜宾）已知，在△ABC中，∠A= 45°，AC= 2，AB= 3+1，则边BC 的长为．【答案】25．（2010湖北鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=AB= ．【答案】126．（2010河南）如图，Rt△ABC中，∠C=030，AB=6.点D在AB边上，90, ∠ABC=0点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是 .【答案】2≦AD < 37．（2010四川乐山）如图（4），在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠ACD=40°,则∠EBC=______.【答案】140°8．（2010四川乐山）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．图（6）是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为S n．设第一个正方形的边长为1．图（6）请解答下列问题：（1）S1＝__________；（2）通过探究，用含n 的代数式表示S n ，则S n ＝__________．【答案】1＋38；(1＋38)·(34)n -1(n 为整数) 9．（2010 江苏镇江）如图， 90,=∠∆ACB ABC Rt 中，DE 过点C ，且DE//AB ，若50=∠ACD ，则∠A= ，∠B=.【答案】40,50 10．（2010 广西玉林、防城港）两块完全一样的含30角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M 转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图6，∠A ＝30︒，AC ＝10，则此时两直角顶点C 、C '间的距离是。
2012年全国各地中考数学解析汇编16三角形
2012年全国各地中考数学解析汇编16 三角形16.1与三角形中的边角关系16.2命题与证明16.3全等三角形16.4等腰三角形（2012广东肇庆，9，3）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为A．16 B．18C．20 D．16或20【解析】先利用等腰三角形的性质:两腰相等；再由三角形的任意两边和大于第三边,确定三角形的第三边长,最后求得其周长.【答案】C【点评】本题将两个简易的知识点:等腰三角形的两腰相等和三角形的三边关系组合在一起.难度较小.（2012广东肇庆，3，3）如图1，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B = 60°，∠AED = 40°，则∠A 的度数为AD EB C图1A．100°B．90°C．80°D．70°【解析】结合两直线平行，同位角相等及三角形内角和定理，把已知角和未知角联系起来，即可求出角的度数．【答案】C【点评】本题考查了三角形的内角和定理，及平行线的性质。
（2012山东省滨州，1，3分）一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【解析】三角形的三个角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形．【答案】选D．【点评】本题考查三角形内角和定理：三角形的内角和是180°．再由三个角的大小之比可求出三个角的大小．( 2012年四川省巴中市,3,3)三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A.中线B.角平分线C.高D.中位线【解析】根据中线的定义,”连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线”,知三角形的中线把三角形分成等底同高的两个三角形,它们的面积相等.故选A.【答案】A【点评】本题考查三角形中线及三角形面积的有关概念,比较容易.(2012广东汕头，7，3分)已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）21世纪教育网A BCD A ． 5 B ． 6 C ． 11 D ． 16分析： 设此三角形第三边的长为x ，根据三角形的三边关系求出x 的取值范围，找出符合条件的x 的值即可． 解答： 解：设此三角形第三边的长为x ，则10﹣4＜x ＜10+4，即6＜x ＜14，四个选项中只有11符合条件． 故选C ． 点评： 本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（2012年广西玉林市，8，3）如图在菱形ABCD 中，对角线AC 、DB 相交于点O ，且AC ≠BD ，则图中全等三角形有A ．4对B ．6对C ．8对D ．10对分析：根据菱形四边形等，对角线互相垂直且平分，结合全等三角形的判定即可得出答案． 解：图中全等三角形有：△ABO ≌△ADO 、△ABO ≌△CDO ，△ABO ≌△CBO ；△AOD ≌△COD ，△AOD ≌△COB ；△DOC ≌△BOC ；△ABD ≌△CBD ，△ABC ≌△ADC ，共8对．故选C ．点评：此题考查了全等三角形的判定及菱形的性质，注意掌握全等三角形的几个判定定理，在查找时要有序的进行，否则很容易出错．10. ( 2012年四川省巴中市,10,3)如图3，已知AD 是△ABC 的 BC 边上的高，下列能使△ABD ≌△ACD 的条件是( ) A.AB=AC B.∠BAC=900 C.BD=AC D.∠B=450【解析】由条件A,与直角三角形全等的判定“斜边、直角边”可判定△ABD ≌△ACD ，其它条件均不能使 △ABD ≌△ACD ，故选A 【答案】A【点评】本题考查直角三角形全等的判定“斜边、直角边”应用.（2012四川泸州，11，3分）若下列各组值代表线段的长度，则不能构成三角形的是（ ） A.3，8，4 B.4，9，6 C.15，20，8 D.9，15，8解析：根据三角形两边之和大于第三边或两边边之差小于第三边进行判断.由于3+4＜8，所以不能构成三角形；因为4+6＞9，所以三线段能构成三角形；因为8+15＞20，所以三线段能构成三角形；因为9+8＞15，所以三线段能构成三角形.故选A. 答案：A点评：判断三条线段能否构成三角形的边，可以从三条线段中选较小两边之和与剩下一边比较，和大于这边，就能够组成三角形的边.（2012黑龙江省绥化市，4，3分）等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是 ．【解析】 解：题中给出了等腰三角形的两边长，因没给出具体谁是底长，故需分类讨论：①当3是底边长时，周长为5+5+3=13；②当5是底边长时，周长为3+3+5=11． 【答案】 11或13．【点评】 本题考查了等腰三角形中的常见分类讨论思想，已知两边求第三边长或周长面积等，解决本题的关键是注意要分类讨论，但注意有时其中一种情况不能构造出三角形，考生稍不留神也会写出这种不合题意的答案．难度中等．（2012深圳市 6 ，3分）如图1所示，一个60o角的三角形纸片，剪去这个60o角后，得到一个四边形，则∠+∠12 的度数为（ ）A. 120oB. 180oC. 240oD. 300o【解析】：考查多边形的内角和，根据公式()n -1802o 来算即可。
三角形2012年贵州中考数学题(带答案)
三角形2012年贵州中考数学题（带答案）贵州各市2012年中考数学试题分类解析汇编专题9：三角形一、选择题1.（2012贵州贵阳3分）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是【】A．∠BCA=∠FB．∠B=∠EC．BC∥EFD．∠A=∠EDF【答案】B。
【考点】全等三角形的判定。
190187。
【分析】应用全等三角形的判定方法逐一作出判断：A、由AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F构成SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；B、由AB=DE，BC=EF和∠B=∠E构成SAS，符合全等的条件，能推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；C、∵BC∥EF，∴∠F=∠BCA。
由AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA构成SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；D、由AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF构成SSA，不符合全等的条件，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误。
故选B。
2.（2012贵州贵阳3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是【】A．3B．2C．D．1【答案】B。
【考点】线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定。
【分析】连接AF，∵DF是AB的垂直平分线，∴AF=BF。
∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°﹣30°=60°。
∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°﹣30°=30°。
∵DE=1，∴AE=2DE=2。
∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2。
故选B。
3.（2012贵州安顺3分）某一时刻，身髙1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是【】A．1.25mB．10mC．20mD．8m【答案】C。
直角三角形与勾股定理(优选真题60道)(原卷版)--三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）直角三角形与勾股定理（优选真题60道）一．选择题（共28小题）1．（2023•湖北）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在边AC 上，且BD 平分△ABC 的周长，则BD 的长是（ ）A ．√5B ．√6C ．6√55D ．3√642．（2023•济宁）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A ，B ，C ，D ，E 均在小正方形方格的顶点上，线段AB ，CD 交于点F ，若∠CFB ＝α，则∠ABE 等于（ ）A ．180°﹣αB ．180°﹣2αC ．90°+αD ．90°+2α3．（2023•天津）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M ，N 两点，直线MN 分别与边BC ，AC 相交于点D ，E ，连接AD ．若BD ＝DC ，AE ＝4，AD ＝5，则AB 的长为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．64．（2023•泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a ，b ，c 的计算公式：a =12（m 2﹣n 2），b ＝mn ，c =12（m 2+n 2），其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）A ．3，4，5B ．5，12，13C ．6，8，10D ．7，24，255．（2023•无锡）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝30°，∠ADC ＝60°，BC ＝CD ＝2，若线段MN 在边AD 上运动，且MN ＝1，则BM 2+2BN 2的最小值是（ ）A ．132B ．293C ．394D ．106．（2023•日照）已知直角三角形的三边a ，b ，c 满足c ＞a ＞b ，分别以a ，b ，c 为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S 1，均重叠部分的面积为S 2，则（ ）A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＝S 2D ．S 1，S 2大小无法确定7．（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，∠A 所对的边为√3，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）A ．2√3B ．2√3−3C ．2√3或√3D ．2√3或2√3−38．（2022•南充）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，DE ∥AB ，交AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，DE ＝5，DF ＝3，则下列结论错误的是（ ）A ．BF ＝1B ．DC ＝3 C ．AE ＝5D ．AC ＝99．（2022•遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若AB ＝BC ＝1，∠AOB ＝30°，则点B 到OC 的距离为（ ）A ．√55B ．2√55C ．1D ．210．（2022•安徽）已知点O 是边长为6的等边△ABC 的中心，点P 在△ABC 外，△ABC ，△P AB ，△PBC ，△PCA 的面积分别记为S 0，S 1，S 2，S 3．若S 1+S 2+S 3＝2S 0，则线段OP 长的最小值是（ ）A ．3√32B ．5√32C ．3√3D ．7√3211．（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．52B ．3C ．2√2D ．10312．（2022•南京）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，四边形AMNB 是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C 距离最大的是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q13．（2022•温州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF ，作GM ⊥CF 于点M ，BJ ⊥GM 于点J ，AK ⊥BJ 于点K ，交CF 于点L ．若正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，CE =√10+√2，则CH 的长为（ ）A ．√5B ．3+√52C ．2√2D ．√1014．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（ ）A ．4√2B ．6C ．2√10D ．3√515．（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC ．若OC =√5，BC ＝1，∠AOB ＝30°，则OA 的值为（ ）A ．√3B ．32C ．√2D ．116．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校17．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想B．分类思想C．数形结合思想D．函数思想18．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺19．（2021•自贡）如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（）A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）20．（2021•常德）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（）A．②④B．①②④C．①②D．①④21．（2023•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE 的周长和面积分别是（）A．16，6B．18，18C．16，12D．12，1622．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm23．（2022•永州）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝60°，点D 为边AC 的中点，BD ＝2，则BC 的长为（ ）A ．√3B ．2√3C ．2D ．424．（2022•大连）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°．分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN ．直线MN 与AB 相交于点D ，连接CD ，若AB ＝3，则CD 的长是（ ）A ．6B ．3C ．1.5D ．125．（2021•新疆）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，CD ⊥AB 于点D ，E 是AB 的中点，则DE 的长为（A ．1B ．2C ．3D ．426．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m ，则底边上的高是（ ）A ．4mB ．6mC ．10mD ．12m27．（2021•黑龙江）如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF 绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④S四边形BCEM：S△BFM＝（2√2+1）：1．其中结论正确的序号是（）A．①②B．①②③C．①②④D．③④28．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°二．填空题（共27小题）29．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km 至C港，则A，C两港之间的距离为km．30．（2023•菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为．31．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC 的角平分线，则AD＝．32．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为．33．（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF ＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．34．（2022•无锡）已知△ABC中，∠B＝45o，∠C＝60o，AB=√6，则AC＝．35．（2022•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝2，BC＝4，点E、F分别在AB、AC上，点A关于EF的对称点A'落在BC上，设CA'＝x．若AE＝AF，则x＝；设AE＝y，请写出y关于x的函数表达式：．36．（2022•鄂尔多斯）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE=13，则AB的长是．237．（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为．38．（2021•丹东）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为．39．（2021•玉林）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿方向航行．40．（2021•深圳）如图，已知∠BAC＝60°，AD是角平分线且AD＝10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为．41．（2021•成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为．42．（2021•宿迁）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是尺．43．（2021•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为．44．（2021•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为．45．（2021•齐齐哈尔）直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高为．46．（2021•无锡）锐角△ABC中，∠A＝30°，AB＝m，则△ABC面积S的取值范围是．47．（2023•荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE ＝．48．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝．49．（2022•荆州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于AE＝1，则CD＝．D，E，连接CD．若CE=1350．（2021•盐城）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD＝2，则AB＝．51．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN ＝50（√3−1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少m （结果取整数，参考数据：√3≈1.7）．52．（2021•陕西）如图，在Rt△中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为．53．（2021•乐山）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝4．若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则CP的长为．54．（2021•常州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CBA＝30°，AC＝1，D是AB上一点（点D与点A不重合）．若在Rt△ABC的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则AD长的取值范围是．55．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为．三．解答题（共5小题）56．（2023•金华）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格，在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数，阅读以下作图过程，并回答下列问题：（1）分别求点P3，P4表示的度数．（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．57．（2022•陕西）我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．如图，在10×15的正方形网格中，将弦图ABCD放大，使点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′．（1）A′C′与AC的比值为；（2）补全弦图A′B′C′D′．58．（2021•攀枝花）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．59．（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求证：CE＝CM．（2）若AB＝4，求线段FC的长．60．（2021•杭州）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC ＝60°，∠C＝45°．（1）求证：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面积．。
广东省2012年中考数学试题分类解析汇编 专题9 三角形
某某2012年中考数学试题分类解析汇编 专题9：三角形 一、选择题1. （2012某某某某3分）在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是【 】A ．B ．C ．D ．【答案】A 。
【考点】勾股定理，点到直线的距离，三角形的面积。
【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示。
在Rt△ABC 中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：2222AB=AC +BC 9+1215==。
过C 作CD⊥AB，交AB 于点D ，则由S △ABC =12AC•BC=12AB•CD，得AC BC 91236CD AB 155⋅⨯===。
∴点C 到AB 的距离是365。
故选A 。
2. （2012某某某某3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【 】A.(63)+米B.12米C.(423)+米 D ．10米【答案】A 。
【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。
【分析】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°。
作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，∴CE=2，EF=4cos30°=23，在Rt△CED中，CE=2，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。
∴BD=BF+EF+ED=12+23。
∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，∴在Rt△ABD中，AB=12BD=()112+236+32=。
故选A。
3. （2012某某某某3分）如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7的边长为【】A．6 B．12 C．32 D．64【答案】C。
【三年中考】2010-2012全国各地中考数学试题分类汇编汇编 点、线、面、体、角
2012年全国各地中考数学真题分类汇编点、线、面、体、角1．（2012某某）已知∠α＝32º，则∠α的补角为【C】A．58ºB．68ºC．148ºD．168º【考点】余角和补角．【专题】常规题型．【分析】根据互为补角的和等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵∠a=32°，∴∠a的补角为180°－32°=148°．故选C．【点评】本题考查了余角与补角的定义，熟记互为补角的和等于180°是解题的关键．2．（2012中考）如图，直线a与直线c相交于点O，∠1的度数是（Ｄ）A．60° B．50°C．40° D．30°3．（2012某某）下列四个角中，最有可能与70°角互补的是（）A．B．C．D．【答案】【点评】D解：70°角的补角=180°﹣70°=110°，是钝角，结合各选项，只有D选项是钝角，所以，最有可能与70°角互补的是D选项的角．故选D．4. （2012某某）已知△ABC中,∠B是∠A的2倍, ∠C比∠A大20° ,则∠A等于( )A. 40°B. 60°C. 80°D. 90°【解析】∵∠B＝2∠A, ∠C＝∠A+20°,∠A+∠B+∠C＝180°,∴∠A+2∠A+(∠A+20°)＝180°, ∴∠A＝40°. 故选A.【答案】A.【点评】本题考查三角形内角和的应用.送分题.5.（2012滨州）借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（）A．65°B．75°C．85°D．95°【解析】利用一副三角板可以画出75°角，用45°和30°的组合即可，【答案】选B．【点评】本题考查角的计算。
直角三角形与勾股定理(优选真题60道)三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编(全国通用)解析
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）直角三角形与勾股定理（优选真题60道）一．选择题（共28小题）1．（2023•湖北）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在边AC 上，且BD 平分△ABC 的周长，则BD 的长是（ ）A ．√5B ．√6C ．6√55D ．3√64【分析】根据勾股定理得到AC =√AB 2+BC 2=5，求得△ABC 的周长＝3+4+5＝12，得到AD ＝3，CD＝2，过D 作DE ⊥BC 于E ，根据相似三角形的性质得到DE =65，CE =85，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，∴AC =√AB 2+BC 2=5，∴△ABC 的周长＝3+4+5＝12，∵BD 平分△ABC 的周长，∴AB +AD ＝BC +CD ＝6，∴AD ＝3，CD ＝2，过D 作DE ⊥BC 于E ，∴AB ∥DE ，∴△CDE ∽△CAB ，∴DE AB =CD AC =CE CB ， ∴DE 3=25=CE 4，∴DE =65，CE =85，∴BE =125，∴BD =√BE 2+DE 2=√(125)2+(65)2=6√55，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．2．（2023•济宁）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（）A．180°﹣αB．180°﹣2αC．90°+αD．90°+2α【分析】过B点作BG∥CD，连接EG，根据平行线的性质得出∠ABG＝∠CFB＝α．根据勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根据勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，进而求出∠ABE的度数．【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG，∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α．∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，∴BG2+BE2＝EG2，∴△BEG是直角三角形，∴∠GBE＝90°，∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．3．（2023•天津）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M ，N 两点，直线MN 分别与边BC ，AC 相交于点D ，E ，连接AD ．若BD ＝DC ，AE ＝4，AD ＝5，则AB 的长为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AC ＝2AE ＝8，DA ＝DC ，从而可得∠DAC ＝∠C ，再结合已知易得BD ＝AD ，从而可得∠B ＝∠BAD ，然后利用三角形内角和定理可得∠BAC ＝90°，从而在Rt △ABC 中，利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：MN 是AC 的垂直平分线，∴AC ＝2AE ＝8，DA ＝DC ，∴∠DAC ＝∠C ，∵BD ＝CD ，∴BD ＝AD ，∴∠B ＝∠BAD ，∵∠B +∠BAD +∠C +∠DAC ＝180°，∴2∠BAD +2∠DAC ＝180°，∴∠BAD +∠DAC ＝90°，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC 中，BC ＝BD +CD ＝2AD ＝10，∴AB =√BC 2−AC 2=√102−82=6，故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023•泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a ，b ，c 的计算公式：a =12（m 2﹣n 2），b ＝mn ，c =12（m 2+n 2），其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）A ．3，4，5B ．5，12，13C ．6，8，10D ．7，24，25【分析】根据题目要求逐一代入符合条件的m ，n 进行验证、辨别．【解答】解：∵当m ＝3，n ＝1时，a =12（m 2﹣n 2）=12（32﹣12）＝4，b ＝mn ＝3×1＝3，c =12（m 2+n 2）=12×（32+12）＝5，∴选项A 不符合题意；∵当m ＝5，n ＝1时，a =12（m 2﹣n 2）=12（52﹣12）＝12，b ＝mn ＝5×1＝5，c =12（m 2+n 2）=12×（52+12）＝13，∴选项B 不符合题意；∵当m ＝7，n ＝1时，a =12（m 2﹣n 2）=12（72﹣12）＝24，b ＝mn ＝7×1＝7，c =12（m 2+n 2）=12×（72+12）＝25，∴选项D 不符合题意；∵没有符合条件的m ，n 使a ，b ，c 各为6，8，10，∴选项C 符合题意，故选：C ．【点评】此题考查了整式乘法运算和勾股数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．5．（2023•无锡）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝30°，∠ADC ＝60°，BC ＝CD ＝2，若线段MN 在边AD 上运动，且1，则BM 2+2BN 2的最小值是（ ）A ．132B ．293C ．394D ．10【分析】过B 作BF ⊥AD 于F ，过C 作CE ⊥AD 于E ，根据直角三角形的性质得到CE =√32CD =√3，求得BF =CE =√3，要使BM 2+2BN 2的值最小，则BM 和BN 越小越好，MN 显然在点B 的上方（中间位置时），设MF ＝x ，FN ＝1﹣x ，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：过B 作BF ⊥AD 于F ，过C 作CE ⊥AD 于E ，∵∠D ＝60°，CD ＝2，∴CE =√32CD =√3，∵AD∥BC，∴BF=CE=√3，要使BM2+2BN2的值最小，则BM和BN越小越好，∴MN显然在点B的上方（中间位置时），设MF＝x，FN＝1﹣x，∴BM2+2BN2＝BF2+FM2+2（BF2+FN2）＝x2+3+2[（1﹣x）2+3]＝3x2﹣4x+11＝3（x−23）2+293，∴当x=23时，BM2+2BN2的最小值是293．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．6．（2023•日照）已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．S1，S2大小无法确定【分析】由直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，根据垂线段最短可知该直角三角形的斜边为c，则c2＝a2+b2，所以c2﹣a2﹣b2＝0，则S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，而S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，所以S1＝S2，于是得到问题的答案．【解答】解：∵直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，∴该直角三角形的斜边为c，∴c2＝a2+b2，∴c2﹣a2﹣b2＝0，∴S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，∵S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，∴S1＝S2，故选：C．【点评】此题重点考查勾股定理、正方形的面积公式、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，确定三边为a，b，c的直角三角形的斜边为c是解题的关键．7．（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为√3，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）A．2√3B．2√3−3C．2√3或√3D．2√3或2√3−3【分析】根据题意知，CD＝CB，作CH⊥AB于H，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH，AH 的长，再利用勾股定理求出BH，从而得出答案．【解答】解：如图，CD＝CB，作CH⊥AB于H，∴DH＝BH，∵∠A＝30°，∴CH=12AC=32，AH=√3CH=32√3，在Rt△CBH中，由勾股定理得BH=√BC2−CH2=√3−94=√32，∴AB＝AH+BH=3√32+√32=2√3，AD＝AH﹣DH=3√32−√32=√3，故选：C．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，理解题意，求出BH的长是解题的关键．8．（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、正确；∴CE=√DE2−CD2=4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC=CDCE，tan∠FDB=BFDF，∴34=BF3，解得BF=94，故选项A错误；故选：A．【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．（2022•遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若AB ＝BC ＝1，∠AOB ＝30°，则点B 到OC 的距离为（ ）A ．√55B ．2√55C ．1D ．2【分析】作BH ⊥OC 于H ，利用含30°角的直角三角形的性质得OB ＝2，再由勾股定理得OC =√5，再根据cos ∠BOC ＝cos ∠CBH ，得OB OC =BH BC，代入计算可得答案． 【解答】解：作BH ⊥OC 于H ，∵∠AOB ＝30°，∠A ＝90°，∴OB ＝2AB ＝2，在Rt △OBC 中，由勾股定理得，OC =√OB 2+BC 2=√22+12=√5，∵∠CBO ＝∠BHC ＝90°，∴∠CBH ＝∠BOC ，∴cos ∠BOC ＝cos ∠CBH ，∴OB OC =BH BC ， ∴√5=BH1，∴BH =2√55， 故选：B ．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的三角函数值相等是解题的关键．10．（2022•安徽）已知点O 是边长为6的等边△ABC 的中心，点P 在△ABC 外，△ABC ，△P AB ，△PBC ，△PCA 的面积分别记为S 0，S 1，S 2，S 3．若S 1+S 2+S 3＝2S 0，则线段OP 长的最小值是（ ） A ．3√32 B ．5√32 C ．3√3 D ．7√32【分析】如图，不妨假设点P 在AB 的左侧，证明△P AB 的面积是定值，过点P 作AB 的平行线PM ，连接CO 并延长CO 交AB 于点R ，交PM 于点T ．因为△P AB 的面积是定值，推出点P 的运动轨迹是直线PM ，求出OT 的值，可得结论．【解答】解：如图，不妨假设点P 在AB 的左侧，∵S △P AB +S △ABC ＝S △PBC +S △P AC ，∴S 1+S 0＝S 2+S 3，∵S 1+S 2+S 3＝2S 0，∴S 1+S 1+S 0＝2S0，∴S 1=12S 0， ∵△ABC 是等边三角形，边长为6，∴S 0=√34×62＝9√3，∴S 1=9√32，过点P 作AB 的平行线PM ，连接CO 延长CO 交AB 于点R ，交PM 于点T ．∵△P AB 的面积是定值，∴点P 的运动轨迹是直线PM ，∵O 是△ABC 的中心，∴CT ⊥AB ，CT ⊥PM ，∴12•AB •RT =9√32，CR ＝3√3，OR =√3， ∴RT =3√32， ∴OT ＝OR +TR =5√32， ∵OP ≥OT ，∴OP 的最小值为5√32， 当点P 在②区域时，同法可得OP 的最小值为7√32， 如图，当点P 在①③⑤区域时，OP 的最小值为5√32，当点P 在②④⑥区域时，最小值为7√32， ∵5√32＜7√32，故选：B ．【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△P AB 的面积是定值．11．（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．52B ．3C ．2√2D ．103【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB =√BC 2+AC 2=√62+82=10，∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴AE AB =AF AC ， ∴AE 10=28， ∴AE =52，故选：A ．【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．12．（2022•南京）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，四边形AMNB 是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C 距离最大的是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【分析】根据直三棱柱的特征结合勾股定理求出各线段的距离，再比较大小即可求解．【解答】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，32+42＝52，∴△ACB是直角三角形，∴CE=12AC•BC÷12÷AB＝3×4÷5＝2.4，∴AE=√AC2−CE2=√32−2．42=1.8，∴BE＝5﹣1.8＝3.2，∵四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱，∴CQ＝5，∴CM＝CP=√52+32=√34，CN=√52+42=√41，∵√41＞√34＞5，∴与点C距离最大的是点N．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，展开图折叠成几何体，关键是求出各线段的距离．13．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=√10+√2，则CH的长为（）A．√5B．3+√52C．2√2D．√10【分析】设CF 交AB 于点P ，过C 作CN ⊥AB 于点N ，设正方形JKLM 边长为m ，根据正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，得AF ＝AB =√5m ，证明△AFL ≌△FGM （AAS ），可得AL ＝FM ，设AL ＝FM ＝x ，在Rt △AFL 中，x 2+（x +m ）2＝（√5m ）2，可解得x ＝m ，有AL ＝FM ＝m ，FL ＝2m ，从而可得AP =√5m 2，FP =52m ，BP =√5m 2，即知P 为AB 中点，CP ＝AP ＝BP =√5m 2，由△CPN ∽△FP A ，得CN ＝m ，PN =12m ，即得AN =√5+12m ，而tan ∠BAC =BC AC =CN AN =2√5+1，又△AEC ∽△BCH ，得BC AC =CH CE，即√5+1=√10+√2，故CH ＝2√2．【解答】解：设CF 交AB 于点P ，过C 作CN ⊥AB 于点N ，如图：设正方形JKLM 边长为m ，∴正方形JKLM 面积为m 2，∵正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，∴正方形ABGF 的面积为5m 2， ∴AF ＝AB =√5m ，由已知可得：∠AFL ＝90°﹣∠MFG ＝∠MGF ，∠ALF ＝90°＝∠FMG ，AF ＝GF ，∴△AFL ≌△FGM （AAS ），∴AL ＝FM ，设AL ＝FM ＝x ，则FL ＝FM +ML ＝x +m ，在Rt △AFL 中，AL 2+FL 2＝AF 2，∴x 2+（x +m ）2＝（√5m ）2，解得x ＝m 或x ＝﹣2m （舍去），∴AL ＝FM ＝m ，FL ＝2m ， ∵tan ∠AFL =AP AF =AL FL =m 2m =12，∴√5m=12， ∴AP =√5m 2，∴FP =√AP 2+AF 2=√(5m 2)2+(√5m)2=52m ，BP ＝AB ﹣AP =√5m −√5m 2=√5m 2， ∴AP ＝BP ，即P 为AB 中点，∵∠ACB ＝90°，∴CP ＝AP ＝BP =√5m2，∵∠CPN ＝∠APF ，∠CNP ＝90°＝∠F AP ，∴△CPN ∽△FP A ，∴CP FP =CN AF =PN AP ，即√5m 252m =5m =√5m 2，∴CN ＝m ，PN =12m ， ∴AN ＝AP +PN =√5+12m ，∴tan ∠BAC =BC AC =CN AN =m √5+12=25+1， ∵△AEC 和△BCH 是等腰直角三角形， ∴△AEC ∽△BCH ，∴BC AC =CH CE ，∵CE =√10+√2，∴√5+1=10+2，∴CH ＝2√2，故选：C ．【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m 的代数式表示相关线段的长度．14．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（ ）A．4√2B．6C．2√10D．3√5【分析】在网格中，以MN为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，根据题意得到点P的轨迹为圆弧，当MP为直径时最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP=√22+42=2√5，则PM=√MN2+PN2=2√10．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．15．（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC=√5，BC＝1，∠AOB＝30°，则OA的值为（）A．√3B．32C．√2D．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC=√5，BC＝1，∴OB=√OC2−BC2=√(√5)2−12=2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB=12OB＝1，∴OA=√OB2−AB2=√22−12=√3，故选：A．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的16．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：√22+12=√5，点O到学校的距离为：√32+12=√10，点O到体育场的距离为：√42+22=√20，点O到医院的距离为：√12+32=√10，∵√5＜√10=√10＜√20，∴点O到超市的距离最近，故选：A．【点评】本题考查勾股定理、平面直角坐标系，解答本题的关键是明确题意，作出合适平面直角坐标系．17．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想B．分类思想C．数形结合思想D．函数思想【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．18．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺【分析】设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．【解答】解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，解得h＝12，∴水深为12尺，故选：C．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．19．（2021•自贡）如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（）A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）【分析】根据已知可得AB＝AC＝10，OA＝8．利用勾股定理即可求解．【解答】解：根据已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．在Rt△ABO中，OB=√AB2−OA2=6．∴B（0，6）．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．20．（2021•常德）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（）A．②④B．①②④C．①②D．①④【分析】根据广义勾股数的定义进行判断即可．【解答】解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广义勾股数，故①结论正确；②∵13＝22+32，∴13是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④设m1=a2+b2，m2=c2+d2，则m1⋅m2=(a2+b2)⋅(c2+d＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，ad＝bc或ac＝bd时，两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论错误，∴依次正确的是①②．故选：C．【点评】本题考查了勾股数的综合应用，掌握勾股定理以及常见的勾股数是解题的关键．21．（2023•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE 的周长和面积分别是（）A．16，6B．18，18C．16，12D．12，16【分析】先论证四边形CFDE是平行四边形，再分别求出CF，CD，DF，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求出即可．【解答】解：由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE，∴四边形CFDE是平行四边形，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=√AB2−BC2=√102−62=8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，点F是AB的中点，∴CF=12AB＝5，∵DF∥CE，点F是AB的中点，∴ADAC=AFAB=12，∠CDF＝180°﹣∠ABC＝90°，∴点D是AC的中点，∴CD=12AC＝4，∵点F是AB的中点，点D是AC的中点，∴DF是Rt△ABC的中位线，∴DF=12BC＝3，∴四边形CFDE的周长为2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16，四边形CFDE的面积为DF•CD＝3×4＝12．故选：C．【点评】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理等知识，推到四边形FDE是平行四边形和DF是Rt △ABC的中位线是解决问题的关键．22．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．【解答】解：由图可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，∴CD=12AB＝3cm，故选：B．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A．√3B．2√3C．2D．4【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，∴AC＝2BD＝4，∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC =12AC ＝2，故选：C ．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．24．（2022•大连）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°．分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN ．直线MN 与AB 相交于点D ，连接CD ，若AB ＝3，则CD 的长是（ ）A ．6B ．3C ．1.5D ．1【分析】根据题意可知：MN 是线段AC 的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D 为AB 的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD 的长．【解答】解：由已知可得，MN 是线段AC 的垂直平分线，设AC 与MN 的交点为E ，∵∠ACB ＝90°，MN 垂直平分AC ，∴∠AED ＝∠ACB ＝90°，AE ＝CE ，∴ED ∥CB ，∴△AED ∽△ACB ，∴AE AC =AD AB ，∴12=AD AB， ∴AD =12AB ，∴点D 为AB 的中点，∵AB ＝3，∠ACB ＝90°，∴CD =12AB ＝1.5，故选：C．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（2021•新疆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB 的中点，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用三角形的内角和定理可得∠B＝60°，由直角三角形斜边的中线性质定理可得CE＝BE＝2,利用等边三角形的性质可得结果．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°,∵E是AB的中点,AB＝4，∴CE＝BE=12AB=12×4=2,∴△BCE为等边三角形，∵CD⊥AB,∴DE＝BD=12BE=12×2=1,故选：A．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握定理是解答此题的关键．26．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A ．4mB ．6mC ．10mD ．12m【分析】作AD ⊥BC 于点 D ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B ＝∠C =12（180°﹣∠BAC ）＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．【解答】解：如图，作AD ⊥BC 于点D ，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C =12（180°﹣∠BAC ）＝30°， 又∵AD ⊥BC ，∴AD =12AB =12×12＝6（m ），故选：B ．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题关键是掌握3027．（2021•黑龙江）如图，矩形ABCD 的边CD 上有一点E ，∠DAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，将△AEF 绕着点F 顺时针旋转，使得点A 的对应点M 落在EF 上，点E 恰好落在点B 处，连接BE ．下列结论：①BM ⊥AE ；②四边形EFBC 是正方形；③∠EBM ＝30°；④S 四边形BCEM ：S △BFM ＝（2√2+1）：1．其中结论正确的序号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．③④【分析】延长BM 交AE 于N ，连接AM ，由垂直的定义可得∠AFE ＝∠EFB ＝90°，根据直角三角形的两个锐角互余得∠EAF ＝67.5°，从而有∠EAF +∠FBM ＝90°，得到①正确；根据三个角是直角可判断四边形EFBC是矩形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正确，计算出∠EBM＝22.5°得③错误；根据等腰直角三角形的性质可知AM=√2FM，推导得出AM＝EM=√2FM，从而EF＝EM+FM＝（√2+1）FM，得到S△EFB：S△BFM＝（√2+1）：1，再由S四边形BCEF＝2S△EFB，得S四边形BCEM：S△BFM＝（2√2+1）：1，判断出④正确．【解答】解：如图，延长BM交AE于N，连接AM，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝∠EFB＝90°，∵∠DAE＝22.5°，∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，∵将△AEF绕着点F顺时针旋转得△MFB，∴MF＝AF，FB＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，∴∠EAF+∠FBM＝90°，∴∠ANB＝90°，∴BM⊥AE，故①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵∠EFB＝90°，∴四边形EFBC是矩形，又∵EF＝BF，∴矩形EFBC是正方形，故②正确；∴∠EBF＝45°，∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM＝45°﹣22.5°＝22.5°，故③错误；∵∠AFM＝90°，AF＝FM，∴∠MAF＝45°，AM=√2FM，∴∠EAM＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠AEM＝∠MAE，∴EM＝AM=√2FM，∴EF＝EM+FM＝（√2+1）FM，∴S△EFB：S△BFM＝（√2+1）：1，又∵四边形BCEF是正方形，∴S四边形BCEF＝2S△EFB，∴S四边形BCEM：S△BFM＝（2√2+1）：1，故④正确，∴正确的是：①②④，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和正方形的判定与性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵活运用相关知识是解题的关键．28．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据平行线的性质，可以得到∠CBF的度数，再根据∠ABC＝90°，可以得到∠1的度数．【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．二．填空题（共27小题）29．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km 至C港，则A，C两港之间的距离为km．【分析】根据题意可得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，从而可得∠DAB＝∠ABE＝60°，然后利用平角定义可得∠ABC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，AC=√AB2+BC2=√302+40250（km），∴A，C两港之间的距离为50km，故答案为：50．【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．30．（2023•菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为．【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，证得∠DF A＝90°，于是得到点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，据此解答即可．【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠ADF＝∠BAE，∴∠DF A＝∠ABE＝90°，∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，∵AD＝4，∴AO=OF′=12AD=2，∴BO=√52+22=√29，∴线段BF的最小值为√29−2，故答案为：√29−2．【点评】本题考查了勾股定理，平行线的性质，圆周角定理，根据题意得到点F的运动轨迹是解题的关键．31．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC 的角平分线，则AD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到CD＝DE，再通过HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根据勾股定理可求出AB＝10，进而求出AE＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵∠C ＝90°，∴CD ⊥BC ，∵BD 是∠ABC 的角平分线，CD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE ，在Rt △BCD 和Rt △BED 中，{CD =DE BD =BD， ∴Rt △BCD ≌Rt △BED （HL ），∴BC ＝BE ＝6，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10，∴AE ＝AB ﹣BE ＝10﹣6＝4，设CD ＝DE ＝x ，则AD ＝AC ﹣CD ＝8﹣x ，在Rt △ADE 中，AE 2+DE 2＝AD 2，∴42+x 2＝（8﹣x ）2，解得：x ＝3，∴AD ＝8﹣x ＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解二元一次方程，解题关键是正确作出辅助线，利用角平分线的性质和勾股定理解决问题．32．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a 、b ，斜边长为c ，若b ﹣a ＝4，c ＝20，则每个直角三角形的面积为 ．【分析】根据勾股定理可知a 2+b 2＝c 2，再根据b ﹣a ＝4，c ＝20，即可得到a 、b 的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积．【解答】解：由图可得，a 2+b 2＝c 2，∴{a 2+b 2=202b −a =4且a 、b 均大于0， 解得{a =12b =16， ∴每个直角三角形的面积为12ab =12×12×16＝96， 故答案为：96．【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出a 、b 的值．33．（2022•常州）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12．在Rt △DEF 中，∠F ＝90°，DF ＝3，EF ＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt △DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt △ABC 的外部被染色的区域面积是 ．【分析】如图，连接CF 交AB 于点M ，连接CF ′交AB 于点N ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，过点F ′作F ′H ⊥AB 于点H ，连接FF ′，则四边形FGHF ′是矩形，Rt △ABC 的外部被染色的区域是梯形MFF ′N ．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF 交AB 于点M ，连接CF ′交AB 于点N ，过点F 作FG ⊥AB 于点H ，过点F ′作F ′H ⊥AB 于点G ，连接FF ′，则四边形FGHF ′是矩形，Rt △ABC 的外部被染色的区域是梯形MFF ′N ．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE=√DF2+EF2=√32+42=5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB=√AC2+BC2=√92+122=15，∵12•DF•EF=12•DE•GF，∴FG=12 5，∴BG=√BF2−FG2=√32−(125)2=95，∴GE＝BE﹣BG=165，AH＝GE=165，∴F′H＝FG=12 5，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴BMAM=BFAC=13，∴BM=14AB=154，同法可证AN=14AB=154，∴MN＝15−154−154=152，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积=12×（10+152）×125=21，故答案为：21．【点评】本题考查勾股定理，梯形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题在的压轴题．34．（2022•无锡）已知△ABC中，∠B＝45o，∠C＝60o，AB=√6，则AC＝．【分析】：过A作AH⊥BC于H，由∠B＝45°，得BH＝AH=AB2=√3，而∠C＝60°，知CH=12AC，由勾股定理有（12AC）2+（√3）2＝AC2，即可解得答案．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，如图：∵∠B ＝45°，∴△ABH 是等腰直角三角形，∴BH ＝AH =AB 2=√62=√3， ∵∠C ＝60°，∴∠CAH ＝30°，∴CH =12AC ，在Rt △ACH 中，CH 2+AH 2＝AC 2，∴（12AC ）2+（√3）2＝AC 2， 解得AC ＝2（负值舍去），故答案为：2．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握含45°，30°角的直角三角形三边的关系．35．（2022•无锡）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90o ，AC ＝2，BC ＝4，点E 、F 分别在AB 、AC 上，点A 关于EF 的对称点A '落在BC CA '＝x ．若AE ＝AF ，则x ＝ ；设AE ＝y ，请写出y 关于x 的函数表达式： ．【分析】连接A 'E ，A 'F ，由点A 关于EF 的对称点A '落在BC 上，AE ＝AF ，可得A 'E ＝AE ＝A 'F ＝AF ，四边形AEA 'F 是菱形，即知A 'B ＝2A 'E ，而CA '＝x ，在Rt △A 'CF 中，可得x 2+（12x ）2＝（2−12x ）2，解得x =√5−1；若AE ＝y ，过E 作EH ⊥BC 于H ，由△BHE ∽△BCA ，可得BH ＝4−2√55y ，HE ＝2−√55y ，在Rt △A 'HE 中，有（2√55y ﹣x ）2+（2−√55y ）2＝y 2，变形可得答案． 【解答】解：连接A 'E ，A 'F ，如图：。
中考数学复习之直角三角形的性质、勾股定理,考点过关与基础练习题
23. 直角三角形和勾股定理➢ 知识过关1.直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______．②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形．2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角）①直角三角形斜边上的中线等于______________；如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形．②30°角所对的直角边是_____________________；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________．3. 特殊的直角三角形➢ 考点分类考点1直角三角形的性质例117．如图，在△ACD 中，BC ⊥AD 于B ，AC ＝AD ＝3，AB ＝2，则CD ＝（ ）A ．6B ．√6C ．√5D ．4ACB 45°1130°234211BCABCA BCAa 2+b 2=c2CBAC B A A BC ABC C BA2mm AB C 30°考点2勾股定理及其逆定理例2如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2﹣MB 2等于（ ）A ．29B ．32C ．36D ．45例3等面积法例3若直角三角形两条直角边的长分别为7和24，在这个三角形内有一点P 到各边的距离都相等，则这个距离是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1➢ 真题演练1．如图，在边长为1的正方形网格中，A 、B 、C 均在正方形格点上，则C 点到AB 的距离为（ ）A ．3√1010B ．2√105C ．5√104D ．4√1052．如图，AB ＝AC ＝13，BP ⊥CP ，BP ＝8，CP ＝6，则四边形ABPC 的面积为（ ）A ．48B ．60C ．36D ．723．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，若以AC 边和BC 边向外作等腰直角三角形AFC 和等腰直角三角形BEC ．若△BEC 的面积为S 1，△AFC 的面积为S 2，则S 1+S 2＝（ ）A ．36B ．18C ．9D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足为F ，与BC 交于点E ，则BE 的长是（ ）A ．3B ．5C ．163D ．65．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，则BC 边长的高为（ ）A ．√302B ．85√5 C ．45√5 D ．√1326．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE ＝5，AB ＝13，则EF 的值是（ ）A ．7B ．2√3C ．√13D ．7√27．如图，∠ABC ＝∠ADB ＝90°，DA ＝DB ，AB 与CD 交于点E ，若BC ＝2，AB ＝4，则点D 到AC 的距离是（ ）A.5√56B ．6√55C ．4√55D ．5√548．如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠FCE的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°9．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（）A．8B．12C．14D．1610．如图，四边形ABCD中，连接BD，O为BD中点，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDA＝30°，∠BDC＝45°，则∠CAO＝（）A．15°B．18°C．22.5°D．30°➢课后练习1.如图，等边△ABD和等边△BCE中，A、B、C三点共线，AE和CD相交于点F，下列结论中正确的个数是（）①△ABE≌△DBC②BF平分∠AFC③AF＝DF+BF④∠AFD＝60°A．1B．2C．3D．42．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC 于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（）①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD；⑤S△BFGS△AFD =BFAF．A．5个B．4个C．3个D．2个3．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），①AE＝CF；②EF＝AP；③△EPF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF= 12S△ABC；⑤EF的最小值为√2；⑥BE2+CF2＝EF2．则正确结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，O是正△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为8；③∠AOB＝150°；④四边形AOBO′的面积是24+16√3；⑤S△AOC+S△AOB＝24+9√3 4．其中正确结论有（）个．A．5B．4C．3D．25．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF ⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论是（）A．①②③B．②③④C．①②④⑤D．①②⑤6．如图，O为△ABC内的一点，D为AB边上的一点，OD＝OB，OA＝OC，∠AOC＝∠BOD ＝90°，连接CD．下列结论：①AB＝CD；②AB⊥CD；③∠AOD+∠OCD＝45°；④S △BOC＝S△AOD．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④➢冲击A+如图1，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C 作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是圆O的切线；（2）如图2，点F在圆O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF并延长交EC的延长线于点G．①求证：CF＝2CD；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．。
(备战中考)2012年中考数学新题分类汇编(中考真题+模拟新题)：解直角三角形
（备战中考）2012年中考数学新题分类汇编（中考真题+模拟新题）解直角三角形一、选择题1. （2011湖北武汉市，10，3分）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为A．12秒． B．16秒． C．20秒． D．24秒．【答案】B2. （2011湖南衡阳，9，3分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1BC=5m，则坡面AB的长度是（）A．10m B．C．15m D．【答案】A3. （2011山东东营，8，3分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）A．B．10米C．15米D．【答案】A4. （2010湖北孝感，10，3分）如图，某航天飞船在地球表面P点的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP=α，地球半径为R，则航天飞船距离地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（）A.sin R α，180Rπα B. sin R R α-，()90180R απ- C.sin RR α-，()90180R απ+ D. cos R R α-，()90180R απ- 【答案】B5. （2011宁波市，9，3分）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为a ，那么滑梯长l为A ．h sin a B ． h tan a C ． h cos aD ． h ·sin a 【答案】A6. （2011台湾台北，34）图(十六)表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10公分。
如图(十七)，若此钟面显示3点45分时，A 点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为多少公分A ．3322－B ．π＋16C ．18D ．19【答案】D7. （2011山东潍坊，10，3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（ ）同学 甲 乙 丙 丁 放出风筝线长 140m 100m 95m 90m 线与地面夹角 30° 45° 45° 60° A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】D8. （2011四川绵阳10，3）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在A 处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B 处测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A 、B 两点的距离为30米。
最近三年中考数学直角三角形与勾股定理真题整理汇集
书山有路勤为径；学海无涯苦作舟
最近三年中考数学直角三角形与勾股定理真题整理汇
集
以下是为您推荐的最近三年中考数学直角三角形与勾股定理真题整理汇集，希望本篇文章对您学习有所帮助。
最近三年中考数学直角三角形与勾股定理真题整理汇集
一.选择题
1.(2012•广州)在Rt△ABC 中，∠C=90 度，AC=9，BC=12，则点
C 到AB 的距离是()
A. B. C. D.
考点：勾股定理;点到直线的距离;三角形的面积。
专题：计算题。
分析：根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形ABC 中，由AC 及BC 的长，利用勾股定理求出AB 的长，然后过C 作CD 垂直于AB，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边AB 乘以斜边上的高CD 除以2 来求，两者相等，将AC，AB 及BC 的长代入求出CD 的长，即为C 到AB 的距离.
解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
在Rt△ABC 中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：AB= =15，
过C 作CD⊥AB，交AB 于点D，
又S△ABC=AC•BC=AB•CD，
∴CD= = = ，
则点C 到AB 的距离是.
今天的努力是为了明天的幸福。
直角三角形与勾股定理(优选真题60道)(解析版)--三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）直角三角形与勾股定理（优选真题60道）一．选择题（共28小题）1．（2023•湖北）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，点D 在边AC 上，且BD 平分△ABC 的周长，则BD 的长是（ ）A ．√5B ．√6C ．6√55D ．3√64【分析】根据勾股定理得到AC =√AB 2+BC 2=5，求得△ABC 的周长＝3+4+5＝12，得到AD ＝3，CD＝2，过D 作DE ⊥BC 于E ，根据相似三角形的性质得到DE =65，CE =85，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，∴AC =√AB 2+BC 2=5，∴△ABC 的周长＝3+4+5＝12，∵BD 平分△ABC 的周长，∴AB +AD ＝BC +CD ＝6，∴AD ＝3，CD ＝2，过D 作DE ⊥BC 于E ，∴AB ∥DE ，∴△CDE ∽△CAB ，∴DE AB =CD AC =CE CB ， ∴DE 3=25=CE 4，∴DE =65，CE =85，∴BE =125，∴BD =√BE 2+DE 2=√(125)2+(65)2=6√55，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．2．（2023•济宁）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（）A．180°﹣αB．180°﹣2αC．90°+αD．90°+2α【分析】过B点作BG∥CD，连接EG，根据平行线的性质得出∠ABG＝∠CFB＝α．根据勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根据勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，进而求出∠ABE的度数．【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG，∵BG∥CD，∴∠ABG＝∠CFB＝α．∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，∴BG2+BE2＝EG2，∴△BEG是直角三角形，∴∠GBE＝90°，∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．3．（2023•天津）如图，在△ABC 中，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M ，N 两点，直线MN 分别与边BC ，AC 相交于点D ，E ，连接AD ．若BD ＝DC ，AE ＝4，AD ＝5，则AB 的长为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AC ＝2AE ＝8，DA ＝DC ，从而可得∠DAC ＝∠C ，再结合已知易得BD ＝AD ，从而可得∠B ＝∠BAD ，然后利用三角形内角和定理可得∠BAC ＝90°，从而在Rt △ABC 中，利用勾股定理进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：MN 是AC 的垂直平分线，∴AC ＝2AE ＝8，DA ＝DC ，∴∠DAC ＝∠C ，∵BD ＝CD ，∴BD ＝AD ，∴∠B ＝∠BAD ，∵∠B +∠BAD +∠C +∠DAC ＝180°，∴2∠BAD +2∠DAC ＝180°，∴∠BAD +∠DAC ＝90°，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC 中，BC ＝BD +CD ＝2AD ＝10，∴AB =√BC 2−AC 2=√102−82=6，故选：D ．【点评】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023•泸州）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a ，b ，c 的计算公式：a =12（m 2﹣n 2），b ＝mn ，c =12（m 2+n 2），其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）A ．3，4，5B ．5，12，13C ．6，8，10D ．7，24，25【分析】根据题目要求逐一代入符合条件的m ，n 进行验证、辨别．【解答】解：∵当m ＝3，n ＝1时，a =12（m 2﹣n 2）=12（32﹣12）＝4，b ＝mn ＝3×1＝3，c =12（m 2+n 2）=12×（32+12）＝5，∴选项A 不符合题意；∵当m ＝5，n ＝1时，a =12（m 2﹣n 2）=12（52﹣12）＝12，b ＝mn ＝5×1＝5，c =12（m 2+n 2）=12×（52+12）＝13，∴选项B 不符合题意；∵当m ＝7，n ＝1时，a =12（m 2﹣n 2）=12（72﹣12）＝24，b ＝mn ＝7×1＝7，c =12（m 2+n 2）=12×（72+12）＝25，∴选项D 不符合题意；∵没有符合条件的m ，n 使a ，b ，c 各为6，8，10，∴选项C 符合题意，故选：C ．【点评】此题考查了整式乘法运算和勾股数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．5．（2023•无锡）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝30°，∠ADC ＝60°，BC ＝CD ＝2，若线段MN 在边AD 上运动，且MN 1，则BM 2+2BN 2的最小值是（ ）A ．132B ．293C ．394D ．10【分析】过B 作BF ⊥AD 于F ，过C 作CE ⊥AD 于E ，根据直角三角形的性质得到CE =√32CD =√3，求得BF =CE =√3，要使BM 2+2BN 2的值最小，则BM 和BN 越小越好，MN 显然在点B 的上方（中间位置时），设MF ＝x ，FN ＝1﹣x ，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：过B 作BF ⊥AD 于F ，过C 作CE ⊥AD 于E ，∵∠D ＝60°，CD ＝2，∴CE =√32CD =√3，∵AD∥BC，∴BF=CE=√3，要使BM2+2BN2的值最小，则BM和BN越小越好，∴MN显然在点B的上方（中间位置时），设MF＝x，FN＝1﹣x，∴BM2+2BN2＝BF2+FM2+2（BF2+FN2）＝x2+3+2[（1﹣x）2+3]＝3x2﹣4x+11＝3（x−23）2+293，∴当x=23时，BM2+2BN2的最小值是293．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．6．（2023•日照）已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．S1，S2大小无法确定【分析】由直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，根据垂线段最短可知该直角三角形的斜边为c，则c2＝a2+b2，所以c2﹣a2﹣b2＝0，则S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，而S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，所以S1＝S2，于是得到问题的答案．【解答】解：∵直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，∴该直角三角形的斜边为c，∴c2＝a2+b2，∴c2﹣a2﹣b2＝0，∴S1＝c2﹣a2﹣b2+b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，∵S2＝b（a+b﹣c）＝ab+b2﹣bc，∴S1＝S2，故选：C．【点评】此题重点考查勾股定理、正方形的面积公式、根据转化思想解决面积问题等知识与方法，确定三边为a，b，c的直角三角形的斜边为c是解题的关键．7．（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC中，∠A＝30°，AC＝3，∠A所对的边为√3，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）A．2√3B．2√3−3C．2√3或√3D．2√3或2√3−3【分析】根据题意知，CD＝CB，作CH⊥AB于H，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH，AH 的长，再利用勾股定理求出BH，从而得出答案．【解答】解：如图，CD＝CB，作CH⊥AB于H，∴DH＝BH，∵∠A＝30°，∴CH=12AC=32，AH=√3CH=32√3，在Rt△CBH中，由勾股定理得BH=√BC2−CH2=√3−94=√32，∴AB＝AH+BH=3√32+√32=2√3，AD＝AH﹣DH=3√32−√32=√3，故选：C．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，理解题意，求出BH的长是解题的关键．8．（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、正确；∴CE=√DE2−CD2=4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC=CDCE，tan∠FDB=BFDF，∴34=BF3，解得BF=94，故选项A错误；故选：A．【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．（2022•遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若AB ＝BC ＝1，∠AOB ＝30°，则点B 到OC 的距离为（ ）A ．√55B ．2√55C ．1D ．2【分析】作BH ⊥OC 于H ，利用含30°角的直角三角形的性质得OB ＝2，再由勾股定理得OC =√5，再根据cos ∠BOC ＝cos ∠CBH ，得OB OC =BH BC，代入计算可得答案． 【解答】解：作BH ⊥OC 于H ，∵∠AOB ＝30°，∠A ＝90°，∴OB ＝2AB ＝2，在Rt △OBC 中，由勾股定理得，OC =√OB 2+BC 2=√22+12=√5，∵∠CBO ＝∠BHC ＝90°，∴∠CBH ＝∠BOC ，∴cos ∠BOC ＝cos ∠CBH ，∴OB OC =BH BC ， ∴√5=BH1，∴BH =2√55， 故选：B ．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的三角函数值相等是解题的关键．10．（2022•安徽）已知点O 是边长为6的等边△ABC 的中心，点P 在△ABC 外，△ABC ，△P AB ，△PBC ，△PCA 的面积分别记为S 0，S 1，S 2，S 3．若S 1+S 2+S 3＝2S 0，则线段OP 长的最小值是（ ） A ．3√32 B ．5√32 C ．3√3 D ．7√32【分析】如图，不妨假设点P 在AB 的左侧，证明△P AB 的面积是定值，过点P 作AB 的平行线PM ，连接CO 并延长CO 交AB 于点R ，交PM 于点T ．因为△P AB 的面积是定值，推出点P 的运动轨迹是直线PM ，求出OT 的值，可得结论．【解答】解：如图，不妨假设点P 在AB 的左侧，∵S △P AB +S △ABC ＝S △PBC +S △P AC ，∴S 1+S 0＝S 2+S 3，∵S 1+S 2+S 3＝2S 0，∴S 1+S 1+S 0＝2S0，∴S 1=12S 0， ∵△ABC 是等边三角形，边长为6，∴S 0=√34×62＝9√3，∴S 1=9√32，过点P 作AB 的平行线PM ，连接CO 延长CO 交AB 于点R ，交PM 于点T ．∵△P AB 的面积是定值，∴点P 的运动轨迹是直线PM ，∵O 是△ABC 的中心，∴CT ⊥AB ，CT ⊥PM ，∴12•AB •RT =9√32，CR ＝3√3，OR =√3， ∴RT =3√32， ∴OT ＝OR +TR =5√32， ∵OP ≥OT ，∴OP 的最小值为5√32， 当点P 在②区域时，同法可得OP 的最小值为7√32， 如图，当点P 在①③⑤区域时，OP 的最小值为5√32，当点P 在②④⑥区域时，最小值为7√32， ∵5√32＜7√32，故选：B ．【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△P AB 的面积是定值．11．（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．52B ．3C ．2√2D ．103【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB =√BC 2+AC 2=√62+82=10，∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴AE AB =AF AC ， ∴AE 10=28， ∴AE =52，故选：A ．【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．12．（2022•南京）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，四边形AMNB 是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C 距离最大的是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q【分析】根据直三棱柱的特征结合勾股定理求出各线段的距离，再比较大小即可求解．【解答】解：如图，过C点作CE⊥AB于E，∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，32+42＝52，∴△ACB是直角三角形，∴CE=12AC•BC÷12÷AB＝3×4÷5＝2.4，∴AE=√AC2−CE2=√32−2．42=1.8，∴BE＝5﹣1.8＝3.2，∵四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱，∴CQ＝5，∴CM＝CP=√52+32=√34，CN=√52+42=√41，∵√41＞√34＞5，∴与点C距离最大的是点N．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，展开图折叠成几何体，关键是求出各线段的距离．13．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE=√10+√2，则CH的长为（）A．√5B．3+√52C．2√2D．√10【分析】设CF 交AB 于点P ，过C 作CN ⊥AB 于点N ，设正方形JKLM 边长为m ，根据正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，得AF ＝AB =√5m ，证明△AFL ≌△FGM （AAS ），可得AL ＝FM ，设AL ＝FM ＝x ，在Rt △AFL 中，x 2+（x +m ）2＝（√5m ）2，可解得x ＝m ，有AL ＝FM ＝m ，FL ＝2m ，从而可得AP =√5m 2，FP =52m ，BP =√5m 2，即知P 为AB 中点，CP ＝AP ＝BP =√5m 2，由△CPN ∽△FP A ，得CN ＝m ，PN =12m ，即得AN =√5+12m ，而tan ∠BAC =BC AC =CN AN =25+1AEC ∽△BCH ，得BC AC =CH CE，即5+1=√10+√2，故CH ＝2√2．【解答】解：设CF 交AB 于点P ，过C 作CN ⊥AB 于点N ，如图：设正方形JKLM 边长为m ，∴正方形JKLM 面积为m 2，∵正方形ABGF 与正方形JKLM 的面积之比为5，∴正方形ABGF 的面积为5m 2， ∴AF ＝AB =√5m ，由已知可得：∠AFL ＝90°﹣∠MFG ＝∠MGF ，∠ALF ＝90°＝∠FMG ，AF ＝GF ，∴△AFL ≌△FGM （AAS ），∴AL ＝FM ，设AL ＝FM ＝x ，则FL ＝FM +ML ＝x +m ，在Rt △AFL 中，AL 2+FL 2＝AF 2，∴x 2+（x +m ）2＝（√5m ）2，解得x ＝m 或x ＝﹣2m （舍去），∴AL ＝FM ＝m ，FL ＝2m ， ∵tan ∠AFL =AP AF =AL FL =m 2m =12，∴√5m=12， ∴AP =√5m 2，∴FP =√AP 2+AF 2=√(5m 2)2+(√5m)2=52m ，BP ＝AB ﹣AP =√5m −√5m 2=√5m 2， ∴AP ＝BP ，即P 为AB 中点，∵∠ACB ＝90°，∴CP ＝AP ＝BP =√5m2，∵∠CPN ＝∠APF ，∠CNP ＝90°＝∠F AP ，∴△CPN ∽△FP A ，∴CP FP =CN AF =PN AP ，即√5m 252m =√5m =√5m 2，∴CN ＝m ，PN =12m ， ∴AN ＝AP +PN =√5+12m ，∴tan ∠BAC =BC AC =CN AN =m 5+12m =2√5+1， ∵△AEC 和△BCH 是等腰直角三角形， ∴△AEC ∽△BCH ，∴BC AC =CH CE ，∵CE =√10+√2，∴√5+1=√10+√2，∴CH ＝2√2，故选：C ．【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m 的代数式表示相关线段的长度．14．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（ ）A．4√2B．6C．2√10D．3√5【分析】在网格中，以MN为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，根据题意得到点P的轨迹为圆弧，当MP为直径时最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP=√22+42=2√5，则PM=√MN2+PN2=2√10．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．15．（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC=√5，BC＝1，∠AOB＝30°，则OA的值为（）A．√3B．32C．√2D．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC=√5，BC＝1，∴OB=√OC2−BC2=√(√5)2−12=2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB=12OB＝1，∴OA=√OB2−AB2=√22−12=√3，故选：A．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的16．（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：√22+12=√5，点O到学校的距离为：√32+12=√10，点O到体育场的距离为：√42+22=√20，点O到医院的距离为：√12+32=√10，∵√5＜√10=√10＜√20，∴点O到超市的距离最近，故选：A．【点评】本题考查勾股定理、平面直角坐标系，解答本题的关键是明确题意，作出合适平面直角坐标系．17．（2021•山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）A．统计思想B．分类思想C．数形结合思想D．函数思想【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．18．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺【分析】设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理列方程，解出h即可．【解答】解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2，解得h＝12，∴水深为12尺，故选：C．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键．19．（2021•自贡）如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（）A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）【分析】根据已知可得AB＝AC＝10，OA＝8．利用勾股定理即可求解．【解答】解：根据已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．在Rt△ABO中，OB=√AB2−OA2=6．∴B（0，6）．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的应用、坐标的特征知识．关键在于利用点的坐标表示边的长度．20．（2021•常德）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（）A．②④B．①②④C．①②D．①④【分析】根据广义勾股数的定义进行判断即可．【解答】解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广义勾股数，故①结论正确；②∵13＝22+32，∴13是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④设m1=a2+b2，m2=c2+d2，则m1⋅m2=(a2+b2)⋅(c2+d2＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，ad＝bc或ac＝bd时，两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论错误，∴依次正确的是①②．故选：C．【点评】本题考查了勾股数的综合应用，掌握勾股定理以及常见的勾股数是解题的关键．21．（2023•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE 的周长和面积分别是（）A．16，6B．18，18C．16，12D．12，16【分析】先论证四边形CFDE是平行四边形，再分别求出CF，CD，DF，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求出即可．【解答】解：由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE，∴四边形CFDE是平行四边形，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=√AB2−BC2=√102−62=8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，点F是AB的中点，∴CF=12AB＝5，∵DF∥CE，点F是AB的中点，∴ADAC=AFAB=12，∠CDF＝180°﹣∠ABC＝90°，∴点D是AC的中点，∴CD=12AC＝4，∵点F是AB的中点，点D是AC的中点，∴DF是Rt△ABC的中位线，∴DF=12BC＝3，∴四边形CFDE的周长为2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16，四边形CFDE的面积为DF•CD＝3×4＝12．故选：C．【点评】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理等知识，推到四边形FDE是平行四边形和DF是Rt △ABC的中位线是解决问题的关键．22．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．【解答】解：由图可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，∴CD=12AB＝3cm，故选：B．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A．√3B．2√3C．2D．4【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，∴AC＝2BD＝4，∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC =12AC ＝2，故选：C ．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．24．（2022•大连）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°．分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN ．直线MN 与AB 相交于点D ，连接CD ，若AB ＝3，则CD 的长是（ ）A ．6B ．3C ．1.5D ．1【分析】根据题意可知：MN 是线段AC 的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D 为AB 的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD 的长．【解答】解：由已知可得，MN 是线段AC 的垂直平分线，设AC 与MN 的交点为E ，∵∠ACB ＝90°，MN 垂直平分AC ，∴∠AED ＝∠ACB ＝90°，AE ＝CE ，∴ED ∥CB ，∴△AED ∽△ACB ，∴AE AC =AD AB ，∴12=AD AB， ∴AD =12AB ，∴点D 为AB 的中点，∵AB ＝3，∠ACB ＝90°，∴CD =12AB ＝1.5，故选：C．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（2021•新疆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB 的中点，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用三角形的内角和定理可得∠B＝60°，由直角三角形斜边的中线性质定理可得CE＝BE＝2,利用等边三角形的性质可得结果．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°,∵E是AB的中点,AB＝4，∴CE＝BE=12AB=12×4=2,∴△BCE为等边三角形，∵CD⊥AB,∴DE＝BD=12BE=12×2=1,故选：A．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握定理是解答此题的关键．26．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A ．4mB ．6mC ．10mD ．12m【分析】作AD ⊥BC 于点 D ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B ＝∠C =12（180°﹣∠BAC ）＝30°，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．【解答】解：如图，作AD ⊥BC 于点D ，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C =12（180°﹣∠BAC ）＝30°， 又∵AD ⊥BC ，∴AD =12AB =12×12＝6（m ），故选：B ．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题关键是掌握3027．（2021•黑龙江）如图，矩形ABCD 的边CD 上有一点E ，∠DAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，将△AEF 绕着点F 顺时针旋转，使得点A 的对应点M 落在EF 上，点E 恰好落在点B 处，连接BE ．下列结论：①BM ⊥AE ；②四边形EFBC 是正方形；③∠EBM ＝30°；④S 四边形BCEM ：S △BFM ＝（2√2+1）：1．其中结论正确的序号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．③④【分析】延长BM 交AE 于N ，连接AM ，由垂直的定义可得∠AFE ＝∠EFB ＝90°，根据直角三角形的两个锐角互余得∠EAF ＝67.5°，从而有∠EAF +∠FBM ＝90°，得到①正确；根据三个角是直角可判断四边形EFBC是矩形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正确，计算出∠EBM＝22.5°得③错误；根据等腰直角三角形的性质可知AM=√2FM，推导得出AM＝EM=√2FM，从而EF＝EM+FM＝（√2+1）FM，得到S△EFB：S△BFM＝（√2+1）：1，再由S四边形BCEF＝2S△EFB，得S四边形BCEM：S△BFM＝（2√2+1）：1，判断出④正确．【解答】解：如图，延长BM交AE于N，连接AM，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝∠EFB＝90°，∵∠DAE＝22.5°，∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，∵将△AEF绕着点F顺时针旋转得△MFB，∴MF＝AF，FB＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，∴∠EAF+∠FBM＝90°，∴∠ANB＝90°，∴BM⊥AE，故①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵∠EFB＝90°，∴四边形EFBC是矩形，又∵EF＝BF，∴矩形EFBC是正方形，故②正确；∴∠EBF＝45°，∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM＝45°﹣22.5°＝22.5°，故③错误；∵∠AFM＝90°，AF＝FM，∴∠MAF＝45°，AM=√2FM，∴∠EAM＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠AEM＝∠MAE，∴EM＝AM=√2FM，∴EF＝EM+FM＝（√2+1）FM，∴S△EFB：S△BFM＝（√2+1）：1，又∵四边形BCEF是正方形，∴S四边形BCEF＝2S△EFB，∴S四边形BCEM：S△BFM＝（2√2+1）：1，故④正确，∴正确的是：①②④，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和正方形的判定与性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵活运用相关知识是解题的关键．28．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据平行线的性质，可以得到∠CBF的度数，再根据∠ABC＝90°，可以得到∠1的度数．【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．【点评】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．二．填空题（共27小题）29．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km 至C港，则A，C两港之间的距离为km．【分析】根据题意可得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，从而可得∠DAB＝∠ABE＝60°，然后利用平角定义可得∠ABC＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：如图：由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，AC=√AB2+BC2=√302+40250（km），∴A，C两港之间的距离为50km，故答案为：50．【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．30．（2023•菏泽）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝4，AD＜BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF＝∠BAE，则线段BF的最小值为．【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，证得∠DF A＝90°，于是得到点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，据此解答即可．【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于F′，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠ADF＝∠BAE，∴∠DF A＝∠ABE＝90°，∴点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O是交点F′时，线段BF有最小值，∵AD＝4，∴AO=OF′=12AD=2，∴BO=√52+22=√29，∴线段BF的最小值为√29−2，故答案为：√29−2．【点评】本题考查了勾股定理，平行线的性质，圆周角定理，根据题意得到点F的运动轨迹是解题的关键．31．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC 的角平分线，则AD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到CD＝DE，再通过HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根据勾股定理可求出AB＝10，进而求出AE＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵∠C ＝90°，∴CD ⊥BC ，∵BD 是∠ABC 的角平分线，CD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE ，在Rt △BCD 和Rt △BED 中，{CD =DE BD =BD， ∴Rt △BCD ≌Rt △BED （HL ），∴BC ＝BE ＝6，在Rt △ABC 中，AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10，∴AE ＝AB ﹣BE ＝10﹣6＝4，设CD ＝DE ＝x ，则AD ＝AC ﹣CD ＝8﹣x ，在Rt △ADE 中，AE 2+DE 2＝AD 2，∴42+x 2＝（8﹣x ）2，解得：x ＝3，∴AD ＝8﹣x ＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解二元一次方程，解题关键是正确作出辅助线，利用角平分线的性质和勾股定理解决问题．32．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a 、b ，斜边长为c ，若b ﹣a ＝4，c ＝20，则每个直角三角形的面积为 ．【分析】根据勾股定理可知a 2+b 2＝c 2，再根据b ﹣a ＝4，c ＝20，即可得到a 、b 的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积．【解答】解：由图可得，a 2+b 2＝c 2，∴{a 2+b 2=202b −a =4且a 、b 均大于0， 解得{a =12b =16， ∴每个直角三角形的面积为12ab =12×12×16＝96， 故答案为：96．【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出a 、b 的值．33．（2022•常州）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12．在Rt △DEF 中，∠F ＝90°，DF ＝3，EF ＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt △DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt △ABC 的外部被染色的区域面积是 ．【分析】如图，连接CF 交AB 于点M ，连接CF ′交AB 于点N ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，过点F ′作F ′H ⊥AB 于点H ，连接FF ′，则四边形FGHF ′是矩形，Rt △ABC 的外部被染色的区域是梯形MFF ′N ．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF 交AB 于点M ，连接CF ′交AB 于点N ，过点F 作FG ⊥AB 于点H ，过点F ′作F ′H ⊥AB 于点G ，连接FF ′，则四边形FGHF ′是矩形，Rt △ABC 的外部被染色的区域是梯形MFF ′N ．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE=√DF2+EF2=√32+42=5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB=√AC2+BC2=√92+122=15，∵12•DF•EF=12•DE•GF，∴FG=12 5，∴BG=√BF2−FG2=√32−(125)2=95，∴GE＝BE﹣BG=165，AH＝GE=165，∴F′H＝FG=12 5，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴BMAM=BFAC=13，∴BM=14AB=154，同法可证AN=14AB=154，∴MN＝15−154−154=152，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积=12×（10+152）×125=21，故答案为：21．【点评】本题考查勾股定理，梯形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题在的压轴题．34．（2022•无锡）已知△ABC中，∠B＝45o，∠C＝60o，AB=√6，则AC＝．【分析】：过A作AH⊥BC于H，由∠B＝45°，得BH＝AH=AB2=√3，而∠C＝60°，知CH=12AC，由勾股定理有（12AC）2+（√3）2＝AC2，即可解得答案．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，如图：∵∠B ＝45°，∴△ABH 是等腰直角三角形，∴BH ＝AH =AB √2=√6√2=√3， ∵∠C ＝60°，∴∠CAH ＝30°，∴CH =12AC ，在Rt △ACH 中，CH 2+AH 2＝AC 2，∴（12AC ）2+（√3）2＝AC 2， 解得AC ＝2（负值舍去），故答案为：2．【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握含45°，30°角的直角三角形三边的关系．35．（2022•无锡）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90o ，AC ＝2，BC ＝4，点E 、F 分别在AB 、AC 上，点A 关于EF 的对称点A '落在BC CA '＝x ．若AE ＝AF ，则x ＝ ；设AE ＝y ，请写出y 关于x 的函数表达式： ．【分析】连接A 'E ，A 'F ，由点A 关于EF 的对称点A '落在BC 上，AE ＝AF ，可得A 'E ＝AE ＝A 'F ＝AF ，四边形AEA 'F 是菱形，即知A 'B ＝2A 'E ，而CA '＝x ，在Rt △A 'CF 中，可得x 2+（12x ）2＝（2−12x ）2，解得x =√5−1；若AE ＝y ，过E 作EH ⊥BC 于H ，由△BHE ∽△BCA ，可得BH ＝4−2√55y ，HE ＝2−√55y ，在Rt △A 'HE 中，有（2√55y ﹣x ）2+（2−√55y ）2＝y 2，变形可得答案． 【解答】解：连接A 'E ，A 'F ，如图：。