等比数列前n项和 优秀教学设计
2.5等比数列的前n项和
第一课时
一、教学目标
【知识与技能】
掌握等比数列的前n项和公式以及推导方法;会用等比数列前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
【过程与方法】
经历等比数列前n项和的推导过程,总结等比数列求和方法,体会数学中的思想方法。
【情感态度价值观】
在学习过程中,激发学生学习数学积极性以及学习数学的主动性。
二、教学重难点
【教学重点】
等比数列前n项和公式推导及公式的简单应用。
【教学难点】
等比数列前n项和公式推导过程和思想方法。
三、教学过程
(一)、课前复习
(1)等比数列的定义:
(2)等比数列的通项公式:
(二)、情境导入
传说在很久以前,古印度舍罕王在宫廷单调的生活中,发现了64格棋
(也就是现在的国际象棋)的有趣和奥妙,决定要重赏发明人——他的宰
相西萨?班?达依尔,让他随意选择奖品.宰相要求的赏赐是:在棋盘的第1
格内赏他1颗麦粒,第2格内赏他2颗麦粒,第3格内赏他4颗麦粒…依
此类推,每一格上的麦粒都是前一格的2倍.直到第64个格子。国王一听,
几颗麦粒,加起来也不过一小袋,他就答应了宰相的要求.实际上国王能满
足宰相的要求吗?
问题1: 发明者西萨要求的麦粒总数是多少?
学生活动:1+2+22+···+263
问题2: 上面式子有什么特点?
是一个以1为首项,2为公比的等比数列的前64项之和,可以记为
S 64=1+2+22+···+263
①
(三)、探究等比数列前n 项和1.如果①式两边同乘以2得
2S 64=2+22+23+···+263+264
②
学生活动:探讨3:
比较①、②两式,有什么关系?
两式上下相对的项完全相同,把两式相减,就可以消去相同的项,得到:.
64
64
21S =-借助计算器可得
=18,446,744,073,709,551,615(粒)64
6421S =-这位国王所要付出的,竟是当时的全世界在两千年内所产的小麦的总和!
这种数列求和的方法称为错位相减法。
学生活动:
思考1: 纵观全过程,①式两边为什么要乘以2 ?思考2:你能求出等比数列的前n 项和的公式了吗?2.等比数列前n 项和的推导
问题:设等比数列
,首项,公比,如何求前n 项和?
{}n a a 1q n
S 采用的方法是错位相减法.学生活动:
思考3:当公比时,有人推导出数列前n 项和公式为,你知道如何推导的吗?
1q ≠{}n a 11n n a a q
S q
-=
-思考4:当公比时,数列是什么数列?此时数列的前n 项和怎么求?1q ={}n a {}n a n S 等比数列前n 项和公式:
()11
(1)111 1.
n n a q q S q na q ?-≠?
=-?
?=?,,,()11112 1.n n a a q
q q S na q -?≠?-=??=?,,,
思考:这两个公式有什么区别,分别在什么情况下使用?
练习:判断对错①1-2+4-8+16-…+ ( ) 1
1(12)
(2)
1(2)
n n -?--=
--② ( )
2
3
12222n
+++++L L 1(12)
12
n ?-=-③ ( )2224622
[1()]
1n n
c c c c c c c
-++++=-L L (四)、例题讲解:
变式练习:在等比数列
中,若a 1=1,a 4,则该数列的前10项的和为( )
{}n
a 18
=891011
1111
.2.2.2.22222A B C D -
---答案:B.例2. 在等比数列
中,S n 是该数列的前n 项的和, S n =189,q=2,a n =96,求a 1与n.
{}n
a 191.81111......
2481
(2)27,,0.243
a a q ==
<例求下列等比数列的前项和。(),,,
【解析】?????? ? ????
?????
???
?88
a=,q=,n=8
221-1-2222S===1-=.1122561-22
??
??????
??? ?11
a=27,a=,可得=27×q,3
271--3181
1--11n n a a q
S q
-=
-
解析:由 可得: ∴ =3,又因为: 即96=3×2n-1 ∴n=6, 所以 =3,n=6.(五)、当堂训练达标:
{}n-11001009999
1.299.21.1
2.21.1-2A B C D ---数列的前项和为(){}512..4.4.2.2
n a a A B C D 在等比数列中,公比q=-2,S =44,则的值为()--首项为1,则其公比
{}3.n a 若等比数列的前3项的和为13,
为 .
{}
{}114.(,=122015.6
n n n n
n n a a a a S
a S n +=
数列中=2,=2为的前全国卷Ⅰn )项和,
若,则答案:1. C; 2. A; 3. 3或-4; 4. 6.
(六)、课堂小结
1.用错位相减法推导等比数列的前n 项和S n ;
2.
等比数列求和公式:
3. 知三求二的方程思想。(七)、布置作业:书P58 练习 1 , 2书P61 习题2.5 A 组 1
四、板书设计
1
96218912a -?=-1a 11n n a a q -=1
a ()111,
11,111n
n
n na q S a q a a q q q
q =??=?-?-=≠?
--?
等比数列前n 项和
1.用错位相减法推导等比数列的前n 项和S n ; 3.例题讲解
2.
等比数列求和公式:
4.课堂练习五、教学反思:
()111,
11,111n
n
n na q S a q a a q q q
q =??=?-?-=≠?
--?
等比数列前n项和公式教学设计20
§3.2等比数列前n项和教学设计 一、教材分析 1、教学内容:《等比数列的前n项和》是高中数学北师大版《必修5》第一章《数列》第3节的内容,教学大纲安排本节内容授课时间为两课时,本节课作为第一课时,重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用. 2、教材分析:《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看,它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.就内容的人文价值来看,等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、证明,这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体. 二、学情分析 1、知识基础:前几节课学生已学习了等差数列求和,等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 2、认知水平与能力:高二学生初步具有自主探究的能力,能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题,但从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q=1这一特殊情况,学生也往往容易忽略,尤其是在后面使用的过程中容易出错. 3、任教班级学生特点:我班学生基础知识还行、思维较活跃,应该能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题. 三、目标分析 教学目标 依据教学大纲的教学要求,渗透新课标理念,并结合以上学情分析,我制定了如下教学目标: 1.知识与技能 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程,掌握公式的特点,并在此基础上能简单的应用公式. 2.过程与方法
等比数列及其前n项和
等比数列及其前n 项和 [考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系. 【知识通关】 1.等比数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用 字母q 表示,定义的数学表达式为a n +1a n =q (n ∈N *,q 为非零常数). (2)等比中项:如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项?a ,G ,b 成等比数列?G 2=ab . 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1q n -1=a m q n -m . (2)前n 项和公式: S n =??? na 1(q = 1),a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q (q ≠1). [常用结论] 1.在等比数列{a n }中,若m +n =p +q =2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则a m ·a n =a p ·a q =a 2k . 2.若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),???? ??1a n ,{a 2n },{a n ·b n },???? ??a n b n 仍然是等比数列. 3.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n ,其中当公比为-1时,n 为偶数时除外. 【基础自测】 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( ) (2)G 为a ,b 的等比中项?G 2=ab .( ) (3)若{a n }为等比数列,b n =a 2n -1+a 2n ,则数列{b n }也是等比数列.( )
14025学案等比数列(3)前n项和
高二数学学案 序号025 高二年级 14班 教师王鸿斌 学生 课 题:等比数列(3)前n 项和 学习目标:1. 等比数列前n 项和公式及错位相减法. 2. 等比数列前n 项和公应用,熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题渗透方程思想。 学习重点:等比数列求和及求和公式应用. 学习难点:错位相减法 教学过程: 一.复习回顾 1.等比数列的定义式、递推式、通项式、中项式及其性质 2.等差数列的前n 项和公式及性质 二.新课导学 1. 等比数列的前n 项和公式 设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ,公比为q ≠0, 则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --?=++++??=?? (1)n q S ∴-= 当1q ≠时,n S = ① 或n S = ② 当q =1时,n S = 等比数列的前n 项和公式:11,1,1(1)1n n na q S q a q q ------------=??=≠-?=?-?(或)1,11,11≠?? ???--==q q q a a q na S n n 2. 等比数列的前n 项和性质:等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别是n S ,2n S ,3n S , n S ,2n n S S -,32n n S S - 也成等比数列.(等比数列间隔相等的等长片段和仍为等比数列) 三.典型例题 例1:求3463124222++++++ 的和 练习1: 等比数列中 ①已知1441,64,.a a q S =-=求及 ②已知33139,.22a S a q ==,求及 ③0,2431 ,2791<==q a a ,求其前8项的和。 ④已知1912,,833 n a a q ===,求n 例2:某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的售价比上一年增加10%,那么从第一年 起,约几年内可使总销售量达到30000台? 四、学习小结: 1.等比数列前n 项和公式及错位相减法 2.熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题
高中数学《等比数列的前n项和(第一课时)》教学设计
高中数学《等比数列的前n项和(第一课时)》教学设计 一.教材分析。 (1教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. (3情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四.重点,难点分析。 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。 五.教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 六.课堂设计
等比数列及其前n项和学案
6.3等比数列及其前n 项和 考情分析 高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质,在解 答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查 基础知识 1、等比数列的判定:(1)定义法:*1()n n a q q n N a +=∈为非零常数,(2)等比中项法:2*11(0,2)n n n n a a a a n N n -+=≠∈≥且(3)通项公式法:*(,)n n a cq c q n N =∈均为非零常数,(4)1()1n n a S kq k k q =-=≠≠-是常数且q 0且q 1 (5)若{},{}n n a b 均为等比数列,n S 为{}n a 的前n 项和,则1{}(0),{||}{}{()}{}k n n n n n n ka k a ma b a a ≠;;;公比不为1的等比数列由相邻两项的差213243{,,}a a a a a a ---,相邻k 项和232{,,}k k k k k S S S S S --仍是等比;由原等比数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等比 2、等比数列的性质 (1)通项公式:①11n n a a q -=②n m n m a q a -= (2)前n 项和公式:111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? (3)下脚标性质:若m+n=p+q ,则m n p q a a a a = (4)两个常用技巧:若三个数成等比通常设成,,a a aq q ,若四个数成等比通常设成33,,,a a aq aq q q ,方便计算 注意事项