配方法解一元二次方程
1.一般地 对于形如x2=a(a≥0)的方程 一般地,对于形如 的方程, 一般地 对于形如 的方程 根据平方根的定义,可解得 根据平方根的定义 可解得 x = a, = − a x2 1 这种解一元二次方程的方法叫做开平 开平方 这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方 把一元二次方程的左边配成一个完全平方 把一元二次方程的左边配成一个 然后用开平方法求解 式,然后用开平方法求解 这种解一元二次方程的 然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的 配方法. 方法叫做配方法 方法叫做配方法 注意:配方时 等式两边同时加上的是一次项 注意 配方时, 配方时 系数一半的平方. 一半的平方 系数一半的平方
综合应用
例题3. 例题 用配方法解决下列问题 1. 证明 代数式 2+4x+ 5的值不小于 证明:代数式 代数式x 的值不小于1. 的值不小于 1 2+2y-1的值不大于 2. 证明 代数式 证明:代数式 代数式-2y 的值不大于 2
用配方法解一元二次方程的步骤: 用配方法解一元二次方程的步骤: 步骤
x2 = 60(不 合 意 ， 舍 去 ）
课堂练习
3.若实数x、y满足(x+y+2)(x+y-1)=0， 则x+y的值为（ D ）． （A）1 （B）－2 （C）2或－1 （D）－2或1 4.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值 是一个（ B ） （A）非负数 （B）正数 （C）整数 （D）不能确定的数
例题讲解
例题1. 例题 用配方法解下列方程 x2+6x-7=0 2 解： x + 6x = 7 2 x + 6x + 9 = 7 + 9 练习1. 用配方法解下列 2 (x + 3) = 16 方程 x + 3 = ±4 1. y2-5y-1=0 . ∴ x1 = 1 x 2 = −7 2. y2-3y= 3
2
开平方
变成了(x+h)2=k 变成了 的形式
x +3 = ± 5
x + 3 = 5, x + 3 = − 5 得: x1 = −3+ 5, x2 = −3− 5
用配方法解一元二次方程的步骤 1、 常数项 移到方程右边 、 移到方程右边. 2、将方程左边配成一个 完全平方 式。 、 (两边都加上 一次项系数一半的平方 ) 两边都 两边 3、用 直接开平方法 解出原方程的解。 解出原方程的解。 、
填一填
2 2
1 1 (1) x + 2 x + _____ = ( x + ___)
2
2
4 = ( x − ___) (2) x − 8 x + _____ 4 5 5 (3) y + 5 y +（2） = ( y + ___) _____ 2
2
2
2
2
2
(4) y
2
2 1 （ 1） 1 − y + ____ = ( y − ___) 4 4 2
导入
你能把下列方程转化成可以 直接开方的形式吗？
探索规律： 探索规律： 1. x2-2x+ =( )2 2. x2+4x+ =( )2 3. 2 x2-6x + =( )2 2 8.x + ±8 x + 16 = ( x±4 ) 4. x2+10x + =( )2 5. x2-x + =( )2 6. x2+5x + =( )2 7. x2-bx + =( )2
2
它们之间有什么关系? 它们之间有什么关系
想 想 何+ 6x = −x + 6x + 4 = 0? 一 如x2解 程4 方
两边加上3 使左边配成 两边加上 2,使左边配成 完全平方式
2
x + 6x + 4 = 0
2
移项 2
x + 6x + 3 = −4 + 3
2 2
左边写成完全平方的形式
(x + 3) = 5
3. x2-4x+3=0 4. x2-4x+5=0
例题讲解
例题2. 例题 用配方法解下列方程 2x2+8x-5=0
5 解： x + 4x = 2 5 2 x + 4x + 4 = + 4 2
2
练习2. 用配方法解下 列方程 1. 5x2+2x-5=0 2. 3y2-y-2=0 3. 3y2-2y-1=0 4. 2x2-x-1=0
移项:把常数项移到方程的右边; 移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 一半的平方; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解. 定解:写出原方程的解.
用配方法 解一元二次方程
1．解方程：3x2+27=0得（ ）. ．解方程： 得 (A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数 ± 无实数 根 (D)方程的根有无数个 方程的根有无数个 2.方程 2.方程(x-1)2=4的根是( ). 方程(x-1) =4的根是 的根是( (A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-2
巩固练习
如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上， 修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部 分种花草，要使剩余部分面积为850m2，道 路的宽应为多少？ 解：设道路的宽应为x米，则：
(35 - x)(26 - x) = 850
化简，得：x 2 - 61x + 60 = 0 解之，得：x1 = 1, 答：道路宽1米
13 (x + 2) = 2 26 x+2=± 2
2
26 26 ∴ x1 = − 2Leabharlann x2 = − −2 2 2范例
课堂练习
1.方程x2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得方 程为（ A ）． （A）(x+3)2=14 （B） (x-3)2=14 （C） (x+6)2=14 （D）以上答案都不对 2.用配方法解下列方程，配方有错的是（ C ） （A）x2-2x-99=0 化为 (x-1)2=100 （B） 2x2-3x-2=0 化为 (x- 3/4 )2=25/16 （C）x2+8x+9=0 化为 (x+4)2=25 （D） 3x2-4x=2 化为(x-2/3)2=10/9
21.2 解一元二次方程——配方法
解: 把常数项移到方程右边得：如何配方?
x 4x 1
2
2 2 2 两边同时加上2 得： x 4x 2 1 2
2
即
降次
( x 2) 5
2
x2 5
∴原方程的根为 x1 2 5, x2 2 5
例1.解下列方程 2 x 8x 2 0.
x2＋8x＋ 42 ＝( x＋4 )2 2 2 2 ＝ ( a +b ) a +2 a b ＋ b x2＋2．x．4 ＋ 42
配方依据：完全平方公式.
2 2 2 a ±2ab+b =(a±b) .
合作探究
填上适当的数或式,使下列各等式成立. 2 2 (1) x 4 x 2 =( x + 2 )2 2 2 =(x - 3 )2 (2) x 6 x 3
系数一半的平方，得
x 4 x 1.
2
2 2 2
x 4x 2 1 2 .
x 4 x 4 5.
2
写成（）2 降次，得
的形式，得
x 2
2
5.
x 2 5.
所以，原方程的根为
x1 2 5
x2 2 5.
练习:3x – 6x + 4 = 0
配方法的基本步骤：
1、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数； 2、移项：将常数项移到等号一边； 3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4、等号左边写成（ ）2 的形式；
5、降次：化成一元一次方程；
6、解一元一次方程； 7、写出方程的解.
练习 题组
（1）
16 x 4 x 8x __ _ .
22.2解一元二次方程配方法
22.2 解一元二次方程(配方法)第1课时教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重难点关键1．重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．2．•难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=mx+n=p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2二、探索新知列出下面二个问题的方程并回答：（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，•八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起”．大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的18的平方，另一队猴子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得：x=（18x）2+12整理得：x2-64x+768=0问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500整理，得：x2-36x+70=0（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有．（2）不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768两边加（642）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024左边写成平方形式→（x-32）2=•256 •降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16解一次方程→x1=48，x2=16可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．学生活动：例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题．老师点评：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=±，x-18=或x1≈34，x2≈2．可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应为2．例2．解下列关于x的方程（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上．解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=±6x-1=6，x-1=-6x1=7，x2=-5可以，验证x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的两根．（2）x2-2x-12=0 x2-2x=12x2-2x+12=12+1 （x-1）2=32x-1=±2x-1=2x-1=-2x1x2可以验证：x 1=1+2x 2=1-2三、巩固练习教材P 38 讨论改为课堂练习，并说明理由． 教材P 39 练习1 2．（1）、（2）． 四、应用拓展例3．如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=8m ，CB=6m ，点P 、Q 同时由A ，B•两点出发分别沿AC 、BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，•几秒后△PCQ•的面积为Rt △ACB 面积的一半．C A QP分析：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．•根据已知列出等式． 解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半． 根据题意，得：12（8-x ）（6-x ）=12×12×8×6 整理，得：x 2-14x+24=0（x-7）2=25即x 1=12，x 2=2x 1=12，x 2=2都是原方程的根，但x 1=12不合题意，舍去． 所以2秒后△PCQ 的面积为Rt △ACB 面积的一半． 五、归纳小结 本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程． 六、布置作业1．教材P 45 复习巩固2．22.2.2 配方法 第2课时教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程． 教学目标了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目． 重难点关键1．重点：讲清配方法的解题步骤．2．难点与关键：把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方．教具、学具准备 小黑板 教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程：（1）x 2-8x+7=0 （2）x 2+4x+1=0老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x 的完全平方形式，•右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题． 解：（1）x 2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9 x-4=±3即x 1=7，x 2=1（2）x 2+4x=-1 x 2+4x +22=-1+22（x+2）2=3即x+2=x 1，x 2二、探索新知像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解． 例1．解下列方程（1）x 2+6x+5=0 （2）2x 2+6x-2=0 （3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方． 解：（1）移项，得：x 2+6x=-5配方：x 2+6x+32=-5+32（x+3）2=4 由此可得：x+3=±2，即x 1=-1，x 2=-5 （2）移项，得：2x 2+6x=-2二次项系数化为1，得：x 2+3x=-1 配方x 2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54由此可得x+32=x 132，x 232（3）去括号，整理得：x 2+4x-1=0移项，得x 2+4x=1 配方，得（x+2）2=5x+2=x 1，x 2三、巩固练习教材P 39 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）． 四、应用拓展例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6分析：因为如果展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=12（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y2（12y+12）（16y-16）=6去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72，y4-y2=72（y2-12）2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8（舍）∴y=±3当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-2 3当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53五、归纳小结本节课应掌握：配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．六、布置作业1.教材P45复习巩固3．。
一元二次方程的解法(二)配方法(基础)
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程：2x2+3x﹣1=0．【思路点拨】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【答案与解析】解：2x2+3x﹣1=0x2+x2+）x+x1=【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2-4x-2=0； (2)x2+6x+8=0.【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．两边都加4，得x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-．于是，原方程的根为x=2+或x=2-．(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得 x2+6x+32=-8+32，∴ (x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴ x=-2或x=-4．类型二、配方法在代数中的应用2．若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ）Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++ 2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.3．用配方法证明：二次三项式﹣8x 2+12x ﹣5的值一定小于0． 【答案与解析】 解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．【点评】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号. 注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【高清ID 号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值—例4变式1】【变式】求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17= x 2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.4．已知223730216b a a b -+-+=，求4a b -的值． 【思路点拨】解此题关键是把3716拆成91416+ ，可配成两个完全平方式． 【答案与解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =．∴ 3312222a -=-=-=-． 【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a ．b 的值．一元二次方程的解法（二）配方法—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （2015•滨州）用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣10=0时，下列变形正确的为（ ）A ．（x+3）2=1B ．（x ﹣3）2=1C ．（x+3）2=19D ．（x ﹣3）2=192．下列各式是完全平方式的是（ ）A ．277x x ++B ．244m m --C ．211216n n ++ D ．222y x -+ 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．3±D ．以上都不对4．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-15．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ）A ．（x-2）2=7B ．（x+2）2=21C ．（x-2）2=1D ．（x+2）2=26．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2．-2．．二、填空题7．（1）x 2+4x+ =（x+ ）2；（2）x 2-6x+ =（x- ）2；（3）x 2+8x+ =（x+ ）2.8．若223(2)1x mx x ++=--，那么m ＝________．9．若226x x m ++是一个完全平方式，则m 的值是________．10．求代数式2x 2-7x+2的最小值为 .11．（2014•资阳二模）当x= 时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为 ． 12．已知a 2+b 2-10a-6b+34=0，则的值为 ．三、解答题13. 用配方法解方程（1） （2）221233x x +=14. （2014秋•西城区校级期中）已知a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，求a+b 的值．15．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且2226810500a b c a b c ++---+=．(1)求a ，b ，c 的值；(2)判断三角形的形状．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D ；【解析】方程移项得：x 2﹣6x=10，配方得：x 2﹣6x+9=19，即（x ﹣3）2=19，故选D ．2．【答案】C ； 【解析】211216n n ++214n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 3.【答案】C ；【解析】 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 2=9,解得m=3±；4.【答案】A ；【解析】a 2-4a+5= a 2-4a+22-22+5=（a-2）2+1 ；5.【答案】C ；【解析】方程x 2+3=4x 化为x 2-4x=-3，x 2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1.6.【答案】B ；【解析】方程x 2+4x=10两边都加上22得x 2+4x+22=10+22，x=-214二、填空题7．【答案】（1）4；2； （2）9；3； （3）16；4.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8．【答案】-4；【解析】22343x mx x x ++=-+，∴ 4m =-．9．【答案】±3；【解析】2239m ==．∴ 3m =±.10．【答案】-338；【解析】∵2x 2-7x+2=2（x 2-72x ）+2=2（x-74）2-338≥-338，∴最小值为-338， 11．【答案】-1,1【解析】∵﹣x 2﹣2x=﹣（x 2+2x ）=﹣（x 2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x 2﹣2x 有最大值，其最大值为1；故答案为：﹣1，1．【解析】 -3x 2+5x+1=-3（x-56）2+3712≤3712，• ∴最大值为3712． 12．【答案】4.【解析】∵a 2+b 2-10a-6b+34=0∴a 2-10a+25+b 2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3，∴=4．三、解答题13.【答案与解析】（1）x 2-4x-1=0x 2-4x+22=1+22(x-2)2=5x-2=5 x 1=5x 2=5(2) 221233x x += 226x x +=2132x x += 222111()3()244x x ++=+ 2149()416x += 1744x +=± 132x = 22x =-14.【答案与解析】解：∵a 2+b 2﹣4a+6b+13=0，∴a 2﹣4a+4+b 2+6b+9=0，∴（a ﹣2）2+（b+3）2=0，∴a ﹣2=0，b+3=0，∴a=2，b=﹣3，∴a+b=2﹣3=﹣1．15.【答案与解析】（1）由2226810500a b c a b c ++---+=，得222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= 又2(3)0a -≥，2(4)0b -≥，2(5)0c -≥，∴ 30a -=，40b -=，50c -=，∴ 3a =，4b =，5c =．（2）∵ 222345+= 即222a b c +=，∴ △ABC 是以c 为斜边的直角三角形．。
配方法解一元二次方程
所以 4 秒后△PBQ 的面积为 16 cm2 。
实际问题
2. 某小区为了美化环境，将花园的布局做 了如下调整：将一个正方形小花园每边扩大2 m 后，改造成一个面积为100 m2 的大花园，那么 原来小花园的边长是多少？ 设原来小花园的边长 x m， 则有 (x＋2)2 = 100
根据平方根的意义，得 x＋2=±10 x 即 x1 8，2 12 （不合题意，舍去） 所以原来小花园的边长是 8 m 。
2. 下列解方程 x2－10x －36 = 0的过程 正确吗？如果不正确，请指出错误的地方。 解：移项，得 x2－10x = 36
配方 x2－10x ＋25 = 36
(x－5)2 = 36
×
开平方，得 x－5 =±6
∴ x1 = 11 , x2 =－1
配方法解 方程，应在方 程两边同时加 上一次项系数 一半的平方。
2、先化简，再求值：
其中a是方程x² +3x+1=0的根．
3、关于x的二次三项式：x² +2mx+4－m² 是一个完全平方式，求:m的值． 4、利用配方求2x² －x+2的最小值．
5、三角形两边的长是3，8，第三边是方程 x² —17x+66＝0的根，求：此三角形的周长．
5. 某数学兴趣小组对关于 x 的方程
m 1 x
m 2 1
m 2 x 1 0
提出了下列问题。 （1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？ 若存在，请求出 m 并写出此方程。 （2）若使方程为一元一次方程，m 是否存在？ 若存在，请求出 m 并写出此方程。
m 1 x
m 2 1
m 2 x 1 0
解： 2 x 1 5
配方法解一元二次方程
该方程的解．
即
ｘ＝ ６，２ 一 ６ ｉ １ Ｘ＝ １ ．
点 拨 根 据 式 子 的 特 征 ，
将 左 边 化 成 完 全 平 方 ， 边 是 正 右
用直 接开 平方 法解 下列方 程 ． （ ） ２３ ＝ ； （ ） （一 ） ２ ＝ ； （ ）ｘ ５ （一 ）２ ； １ － ２ ０ ２４ ｘ ３ｚ ５０ ＇ ３ （＋ ） ５ ＝ ５
ｂ 的特 征 ： 式 左 边 是 关 于 的 ） 等
并 则有 ｘ ２ ｘ ６． ６ ｚ Ｚ ｂ ＋ ２（± ） ＋ ． 二 次 三项 式 ， 次 项 系 数 为 １ 常 中的 ａ看做 未知 数 ， 用 代替 ， 二 ，
数 项 等 于 一 次 项 系 数 一 半 的 平
方 ２ ｊ ， ＿ 『 ２ ± ．
・
由 平方根的定义， ３± ， 得 一＝÷
时 间 的利 齿 可 以 吞 噬 一 切别 的东 西 ， 对 真 理 却 无 能 为力 。— — 托 马 斯 ・ 胥 黎 而 赫 ２ ９
Ｕ 册
一
Hale Waihona Puke 元 二 次 方 程 。 ・ ・
铂
。
’
（ ） 方程 可化 为 ｘ ２ ＝ ５ 移项 得 ｘ＝ ０ ３原 Ｚ ５２ ， － ２５ ．
由平方 根 的定 义 ， 得 ＝ ５ ／ ， ± 、
－
．
．
１ 、 ，＝５ ／ ＝ ／ 一 、 ． ５ ２
（） ４ 两边 同乘 以 ６ 得 （＋ ） ９ ． ， ） ３ ６ ， ＝
由平方根的定义， ｙ ３ ± 、 ， 得 ＋＝ ４ ／ 厂
・
．
．
ｙ ２＋、百 ，＝３４／ １ ３４ ／ ｙ 一— 、 百． ＝ ２
《一元二次方程——用配方法求解一元二次方程》数学教学PPT课件(3篇)
知2－讲
(2) 移项，得
2x2－3x＝－1.
x2
二次项系数化为1，得
3
1
x .
2
2
2
2
3
1 3
3
x x .
2
2 4
4
2
配方，得
2
3
1
x
=
.
4
16
3
1
x ,
4
4
由此可得
x1 1, x2
1
2
知2－讲
(3)移项，得
(1)当p>0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根
x1＝－n－
p ，x
2＝－n＋
p；
(2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n；
(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，
所以方程(Ⅱ)无实数根．
知2－练
1 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时 加上4的
是(
)
12.在实数范围内定义一种新运算“※”,其规则为a※b=a2-b2,根据这个规则求方程( 2x1 )※( -4 )=0的解.
解:根据新定义得( 2x-1 )2-( -4 )2=0,
即( 2x-1 )2=( -4 )2,
5
3
∴2x-1=±4,∴x1=2,x2=-2.
-41-
第二章
2.2 用配方法求解一元二次方程
2
3
1
A.x,-4
B.2x,-2
3
3
C.2x,D.x,2
2
C )
10.已知关于x的多项式-x2+mx+4的最大值为5,则m的值为( B )
解一元二次方程--配方法
2
2
（x-2） = 3 直接开平方，得 x-2= 3
所以
x 2
1
3, x2 2 3
归纳总结
归纳总结:用配方法解一元二次方程的步骤：
(1)二次项系数为1 ;
用配方法解一元二次方程的步骤： 1、移项（把常数项移到方程右边） 2、配方（在方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方） 3、写 （写成( )2=a的形式） 4、开方（如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方来解，如果右 边是个负数，则原方程无实根.）
复习导入
1、解下列方程： 2 (1)(x+1) - 4 =0 (2) x +2x+1=4
归 纳:
把方程 x2 +2x+ 1=4变形为 ( x +1 )2 =4， 它的左边是一个含有未知数的完全平方式， 右边是一个非负常数，从而能直接开平方求解． 这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
规律：一移、二化、三配方、四写、五开方
积累识记
用配方法解一元二次方程的步骤： 1、移项（把常数项移到方程右边） 2、把二次项系数化为1（方程两边同时除以二次项系数） 3、配方（在方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方） 4、写 （写成( ) =a的形式）
2
5、开方（如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方来 解，如果右边是个负数，则原方程无实根.）
3、归纳总结:用配方法解一元二次方程的步骤：
(达标)
(1)二次项系数为1 ;
(2)二次项系数不为1.
成果展示
1、填空，将左边的多项式配成完全平方式：
(1) a +2ab+b = ( (2) x +4x+( ) = (
21.2.2一元二次方程的解法--配方法教学课件26
转化思想，把一个一元二次方程“降次”转化为
两个一元一次方程。即： ax² +bx+c=0 →（x+n）² =p（p≥0） → x+n=
p
或 x+n= -
p
“转化”的数学思想，就是把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转 化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题， 把高次问题转化为低次问题，把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题 转化为几个基本问题。转化的目的是不断发现问题、分析问题，最终解决问 题。 只要主动参与，认真思考，勤于动手，就能感悟到 “数学数学真奇妙，学好数学更聪明”！
① 移项：把常数项移到方程的右边； ② 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； ③ 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； ④ 整理：方程变成（x+n)2 =p的形式； ⑤ 求解（直接开平方）：若p≥0，转化成两个一 元一次方程求解；若 p＜0，则原方程无实数根。 ⑥ 定解：写出原方程的解，即 x1= ， x2 = 。
配方法解一元二次方程应注意
1、移项时注意变符号； 2、二次项系数化为1时，每一项都要除以二 次项系数； 3、配方时，方程两边都要加上一次项系数一 半的平方； 4、当p≥0，开方时方程两边都要开平方，且 有两个根； 5、注意书写格式的规范性。
转化的数学思想方法
配方法是重要的数学思想方法，其实质就是
2.拓展题（任选一题做）:
（1）利用配方法求代数式的值：
若x²-4x+y²+6y+
z2
+13=0，求（xy）²的值。
（2）求证：不论a取何值，a2-a+1的值总是 一个正数。
2
（3）配方法求最值：x -6x+12的最值。
初中数学 如何求解一元二次方程的小数解
初中数学如何求解一元二次方程的小数解要求解一元二次方程的小数解，我们可以使用配方法、求根公式或图像法。
下面将详细介绍这三种方法的步骤和应用。
方法一：配方法配方法是一种通过变换方程的形式来求解一元二次方程的方法。
它的基本思想是将方程转化为完全平方形式，然后求解。
步骤：1. 将方程表示成标准形式：ax² + bx + c = 0，其中a，b和c是已知的实数常数，且a ≠ 0。
2. 如果方程的系数a不为1，则将方程两边都除以a，使得方程的首项系数为1。
3. 将方程的常数项c分解为两个数的乘积，这两个数的和等于方程的一次项系数b。
假设这两个数为m和n。
4. 重新排列方程，将一次项bx拆分为mx + nx。
5. 将方程按照完全平方的形式进行重新组合，即(x + m)(x + n) = 0。
6. 使用零乘法，将方程拆分为两个线性因式，即x + m = 0和x + n = 0。
7. 解这两个方程，得到x的值。
这些值即为方程的小数解。
举例来说，考虑方程2x² + 5x - 3 = 0。
1. 将方程表示成标准形式，得到2x² + 5x - 3 = 0。
2. 系数a为2，不为1，所以我们将方程两边都除以2，得到x² + (5/2)x - 3/2 = 0。
3. 将常数项-3/2分解为两个数的乘积，这两个数的和等于5/2。
我们可以将-3/2分解为1/2和-2，因为1/2 + (-2) = 5/2。
4. 重新排列方程，得到x² + (1/2)x - 2x - 3/2 = 0。
5. 将方程按照完全平方的形式进行重新组合，即(x + 1/2)(x - 2) = 0。
6. 使用零乘法，将方程拆分为两个线性因式，即x + 1/2 = 0和x - 2 = 0。
7. 解这两个方程，得到x = -1/2和x = 2。
这两个值即为方程的小数解。
方法二：求根公式求根公式是一种通过直接计算方程的根的公式来求解一元二次方程的方法。
用配方法解一元二次方程
以上解法中,为什么在方程 x 6 x 4
2
两边加9 ? 加其他数行吗? 像上面那样,通过配成完全平方形式来解一 元二次方程的方法叫做
配方法解一元二次方程
2
a 的形式．（ａ为非负常数）
解一元二次方程的基本思路
二次方程 一次方程（降次）
把原方程转化为(x+a)2＝b的形 式 (其中a、b是常数）
a2+2ab+b2=(a+b)2
反过来:
(a+b)2=a2+2ab+b2
你能填上适当的数使其构成完全平方吗?
(1) x
2
2 2 1 2 x _____ 1 ( x ___)
2 2 (2) x 8 x _____ 4 4 ( x ___) 2 5 2 2 5 (3) y 5 y _____ ( y ___) 2 2 2 2 2 1 1 1 (4) y y ____ ( y ___) 4 2 4 2
-1 8.若a2+2a+b2-6b+10=0,则a= 。
，3 b=
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程, 根据平方根的定义,可解得 x a ,x a 1 2 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方 法.
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方 式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的 方法叫做配方法. 注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
x 6x 4 0
2
移项 2
两边加上32,使左边配成 完全平方式
2
x 6 x 3 4 3
2 2
左边写成完全平方的形式