天津市耀华中学2019届高三年级第一次月考理科数学试卷
天津市耀华中学2019届高三年级第一次月考理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一. 选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．. 1. i 是虚数单位，复数
1312i
i
-+=+（ ） A. 55i -- B. 1i + C. 55i + D. 1i -- 2.下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）
A. ()sin f x x =
B. ()1f x x =-+
C. 1()()2x x
f x a a -=+ D. 2()ln 2x f x x -=+
3.
ABC 中，ABC 为锐角三角形是sin cos A B >的（ ）
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件 4. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0, 2
A π
ϕ><
）的图象如图所
示，为了得到()cos 2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ）
A. 向右平移
12π个单位长度 B. 向右平移6π
个单位长度 C. 向左平移12π个单位长度 D. 向左平移6π
个单位长度
5. 已知定义在R 上的函数21()()
52
x m
f x --=+为偶函数，记0.5(lo
g 3)a f =，2(log 5)b f =，(22)c f m =-，则（ ）
A. a c b <<
B. c b a <<
C. c a b <<
D. a b c << 6. 已知函数设向量2
()2sin cos sin 2x f x x x ωωω=-（0ω>）的最小值在区间,34ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上至少出现两次，则ω的最小值等于（ ）
A. 6
B.
9
4
C. 154
D. 3
7. 若函数3()3f x x x =-在区间2(12,)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）
A. ]1,2(-
B. 1,4)(-
C. (-
D. 1,2)(-
8. 已知函数()ln f x ax e x =+与2
()ln x g x x e x =-的图象有三个不同的公共点，其中e 为自然对
数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）
A. a e <-
B. 1a >
C. a e >
D. a e <-或1a >
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二. 填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．
. 9. 若集合{}213A x x =-<，2103x B x x ⎧+⎫
=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = . 10. 曲线1
y x
=
与直线y x =，2x =所围成的封闭图形的面积为 . 11. 设α，β
都是锐角，且cos α=
，3sin()5αβ+=，则cos β= .
12. 若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = . 13. 已知函数2()3f x x x =+，x R ∈，若方程()10f x ax --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是 .
14. 已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足对x R ∀∈都有(2)(2)f x f x -+=-，当0
x ≥
时，2 0122() 13sin 2ln , 12
x x f x x x x x ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩若对于[],1x m m ∀∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的取值范围是 .
三. 解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）
已知a ,b ,c 分别为⊿ABC 三个内角A ,B ,C
的对边，cos sin 0a C C b c --=. （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若2a =，⊿ABC
b ，
c .
甲乙两个进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判
定获胜局数多者赢得比赛. 假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为1
3
，各局比赛结果
相互独立.
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）. 17.（本题满分13分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中， H 是正方形11AA B B
的中心，1AA =，1C H ⊥平面
11AA B B
，且1C H =（1）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值； （2）求二面角111A AC B --的正弦值；
（3）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且
MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长.
18.（本题满分13分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,
)n S n n 在直线上111
22
y x =+上. 数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=（*n N ∈）
，且311b =，前9项和为153. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设21
tan(211)tan()3
n n n b c a -=-⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 19.（本题满分14分）
椭圆C ： 22
22
1x y a b +=（0a b >>
）离心率e = 3a b +=. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为1k ，MN 的斜率为2k ，是否存在实数
λ使12k k λ-为定值？如果存在，求出λ，否则说明理由.
H
C 1
B 1
A 1
B
A
C
设函数2()ln (2)f x x a x a x =---. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若函数()f x 有两个零点12 x x ，. （1）求满足条件的最小正整数a 的值； （2）求证：12
()02
x x f +'>.。
2023学年天津市耀华中学高三上学期第一次月考数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023年天津市耀华中学高三下学期第一次月考数学试题的。
1.设全集，若集合，，则集合( )A. B.C.D.2.设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.函数的大致图象可能是( )A. B.C. D.4.化简式子等于( )A. 0B.C.D.5.某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如下图，数据的分组依次为若不低于60分的人数是35人，则该班的学生人数是( )A. 45B. 50C. 55D. 606.已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. B. C.D.7.若两个正实数x ，y 满足，且不等式恒成立，则实数m 的取值范围为( )A. B. 或C. D.或8.已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称．给出下面四个结论：将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称；点为图象的一个对称中心；；在区间上单调递增．其中正确结论的个数为( )A. 0 B. 1C. 2D. 39.设，函数，若在区间内恰有5个零点，则a 的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.设复数z 满足为虚数单位，则的值为__________.11.二项式的展开式中含x 项的系数为__________.12.已知函数，则使得成立的a 的取值范围是__________.13.已知是函数的导函数，且对任意实数x 都有，且，若的图像与有3个交点，则m 的取值范围为__________.14.已知函数若在区间上存在个不同的数，，，，，使得成立，则n的最大值为__________.15.若实数满足，则的最大值为__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
天津市耀华中学2018-2019学年第一学期高三年级第一次月考数学(理)(解析版)
天津市耀华中学2018-2019学年第一学期高三年级第一次月考数学（理）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.i是虚数单位，复数A. B. C. D.【答案】A【解析】解：进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将改为．．故选：A．进行复数的除法的运算，需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将改为．本题主要考查复数代数形式的基本运算，2个复数相除，分母、分子同时乘以分母的共轭复数．2.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：函数，是奇函数，在上单调递增，不满足条件．函数不是奇函数，不满足条件，函数是偶函数，不满足条件，故选：D．分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．3.在中，“是锐角三角形”是“”的A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】解：当，时，满足，但此时是直角角三角形，是锐角三角形不成立即必要性不成立，当为锐角三角形时，，，，故成立即充分性成立“”是“为锐角三角形”的充分不必要条件，故选：B．根据三角函数的诱导公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的诱导公式是解决本题的关键．4.函数其中，，的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】解：由函数的图象可得，，．再根据五点法作图可得，求得，故故把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故选：C．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，可得结论．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，属于基础题．5.已知定义在R上的函数为偶函数，记，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：是偶函数，，即，即，即，即，则或，得，，即，则当时，为增函数，，，，，，即，故选：A．根据函数是偶函数，求出，然后利用偶函数和函数的单调性进行比较即可．本题主要考查函数值的对称比较，结合函数奇偶性和单调性的关系将变量进行转化是解决本题的关键．6.已知函数的最小值在区间上至少出现两次，则的最小值等于A. 6B.C.D. 3【答案】D【解析】解：．由，得，的最小值在区间上至少出现两次，，解得．的最小值等于3．故选：D．利用三角函数的倍角公式化简变形，由x的范围求得相位的范围，结合的最小值在区间上至少出现两次，可得，求解得答案．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查型函数的图象与性质，考查数学转化思想方法，是中档题．7.若函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题，令0'/>解得；令解得或由此得函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数故函数在处取到极小值，判断知此极小值必是区间上的最小值，解得又当时，，故有综上知故选：C．求函数导数，研究其最小值取到位置，由于函数在区间上有最小值，故最小值点的横坐标是集合的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值．8.已知函数与的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为A. B. C. D. 或【答案】B【解析】解：由，整理得：，令，且，则，设，求导，令，解得：，在上单调递增，在单调递减，则当时，，如图所示，由题意可知方程有一个根在内，另一个根或或，当方程无意义，当时，，不满足题意；则，由二次函数的性质可知：，即，解得：，故选：B．由题意可知：令，化简求得，根据的单调性求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．本题考查函数零点与函数方程的关系，考查利用导数判断函数的极值，考查二次函数的性质，考查数形结合思想，属于难题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若集合，，则是______．【答案】【解析】解：，则，或，则或，故A；故答案为解可得集合A，解可得集合B，由交集的定义，求A、B的交集，即可得答案．本题考查集合的交集运算，涉及绝对值不等式与分式不等式的解法，关键是正确解出两个不等式．10.曲线与直线，所围成图形面积为______．【答案】【解析】解：曲线和曲线的交点为直线和的交点为曲线与直线，所围成图形面积为故答案为：作出曲线与直线、的图象，求出它们的交点坐标，可得所求面积为函数在区间上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．11.设、都是锐角，且，，则______．【答案】【解析】解：为锐角，，，，且，，且，，则．故答案为：由为锐角，根据的值，求出的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简，且根据其值范围确定出的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，所求式子中的角变形为，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．12.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．【答案】【解析】解：设与和的切点分别为、；由导数的几何意义可得，得再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而得出．先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题13.已知函数，，若方程恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为______．【答案】作出函数，的图象，当，，，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件；则，此时，当时，，，当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时，即，则由，即，解得或，当时，，，此时不成立，此时，要使两个函数有四个零点，则此时，若，此时与，有两个交点，此时只需要当时，有两个不同的零点即可，即，整理得，则由，即，解得舍去或，综上a的取值范围是．故答案为：．由得，作出函数，的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．14.已知函数是定义在R上的函数，且满足对都有，当时，若对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：都有，即为，可得，可得为偶函数，当时，，可得时，递减，；当时，，导数为，当时，，可得，当时，由当且仅当取得等号，且，可得，则递减，且，，在上为减函数，对任意的，不等式恒成立，可得，即为，即有，由一次函数的单调性，可得：，且，即为且，即有，则m的范围是，故答案为：由题意可得为偶函数，求得在上连续，且为减函数，，即为，即有，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求范围．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，求A；若，的面积为；求b，c．【答案】解：由正弦定理得：，即，即．；若，的面积，再利用余弦定理可得：，结合求得．【解析】已知等式利用正弦定理化简，整理后得到即可求出A的值；若，由的面积为，求得，再利用余弦定理可得，结合求得b和c 的值．本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．16.甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．求甲在4局以内含4局赢得比赛的概率；Ⅱ记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．【答案】解：用A表示甲在4局以内含4局赢得比赛的是事件，表示第k局甲获胜，表示第k局乙获胜，则，，，2，3，4，5．Ⅱ的可能取值为2，3，4，5．，，，，或者，故分布列为：．【解析】Ⅰ根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．Ⅱ利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及数学期望．本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.如图所示，在三棱柱中，H是正方形的中心，，平面，且．求异面直线AC与所成角的余弦值；求二面角的正弦值；设N为棱的中点，点M在平面内，且平面，求线段BM的长．【答案】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得解：易得，于是，所以异面直线AC与所成角的余弦值为．解：易知．设平面的法向量y，，则即不妨令，可得，同样地，设平面的法向量y，，则即不妨令，可得．于是，从而．所以二面角的正弦值为．解：由N为棱的中点，得设b，，则由平面，得即解得故．因此，所以线段BM的长为．方法二：解：由于，故是异面直线AC与所成的角．因为平面，又H为正方形的中心，，可得．因此．所以异面直线AC与所成角的余弦值为．解：连接，易知，又由于，，所以≌ ，过点A作于点R，连接，于是，故为二面角的平面角．在中，．连接，在中，，从而．所以二面角的正弦值为．解：因为平面，所以．取中点D，连接ND，由于N是棱中点，所以且．又平面，所以平面，故．又，所以平面MND，连接MD并延长交于点E，则，故．由，得，延长EM交AB于点F，可得连接NE．在中，，故．所以．可得．连接BM，在中，．【解析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点Ⅰ求出中的有关向量，然后求出异面直线AC与所成角的余弦值；Ⅱ利用求出平面的法向量，通过求出平面的法向量，然后利用求二面角的正弦值；Ⅲ设N为棱的中点，设b，，利用平面，结合求出a，b，然后求线段BM的长．方法二：说明是异面直线AC与所成的角，通过解三角形，利用余弦定理，．求出异面直线AC与所成角的余弦值为．连接，过点A作于点R，连接，说明为二面角的平面角连接，在中，通过，求出二面角的正弦值为．首先说明取中点D，连接ND，由于N是棱中点，推出证明平面MND，连接MD并延长交于点E，延长EM交AB于点F，连接连接BM，在中，求出．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．18.已知数列的前n项和为，点在直线上上数列满足，且，前9项和为153．Ⅰ求数列，的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ点在直线上上，可得，即，可得，时，，上式对也成立，可得，；数列满足，且，前9项和为153，可得为等差数列，设公比为d，则，，解得，，则；Ⅱ，数列的前n项和．【解析】Ⅰ由题意可得，由数列的递推式，即可得到所求，；由等差数列的性质和通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到；Ⅱ求得，运用数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．19.椭圆C：离心率，．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为，MN的斜率为，是否存在实数使为定值？如果存在，求出，否则说明理由．【答案】解：Ⅰ由椭圆的离心率，得，又，解得：，，则椭圆的标准方程为：；Ⅱ，，P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为联立，整理得．则，，．又直线AD的方程为．联立，解得由三点，，共线，得，．的斜率为．则，要使为定值，则，即．故存在实数，使为定值．【解析】Ⅰ由椭圆的离心率求得，由，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；Ⅱ设出直线BP的方程为，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率，整理，结合为定值求得值得答案．本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中档题．20.设函数．Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；求证：．【答案】解：Ⅰ，．当时，在上恒成立，所以函数单调递增区间为，此时无单调减区间；当时，由，得，，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为；Ⅱ由Ⅰ可知函数有两个零点，所以，的最小值，即，，，令，显然在上为增函数，且存在，，当时，；当时，，所以满足条件的最小正整数．又当时，，，，所以时，有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．证明：不妨设，于是，，因为，当时，；当时，．故只要证即可，即证明，即证．也就是证．设．令，则．，所以，当且仅当时，，所以在上是增函数．又，所以当，总成立，所以原题得证．【解析】Ⅰ，对a分类讨论：，，即可得出单调性．Ⅱ由Ⅰ可知函数有两个零点，所以，的最小值，即，可得，令，显然在上为增函数，且，因此存在，，进而得出小正整数a的值．不妨设，于是，可得由于，当时，只要证即可，即证明，即证设令，利用导数研究其单调性即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值、等价转化方法、分析法、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力、函数的零点，属于难题．。
2019-2020学年天津市耀华中学高三(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)
2019-2020 学年天津市耀华中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共 9 小题，共 45.0 分） 1. 设集合 = +− 1 < < 3}< < 2} − 3) < 0}， = < < 4}，则 ∩ = ( )− 1 < < 4} A. C.B. D. < < 3}2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)内单调递减的是( )B. C. D. D. A. = = = = 3. 已知 = log 0.9， = log 0.8， = 0.5−0.9，则( ) 0.5 0.5 < <A. B. C. < << << <4. 已知 << ，则“ = ”是“) = √3”的( ) +3262A. C.B. D. 充分不必要条件充分必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件中，若= 4 ,= 5 ，则5.= ( )513B. C. D. A. 33636533 65636533 63 − 或− − 或6565656. 若函数= 2 + − 2019的一个零点 ∈+ 1)，则正整数 = ( )0 A. B. C. D.8117. 函数间是( )109= +> 0)的最小正周期是 ，则其图象向右平移 个单位后的单调递减区63B. A.C. [− ++ ∈ ∈[ +4+ ∈ 444D. [ +12+[−++∈1212 128. 若函数 = −在区间[0, ]上是单调增函数，则实数 的取值范围是( )a 3A. B. C. D. ≥ 0 ≤ 1> 0 = ≥ −19. 已知菱形 边长为 2， = ，点 满足 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = −1，则 的值为( )AB C D P ∈⋅3B. C. D.− A. 1121313− 2二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分） 10. 若( − 4) + ( + + 2) 是纯虚数，则实数 的值是__________． 2 2 x 11. 12. 已知棱长为 1 的正方体则三棱锥 − 的体积为______ ．+ 的展开式中， 的系数为 15，则 =______．10 7 − 中， 是棱 1的中点， M 1 1 1 1 113. 数列 }满足： + = ∈ )，若 = 4，则 = ______ ．∗ 7 2014 14. 已知 + 4) = + 8 ，则 = ______ ． √ √ −−1 ≤ ≤ 0+ 1).0 < ≤ 42 15. 已知函数= {，若+ 1)有 3 个不同的零点，则实数 = −k的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共 5 小题，共 75.0 分）16. 甲、乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛，每人回答一个问题，答对得 10 分，答错得 0 分，2 假设甲班三名同学答对的概率都是 ，乙班三名同学答对的概率分别是 2 , 2 , 13 3 2，且这六名同学答3题正确与否相互之间没有影响．(1)用 表示甲班总得分，求随机变量 的数学期望和方差；X X (2)记“两班得分之和是 30 分”为事件 ，“甲班得分大于乙班得分”为事件 ，求事件 ， A B A B 同时发生的概率．17. 如图，在四棱锥 −中，底面 ，AB C D⊥ ⊥平面 的中点， == 2，= 1= 1，2⊥ ； 与平面 BS SC D的中点，求二面角 −(Ⅲ)设 为 M− 的余弦值．SC18. 设等比数列 }的前 n 项和为 ，已知 = 2，且1， 2， 3成等差数列．1(Ⅰ)求数列 }的通项公式； (Ⅱ)设 =− 5| ⋅ ，求数列}的前 项和 ．n 19. = 已知椭圆 += 2 2 >> 0)的左，右焦点分别为 ， ，且| = 6，直线 与椭圆1 2 1 222交于 ， 两点．A B(1)若△ 1 2的周长为 16，求椭圆的标准方程． (2)若 = √2，且⊥，求椭圆离心率 的值；e22420. 3求函数= 3 − + 5在区间[−2,2]上的最大值与最小值．22-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析： 【分析】本题考查了交集运算，是基础题． 【解答】 解：集合 = +− 3) < 0} =− 1 << 3}，∴ ∩ = << 3}，故选D ．2.答案：B解析： 【分析】本题考查函数的奇偶性和函数的单调性，难度不大，属于基础题． 分析给定四个函数的奇偶性及在区间(0,1)内的单调性，可得答案． 解析：解：函数 = 2是偶函数，但在区间(0,1)内单调递增； 函数 = 是偶函数，又在区间(0,1)内单调递减；函数 = 2 是非奇非偶函数；函数 =是非奇非偶函数， 故选B ． 3.答案：B解析： 【分析】本题考查指数函数与对数函数的性质，属于基础题． 【解答】，0.5−0.9 > 0.50 = 1， << ．故选B ．4.答案：C解析：解：∵ << ，∴ < + < ，又“+ ) = √ ”3 326662∴ + = = ．，解得 632∴“ = ”是“) = √3”的充要条件． +26 2<< ，知 < + < 由 ，又+ ) = √ 可得 + 3 = ，解得 即可判断出结论．32666362本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析： 【分析】本题主要考查三角函数同角三角函数以及两角和差公式，属于基础题． 利用同角三角函数基本关系式可求出 s inA ，cosB 的值，将 cosC 化成 差的三角函数公式计算，即可得到答案． 【解答】 + ，再利用两角和与解：，则，可知，又 ，则 > ，由正弦定理得到 > ，再根据大边对大角，则 < ，所以 B 为锐角，则 ，所以，故选 A ． 6.答案：B解析： 【分析】本题主要考查函数零点存在性的判断方法的应用，属于基础题． 分别求出 出 n 的值． 【解答】解：∵和 并判断符号，再由函数的单调性，判断出函数唯一零点所在的区间，即可求 = 210 + 10 − 2019 < 0， = 211 + 11 − 2019 > 0， ∴= 2 + − 2019的存在零点 ∈ (10,11)， 0 ∵函数∴ = 2 + − 2019在 R 上单调递增， = 2 + − 2019的存在唯一的零点 ∈ (10,11)， 0 ∵函数 = 2 + − 2019的一个零点 ∈ + 1)， 0 则整数 = 10． 故选 B . 7.答案：B 解析：本题主要考查三角函数的解析式的求法和性质的灵活运用能力，属于基础题．根据最小正周期是 ，可知 = 2，求得图象向右平移 个单位后解析式，再结合三角函数的性质求3单调递减区间． 【解答】 解：由函数 ，解得： = 2，图象向右平移 个单位，经过平移后得到函数解析式为=+> 0)的最小正周期是 ，6即3= − ) + ] =− ) =，362+≤ ≤+ ∈ ， 由 22解得单调递减区间为[ ++∈ ．44故选：B ．8.答案：A解析： 【分析】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，不等式恒成立问题，属于中档题． = +≥ 0在区间[0, ]上恒成立，求解即可．由题意得出 【解答】 解：函数 3在区间[0, ]上是单调增函数，]上恒成立；= −33所以= +≥ 0在区间[0, ∴ ≥ = 0．m a x故选 A ． 9.答案：A解析： 【分析】本题主要考查平面向量的基本定理的应用，两个向量的数量积的运算，两个向量的加减法及其几何 意义，属于中档题．根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论． 【解答】⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅= 2 × 2 × cos = −2，解：由题意可得 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⋅ )⋅ = + −<< ，知 < + < 由 ，又+ ) = √ 可得 + 3 = ，解得 即可判断出结论．32666362本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析： 【分析】本题主要考查三角函数同角三角函数以及两角和差公式，属于基础题． 利用同角三角函数基本关系式可求出 s inA ，cosB 的值，将 cosC 化成 差的三角函数公式计算，即可得到答案． 【解答】 + ，再利用两角和与解：，则，可知，又 ，则 > ，由正弦定理得到 > ，再根据大边对大角，则 < ，所以 B 为锐角，则 ，所以，故选 A ． 6.答案：B解析： 【分析】本题主要考查函数零点存在性的判断方法的应用，属于基础题． 分别求出 出 n 的值． 【解答】解：∵和 并判断符号，再由函数的单调性，判断出函数唯一零点所在的区间，即可求 = 210 + 10 − 2019 < 0， = 211 + 11 − 2019 > 0， ∴= 2 + − 2019的存在零点 ∈ (10,11)， 0 ∵函数∴ = 2 + − 2019在 R 上单调递增， = 2 + − 2019的存在唯一的零点 ∈ (10,11)， 0 ∵函数 = 2 + − 2019的一个零点 ∈ + 1)， 0 则整数 = 10． 故选 B . 7.答案：B 解析：本题主要考查三角函数的解析式的求法和性质的灵活运用能力，属于基础题．根据最小正周期是 ，可知 = 2，求得图象向右平移 个单位后解析式，再结合三角函数的性质求3单调递减区间． 【解答】 解：由函数 ，解得： = 2，图象向右平移 个单位，经过平移后得到函数解析式为=+> 0)的最小正周期是 ，6即3= − ) + ] =− ) =，362+≤ ≤+ ∈ ， 由 22解得单调递减区间为[ ++∈ ．44故选：B ．8.答案：A解析： 【分析】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，不等式恒成立问题，属于中档题． = +≥ 0在区间[0, ]上恒成立，求解即可．由题意得出 【解答】 解：函数 3在区间[0, ]上是单调增函数，]上恒成立；= −33所以= +≥ 0在区间[0, ∴ ≥ = 0．m a x故选 A ． 9.答案：A解析： 【分析】本题主要考查平面向量的基本定理的应用，两个向量的数量积的运算，两个向量的加减法及其几何 意义，属于中档题．根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论． 【解答】⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅= 2 × 2 × cos = −2，解：由题意可得 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⋅ )⋅ = + −。
2019届天津市高三上学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析
2019届天津市高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）若复数x满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i2．（4分）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．（4分）α，β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m⊆β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件4．（4分）函数f（x）=x+sinx（x∈R）（）A．是偶函数且为减函数B．是偶函数且为增函数C．是奇函数且为减函数D．是奇函数且为增函数5．（4分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．7 B．8 C．15 D．166．（4分）若（2x﹣1）＜（3x），则实数x的取值范围（）A．（﹣1，+∞）B．[，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）D．（，+∞）7．（4分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=cos2x B．y=2cos2x C．D．y=2sin2x8．（4分）已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）+f（﹣x）=0，f（x﹣1）=f（x+1），当x∈[0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log12）的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．9．（4分）试画出函数f（x）=ln（x﹣）的大致图象．10．（4分）已知函数f（x）=（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．k≤2 B．﹣1＜k＜0 C．﹣2≤k＜﹣1 D．k≤﹣2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸上）11．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρcos（θ+）=1的距离是．12．（5分）由直线y=x﹣4，曲线y=及x轴所围成的图形的面积是．13．（5分）已知f（x）是周期为2的偶函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx，设a=f（），b=f（），c=f （），则a，b，c由大到小的顺序为．14．（5分）如图，OA和OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过作⊙O的切线交OA延长线于R，RP=2，则RQ=．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B两点，则线段AB的长为．16．（5分）已知函数f（x）=e x+x2﹣x，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）+f（x2）|≤k恒成立，则k 的取值范围为．三、简答题（本大题共6小，总分30）（请在规定区域内答题）17．（13分）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．18．（13分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足；（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（13分）已知函数f（x）=2x+k•2﹣x，k∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围．20．（13分）设函数f（x）=（b，c∈N+）．若方程f（x）=x的根为0和2，且f（﹣2）＜﹣（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项均不为零的数列{a n}满足：4S n f（）=1（S n为该数列前n项和），求该数列的通项公式a n．21．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，它的一个焦点坐标为（，0），它的长轴是短轴的倍，直线y=m（m为常数）与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径作圆P，圆心为P．（1）求椭圆C的方程；（2）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（3）设M（x，y）是圆P上的动点，当m变化时，求y的最大值．22．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），（Ⅰ）若a=﹣1，求曲线y=f（x）在处的切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=2x﹣2，若存在x1∈（0，+∞），对于任意x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2），求a的范围．2019届天津市高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）若复数x满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：等式两边同乘2+i，然后化简求出z即可．解答：解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故选A．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力．2．（4分）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：交集及其运算；子集与真子集．专题：数形结合．分析：由题意集合，B={（x，y）|y=3x}，画出A，B集合所表示的图象，看图象的交点，来判断A∩B的子集的个数．解答：解：∵集合，∴为椭圆和指数函数y=3x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则A∩B的子集应为∅，{A1}，{A2}，{A1，A2}共四种，故选A．点评：此题利用数形结合的思想来求解，主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道不错的题．3．（4分）α，β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m⊆β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β”⇒“m∥α”，反之，若“m∥α”，则“m⊆β”不一定成立．由此能求出结果．解答：解：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β”⇒“m∥α”，反之，若“m∥α”，则“m⊆β”不一定成立．∴“m∥α”是“m⊆β”的必要非充分条件．故选B．点评：本题考查平面的性质定理及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（4分）函数f（x）=x+sinx（x∈R）（）A．是偶函数且为减函数B．是偶函数且为增函数C．是奇函数且为减函数D．是奇函数且为增函数考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据函数奇偶性的定义，以及导数和函数单调性的关系即可得到结论．解答：解：∵f（x）=x+sinx，∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数．函数的导数f′（x）=1+cosx≥0，则函数f（x）单调递增，为增函数．故选：D．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用导数和单调性之间的关系是解决本题的关键．5．（4分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．7 B．8 C．15 D．16考点：等差数列的性质；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：先根据“4a1，2a2，a3成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后根据等比数列的性质用a1、q表示出来代入以上关系式，进而可求出q的值，最后根据等比数列的前n项和公式可得到答案．解答：解：∵4a1，2a2，a3成等差数列∴，∴，即∴q=2∴S4===15故选C点评：本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质．属基础题．6．（4分）若（2x﹣1）＜（3x），则实数x的取值范围（）A．（﹣1，+∞）B．[，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）D．（，+∞）考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据y=在定义域上的性质，及根式的意义得出，解不等式组得出范围即可．解答：解：y=在定义域上是增函数，故有，解不等式组得x≥﹣．故选B．点评：本题考查幂函数及其性质，基础题．7．（4分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=cos2x B．y=2cos2x C．D．y=2sin2x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及三角函数间的关系式即可得到答案．解答：解：令y=f（x）=sin2x，则f（x+）=sin2（x+）=cos2x，再将f（x+）的图象向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=cos2x+1=2cos2x，故选：B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查升幂公式的应用，属于中档题．8．（4分）已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）+f（﹣x）=0，f（x﹣1）=f（x+1），当x∈[0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log12）的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．考点：对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）+f（﹣x）=0、f（x﹣1）=f（x+1），判断出函数是奇函数、函数是周期函数并可求出周期，再由奇函数的性质、周期函数的性质、对数的运算律，将f（log12）进行转化到已知区间求值即可．解答：解：由f（x）+f（﹣x）=0得，f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）是定义在R上的奇函数，由f（x﹣1）=f（x+1）得，f（x）=f（x+2），所以f（x）是定义在R上以2为周期的周期函数，则f（log12）=f（﹣）=﹣f（），因为2＜＜3，所以0＜﹣2＜1，因为当x∈[0，1）时，f（x）=3x﹣1，所以f（﹣2）==12×﹣1=，所以f（log12）=﹣f（）=﹣f（﹣2）=﹣，故选：C．点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性的综合应用，以及对数的运算律，解题的关键是判断出利用定义函数的奇偶性、周期性．9．（4分）试画出函数f（x）=ln（x﹣）的大致图象．考点：对数函数的图像与性质．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为（﹣1，0）∪（1，+∞），作出其简图即可．解答：解：函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为（﹣1，0）∪（1，+∞），其图象如下：点评：本题考查了学生的作图能力及对函数的性质的把握，属于中档题．10．（4分）已知函数f（x）=（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．k≤2 B．﹣1＜k＜0 C．﹣2≤k＜﹣1 D．k≤﹣2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得|f（x）|=﹣k≥0，进而可得k≤0，作出图象，结合图象可得答案．解答：解：由y=|f（x）|+k=0得|f（x）|=﹣k≥0，所以k≤0，作出函数y=|f（x）|的图象，由图象可知：要使y=﹣k与函数y=|f（x）|有三个交点，则有﹣k≥2，即k≤﹣2，故选D．点评：本题考查根的存在性及个数的判断，作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸上）11．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρcos（θ+）=1的距离是1．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：由点P（2，），可得=1，=，∴P．直线ρcos（θ+）=1化为=1，∴．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题．12．（5分）由直线y=x﹣4，曲线y=及x轴所围成的图形的面积是．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：如图所示，联立，解得．直线y=x﹣4与坐标轴的交点分别为B（4，0），C（0，﹣4）．可得由直线y=x﹣4，利用微积分基本定理可得：曲线y=及x轴所围成的图形的面积S=﹣S△OBC．解答：解：如图所示，联立，解得．直线y=x﹣4与坐标轴的交点分别为B（4，0），C（0，﹣4）．∴由直线y=x﹣4，曲线y=及x轴所围成的图形的面积S=﹣S△OBC=﹣=．故答案为：．点评：本题考查了微积分基本定理的应用，属于基础题．13．（5分）已知f（x）是周期为2的偶函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx，设a=f（），b=f（），c=f （），则a，b，c由大到小的顺序为c＜b＜a．考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质；函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性和周期性将函数值进行转化，即可得到结论．解答：解：∵f（x）是周期为2的偶函数，∴b=f（）=f（﹣2）=f（）=f（），c=f（）=f（﹣2）=f（），∵当0＜x＜1时，f（x）=lgx，∴此时函数单调递增，∵，∴f（）＜f（）＜f（），即c＜b＜a，故答案为：c＜b＜a点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和周期性之间的关系，以及对数函数的单调性是解决本题的关键．14．（5分）如图，OA和OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过作⊙O的切线交OA延长线于R，RP=2，则RQ=2．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接OQ，得△OBQ为等腰三角形，由切线的性质，可得OQ⊥QR，则由等腰的余角相等及对顶角相等，可得∠QPR=∠BQR，即△RPQ为等腰三角形，进而判断出RP、RQ的大小关系．解答：解：连接OQ，如图所示：∵OQ=OB∴∠OQB=∠OBQ∵RQ为圆O的切线，OA⊥OB∴∠BPO=90°﹣∠OBQ，∠BQR=90°﹣∠OQB∴∠BPO=∠QPR=∠BQR，即△RPQ为等腰三角形∴RP=RQ，由题意知RP=2，则RQ=2．故答案为：2．点评：本题考查的知识点是切线的性质，等腰三角形的判定与性质，其中添加辅助线，以帮助分析题目中角与解之间的关系，是解答本题的关键．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B两点，则线段AB的长为8．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：把ρsin2θ=4cosθ化为直角坐标方程为y2=4x，直线l的参数方程化为普通方程，联立，再利用弦长公式，即可得出结论．解答：解：由ρsin2θ=4cosθ可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x，直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x+y=3，两方程联立可得y2+4y﹣12=0，∴y=﹣6或2，∴|AB|=•|2+6|=8．故答案为：8．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，韦达定理的应用，属于基础题．16．（5分）已知函数f（x）=e x+x2﹣x，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）+f（x2）|≤k恒成立，则k 的取值范围为[2e，+∞）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：f′（x）=e x+2x﹣1，x∈[﹣1，1]．令g（x）=e x+2x﹣1，利用导数研究函数的单调性极值与最值．对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）+f（x2）|≤k恒成立⇔|2f（x）|max≤k，x∈[﹣1，1]．解答：解：f′（x）=e x+2x﹣1，x∈[﹣1，1]．令g（x）=e x+2x﹣1，则g′（x）=e x+2＞0，x∈[﹣1，1]．∴g（x）在x∈[﹣1，1]单调递增．g（﹣1）=e﹣1﹣3＜0，g（1）=e+1＞0．而g（0）=0．∴当x∈[﹣1，0）时，函数g（x）单调递减；当x∈（0，1]时，函数g（x）单调递增．∴当x=0时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（0）=0．∴f′（x）≥0，∴函数f（x）在x∈[﹣1，1]单调递增．f（﹣1）=2﹣e﹣1，f（1）=e．∴对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）+f（x2）|≤k恒成立⇔|2f（x）|max≤k，x∈[﹣1，1]．∴k≥2e．∴k的取值范围为[2e，+∞）．故答案为：[2e，+∞）．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、简答题（本大题共6小，总分30）（请在规定区域内答题）17．（13分）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．考点：正弦函数的定义域和值域；正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：（I）将f（x）=cos（x+π）+2化简，变形后可以用三角函数的有界性求值域．（II）由f（B）=1 求出∠B，利用余弦定理建立关于a的方程求出a．解答：解：（I）f（x）=cos（x+π）+2=cosxcosπ﹣sinxsinπ+cosx+1=﹣cosx﹣sinx+cosx+1=cosx﹣sinx+1=sin（x+）+1因此函数f（x）的值域为[0，2]（II）由f（B）=1 得sin（B+）+1=1，即sin（B+）=0，即B+=0或π，B=或﹣又B是三角形的内角，所以B=由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB即1=a2+3﹣3a，整理a2﹣3a+2=0解得a=1或a=2答：（I）函数f（x）的值域为[0，2]（II）a=1或a=2点评：考查利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形，属基本题型，用来训练答题者熟练三角恒等变形公式与余弦定理．18．（13分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足；（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：（1）p∧q为真，则p真且q真．分别求出p，q为真命题时x的范围，两者取交集即可．（2）q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．，设A={x|2＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}，则A⊊B，转化为集合关系．解答：解：由x2﹣4ax+3a2＜0，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a…．（2分）由满足；得2＜x≤3，即q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3，…..…．（4分）（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3…（6分）（Ⅱ）q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．，设A={x|2＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}，则A⊊B，则0＜a≤2，且3a＞3所以实数a的取值范围是1＜a≤2…（12分）点评：本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．19．（13分）已知函数f（x）=2x+k•2﹣x，k∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．专题：综合题．分析：（1）利用函数f（x）=2x+k•2﹣x为奇函数，建立等式，即可求实数k的值；（2）对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，即2x+k•2﹣x＞2﹣x成立，即1﹣k＜22x对任意的x∈[0，+∞）成立，从而可求实数k的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=2x+k•2﹣x为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）∴2﹣x+k•2x=﹣（2x+k•2﹣x）∴（1+k）+（k+1）22x=0恒成立∴k=﹣1（2）∵对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，∴2x+k•2﹣x＞2﹣x成立∴1﹣k＜22x对任意的x∈[0，+∞）成立∵y=22x在[0，+∞）上单调递增∴函数的最小值为1∴1﹣k＜1∴k＞0点评：本题考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性的定义，利用分离参数法求解恒成立问题．20．（13分）设函数f（x）=（b，c∈N+）．若方程f（x）=x的根为0和2，且f（﹣2）＜﹣（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项均不为零的数列{a n}满足：4S n f（）=1（S n为该数列前n项和），求该数列的通项公式a n．考点：数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（1）设=x，得（1﹣b）x2+cx+a=0，由，得a=0，b=1+，由此能求出f（x）．（2）由已知得，从而2S n﹣1=，由此能求出a n=﹣n．解答：解：（1）∵f（x）=（b，c∈N+），方程f（x）=x的根为0和2，∴设=x，得（1﹣b）x2+cx+a=0，∴，解得a=0，b=1+，∴f（x）=，f（﹣2）=，解得c＜3，又b，c∈N*，∴c=2，b=2，∴f（x）=，x≠1．（2）由已知得，∴2S n﹣1=，两式相减，得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，∴a n=﹣a n﹣1或a n﹣a n﹣1=﹣1，当n=1时，，∴a1=﹣1，若a n=﹣a n﹣1，则a2=1，这与a n≠1矛盾，∴a n﹣a n﹣1=﹣1，∴a n=﹣n．点评：本题考查函数的解析式的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意函数性质的合理运用．21．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，它的一个焦点坐标为（，0），它的长轴是短轴的倍，直线y=m（m为常数）与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径作圆P，圆心为P．（1）求椭圆C的方程；（2）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（3）设M（x，y）是圆P上的动点，当m变化时，求y的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）可设椭圆C的方程为，可得，，a2=b2+c2，解出即可．（2）联立，解得（x，y）．根据圆P与x轴相切，可得|OA|=|OP|，即可解出．（3）⊙P的方程：x2+（y﹣m）2=3﹣3m2，由题意可得：﹣1＜m＜1，取1＞m≥0，，因此只要求出y=m+的最大值即可．解答：解：（1）∵椭圆C的中心在坐标原点，它的一个焦点坐标为（，0），它的长轴是短轴的倍，可设椭圆C的方程为，∴，，a2=b2+c2，解得a2=3，b2=1，．∴椭圆C的方程为：=1．（2）联立，解得，．∵圆P与x轴相切，∴|OA|=|OP|，∴=|m|，解得m=±．∴P．（3）⊙P的方程：x2+（y﹣m）2=3﹣3m2，由题意可得：﹣1＜m＜1，取1＞m≥0，，∴只要求出y=m+的最大值即可．y′=1﹣=，令y′=0，解得，当时，y′＞0；当m时，y′＜0．∴当m=时，函数y=m+取得极大值即最大值2．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），（Ⅰ）若a=﹣1，求曲线y=f（x）在处的切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=2x﹣2，若存在x1∈（0，+∞），对于任意x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2），求a的范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，代入计算，即可求曲线y=f（x）在处的切线的斜率；（Ⅱ）分类讨论，利用导数的正负，可求f（x）的单调区间；（Ⅲ）分别求出函数的最大值，建立不等式，即可求a的范围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+lnx，∴（x＞0）若a=﹣1，（Ⅱ）当a≥0，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）为增函数当a＜0，令f′（x）＞0，∴，f′（x）＜0，∴，综上：a≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，﹣），单调减区间为（﹣）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a≥0时，符合题意；当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，﹣），单调减区间为（﹣）∴由题意知，只需满足f（x）max≥g（x）max=g（1）=0，∴，∴综上：点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．。
【精准解析】天津市耀华中学2020届高三上学期第一次月考数学试题+Word版含解析
15.设 f x, g x 是定义在 R 上的两个函数， f x 满足 f x 2 f x ， g x 满足
只要坚持 梦想终会实现
-8-
高中学习讲义
g x 2 g x ，且当 x 0, 2 时， f x
x2
2x
，
g
x
k x
1 2
,1
2,
x
0
2
x
1
.若
在区间 0,11 上，关于 x 的方程 f x g x 有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是______
,即对称点为 6
k 2
,
0
；
令 2x k k Z ,则对称轴为 x 5 k k Z ,
32
12 2
当 k 0 时, x 5 ， 12
故选：D
【点睛】本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性
8.若函数
f
(x)
ex (sin
x
a cos
x)
在(
,
)
上单调递增，则实数
-4-
高中学习讲义
则平移后的图像的解析式为
y
sin
2
x
3
sin
2x
2 3
,
此时函数是奇函数,所以 2 k k Z ,
3
则 2 k k Z ,
3
因为
2
,当 k
1 时,
3
,
所以
f
x
sin
2x
π 3
,
令2x 3
k
k
Z ,则
x
6
k 2
k Z
cos A
cos B
即 2 sin A cos B 3sin C cos A 2 sin B cos A ,
2019-2020学年天津市耀华中学高三(上)第一次月考数学试卷
2019-2020学年天津市耀华中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|3x 2+x −2≤0}，B ＝{x|log 2(2x −1)≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.[−1, 23] B.[23,1]C.(12,1]D.(12,23]【答案】 D【考点】交集及其运算 【解析】化简集合A 、B ，根据交集的定义写出A ∩B ． 【解答】集合A ＝{x|3x 2+x −2≤0}＝{x|−1≤x ≤23}，B ＝{x|log 2(2x −1)≤0}＝{x|0<2x −1≤1}＝{x|12<x ≤1}， 则A ∩B ＝{x|12<x ≤23}＝(12, 23]．2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1, 2)内是增函数的为（ ） A.y ＝cos2x ，x ∈RB.y ＝log 2|x|，x ∈R 且x ≠0C.y =e x −e −x2,x ∈RD.y ＝x 3+1，x ∈R 【答案】 B【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】利用函数奇偶性的定义可排除C ，D ，再由在区间(1, 2)内有增区间，有减区间，可排除A ，从而可得答案． 【解答】对于A ，令y ＝f(x)＝cos2x ，则f(−x)＝cos(−2x)＝cos2x ＝f(x)，为偶函数， 而f(x)＝cos2x 在[0, π2]上单调递减，在[π2, π]上单调递增，故f(x)＝cos2x 在(1, π2]上单调递减，在[π2, 2)上单调递增，故排除A ；对于B ，令y ＝f(x)＝log 2|x|，x ∈R 且x ≠0，同理可证f(x)为偶函数，当x ∈(1, 2)时，y ＝f(x)＝log 2|x|＝log 2x ，为增函数，故B 满足题意； 对于C ，令y ＝f(x)=e x −e −x2,x ∈R ，f(−x)＝−f(x)，为奇函数，故可排除C ；而D ，为非奇非偶函数，可排除D ；3. 设a =log 36，b =log 510，c =log 714，则( )A.c >b >aB.b >c >aC.a >c >bD.a >b >c 【答案】 D【考点】对数值大小的比较 【解析】利用log a (xy)=log a x +log a y(x 、y >0)，化简a ，b ，c 然后比较log 32，log 52，log 72大小即可． 【解答】解：因为a =log 36=1+log 32，b =log 510=1+log 52，c =log 714=1+log 72， 因为y =log 2x 是增函数， 所以log 27>log 25>log 23.因为log 27=1log 72，log 25=1log 52，log 23=1log 32，所以log 32>log 52>log 72， 所以a >b >c . 故选D ．4. 设α∈R ，则“sinα=12”是“α＝2kπ+π6，k ∈Z ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】若sinα=12，则α=2kπ+π6(k ∈z)或α=2kπ+5π6(k ∈z)，∴ “sinα=12”是“α=2kπ+π6(k ∈z)”的必要不充分条件．5. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2acosA =3c−2b cosB，且b =√5sinB ，则a ＝（ ）A.53B.23C.35D.2√53【答案】A【考点】 正弦定理 【解析】由正弦定理及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得3sinCcosA ＝2sinC ，结合sinC ≠0，可得cosA ，利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，由正弦定理可求a 的∵2acosA =3c−2bcosB，可得：2acosB＝3ccosA−2bcosA，∴由正弦定理可得：2sinAcosB＝3sinCcosA−2sinBcosA，可得3sinCcosA＝2(sinAcosB+sinBcosA)＝2sinC，∵sinC≠0，可得：cosA=23，∴sinA=√1−cos2A=√53，又∵b=√5sinB，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得：√53=bsinB=√5，可得：a=53．6. 已知x0是函数f(x)＝2x+11−x的一个零点．若x1∈(1, x0)，x2∈(x0, +∞)，则（）A.f(x1)<0，f(x2)<0B.f(x1)<0，f(x2)>0C.f(x1)>0，f(x2)<0D.f(x1)>0，f(x2)>0【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】因为x0是函数f(x)＝2x+11−x的一个零点可得到f(x0)＝0，再由函数f(x)的单调性可得到答案．【解答】∵x0是函数f(x)＝2x+11−x的一个零点∴f(x0)＝0∵f(x)＝2x+11−x是单调递增函数，且x1∈(1, x0)，x2∈(x0, +∞)，∴f(x1)<f(x0)＝0<f(x2)7. 已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的最小正周期是π，若其图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则函数y＝f(x)的图象（）A.关于点(π12, 0)对称B.关于直线x=π12对称C.关于点(5π12, 0)对称D.关于直线x=5π12对称【答案】正弦函数的图象【解析】由周期求出ω＝2，故函数f(x)＝sin(2x+φ)，再根据图象向右平移π3个单位后得到的函数y＝sin(2x−2π3+φ]是奇函数，可得φ=−π3，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】由题意可得2πω=π，解得ω＝2，故函数f(x)＝sin(2x+φ)，其图象向右平移π3个单位后得到的图象对应的函数为y＝sin[2(x−π3)+φ]＝sin(2x−2π3+φ]是奇函数，又|φ|<π2，故φ=−π3，故函数f(x)＝sin(2x−π3)，故当x=5π12时，函数f(x)＝sinπ2=1，故函数f(x)＝sin(2x−π3)关于直线x=5π12对称，8.若函数f(x)=e x(sinx+acosx)在(π4, π2)上单调递增，则实数a的取值范围是()A.(−∞, 1]B.(−∞, 1)C.[1, +∞)D.(1, +∞)【答案】A【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】求导，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可．【解答】解：∵f(x)=e x(sinx+acosx)在(π4, π2)上单调递增，∴f′(x)=e x[(1−a)sinx+(1+a)cosx]≥0在(π4, π2)上恒成立，∵e x>0在(π4, π2)上恒成立，∴(1−a)sinx+(1+a)cosx≥0在(π4, π2)上恒成立，∴a(sinx−cosx)≤sinx+cosx在(π4, π2)上恒成立,∴a≤sinx+cosxsinx−cosx，设g(x)=sinx+cosxsinx−cosx，∴g′(x)=−2(sinx−cosx)2<0在(π4, π2)上恒成立，∴ g(x)在(π4, π2)上单调递减， ∴ g(x)>g(π2)=1， ∴ a ≤1， 故选A ．9. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120∘，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE →=λBC →，DF →=μDC →，若AE →⋅AF →=1，CE →⋅CF →=−23，则λ+μ＝（ ） A.12B.23C.56D.712【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由AE →⋅AF →=1，求得4λ+4μ−2λμ＝3 ①；再由CE →⋅CF →=−23，求得−λ−μ+λμ=−23②．结合①②求得λ+μ的值． 【解答】由题意可得若AE →⋅AF →=(AB →+BE →)⋅(AD →+DF →)=AB →⋅AD →+AB →⋅DF →+BE →⋅AD →+BE →⋅DF →＝2×2×cos120∘+AB →⋅μAB →+λAD →⋅AD →+λAD →⋅μAB →=−2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120∘＝4λ+4μ−2λμ−2＝1， ∴ 4λ+4μ−2λμ＝3 ①．CE →⋅CF →=−EC →⋅(−FC →)=EC →⋅FC →=(1−λ)BC →⋅(1−μ)DC →=(1−λ)AD →⋅(1−μ)AB →＝(1−λ)(1−μ)×2×2×cos120∘＝(1−λ−μ+λμ)(−2)=−23， 即−λ−μ+λμ=−23②． 由①②求得λ+μ=56，二、填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上．如复数z =1+i 1−i+m(1−i)（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m 的值为________．【答案】 0【考点】复数的运算【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，又已知复数z为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】∵z=1+i1−i +m(1−i)=(1+i)21−i2+m(1−i)＝m+(1−m)i为纯虚数，∴{m=01−m≠0，解得m＝0．则实数m的值为：0．(3x+√x)4的展开式中x3的系数是________．【答案】54【考点】二项式定理及相关概念【解析】求出(3x+√x)4的通项公式为T r+1，通过x的幂指数，求出r的值，即可求得x3的系数．【解答】由于(3x+√x)4的展开式的通项公式为T r+1=C4r(3x)4−r⋅(√x)r=C4r⋅34−r⋅x4−r2，令4−r2=3，解得r＝2，故(3x+√x)4的展开式中x3的系数是：C42⋅32=54，如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，则三棱锥B1−BFE的体积为________．【答案】112【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由V B1−BEF =V E−BB1F，利用等积法能求出三棱锥B1−BFE的体积．【解答】解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，∴三棱锥B1−BFE的体积：V B1−BEF =V E−BB1F=13×AD×S△BB1F=13×1×12×12×1=112．故答案为：112．数列{a n }中，已知a 1=1,a 2=2,a n+1=a n +a n+2(n ∈N ∗)，则a 2020＝________． 【答案】 −1【考点】 数列递推式 【解析】将a 1，a 2的值代入，求出前8项即可求得数列{a n }是以6为周期的周期数列，即可求解． 【解答】∵ a 1=1,a 2=2,a n+1=a n +a n+2(n ∈N ∗)，； ∴ a 3＝1；同理可得：a 4＝−1，a 5＝−2，a 6＝−1，a 7＝1，a 8＝2； ∴ 数列{a n }是以6为周期的周期数列； ∴ a 2020＝a 4＝−1；不等式x +2√≤a(x +y)对任意正数x ，y 恒成立，则正数a 的最小值是________． 【答案】 2【考点】函数恒成立问题 【解析】 分离参数得a ≥x+2√2xy x+y=1+2√2√yx1+y x，令√yx=t ，得出不等号右侧关于t 的函数，求出函数的最大值即可得出a 的最小值． 【解答】由x +2√2xy ≤a(x +y)可得a ≥x+2√2xy x+y=1+2√2√yx1+y x，令√yx =t(t >0)，f(t)=1+2√2t1+t 2(t >0)，则f′(t)=−2√2t 2−2t+2√2(1+t 2)2，令f′(t)＝0可得t =√22或t =−√2（舍）． ∴ 当0<t <√22时，f′(t)>0，当t >√22时，f′(t)<0，∴ f(t)在(0, √22)上单调递增，在(√22, +∞)上单调递减，∴ 当t =√22时，f(t)取得最大值f(√22)＝2．∴ a ≥2．设f(x)，g(x)是定义在R 上的两个函数，f(x)满足f(x +2)＝−f(x)，g(x)满足g(x +2)＝g(x)，且当x ∈(0, 2]时，f(x)=√−x 2+2x ，g(x)={k(x +2)0<x ≤1−121<x ≤2，若在区间[0, 11]上，关于x 的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________． 【答案】[13, √24) 【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案． 【解答】由f(x +2)＝−f(x)，得f(x +4)＝−f(x +2)＝f(x)，所以函数的周期是4． 作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图可知，函数f(x)与g(x)=−12[0, 11]仅有2个实数根；要使关于x 的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则f(x)=√−x 2+2x ，x ∈(0, 2]与g(x)＝k(x +2)，x ∈(0, 1]的图象有2个不同交点， 由(1, 0)到直线kx −y +2k ＝0的距离为1，得√k 2+1=1，解得k =√24(k >0)， 又因为两点(−2, 0)，(1, 1)连线的斜率k =13，三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛．在决赛中，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．（1）求ξ的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率． 【答案】 解：（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30． P(ξ=0)=(1−45)×(1−34)×(1−23)=160， P(ξ=10)=45×(1−34)×(1−23)+(1−45)×34×(1−23)+ (1−45)×(1−34)×23=960=320， P(ξ=20)=45×34×(1−23)+45×(1−34)×23+ (1−45)×34×23=2660=1330， P(ξ=30)=45×34×23=2460=25． ∴ ξ的分布列为∴ E(ξ)=0×160+10×320+20×1330+30×25=1336．（2）用A 表示事件“甲队得30分，乙队得0分”， 用B 表示事件“甲队得20分，乙队得10分”， 则A ，B 互斥． 又∵ P(A)=(34)3×160=91280，P(B)=C 32(34)2×(1−34)×320=811280，∴ 甲、乙两队得分总和为30分且甲队获胜的概率 P(A +B)=P(A)+P(B)=901280=9128．【考点】离散型随机变量的期望与方差 古典概型及其概率计算公式 离散型随机变量及其分布列 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30． P(ξ=0)=(1−45)×(1−34)×(1−23)=160，P(ξ=10)=45×(1−34)×(1−23)+(1−45)×34×(1−23)+ (1−45)×(1−34)×23=960=320， P(ξ=20)=45×34×(1−23)+45×(1−34)×23+ (1−45)×34×23=2660=1330， P(ξ=30)=45×34×23=2460=25． ∴ ξ的分布列为∴ E(ξ)=0×160+10×320+20×1330+30×25=1336．（2）用A 表示事件“甲队得30分，乙队得0分”， 用B 表示事件“甲队得20分，乙队得10分”， 则A ，B 互斥．又∵ P(A)=(34)3×160=91280，P(B)=C 32(34)2×(1−34)×320=811280，∴ 甲、乙两队得分总和为30分且甲队获胜的概率 P(A +B)=P(A)+P(B)=901280=9128．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中AD // BC ，AB ⊥AD ，AB ＝AD =12BC ＝2，PA ＝4，E 为棱BC 上的点，且BE =14BC ．求证：DE ⊥平面PAC ；(Ⅱ)求二面角A −PC −D 的余弦值；(Ⅲ)设Q 为棱CP 上的点（不与C 、P 重合），且直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为√55，求CQCP 的值．【答案】证明：(Ⅰ)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 4, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 4)，E(2, 1, 0)， DE →=(2, −1, 0)，AC →=(2, 4, 0)，AP →=(0, 0, 4)， ∵ DE →⋅AC →=0，DE →⋅AP →=0，∴ DE ⊥AC ，DE ⊥AP ，∵ AP ∩AC ＝A ，∴ DE ⊥平面PAC ．（2）由(Ⅰ)知平面PAC 的法向量m →=(2, −1, 0)，设平面PCD 的法向量n →=(x, y, z)， ∵ PD →=(0, 2, −4)，PC →=(2, 4, −4)，∴ {n →⋅PD →=2y −4z =0n →⋅PC →=2x +4y −4z =0 ，取z ＝1，得n →=(−2, 2, 1)，∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=−2√55， ∴ 二面角A −PC −D 的余弦值为2√55．(Ⅲ)设CQ CP =λ(0<λ<1)，即CQ →=λCP →=(−2λ, 4λ, 4λ)， ∴ Q ＝(2−2λ, 4−4λ, 4λ)， ∴ QE →=(2λ, 4λ−3, −4λ)，∵ 直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为√55，∴ |cos <QE →，m →>|=|QE →⋅m →||QE →|⋅|m →|=√55， 解得λ=23，∴ CQCP =23．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面所成的角 直线与平面垂直 【解析】(Ⅰ)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系利用向量法能证明DE ⊥平面PAC ．(Ⅱ)求出平面PAC 的法向量和平面PCD 的法向量，利用向量法能求出二面角A −PC −D 的余弦值．(Ⅲ)设CQ CP =λ(0<λ<1)，即CQ →=λCP →=(−2λ, 4λ, 4λ)，由直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值，利用向量法能求出CQCP 的值．【解答】证明：(Ⅰ)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 4, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 4)，E(2, 1, 0)， DE →=(2, −1, 0)，AC →=(2, 4, 0)，AP →=(0, 0, 4)， ∵ DE →⋅AC →=0，DE →⋅AP →=0，∴ DE ⊥AC ，DE ⊥AP ，∵ AP ∩AC ＝A ，∴ DE ⊥平面PAC ．（2）由(Ⅰ)知平面PAC 的法向量m →=(2, −1, 0)，设平面PCD 的法向量n →=(x, y, z)， ∵ PD →=(0, 2, −4)，PC →=(2, 4, −4)，∴ {n →⋅PD →=2y −4z =0n →⋅PC →=2x +4y −4z =0 ，取z ＝1，得n →=(−2, 2, 1)，∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=−2√55，∴ 二面角A −PC −D 的余弦值为2√55．(Ⅲ)设CQ CP =λ(0<λ<1)，即CQ →=λCP →=(−2λ, 4λ, 4λ)， ∴ Q ＝(2−2λ, 4−4λ, 4λ)， ∴ QE →=(2λ, 4λ−3, −4λ)，∵ 直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为√55，∴ |cos <QE →，m →>|=|QE →⋅m →||QE →|⋅|m →|=√55， 解得λ=23，∴ CQCP =23．正项等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，S 3＝13． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)等差数列{b n }的各项为正，且b 2＝5，又a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3成等比数列．设c n =b n (b 2n −1)a n，求数列{c n }的前n 项和T n ．【答案】（1）正项等比数列{a n }的公比设为q ，q >0， a 1＝1，S 3＝13，可得1+q +q 2＝13，解得q ＝3， 则a n ＝3n−1；（2）等差数列{b n }的各项为正，设公差d >0，且b 2＝5，又a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3成等比数列， 可得(a 2+b 2)2＝（(a 1+b 1)（(a 3+b 3)， 即(3+5)2＝(1+5−d)(9+5+d)， 解得d ＝2，即有b n ＝5+2(n −2)＝2n +1； c n =b n (b 2n −1)a n=(2n+1)⋅2n+13n−1=6(2n +1)⋅(23)n ，则前n 项和T n ＝6[3⋅23+5⋅(23)2+7⋅(23)3+...+(2n +1)⋅(23)n ]，23T n＝6[3⋅(23)2+5⋅(23)3+7⋅(23)4+...+(2n +1)⋅(23)n+1]， 相减可得13T n ＝6[2+2⋅(23)2+2⋅(23)3+...+2⋅(23)n −(2n +1)⋅(23)n+1]＝6[2+2⋅49(1−2n−13n−1)1−23−(2n+1)⋅(23)n+1]，化简可得T n＝84−6(2n+7)⋅(23)n．【考点】数列递推式数列的求和【解析】(Ⅰ)正项等比数列{a n}的公比设为q，q>0，运用等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到所求通项公式；(Ⅱ)等差数列{b n}的各项为正，设公差d>0，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，可得公差d，进而得到b n，c n=(2n+1)⋅2n+13n−1=6(2n+1)⋅(23)n，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】（1）正项等比数列{a n}的公比设为q，q>0，a1＝1，S3＝13，可得1+q+q2＝13，解得q＝3，则a n＝3n−1；（2）等差数列{b n}的各项为正，设公差d>0，且b2＝5，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，可得(a2+b2)2＝（(a1+b1)（(a3+b3)，即(3+5)2＝(1+5−d)(9+5+d)，解得d＝2，即有b n＝5+2(n−2)＝2n+1；c n=b n(b2n−1)a n =(2n+1)⋅2n+13n−1=6(2n+1)⋅(23)n，则前n项和T n＝6[3⋅23+5⋅(23)2+7⋅(23)3+...+(2n+1)⋅(23)n]，2 3T n＝6[3⋅(23)2+5⋅(23)3+7⋅(23)4+...+(2n+1)⋅(23)n+1]，相减可得13T n＝6[2+2⋅(23)2+2⋅(23)3+...+2⋅(23)n−(2n+1)⋅(23)n+1]＝6[2+2⋅49(1−2n−13n−1)1−23−(2n+1)⋅(23)n+1]，化简可得T n＝84−6(2n+7)⋅(23)n．设椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2，左顶点为A，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为12．(Ⅰ)求椭圆M的方程；(Ⅱ)过点A做斜率为k的直线与椭圆M交于另一点B，连接BF2并延长交椭圆M于点C，若F1C⊥AB，求k的值．【答案】（1）由题意得：a−c＝1，e=ca =12，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆M 的方程：x 24+y 23=1；（2）由(Ⅰ)得A(−2, 0)，F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)直线AB 的方程：y ＝k(x +2)，联立与椭圆的方程整理得：(3+4k 2)x 2+16k 2+16k 2−12＝0，有一个根x ＝−2，另一根x =6−8k 23+4k ，将x =6−8k 23+4k2代入直线AB 中得y =12k 3+4k 2，所以B 的坐标(6−8k 23+4k 2, 12k 3+4k 2)，所以kBF 2=12k3+4k 26−8k 23+4k 2−1=4k1−4k 2，所以直线BF 2:y =4k1−4k 2(x −1)，直线F 1C 的方程：y =−1k (x +1)，联立直线BF 2与直线F 1C:{y =4k1−4k 2(x −1)y =−1k(x +1)解得：C(8k 2−1, −8k)，C 在椭圆上：(8k 2−1)24+(−8k)23=1，整理得：192k 4+208k 2−9＝0，解得：k 2=124，所以k =±√612．【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)由题意离心率12及左焦点到左顶点的距离为1，和a ，b ，c 之间的关系求出a ，b ，即求出椭圆方程；(Ⅱ)设直线AB ，代入椭圆求出B 的坐标，进而写出直线BF 2的方程，由题意设CF 1方程，两直线联立求出C 的坐标，代入椭圆求出k 的值． 【解答】（1）由题意得：a −c ＝1，e =ca =12，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆M 的方程：x 24+y 23=1；（2）由(Ⅰ)得A(−2, 0)，F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)直线AB 的方程：y ＝k(x +2)，联立与椭圆的方程整理得：(3+4k 2)x 2+16k 2+16k 2−12＝0，有一个根x ＝−2，另一根x =6−8k 23+4k 2，将x =6−8k 23+4k2代入直线AB 中得y =12k 3+4k ，所以B 的坐标(6−8k 23+4k 2, 12k3+4k 2)，所以k BF 2=12k3+4k 26−8k 23+4k 2−1=4k1−4k 2，所以直线BF 2:y =4k 1−4k 2(x −1)，直线F 1C 的方程：y =−1k (x +1)，联立直线BF 2与直线F 1C:{y =4k1−4k 2(x −1)y =−1k (x +1)解得：C(8k 2−1, −8k)，C 在椭圆上：(8k 2−1)24+(−8k)23=1，整理得：192k 4+208k 2−9＝0，解得：k 2=124，所以k=±√612．已知a>0，且a≠1，函数f(x)＝a x−1，g(x)＝−x2+xlna．（1）若a>1，证明函数ℎ(x)＝f(x)−g(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数；（2）求函数ℎ(x)＝f(x)−g(x)在区间[−1, 1]上的最大值；（3）若函数F(x)的图象过原点，且F′(x)＝g(x)，当a>e103时，函数F(x)过点A(1, m)的切线至少有2条，求实数m的值．【答案】ℎ(x)＝f(x)−g(x)＝a x−1+x2−xlna，则ℎ′(x)＝(a x−1)lna+2x，∵a>1，∴当x>0时，a x−1>0，lna>0，∴ℎ′(x)>0，即此时函数ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数．由（1）知，当a>1时，函数ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数，则在区间(−∞, 0)上是单调减函数，同理当0<a<1时，ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数，则在区间(−∞, 0)上是单调减函数，即当a>0，且a≠1时，ℎ(x)在区间[−1, 0)上是减函数，在区间([0, 1)上是增函数，当−1≤x≤1时，ℎ(x)的最大值为ℎ(−1)和ℎ(1)中的最大值，∵ℎ(1)−ℎ(−1)＝(a−lna)−(1a +lna)＝a−1a−2lna，∴令G(a)＝a−1a−2lna，a>0，则G′(a)＝1+1a2−2a=(1−1a)2≥0，∴G(a)＝a−1a−2lna，在a>0上为增函数，∵G(1)＝1−1−2ln1＝0，∴a>1时，G(a)>0，即ℎ(1)>ℎ(−1)，最大值为ℎ(1)＝a−lna，当0<a<1时，G(a)<0，即ℎ(−1)>ℎ(1)，最大值为ℎ(−1)=1a+lna．∵F(x)的图象过原点，且F′(x)＝g(x)＝−x2+xlna，∴设F(x)=−13x3+12x2lna+c，∵F(x)的图象过原点，∴F(0)＝0，即c＝0，则F(x)=−13x3+12x2lna．设切点为B(x0, −13x03+12x02lna)，则B处的切线方程为：y−(−13x03+12x02lna)＝(−x02+x0lna)(x−x0)，将A的坐标代入得m−(−13x03+12x02lna)＝(−x02+x0lna)(1−x0)，即m=23x03−(1+12lna)x02+x0lna ()，则原命题等价为关于x 0的方程()至少有2个不同的解， 设φ(x)=23x 3−(1+12lna)x 2+xlna ，则φ′(x)＝2x 02−(2+lna)x +lna ＝(x −1)(2x −lna)，∵ a >e 103，∴lna 2>1，当x ∈(−∞, 1)和(lna 2, +∞)时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)为增函数，当x ∈(1, lna 2)时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)为减函数，∴ φ(x)的极大值为φ(1)=23−1−12lna +lna =12lna −13，φ(x)的极小值为φ(12lna)=112ln 3a −14ln 2a(1+12lna)+12ln 2a =−124ln 3a +14ln 2a ， 设t ＝lna ，则t >103，则原命题等价为{m ≤12lna −13=12t −13m ≥−124ln 3a +14ln 2a =−124t3+14t 2 对t >103恒成立，∴ 由m ≤12t −13得m ≤43，∵ s(t)=−124t 3+14t 2的最大值为s(4)=43， ∴ 由m ≥−124t 3+14t 2，得m ≥43，即m =43，综上所述当a >e 103时，函数F(x)过点A(1, m)的切线至少有2条，此时实数m 的值为43． 【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】（1）求函数的导数，根据函数单调性和导数的关系进行证明．（2）求函数的解析式，根据函数单调性和最值如导数的关系进行求解． （3）求出函数F(x)的解析式，结合导数的几何意义进行求解． 【解答】ℎ(x)＝f(x)−g(x)＝a x −1+x 2−xlna ， 则ℎ′(x)＝(a x −1)lna +2x ，∵ a >1，∴ 当x >0时，a x −1>0，lna >0，∴ ℎ′(x)>0，即此时函数ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数． 由（1）知，当a >1时，函数ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数， 则在区间(−∞, 0)上是单调减函数，同理当0<a <1时，ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数， 则在区间(−∞, 0)上是单调减函数，即当a >0，且a ≠1时，ℎ(x)在区间[−1, 0)上是减函数，在区间([0, 1)上是增函数， 当−1≤x ≤1时，ℎ(x)的最大值为ℎ(−1)和ℎ(1)中的最大值， ∵ ℎ(1)−ℎ(−1)＝(a −lna)−(1a +lna)＝a −1a −2lna ， ∴ 令G(a)＝a −1a −2lna ，a >0，则G′(a)＝1+1a 2−2a =(1−1a )2≥0，∴ G(a)＝a −1a −2lna ，在a >0上为增函数，∵ G(1)＝1−1−2ln1＝0，∴ a >1时，G(a)>0，即ℎ(1)>ℎ(−1)，最大值为ℎ(1)＝a −lna ， 当0<a <1时，G(a)<0，即ℎ(−1)>ℎ(1)，最大值为ℎ(−1)=1a +lna ． ∵ F(x)的图象过原点，且F′(x)＝g(x)＝−x 2+xlna ， ∴ 设F(x)=−13x 3+12x 2lna +c ， ∵ F(x)的图象过原点，∴ F(0)＝0， 即c ＝0，则F(x)=−13x 3+12x 2lna ．设切点为B(x 0, −13x 03+12x 02lna)，则B 处的切线方程为： y −(−13x 03+12x 02lna)＝(−x 02+x 0lna)(x −x 0)，将A 的坐标代入得m −(−13x 03+12x 02lna)＝(−x 02+x 0lna)(1−x 0)， 即m =23x 03−(1+12lna)x 02+x 0lna ()， 则原命题等价为关于x 0的方程()至少有2个不同的解， 设φ(x)=23x 3−(1+12lna)x 2+xlna ，则φ′(x)＝2x 02−(2+lna)x +lna ＝(x −1)(2x −lna)，∵ a >e 103，∴lna 2>1，当x ∈(−∞, 1)和(lna 2, +∞)时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)为增函数，当x ∈(1, lna 2)时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)为减函数，∴ φ(x)的极大值为φ(1)=23−1−12lna +lna =12lna −13，φ(x)的极小值为φ(12lna)=112ln 3a −14ln 2a(1+12lna)+12ln 2a =−124ln 3a +14ln 2a ， 设t ＝lna ，则t >103，则原命题等价为{m ≤12lna −13=12t −13m ≥−124ln 3a +14ln 2a =−124t 3+14t 2 对t >103恒成立， ∴ 由m ≤12t −13得m ≤43，∵ s(t)=−124t 3+14t 2的最大值为s(4)=43， ∴ 由m ≥−124t 3+14t 2，得m ≥43，即m =43，综上所述当a>e103时，函数F(x)过点A(1, m)的切线至少有2条，此时实数m的值为4．3。
2019-2020学年天津市耀华中学高三(上)第一次月考数学试卷
2019-2020学年天津市耀华中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|3x 2+x −2≤0}，B ＝{x|log 2(2x −1)≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.[−1, 23]B.[23,1]C.(12,1]D.(12,23]【答案】 D【考点】 交集及其运算 【解析】化简集合A 、B ，根据交集的定义写出A ∩B ． 【解答】集合A ＝{x|3x 2+x −2≤0}＝{x|−1≤x ≤23}，B ＝{x|log 2(2x −1)≤0}＝{x|0<2x −1≤1}＝{x|12<x ≤1}， 则A ∩B ＝{x|12<x ≤23}＝(12, 23]．2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1, 2)内是增函数的为（ ） A.y ＝cos 2x ，x ∈R B.y ＝log 2|x|，x ∈R 且x ≠0 C.y =e x −e −x2,x ∈R D.y ＝x 3+1，x ∈R【答案】 B【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】利用函数奇偶性的定义可排除C ，D ，再由在区间(1, 2)内有增区间，有减区间，可排除A ，从而可得答案． 【解答】对于A ，令y ＝f(x)＝cos 2x ，则f(−x)＝cos (−2x)＝cos 2x ＝f(x)，为偶函数， 而f(x)＝cos 2x 在[0, π2]上单调递减，在[π2, π]上单调递增，故f(x)＝cos 2x 在(1, π2]上单调递减，在[π2, 2)上单调递增，故排除A ；对于B ，令y ＝f(x)＝log 2|x|，x ∈R 且x ≠0，同理可证f(x)为偶函数，当x ∈(1, 2)时，y ＝f(x)＝log 2|x|＝log 2x ，为增函数，故B 满足题意； 对于C ，令y ＝f(x)=e x −e −x2,x ∈R ，f(−x)＝−f(x)，为奇函数，故可排除C ；而D ，为非奇非偶函数，可排除D ；3. 设a =log 36，b =log 510，c =log 714，则( )A.c >b >aB.b >c >aC.a >c >bD.a >b >c 【答案】 D【考点】对数值大小的比较 【解析】利用log a (xy)=log a x +log a y(x 、y >0)，化简a ，b ，c 然后比较log 32，log 52，log 72大小即可． 【解答】解：因为a =log 36=1+log 32，b =log 510=1+log 52，c =log 714=1+log 72， 因为y =log 2x 是增函数， 所以log 27>log 25>log 23. 因为log 27=1log 72，log 25=1log 52，log 23=1log 32，所以log 32>log 52>log 72， 所以a >b >c . 故选D ．4. 设α∈R ，则“sin α=12”是“α＝2kπ+π6，k ∈Z ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】若sin α=12，则α=2kπ+π6(k ∈z)或α=2kπ+5π6(k ∈z)，∴ “sin α=12”是“α=2kπ+π6(k ∈z)”的必要不充分条件．5. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2acos A =3c−2b cos B，且b =√5sin B ，则a ＝（ ） A.53B.23C.35D.2√53【答案】A【考点】 正弦定理 【解析】由正弦定理及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得3sin C cos A ＝2sin C ，结合sin C ≠0，可得cos A ，利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，由正弦定理可求a 的值．【解答】∵2acos A =3c−2bcos B，可得：2a cos B＝3c cos A−2b cos A，∴由正弦定理可得：2sin A cos B＝3sin C cos A−2sin B cos A，可得3sin C cos A＝2(sin A cos B+sin B cos A)＝2sin C，∵sin C≠0，可得：cos A=23，∴sin A=√1−cos2A=√53，又∵b=√5sin B，∴由正弦定理asin A =bsin B，可得：√53=bsin B=√5，可得：a=53．6. 已知x0是函数f(x)＝2x+11−x的一个零点．若x1∈(1, x0)，x2∈(x0, +∞)，则（）A.f(x1)<0，f(x2)<0 B.f(x1)<0，f(x2)>0C.f(x1)>0，f(x2)<0D.f(x1)>0，f(x2)>0【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】因为x0是函数f(x)＝2x+11−x的一个零点可得到f(x0)＝0，再由函数f(x)的单调性可得到答案．【解答】∵x0是函数f(x)＝2x+11−x的一个零点∴f(x0)＝0∵f(x)＝2x+11−x是单调递增函数，且x1∈(1, x0)，x2∈(x0, +∞)，∴f(x1)<f(x0)＝0<f(x2)7. 已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的最小正周期是π，若其图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则函数y＝f(x)的图象（）A.关于点(π12, 0)对称 B.关于直线x=π12对称C.关于点(5π12, 0)对称 D.关于直线x=5π12对称【答案】D【考点】正弦函数的图象【解析】由周期求出ω＝2，故函数f(x)＝sin(2x+φ)，再根据图象向右平移π3个单位后得到的函数y＝sin(2x−2π3+φ]是奇函数，可得φ=−π3，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】由题意可得2πω=π，解得ω＝2，故函数f(x)＝sin(2x+φ)，其图象向右平移π3个单位后得到的图象对应的函数为y＝sin[2(x−π3)+φ]＝sin(2x−2π3+φ]是奇函数，又|φ|<π2，故φ=−π3，故函数f(x)＝sin(2x−π3)，故当x=5π12时，函数f(x)＝sinπ2=1，故函数f(x)＝sin(2x−π3)关于直线x=5π12对称，8.若函数f(x)=e x(sin x+a cos x)在(π4, π2)上单调递增，则实数a的取值范围是()A.(−∞, 1]B.(−∞, 1)C.[1, +∞)D.(1, +∞)【答案】A【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】求导，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可．【解答】解：∵f(x)=e x(sin x+a cos x)在(π4, π2)上单调递增，∴f′(x)=e x[(1−a)sin x+(1+a)cos x]≥0在(π4, π2)上恒成立，∵e x>0在(π4, π2)上恒成立，∴(1−a)sin x+(1+a)cos x≥0在(π4, π2)上恒成立，∴a(sin x−cos x)≤sin x+cos x在(π4, π2)上恒成立,∴a≤sin x+cos xsin x−cos x，设g(x)=sin x+cos xsin x−cos x，∴g′(x)=−2(sin x−cos x)<0在(π4, π2)上恒成立，∴g(x)在(π4, π2)上单调递减，∴g(x)>g(π2)=1，∴a≤1，故选A ．9. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120∘，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE →=λBC →，DF →=μDC →，若AE →⋅AF →=1，CE →⋅CF →=−23，则λ+μ＝（ ） A.12B.23C.56D.712【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由AE →⋅AF →=1，求得4λ+4μ−2λμ＝3 ①；再由CE →⋅CF →=−23，求得−λ−μ+λμ=−23②．结合①②求得λ+μ的值． 【解答】由题意可得若AE →⋅AF →=(AB →+BE →)⋅(AD →+DF →)=AB →⋅AD →+AB →⋅DF →+BE →⋅AD →+BE →⋅DF →＝2×2×cos 120∘+AB →⋅μAB →+λAD →⋅AD →+λAD →⋅μAB →=−2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos 120∘＝4λ+4μ−2λμ−2＝1， ∴ 4λ+4μ−2λμ＝3 ①．CE →⋅CF →=−EC →⋅(−FC →)=EC →⋅FC →=(1−λ)BC →⋅(1−μ)DC →=(1−λ)AD →⋅(1−μ)AB →＝(1−λ)(1−μ)×2×2×cos 120∘＝(1−λ−μ+λμ)(−2)=−23，即−λ−μ+λμ=−23②． 由①②求得λ+μ=56，二、填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上．如复数z =1+i1−i +m(1−i)（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m 的值为________． 【答案】 0【考点】 复数的运算 【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，又已知复数z 为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】∵z=1+i1−i +m(1−i)=(1+i)21−i2+m(1−i)＝m+(1−m)i为纯虚数，∴{m=01−m≠0，解得m＝0．则实数m的值为：0．(3x+√x)4的展开式中x3的系数是________．【答案】54【考点】二项式定理及相关概念【解析】求出(3x+√x)4的通项公式为T r+1，通过x的幂指数，求出r的值，即可求得x3的系数．【解答】由于(3x+√x)4的展开式的通项公式为T r+1=C4r(3x)4−r⋅(√x)r=C4r⋅34−r⋅x4−r2，令4−r2=3，解得r＝2，故(3x+√x)4的展开式中x3的系数是：C42⋅32=54，如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，则三棱锥B1−BFE的体积为________．【答案】112【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由V B1−BEF =V E−BB1F，利用等积法能求出三棱锥B1−BFE的体积．【解答】解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，∴三棱锥B1−BFE的体积：V B1−BEF =V E−BB1F=13×AD×S△BB1F=13×1×12×12×1=112．故答案为：112．数列{a n}中，已知a1=1,a2=2,a n+1=a n+a n+2(n∈N∗)，则a2020＝________．−1【考点】 数列递推式 【解析】将a 1，a 2的值代入，求出前8项即可求得数列{a n }是以6为周期的周期数列，即可求解． 【解答】∵ a 1=1,a 2=2,a n+1=a n +a n+2(n ∈N ∗)，； ∴ a 3＝1；同理可得：a 4＝−1，a 5＝−2，a 6＝−1，a 7＝1，a 8＝2； ∴ 数列{a n }是以6为周期的周期数列； ∴ a 2020＝a 4＝−1；不等式x +2√2xy ≤a(x +y)对任意正数x ，y 恒成立，则正数a 的最小值是________． 【答案】 2【考点】函数恒成立问题 【解析】 分离参数得a ≥x+2√2xy x+y=1+2√2√yx1+y x，令√yx =t ，得出不等号右侧关于t 的函数，求出函数的最大值即可得出a 的最小值． 【解答】由x +2√≤a(x +y)可得a ≥x+2√2xy x+y=1+2√2√yx1+y x，令√yx =t(t >0)，f(t)=1+2√2t1+t 2(t >0)，则f′(t)=−2√2t 2−2t+2√2(1+t 2)2，令f′(t)＝0可得t=√22或t =−√2（舍）． ∴ 当0<t <√22时，f′(t)>0，当t >√22时，f′(t)<0，∴ f(t)在(0, √22)上单调递增，在(√22, +∞)上单调递减， ∴ 当t =√22时，f(t)取得最大值f(√22)＝2． ∴ a ≥2．设f(x)，g(x)是定义在R 上的两个函数，f(x)满足f(x +2)＝−f(x)，g(x)满足g(x +2)＝g(x)，且当x ∈(0, 2]时，f(x)=√−x 2+2x ，g(x)={k(x +2)0<x ≤1−121<x ≤2 ，若在区间[0, 11]上，关于x 的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________． 【答案】 [13, √24)函数的零点与方程根的关系 【解析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案． 【解答】由f(x +2)＝−f(x)，得f(x +4)＝−f(x +2)＝f(x)，所以函数的周期是4． 作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图可知，函数f(x)与g(x)=−12[0, 11]仅有2个实数根； 要使关于x 的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则f(x)=√−x 2+2x ，x ∈(0, 2]与g(x)＝k(x +2)，x ∈(0, 1]的图象有2个不同交点， 由(1, 0)到直线kx −y +2k ＝0的距离为1，得√k 2+1=1，解得k =√24(k >0)，又因为两点(−2, 0)，(1, 1)连线的斜率k =13，三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（2016·山东济南一模）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分． 求ξ的分布列和数学期望；求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率． 【答案】解由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30． P(ξ=0)=15×14×13=160，P(ξ=10)=45×14×13+15×34×13+15×14×23=960=320，P(ξ=20)=4×3×1+4×1×2+1×3×2=26=13 P(ξ=30)=45×34×23=2460=25．ξ的分布列为∴ E(ξ)=0×160+10×320+20×1330+30×25=1336．用A 表示“甲得30分，乙得0分”， 用B 表示“甲得20分，乙得10分”， 且A ，B 互斥．又P(A)=(34)3×160=91280，P(B)=C 32(34)2×14×320=811280，甲、乙两队得分总和为30分且甲队获胜的概率为P(A +B)=P(A)+P(B)=901280=9128． 【考点】离散型随机变量的期望与方差 古典概型及其概率计算公式 离散型随机变量及其分布列 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略 略如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中AD // BC ，AB ⊥AD ，AB ＝AD =12BC ＝2，PA ＝4，E 为棱BC 上的点，且BE =14BC ．求证：DE ⊥平面PAC ；(Ⅱ)求二面角A −PC −D 的余弦值；(Ⅲ)设Q 为棱CP 上的点（不与C 、P 重合），且直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为√55，求CQCP 的值．【答案】证明：(Ⅰ)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 4, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 4)，E(2, 1, 0)， DE →=(2, −1, 0)，AC →=(2, 4, 0)，AP →=(0, 0, 4)， ∵ DE →⋅AC →=0，DE →⋅AP →=0， ∴ DE ⊥AC ，DE ⊥AP ，∵ AP ∩AC ＝A ，∴ DE ⊥平面PAC ．（2）由(Ⅰ)知平面PAC 的法向量m →=(2, −1, 0)， 设平面PCD 的法向量n →=(x, y, z)， ∵ PD →=(0, 2, −4)，PC →=(2, 4, −4)，∴ {n →⋅PD →=2y −4z =0n →⋅PC →=2x +4y −4z =0 ，取z ＝1，得n →=(−2, 2, 1)，∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=−2√55， ∴ 二面角A −PC −D 的余弦值为2√55． (Ⅲ)设CQ CP=λ(0<λ<1)，即CQ →=λCP →=(−2λ, 4λ, 4λ)，∴ Q ＝(2−2λ, 4−4λ, 4λ)， ∴ QE →=(2λ, 4λ−3, −4λ)，∵ 直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为√55， ∴ |cos <QE →，m →>|=|QE →⋅m →||QE →|⋅|m →|=√55， 解得λ=23，∴CQ CP=23．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面所成的角 直线与平面垂直 【解析】(Ⅰ)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系利用向量法能证明DE ⊥平面PAC ．(Ⅱ)求出平面PAC 的法向量和平面PCD 的法向量，利用向量法能求出二面角A −PC −D 的余弦值． (Ⅲ)设CQ CP=λ(0<λ<1)，即CQ →=λCP →=(−2λ, 4λ, 4λ)，由直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值，利用向量法能求出CQ CP的值．【解答】证明：(Ⅰ)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 4, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 4)，E(2, 1, 0)， DE →=(2, −1, 0)，AC →=(2, 4, 0)，AP →=(0, 0, 4)， ∵ DE →⋅AC →=0，DE →⋅AP →=0，∴ DE ⊥AC ，DE ⊥AP ，∵ AP ∩AC ＝A ，∴ DE ⊥平面PAC ．（2）由(Ⅰ)知平面PAC 的法向量m →=(2, −1, 0)， 设平面PCD 的法向量n →=(x, y, z)， ∵ PD →=(0, 2, −4)，PC →=(2, 4, −4)，∴ {n →⋅PD →=2y −4z =0n →⋅PC →=2x +4y −4z =0，取z ＝1，得n →=(−2, 2, 1)，∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=−2√55， ∴ 二面角A −PC −D 的余弦值为2√55． (Ⅲ)设CQCP =λ(0<λ<1)，即CQ →=λCP →=(−2λ, 4λ, 4λ)， ∴ Q ＝(2−2λ, 4−4λ, 4λ)， ∴ QE →=(2λ, 4λ−3, −4λ)，∵ 直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为√55， ∴ |cos <QE →，m →>|=|QE →⋅m →||QE →|⋅|m →|=√55， 解得λ=23，∴CQ CP=23．正项等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，S 3＝13． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)等差数列{b n }的各项为正，且b 2＝5，又a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3成等比数列．设c n =b n (b 2n −1)a n，求数列{c n }的前n 项和T n ．【答案】（1）正项等比数列{a n }的公比设为q ，q >0， a 1＝1，S 3＝13，可得1+q +q 2＝13，解得q ＝3， 则a n ＝3n−1；（2）等差数列{b n }的各项为正，设公差d >0，且b 2＝5，又a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3成等比数列，可得(a2+b2)2＝（(a1+b1)（(a3+b3)，即(3+5)2＝(1+5−d)(9+5+d)，解得d＝2，即有b n＝5+2(n−2)＝2n+1；c n=b n(b2n−1)a n =(2n+1)⋅2n+13n−1=6(2n+1)⋅(23)n，则前n项和T n＝6[3⋅23+5⋅(23)2+7⋅(23)3+...+(2n+1)⋅(23)n]，2 3T n＝6[3⋅(23)2+5⋅(23)3+7⋅(23)4+...+(2n+1)⋅(23)n+1]，相减可得13T n＝6[2+2⋅(23)2+2⋅(23)3+...+2⋅(23)n−(2n+1)⋅(23)n+1]＝6[2+2⋅49(1−2n−13n−1)1−23−(2n+1)⋅(23)n+1]，化简可得T n＝84−6(2n+7)⋅(23)n．【考点】数列递推式数列的求和【解析】(Ⅰ)正项等比数列{a n}的公比设为q，q>0，运用等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到所求通项公式；(Ⅱ)等差数列{b n}的各项为正，设公差d>0，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，可得公差d，进而得到b n，c n=(2n+1)⋅2n+13n−1=6(2n+1)⋅(23)n，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】（1）正项等比数列{a n}的公比设为q，q>0，a1＝1，S3＝13，可得1+q+q2＝13，解得q＝3，则a n＝3n−1；（2）等差数列{b n}的各项为正，设公差d>0，且b2＝5，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，可得(a2+b2)2＝（(a1+b1)（(a3+b3)，即(3+5)2＝(1+5−d)(9+5+d)，解得d＝2，即有b n＝5+2(n−2)＝2n+1；c n=b n(b2n−1)a n =(2n+1)⋅2n+13n−1=6(2n+1)⋅(23)n，则前n项和T n＝6[3⋅23+5⋅(23)2+7⋅(23)3+...+(2n+1)⋅(23)n]，2 3T n＝6[3⋅(23)2+5⋅(23)3+7⋅(23)4+...+(2n+1)⋅(23)n+1]，相减可得13T n＝6[2+2⋅(23)2+2⋅(23)3+...+2⋅(23)n−(2n+1)⋅(23)n+1]＝6[2+2⋅49(1−2n−13n−1)1−23−(2n+1)⋅(23)n+1]，化简可得T n＝84−6(2n+7)⋅(23)n．设椭圆M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2，左顶点为A ，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为12．(Ⅰ)求椭圆M 的方程；(Ⅱ)过点A 做斜率为k 的直线与椭圆M 交于另一点B ，连接BF 2并延长交椭圆M 于点C ，若F 1C ⊥AB ，求k 的值． 【答案】（1）由题意得：a −c ＝1，e =c a=12，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆M 的方程：x 24+y 23=1；（2）由(Ⅰ)得A(−2, 0)，F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)直线AB 的方程：y ＝k(x +2)，联立与椭圆的方程整理得：(3+4k 2)x 2+16k 2+16k 2−12＝0，有一个根x ＝−2，另一根x =6−8k 23+4k 2，将x =6−8k 23+4k 2代入直线AB 中得y =12k3+4k 2，所以B 的坐标(6−8k 23+4k 2, 12k3+4k 2)，所以k BF 2=12k 3+4k 26−8k 23+4k 2−1=4k 1−4k 2，所以直线BF 2:y =4k1−4k 2(x −1)，直线F 1C 的方程：y =−1k(x +1)，联立直线BF 2与直线F 1C:{y =4k1−4k 2(x −1)y =−1k (x +1)解得：C(8k 2−1, −8k)，C 在椭圆上：(8k 2−1)24+(−8k)23=1，整理得：192k 4+208k 2−9＝0，解得：k 2=124，所以k =±√612． 【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】(Ⅰ)由题意离心率12及左焦点到左顶点的距离为1，和a ，b ，c 之间的关系求出a ，b ，即求出椭圆方程；(Ⅱ)设直线AB ，代入椭圆求出B 的坐标，进而写出直线BF 2的方程，由题意设CF 1方程，两直线联立求出C 的坐标，代入椭圆求出k 的值． 【解答】（1）由题意得：a −c ＝1，e =ca =12，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆M 的方程：x 24+y 23=1；（2）由(Ⅰ)得A(−2, 0)，F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)直线AB 的方程：y ＝k(x +2)，联立与椭圆的方程整理得：(3+4k 2)x 2+16k 2+16k 2−12＝0，有一个根x ＝−2，另一根x =6−8k 23+4k 2，将x =6−8k 23+4k 2代入直线AB 中得y =12k3+4k 2，所以B 的坐标(6−8k 23+4k 2, 12k3+4k 2)，所以k BF 2=12k 3+4k 26−8k 23+4k 2−1=4k 1−4k 2，所以直线BF 2:y =4k 1−4k 2(x −1)，直线F 1C 的方程：y =−1k(x +1)，联立直线BF 2与直线F 1C:{y =4k1−4k (x −1)y =−1k(x +1)解得：C(8k 2−1, −8k)，C 在椭圆上：(8k 2−1)24+(−8k)23=1，整理得：192k 4+208k 2−9＝0，解得：k 2=124，所以k =±√612．已知a >0，且a ≠1，函数f(x)＝a x −1，g(x)＝−x 2+x ln a ．（1）若a >1，证明函数ℎ(x)＝f(x)−g(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数；（2）求函数ℎ(x)＝f(x)−g(x)在区间[−1, 1]上的最大值；（3）若函数F(x)的图象过原点，且F′(x)＝g(x)，当a >e 103时，函数F(x)过点A(1, m)的切线至少有2条，求实数m 的值． 【答案】ℎ(x)＝f(x)−g(x)＝a x −1+x 2−x ln a ， 则ℎ′(x)＝(a x −1)ln a +2x ，∵ a >1，∴ 当x >0时，a x −1>0，ln a >0，∴ ℎ′(x)>0，即此时函数ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数． 由（1）知，当a >1时，函数ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数， 则在区间(−∞, 0)上是单调减函数，同理当0<a <1时，ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数， 则在区间(−∞, 0)上是单调减函数，即当a >0，且a ≠1时，ℎ(x)在区间[−1, 0)上是减函数，在区间([0, 1)上是增函数， 当−1≤x ≤1时，ℎ(x)的最大值为ℎ(−1)和ℎ(1)中的最大值， ∵ ℎ(1)−ℎ(−1)＝(a −ln a)−(1a +ln a)＝a −1a −2ln a ， ∴ 令G(a)＝a −1a −2ln a ，a >0，则G′(a)＝1+1a −2a =(1−1a )2≥0，∴ G(a)＝a −1a −2ln a ，在a >0上为增函数，∵ G(1)＝1−1−2ln 1＝0，∴ a >1时，G(a)>0，即ℎ(1)>ℎ(−1)，最大值为ℎ(1)＝a −ln a ， 当0<a <1时，G(a)<0，即ℎ(−1)>ℎ(1)，最大值为ℎ(−1)=1a +ln a ． ∵ F(x)的图象过原点，且F′(x)＝g(x)＝−x 2+x ln a ， ∴ 设F(x)=−13x 3+12x 2ln a +c ，∵F(x)的图象过原点，∴F(0)＝0，即c＝0，则F(x)=−13x3+12x2ln a．设切点为B(x0, −13x03+12x02ln a)，则B处的切线方程为：y−(−13x03+12x02ln a)＝(−x02+x0ln a)(x−x0)，将A的坐标代入得m−(−13x03+12x02ln a)＝(−x02+x0ln a)(1−x0)，即m=23x03−(1+12ln a)x02+x0ln a (※)，则原命题等价为关于x0的方程(※)至少有2个不同的解，设φ(x)=23x3−(1+12ln a)x2+x ln a，则φ′(x)＝2x02−(2+ln a)x+ln a＝(x−1)(2x−ln a)，∵a>e103，∴ln a2>1，当x∈(−∞, 1)和(ln a2, +∞)时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)为增函数，当x∈(1, ln a2)时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)为减函数，∴φ(x)的极大值为φ(1)=23−1−12ln a+ln a=12ln a−13，φ(x)的极小值为φ(12ln a)=112ln3a−14ln2a(1+12ln a)+12ln2a=−124ln3a+14ln2a，设t＝ln a，则t>103，则原命题等价为{m≤12ln a−13=12t−13m≥−124ln3a+14ln2a=−124t3+14t2对t>103恒成立，∴由m≤12t−13得m≤43，∵s(t)=−124t3+14t2的最大值为s(4)=43，∴由m≥−124t3+14t2，得m≥43，即m=43，综上所述当a>e 103时，函数F(x)过点A(1, m)的切线至少有2条，此时实数m的值为43．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】（1）求函数的导数，根据函数单调性和导数的关系进行证明．（2）求函数的解析式，根据函数单调性和最值如导数的关系进行求解．（3）求出函数F(x)的解析式，结合导数的几何意义进行求解．【解答】ℎ(x)＝f(x)−g(x)＝a x−1+x2−x ln a，则ℎ′(x)＝(a x−1)ln a+2x，∵a>1，∴当x>0时，a x−1>0，ln a>0，∴ℎ′(x)>0，即此时函数ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数．由（1）知，当a>1时，函数ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数，则在区间(−∞, 0)上是单调减函数，同理当0<a<1时，ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数，则在区间(−∞, 0)上是单调减函数，即当a>0，且a≠1时，ℎ(x)在区间[−1, 0)上是减函数，在区间([0, 1)上是增函数，当−1≤x≤1时，ℎ(x)的最大值为ℎ(−1)和ℎ(1)中的最大值，∵ℎ(1)−ℎ(−1)＝(a−ln a)−(1a +ln a)＝a−1a−2ln a，∴令G(a)＝a−1a−2ln a，a>0，则G′(a)＝1+1a2−2a=(1−1a)2≥0，∴G(a)＝a−1a−2ln a，在a>0上为增函数，∵G(1)＝1−1−2ln1＝0，∴a>1时，G(a)>0，即ℎ(1)>ℎ(−1)，最大值为ℎ(1)＝a−ln a，当0<a<1时，G(a)<0，即ℎ(−1)>ℎ(1)，最大值为ℎ(−1)=1a+ln a．∵F(x)的图象过原点，且F′(x)＝g(x)＝−x2+x ln a，∴设F(x)=−13x3+12x2ln a+c，∵F(x)的图象过原点，∴F(0)＝0，即c＝0，则F(x)=−13x3+12x2ln a．设切点为B(x0, −13x03+12x02ln a)，则B处的切线方程为：y−(−13x03+12x02ln a)＝(−x02+x0ln a)(x−x0)，将A的坐标代入得m−(−13x03+12x02ln a)＝(−x02+x0ln a)(1−x0)，即m=23x03−(1+12ln a)x02+x0ln a (※)，则原命题等价为关于x0的方程(※)至少有2个不同的解，设φ(x)=23x3−(1+12ln a)x2+x ln a，则φ′(x)＝2x02−(2+ln a)x+ln a＝(x−1)(2x−ln a)，∵a>e103，∴ln a2>1，当x∈(−∞, 1)和(ln a2, +∞)时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)为增函数，当x∈(1, ln a2)时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)为减函数，∴φ(x)的极大值为φ(1)=23−1−12ln a+ln a=12ln a−13，φ(x)的极小值为φ(12ln a)=112ln3a−14ln2a(1+12ln a)+12ln2a=−124ln3a+14ln2a，设t＝ln a，则t>103，则原命题等价为{m≤12ln a−13=12t−13m≥−124ln3a+14ln2a=−124t3+14t2对t>103恒成立，∴由m≤12t−13得m≤43，∵s(t)=−124t3+14t2的最大值为s(4)=43，∴由m≥−124t3+14t2，得m≥43，即m=43，综上所述当a>e 103时，函数F(x)过点A(1, m)的切线至少有2条，此时实数m的值为43．。
天津市耀华中学2018-2019学年第一学期高三年级第一次月考数学(理)(精品解析)
B. 5 + 5������
【解析】解：进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时 2 将������ 改为−1． ∴
−1 + 3������ 1 + 2������
=
(−1 + 3������)(1−2������) (1 + 2������)(1−2������)
=
5 + 5������ 5
������
������ + ������ > 2
������
，
������ > 2−������
������
，
，
故������������������������ > ������������������������成立.即充分性成立 ∴ “������������������������ > ������������������������”是“ △ ������������������为锐角三角形”的充分不必要条件， 故选：B． 根据三角函数的诱导公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的诱导公式是解决本题的关 键．
∴△ ������������������是锐角三角形不成立.即必要性不成立， 当 △ ������������������为锐角三角形时， ∴ ������������������������ > ������������������(2−������) = ������������������������
= 1 + ������
．
2
故选：A． 进行复数的除法的运算，需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将������ 改 为−1． 本题主要考查复数代数形式的基本运算，2 个复数相除，分母、分子同时乘以分母的 共轭复数． 下列函数既是奇函数，又在区间[−1,1]上单调递减的是( )
天津市耀华中学2019届高三下学期第二次月考数学(理)试题(解析版)
2019届天津市耀华中学高三第二次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21xA x =>，{}2log 0B x x =<，则A B =ð（ ） A ．()0,1 B ．(]0,1C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】D【解析】通过解指数和对数不等式求得集合A,B ，再利用补集的定义直接求解即可. 【详解】{}{}{}{}2210log 001x A x x x B x x x x =>=>=<=<<，，则{}1A B x x =≥ð 故选D. 【点睛】本题主要考查了指数与对数不等式的求解及集合补集的运算，属于基础题.2．设变量,x y 满足约束条件20,30,230,x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．40B ．18C ．4D ．3【答案】B【解析】先画出不等式的可行域，将目标函数转化为动直线1y 66zx =-+纵截距的最大值求解即可. 【详解】不等式所表示的平面区域如图所示， 平移直线166zy x =-+，当直线的纵截距最大时z 有最大值. 当6z x y =+所表示直线经过点B （0，3）时，z 有最大值18.故选B.利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．1y x x=+B ．21y x =+C ．22x x y -=-D ．x y x e =+【答案】D【解析】由奇函数和偶函数的定义直接判断即可. 【详解】 易知1y x x=+和22x xy -=-为奇函数，21y x +为偶函数. 令()()xf x e x x R =+∈，则()()1111,11f e f e -=+-=-，即()()11f f ≠-且()()11f f ≠--.所以xy x e =+为非奇非偶函数.故选D. 【点睛】本题主要考查了奇函数与偶函数的判定，注意判断函数奇偶性时要先求函数的定义域是否关于原点对称，属于基础题. 4．已知，则 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：因为，又，所以即【考点】根据对数单调性比较大小 5．已知，，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义，进行判断，即可得到答案.【详解】由题意，若，则，则，所以，则成立，当时，满足，但不一定成立，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中解答中结合不等式的关系和不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6．已知，，且，则的最小值为A．B．C．D．【答案】D【解析】分析：x＞0，y＞0，且4xy﹣x﹣2y=4，利用基本不等式的性质可得：4xy=4+x+2y≥4+2，解出即可得出．详解：∵x＞0，y＞0，且4xy﹣x﹣2y=4，∴4xy=4+x+2y≥4+2，化为：2xy﹣﹣2≥0，解得≥，即xy≥2．当且仅当x=2y=2时取等号．则xy的最小值为2．故答案为：D.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．已知是定义在上的偶函数，其导函数为,若，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性和单调性推导函数的周期性，构造函数g（x），求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．因为函数 是偶函数所以所以，即函数是周期为4的周期函数因为所以 设所以所以在R 上是单调递减不等式等价于即所以所以不等式的解集为故答案选A 【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期性以及构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．8．已知函数22,0()3||,0x x f x x a a x ⎧->=⎨-++<⎩的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是（ ）A ．17(,2)8--B ．17(,2]8-- C ．17[1,)16 D ．17(1,)16【答案】D【解析】试题分析：当2-=a 时,函数⎩⎨⎧<--->-=0,2|2|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案B 不正确．当1=a 时,函数⎩⎨⎧<++->-=0,1|1|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案C 也不正确．当1612-=a 时,函数⎪⎩⎪⎨⎧<--->-=0,1612|1612|30,2)(2x x x x x f ,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案A 也不正确．故应选D ． 【考点】分段函数的图象和性质及综合运用．【易错点晴】本题考查的是分段函数的图象和性质与数形结合的数学思想的范围问题,解答时运用排除法逐一分情况代入检验特殊值1,2,1612--=a ,求出分段函数的解析式分别为⎪⎩⎪⎨⎧<--->-=0,1612|1612|30,2)(2x x x x x f ,⎩⎨⎧<--->-=0,2|2|30,2)(2x x x x x f ,⎩⎨⎧<++->-=0,1|1|30,2)(2x x x x x f ,分别作出这些函数的图象,并对每个函数的图象进行分析,逐一检验图象是否满足题设中的条件,排除不满足的函数的图象的情况和不满足题设条件的答案和选择支最后选答案．二、填空题9．已知,a b ∈R ，复数z a i =-且11zbi i=++（i 为虚数单位），则ab =___________. 【答案】6-【解析】利用复数的基本运算化简等式，只需等式左右实部等于实部，虚部等于虚部即可得解. 【详解】 ∵z a i =-，∴111z a i bi i i-==+++ 即()()()11111a i i bi bi i b b i b -=++=++-=++-根据左右两边对应相等有13112a b a b b =-=⎧⎧⇒⎨⎨-=+=-⎩⎩，∴6ab =-.故答案为：6-. 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及复数相等的概念，属于基础题.10．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =__________. 【答案】10-【解析】由条件可得3243S S S =+，进而得132d a =-，利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】∵3243S S S =+，∴()111333246a d a d a d +=+++，整理，得132d a =-， ∴3232d =-⨯=-，∴()()5235110a =+-⨯-=-.故答案为：10-. 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算，属于基础题.11．已知圆2212x y +=与圆22360x y x ++-=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作直线AB 的垂线，与x 轴分别交于C ，D 两点，则CD =__________. 【答案】4【解析】两圆联立求得点A 、B 的坐标，由垂直关系利用点斜式求解直线方程，从而得解. 【详解】联立方程组222236012x y x y x y ⎧++--=⎪⎨+=⎪⎩，解得11023x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2233x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即((,3A B -，3AB k =可得过(0,23A 且垂直于l 的直线方程为：323y x =-+，所以0y =，解得2x =，过(B -且垂直于l 的直线方程为：323y x =-0y =，解得2x =-， 所以224CD =+=. 故答案为4. 【点睛】求两圆公共弦所在直线的方程，一种求法，可将两圆的方程相减即可；另一种方法，可联立两圆的方程，求得两圆的交点坐标，进而再求直线方程，也可根据所求直线与圆心连线垂直，求直线斜率也可. 12．已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则23a b+的最小值为__________. 【答案】526+【解析】通过求函数导数得切线斜率，列方程可得切点()1,0b -，代入直线进而得1a b +=，由()2323a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开利用基本不等式求最值即可. 【详解】()ln y x b =+的导数为1'y x b=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b -，切点为()1,0b -，代入y x a =-，得1a b +=，∵a 、b 为正实数，则()232323235526b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当6a =，即62,36a b ==-526+. 故答案为526+. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及基本不等式应用求最值，属于中档题.13．已知向量AB AC AD 、、满足,2,1AC AB AD AB AD =+==，E 、F 分别是线段BC 、CD 的中点.若54DE BF ⋅=-，则向量AB 与向量AD 的夹角的余弦值为__________.【答案】12【解析】由向量的加减运算得到1122DE BF CB CD CD CB ⎛⎫⎛⎫⋅=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，进而得到1CB CD ⋅=，利用数量积的公式求解夹角即可. 【详解】 如图22115115224224DE BF CB CD CD CB CB CD CD CB ⎛⎫⎛⎫⋅=--=⋅--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由2,1CD AB BC AD ====，可得1CB CD ⋅=，∴1cos 2CB CD ，=则π3CB CD =，， 从而向量AB 与向量AD 的夹角为π3，则其余弦值为12. 故答案为12. 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的加法、减法的三角形法则，以及数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.14．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图像过点(0,B ，且在ππ,183⎛⎫⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图像向左平移π个单位长度后与原来的图像重合，当124π2π,,33x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=__________.【答案】【解析】函数过点(0,3B -，代入求解得到π3ϕ=-，利用函数的周期性得结合单调性可得2ω=，通过整体换元得到函数的对称轴13π12x =-，从而由()1213π6f x x f ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即可得解. 【详解】函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图像，过点(0,3B -， 则：2sin 3ϕ=-3sin ϕ=2πϕ<，所以：π3ϕ=-.则：()π2sin 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭.同时()f x 的图像向左平移π个单位之后与原来的图像重合， 所以：()()ππ2sin π2sin 33g x x x ωω⎡⎤⎛⎫=+-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.则：π2π,k Z k ω=∈. 函数在ππ,183x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调，则：πππ3182T ω-≤=，解得：1805ω<≤.所以：2ω=.则：()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 函数的对称轴方程为：()ππ2π32x k k Z -=+∈，得()π5π212k x k Z =+∈. 已知：1242,π,π33x x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，且12x x ≠时，则：当3k =-时，13π12x =-. 由于：1213π212x x x +==-，则()121314π2sin π363f x x f ⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3-【点睛】本题考查了由y ＝A sin （ωx +ϕ）的部分图象确定解析式，考查了正弦型函数的性质问题，解答时要认真审题，注意函数性质的合理运用，着重考查了推理与论证能力，属于难题．三、解答题15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，已知=．（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S．【答案】（1）2 （2）S=【解析】第一问中利用,正弦定理化为角的关系式，然后得到比值因为第二问中，因为cosB=，结合余弦定理和面积公式得到。
2019届耀华中学高三 校一模 数学理科试题(最终版)
天津市耀华中学2019届高三年级第一次校模拟考试理科数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题．．．．．．．纸．上．． 1. 设全集U R =，集合2{|log 2}A x x =≤，{|(3)(1)0}B x x x =-+≥，则()U B A =ðA.(-∞，1]-B.(-∞，1](0-，3)C.0（，]3D.(0，3)2. 设变量x ，y 满足约束条件2024x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为A.5B.4C.3D.23．已知如右程序框图，则输出的i 是A ．9B ．11C ．13D ．154．设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件(1)y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，1()()12x f x =-，则3(log 2)a f =，1()2b f =-，(3)c f =的大小关系是A.a b c >>B.b c a >>C.b a c >>D.c b a >>6．函数()sin()f x x ωϕ=+(R)x ∈(0,||)2πωϕ><的部分图象如图所示，如果122,(,)63x x ππ∈，且f （x 1）=f （x 2），则12()f x x +=（）A.B. 12-C.12D.7． 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．若双曲线C 上存在一点P ，使得12PF F ∆为等腰三角形，且127cos 8PF F ∠=，则双曲线的离心率为（ ）A. 43B.32 C. 332或 D.423或 8． 已知函数2()2f x x x a =---有零点12,x x ，函数2()(1)2g x x a x =-+-有零点34,x x ，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是A. 9(,2)4--B. 9(,0)4- C. (2,0)-D. (1,)+∞第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．． 9．已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，若复数21biai i+=-，则a b += . 10．设2a xdx =⎰，则二项式5)ax 展开式中含2x 项的系数是 .11．三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC的中点， 记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = .12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos (sin x a y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）. 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-=若直线l 与圆C 相切，则实数a = . 13. 若正实数a ，b 满足()2261a b ab +=+，则21aba b ++的最大值为 .14. 在ABC ∆中，点M 满足14M B A B =，且对于边AB 上任意一点N ，恒有NB NC MB MC⋅⋅≥.则()CA CB AB +⋅= ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．．．．．．． 15. （本小题满分13分） 已知函数()()221cos sin ,0,2f x x x x π=-+∈． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC ∆的面积．E DCAP在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个.（Ⅰ）现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．求： ①最多取两次就结束的概率；②整个过程中恰好取到2个白球的概率；（Ⅱ）若改为从中任取出一球确定颜色后不放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球.则设取球的次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，2SA AB BC ===，1AD =，M 是棱SB 的中点. （Ⅰ）求证：AM ∥平面SCD ；（Ⅱ）求二面角S CD M --的正弦值； （Ⅲ）在线段DC 上是否存在一点N ，使得MN 与平面SAB 所成角的正弦值为7， 若存在，请求出DNDC的值，若不存在，请说明理由.已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+（Ⅰ）设2nn n a b =，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）记21(1)(42)2n nn n n n n c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19. （本小题满分14分）已知A 是圆224x y +=上的一个动点，过点A 作两条直线12,l l ，它们与椭圆2213x y +=都只有一个公共点，且分别交圆于点,M N ． （Ⅰ）若()2,0A -，求直线12,l l 的方程；（Ⅱ）①求证：对于圆上的任意点A ，都有12l l ⊥成立； ②求AMN ∆面积的取值范围．20. （本小题满分14分） 已知函数()ln f x x x x =+.（Ⅰ）求函数()f x 的图像在点(1,1)处的切线方程；（Ⅱ）若k Z ∈，且(1)()k x f x -<对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （Ⅲ）当4n m >≥时，证明：()()n mm nmn nm >.。