非线性光学极化率的经典描述

E H
B t
D t
J
D
H 0
(1.1 - 1)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
及物质方程:
D B
0E 0H
P
0
M
J E
(1.1 - 2)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
上面两式中的J和ρ分别为介质中的自由电流密度 和自由电荷密度, M为磁化强度, ε0为真空介电常数, μ0 为真空磁导率, σ为介质的电导率, P是介质的极化强度。 由于我们研究的光与物质相互作用主要是电作用, 可以 假定介质是非磁性的, 而且无自由电荷, 即M=0, J=0， ρ=0。 所以, 上述方程可简化为
第1章 非线性光学极化率的经典描述
E
B t
H
D t
D 0
B 0
D 0E P E
B 0H
(1.1 - 3) (1.1 - 4)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
光在介质中传播时, 由于光电场的作用, 将产生极 化强度。 若考虑到非线性相互作用,则极化强度应包含 线性项和非线性项, 即
E*(ω)=E(-ω)
(1.1 - 11)
P*(ω)=P(-ω)
(1.1 - 12)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
1.1.2 极化率的色散特性 1. 介质极化的响应函数 1) 线性响应函数 众所周知, 因果性原理是物理学中的普遍规律。 当
光在介质中传播时, ｔ时刻介质所感应的线性极化强度 P(t)不仅与ｔ时刻的光电场E(t)有关, 还与ｔ时刻前所有 的光电场有关, 也就是说, ｔ时刻的感应极化强度与产
r rk
k 1
(1.2 - 13)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
并代入(1.2 - 11)式后, 可以得到一系列rk所满足的 方程。 在每一个方程中所包含的项, 对电场来说都具有 相同的阶次。 这一系列方程中最低阶次的三个方程是
d 2r1 dt 2
2h
dr1 dt
02r1
e m
E
(1.2 - 14)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
1.1.3 极化率的单位［5］
上面引入了宏观介质的极化率χ(r), 实际上在文献中 还经常用到单个原子极化率这个参量, 我们用符号χ(r)mic 表示。 宏观极化率与单个原子极化率间的关系为
χ(r)=nχ(r)mic
(1.1 - 46)
在国际单位制（SI）中, χ(r)和χ(r)mic的单位分别为
第1章 非线性光学极化率的经典描述
式中
( )
ne 2
0m
(02
02 2 2 )2 4h2 2
( )
ne2
0m
(02
2h 2)2
4h2
2
(1.2 - 10)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
4 2 0 －2
( )
0.5 1.0
1.5
( )
/0
图 1.2 - 1 χ′(ω)和χ″(ω)与频率ω的关系曲线
在本书中, 除了特别指明外, 光电场和极化强度均 采用通常的复数表示法。 对于实光电场E(r,t), 其表示 式为
E(r,t)=E0(r) cos(ωt+υ) (1.1 - 7) 或
E(r,t)=E(ω)e-iωt+E*(ω)eiωt (1.1 - 8)
式中的E(ω)为频域复振幅, 且有
E ( )
1 2
E0 (r)ei (r)
(1.1 - 9)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
E0(r)是光电场中的实振幅大小。 对于极化强度, 其 表示式为
P(r,t)=P(ω)e-iωt+P*(ω)eiωt
(1.1 - 10)
式中的P(ω)为频域复振幅。
考虑到电场强度E(r,t)和极化强度P(r,t)的真实性, 应有
1
2
2ih
(1.2 - 6)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
再根据(1.1 - 23)式的关系, 并考虑一维情况, 可得
(1) ( )
P( ) 0 E ( )
ne2
0m
02
1
2
2ih
(1.2 - 7)
如果引入符号
则
F
(
)
02
1 2
2ih
(1.2 - 8)
(1) () ne2 F() () i () (1.2 - 9) 0m
(1.1 - 47) (1.1 - 48)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
1.2 非线性光学极化率的经典描述［6］
1.2.1 一维振子的线性响应
设介质是一个含有固有振动频率为ω0的振子的集 合。 振子模型是原子中电子运动的一种粗略模型, 即认 为介质中的每一个原子中的电子受到一个弹性恢复力 作用, 使其保持在平衡位置上。 当原子受到外加光电场 作用时, 原子中的电子作强迫振动, 运动方程为
第1章 非线性光学极化率的经典描述
则有
P(1) (t) P(1) ( )eitd
0
R(1)
(
)
E( )ei(t )dd
(1.1 - 22)
利用频率域内线性极化强度复振幅P(1)(ω)与光电场
复振幅E (ω)的定义关系式
P(1) ( ) 0 (1) ( ) E( )
有
(1.1 - 23)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
2) 非线性极化率张量 对于非线性极化强度, 进行类似上面的处理, 可以 得到非线性极化率张量关系式。 将(1.1 - 18)式中的光电场E(t-τ)进行傅里叶变换, 可 得
P(2) (t) 0
d1
d
2
R(
2)
(1,
2
)
:
d d E( )E( )e e
P(1) (t) 0
(1) ( ) E( )eitd
(1.1 - 24)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
比较(1.1 - 22)式和(1.1 - 24)式, 可得
(1) () R(1) ( )eirdr
(1.1 - 25)
(1.1 - 24)式和(1.1 - 25)式就是线性极化强度P(1)(t)和线 性极化率张量χ(1)(ω)的表示式。
1
2
1
i(12 )t i(112 2 ) 2
(1.1 - 34)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
若将二阶非线性极化强度表示成如下形式:
P(2)(t) 0
d1
d2
(
2)
(1,2
)
:
E(1)E
(2
)ei (1 2
)t
(1.1 - 35)
并与(1.1 - 34)式进行比较, 可以得到二阶极化率张量 表示式为
光电场E(t)成线性关系, 所以对任何一个频率分量都可以
得到
2r(
)
2ihr(
)
02
r(
)
e m
E(
)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
由此可解得
r(
)Leabharlann e mE()
02
1 2
2ih
(1.2 - 5)
根据介质极化强度的定义, 单位体积内的电偶极矩复
振幅P(ω)为
P( )
ner ( )
ne2 m
E() 02
E E(n )eint
n
(1.2 - 32)
式中, E(ωn)是频率为ωn的光场的复振幅。 考虑 到光电场的真实性, 应有
ω-n=-ωn
(1.2 - 33)
E(ω-n)=E(-ωn)=E*(ωn)
(1.2 - 34)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
相应的极化强度表示式为
P(1) (t) 0 (1) (n )E(n )eint
(2)(1,2 )
d d R ( , )e
(2)
i(1122 )
1 2
12
(1.1 - 36)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
同理, 若将r阶非线性极化强度表示为
r
P(r)(t) 0
d1
d2
d
r
(
r
)
(1
,
2
,,
r
)
|
E
(1
)
E
(2
)
E
(r
i
)e
mt
m 1
(1.1 - 37) 式中, χ(r)(ω1,ω2,…,ωr)与E(ω1)之间的竖线表示r 个点, 则第r阶极化率张量表示式为
(1.1 - 15)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
2. 介质极化率的频率色散 1) 线性极化率张量 对于(1.1 - 15)式所表示的线性极化强度关系, 取E(t) 和P (1)(t)的傅里叶变换:
E(t) E( )eitd
P(1) (t) P(1) ( )eitd
(1.1 - 20) (1.1 - 21)
3
cm 3 erg
( r1)
/
2
第1章 非线性光学极化率的经典描述
在两种单位制中, 线性极化率χ(1)都是无量纲的, 其 它阶非线性极化率张量之间的关系为
(r) (SI ) (r) (e.s.u)
4
(3 104 )r1
(r)mic (SI ) (r)mic (e.s.u)
4
106 (3 104 )r1
生极化的光电场的历史有关。
第1章 非线性光学极化率的经典描述
现假定在时刻ｔ以前任一时刻τ的光电场为E(τ), 它 对在时间间隔(ｔ-τ)以后的极化强度的贡献为dP(t), 且