第1章 非线性光学极化率的经典描述n
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非线性光学极化率的经典描述
2.光与物质相互作用关系 当一个光电场入射到介质体系中时，由于介质体系是由大 量的多种荷电粒子，如电子、原子实及离子等构成，它们 在外光电场的作用下会发生位移，这就会在介质中产生感 应的电极化强度。
P(r, t ) 0 (1) E(r, t )
配合电磁波在介质中传播的波动方程
E (r , t ) 2 E (r , t ) 2 P(r , t ) 2 E (r , t ) 0 0 0 0 0 2 t t t 2
• 相干辐射产生的另一个效应即是受激布里渊散射（ＳＢ Ｓ），当激光束射入晶体材料后，利用高分辨率光学干涉仪 器观察到在入射激光线的近旁存在着几条亮度很高的辐射线， 频差在１ｃｍ-1以下，这是与晶体等材料中声学波相联系的 ＳＢＳ效应。
• 与ＳＨＧ效应有联系的一些效应如和频（ＳＦＧ）、差频 及光学参量振荡（ＯＰＯ）也陆续地被发现。利用晶体材料 的双折射效应以补偿折射率的色散，人们在许多晶体中，如 ＫＤＰ， ＡＤＰ，ＬｉＮｂＯ3及ＬｉＩＯ3 ，实现了有效 的相位匹配并得到有很高转换效率的相干辐射。利用和频， 可以对相干辐射频率进行蓝移，而利用差频及光学参量振荡 可以将可见激光转换至红外波段。这就为人们扩展相干辐射 的波段范围又提供了几种新的方法。
•非线性光学效应的定义如下：凡物质对于外加电磁场 的响应，并不是外加电磁场振幅的线性函数的光学现 象，均属于非线性光学效应的范畴。
１.非线性光学的早期１０年（１９６１—１９７０） 非线性光学的一个重要发展时期是早期的１０年。
1961年，Franken将红宝石激光束入射到石英片上，确证 了新的ＳＨＧ效应。ＳＨＧ效应的发现极大地促进了无机 晶体材料在相干辐射产生中的应用，具有重要的意义。 １９６２年Woodbury在使用硝基苯材料研究调Ｑ红宝 石激光器时发现，从激光器出射的谱线中，除了红宝石的 激光线外，还有另一条处于红区的７６６ｎｍ谱线。而且 这条出射光束具有与红宝石激光束同样的传播方向和小的 发散角。随之人们即分析出，这是与硝基苯的分子振动密 切有关的一种新的相干辐射，即受激拉曼散射ＳＲＳ。
非线性光学(NonlinearOptics)非线性极化率张量(Nonlinear
•由 ，令 ，有 。 • 即在 不为零时，频率为ω的入射光场在介质中产生了频率为2ω的出射光场。 的关系，需要考虑在频率
• 为了找出 中C3和 为ω的AC电场驱动下电子运动方程的近似解。
acceleration 驱动电场：
电子位移： 且满足：
damping
restoring force
尝试解
二、光学非线性的物理起源
• 此时单位时间内减少的光子数目为
，即净吸收速率。
• 随着光束在介质中的传播，其强度逐渐减小：定义z处的光强为I(z)，dz内光强的变化 为dI ，此时有 。 • 由于光束强度定义为单位时间在单位面积上通过的能量（W m-2），有 ，即 。
• 进一步得到
。
二、光学非线性的物理起源
Resonant nonlinearities 共振非线性
Non-resonant nonlinearities 非共振非线性
• 进一步得到
。 • 此时在频率2ω处的偏振为 • 另外在频率2ω处的偏振由频率为ω的驱动电场转换而来，可得到 。
。
• 由上面三式，最终得到
的非简谐项C3成正比。 Miller’s Rule
，即二阶非线性极化率与运动方程中
•当ω趋近于ω0时，
三、二阶非线性
晶体对称性效应 • 比如，中心对称晶体 (centrosymmetric)具有反转对称性，在施加单一电场 时，非线 性偏振 况不变。 的分量可表示为 ，即电场方向反转时情
• 另外，由晶体的反转对称性，在场方向不变而反转晶体时，所有的物理过程相同。
在晶体的坐标轴变化下，所有的 和 的分量变化符号，从而得到
• 在光波的AC电场驱动下，电子在正周期的位移要小于负周期的位移。
• 为了找出 中C3和 为ω的AC电场驱动下电子运动方程的近似解。
acceleration 驱动电场：
电子位移： 且满足：
damping
restoring force
尝试解
二、光学非线性的物理起源
• 此时单位时间内减少的光子数目为
，即净吸收速率。
• 随着光束在介质中的传播，其强度逐渐减小：定义z处的光强为I(z)，dz内光强的变化 为dI ，此时有 。 • 由于光束强度定义为单位时间在单位面积上通过的能量（W m-2），有 ，即 。
• 进一步得到
。
二、光学非线性的物理起源
Resonant nonlinearities 共振非线性
Non-resonant nonlinearities 非共振非线性
• 进一步得到
。 • 此时在频率2ω处的偏振为 • 另外在频率2ω处的偏振由频率为ω的驱动电场转换而来，可得到 。
。
• 由上面三式，最终得到
的非简谐项C3成正比。 Miller’s Rule
，即二阶非线性极化率与运动方程中
•当ω趋近于ω0时，
三、二阶非线性
晶体对称性效应 • 比如，中心对称晶体 (centrosymmetric)具有反转对称性，在施加单一电场 时，非线 性偏振 况不变。 的分量可表示为 ，即电场方向反转时情
• 另外，由晶体的反转对称性，在场方向不变而反转晶体时，所有的物理过程相同。
在晶体的坐标轴变化下，所有的 和 的分量变化符号，从而得到
• 在光波的AC电场驱动下，电子在正周期的位移要小于负周期的位移。
03 第一章 非线性极化的宏观描述3
e iT dT
(1)
[ ()] [ R (1) (T )]* e iT dT (1) ()
(1) *
[ ( 2) (1 , 2 )]* ( 2) (1 ,2 ) [ ( r ) (1 , 2 r )]* ( r ) (1 ,2 r )
转动变换
q 2p / n
cos q sin q 0 Tz sin q cos q 0 0 0 1
三、极化率的对称变化
(1) it (1) it Pu (1) (t ) 0 E ( ) e d T E ( ) e d u um 0 m 1) it TumT 0 (m E ( ) e d 1) it 0 TumT (m E ( ) e d
*
*
*
r) P( r ) () 0 ( 1 2 r (,1 , 2 , , r ) E 1 ( 1 ) E 2 ( 2 ) E r ( r )
比较上面两个式子得
(r ) (r ) ( , , , , ) 1 2 r ( , 1 , 2 , , r )
*
(r ) 1 2 r
(, 1 , 2 ,, r ) E1 (1 ) E 2 (2 ) E r (r )
(r ) 1 2 r
(, 1 , 2 ,, r ) E1 (1 ) E 2 (2 ) E r (r )
*
(r ) (r )
1 2 r
x'i Aij x j E 'i Aij E j P'i Aij Pj
(1)
[ ()] [ R (1) (T )]* e iT dT (1) ()
(1) *
[ ( 2) (1 , 2 )]* ( 2) (1 ,2 ) [ ( r ) (1 , 2 r )]* ( r ) (1 ,2 r )
转动变换
q 2p / n
cos q sin q 0 Tz sin q cos q 0 0 0 1
三、极化率的对称变化
(1) it (1) it Pu (1) (t ) 0 E ( ) e d T E ( ) e d u um 0 m 1) it TumT 0 (m E ( ) e d 1) it 0 TumT (m E ( ) e d
*
*
*
r) P( r ) () 0 ( 1 2 r (,1 , 2 , , r ) E 1 ( 1 ) E 2 ( 2 ) E r ( r )
比较上面两个式子得
(r ) (r ) ( , , , , ) 1 2 r ( , 1 , 2 , , r )
*
(r ) 1 2 r
(, 1 , 2 ,, r ) E1 (1 ) E 2 (2 ) E r (r )
(r ) 1 2 r
(, 1 , 2 ,, r ) E1 (1 ) E 2 (2 ) E r (r )
*
(r ) (r )
1 2 r
x'i Aij x j E 'i Aij E j P'i Aij Pj
第1章非线性光学极化率的经典描述2
(1.2 - 14) (1.2 - 15) (1.2 - 16)
第1章 非线性光学极化率的经典描述 章
e r1 = − E (ω ) exp(−ιωt ) F (ω ) + C.C. m
（1.2-17）
e2 r2 = 2 AE 2 (ω ) exp( −2ιω t ) F ( 2ω ) F (ω ) F (ω ) m e2 （1.2-18） + 2 AE (ω ) E * (ω ) exp( −2ιω t ) F (ω ) F ( −ω ) F (0) + C .C . m
第1章 非线性光学极化率的经典描述 章
P (t ) =
∑
∞
P ( k ) (t )
（1.2-20） （1.2-21）
k =1
P
(k )
(t ) = − nerk (t )
P ( 2) (t ) = −ner2 (t ) ne 3 = − 2 AE 2 (ω ) exp(−2ιωt ) F (ω ) F (ω ) F (2ω ) m （1.2-22） ne 3 − 2 AE (ω ) E * (ω ) F (ω ) F (−ω ) F (0) + C.C. m
则
1
ω − ω − 2ihω
2 0 2
(1.2 - 8)
ne2 (1) F (ω ) = χ ′(ω ) + iχ ′′(ω ) χ (ω ) = ε 0m
式中
(1.2 - 9)
ω02 − ω 2 ne 2 χ ′(ω ) = ε 0m (ω02 − ω 2 ) 2 + 4h 2ω 2 2 ne 2 hω χ ′′(ω ) = ε 0m (ω02 − ω 2 ) 2 + 4h 2ω 2
第一章 非线性极化的宏观描述
P (t ) 0 R (1) (t ) E ( )d
(1)
0 R (1) ( ) E (t )d
(2.5)
8
2)
时间不变原理 物理规律 不依赖于参考系 （空间、时间） 时刻的光场 E ( ) 在 t 时刻引起的极化响应 E ( ) E ( T0 ) 相等 T0时刻的光场 E ( T0 ) 在 t T0 时刻引起的极化响应
0 R (1) (t T0 ) E ()d
(2.6)
9
而由（2.5）得
(1)
比较（2.6）和（2.7）
P (t T0 ) 0 R (1) (t T0 ) E()d
(2.7)
R (1) (t T0 ) R (1) (t T0 ) (2.8) 即：响应函数 R (1) (t )只与时间差 T t 有关， 与绝对时间 t , 无关
dP (1) (t ) 0 R (1) (t ) E ()d
( ) E ( T0 ) E dP (1) (t T0 ) 0 R (1) (t ) E ( T0 )d
(1) 得 P (t T0 ) 0 R (t ) E ( T0 )d (1)
其中，二阶非线性极化系数
利用 函数的性质
(1 , 2 )
( 2)
R ( 2) (T1 , T2 )ei1T1 ei2T2 dT1dT2
(2.27)
得
f ( x) ( x x' )dx f ( x' )
非线性光学[1]._刘俊业
![非线性光学[1]._刘俊业](https://img.taocdn.com/s3/m/476cced426fff705cc170a56.png)
(1) ⎡ Px(1) ⎤ ⎡ χ XX ⎢ (1) ⎥ ⎢ (1) ⎢ Py ⎥ = ε 0 ⎢ χ YX (1) ⎢ Pz(1) ⎥ ⎢ χ ZX ⎣ ⎦ ⎣ (1) χ XY (1) χ YY (1) χ ZY (1) ⎤ ⎡E x ⎤ χ XZ (1) ⎥ ⎢ χ YZ ⎥ ⎢E y ⎥ ⎥ (1) ⎥ ⎢ χ ZZ E ⎦ ⎦⎣ z⎥
P
＝ ＝
ε χ ⋅ E +ε χ
(1) 0 0
( 2)
:E
E + ε χ ME E E
( 3) 0
+ L.
(1-2)
Ρ ＋Ρ
L
NL
χ χ χ
(1)
是一阶电极化率(Susceptibility),为二阶张量； 是二阶电极化率,为三阶张量； 是三阶电极化率,为四阶张量；
( 2)
( 3)
描述介质非线性性质的光学叫非线性光学。Fra bibliotek(ω) =
(1) ∫ R (τ) exp(ιω τ－ω τ)dτ
0 1
(1.1-14)
0
式中被积函数含有指数衰减因子 exp(-ω1τ),因而积分(1.16)式是收敛的。 这样， 在上半个 复数频率平面内， χ
(1)
(ω)是一个解析函数。
3. 克莱莫－克朗尼(Kramers-Kronig)关系
线性电极化率 χ
0 0
(1) ∫∫ ε R (τ)exp(ιωτ)dτ·E(ω)exp[-ιωt)]dω
0
比较上式两边，所以
∞
P(1)(ω)
= [
(1) ∫ ε R (τ) exp(ιωτ)dτ] ·E(ω)
0 0
= 式中
P
(1)
P
＝ ＝
ε χ ⋅ E +ε χ
(1) 0 0
( 2)
:E
E + ε χ ME E E
( 3) 0
+ L.
(1-2)
Ρ ＋Ρ
L
NL
χ χ χ
(1)
是一阶电极化率(Susceptibility),为二阶张量； 是二阶电极化率,为三阶张量； 是三阶电极化率,为四阶张量；
( 2)
( 3)
描述介质非线性性质的光学叫非线性光学。Fra bibliotek(ω) =
(1) ∫ R (τ) exp(ιω τ－ω τ)dτ
0 1
(1.1-14)
0
式中被积函数含有指数衰减因子 exp(-ω1τ),因而积分(1.16)式是收敛的。 这样， 在上半个 复数频率平面内， χ
(1)
(ω)是一个解析函数。
3. 克莱莫－克朗尼(Kramers-Kronig)关系
线性电极化率 χ
0 0
(1) ∫∫ ε R (τ)exp(ιωτ)dτ·E(ω)exp[-ιωt)]dω
0
比较上式两边，所以
∞
P(1)(ω)
= [
(1) ∫ ε R (τ) exp(ιωτ)dτ] ·E(ω)
0 0
= 式中
P
(1)
非线性光学极化率的描述n.pptx
(2)
i (112 2 )
1 2
12
• 同理, 若将r阶非线性极化强度表示为
(1.1 - 36)
r
P(r) (t) 0
d1
d
2
dr
(
r
)
(1,2
,,
r
)
|
E
(1
)
E
(2
)
E
(r
i
)e
mt
m 1
(1.1 - 37)
式中, (r)(ω1,ω2,…,ωr)与E(ω1)之间的竖线表示 r 个点, 则第r阶极化率张量表示式为
有关, 这种 与波矢 k 的依赖关系, 叫做介质极化率的空间色散, 其空间色散关系
可以通过空间域的傅里叶变换得到。
•
因为在光学波段，光波波长比原子内电子轨道半径大的多通常，空间色
散可以忽略 。
第17页/共37页
• 极化率的单位
•
上面引入了宏观介质的极化率(r), 实际上在文献中还经常用到单个
原子极化率这个参量, 我们用符号(r)mic表示。 宏观极化率与单个原子极化率
(1.2 - 6)
(1) ()
P( ) 0 E ( )
ne2
0m
02
1
2
2ih
(1.2 - 7)
第22页/共37页
如果引入符号
则
F
(
)
02
1 2
2ih
(1)() ne2 F() () i() 0m
(1.2 - 8) (1.2 - 9)
• 式中
( )
ne2
0m
(02
02 2 2 )2 4h2 2
/0
非线性光学 非线性光学极化率与性质
Kramers-Kronig色散关系 极化率 是一个复函， 1 ' i '' ，其 实部和虚部之间的关系称为Kramers-Kronig色散关 系。 '' 1 ' P.V . d ' 1 '' P.V . d
假设波的振幅随空间和时间缓慢变化，即满足以下慢 变近似条件：
2 A( z, t ) A( z, t ) k z 2 z
和
2 A( z, t ) A( z, t ) t 2 t
可以在波动方程中略去场振幅的二阶时间导数和 二阶空间导数，从而得到以下一阶的波方程：
2 A( z, t ) 1 A( z, t ) ik0 PNL ( z, t )e i ( kzt ) z v t 2 0 k
波动方程变为
2 k0 d2 d ( 2 i 2k )E( z ) P NL ( z)ei ( k 'k ) z dz dz 0
假设：在波长量级的距离内光波振幅的变化非常慢，即
则
d 2 E( z ) dE ( z ) k dz 2 dz
2 ik dE( z ) ik02 NL i i ( k 'k ) NL ikz 0 P ( z )e P ( z )e P NL ( z )eikz dz 2 0 k 2 0 k 2 0 nc
极化率的实部和虚部分别对应于介质的色散和吸收，分别 描述介质中光波的位相和振幅的变化，色散关系表明，我 们可以通过介质的色散或吸收而得到另外一个物理量。
1
13/35
非线性极化率张量
P
2
t 0 d1 d 2 R 1 , 2 : E t 1 E t 2
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1.1 极化率的色散特性 1.2 非线性光学极化率的经典描述 1.3 极化率的一般性质 习题
第1章 非线性光学极化率的经典描述
1.1 极化率的色散特性
1.1.1 介质中的麦克斯韦方程
由光的电磁理论已知, 光波是光频电磁波, 它在介
质中的传播规律遵从麦克斯韦方程组:
B E t D H J t D H 0
(r)
1 1 2 2 r r
第1章 非线性光学极化率的经典描述
如果组成光波的各个频率分量是不连续的，则极化强 度表示式中的积分由求和代替，表示为
P(1) (t ) 0 (1) (n ) E(n )eint
n
(1.1 - 39)
P(2) (t ) 0 (2) (m , n ) : E(m ) E(n )ei (m n )t
P (t ) 0 d1 d2 ( 2) (1, 2 ) : E (1 ) E (2 )ei (1 2 )t
(1.1 - 35)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
并与(1.1 - 34)式进行比较, 可以得到二阶极化率张量 表示式为
(1,2 ) d1 d 2 R( 2) (1, 2 )ei (
参考书：
1、《非线性光学》
2、《量子电子学》 3、《非线性光学》
石顺祥 等著
A. 亚里夫 著 沈元壤 著 刘颂豪 等译
光与物质相互作用的半经典理论：
非线性光学现象的理论描述涉及到激光辐射场与物
质相互作用的问题，通常采用半经典理论处理。
第1章 非线性光学极化率的经典描述
第1章 非线性光学极化率的经典描述
以, 下面给出(r)和(r)mic在c.g.s./e.s.u.单位制中的单位:
cm erg
(r )
3
( r 1) / 2
;
( r ) mic
cm cm erg
3
3
( r 1) / 2
在两种单位制中, 线性极化率(1)都是无量纲的, 其 它阶非线性极化率张量之间的关系为
1) 线性极化率张量 对于(1.1 - 15)式所表示的线性极化强度关系, 取E(t) 和P (1)(t)的傅里叶变换:
E (t ) E ( )eit d
(1.1 - 20) (1.1 - 21)
则有
(1)
P (t ) P (1) ( )eit d
(1)
P (t ) P(1) ( )eit d
0 R ( ) E ( )ei ( t )dd (1.1 - 22)
(1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第1章 非线性光学极化率的经典描述
利用频率域内线性极化强度复振幅P(1)(ω)与光电场
复振幅E (ω)的定义关系式
(r) = n(r)mic
(1.1 - 46)
在国际单位制（SI）中, (r) 和 (r)mic 的单位分别为
m V
(r)
r 1
( r ) mic
m m V
3
r 1
第1章 非线性光学极化率的经典描述
由于目前仍有文献使用高斯单位制(c.g.s./e.s.u.), 所
光学介质对外场的响应特性。
非线性光学问题可以归结为两个问题：
求出非线性光学介质感应的非线性极化强度 P NL，求得 P NL 后，将其 作为次波源。 在一定的边界条件下求解麦克斯韦方程，从而求得非线性辐射场。
第1章 非线性光学极化率的经典描述
在本讲义中, 除了特别指明外, 光电场和极化强度
均采用通常的复数表示法。 对于实光电场E(r,t), 其表 示式为 E(r,t)=E0(r) cos(ωt+υ) 或 (1.1 - 7)
1.2 非线性光学极化率的经典描述
1.2.1 一维振子的线性响应
设介质是一个含有固有振动频率为 ω0的振子的集
合。 振子模型是原子中电子运动的一种粗略模型 , 即 认为介质中的每一个原子中的电子受到一个弹性恢复
力作用, 使其保持在平衡位置上。 当原子受到外加光
P (t ) 0 d 1 d 2 R( 2 ) ( 1 , 2 ) :
( 2)
(1.1 - 34)
( 2)
d1 d2 E (1 ) E (2 )ei (1 2 ) t ei (11 2 2 )
若将二阶非线性极化强度表示成如下形式:
(1.1 - 3)
(1.1 - 4)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
光在介质中传播时, 由于光电场的作用, 将产生极化强 度。 若考虑到非线性相互作用,则极化强度应包含线性项和 非线性项, 即
P=PL+PNL
(1.1 - 5)
当光电场强度很低时, 可以忽略非线性项PNL, 仅保留线
性项PL, 这就是通常的线性光学问题。 当光电场强度较高 时, 必须考虑非线性项PNL, 并可以将非线性极化强度写成级 数形式:
第1章 非线性光学极化率的经典描述
非线性光学及其应用
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第七章 第九章 第八章 非线性极化率的经典描述 非线性极化率的量子力学描述 光波在非线性介质中传播的基本方程 二阶非线性光学效应 三阶非线性光学效应 光学相位共轭技术 超快光脉冲非线性光学 光折变非线性光学
第1章 非线性光学极化率的经典描述
式中， R(t-τ)为介质的线性响应函数, 它是一个二阶张量, 则ｔ时刻的感应极化强度为
t
P(t ) 0 R(t ) E ( ) d
(1.1 - 14)
对上式进行变量代换, 将(t-τ)用τ′代替, 则有
P(t ) 0 R( ) E (t )d
( r ) ( SI ) 4 (r) (e.s.u ) (3 104 ) r 1 ( r ) mic ( SI ) 4 6 ( r ) mic ( e.s.u ) 10 (3 104 ) r 1
(1.1 - 47)
(1.1 - 48)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
( 2)
1 1
2 2)
(1.1 - 36)
同理, 若将r阶非线性极化强度表示为
P (t ) 0 d1 d2 dr (1, 2 ,, r ) | E (1 ) E (2 ) E (r )e
(r) (r) i
m 1
(1)
(1.1 - 25)
(1.1 - 24)式和(1.1 - 25)式就是线性极化强度 P(1)(t) 和线性 极化率张量 (1)(ω) 的表示式。
第1章 非线性光学极化率的经典描述
2) 非线性极化率张量
对于非线性极化强度, 进行类似上面的处理, 可以得到 非线性极化率张量关系式。 将(1.1 - 18)式中的光电场E(t-τ)进行傅里叶变换, 可得
光电场有关, 也就是说, ｔ时刻的感应极化强度与产生极化的
光电场的历史有关。 现假定在时刻ｔ以前任一时刻τ的光电场为E(τ), 它对在 时间间隔(ｔ-τ)以后的极化强度的贡献为dP(t), 且有 dP(t)=ε0 R(t-τ)· E(τ)dτ (1.1 - 13)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
E(r,t)=E(ω)e-iωt+E*(ω)eiωt
式中的E(ω)为频域复振幅, 且有
(1.1 - 8)
1 E ( ) E0 (r )e i ( r ) 2
(1.1 - 9)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
E0(r)是光电场中的实振幅大小。 对于极化强度, 其 表示式为 P(r,t)=P(ω)e-iωt+P*(ω)eiωt 式中的P(ω)为频域复振幅。 考虑到电场强度 E(r,t) 和极化强度 P(r,t) 的真实性 , 应 (1.1 - 10)
化率张量与光波波矢 k 有关, 这种 与波矢 k 的依赖关系, 叫做介质极化率的空间色散, 其空间色散关系可以通过空间
域的傅里叶变换得到。
因为在光学波段，光波波长比原子内电子轨道半径大 的多通常，空间色散可以忽略 。
第1章 非线性光学极化率的经典描述
1.1.3 极化率的单位 上面引入了宏观介质的极化率(r), 实际上在文献中还 经常用到单个原子极化率这个参量, 我们用符号(r)mic表 示。 宏观极化率与单个原子极化率间的关系为
P (1) ( ) 0 (1) ( ) E ( )
有
(1.1 - 23)
P (t ) 0 ( ) E ( )e
(1) (1)
it
d
(1.1 - 24)
比较(1.1 - 22)式和(1.1 - 24)式, 可得
( ) R(1) ( )ei d
mt
r
(1.1 - 37) 式中, (r)(ω1,ω2,…,ωr)与E(ω1)之间的竖线表示 r
个点, 则第r阶极化率张量表示式为
(1, 2 ,, r ) d1 d 2 d r R( r ) (1, 2 ,, r )ei ( ) (1.1 - 38)
0
考虑到积分变量的任意性, 用τ替换τ′, 上式变为
P(t ) 0 R( ) E (t )d
0
(1.1 - 15)
即在介质中，t 时刻所感应的极化强度由t时刻前所有(t-) 时刻 (0) 的光电场决定。
第1章 非线性光学极化率的经典描述
2. 介质极化率的频率色散
第1章 非线性光学极化率的经典描述
1.1 极化率的色散特性
1.1.1 介质中的麦克斯韦方程
由光的电磁理论已知, 光波是光频电磁波, 它在介
质中的传播规律遵从麦克斯韦方程组:
B E t D H J t D H 0
(r)
1 1 2 2 r r
第1章 非线性光学极化率的经典描述
如果组成光波的各个频率分量是不连续的，则极化强 度表示式中的积分由求和代替，表示为
P(1) (t ) 0 (1) (n ) E(n )eint
n
(1.1 - 39)
P(2) (t ) 0 (2) (m , n ) : E(m ) E(n )ei (m n )t
P (t ) 0 d1 d2 ( 2) (1, 2 ) : E (1 ) E (2 )ei (1 2 )t
(1.1 - 35)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
并与(1.1 - 34)式进行比较, 可以得到二阶极化率张量 表示式为
(1,2 ) d1 d 2 R( 2) (1, 2 )ei (
参考书：
1、《非线性光学》
2、《量子电子学》 3、《非线性光学》
石顺祥 等著
A. 亚里夫 著 沈元壤 著 刘颂豪 等译
光与物质相互作用的半经典理论：
非线性光学现象的理论描述涉及到激光辐射场与物
质相互作用的问题，通常采用半经典理论处理。
第1章 非线性光学极化率的经典描述
第1章 非线性光学极化率的经典描述
以, 下面给出(r)和(r)mic在c.g.s./e.s.u.单位制中的单位:
cm erg
(r )
3
( r 1) / 2
;
( r ) mic
cm cm erg
3
3
( r 1) / 2
在两种单位制中, 线性极化率(1)都是无量纲的, 其 它阶非线性极化率张量之间的关系为
1) 线性极化率张量 对于(1.1 - 15)式所表示的线性极化强度关系, 取E(t) 和P (1)(t)的傅里叶变换:
E (t ) E ( )eit d
(1.1 - 20) (1.1 - 21)
则有
(1)
P (t ) P (1) ( )eit d
(1)
P (t ) P(1) ( )eit d
0 R ( ) E ( )ei ( t )dd (1.1 - 22)
(1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第1章 非线性光学极化率的经典描述
利用频率域内线性极化强度复振幅P(1)(ω)与光电场
复振幅E (ω)的定义关系式
(r) = n(r)mic
(1.1 - 46)
在国际单位制（SI）中, (r) 和 (r)mic 的单位分别为
m V
(r)
r 1
( r ) mic
m m V
3
r 1
第1章 非线性光学极化率的经典描述
由于目前仍有文献使用高斯单位制(c.g.s./e.s.u.), 所
光学介质对外场的响应特性。
非线性光学问题可以归结为两个问题：
求出非线性光学介质感应的非线性极化强度 P NL，求得 P NL 后，将其 作为次波源。 在一定的边界条件下求解麦克斯韦方程，从而求得非线性辐射场。
第1章 非线性光学极化率的经典描述
在本讲义中, 除了特别指明外, 光电场和极化强度
均采用通常的复数表示法。 对于实光电场E(r,t), 其表 示式为 E(r,t)=E0(r) cos(ωt+υ) 或 (1.1 - 7)
1.2 非线性光学极化率的经典描述
1.2.1 一维振子的线性响应
设介质是一个含有固有振动频率为 ω0的振子的集
合。 振子模型是原子中电子运动的一种粗略模型 , 即 认为介质中的每一个原子中的电子受到一个弹性恢复
力作用, 使其保持在平衡位置上。 当原子受到外加光
P (t ) 0 d 1 d 2 R( 2 ) ( 1 , 2 ) :
( 2)
(1.1 - 34)
( 2)
d1 d2 E (1 ) E (2 )ei (1 2 ) t ei (11 2 2 )
若将二阶非线性极化强度表示成如下形式:
(1.1 - 3)
(1.1 - 4)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
光在介质中传播时, 由于光电场的作用, 将产生极化强 度。 若考虑到非线性相互作用,则极化强度应包含线性项和 非线性项, 即
P=PL+PNL
(1.1 - 5)
当光电场强度很低时, 可以忽略非线性项PNL, 仅保留线
性项PL, 这就是通常的线性光学问题。 当光电场强度较高 时, 必须考虑非线性项PNL, 并可以将非线性极化强度写成级 数形式:
第1章 非线性光学极化率的经典描述
非线性光学及其应用
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第七章 第九章 第八章 非线性极化率的经典描述 非线性极化率的量子力学描述 光波在非线性介质中传播的基本方程 二阶非线性光学效应 三阶非线性光学效应 光学相位共轭技术 超快光脉冲非线性光学 光折变非线性光学
第1章 非线性光学极化率的经典描述
式中， R(t-τ)为介质的线性响应函数, 它是一个二阶张量, 则ｔ时刻的感应极化强度为
t
P(t ) 0 R(t ) E ( ) d
(1.1 - 14)
对上式进行变量代换, 将(t-τ)用τ′代替, 则有
P(t ) 0 R( ) E (t )d
( r ) ( SI ) 4 (r) (e.s.u ) (3 104 ) r 1 ( r ) mic ( SI ) 4 6 ( r ) mic ( e.s.u ) 10 (3 104 ) r 1
(1.1 - 47)
(1.1 - 48)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
( 2)
1 1
2 2)
(1.1 - 36)
同理, 若将r阶非线性极化强度表示为
P (t ) 0 d1 d2 dr (1, 2 ,, r ) | E (1 ) E (2 ) E (r )e
(r) (r) i
m 1
(1)
(1.1 - 25)
(1.1 - 24)式和(1.1 - 25)式就是线性极化强度 P(1)(t) 和线性 极化率张量 (1)(ω) 的表示式。
第1章 非线性光学极化率的经典描述
2) 非线性极化率张量
对于非线性极化强度, 进行类似上面的处理, 可以得到 非线性极化率张量关系式。 将(1.1 - 18)式中的光电场E(t-τ)进行傅里叶变换, 可得
光电场有关, 也就是说, ｔ时刻的感应极化强度与产生极化的
光电场的历史有关。 现假定在时刻ｔ以前任一时刻τ的光电场为E(τ), 它对在 时间间隔(ｔ-τ)以后的极化强度的贡献为dP(t), 且有 dP(t)=ε0 R(t-τ)· E(τ)dτ (1.1 - 13)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
E(r,t)=E(ω)e-iωt+E*(ω)eiωt
式中的E(ω)为频域复振幅, 且有
(1.1 - 8)
1 E ( ) E0 (r )e i ( r ) 2
(1.1 - 9)
第1章 非线性光学极化率的经典描述
E0(r)是光电场中的实振幅大小。 对于极化强度, 其 表示式为 P(r,t)=P(ω)e-iωt+P*(ω)eiωt 式中的P(ω)为频域复振幅。 考虑到电场强度 E(r,t) 和极化强度 P(r,t) 的真实性 , 应 (1.1 - 10)
化率张量与光波波矢 k 有关, 这种 与波矢 k 的依赖关系, 叫做介质极化率的空间色散, 其空间色散关系可以通过空间
域的傅里叶变换得到。
因为在光学波段，光波波长比原子内电子轨道半径大 的多通常，空间色散可以忽略 。
第1章 非线性光学极化率的经典描述
1.1.3 极化率的单位 上面引入了宏观介质的极化率(r), 实际上在文献中还 经常用到单个原子极化率这个参量, 我们用符号(r)mic表 示。 宏观极化率与单个原子极化率间的关系为
P (1) ( ) 0 (1) ( ) E ( )
有
(1.1 - 23)
P (t ) 0 ( ) E ( )e
(1) (1)
it
d
(1.1 - 24)
比较(1.1 - 22)式和(1.1 - 24)式, 可得
( ) R(1) ( )ei d
mt
r
(1.1 - 37) 式中, (r)(ω1,ω2,…,ωr)与E(ω1)之间的竖线表示 r
个点, 则第r阶极化率张量表示式为
(1, 2 ,, r ) d1 d 2 d r R( r ) (1, 2 ,, r )ei ( ) (1.1 - 38)
0
考虑到积分变量的任意性, 用τ替换τ′, 上式变为
P(t ) 0 R( ) E (t )d
0
(1.1 - 15)
即在介质中，t 时刻所感应的极化强度由t时刻前所有(t-) 时刻 (0) 的光电场决定。
第1章 非线性光学极化率的经典描述
2. 介质极化率的频率色散