3.2.1一元二次不等式的解法课件ppt(北师大版必修五)
(3)m＜0
3 1 时，原不等式变为x＋ x－ ＜0， m m
1 3 解得 ＜x＜－ .综上，m＝0 时，解集为 R； m m m＞0 m＜0
3 1 时，解集为x－ ＜x＜ m m 1 3 x ＜x＜－ 时，解集为 m m ； .
解 原不等式可变形为(x－a)(x－a2)＞0， 则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2， (1)当a＜0时，有a＜a2，∴x＜a或x＞a2， 此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； (2)当0＜a＜1时，有a＞a2，即x＜a2或x＞a， 此时原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； (3)当a＞1时，有a2＞a，即x＜a或x＞a2， 此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练3】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋a2－1≤0的解集是 (－∞，－1]∪[2，＋∞)，求a，b的值．
解 由题意可知，a＜0，且－1,2 是方程 ax2＋bx＋a2－1＝0
的根， a＜0， －1＋2＝－b， a 所以 a2－1 －1×2＝ ， a
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
一元二次不等式的有关概念 1． ax2＋bx＋c＞0(≥0) ax2＋bx (1)一元二次不等式：形如__________________或________ ____________________的不等式叫做一元二次不等式． ＋c＜0(≤0)(其中a≠0) (2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式 x的值 成立的______叫这个一元二次不等式的解． 所有解 (3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的_______组 成的集合，叫做一元二次不等式的解集．
课前探究学习
课堂讲练互动
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如表：
判别式Δ＝b2 －4ac
二次函数y＝ ax2＋bx＋c(a ＞0)的图像
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
有两相等实根 一元二次方程 有两相异实根 b ax2＋bx＋c＝ x1，x2(x1＜x2) x1＝x2＝－2a 0(a＞0)的根 {x|x＜x1或 __________ 2＋bx＋c＞ ax {x|x≠x1} x＞x2} ______ _________ 0(a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜ {x|x ＜x＜x } 1 2 ____________ 0(a＞0)的解集 ___ ∅
课前探究学习 课堂讲练互动
题型三
三个“二次”关系问题
【例3】 (本题满分 12 分)已知一元二次不等式 x2＋px＋q＜0 的解集
1 1 x－ ＜x＜ 为 3 2 ，求不等式
qx2＋px＋1＞0 的解集．
审题指导 (1)一元二次不等式解集的两个端点值(不是＋∞ 或－∞)是对应一元二次方程的两个根． (2)已知一元二次不等式的解集确定不等式中参数的值时可 借助根与系数的关系给出含参数的方程组求解．
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练2】 设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0. 解 (1)m＝0时，－3＜0恒成立，所以x∈R. (2)m＞0时，不等式变为(mx＋3)(mx－1)＜0，
3 1 3 1 x＋ x－ ＜0，解得－ ＜x＜ . 即 m m m m
2
(8 分)
1 2 1 所以不等式 qx ＋px＋1＞0 即为－ x ＋ x＋1＞0， 6 6
课前探究学习 课堂讲练互动
整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3. 即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．(12分) 【题后反思】 一元二次不等式与其对应的函数与方程之 间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意 三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换． (1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端 点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二 次项系数的联系． (2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒 成立问题，此时可以根据二次函数图像与x轴的交点情况 确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
课前探究学习 课堂讲练互动
【训练1】 解下列不等式： (1)－2x2＋x－6＜0; (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x(7－x)＞0; (4)13-9x2<0 解 (1)原不等式可化为 2x2－x＋6＞0， ∵方程2x2－x＋6＝0的判别式 Δ＝(－1)2－4×2×6＜0，
图①
∴函数y＝2x2－x＋6的图像开口向上，与x轴无交点(如图①)． ∴观察图像可得，不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0， 即(x－3)2≤0， ∴原不等式的解集为{x|x＝3}．
x＋
图②
13 13 x－ ＞0， 3 3 13 13 13 13 x－ ＝0 的两根是 x1＝－ ，x2＝ ， 3 3 3 3
课前探究学习 课堂讲练互动
方程x＋
函数
y＝x＋
13 13 x－ 的图像是开口向上的抛物线，与 x 3 3
课前探究学习
课堂讲练互动
规律方法 含参数一元二次不等式求解步骤： (1)讨论二次项系数的符号， 即相应二次函数图像的开口 方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x轴交点的 个数； (3)当Δ＞0时，讨论相应一元二次方程两根的大小； (4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等 式的解集．
课前探究学习 课堂讲练互动
2．深入理解“三个二次”的关系 “三个二次”是指一元二次方程、二次函数、一元二次不等 式，它是以二次函数为中心，运用二次函数的图像、性质把 其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构． “三个二次”中，最重要的是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．方 程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx ＋c＜0(a＞0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况．它 们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)就转化为方程，当y＞0或y＜0时，就转化为一元二次不 等式．可见，二次函数是一元二次方程和一元二次不等式的 综合．
课前探究学习
课堂讲练互动
[规范解答] 因为 x2＋px＋q＜0 的解集为
1 1 x|－ ＜x＜ ， 所以 2 3
1 1 x1＝－ 与 x2＝ 是方程 x2＋px＋q＝0 的两 2 3
个实数根，(4 分) 1 1 3－2＝－p， 由根与系数的关系得 1×－1 ＝q， 3 2 1 p＝ ， 6 解得 q＝－1. 6
§2
一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
【课标要求】 正确理解一元二次不等式的概念． 1． 掌握一元二次不等式的解法． 2． 理解一元二次不等式，一元二次方程及二次函数之间的关 3． 系
课前探究学习
课堂讲练互动
【核心扫描】
1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，能 借助二次函数的图像解一元二次不等式．(重点) 2．通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一 元二次方程的联系．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一
解一元二次不等式
【例1】 求下列一元二次不等式的解集． (1)x2－5x＞6 (2)4x2－4x＋1≤0 (3)－x2＋7x＞6 [思路探索] 先将二次项系数化为正，再求对应方程的 根，并根据情况结合二次函数图像，写出解集． 解 (1)由x2－5x＞6，得x2－5x－6＞0. ∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6. ∴原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}． (2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，
课前探究学习
课堂讲练互动
[正解] 当a＝0时，原不等式等价于3＞0恒成立，所以x∈R. 当a＞0时，Δ＝(－2a)2－4a(a＋3)＝－12a＜0.不等式解集为R.
课前探究学习 课堂讲练互动
(4)当a＝0时，有x≠0； ∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； (5)当a＝1时，有x≠1， 此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}； 综上可知： 当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．
13 13 ，0和 ，0(如图③)． 3 3
轴有两个交点－
观察图像可得，不等式解集为xx＜－
13 13 或x＞ 3 3
.
图③
课前探究学习 课堂讲练互动
题型二
含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0.
a＋ a＜0 时，x
－3a a－ －3a ＜x＜ a a
பைடு நூலகம்
.
课前探究学习 课堂讲练互动
二次项系数含参数时，要严格分系数为正，系数 为0，系数为负三种情况进行讨论，缺一不可，有的同学认为 当系数为0时，为一元一次不等式，故不讨论，这是不可以 的．因为只要题目没有明确说明为一元二次不等式，就必须 讨论这种情况．
课前探究学习
没有实数根
R ___
___ ∅
课堂讲练互动
想一想：一元二次不等式ax2＋bc＋c＞0(a≠0)何时解集为R 或∅. 提示 当a＞0，Δ＜0时，解集为R当a＜0，Δ≤0时，解集 为∅.
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
1．一元二次不等式的解法 (1)图像法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或 ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； ②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图； ③由图像得出不等式的解集． 对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题 步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等 式，再求解． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求 解，当p＜q时，若(x－p)(x－q)＞0，则x＞q或x＜p；若(x－p)(x －q)＜0，则p＜x＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．
合集下载
高中数学 第三章 一元二次不等式的解法课件2 北师大版必修5
设f(x)=ax2+bx+c (a＞0),且设方程f(x)=0在
△＞0时的两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。
下面我们一起来完成下表：
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 f(x) ≥0的解集
△＞0
△＝0
1
△＜0
x x x 或x x
2
b x R x 2 a
2
(2)ax bx c 0(a 0)
2
(3)ax bx c 0(a 0)
2
(4)ax bx c 0(a 0)
2
以上四个不等式中我们规定了 a 数小于0，哪怎么办呢？
0
如果题目中给出的不等式中二次项系
对了，我们只要在不等式两边同乘-1， 然后把不等式的方向改变一下，就可 化为以上四种形式中的一种。 下面我们就利用二次函数的图象来解 以上4个不等式。
0 2 x5 x 3 10 解：（3）将原不等式变形为 5x6 x 5 3 ∵ 所对应的二次方程的⊿=-44 ＜ ∵所对应的二次方程的⊿ =0 ，0， x x ∴ 原不等式的解集为 ( 6 2 x 1)(x 1) 0 即 2 ⊿=-56 2 ＜0 ∵方程 所对应的
R R
x x
1
x x2
2 1
R
x x x 或x x
f(x) ≤0的解集
x x
y
O
1
x x2
y
x1 x2
b x x 2 a
y
x＝－b／2a
y=f(x)的图象
x
O
x
O
x
填写上表的依据是二次函数的图象，这实际上是一种数 形结合的思想。 由此我们可以得出解一元二次不等式的一般步骤： （1）把所给不等式化为四种标准形式之一； （2）判断所对应二次方程的根的情况；若
高中数学北师大版必修五课件：2.1一元二次不等式的解法
（3）解不等式必须先解出 相应的二次方程的根, 并画出 相应的二次函数图像.
自主探究•实践
画出下列函数的草图，回答下列问题：
(1) y 9x2 6x 1; (2) y x2 4x 5.
1. 以上两函数是否存在 x 的取值集合，使得
①y 0, ② y 0, ③ y 0 ？ 为什么？ 2. 不等式 9x2 6x 1 0 的解集是_{_x_|_x___13__} 3. 不等式 x2 4x 5 0 的解集是______R___
例2、 解关于x的不等式：
含参变量 的不等式
x2 (2m 1)x m2 m 0
解： 方程x2 (2m 1)x m2 m 0的解为：
x1 m, x2 m 1
m m1
原不等式的解集为x m x m 1
例3、 解关于x的不等式：
x2 (1 a)x a 0
解： 方程x2 (1 a)x a 0的解为：
例1、 设A，B分别是不等式 3x2 6 19x
与不等式 2x2 3x 5 0 的解集，试求 A B, A B.
解： 由3x2 6 19 x，得3x2 19 x 6 0
解得：A＝x
1 3
x
6
由－2x2 3x 5 0解得
B
x
1
x
5
2
A
B
x 1 3x5 2A B x 1 x 6
△= 0
有两相等实根
b
x1=x2= 2a y
x1 O x2 x
ax2+bx+c > 0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或x>x2}
ax2+bx+c < 0
(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}
新北师大版数学必修5同步课件：§2-2.1 一元二次不等式的解法
栏目 导引
第三章 不等式
(2)由 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|x<－2 或 x>4}知 a>0，且－2，4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两实根， 所以－－22＋×44＝＝a－c，ba， 可得bc＝＝－－82aa，， 所以 f(x)＝ax2－2ax－8a＝a(x＋2)(x－4)．
栏目 导引
第三章 不等式
(2)原不等式等价于不等式组 x2－3x>－2①， x2－3x≤10②， 不等式①可化为 x2－3x＋2>0，解得 x>2 或 x<1. 不等式②可化为 x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为[－2，1)∪(2，5]．
栏目 导引
第三章 不等式
解：由题意知
2＋3＝－ba， b＝－5a，
2×3＝ac， a<0，
即c＝6a， a<0.
代入不等式 cx2－bx＋a>0，
栏目 导引
第三章 不等式
得 6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．
即 6x2＋5x＋1<0，解得－12<x<－13， 所以所求不等式的解集为
x－12
＜x2)
有两个相等的实 数根 x1＝x2 且 x1
＝x2＝－2ba
无实数根
函数 y＝
f(x)的图
像
栏目 导引
第三章 不等式
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，判别式 Δ＝b2－4ac
不等 f(x)＞0 {x|x>x2或x<x1} 式的 解集 f(x)＜0 {x|x1<x<x2}
{x|x≠－2ba}
栏目 导引
第三章 不等式
3.(1)若关于 x 的不等式 ax2－6x＋a2<0 的非 空解集为{x|1<x<m}，则 m＝________． (2)如果 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|x<－2 或 x>4}，那么对于函 数 f(x)＝ax2＋bx＋c，f(－1)，f(2)，f(5)的大小关系是________．
3.2.1一元二次不等式的解法(北师大版)
2.含参数的一元二次不等式 在解含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分 类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. (2)关于不等式对应的方程的根的讨论：二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0). (3)关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 3.对于部分恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予 以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参 数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成 立⇔a>f(x)max；(2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.
代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0. 解得 x＜12或 x＞1. ∴bx2＋ax＋1＞0 的解集为{x|x＜12或 x＞1}.
解析答案
题型四 不等式恒成立问题 例4 对任意的x∈R，函数f (x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0， 则a的取值范围为－__2_＜__a_＜__2_. 解析 由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)＞0恒成立， 只需Δ＜0即可， 即(a－4)2－4(5－2a)＜0， 解得－2＜a＜2.
第三章 不等式
2.1 一元二次不等式 的解法
学习 目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2.掌握图像法解一元二次不等式. 3.培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力. 4.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
高中数学北师大版必修五《3.2.1一元二次不等式的解法》课件
以上四个不等式中我们规定了a 0
如果题目中给出的不等式中二次项系 数小于0，哪怎么办呢？ 对了，我们只要在不等式两边同乘-1， 然后把不等式的方向改变一下，就可 化为以上四种情势中的一种。
设f(x)=ax2+bx+c (a＞0),且设方程f(x)=0 在△＞0时的两个根分别是x1、x2，且x1 ＜x2。
下面我们一起来完成下表：
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 f(x) ≥0的解集 f(x) ≤0的解集
△＞0
△＝0
x x x2或x x1
x x1 x x2
x
R
x
b 2a
R
x x x2或x x1
x x1 x x2
y
R
x
x
b 2a
y
△＜0
R R
R R
（1）根据数形结合的思想，利用二次 函数的图象解二次不等式。
（2）根据分类讨论的思想，正确选定 分类标准，解含参数的不等式。
北师大版 高中数学
谢谢大家
y
y=f(x)的图象
x O x1 x2
x O x＝－b／2a
O
x
由此我们可以得出解一元二次不等式的一般 步骤：
（1）把所给不等式化为四种标准情势之一； （2）判断所对应二次方程的根的情况；若
有根，则求出其根。 （3）画出所对应的二次函数的图象； （4）根据图象写出不等式的解集。
例1、求下列不等式的解集：
一元二次方程的解I实m N ao ge
际上就是二次函数
No Image
与x轴交点的横坐标。
下面我们来研究如何应用二次函数的图象
来解一元二次不等式。
高中数学 第三章 不等式 3.2.1 一元二次不等式的解法课件高一必修5数学课件
①分解因式，借助积的符号法则转化为不等式组； ②借助二次函数图像求解．
12/8/2021
第十七页，共五十五页。
【解】 (1)方法一：原不等式可以化为 x2＋3x－4>0.相应的 方程 x2＋3x－4＝0 的两根分别为 x1＝－4，x2＝1，对应的函数 y ＝x2＋3x－4 的大致图像如图．从图中可知，在 x 轴上方的图像 所对应的 x 的范围是 x<－4 或 x>1，所以原不等式的解集为{x|x< －4 或 x>1}．
第十一页，共五十五页。
1．一元二次不等式与相应的二次函数、二次方程三者的联 系
列表如下：
12/8/2021
第十二页，共五十五页。
12/8/2021
第十三页，共五十五页。
2.解一元二次不等式时注意的问题 (1)利用数形结合法解一元二次不等式．在熟悉图像的前提 下，关键是迅速求解对应的一元二次方程．求解时优先考虑因式 分解法，其次才是公式法． (2)特别地，若 a<0 时，应先运用不等式的性质将其化成正 数，再解不等式． (3)当判别式 Δ＝0 时，不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)与 ax2＋bx ＋c≥0(a>0)的解集不同．
三个二次之间的关系
【例 3】 若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(－4,1)，则不等 式 b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0 的解集为( A )
A.－43，1 B．(－∞，1)∪43，＋∞ C．(－1,4) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【思路探究】 要解的不等式中含有 3 个变量，根据已知条 件求出 a，b，c 之间的关系即可求解．
则－ －11＋ ×22＝ ＝－ 2a，ba， 所以 a＝－1，b＝1， 则 2x2＋x－1>0 的解集为{x|x<－1 或 x>12}．
12/8/2021
第十七页，共五十五页。
【解】 (1)方法一：原不等式可以化为 x2＋3x－4>0.相应的 方程 x2＋3x－4＝0 的两根分别为 x1＝－4，x2＝1，对应的函数 y ＝x2＋3x－4 的大致图像如图．从图中可知，在 x 轴上方的图像 所对应的 x 的范围是 x<－4 或 x>1，所以原不等式的解集为{x|x< －4 或 x>1}．
第十一页，共五十五页。
1．一元二次不等式与相应的二次函数、二次方程三者的联 系
列表如下：
12/8/2021
第十二页，共五十五页。
12/8/2021
第十三页，共五十五页。
2.解一元二次不等式时注意的问题 (1)利用数形结合法解一元二次不等式．在熟悉图像的前提 下，关键是迅速求解对应的一元二次方程．求解时优先考虑因式 分解法，其次才是公式法． (2)特别地，若 a<0 时，应先运用不等式的性质将其化成正 数，再解不等式． (3)当判别式 Δ＝0 时，不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0)与 ax2＋bx ＋c≥0(a>0)的解集不同．
三个二次之间的关系
【例 3】 若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(－4,1)，则不等 式 b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0 的解集为( A )
A.－43，1 B．(－∞，1)∪43，＋∞ C．(－1,4) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【思路探究】 要解的不等式中含有 3 个变量，根据已知条 件求出 a，b，c 之间的关系即可求解．
则－ －11＋ ×22＝ ＝－ 2a，ba， 所以 a＝－1，b＝1， 则 2x2＋x－1>0 的解集为{x|x<－1 或 x>12}．
最新-高中数学 第三章第二节《一元二次不等式》课件 北师大版必修5 精品
因为
平面o 区域3
x
2x+y-6＜0
2×0+0-6=-6 ＜0，
所以，原点在2x+y-6＜0表示的平面区域内，2x+y-6=0 不等式 2x+y-6＜0表示的区域如图所示。
例题分析
例2 将下列图中的平面区域（阴影部分）用不等式 出来（图（1）中的区域不包含y轴）
y
y
y
2x+y=4
x+y=0
o
x
o
x
o
即 2x y 100 0
所以，对于直线 2x y 100 0 右上方的任意点P (x，y)，
x
2x+y-100=0
2x y 100 0 都成立。
同理，对于直线 2x y 100 0 左下方的任意点P (x，y)，2x y 100 0 都成立。 猜想得证! (证明时过P点做垂直于X轴的直线是否可行？此问题交由学生课后思考)
2.归纳总结、揭示新知
结论：一般地，二元一次不等式 Ax By C 0在平面直角坐标系中表示直线 Ax By C 0 某一侧所有点组成的平面区域。
问题4： Ax By C 0 表示的平面区域与 Ax By C 0 表示的平面区域
有何不同？如何体现这种区别？
虚线 不包含 总结：我们把直线画成
2x+y>0
(2)
(2) 3x-y-3≥0
(3)
(3) 1<x<1
例3、画出不等式组表示的平面区域。 y
2x y 100 0
x 10
y 20
x
O
(1)、不等式组表示的平面区域如何确定？ (各个不等式表示的平面区域的交集即公共部分)
高中数学 第一部分 第三章 §2 2.1 第一课时 一元二次不等式及其解法课件 北师大版必修5
没有实数根
ax2＋bx＋c
＞0 (a＞0) 的解集 {x|x＜x1或x＞x2}
R
Δ＝b2－ ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
Δ＞0
Δ＝0 ∅
Δ＜0 ∅
{x|x1＜x＜x2}
1．从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋
c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图像在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图 像在x轴下方的点的横坐标x的集合． 2．解一元二次不等式，要先把二次项系数化为正 数，再根据判别式的符号确定相应的方程有无实根，最
(3)原不等式可化为x(x－7)＜0， 方程x(x－7)＝0的两根是x1＝0，
x2＝7，
函数y＝x(x－7)的图像是开口向 上的抛物线，与x轴有两个交点(0,0)， (7,0)(如图(3))． 观察图像可得，不等式的解集为
{x|0＜x＜7}．
(4)原不等式可化为 9x2－13＞0， 13 x － ＞0， 9
1 b 法二：由已知得 a＜0 且(－ )＋2＝－a， 3 1 c (－ )×2＝a，所以 c＞ 3 (3 分)
设方程 cx2＋bx＋a＝0 的两根分别为 x1，x2， b a 则 x1＋x2＝－ c，x1· x2＝c ， (4 分)
b －a a 1 b 其中 c＝ ，－c ＝－ c 1 － × 2 a 3 1 － ＋ 2 3 1 1 ＝ ＝ ＋ ， 1 1 2 － × 2 － 3 3 1 1 所以 x1＝ ＝－3，x2＝ . 1 2 － 3 1 所以不等式 cx2＋bx＋a＜0 的解集为{x|－3＜x＜ }． 2
1 1 1 1 解：由 ax ＋2x＋c＞0 的解集为(－ ， )知 a＜0，－ ， 3 2 3 2
2018学年高中数学北师大版必修5课件：3.2.1 一元二次不等式的解法 精品
已知一元二次方程的根，可以写出相应不等式的解集，反之，已知不等式 的解集也可以写出相应二次方程的根，进一步可求得方程中的系数或得到系数 之间的关系.
[再练一题] 2．若不等式 ax2＋bx－1＞0 的解集是{x|3＜x＜4}，求实数 a、b 的值．
【解】 由题意知 ax2＋bx－1＝0 的两根为 3、4， 由根与系数的关系知－ －ba1a＝ ＝33＋ ×44， ， 解得 a＝－112，b＝172.
阶
阶
段
段
Байду номын сангаас
一
三
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(难点) 2．通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的 联系，会解一元二次不等式．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理 1 一元二次不等式的有关概念
所以－ba＝53，ac＝－13×2， 即ba＝－53，ac＝－23， 所以 b＝－53a，c＝－23a，
所以不等式 cx2＋bx＋a＜0 变为－23ax2＋－53ax＋a＜0，即 2ax2＋5ax－3a ＞0.
又因为 a＜0，所以得 2x2＋5x－3＜0， 所以所求不等式的解集为x|－3＜x＜12.
【解析】 (1)当a＝0时，不是一元二次不等式． (2)2x2＋3y2＋1≠0中的未知数个数有两个． (3)如x2－4＞0的解有无穷多个． (4)如x2＋4＜0的解集为空集． 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (3)√
教材整理2 一元二次函数，一元二次方程， 一元二次不等式之间的关系
阅读教材P78例1以下至P79小资料以上部分，完成下列问题． 一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系
(北师大版)必修五：3.2一元二次不等式的解法-课件(1)
a 0 0(≤ 0)
深化•拓展
1. 已知不等式 试求a、b的值.
x2 +
5 a 1 1 1 1 6 解： a , b 1 3 2 3 2 b 6
1 1 ax + b < 0的解集为{x | x }, 3 2
2. 对于一切实数 x，不等式 ax2 – (a – 2) x + a > 0 恒成立，求 a 的取值范围. a 2
3
课堂小结
判别式 △=b2-4ac △> 0 △= 0 △< 0 没有实根 y 有两相异实根 有两相等实根 b x1,x2 (x1<x2) x1 =x2 = y y =ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x
O x1
ax2+bx+c = 0 (a>0)的根
y
2a
x
b 2a
O
x
ax2+bx+c > 0 {x|x<x1,或 (a>0)的解集 x>x2} ax2+bx+c < 0 {x|x1<x<x2} (a>0)的解集
问题情景
2 这个问题实际上是解不等式 0.01x 0.1x ≤12 和不等式
0.005 x 2 0.05 x 10.
问题情景
一水产养殖户想挖一周长为100米的矩形水池搞 特种养殖，要求水池面积不小于600平方米，则该水
池的一边长应在什么范围之间？
解: 设水池一边长为 x 米，则另一边长为 50–x 米，根据题意可得：
50 x
x
x(50 x) ≥ 600
深化•拓展
1. 已知不等式 试求a、b的值.
x2 +
5 a 1 1 1 1 6 解： a , b 1 3 2 3 2 b 6
1 1 ax + b < 0的解集为{x | x }, 3 2
2. 对于一切实数 x，不等式 ax2 – (a – 2) x + a > 0 恒成立，求 a 的取值范围. a 2
3
课堂小结
判别式 △=b2-4ac △> 0 △= 0 △< 0 没有实根 y 有两相异实根 有两相等实根 b x1,x2 (x1<x2) x1 =x2 = y y =ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x
O x1
ax2+bx+c = 0 (a>0)的根
y
2a
x
b 2a
O
x
ax2+bx+c > 0 {x|x<x1,或 (a>0)的解集 x>x2} ax2+bx+c < 0 {x|x1<x<x2} (a>0)的解集
问题情景
2 这个问题实际上是解不等式 0.01x 0.1x ≤12 和不等式
0.005 x 2 0.05 x 10.
问题情景
一水产养殖户想挖一周长为100米的矩形水池搞 特种养殖，要求水池面积不小于600平方米，则该水
池的一边长应在什么范围之间？
解: 设水池一边长为 x 米，则另一边长为 50–x 米，根据题意可得：
50 x
x
x(50 x) ≥ 600