二倍角公式公开课课件
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北师大版(2019)高中数学必修2第4章3.1二倍角公式 课件(共18张PPT).ppt
你能根据二倍角公式解答下面各题吗？看谁做得既快又准
① 2sin15 cos15
③ 1 2sin15
⑤
ππ 2 sin cos
88
①1
⑤2
2
②2
2
⑥3
3
② cos22.5 sin 22.5
④ 2cos30 1
⑥
2 1
t an75 t an75
③
3 2
④
1 2
例1.已知角a是第二象限角，cosα = 3 , 求 sin 2α, cos2α, tan2α 5
点评：直接运用公式将已知角转化为特殊角求值.
根据上题的启示怎样去思考这道题呢？
cos20 cos40 cos80
那这道题又该怎么去解呢？
sin10 sin 30 sin 50 sin 70
1.二倍角的正弦，余弦，正切公式
sin 2α = 2sin α cos α
cos 2α = cos2α sin2α = 2 cos2α
2tan 22.5 (3) 1 tan2 22.5 ;
(4)1 2sin2 75 .
解： (1)原式 1 (2sin15 cos15 ) 1 sin 30 1
2
2
4
(2)原式 cos 2
42
(3)原式 tan 45 1
(4)原式 cos150 cos(180 30 ) cos30 3 2
S2α
cos 2α = cos2α sin2α
C2α
= 2 cos2α 1=1 2sin2α
tan2α = 2 tanα
1 t an2α
T 2α
公式的作用：
1.二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来 表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单 角的三角函数之间的互化问题； 2.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中， 取两角相等时推导出来的，记忆时可联想相应 角的公式.
二倍角公式课件
描述
通过二倍角公式，我们可以将一个角 度的三角函数值转化为两个较小角度 的三角函数值的组合，从而简化计算 过程。
二倍角公式的推导过程
推导
二倍角公式的推导主要基于三角函数的加法定理和倍角公式。通过将一个角度的三角函数值表示为两个较小角度的三 角函数值的和或差，再利用三角函数的加法定理进行化简，最终得到二倍角公式。
02
03
04
题目一
计算sin(45°)的值。
答案解析
通过二倍角公式，可以将45° 转换为2×22.5°，然后利用已 知的三角函数值进行计算。
题目二
求cos(135°)的值。
答案解析
利用二倍角公式，将135°转 换为2×67.5°，然后利用已知
的三角函数值进行计算。
THANKS
感谢观看
二倍角公式ppt课件
目录
• 二倍角公式的定义 • 二倍角公式的形式 • 二倍角公式的扩展 • 二倍角公式的应用 • 总结与回顾
01
二倍角公式的定义
Chapter
什么是二倍角公式
定义
二倍角公式是三角函数中一系列用于 计算二倍角度Leabharlann 正弦、余弦和正切的 公式。举例
二倍角公式中最常用的有正弦二倍角 公式、余弦二倍角公式和正切二倍角 公式。
二倍角公式的应用场景
应用领域
二倍角公式在数学、物理、工程等领域都有广泛的 应用。例如，在求解振动问题、波动问题、电磁学 问题等过程中，常常需要用到二倍角公式来化简角 度或计算相关量。
举例说明
在求解振动问题时，常常需要用到正弦二倍角公式 来计算振幅、频率等参数；在求解波动问题时，需 要用到余弦二倍角公式来计算波速、波长等参数； 在求解电磁学问题时，需要用到正切二倍角公式来 计算电场强度、磁场强度等参数。
二倍角公式公开课课件
为 $cos A = 2cos^2frac{A}{2} - 1$。
二倍角公式的推广到多倍角公式
推广一
将二倍角公式中的角度值替换为多倍角度值 ，如将 $2A$ 替换为 $nA$，得到多倍角公 式 $sin nA = nsinfrac{A}{n}cos^{n1}frac{A}{n}$。
推广二
利用二倍角公式推导出的多倍角公式，如 $cos nA = cos^n A - S_nsin^n A$，其中 $S_n$ 是二项式系数。
应用举例
已知cos(x) = 1/3，求cos(2x)的值。利用二倍角公式cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， 可以快速得出结果为-7/9。
在解三角函数方程中的应用
总结词
通过二倍角公式将三角函数方程转化为更易于求解的形式。
应用举例
求解sin(x) = 1/2的解。利用二倍角公式，将方程转化为2sin(x/2)cos(x/2) = 1/2，进 一步得到sin(x/2) = 1/2或cos(x/2) = 1/2，从而求得x的解。
利用诱导公式化简。
04
进阶习题2答案与解析：cos(π/3 - 2α) = 4√5/5。解 析：利用二倍角公式，将cos(π/6 + α)转化为sin，再 利用诱导公式化简。
感谢观看
THANKS
详细描述
二倍角公式的几何意义在于，它描述了一个角经过旋转其度数两倍后，新位置与原位置之间的正弦或余弦关系。 具体来说，当一个角绕着原点旋转到其两倍角度数的新位置时，该角所对应的正弦或余弦值可以通过二倍角公式 计算得到。
二倍角公式的应用场景
总结词
二倍角公式在解决三角函数问题中具有广泛的应用，例如在解三角形、求三角函数值、证明三角恒等 式等方面。
二倍角公式的推广到多倍角公式
推广一
将二倍角公式中的角度值替换为多倍角度值 ，如将 $2A$ 替换为 $nA$，得到多倍角公 式 $sin nA = nsinfrac{A}{n}cos^{n1}frac{A}{n}$。
推广二
利用二倍角公式推导出的多倍角公式，如 $cos nA = cos^n A - S_nsin^n A$，其中 $S_n$ 是二项式系数。
应用举例
已知cos(x) = 1/3，求cos(2x)的值。利用二倍角公式cos(2x) = 2cos^2(x) - 1， 可以快速得出结果为-7/9。
在解三角函数方程中的应用
总结词
通过二倍角公式将三角函数方程转化为更易于求解的形式。
应用举例
求解sin(x) = 1/2的解。利用二倍角公式，将方程转化为2sin(x/2)cos(x/2) = 1/2，进 一步得到sin(x/2) = 1/2或cos(x/2) = 1/2，从而求得x的解。
利用诱导公式化简。
04
进阶习题2答案与解析：cos(π/3 - 2α) = 4√5/5。解 析：利用二倍角公式，将cos(π/6 + α)转化为sin，再 利用诱导公式化简。
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详细描述
二倍角公式的几何意义在于，它描述了一个角经过旋转其度数两倍后，新位置与原位置之间的正弦或余弦关系。 具体来说，当一个角绕着原点旋转到其两倍角度数的新位置时，该角所对应的正弦或余弦值可以通过二倍角公式 计算得到。
二倍角公式的应用场景
总结词
二倍角公式在解决三角函数问题中具有广泛的应用，例如在解三角形、求三角函数值、证明三角恒等 式等方面。
二倍角公式公开课课件
二倍角公式公开课课件
课程名称：二倍角公式公开课 本课程将带您深入了解二倍角公式的概念和应用，通过图像、实例和技巧的 讲解，助您轻松掌握二倍角公式。
引言
二倍角公式是什么？为什么学习它？在本节课中，我们将回答这些问题，为您介绍二倍角公式的基本概念和重 要性。
基本概念Biblioteka 角度学习角的定义和计量单位，为后续学习打下基础。
详细讲解二倍角公式的推导过程，帮助理解其原理。
5
解题技巧与注意事项
分享解题的技巧和注意事项，让学习更加高效。
应用举例
二倍角公式在三角形中 的应用
了解如何利用二倍角公式解 决三角形相关问题。
二倍角公式在电路中的 应用
探索二倍角公式在电路分析 中的应用场景。
二倍角公式在工程问题 中的应用
学习如何利用二倍角公式解 决实际工程中的角度计算问 题。
结
通过本次课程，您将全面了解二倍角公式的重要性，并获得掌握二倍角公式的有效方法。继续学习和实践，您 将能够灵活应用二倍角公式解决各种问题。
参考资料
以下是推荐的相关书籍、视频、网站等资源，供您进一步学习与深入研究。
弧度
了解弧度的概念及其与角度的转换关系。
正弦、余弦、正切
掌握三角函数的定义和常用性质。
三角函数 & 二倍角公式
1
三角函数的图像
通过图像展示正弦、余弦、正切函数的特点。
2
复习三角函数公式
回顾三角函数的基本公式，为学习二倍角公式打下基础。
3
什么是二倍角公式？
深入解释二倍角公式的概念和用途。
4
二倍角公式的推导过程
课程名称：二倍角公式公开课 本课程将带您深入了解二倍角公式的概念和应用，通过图像、实例和技巧的 讲解，助您轻松掌握二倍角公式。
引言
二倍角公式是什么？为什么学习它？在本节课中，我们将回答这些问题，为您介绍二倍角公式的基本概念和重 要性。
基本概念Biblioteka 角度学习角的定义和计量单位，为后续学习打下基础。
详细讲解二倍角公式的推导过程，帮助理解其原理。
5
解题技巧与注意事项
分享解题的技巧和注意事项，让学习更加高效。
应用举例
二倍角公式在三角形中 的应用
了解如何利用二倍角公式解 决三角形相关问题。
二倍角公式在电路中的 应用
探索二倍角公式在电路分析 中的应用场景。
二倍角公式在工程问题 中的应用
学习如何利用二倍角公式解 决实际工程中的角度计算问 题。
结
通过本次课程，您将全面了解二倍角公式的重要性，并获得掌握二倍角公式的有效方法。继续学习和实践，您 将能够灵活应用二倍角公式解决各种问题。
参考资料
以下是推荐的相关书籍、视频、网站等资源，供您进一步学习与深入研究。
弧度
了解弧度的概念及其与角度的转换关系。
正弦、余弦、正切
掌握三角函数的定义和常用性质。
三角函数 & 二倍角公式
1
三角函数的图像
通过图像展示正弦、余弦、正切函数的特点。
2
复习三角函数公式
回顾三角函数的基本公式，为学习二倍角公式打下基础。
3
什么是二倍角公式？
深入解释二倍角公式的概念和用途。
4
二倍角公式的推导过程
北师大版必修第二册4-3-1二倍角公式课件(45张)
∵54π<x<74π，∴－32π<π4－x<－π. 又∵cosπ4－x＝－45， ∴sinπ4－x＝35，tanπ4－x＝－34. ∴原式＝2×1265－1×－34＝－12010.
[巧归纳] 先化简，再求值，化简时要注意已知条件和结论中各角之间的相互关系．尽
量出现条件中的角，以便能整体代入，减少运算量.
[练习 2] 1.已知 cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且 α，β∈0，π2，则 cos(α－β)的值等于
( D)
A.－12
1 B.2
C.－13
23 D.27
解析：∵α∈0，π2，∴2α∈(0，π)． ∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－79，
∴sin 2α＝ 1－cos22α＝492， 而 α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，
sin cos
α＋cos α－sin
αα＝2(cos
α＋sin
α)(cos
α－sin
α)．
因为 α∈0，π4，所以 sin α＋cos α≠0.
因此(cos α－sin α)2＝12，即 sin 2α＝12.由 α∈0，π4，得 2α∈0，π2，所以 2α＝π6，即 α
＝1π2.
[巧归纳] 给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行： (1)根据题设条件，求角的某个三角函数值； (2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大 小. [练习 3] 已知 3sin2α＋2sin2β＝1,3sin 2α－2sin 2β＝0，且 α，β 都是锐角，求 α＋2β 的值．
[解] (1)由 2x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，得 x≠π8＋k2π，k∈Z，所以 f(x)的定义域为 x∈Rx≠π8＋k2π，k∈Z .
二倍角的正弦、余弦、正切公式-PPT课件
sin2
1 cos 2
2
cos2
1 cos 2
2
7
思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是 否存在某种关系？
tan2
1 cos 2
1 cos 2
tan sin 2 1 cos 2 1 cos 2 sin 2
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
思考4：sin2α，cos2α能否分别用 tanα表示？
cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切 公式中，角α的取值范围分别如何？
思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的
三角函数关系？
6
探究（二）：二倍角公式的变通 思考1：1＋sin2α可化为什么？
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα， cosα与cos2α的关系分别如何？
sin 4x
tanx 学科网
例4 已知 sin cos π)，求cos2α的值.
13，且α∈(0，
17 9
12
小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α
的两倍,
4α是2α的两倍,
2
是
4
的两
倍等等，这里蕴含着换元的思想.
2.二倍角公式及其变形各有不同的特点 和作用，解题时要注意公式的灵活运用， 在求值问题中，要注意寻找已知与未知 的联结点.
3.二倍角公式有许多变形，不要求都记
忆，需要时可直接推导.
13
作业：
P135练习：2，3，4，5.
14
cos 2
1 tan2 1 tan2
sin 2
二倍角的三角函数ppt名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
3.公式变形:
1+ cos 2a 2cos2 a
1- cos 2a 2sin2 a
对一种人来说，所期望旳不是别旳，而仅仅 是他能全力以赴和献身于一种美妙事业.
——爱因斯坦
二倍角公式
sin 2a 2sina cosa ; S2α
cos 2a cos2 a - sin2 a; C2α cos 2a 2cos2 a - 1;
cos 2a 1 - 2sin2 a;
tan 2a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 tan a 1 - tan2 a
.
T2α
公式旳特征与记忆：
1.左边角是右边角的二倍.
7. 5
1.措施上：学会怎样去发觉数学规律，并体会从一般化 归为特殊这一基本数学思想在探索中所起旳作用.
2.知识上：记住二倍角公式.
sin 2a 2sina cosa
cos 2a cos2 a - sin2 a 2 cos2 a -1 1- 2sin2 a
tan
2a
2 tana 1- tan2 a
2.左边是2a的三角函数的一次式，右边是a的
三角函数的二次式. 由左到右：升幂缩角；由右到左：降幂扩角. 3.二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式， 正切是分式.
练一练
填空：(1)sin 4a 2sin_2_a_ cos_2_a_;
(2)cos a
a
a
cos2 _4_- sin2 _4_;
2
(3) cos a
3
2
cos2 a
_______6__
- 1;
(4) tan 3a
2 tan_32a_ 1 - tan2 _32a_
.
提升总结：了解公式旳推导措施
中职数学课件6.2二倍角公式
,π
，故
sin
θ 2
=
1−cos²
θ 2
=
1−
1 3
2
=232 ．
想一想
求cos θ 的值还 有其他方法吗？
因此，
sinθ
=
2sin
θ 2
cos
θ 2
=2×232×
−
1 3
=-
42 9
，
cosθ
=2cos²2θ-1=2×
−
1 3
2
−1=−
7 9
．
6.2 二倍角公式
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例4
证明：
tanθ=
1−cos2θ sin2θ
．
解
右边=
1−cos2θ sin2θ
=
1−(1−2sin²θ) 2sinθcosαθ
2sin²θ = 2sinθcosαθ
=tanθ=左边， 所以原等式成立．
6.2 二倍角公式
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
1.求下列各式的值． （1）2sin15°cos15° ； （2） 2cos²1π2 -1 ；
二倍角的正弦、余弦和正切公式：
sin2α=2sinαcosα
S2α
cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α C2α
tan2α=
2tanα 1−tan²α
T2α
上面三个公式统称二倍角公式．
6.2 二倍角公式
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
证明．
5 −35
=-43
，所以
tan2α=
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2tanα tan2α 1tan2α
2co2sα1
12sin2α 二倍角的含义：
“二倍角” 是一种相对的数量关系。
如：２α是α的二倍角；α是 的2 二倍角。
三、例题教学(公式正用)
例 已 1.知 5,α s i(n ,α ).求 sin2α、 cos2α α
13 2
解 ： sinα 5 α (，)是第二象限角
cos2 12sin2
s i n s i cn o c s s o i 令s n si2n2sin co
tan 1tat n a nttaann 令 tan212ttaann 2
注意定义域:
2 k
2
即 k k Z
42
二、二倍角公式的推导
sin2α2sincos
cosα2cos2αsin2α
方1法 切化 弦 tan s2in α 2α 1 16 29 0120
cos2α 119 119
方 可 2 法 ：求 先得 t求 an ： α c1 st 2ioat tn aasn n n2 215 α 2 1， 2再 (1 (5 615用 )2 9 )2二 112 1倍 90 角的
12
已 求 s in1 α 53，co s α 1 13 2
方1法 cos2 12 α si2 α n 12 1 5 3 21 16 19 9
方 2法 co sc2 o 2 α α s si 2 α n 1 1 3 2 2 1 5 3 2 1 16 1
三、例题教学(公式正用)
例 思已 维1.小知 结1 ：5 s3 ,iα n (α 2,).求 sin2α α 、 、 ctoasn
(1) 本题求出 cosα 的值是关键,要注意象限定号；
（2）在求 tan2α 时，直接用切化弦 tan2 sin2， cos2
也可先求出 tanα＝csoinsαα，再求 tan2α＝1－2tatannα2α的值.
1tan tan
二、二倍角公式的推导
问题 ： 由一般 的 ，到特殊的两，个角 即： ，你得到什？ 么 有启 什示 么？ 发
cos？ sin ？
tan？
二、二倍角公式的推导
co s cc o o s ss i sn i 令n co 2sco 2s si 2 n
利用公式 si 2 nco 2s1变形为：cos2 2cos21
1 2 sin 32 'c 0 2 o3 s'2 02
2
1 sin45 2
解题点拨：对比公式
12
22
si2 n 2 sin c os
2 4
四、例题教学(公式变形用)
3.
(2)sin2πcos2π
8
8
( co2sπsin2π ) 解题点拨：对比公式
88
cos π 4
co sc2o 2 α α ssi2 α n
公式正用技巧从：条件出发，顺着问题的线索，
以展开公式的方法使用。
四、例题教学(公式变形用)
例(21s.)i.n32'c 0 2os32 '02
(2)sin2πco2 sπ
8
8
(3)
tan22.5 1tan222.5
四、例题教学(公式变形用)
解 ： (1) s.in3 2'0 c2o s32 '02
(1) 求函数 f (x)的最小正周 。 期
(2) 若0
课题
教学目标:
1、掌握二倍角公式的推导，能够正确运用公式. 2、通过公式推导,培养学生的逻辑推理能力。 3、引导学生发现数学规律，激发学习兴趣，提 高综合分析、应用数学的能力。
一、复习两角和的三角公式
cosco cso ssin sin
sinsin co sco ssin
tan tan tan
(2)sin2πco2 sπ
8
8
(3 )
ta n2 2.5 1ta n2 2 2 .5
公式变形用技巧：
观察式子的结构特点，对公式有一个整体感知， 将公式进行等价变形。
五、练习深化
1 、已s知 in - ()3,求 co 2 s的值
5
2已 、t知 an 23 1,求 tan的。 值
3、已 知 函 f(x)数 (c oxssinx)(c oxssinx) 求 函f(数 x)的 最 小 正 。(2周 01年 期 2 广 州 二)模
13
2
cosα 1sin 2 1(5)2 14412
13 169 13
sin2s α in α 2 1 5 c 3 ( o 1 1)s 2 3 αቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 12 60 9
三、例题教学(公式正用)
例 已 1.知 5,sα in (, α ).求 si2 n、 α cos2α、 tan2
13 2
五、练习深化
1 、已s知 in -()3,求 co2 s的 值
5
解：sin( ) sin( ) sin( ) sin 3,
5
cos2 12sin 2
解题方法：
12( 3) 2
5
7
25
用诱导公式 化简函数,再 用二倍角公式
五、练习深化
2已 、t知 an 21,求 tan的。 值
3
解 :
tan2
2 tan 1 tan 2
1 ,
3
解题方法： 应用正切的
6 tan 1 tan 2 ，
二倍角公式
tan 2 6 tan 1 0,
tan 6 6 2 4 1 ( 1)
21
3 10
六、高考接触
已知函f 数 (x) (coxssinx)(coxssinx)
三、例题教学(公式正用) 例 已 1 知 .5 , α (s ,) i.n 求 siα n c2 o 2α tα as n2α、 的 、 、
132
， ， ， 已 s求 i n 1 53 α 出 co 1 1 s3 2 α sin 1 1 2 2 6 α c0 9 o s 1 12 6 1
2
2
四、例题教学(公式变形用)
(3).1ttaann22222 ..55
2 1
2
tan22.5
1tan222.5
利用公式
1 tan 2 22 . 5
2 1 tan 45
2 1
2
tan2α 12ttaann2α α
四、例题教学(公式变形用)
例(2 1s.)i.n3 2'c 0 2 os32 '02