《二倍角的三角函数》公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】

《§3二倍角的三角函数》教学设计

教材通过通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数，在温故知新中锻炼学生对知识的迁移能力。

【知识与能力目标】

1、理解二倍角公式的推导；

2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式；

3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。

【过程与方法目标】

通过两角和的正、余弦函数，推导得出二倍角的三角函数。

【情感态度价值观目标】

通过推导二倍角三角函数的过程，培养学生温故知新的能力。

【教学重点】

二倍角公式的推导。

【教学难点】

能综合运用二倍角公式进行化简、计算及证明。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、复习导入。

回顾两角和的正弦、余弦、正切函数。

()sin αβ+=sin cos cos sin αβαβ+()cos αβ+=cos cos sin sin αβαβ

-

二、探究新知。

将上述公式里的β换成α，结果是什么？

二倍角公式：

对于 2C α 能否有其它表示形式？

公式中的角是否为任意角？

注意：

①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。

②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍,3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。

三、例题解析。

12cos ,(,)sin cos tan 21322

α

αππααα=-∈已知，求，，的值。 例题1

()tan

αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ

+-sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2,()1tan 242

k k ααααα=≠+≠+-πππ且πR α∈R α∈2cos 22cos 1αα=-2cos 212sin αα

=

-

例题2求下列各式的值：

四、巩固练习。 已知α为第二象限角，3sin =

5α ，则2sin α＝( ) A ．－2425 B ．－1225

C.1225

D.2425

【解析】因为α为第二象限角，故0351245cos sin cos sin αααα<，而＝，故＝－－

＝－，所以222425sin sin cos ααα＝＝－ ，故选A.

二倍角公式的变形：

例题解析

例题3 化简 002

202020(1)sin 22.5cos 22.5;(2)cos sin ;882tan15(3);(4)12sin 75.1tan 15

ππ---(5)8sin cos cos cos 48482412

ππ

π

π

}降幂升角公式

2)cos (sin 2sin 1ααα±=±αα2cos 22cos 1=+α

α2sin 22

cos 1=-22cos 1cos 2

αα+=22cos 1sin 2αα-=}升幂降角公式

例题4求证：1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++求证： 2212sin cos (12sin )12sin cos (2cos 1)θθθθθθ+--=++-证明：左边2sin (cos sin )2cos (cos sin )θθθθθθ+=+sin cos θθ

=tan θ==右边.∴原式成立

已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2

.求tan2α的值。 【分析】 由于2α是α的二倍角，因此由cos α＝17

，求得tan α的值，然后应用正切的二倍角公式求tan2α的值。

【解析】 由cos α＝17，0＜α＜π2

， 得sin α＝1－cos 2α＝

437。 所以tan α＝sin αcos α＝437×71＝43。

于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－43

2＝－8347。

五、小结。

1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导

sin 22sin cos ααα=22cos 2cos sin ααα=-22tan tan 2k k αααα=≠+≠+πππ，且πR α∈R α∈巩固练习

六、作业。

课本第125页：1、2、3、4题。

略