第四章 季节性指数平滑法
季节性指数平滑法在城市用水量预测中的应用研究
＝ａ １ Ｓ ＋（ ） Ｊ １一 （ ２一 ｓ １＋
Ｂ ＝ ｙ Ｓ 一Ｊ １ １ （ １ ｓ ）＋（ ｌ １一ｙ Ｂ １ ）１ Ｂ ＝ ｙ Ｊ 一 一）＋（ ２ （２ １ Ｓ １一ｙ Ｂ ） ２一 １ Ｃ Ａ ＝ ， ｔ＋（ ） 川 １一 Ｃ
随季节性影 响较 大的北方地 区水量 预测 。
（） Ｉ ４分男 肼算前两个 期内 周 每一时 季节因 期的 子
第 一 个 周期 内每 一 个 时 期 的 季 节 因 子 为 ．
。
１ 季节性指数平滑法的基本原理
季节 性指数 平滑法 是把 量测 到的 时间序列 值分 成 三部分 ： 水平 因素 、 势 因素 、 趋 周期 因素 ， 分别 对其
理成 本 。而准确进 行用 水量 预测则是 该 系统必 须解
：
÷ ＋＋＋ ＝塞 ， （ … ÷ ｚ ）
ｚ ＋ ．… ． ｚ 。
＝
决 的重要课 题 。
常用的用水量预测方法有两大类 ： 解释性预测和
时 间序列分 析预测 。采用 的模 型 主要 有 ： 回归模 型、 线性移动平 均模 型 、 自适应 指 数平 滑模 型 、 节性 指 季 数平滑模 型、 移动平衡 回归模 型 、 色预测模 型 、 灰 神经
ｔ 一１
∑ｃ ＝ ｃ ？ ÷
式 中：＝ ＋１ｚ ２ ｚ ３ …，ｌｚ Ｃ ＋ ＋… ｔ ｚ ，＋ ，＋ ， ２ ； ＝ 工ｌ ｃ ２
２ １
＋（ ） Ｊ＿ ＋Ｂ ＿） １一 （ ｆ ｓｌ ｆ １ １ ）
＋ ＝∑ ｃ 。 ｃ ”
（） 第 三 周期 内每 一 时期 进行 初 步 预测 ： ７对
用水量预测 平滑常数
指数平滑法优秀课件
（2）计算措施 线性二次移动平均法旳通式为：
St
xt
xt 1
xt 2 N
...
xtN 1
St
St St1
St2 N
...
StN 1
（5.1） （5.2）
at 2St St
bt
N
2
1
St
St
（5.3） （5.4）
Ftm at bt m
m为预测超前期数 回总目录 回本章目录
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设时间序列为 x1, x2 ,..., 移动平均法能够表达为：
1 t
Ft1
xt xt1 ... xtN 1
/
N
N
xi
t N 1
式中： xt 为最新观察值；
Ft 1为下一期预测值；
由移动平均法计算公式能够看出，每
一新预测值是对前一移动平均预测值旳修
正，N越大平滑效果愈好。
（1）移动平均法有两种极端情况 • 在移动平均值旳计算中涉及旳过去观察值 旳实际个数N=1，这时利用最新旳观察值 作为下一期旳预测值； • N=n，这时利用全部n个观察值旳算术平 均值作为预测值。
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当数据旳随机原因较大时，宜选用较大 旳N，这么有利于较大程度地平滑由随机用较小旳N，这有利于跟踪 数据旳变化，而且预测值滞后旳期数也少。
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一次指数平滑法旳初值旳拟定有几种方法：
➢ 取第一期旳实际值为初值； ➢ 取最初几期旳平均值为初值。
一次指数平滑法比较简朴，但也有问题。
问题之一便是力图找到最佳旳α值，以使均
方差最小，这需要经过反复试验拟定。
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第四章---季节性指数平滑法
式中，IT类似一个季节性指数.该指数可由数列的本期 指标值XT 除以数列的本期单重平滑值ST算出,即XT与ST 的 比值.如果XT 大于ST ,这个比值大于1；如果XT小于ST ,这 个比值就小于1.对比理解这种方法和季节性指数I的作用
具有重要意义的是,要认识到ST 是一个数列的平滑值或平 均值, 其中不再含有季节性因素在内.但是数据值XT 却含 有季节性的因素。必须明白.XT 包含着数列中的一些随机 成分。为了修复这种随机成分，I的方程式用加权于新计
对参数估计值 aˆT、bˆT、CˆT 的指数平滑运算，需要初始指
数平滑值 aˆ0、bˆ0、C0 和Ｌ个 Cˆ 0K（K=1、2、3…L），如果
存在历史数据，我们可用不同的方法计算这些初始指数平
滑值。比较简单的方法是，用L个时期的时间序列数据，aˆ 0
取该时间序列的平均数，bˆ0 取该时序每期变化量的平均数
式中: at、bt、Ct 是模型的参数； Ct 是积性季节因子
定义符
积性季节模型同时考虑了线
性趋势和季节因素的影响.右图
描述了经济变量的这种变化过
程或行为
8
为了建立预测模型，定义 bˆT、CˆT 分别是模型中斜率和季 节因素在时间T的估计值，aˆT是以T为原点的常数项估计值
运用一次指数平滑公式时，每个时期对模型中的参数重
新估计．在时期T,当获得新的观测值XT后，下列指数平滑
公式用来计算新的参数估计值：
每个方程式能修匀一个与数 据样式的三种成分：随机性， 线性，季节性之一有关的参数
aˆT XT / CˆTL (1)(aˆT1 bˆT1) bˆT (aˆT aˆT1) (1 )bˆT1 CˆT X T / aˆT (1 )CˆT L
经济时间序列的季节调整、分解和平滑方法
在奇异点t0的外部冲击变量：
2.2 经济时间序列的季节调整方法
2.2.1 X-11季节调整方法
1954年美国商务部国势普查局(Bureau of Census，Department of Commerce)在美国全国经济研究局(NBER)战前研究的 移动平均比法(The Ratio-Moving Average Method)的基础上， 开发了关于季节调整的最初的电子计算机程序，开始大规模地 对经济时间序列进行季节调整。此后，季节调整方法不断改进， 每次改进都以X再加上序号表示。1960年，发表了X-3方法， X-3方法和以前的程序相比，特异项的代替方法和季节要素的 计算方法略有不同。1961年，国势普查局又发表了X-10方法。 X-10方法考虑到了根据不规则变动和季节变动的相对大小来 选择计算季节要素的移动平均项数。1965年10月发表了X-11方 法，这一方法历经几次演变，已成为一种相当精细、典型的季 节调整方法
建立ARIMA(p, d, q)模型，需要确定模型的参数，包括单 整阶数d；自回归模型(AR)的延迟阶数p；动平均模型(MA)的 延迟阶数q。也可以在模型中指定一些外生回归因子，建立 ARIMAX模型。对于时间序列中的一些确定性的影响（如节 假日和贸易日影响），应在季节调整之前去掉。
5．外部影响调整
4991.50
单位：亿元
3871.49
2751.49
1631.48
511.47 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997
4204.20 单位：亿元
3304.66
2405.12
1505.59
606.05 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997
指数平滑法——精选推荐
指数平滑法时间序列分解⼤量时间序列的观测样本表现出趋势性、季节性和随机性，或者三者中的其⼀或其⼆。
于是，我们认为每个时间序列，都可以分为三个部分的叠加其中，T是趋势项，S是季节项，R是随机项。
上述公式表现了趋势项和季节项是累加的，实际应⽤场景中，趋势项和季节项可能是累乘的，时间序列可以分解为如下公式实际应⽤中，随机项R的期望为0，没有规律，并且绝对值不⼤。
所以在应⽤场景中我们往往省略掉R，R称作噪声。
预测公式如下或⼀次指数平滑法线性回归算法中，每个经验点的权重是⼀致的，即很早以前的经验数据也可能对预测数据有较⼤的影响。
很多实际场景中，未来⼀段时间的趋势可能和在最近⼀段时间的趋势关系更加紧密。
⽐如⼩明去年数学考试成绩⼀直不及格，今年连续多次考试90多分，预测⼩明下⼀次数学考试的成绩，情理上90多分的可能性更⾼。
采⽤传统的线性回归算法，预测结果可能是70多分。
指数平滑法认为越⽼的经验数据对趋势的影响越⼩。
我们假定时间t的观测值为y(t)，时间t的预测值为S(t)，则时间t+1的预测值S(t+1)为a的取值范围(0, 1)，a越⼤，最近时间点的观测值对预测值的影响越⼤。
假设我们有t个经验数据，根据上述⼀次指数平滑公式，预测值S(t + n) = S(t + 1)，预测值不具备趋势。
⼆次指数平滑我们对⼀次指数平滑值再进⾏指数平滑，可以获得趋势。
⼆次指数平滑法的预测模型为：式中：分别为时间t和时间t - 1的⼆次指数平滑值。
三次指数平滑⼆次指数模型是线性的，对于⾮线性趋势预测我们可以使⽤三次指数平滑法。
公式如下Holt-Winters算法对于具有周期性的趋势预测，我们可以使⽤Holt-Winters算法。
累乘性Holt-Winters公式如下其中，alpha，beta，gamma取值范围为(0, 1)，分别表⽰全局因⼦，趋势因⼦，周期性因⼦中最近时间点数据对预测数据的影响程度。
y为经验数据，L为周期。
表⽰使⽤t时间点的估计值预测t+m时间点的值。
时序预测中的时间序列平稳性转换方法分享(四)
在时序预测中，时间序列数据的平稳性是一个非常重要的概念。
平稳性是指数据在时间上的统计性质不会随着时间的推移而改变。
对于非平稳时间序列，我们需要对其进行转换，使其变得平稳，从而更容易进行预测和分析。
在本文中，我们将分享几种常见的时间序列平稳性转换方法，希望对读者有所帮助。
差分法是最常见的时间序列平稳性转换方法之一。
差分法的原理是通过计算相邻时间点上的差值来消除趋势和季节性。
具体来说，对于一个非平稳的时间序列Yt，我们可以使用一阶差分来转换为平稳序列：Yt' = Yt - Yt-1。
如果序列还未平稳，我们可以继续进行二阶或更高阶的差分，直到得到平稳序列为止。
差分法的优点是简单易行，但需要注意的是，差分次数过多可能会导致失去原始序列的信息。
另一个常见的时间序列平稳性转换方法是对数变换。
在某些情况下，时间序列数据的方差随着时间的推移而变化，这会导致非平稳性。
对数变换可以有效地减小数据的方差，从而达到平稳序列的目的。
具体来说，对于一个非平稳的时间序列Yt，我们可以使用对数变换来得到平稳序列：Yt' = log(Yt)。
对数变换的优点是简单易行，并且可以减小数据的波动性，但需要注意的是，对数变换可能会导致数据的信息损失。
另一种常见的时间序列平稳性转换方法是季节性调整。
在某些时间序列数据中，存在由于季节变化引起的非平稳性。
例如，销售数据可能在某些季节性上有周期性的波动。
为了消除这种季节性的影响，我们可以使用季节性调整方法，例如季节性差分或季节性指数平滑法。
季节性差分是指对时间序列数据进行季节性差分，从而消除季节性的影响。
季节性指数平滑法是指对时间序列数据进行季节性平滑处理，从而得到平稳序列。
季节性调整的优点是可以更好地捕捉季节性的影响，但需要注意的是，季节性调整可能会导致数据的失真。
最后，还有一种常见的时间序列平稳性转换方法是趋势消除。
在某些时间序列数据中，存在由于长期趋势引起的非平稳性。
为了消除这种趋势的影响，我们可以使用趋势消除方法，例如趋势差分或趋势指数平滑法。
指数平滑法计算公式
指数平滑法计算公式
（最新版）
目录
1.指数平滑法的概念
2.指数平滑法计算公式的推导
3.指数平滑法计算公式的应用
4.指数平滑法的优缺点
正文
1.指数平滑法的概念
指数平滑法（Exponential Smoothing）是一种时间序列预测方法，
主要用于处理具有线性趋势和季节性效应的时间序列数据。
它通过计算历史数据的加权平均值来预测未来趋势，权重随着时间的推移而呈指数递减。
2.指数平滑法计算公式的推导
设 N 表示观测期的数量，t 表示当前时间，T 表示观测期长度，y_t 表示第 t 期的观测值，y_t-1, y_t-2,..., y_1 表示前 t-1 期的观测值。
指数平滑法的预测公式为：
F_t = α * y_t + (1 - α) * ∑[β_j * y_(t-j)]
其中，F_t 表示第 t 期的预测值，α表示平滑系数，β_j 表示季节性权重，j 表示季节长度。
3.指数平滑法计算公式的应用
指数平滑法适用于处理具有线性趋势和季节性效应的时间序列数据。
在实际应用中，首先需要确定时间序列的线性趋势和季节性效应，然后根据观测期的数量、观测期长度、季节长度等参数计算平滑系数和季节性权重，最后代入公式进行预测。
4.指数平滑法的优缺点
优点：
- 适用于处理具有线性趋势和季节性效应的时间序列数据；- 计算简便，易于实现；
- 能较好地处理数据中的长期趋势和季节性变化。
第4章 移动平均法和指数平滑法(2)
4.3 指数平滑法
一次指数平滑公式的展开如下 ：
ˆ ˆ aY 1a Y Y t 1 t t ˆ 1 aYt 1a aY a Y t 1 t1 ˆ aYt a1a Yt1 1a Y t 1
2
aYt a1a Yt1 a1a Yt2 a1a Yt3
例4-4：音像店每周的出租量y
740 660 0 680 y 700 720
5 t
10
15
如果依然使用一次移动平均法进行预测，会产生什 么后果？
4.2 平均值预测法
所谓二次移动平均，就是将一次移动平均序列再进行 一次移动平均。二次移动平均值的计算公式为：
M t M t 1 M t k 1 M k
Y12 Y11 Y10 ˆ ˆ 15.3(万元) Y2003.1 Y13 3
4.2 平均值预测法
一次移动平均法的应用：P101例4.3 采用5期移动平均的方法进行预测 预测方法选择是否合适？预测的效果如何？
4.2 平均值预测法
可对预测误差（残差）进行自相关检验： • 例4.3残差的自相关系数检验图
（2）趋势估算值：
Tt Lt Lt 1 1 Tt 1
（3）未来p期的预测值：
ˆ L pT Y t p t t
表示水平的平滑系数， 表示趋势估算值的平滑系数
4.3 指数平滑法
有关霍特法平滑系数和初始值的说明：
两个平滑系数 与 ，既可以通过主观选择，也可以通过软件 最小化预测误差自动选择 初始值的设定有两种方法： • 方法一：水平的初始值L0=Y1，T0=0 • 方法二：将前几期的观测值作为因变量，时间t作为自变量进 行回归，回归结果中常数项的估计值作为L0，斜率系数作为 趋势的初始值T0 （Stata默认前一半的观测值作为回归的样本 量）
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Cˆ1 0.1X1 / aˆ1 (1 0.1)Cˆ01 0.138/ 40.61 0.9 0.917 0.91149
同理： aˆ2 0.3 41/ 0.968 0.7(40.6 1.027) 41.884
Cˆ T 是对季节指数的估计。利用前T-1期的数据对 CˆT 的
估计值是 CˆT L ，利用本期数据对 Cˆ T 所作的估计应是 X T / aˆT
因此，对季节指数的最终估计值 CˆT 应为 XT / aˆT
和
Cˆ T
的加
L
权平均。同样的道理，第一项 X T / aˆT 是为了从观测值中消
除长期趋势，其结果只包含季节变动和随机变动.对 X T / aˆT 和 CˆT进L 行加权平均，以消除随机干扰以反映季节变动 11
运用一次指数平滑公式时，每个时期对模型中的参数重
新估计．在时期T,当获得新的观测值XT后，下列指数平滑
公式用来计算新的参数估计值：
每个方程式能修匀一个与数 据样式的三种成分：随机性， 线性，季节性之一有关的参数
aˆT XT / CˆTL (1)(aˆT1 bˆT1) bˆT (aˆT aˆT1) (1 )bˆT1 CˆT X T / aˆT (1 )CˆT L
式中: at、bt、Ct 是模型的参数； Ct 是积性季节因子
定义符号L为季节波动的周期长度，则
L
Ct L
t 1
积性季节模型同时考虑了线
性趋势和季节因素的影响.右图
描述了经济变量的这种变化过
程或行为
8
为了建立预测模型，定义 bˆT、CˆT 分别是模型中斜率和季 节因素在时间T的估计值，aˆT是以T为原点的常数项估计值
在时期T对未来第ｒ时期的预测为：
Xˆ Tr [aˆT bˆT r]CˆTLr 在没有趋势变化的情况下预测方程为 Xˆ Tr aˆT • CˆTLr9
对预测方程 aˆT XT / CˆTL (1)(aˆT1 bˆT1)
aˆT 是对趋势值的估计．第一项 X T / CˆTL 是为从XT中消
除季节变动的影响，保留一个只含有长期趋势和随机变动 的样式。理论上，应该用 X T / CˆT 但此时当期的 CˆT 尚未估计 来，故只能用上一个周期的来替代。按照一次指数平滑的
原理，1 只要与 aˆT1 相乘即可，但对于具有趋势变化的时
间序列而言，这样处理会产生滞后偏差，因此给 aˆT 1 加上 一个趋势增量 bˆT 1 就可以克服滞后偏差，然后对 X T / CˆT 和 aˆT 1 bT 1 进行加权平均，以消除随机干扰，用以反映
４
４０ 43.13 0.909 0.987
用预测模型进行预测2006年的结果:
Xˆ T1 Xˆ 5 (43.13 0.909) 0.919 40.47
XˆT2 Xˆ 6 (43.13 20.909)0.969 43.55 XˆT3 Xˆ 7 (43.13 30.909)1.122 51.45
I1 0.2 36.5/ 39.5 0.8 0.897 0.902
据新的数据S1和I1，可以作出下列四个季度的预测：
Xˆ 2 S1 I 24 39.5 0.974 38.5 Xˆ 4 S1 I 44 39.5 1.000 39.5
Xˆ 3 S1 I34 39.51.128 44.6 Xˆ 5 S1 I 54 39.50.902 35.6
此式是季节性一次指数平滑法的预测方程
5
例如：已知某商品销售量受季节因素影响，并且该商品 只有05年的季度销售量数据，分别为35，38，44和39万件
用年平均销售量作为初使平滑值S０： S０＝（35+38+44+39)/4+39．
用各季度的季节性比率作为初使平滑值I０ｔ即： I01=35/39=0.897 I02=38/39=0.974,
2
的时间序列数据.
对于一次指数平滑公式
ST
XT I TL
(1 )ST 1
之所以用IT-L去除XT ,而没有用IT .是因为在计算平滑值ST
时, 还尚未知道时期T 的季节比率IT,也就是说,要在ST 计
算出来后,才能计算出IT .故这里只能用IT-L的值(以前相同
时期的值)来代替.
用季节调节因子IT-L 去除XT ,其目的是从XT 中消除季节 性波动.这种调节可用下列性质来说明:当T-L时期的值大
Xˆ T4 Xˆ 8 (43.13 4 0.909) 0.987 4615.16
已知某企业2007至2009年销售资料分别为30、 18、21、27、36、24、23、32、45、29、32万元， 试预测未来4个季度的销售额。若获得2009年第四季 度的实际销售资料为40 万元，试预测未来4个 季度的销售额。取第一年的资料计算初始值，三个参 数分别为0.2、0.1、0.1
Cˆ03 44/ 39.25 1.121
Cˆ 04
39/ 39.25
0.994 13
指数平滑过程从05年第一季度开始，取
0.3 0.2 0.1 则
aˆ1 0.3X1 / I01 (1 0.3)(aˆ0 bˆ0 ) 0.3 38/ 0.917 0.7(39.25 1) 40.61
对参数估计值 aˆT、bˆT、CˆT 的指数平滑运算，需要初始指
数平滑值 aˆ0、bˆ0、C0 和Ｌ个 Cˆ 0K（K=1、2、3…L），如果
存在历史数据，我们可用不同的方法计算这些初始指数平
滑值。比较简单的方法是，用L个时期的时间序列数据，aˆ 0
取该时间序列的平均数，bˆ0 取该时序每期变化量的平均数
列公式: IT X T / ST (1 )IT L
式中，IT类似一个季节性指数.该指数可由数列的本期 指标值XT 除以数列的本期单重平滑值ST算出,即XT与ST 的 比值.如果XT 大于ST ,这个比值大于1；如果XT小于ST ,这 个比值就小于1.对比理解这种方法和季节性指数I的作用
具有重要意义的是,要认识到ST 是一个数列的平滑值或平 均值, 其中不再含有季节性因素在内.但是数据值XT 却含 有季节性的因素。必须明白.XT 包含着数列中的一些随机 成分。为了修复这种随机成分，I的方程式用加权于新计
Cˆ0K 可以用季节比率代替。
例如，有时序的季节数据X１，X２，X3，X4，则:
aˆ0 (X1 X 2 X 3 X 4 ) / 4 X
bˆ0 [(X2 X1) (X3 X2 ) (X4 X3)]/ 3
Cˆ01 X1 / X，C02 X2 / X，C03 X3 / X，C04 X4 / X 12
分离趋势的趋势方程；其次找出季节变动对预测对
象的影响，即分离季节影响；最后将趋势方程与季
节影响因素合并，得到能够描述时间序列总体发展
规律的预测模型，并用于预测。
1
第一节 季节性水平滑法
即季节性一次性指数平滑法．一次指数平滑法适用于预 测变化比较平稳，没有明显季节变动和趋势变动的经济变 量（即水平型的经济变量）。但是许多经济变量既表现为 水平型变化又受季节波动的影响。若用此法预测这种受季 节因素影响的经济变量，就不能取得较好的预测效果。
于季节平均值时,IT-L大于1或100％.用大于1或100％的数 去除XT ，将得到小于原值XT的值.其减的百分数恰好等于 T-L 期间的值高于平均值的百分比.相反的调整发生在季
节调整因子小于１或100％的情况下。
3
为了建立预测模型和使用平滑式ST的平滑过程连续进行 需要用一次指数平滑法计算数据IT-L的值，因此我们用下
7
第二节 季节性趋势平滑模型
这一节介绍的两个季节性平滑模型可用于预测呈线性趋 势变化并受季节因素影响的经济变量. 根据季节因素影响 经济变量的形式，我们假设两个季节性模型，一次指数平 滑法用来计算模型中的参数估计值。
一、积性季节模型型
积性季节模型模型形式为： X t (at btt)Ct t
例题
某商场某种商品的销售资料为04、05年分别是 36、38、44、39、38、41、49、40万元.用04年 据计算初始指数平滑值：
aˆ0 (36 38 44 39) / 4 39.25
bˆ0 [(38 36) (44 38) (39 44)]/3 1
Cˆ01 36/ 39.25 0.917 Cˆ02 38/ 39.25 0.968
解决这个问题的办法之一,是对时序数据进行处理：把季
节波动因素同变量的水平变化过程分开,使处理后的序列数
据只反应水平变化过程,然后用一次指数平滑法进行预测。
ST
XT I TL
(1 )ST 1
L是季节波动的周期长度(例如月数或季数)；I 是季节调节因子，它
可以是季节比率,或季节指数，IT-L是只反应季节波动的数据. 如果用 IT-L去除对应时期的原时间序列数据, 其结果就是只反应水平化过程
第四章 时季节性指数平滑法法
含有季节变动的时序，用数学方法拟合其演变规
律并进行预测是相当复杂的. 但, 如果我们能够设法
从时序中分离出长期趋势, 并找出季节变动的规律,
将二者结合起来预测.就可以使问题得到简化, 也能
够达到预测精度的要求。
基于这种设想，季节变动预测法方的基本思路是
首先找到描述整个时序总体发展趋势的数学模型即
当得到06年一季度销售量的实际数据X1为36.5万件时,设 0.3 由 ST XT / STL (1)ST1 ,可计算出新的指数平滑值S1
S1 0.336.5/ 0.897 / ST (1 )ITL
可计算出06年第一季度的季节性比率I1:
长期趋势。
10
对预测方程 bˆT (aˆT aˆT1) (1 )bˆT1
量是bˆ合T是理对的趋，势但增由量于的随估机计干。扰用因差素值的aˆ存T 在aˆT，1 还表应示该趋对势这的个增