1.1.3 菱形的性质与判定(三)
☆重大发现：菱形的面积等于其对角线乘积的一半.
点拨提升
1.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分 ABCD是菱形吗？为什么？
点拨提升
2.如图你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱 形，使∠A成为菱形一个内角吗？
4. 已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点， 且BE=BF， 求证：(1)△ADE≌CDF； (2) ∠DEF=∠DFE.
课堂小结
1.通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？ 2.请从以下三个方面进行总结： 知识收获、方法收获、关注问题。 3.总结完成后请小组内进行交流。
检测训练
1.如图所示，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角 线BD长10cm，则∠ABC= °，AC= cm. 2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点 O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积 是 cm²．
3.已知，如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分 别是AB、CD、AC、BD的中点，四边形EGFH是（ ） A.矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.正方形
☆回忆：菱形有哪些判定？
合作探究
1.典型例题： 如图，四边形ABCD是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD长为10cm. 求：(1)对角线AC的长度； (2)菱形ABCD的面积.
☆思路启迪：菱形的对写过程)
☆思考：菱形面积是如何 求出的？
合作探究
变式训练 1、如图所示，四边形ABCD是菱形， 其中对角线BD=12cm，AC=16cm. 求：(1)菱形的边长； (2)求菱形一条边上的高. 答案:(1)10cm,(2)9.6cm ☆思考：求菱形面积的方法有几种？
2、已知菱形的周长为40，一条对角线长为16，则这个菱形的面 积是 96 .
合作探究
作业
1.必做题：课本p27知识技能第1、3、4题 2.选做题：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交 于点F．当AB与AC具有什么位置关系时，四边形 AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的 面积．
谢谢大家！
第一章
第1节
特殊平行四边形
菱形的性质与判定（三）
自主学习
1.如图所示：在菱形ABCD中，AB=6， (1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？ (2)对角线AC与BD有什么位置关系？ (3)若∠ADC=120°，求AC的长。
答案：
(1)6
(2)垂直平分 (3) 6 3
☆回忆：菱形有哪些性质？
2. 如图所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形： 添加方式1： 一组邻边相等 . 添加方式2： AC⊥BD .
新版北师大版-1.1.3菱形的性质与判定
1.1菱形的性质和判定（3）
初三备课组
学习目标（1分钟）
能综合运用菱形的性质和判定解决有关菱 形的解答题或证明题。
复习回顾：（3分钟） 菱形的性质： 菱形具备 平行四边形 的所有性质； 菱形的四条边 相等 ； 菱形的对角线互相 垂直 平分 ； 菱形的对角线平分 每一组对角 。 菱形的判定： 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线 互相垂 的 平行四边形是菱形； 直 四边相等 的四边形是菱形。
4.证明： 点E，F，G，H分别是 AB，CD，AC，BD的中点 FG、HE、FH、GE分别是 ACD、ABD、BCD、ABC的中位线 1 1 1 1 FG = AD，HE= AD，FH= BC，GE= BC 2 2 2 2 AD=BC FG=HE=FH=GE 四边形EGFH是菱形
自学指导1:（7分钟）
自学P8例3，然后完成随堂练习第1题。
1.解：依题意，如右图所示： 其中C菱形ABCD =40cm，BD=10cm
(）在菱形 2)连接AC ，交BD 于点 O （1 ABCD 中，有 AB=BC=CD=பைடு நூலகம்A ， 在菱形 中， AC BD ∠A= ∠C，ABCD ∠ABC= ∠ADC ， ∠A+∠ABC=180 ° 1 =40cm ∵C ∴AB=AD=10cm 菱形 ABCD BO BD 5cm，AC 2AO
2
2
在Rt AOB中，AB OA OB 10
2 2
1 S菱形ABCD AB DH AC BD 2 1 10 DH 16 12 2 48 DH 5
自学指导2:（5分钟）
按照以下思路，思考P8“做一做” ：
1.四边形ABCD的对边有什么关系？
1.1 菱形的性质与判定(三)
☆回忆：菱形有哪些判定？
二、知识应用 1.典型例题： 如图，四边形ABCD是边长 为13cm的菱形，其中对角线 BD长为10cm. 求：(1)对角线AC的长度； (2)菱形ABCD的面积.
三、拓展提高 1.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一 起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？
三、拓展提高 2.如图你能用一张锐角三角形纸片 ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形 一个内角吗？
1)折出∠A的平分线AD, 交BC于D, 2)把点A折到点D上,折痕EF,E在AB上,F在AC上, 则四边形AEDF是菱形. 证明：由第一次折叠知：∠1=∠2, 由第二次折叠知： AE=DE,AF=DF,EF⊥AO, ∴∠AOE=∠AOF=90°, 又AO=AO, ∴ΔAOE≌ΔAOF, ∴AE=AF, ∴AE=AF=DE=DF, ∴四边形AEDF是菱形.
F
☆思考：求菱形面积的方法有几种？ ☆智力加速1：已知菱形的周长为40，一条 对角线长为16，则这个菱形的面积是 .
二、知识应用
3.方法启迪 (1)同学们在我们刚才完成的例 题及变式训练中你有什么方法 感悟或者经验？ (2)求菱形面积的方法有几种？ ☆重大发现：菱形的面积等于其对角线乘积 的一半. ☆智力加速1答案：96.
☆思路启迪:菱形的对角线有什么特点?
二、知识应用 1.典型例题 (☆规范书写过程)
☆思考：菱形面 积是如何求出的？
二、知识应用
2.变式训练 如图所示，四边形ABCD是菱 形，其中对角线BD=12cm， AC=16cm. 求：(1)菱形的边长； (2)求菱形一条边上的高. 答案:(1)10cm (2)9.6cm
1.1.3 菱形的性质与判定(第三课时)
图3
一 菱形的面积
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四 边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗?
A
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
B
D
=BC·AE.
E
C 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直, 那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD 交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
第一章 特殊平行四边形
1. 菱形的性质与判定（第3课时）
学习目标
1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一 些相关问题,并掌握菱形面积的求法.(重点、难点)
2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会 数形结合、转化等思想方法.
填空：
1．菱形是 轴对称 图形也是 中心对称 图形． 2．菱形的四条边都 相等 ． 3．菱形的两条对角线互相 垂直且平分 ．
4. 如图9，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠BAC=60°，
BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D，E，点F在
B
DE的延长线上，且AF=CE.
求证：四边形ACEF是菱形.
D
证明：∵ DE垂直平分BC，∴ BE=CE，∴∠B=∠BCE.
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠B+∠BAC=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
图5
重叠的部分ABCD是菱形. 首先要根据纸条的两边长互相平 行说明四边形ABCD是平行四边形；然后由纸条等宽说明两条邻 边上的高相等，进而利用平行四边形的面积说明两邻边相等.
随堂练习
1. 如图6所示，菱形ABCD的周长为40 cm，它的一条对角线BD长为
1.1(3)菱形的性质、判定与其他知识的综合(教案)
1.教学重点
（1）菱形的定义及其性质：理解菱形的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分、对角线长度相等、对边平行且相等的基本性质。
举例：通过绘制具体的菱形图形，让学生观察并总结出菱形的上述性质。
（2）菱形的判定方法：熟练掌握三种判定菱形的方法，并能灵活运用。
举例：提供不同类型的四边形图形，让学生判断哪些是菱形，并说明判定依据。
1.提高几何直观：让学生通过观察、操作、探索等实践活动，把握菱形的特征，理解菱形与平行四边形、三角形之间的关系，形成直观的几何认识。
2.强化逻辑推理：引导学生运用定义、定理进行严密的逻辑推理，学会运用不同的判定方法识别菱形，提高学生的逻辑思维能力和几何证明能力。
3.增强问题解决能力：培养学生将菱形知识与其他几何知识相结合，解决实际问题的能力，提高学生对几何知识的综合运用和创新能力。通过本节课的学习，使学生能够在实际问题中运用菱形相关知识，形成系统、全面的几何知识体系。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了菱形的基本概念、性质、判定方法及其在实际生活中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对菱形知识的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的过程较为顺利，大家积极参与，热烈讨论。但在实验操作中，部分学生对于菱形对角线垂直平分性质的演示不够熟练，需要我在一旁进行指导。这也提醒我，在今后的教学中，应增加学生动手操作的机会，提高他们的实践能力。
学生小组讨论环节，大家围绕菱形在实际生活中的应用展开了热烈的讨论。我在一旁引导学生思考，帮助他们发现问题和解决问题。从成果分享来看，学生们对于菱形的应用有了更深入的理解，但部分学生的观点仍需进一步提炼和拓展。
：1.1-菱形的性质与判定(三)(精品教案设计)
主备人：审核人: 授课人:课题菱形的性质与判定(三) 课时第 3 课时总课时教学目标1. 能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。
2. 经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。
3. 在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。
重点难点重点:掌握菱形的性质与判定定理,以及面积计算方法. 难点:灵活运用数学知识解决实际问题,增强运用意识教学方法练习提高法主要教学过程备注一、自学检测1. 回忆菱形的定义、性质定理与判定定理.2. 如图1所示：在菱形ABCD中，AB=6，请回答下列问题：(1)其余三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？(2)对角线AC与BD有什么位置关系？(3)若∠ADC=120°，求AC的长。
3. 在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：添加方式1： .添加方式2： .二、合作探究，展示点拨1.例题讲解：小组的3号回答第1个问题，2号回答第2个问题，1号回答第3个问题通过一些简单题目的设计，帮助学生回顾菱形的相关性质及判定方法1. 课本8页例32.变式训练：如上图，四边形ABCD 是菱形，其中对角线BD 长为12cm ，AC 长为16cm.求：(1)菱形的边长；(2)求菱形一条边上的高。
目的：变式训练的设计，是想让学生更加深入地掌握菱形的相关性质，同时对于第二问，学生必须灵活运用菱形的面积等于对角线乘积的一半，这一结论求出面积进而求出一边上的高。
3.如图4，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD 是菱形吗？为什么？ 三、拓展延伸1.如图所示，菱形ABCD 的周长为40cm ，它的一条对角线BD 长10cm ，则∠ABC= °，AC= cm.（A,B,C 类必做） 2.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC=4cm ，BD=8cm ，则这个菱形的面积是 cm 2．（A,B,C 类必做）3. 已知：如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 和BC 上的点，且BE=BF ，求证：(1)△ADE ≌CDF ； (2) ∠DEF=∠DFE.（A 必做，B,C 类选做）四、课堂小结五、布置作业 知识技能1.3六：教学后记：通过例3让学生对菱形的相关性质进行灵活应用，同时学生对于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路。
1.3菱形的性质和判定
课题 1.3；菱形的性质和判定一、课前预习（一）明确目标1、能够掌握菱形的判定定理的证明并会灵活运用。
2、逐步学会分析和综合的思考方法，培养演绎推理的能力。
（二）预习内容1．证明：菱形的4条边都相等如图：已知__________________________________________________________________ 求证：__________________________________ 图形：画在下面2．证明：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角如图：已知__________________________________________________________________ 求证：__________________________________ 图形：画在下面（二）尝试解决已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，请判断四边形AEDF的形状，并说明理由。
二、 变式、提升已知：如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD ． 求证：四边形OCED 是菱形； ．变式训练 已知：如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）若AB =6，BC =8，求四边形OCED 的面积．（2）若∠ACB ＝30 ，菱形OCED 的面积为83，求AC 的长．三、例题精讲例1、已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边CD 、BA分别相交于点E 、F 。
求证：四边形AFCE 是菱形。
FECBADO例2．如图所示，将宽度为1的两张纸条交叉重叠在一起，得到重叠部分为四边形ABCD ，四边形ABCD 为菱形吗？为什么？例3已知：如图，在A B C D 中，AE 是BC 边上的高，将A B E △沿B C 方向平移，使点E 与点C 重合，得G F C △．（1）求证：BE D G =；（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系 时，四边形A B F G 是菱形？证明你的结论．随堂检测1. 两个完全相同的矩形纸片A B C D 、BFD E 如图7放置，A B B F =，求证：四边形BN D M为菱形．A DG CBFECD EM AB FN2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE•垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF为菱形。
北师大版九年级数学上册第1章1.1菱形的性质与判定(3)优秀教学案例
3.鼓励学生提出问题，培养学生的批判性思维和探究精神。
（四）总结归纳
1.引导学生总结菱形的性质和判定方法，加深学生对菱形知识的理解。
2.学生通过自我评价、同伴评价和教师的评价，全面了解自己的学习成果和进步。
3.教师根据学生的表现，及时给予反馈和指导，帮助学生提高学习能力，达到学习目标。
1.引导学生观察菱形的图形，发现菱形的性质，如四条边相等、对角线互相垂直平分等。
2.通过几何画板或实物模型，演示菱形的性质，让学生直观地理解菱形的特征。
3.引导学生探究菱形的判定方法，如对角线互相垂直平分且四条边相等的四边形是菱形。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的数学问题，让学生在小组内进行讨论和探究，如计算菱形的面积、证明菱形的性质等。
（五）作业小结
1.设计具有针对性的作业，让学生巩固所学知识，提高学生的应用能力。
2.学生完成作业后，进行自我检查和反思，发现自己的优点和不足，制定改进的措施。
3.教师对学生的作业进行批改和评价，及时了解学生的学习情况，为下一步的教学提供参考。
在教学过程中，我注重启发学生思考，引导学生发现知识之间的联系，培养学生独立思考和合作交流的能力。同时，我运用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，增强学生的直观感受，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高学生的学习效果。通过本节课的学习，学生不仅能够掌握菱形的性质和判定方法，还能够培养自己的几何直观能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
五、案例亮点
1.生活情境导入：通过展示实物和图片，让学生直观地感受到菱形的实际应用，激发了学生的学习兴趣，增强了学生的学习动力。这种生活情境的导入方式，使学生能够更好地理解菱形的实际意义，为后续的学习打下了坚实的基础。
1.1.3菱形的性质和判定(3)
五、课堂小结
• 1.通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？ • 2.请从以下三个方面进行总结： • 知识收获、方法收获、关注问题。 • 3.总结完成后请小组内进行交流。
四、效果检测 • 1.如图所示，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对 角线BD长10cm，则∠ABC= °，AC= cm. • 2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于 点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积 是 cm²． •
强化练习
• 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为BCB与 AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说 明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
☆回忆：菱形有哪些判定？
二、知识应用
• 1.典型例题： • 如图，四边形ABCD是边长为13cm • 的菱形，其中对角线BD长为10cm. • 求：(1)对角线AC的长度； • (2)菱形ABCD的面积.
二、知识应用
• • • • • 2.变式训练 如图所示，四边形ABCD是菱形， 其中对角线BD=12cm，AC=16cm. 求：(1)菱形的边长； (2)求菱形一条边上的高.
第一章
特殊平行四边形
菱形的性质与判定（3）
一、知识回顾
•1.如图所示：在菱形ABCD中，AB=6， •(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？ •(2)对角线AC与BD有什么位置关系？ •(3)若∠ADC=120°，求AC的长。
☆回忆：菱形有哪些性质？
一、知识回顾
• 2. 如图所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱 形： • 添加方式1： . • 添加方式2： .
1.1.3菱形形的性质与判定(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与菱形相关的实际问题，如如何判断一个四边形是否为菱形。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺、量角器等工具测量菱形的对角线、角度等，以验证菱形的性质。
举例：引导学生通过画图、分析，菱形判定的应用：学生需学会在实际问题中，运用菱形的判定方法来判断一个四边形是否为菱形。
举例：针对具体问题，指导学生如何运用判定方法，如遇到四边相等的四边形时，能够迅速判断出它是一个菱形。
（3）综合运用菱形性质与判定解决实际问题：培养学生将所学知识运用于解决实际问题的能力，提高学生的应用能力。
1.理论介绍：首先，我们要了解菱形的基本概念。菱形是四条边相等的四边形，其对角线互相垂直且平分，具有独特的性质和应用。它在几何图形、建筑设计等领域具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析菱形在实际中的应用，如菱形图案的设计、建筑结构中的菱形元素等，了解菱形如何帮助我们解决问题。
举例：通过设置一些综合性的例题和练习题，让学生学会将菱形的性质和判定方法灵活运用到几何图形的求解、证明等过程中。
在教学过程中，教师要针对重点和难点内容进行有针对性的讲解和强调，通过实例分析、解题演示等方式，帮助学生透彻理解菱形的性质与判定方法，提高学生的几何素养。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
举例：强调在解题过程中，要善于运用菱形的性质，如求解菱形对角线长度、角度等问题。
（2）菱形的判定：学生需掌握三种判定方法，并能灵活运用。
北师大九上数学菱形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)
1.1菱形的性质和判定【菱形的性质】1．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形 .温馨提示：①菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等；②菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形；③菱形的定义既提供了菱形的基本性质,也提供了基本判定方法。
2.菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的所有性质.（2）菱形的四条边都相等.（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.（4）菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴.菱形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.菱形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC ，OB = OD．菱形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠ADC=∠ABC．∠DAB=∠DCB∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4，∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8．菱形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想).温馨提示：①菱形具有平行四边形的一切性质；②“菱形的对角线互相垂直”这一性质可用来证明两条线段互相垂直,“菱形的每一条对角线平分一组对角”这一性质可用来证明角相等；③菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形。
1、下列四边形中不一定为菱形的是（）A. 对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边形C. 对角线互相垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形2.如图,菱形的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是。
3.菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（）A. 28、48B.20、24C.28、24D.20、484.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（）A. 5B. 10C. 15D. 205.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为( )A. 2B. 2C. 4D. 4第2题第3题第4题第5题6.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．7.如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．8.如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．【菱形的判定】1. 菱形的判定定理（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .（3）四边相等的四边形是菱形 .①证明一个四边形是菱形,一般情况下,先证明它是一个平行四边形,然后要么证明“一组邻边相等”,要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形,只要证明“四条边相等”即可；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。