最新2020-2021年高考数学模拟试题(一)

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2020-2021学年高考数学文科模拟试题一及答案解析

最新高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1} D．A⊆B2．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）A．+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．C．3 D．15．已知=（﹣3，2），=（﹣1，0），向量λ+与﹣2垂直，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（）A．n＞4？B．n＞5？C．n＞6？D．n＞7？7．函数f（x）=x﹣sinx的图象是（）A．B．C．D．8．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（）A．，2 B．，4 C．，2 D．，410．已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（）A．B．4πC．2πD．11．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值是（）A．1 B．C．D．12．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（）A．[12，+∞] B．[0，3] C．[3，12] D．[0，12]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元）．x 2 4 5 6 8y 30 40 60 t 70根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为．14．过原点的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为．15．已知函数f（x）=（x∈R），正项等比数列{a n}满足a50=1，则f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）等于．16．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是（写出正确命题的编号）．①总存在某内角α，使cosα≥；②若AsinB＞BsinA，则B＞A；③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；④若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若f（）=2，边AC=1，AB=2，求边BC的长及sinB的值．18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？0.100 0.050 0.010 0.001P（K2≥k0）2.7063.841 6.635 10.828k0附：K2=．19．如图甲，圆O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点B到平面ACD的距离；（2）如图：若∠DOB的平分线交于一点G，试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k（k≠0））的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3 于M，N两点，线段MN的中点为P．记直线PB的斜率为k′，求证：k•k′为定值．21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，e]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0的距离的最小值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1} D．A⊆B【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C2．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）A．+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由图形可得：z1=﹣2﹣i，z2=i．再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：由图形可得：z1=﹣2﹣i，z2=i．∴====﹣﹣i，故选：C．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D4．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．C．3 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到点D（0，1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，3），此时的最大值为，故选：A．5．已知=（﹣3，2），=（﹣1，0），向量λ+与﹣2垂直，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出λ的值即可．【解答】解：∵=（﹣3，2），=（﹣1，0），∴=13，=1，•=3；又向量λ+与﹣2垂直，∴（λ+）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）•﹣2=0，即13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ=﹣．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（）A．n＞4？B．n＞5？C．n＞6？D．n＞7？【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次得到s，n的值，当n=5时，由题意满足条件，退出循环，输出s的值为98，从而可得判断框内可填入的条件．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：s=0，n=1执行循环体，s=2，n=2不满足条件，执行循环体，s=10，n=3不满足条件，执行循环体，s=34，n=4不满足条件，执行循环体，s=98，n=5此时，由题意，满足条件，退出循环，输出s的值为98，则判断框内可填入的条件为：n＞4？故选：A．7．函数f（x）=x﹣sinx的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据函数的奇偶性排除B，D，再根据特殊值排除C，问题得以解决．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣（x﹣sinx）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，即图象关于原点对称，排除B，D，当x=时，f（）=﹣1＜0，故排除C，故选：A8．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取BC的中点F，连接EF，AF，得到∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，由此能求出异面直线AE和PB所成角的余弦值．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，∴∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，∵△ABC为正三角形，∴∠BAC=60°．设PA=AB=2a，PA⊥平面ABC，∴，∴．∴异面直线AE和PB所成角的余弦值为．故选：B．9．已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（）A．，2 B．，4 C．，2 D．，4【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意和对数函数的性质得m＜1＜n、log4m＜0、log4n＞0，代入已知的等式由对数的运算性质化简，由f（x）的最大值和对数函数的性质列出方程，求出m、n的值．【解答】解：∵函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），∴m＜1＜n，log4m＜0，log4n＞0，则﹣log4m=log4n，∴，得mn=1，∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，∴f（x）在区间上的最大值为2，∴，则log4m=﹣1，解得，故选B．10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（）A．B．4πC．2πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出棱锥直观图，根据棱锥的结构特征和球的性质找出球心位置计算球的半径．【解答】解：根据三视图作出棱锥D﹣ABC的直观图，其中底面ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，DC⊥底面ABC，DC=，取AB中点E，过E作EH⊥底面ABC，且HE==．连结AH，则H为三棱锥外接球的球心．AH为外接球的半径．∵AE==，∴AH==1．∴棱锥外接球的体积V==．故选D．11．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值是（）A．1 B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】利用椭圆的定义，结合∵的最大值为5，可得当且仅当AB⊥x轴时，|AB|的最小值为3，由此可得结论．【解答】解：由题意：+|AB|=4a=8∵的最大值为5，∴|AB|的最小值为3当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A（﹣c，），B（﹣c，﹣）代入椭圆方程可得：∵c2=4﹣b2∴∴b=故选D．12．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（）A．[12，+∞] B．[0，3] C．[3，12] D．[0，12]【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】判断函数的奇偶性，推出不等式，利用约束条件画出可行域，然后求解数量积的范围即可．【解答】解：函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，所以f（x）为奇函数．∴f（x2﹣2x）≤f（﹣2y+y2）≤0，∴x2﹣2x≥﹣2y+y2，∴即，画出可行域如图，可得=x+2y∈[0，12]．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元）．x 2 4 5 6 8y 30 40 60 t 70根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为50 ．【考点】线性回归方程．【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，，=40+∵y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，∴40+=6.5×5+17.5∴40+=50∴=10∴t=50故答案为：50．14．过原点的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出P，M，N的坐标，根据直线斜率之间的关系建立方程关系进行求解即可．【解答】解：由双曲线的对称性知，可设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（﹣x1，﹣y1）．由，可得：，即，即，又因为P（x0，y0），M（x1，y1）均在双曲线上，所以，，所以，所以双曲线的离心率为．故答案为：．15．已知函数f（x）=（x∈R），正项等比数列{a n}满足a50=1，则f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）等于．【考点】数列的函数特性．【分析】根据等比数列的性质得到：a49•a51=a48•a52=…=a1•a99=1，所以lna49+lna51=lna48+lna52=…=lna1+lna99=0，由题知f（x）+f（﹣x）=1，得f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）里有49个1和f（lna50），而f（lna50）=代入其中得到即可．【解答】解：由f（x）=，f（﹣x）=，可知f（x）+f（﹣x）=1，∵正项等比数列{a n}满足a50=1，根据等比数列的性质得到：a49•a51=a48•a52=…=a1•a99=1，∴lna49+lna51=lna48+lna52=…=lna1+lna99=0，lna50=ln1=0且f（lna50）=f（ln1）=f（0）=，根据f（x）+f（﹣x）=1得f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）=[f（lna1）+f（lna99）]+[f（lna2）+f（lna98）]+…+[f（lna49）+f（lna51）]+f（lna50）=49+=．故答案是：．16．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是①④（写出正确命题的编号）．①总存在某内角α，使cosα≥；②若AsinB＞BsinA，则B＞A；③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；④若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对于①，可先根据三角形内角和定理判断角α的范围，从而确定cosα的值域；对于②，结合式子的特点，可构造函数y=，研究其单调性解决问题；对于③，利用内角和定理结合两角和的正切公式研究tanA+tanB+tanC的符号即可；对于④，可以利用平面向量的运算方法将给的条件转化为三边a，b，c之间的关系，然后找到最小边，利用余弦定理求其余弦值，问题可获解决．【解答】解：对于①，假设三个内角都大于60°，则三内角和必大于180°，与内角和定理矛盾，故必有一内角小于或等于60°，设为α，则cosα≥cos60°=，故①为真命题；对于②，由题意不妨令，因为，因为时，tanx＞x＞0，所以，所以xcosx﹣sinx＜0，所以f′（x）＜0，即f（x）在x上为减函数，所以题意得AsinB＞BsinA即为，则应有B＜A，故②为假命题；对于③，由题意不妨设C，则A，B皆为锐角，且tanA＞0，tanB＞0，tanC＜0．又，整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＜0，故③为假命题；对于④，由2a+b+c=得2a+b+=（2a﹣c）=，即，而不共线，所以2a﹣c=0，b﹣c=0，解得c=2a，b=2a，则a是最小边，所以A为最小角，所以cosA=，故，故④正确．故答案为①④．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若f（）=2，边AC=1，AB=2，求边BC的长及sinB的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由两角差的正弦化积，最后由周期公式求得周期；（2）由f（）=2求得角A，再由已知结合余弦定理求得BC，最后由正弦定理求得sinB的值．【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1=，∴，即函数f（x）的最小正周期为π；（2）∵，A∈（0，π），∴，则．在△ABC中，由余弦定理得，，即，∴．由正弦定理，可得．18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？0.100 0.050 0.010 0.001P（K2≥k0）2.7063.841 6.635 10.828k0附：K2=．【考点】独立性检验；频率分布直方图．【分析】（1）根据分层抽样原理计算抽取的男、女生人数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；（2）由频率分布直方图计算对应的数据，填写列联表，计算K2值，对照数表即可得出概率结论．【解答】解：（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；…从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；…故所求的概率为P==…（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…据此可得2×2列联表如下：数学尖子生非数学尖子生合计男生15 45 60女生15 25 40合计30 70 100所以得K2==≈1.79；…因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”…19．如图甲，圆O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点B到平面ACD的距离；（2）如图：若∠DOB的平分线交于一点G，试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用等体积方法求点B到平面ACD的距离；（2）BD弧上存在一点G，满足DG=GB，使得FG∥面ACD．通过中位线定理可得面FOG∥面ACD，再由性质定理，即可得到结论．【解答】解：（1）在图甲中，∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD，AC⊥BC，∵AB=2，∠DAB=，∴AD=1，BD=，∴S△ABD=AD•BD=．∵∠CAB=，∴OC⊥AB，OC=AB=1．在图乙中，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面ABD，∴V C﹣ABD==∵△ACD中，AC=，CD=，AD=1，∴S△ACD==，设点B到面ACD的距离为h，则=，∴h=∴点B到面ACD的距离为．（2）FG∥面ACD，理由如下：连结OF，则△ABC中，F，O分别为BC，AB的中点，∴FO∥AC，又∵FO⊄面ACD，AC⊂面ACD，∴FO∥面ACD，∵OG是∠DOB的平分线，且OD=OB，令OG交DB于M，则M是BD的中点，连结MF，则MF∥CD，又∵MF⊄面ACD，CD⊂面ACD，∴MF∥面ACD，且MF∩FO=F，MF，FO⊂面FOG，∴面FOG∥面ACD．又FG⊂面FOG，∴FG∥面ACD．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k（k≠0））的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3 于M，N两点，线段MN的中点为P．记直线PB的斜率为k′，求证：k•k′为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）利用椭圆的离心率计算公式，顶点A（a，0），及其a2=b2+c2即可得出a，b，c，于是得到椭圆的标准方程；（II）设直线l的方程为y=k（x﹣1）．与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系，利用直线AE，AF的方程即可得到点M，N，及中点P的坐标，再利用斜率的计算公式即可证明．【解答】解：（Ⅰ）依题得解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）根据已知可设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设E（x1，y1），F（x2，y2），则，．直线AE，AF的方程分别为：，，令x=3，则M，N，所以P．所以k•k′====．21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，e]，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，令g′（x）=0，设出方程的两根为x1，x2，得到，得到，，确定a的符号，求出g（x1）﹣g（x2）的表达式，根据函数的单调性求出其最小值即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域（0，+∞），，令f′（x）=0，得x2﹣ax+1=0，①当0＜a≤2时，△=a2﹣4≤0，此时，f′（x）≥0恒成立，所以，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；②当a＞2时，△=a2﹣4＞0，解x2﹣ax+1=0的两根为：，，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；综上得，当0＜a≤2时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间；当a＞2时，f（x）的递增区间为，，递减区间为；（2），定义域为（0，+∞），，令g′（x）=0，得x2+ax+1=0，其两根为x1，x2，且，所以，，，∴a＜0．∴=，设，x∈（0，e]，则（g（x1）﹣g（x2））min=h（x）min．∵，当x∈（0，e]时，恒有h′（x）≤0，∴h（x）在（0，e]上单调递减；∴，∴．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此==4；（2）根据切割线定理证出AB2=AD•AE，所以AC2=AD•AE，证出=，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【解答】解：（1）∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．因此△CGF∽△CDE，可得=，又∵CG=1，CD=4，∴=4；证明：（2）∵AB与⊙O的相切于点B，ADE是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AC2=AD•AE，可得=，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠ADC=∠EGF，因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0的距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）P点的极坐标为（2，），利用互化公式可得：点P的直角坐标．由，利用平方关系可得普通方程．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），对于直线l的极坐标利用互化公式可得直线l的普通方程．设，则，利用点到直线的距离公式可得点M到直线l的距离，再利用三角函数的值域即可得出．【解答】解：（1）P点的极坐标为（2，），利用互化公式可得：点P的直角坐标，由，得，∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0可得直线l的普通方程为x+2y+1=0，设，则，则点M到直线l的距离，∴点M到直线l的最小距离为．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 ＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．2016年10月16日。

江苏省2020-2021学年度第一学期新高考质量检测模拟试题高三数学试题

江苏省2020-2021学年度第一学期新高考质量检测模拟试题高三数学试题第I 卷(选择题共60分)一､单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1. 设全集为R,集合2{|0x A x x -=>B={x|x ≥1},则A ∩B 等于( ) A.{x|0<x ≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}2.复平面内表示复数622i zi +=-的点位于() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.若0.131log ,72m n ==,4log 25,p =则m,n,p 的大小关系为() A.m>p>n B.p>n>m C.p>m>n D.n>p>m4. 在公比为q 的正项等比数列{}n a 中, a 4=1,则当2a 2 + a 6取得最小值时, log 2q 等于()1111 (4488)A B C D -- 5.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E,F 分别为棱AB,1CC 的中点,在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线()A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条6.在△ABC 中,内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,且asin2B+bsinA=0,若a+c=2,则边b 的最小值为()A .B .CD 7.已知双曲线22221(0,x y a b a a -=>>0)的左､右焦点分别为1,F 2,F 过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A,若2211()0,F F F A F A +⋅=则此双曲线的标准方程可能为()2.743x y A -= 22.134x y B -= 22.1169x y C -= 22.1916x y D -=8.已知函数f(32()ln 3,()a f x x x g x x x x =++=-,若,12121,[,2],()3()0x x f x g x ∀∈-≥,则实数a 的取值范围为()A.[4,+∞)B.[3,+∞)C.[2,+∞)D.[1,+∞) 二､多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分｡全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.将函数f(x)=sin3x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数g(x)的图象,则() A.g(x)在[0,]2π上的最小值为0 B.g(x)在[0,]2π上的最小值为-1 C.g(x)在[0,]2π上的最大值为0 D.g(x)在[0,]2π上的最大值为1 10.如图所示的函数图象,对应的函数解析式不可能是()2.21x A y x =--B.y=2xsinX .ln x C y x = 2.(2)x D y x x e =-11. 已知函数122cos 2,0,()log ,()2,0a x x f x x x g x x a x +≥⎧=+=⎨+<⎩(a ∈R ),若对任意X1∈[2, +∞),总存在x 2∈R ,使f(x 1)= g(x 2),则实数a 的值可以是( )17 (22)A B C -1D.2 12.在数列{a n }中,若22*1(2,.n n a a p n n -=≥∈-N p 为常数),则称{a n }为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是()A.若{an}是等差数列,则{a n }是等方差数列 .{(1)}n B -}是等方差数列C.若{an}是等方差数列,则*}{(),kn a k ∈N k 为常数)也是等方差数列D.若{a n }既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列第II 卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.211,0()2(1),0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩, 则使f(a)=-1成立的a 的值是______.14.已知2012(1)(1)(1)(n n n x a a x a x a x n *=+++++++∈N ）对任意x ∈R 恒成立,则a 0=____;若a 4+a 5=0,则n=________.(本题第一空2分,第二空3分)15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形,则该圆柱的外接球的表面积为________.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足:a 1=1,*2212,1(),n n n a s a a n ++=+=-∈N 不等式n nS a λ>恒成立，则实数λ的取值范围是____.四､解答题(本大题共6小题,共70分)17. (10分)已知等差数列{}n a 的公差不为零，a 1=25,且a 1, a 11,13a 成等比数列.(1)求{a n }的通项公式;(2)设(1),n n n b a =-求数列{}n b 前2020项的和.18. (12分)在△ABC 中，角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, bsinB+ csin C=asin sin ).sin B c A A +（ (1)求A 的大小;(2)若,3a B π==求△ABC 的面积.19.(12分)如图,在五边形ABSCD 中,四边形ABCD 为长方形,△SBC 为边长为2的正三角形,将△SBC 沿BC 折起,使得点S 在平面ABCD.上的射影恰好在AD 上｡(1)当AB =时,证明:平面SAB ⊥平面SCD;(2)若AB=1,求平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值｡20.(12分)某工厂欲购买软件服务,有如下两种方案:方案一:软件服务公司每日收取工厂60元,对于提供的软件服务每次10元;方案二:软件服务公司每日收取工厂200元,若每日软件服务不超过15次,不另外收费,若超过15次,超过部分的软件服务每次收费标准为20元｡(1)设日收费为y 元,每天软件服务的次数为x,试写出两种方案中y 与x 的函数关系式;(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计,得到如图所示的条形图,依据该统计数据,把频率视为概率,从节约成本的角度考虑,从两个方案中选择一个,哪个方案更合适?请说明理由｡21.(12分)(2020济南模拟)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>焦距为 (1)求C 的方程;(2)若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P,Q 两点(点P,Q 均在第一象限),O 为坐标原点. 证明:直线OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列.22. (12 分)已知函数f(x)=lnx, g(x)=x -1.(1)当k 为何值时,直线y= g(x)是曲线y= kf(x)的切线;(2)若不等式:()g af x ≥在[1, e]上恒成立,求a 的取值范围.。

2020-2021学年高考数学理科一模测试题及答案解析一

最新高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、选择题（每小题5分，共60分）1．若z=，则z=（）A．﹣+i B．+i C．D．2．已知集合A={x|﹣3＜x＜2}，B={x|3x＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，1] B．（1，2）C．（﹣3，0] D．[1，2）3．若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆+y2=1的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）A．x2﹣y2=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=14．现有6个白球、4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是（）A．90 B．115 C．210 D．3855．某工厂对新研发的一种产品进行试销，得到如下数据表：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68根据如表可得线性回归方程=x+．其中=﹣20，=﹣b，那么单价定为8.3元时，可预测销售的件数为（）A．82 B．84 C．86 D．886．定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），若f（x）在区间[0，1]内单调递增，则f（﹣）、f（1）、f（）的大小关系为（）A．f（﹣）＜f（1）＜f（） B．f（1）＜f（﹣）＜f（） C．f（﹣）＜f（）＜f （1）D．f（）＜f（1）＜f（﹣）7．在等比数列{a n}中，公比q≠1，且a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，若a1+a2+a3=1，则a12+a22+…+a102=（）A．1 B．10 C．32 D．1008．执行如图所示的程序框图，则输出结果a的值为（）A．2 B．C．D．﹣19．已知函数f（x）=2sin2（ωx+）（ω＞0）在区间[，]内单调递增，则ω的最大值是（）A．B．C．D．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．2（1++）B．2（1+2+）C．4+2D．4（1+）11．已知函数f（x）=e x（x≥0），当x＜0时，f（﹣x）=4f（x）．若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣a（a＞0）有唯一零点，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（，e）C．（，e）D．（，1）12．在公差不为0的等差数列{a n}中，a2+a4=a p+a q，记+的最小值为m，若数列{b n}满足b1=m，2b n+1﹣b n b n+1=1，则b1+++…+=（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量，夹角为120°，||=5，||=2，=+λ，若⊥，则λ= ．14．若x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为．15．已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA=PB=PC=2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为．16．已知直线y=x与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆上存在点P，使得△ABP是等边三角形，则椭圆C的离心率e= ．三、解答题（共5小题，70分）17．（12分）（2016潮南区模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足acosB+bcosA=2ccosC．（1）求C；（2）若△ABC的面积为2，a+b=6，求∠ACB的角平分线CD的长度．18．（12分）（2016邯郸一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，∠CBD=∠CDB=30°，E为棱PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）若平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2，求二面角P﹣BC﹣E的余弦值．19．（12分）（2016邯郸一模）某种机器在一个工作班的8小时内，需要工作人员操控累计2个小时才能正常运行，当机器需用操控而无人操控时，机器自动暂停运行．每台机器在某一时刻是否用人操控彼此之间相互独立．（1）若在一个工作班内有4台相同机器，求在同一时刻需用人操控的平均台数．（2）若要求一人操控的所有机器正常运行的概率控制在不低于0.9的水平，且该人待工而闲的槪率小于0.6．试探讨：一人操控1台、2台、3台机器这三种工作方案中，哪种方案符合要求，并说明理由．20．（12分）（2016邯郸一模）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线l过点F 交抛物线C于A、B两点．且以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切于点N．（1）求C的方程；（2）若圆M与直线x=﹣相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．21．（12分）（2016邯郸一模）设函数f（x）=（x+a）lnx+b，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣2=0（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：＜1．选做题（请考生从22,23,24三题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选題号后的方框涂黑）22．（10分）（2016邯郸一模）如图，点A、B、D、E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE=EB=BC．（1）证明：=；（2）若DE=4，AD=8，求DF的长．【选项4-4：坐标系与参数方程】23．（2016邯郸一模）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过点P（2，﹣1）的直线l：（t为参数）与曲线C交于M、N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|PM|2+|PN|2的值．【选项4-5：不等式选讲】24．（2016邯郸一模）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|2x﹣1|．（1）当a=2时，求f（x）+3≥0的解集；（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．若z=，则z=（）A．﹣+i B．+i C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得z，再由求得答案．【解答】解：∵z==，∴z=|z|2==．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2．已知集合A={x|﹣3＜x＜2}，B={x|3x＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣3，1] B．（1，2）C．（﹣3，0] D．[1，2）【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：3x＞1=30，解得：x＞0，即B=（0，+∞），∴∁R B=（﹣∞，0]，∵A=（﹣3，2），∴A∩（∁R B）=（﹣3，0]，故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3．若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆+y2=1的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）A．x2﹣y2=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣=1【分析】求得椭圆的焦点和顶点坐标，设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得a，c，进而得到b的值，可得双曲线的方程．【解答】解：椭圆+y2=1的焦点为（±1，0）和顶点（±，0），设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得a=1，c=，b==1，可得x2﹣y2=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．4．现有6个白球、4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是（）A．90 B．115 C．210 D．385【分析】根据黑球的个数分为三类，根据根据分类计数原理可得．【解答】解：分三类，两个黑球，有C42C62=90种，三个黑球，有C43C61=24种，四个黑球，有C44=1种，根据分类计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90+24+1=115，故选：B．【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题．5．某工厂对新研发的一种产品进行试销，得到如下数据表：单价x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68根据如表可得线性回归方程=x+．其中=﹣20，=﹣b，那么单价定为8.3元时，可预测销售的件数为（）A．82 B．84 C．86 D．88【分析】根据题意，计算、，利用线性回归方程过样本的中心点，求出线性回归方程，再计算x=8.3时的值，从而得出预测结果．【解答】解：根据题意，计算=×（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5，=×（90+84+83+80+75+68）=80，线性回归方程=x+中=﹣20，=﹣b=80﹣（﹣20）×8.5=250，所以线性回归方程=﹣20x+250，当x=8.3时，=﹣20×8.3+250=84，可预测单价定为8.3元时，销售件数为84．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，也考查了利用线性回归方程进行预测的应用问题，是基础题目．6．定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），若f（x）在区间[0，1]内单调递增，则f（﹣）、f（1）、f（）的大小关系为（）A．f（﹣）＜f（1）＜f（） B．f（1）＜f（﹣）＜f（） C．f（﹣）＜f（）＜f （1）D．f（）＜f（1）＜f（﹣）【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化，结合函数单调性的性质进行比较即可得到结论．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=f（x﹣1），∴由f（x+1）=f（x﹣1），得f（x+2）=f（x），则f（﹣）=f（﹣+2）=f（），f（）=f（﹣2）=f（﹣）=f（），∵f（x）在区间[0，1]内单调递增，∴f（﹣）＜f（）＜f（1），即f（）＜f（）＜f（1），故选：C．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性，周期性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．7．在等比数列{a n}中，公比q≠1，且a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，若a1+a2+a3=1，则a12+a22+…+a102=（）A．1 B．10 C．32 D．100【分析】由题意列关于等比数列的首项和公比的方程组，求解方程组得答案．【解答】解：在等比数列{a n}中，公比q≠1，由a1+a2，a3+a4，a5+a6成等差数列，且a1+a2+a3=1，得，即：，解得．∴数列{}是常数列1，1，1，…，则a12+a22+…+a102=10．故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查方程组的解法，是基础题．8．执行如图所示的程序框图，则输出结果a的值为（）A．2 B．C．D．﹣1【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，n的值，观察规律可得a的取值以3为周期，从而有当i=2017时，不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为﹣1，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，n=1，满足条件n≤2016，a=，n=3满足条件n≤2016，a=﹣1，n=4满足条件n≤2016，a=2，n=5…观察规律可知，a的取值以3为周期，由2016=672×3，从而有：满足条件n≤2016，a=，n=2016满足条件n≤2016，a=﹣1，n=2017不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为﹣1．故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基本知识的考查．9．已知函数f（x）=2sin2（ωx+）（ω＞0）在区间[，]内单调递增，则ω的最大值是（）A．B．C．D．【分析】由条件利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性求得ω的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=2sin2（ωx+）=2=1﹣cos（2ωx+）（ω＞0）在区间[，]内单调递增，故y=cos（2ωx+）在区间[，]内单调递减，∴2ω+≤π，∴ω≤，故选：C．【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，余弦函数的单调性，属于基础题．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．2（1++）B．2（1+2+）C．4+2D．4（1+）【分析】根据三视图知几何体是三棱锥P﹣ABC是棱长为2的正方体一部分，由正方形的性质求棱长、判断位置关系，由三角形的面积公式求出该四面体的表面积．【解答】解：根据三视图知几何体是三棱锥P﹣ABC是棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：由正方体的性质可得，PC=PA=AC=2，PB=，∴BC⊥PC，AB⊥PA，∴该四面体的表面积：S=+=2（1+2+），故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图冰借助于正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．11．已知函数f（x）=e x（x≥0），当x＜0时，f（﹣x）=4f（x）．若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣a（a＞0）有唯一零点，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（，e）C．（，e）D．（，1）【分析】由题意得，y=f（x）与y=ax+a（a＞0）有唯一交点．由f'（x）=e x（x≥0），得切线方程为y﹣e m=e m（x﹣m），由此能求出结果．【解答】解：由题意得，∵函数g（x）=f（x）﹣ax﹣a（a＞0）有唯一零点，∴y=f（x）与y=ax+a（a＞0）有唯一交点．由图可得a1＜a＜a2，由题意得，，∵f'（x）=e x（x≥0），设切点横坐标为m，∴切线斜率k=f'（m）=e m=a2，切线方程为y﹣e m=e m（x﹣m），且过点（﹣1，0）解得m=0，∴，∴．故选：D．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和数形结合思想的合理运用．12．在公差不为0的等差数列{a n}中，a2+a4=a p+a q，记+的最小值为m，若数列{b n}满足b1=m，2b n+1﹣b n b n+1=1，则b1+++…+=（）A．B．C．D．【分析】根据题意，求出+的最小值m，从而求出b1与通项公式b n，再求出以及b1+++…+的值．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a4=a p+a q得，p+q=6，因为+=（+）（p+q）=（1+9++）=+（+）≥+2=，当且仅当q=3p时取得最小值，此时p=，q=（不合题意，舍去）；应取p=2，q=4，此时+取得最小值是，所以m=，b1=；又由2b n+1﹣b n b n+1=1，可归纳出b n=，所以=；所以b1+++…+=+++…+=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与数列求和的应用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是综合性题目．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量，夹角为120°，||=5，||=2，=+λ，若⊥，则λ= ．【分析】根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论．【解答】解：∵向量，夹角为120°，||=5，||=2，∴=||||cos120°=5×2×（﹣）=﹣5，∵=+λ，⊥，∴（+λ）=（+λ）（﹣）=0，即﹣+λ﹣λ=0，∴﹣5﹣25+4λ+5λ=0解得λ=，故答案为：．【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，利用向量垂直和数量积之间的关系是解决本题的关键．14．若x，y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值为 5 ．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合z=x2+y2的几何意义求出其最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（2，1），z=x2+y2的几何意义表示平面区域内的点到原点的距离的平方，故z=z=x2+y2=4+1=5，故答案为：5．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15．已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，PA=PB=PC=2，当三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为12π．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P﹣ABC的三个侧面的面积之和最大，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：由题意三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，三棱锥P﹣ABC 的三个侧面的面积之和最大，三棱锥P﹣ABC的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长：2所以球的直径是2，半径为，球的表面积：4π×=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．16．已知直线y=x与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，若椭圆上存在点P，使得△ABP是等边三角形，则椭圆C的离心率e= ．【分析】联立直线y=x和椭圆方程，求得A，B的坐标，以及|OA|2，将直线OP方程为，代入椭圆方程，求得P的坐标及|OP|2，再由|OP|2=3|OA|2，结合离心率公式，可得e．【解答】解：因为，所以；由题设直线OP方程为，所以，所以，所以．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的对称性和等边三角形的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，70分）17．（12分）（2016潮南区模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足acosB+bcosA=2ccosC．（1）求C；（2）若△ABC的面积为2，a+b=6，求∠ACB的角平分线CD的长度．【分析】（I）根据正弦定理将边化角，化简得出cosC；（II）根据三角形的面积公式列方程解出CD．【解答】解：（Ⅰ）∵acosB+bcosA=2ccosC，∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，因为0＜C＜π，所以，故；（Ⅱ）在△ABC中，∵CD平分∠ACB，∴．∵S△ABC=S△ACD+S△BCD，∴2=a+=（a+b）CDsin．解得．【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．18．（12分）（2016邯郸一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，∠CBD=∠CDB=30°，E为棱PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）若平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB=2，求二面角P﹣BC﹣E的余弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接EF、DF，则EF∥PB，由∠CBD=∠FDB=30°，得DF∥BC，从而平面DEF∥平面PBC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）连接DF，分别取FB，FD，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣E的余弦值．【解答】证明：（1）取AB中点F，连接EF、DF，…（1分）∵E为棱PA的中点，∴EF∥PB，∵∠CBD=∠FDB=30°∴DF∥BC∵EF、DF⊂平面DEF，PB、BC⊂平面PBC∴平面DEF∥平面PBC，…（4分）∵DE⊂平面DEF，∴DE∥平面PBC．…（6分）解：（2）∵PA=PB=2，∴PF⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，∴PF⊥平面ABCD，且PF=1，连接DF，分别取FB，FD，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．…（7分）则点，B（，0，0），，D（0，3，0），P（0，0，1），E（﹣，0，），…（8分）设平面BCP的法向量为则，∴，即，∴y=0，x=1，即…（10分）设平面BCE的法向量为，，则，∴，∴…（11分）∴cos＜＞==，∴二面角P﹣BC﹣E的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2016邯郸一模）某种机器在一个工作班的8小时内，需要工作人员操控累计2个小时才能正常运行，当机器需用操控而无人操控时，机器自动暂停运行．每台机器在某一时刻是否用人操控彼此之间相互独立．（1）若在一个工作班内有4台相同机器，求在同一时刻需用人操控的平均台数．（2）若要求一人操控的所有机器正常运行的概率控制在不低于0.9的水平，且该人待工而闲的槪率小于0.6．试探讨：一人操控1台、2台、3台机器这三种工作方案中，哪种方案符合要求，并说明理由．【分析】（Ⅰ）用X表示四台机器在同一时刻需用人操控的台数，则X服从二项分布B（4，），由此能求出在同一时刻需用人操控的平均台数．（Ⅱ）设X表示n台机器在同一时刻需用人操控的台数，当n=1时，X服从两点分布；当n=2时，P（X）=，k=0，1，2；当n=3时，，k=0，1，2，3．由此得到一个工作人员操控2台机器符合要求．【解答】解：（Ⅰ）用X表示四台机器在同一时刻需用人操控的台数，则X服从二项分布：，k=0，1，2，3，4，∴在同一时刻需用人操控的平均台数EX==1．…．（4分）（Ⅱ）设X表示n台机器在同一时刻需用人操控的台数．①当n=1时，X服从两点分布：X 0 1P此时，一人操控1台机器，工作人员能够及时操控机器，不会出现机器等待操控的情形，但工作人员待工而闲的概率为＞0.60．…（6分）②当n=2时，P（X）=，k=0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=（）2=，即X的分布列为：X 0 1 2P此时，一人操控2台机器，在同一时刻需要操控2台机器的概率为，故一人操控的2台机器正常运行的概率为．工作人员待工而闲的概率为（）2=0.526＜0.60．…．（8分）③当n=3时，，k=0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=（）3=，即X的分布列为：X 0 1 2 3P此时，一人操控3台机器，出现机器等待工作人员操控而不能正常运行的概率为：3×（）2×+（）3=，故一人操控的3台机器正常运行的概率为．工作人员待工而闲的概率为（）3==0.421875＜0.60．…（10分）综上所述，一个工作人员操控2台机器符合要求．…．（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．20．（12分）（2016邯郸一模）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线l过点F 交抛物线C于A、B两点．且以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切于点N．（1）求C的方程；（2）若圆M与直线x=﹣相切于点Q，求直线l的方程和圆M的方程．【分析】（1）利用梯形的中位线定理和抛物线的性质列出方程解出p即可；（2）设l斜率为k，联立方程组解出AB的中点即M的坐标，根据切线的性质列方程解出k 即可得出l的方程和圆的圆心与半径．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=y1+y2+p，又∵以AB为直径的圆M与直线y=﹣1相切，∴|AB|=y1+y2+2，故p=2，∴抛物线C的方程为x2=4y．（2）设直线l的方程为y=kx+1，代入x2=4y中，化简整理得x2﹣4kx﹣4=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4，∴，∴圆心的坐标为M（2k，2k2+1），∵圆M与直线相切于点Q，∴|MQ|=|MN|，∴，解得，此时直线l的方程为，即x﹣2y+2=0，圆心，半径，∴圆M的方程为．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，切线的性质，属于中档题．21．（12分）（2016邯郸一模）设函数f（x）=（x+a）lnx+b，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣2=0（1）求y=f（x）的解析式；（2）证明：＜1．【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立方程关系即可求y=f（x）的解析式；（2）将不等式进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和极值即可证明：＜1．【解答】解：（1）因为，所以f′（1）=1+a=﹣1，所以a=﹣2又点（1，f（1））在切线x+y﹣2=0上，所以1+b﹣2=0，所以b=1所以y=f（x）的解析式为f（x）=（x﹣2）lnx+1．…．（4分）（2）令g（x）=x﹣e x，（x＞0）因为g′（x）=1﹣e x所以当x＞0时，g′（x）＜0所以g（x）在区间（0，+∞）内单调递减，所以g（x）＜g（0）=﹣1＜0所以等价于f（x）﹣1＞g（x）．…．（6分）我们如果能够证明f（x）﹣1＞﹣1，即f（x）＞0即可证明目标成立．下面证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0．由（1）知，令则，所以h（x）在（0，+∞）内单调递增，又h（1）=﹣1＜0，h（2）=ln2＞0，所以存在x0∈（1，2）使得h（x0）=0．当0＜x＜x0时，h（x）＜0即f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当x＞x0时，h（x）＞0即f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；所以f（x）≥f（x0）=（x0﹣2）lnx0+1．由f′（x0）=0得所以f（x）≥f（x0）=（x0﹣2）lnx0+1=（x0﹣2）（﹣1）+1=5﹣（x0+）．令，则r′（x）=1﹣=＜0所以r（x）在区间（1，2）内单调递减，所以r（x）＜r（1）=5所以f（x）＞5﹣（x+）＞5﹣5=0．综上，对任意x∈（0，+∞），．…．（12分）【点评】本题主要考查导数的综合应用，利用导数的几何意义以及构造函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．选做题（请考生从22,23,24三题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选題号后的方框涂黑）22．（10分）（2016邯郸一模）如图，点A、B、D、E在⊙O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE=EB=BC．（1）证明：=；（2）若DE=4，AD=8，求DF的长．【分析】（1）证明∠BAD=∠EAD，即可证明：=；（2）证明△EAD∽△FED，利用比例关系求DF的长．【解答】（1）证明：∵EB=BC∴∠C=∠BEC∵∠BED=∠BAD∴∠C=∠BED=∠BAD…（2分）∵∠EBA=∠C+∠BEC=2∠C，AE=EB∴∠EAB=∠EBA=2∠C，又∠C=∠BAD∴∠EAD=∠C∴∠BAD=∠EAD…（4分）∴．…（5分）（2）解：由（1）知∠EAD=∠C=∠FED，又∠EDA=∠EDA∴△EAD∽△FED…（8分）∴又∵DE=4，AD=8，∴DF=2．…（10分）【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，考查等角对等弧，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选项4-4：坐标系与参数方程】23．（2016邯郸一模）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2cosθ，过点P（2，﹣1）的直线l：（t为参数）与曲线C交于M、N两点．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求|PM|2+|PN|2的值．【分析】（1）由ρsin2θ=2cosθ得ρ2sin2θ=2ρcosθ，把，代入即可得出直角坐标方程．根据（t为参数），消去t得普通方程．（2）将直线l的参数方程化为（t为参数）代入y2=2x中，整理得．由参数的几何意义，可知：|PM|2+|PN|2==﹣4t1t2即可得出．【解答】解：（1）由ρsin2θ=2cosθ得ρ2sin2θ=2ρcosθ，∵，∴y2=2x；根据（t为参数），消去t得，x﹣y﹣3=0，故曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2=2x，x﹣y﹣3=0．（2）将直线l的参数方程化为（t为参数）代入y2=2x中，整理得．设t1，t2是该方程的两根，则，由参数的几何意义，可知．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选项4-5：不等式选讲】24．（2016邯郸一模）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|2x﹣1|．（1）当a=2时，求f（x）+3≥0的解集；（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）问题转化为解关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）根据x的范围，去掉绝对值号，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）当a=2时，由f（x）≥﹣3，可得|x﹣2|﹣|2x﹣1|≥﹣3，①或②或③，解①得；解②得；解③得x=2，综上所述，不等式的解集为{x|﹣4≤x≤2}；（2）若当x∈[1，3]时，f（x）≤3成立，即|x﹣a|≤3+|2x﹣1|=2x+2，故﹣2x﹣2≤x﹣a≤2x+2，即：﹣3x﹣2≤﹣a≤x+2，∴﹣x﹣2≤a≤3x+2对x∈[1，3]时成立，∴a∈[﹣3，5]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。

2020-2021学年数学理科高考模拟密卷及答案解析

最新高考数学（理）密卷第I 卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数12i34iz -=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数的虚部是() A.25i - B.25i C.25- D. 252．设集合{}2320A x x x =-+≤，{}21x B y y ==+，则A B = () A.[]1,2 B.(]1,2 C. ()1,+∞ D. [)2,+∞3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A ．3.24.0ˆ+=x yB ．4.22ˆ-=x yC ．5.92ˆ+-=x yD ．4.43.0ˆ+-=x y 4．已知命题:p 对任意R x ∈，总有112x x -++>；命题:q 2x >是1x >的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是 () A.p q ∧ B.p q ⌝∧⌝ C. p q ⌝∧ D. p q ∧⌝5．下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是() A.()sin f x x = B.()3f x x = C. ()12x f x =D. ()3x f x = 6．已知圆C 的方程为x 2+y 2-2x=0，若以直线y=kx -2上任意一点为圆心，以l 为半径的圆与圆C 没有公共点，则k 的整数值是() A ．-l B ．0C ．1D ．2 7．函数2sin 2xy x =-的图象大致是()8.已知点P(x ，y)的坐标满足条件2144x y x y x y a -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，当2z x y =-+取得最大值为1时，那么x 2＋y 2的最小值为( )A ．22B ．12C ．1D ．29．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法种数为( )A ．12B ．15C ．18D ．2110．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，若双曲线右支上存在点P使得1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该双曲线离心率的取值范围为( )21-) B ．(21-，1) C ．(1，A ．(0，21+)D ．(21+，+∞)第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________．12.执行如图所示的程序框图，若输入x ＝0.1，则输出的m 的值是________．13. 在△ABC 中，90A ∠=，边1AC =，2AB =，过点A 作AP BC ⊥交BC 于P ，且AP AB AC λμ=+，则λμ=________．14. 直线l 过抛物线2:4C y x =的焦点且与x 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于.15.定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()8f x t t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数23()sin cos 3cos 2f x x x x ωωω=⋅+-（0>ω），直线1x x =，2x x =是)(x f y =图象的任意两条对称轴，且||21x x -的最小值为4π．（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x k +=，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．17．（本小题满分12分）袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率分布与数学期望．18. （本小题满分12分）已知等边三角形的边长为3，点E D ,分别在边AC AB ,上，且满足21==EA CE DB AD ，将ADE ∆沿DE 折叠到DE A 1∆的位置，使BCDE DE A 平面平面⊥1，连接C A B A 11,．（Ⅰ）证明：BCDE D A 平面⊥1；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ，使得直线1PA 与平面BD A 1所成的角为60？若存在，求出PB 的长；若不存在，说明理由．19. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈，点 ⎝⎛⎪⎭⎫nS n n,都在函数x a x x f n 2)(+=的图象上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n A 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n a a 1的前n 项积，若不等式a a a f a A n nn 23)(1+-<+对一切 *N n ∈都成立，其中0>a ，求a 的取值范围．20. （本小题满分13分）设平面上一动点P 到定点（1,0）的距离与到定直线4x =的距离之比为12．（Ⅰ）求动点的P 轨迹C 的方程；（Ⅱ）设定点A (-2,3),曲线上C 一点00(,)M x y ,其中00y ≥.若曲线C 上存在两点,E F ，使AE AF AM +=，求0x 的取值范围．21. （本小题满分14分）函数()ln f x x =，()2122g x x x =-．（Ⅰ）设()()()1h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求()h x 的最大值；（Ⅱ）求证: 当0b a <<时，有()()22b af a b f a a-+-<；（Ⅲ）设k Z ∈，当1x >时，不等式()()()134k x xf x g x '-<++恒成立，求k 的最大值．密卷答案一、选择： DDBDCAABCA二、填空11. 15；12. 20；13. -1；14. 8：27；15. 3 三、解答题16解：（Ⅰ）由题意知：243ππω=，解得：32ω=， ……………………2分 CB CB B A A cos cos 2sin sin sin sin tan --+==∴A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴ A C A B A sin 2)(sin )(sin =+++∴……………………………………4分a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴…………………………………………………6分（Ⅱ）因为2b c a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形 …………8分213sin 24OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+ ……………9分435cos 3-sin +=θθ532sin (-)34πθ=+， …10分(0)θπ∈，,2--333πππθ∴∈(，)，zyxFEPDCBA当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S 的最大值为5324+………………12分 17.解：（Ⅰ）证：由已知DF ∥AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ． ……(1分)又PA ⊥底面ABCD, ∴平面PAD ⊥平面ABCD ， ……(2分) ∵AB ⊥AD ，故AB ⊥平面PAD,∴AB ⊥PD ， ……(3分)在ΔPCD 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF//PD ，……（4分)∴ AB ⊥EF ． ……(5分) 由此得⊥AB 平面BEF ．……(6分)（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系，则)21,0(),0,2,1(h BE BD =-=……(8分) 设平面CDB 的法向量为)1,0,0(1=n ，平面EDB 的法向量为),,(2z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022BE n BD n ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-0202hzy y x 可取⎪⎭⎫ ⎝⎛-=h n 2,1,22……(10分) 设二面角E -BD -C的大小为θ，则|||||||,c o s |c o s 212121n n n n n n ⋅⋅=><=θ=224522<+h h ，化简得542>h ，所以552>h …(12分) 18解:(I)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，则“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件A ，则31)(391714==C C C A P 所以32)(1)(=-=A P A P ………………（4分）(II) X 的取值为2,3,4,5211)2(3912222212=+==C C C C C X P ，214)3(3914222412=+==C C C C C X P 73)3(3916222612=+==C C C C C X P ，31)5(3928===C C X P…………………（8分）所以X 的分布列为：X 23 4 5P21121473 31 的数学期望218531573421432112=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ………..12分19解：（Ⅰ）由n S a n n +=+1，得)1(1-+=-n S a n n )2(≥n ，两式相减得1111+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以121+=+n n a a ---------------------------------2分所以)1(211+=++n n a a )2(≥n -------------------------------------3分又,32=a 所以n n n a a 2)1(2122=+=+-，从而12-=n n a )2(≥n ----------------5分而21=a ，不符合上式，所以⎩⎨⎧≥-==2,121,2n n a n n -------------------------------------6分因为}{n b 为等差数列，且前三项的和93=T ，所以32=b ，--------7分可设db d b +=-=3,331，由于7,3,2321===a a a ，于是d b a b a d b a -=+=+-=+10,6,5332211，因为332211,,b a b a b a +++成等比数列，所以36)10)(5(=+-d d ，2=d 或7-=d （舍）所以12)1(21)1(1-=-+=-+=n n d n b b n -----------------------------------9分（Ⅱ）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=--<-=k k k k k k b k11141)22(211)12(1)12(11222 所以，当2≥n 时22222221)12(13111111-++=+++n b b b n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<n n 1113121211411 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n 1141145411=+< ------- ----------------------------------------------------12分 20.解（1）22222c a b a =∴= （1分）又22b b =，得1b =22221:1,:12x C y x C y ∴=-+= （3分）（2）设直线1122:,(,),(,)AB y kx A x y B x y =则22101y kxx kx y x =⎧⇒--=⎨=-⎩ （4分） 211221212(,1)(,1)(1)()1MA MB x y x y k x x k x x ⋅=+⋅+=++++=0M A M B ∴⊥ （6分）（3）设直线1212:1;:1,1MA y k x MB y k x k k =-=-=-1121122110,(,1)111x k y k x x A k k y y k y x ==-⎧⎧=⎧⎪∴-⎨⎨⎨=-=-=-⎪⎩⎩⎩解得或，同理可得222(,1)B k k -2211212111122S MA MB k k k k ==++ （8分） 1212111222221112141120421,(,)11212211212k x y k x k x k k D x y k k k y y k ⎧==-⎧⎪+=⎧-⎪⎪∴⎨⎨⎨=-++-+=⎩⎪⎪=⎩⎪+⎩解得或同理可得2222222421(,)1212k k E k k -++1222212221216111122(12)(12)k k S MD ME k k k k ∴==++++ （11分） 2122211212152()(12)(12)9161616k S k k k S λ++++===≥所以λ的最小值为169,此时k=1或-1. （13分）21解：（Ⅰ）)(x f 其定义域为),0(+∞. ……………1分当0=a 时，x x x f 1ln )(+= ，22111)(xx x x x f -=-='. 令0)(='x f ，解得1=x ,当10<<x 时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f .所以)(x f 的单调递减区间是)1,0(，单调递增区间是),1(+∞；所以1=x 时，)(x f 有极小值为1)1(=f ，无极大值 ……………3分(Ⅱ)222211(1)1(1)(1)()(0)a ax a x ax x f x a x x x x x----+-'=--==>………4分令0)(='x f ,得1=x 或ax 1-= 当01<<-a 时，a 11-<，令0)(<'x f ，得10<<x 或ax 1->，令0)(>'x f ，得a x 11-<<；当1-=a 时，0)1()(22≤--='x x x f .当1-<a 时，110<-<a ，令0)(<'x f ，得a x 10-<<或1>x ，令0)(>'x f ，得11<<-x a；综上所述:当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(，),1(+∞-a ，单调递增区间是)1,1(a-；当1-=a 时，)(x f 的单调递减区间是),0(+∞；当1-<a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(a-，),1(+∞，单调递增区间是)1,1(a -……10分（Ⅲ）0≥a 时)0()1)(1()(2>-+='x xx ax x f )0(0)(>='∴x x f 仅有1解,方程0)(=x f 至多有两个不同的解.(注:也可用01)1()(min >+==a f x f 说明.)由(Ⅱ)知01-<<a 时,极小值01)1(>+=a f , 方程0)(=x f 至多在区间),1(+∞-a上有1个解.-1a =时)(x f 单调, 方程0)(=x f 至多有1个解.;1-<a 时,01)1()1(<+=<-a f a f ,方程0)(=x f 仅在区间)1,0(a -内有1个解;故方程0)(=x f 的根的个数不能达到3.…………………14分。

2020-2021学年高考数学文科一模测试题及答案解析一

最新高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2＞1}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤1} B．{x|x＞0或x＜﹣1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|0＜x≤2}2．计算：=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．已知两条直线a，b和平面α，若a⊥b，b⊄α，则“a⊥α”是“b∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为（）A．B．C．2 D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为15，则判断框应填写（）A．2 B．3 C．4 D．56．已知双曲线的离心率，且焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线实轴长为（）A．6 B．5 C．4 D．37．已知等比数列{a n}的公比q≠1，则下面说法中不正确的是（）A．{a n+2+a n}是等比数列B．对于k∈N*，k＞1，a k﹣1+a k+1≠2a kC．对于n∈N*，都有a n a n+2＞0D．若a2＞a1，则对于任意n∈N*，都有a n+1＞a n8．如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，2015年一季度全区生产总值为1552.38亿元，与去年同一时期相比增长12.9%（如图，折线图中其它数据类同）．根据统计图得出正确判断是（）A．近三年该市生产总值为负增长B．近三年该市生产总值为正增长C．该市生产总值2013年到2014年为负增长，2014年到2015年为正增长D．以上判断都不正确二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（2，m）到焦点的距离为3，则p= ．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，则a= ．11．在平面直角坐标系xOy中，已知向量，则= ．12．已知，则z=x+4y能取得最（大或小）值为．13．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为．14．已知偶函数f（x），奇函数g（x）的图象分别如图（1）、图（2）所示，若f（y0）=0且y0=g（x0），则x0的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值．16．在一次水稻试验田验收活动中，将甲、乙两种水稻随机抽取各6株样品，单株籽粒数制成如图所示的茎叶图：（Ⅰ）运用统计学的知识指出甲、乙两种水稻哪种单株籽粒数更稳定一些？（不需说明理由）（Ⅱ）一粒水稻约为0.1克，每亩水稻约为6万株，估计甲种水稻亩产约为多少公斤？（Ⅲ）分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株，甲品种中选出的籽粒数记为a，乙品种中选出的籽粒数记为b，求a≥b的概率．17．如图，已知四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的棱形，∠ABC=60°，侧面SAD为正三角形，侧面SAD⊥底面ABCD，M为侧棱SB的中点，E为线段AD的中点．（Ⅰ）求证：SD∥平面MAC；（Ⅱ）求证：SE⊥AC；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABC的体积．18．数列{a n}中，a1=1，a2=2，数列{b n}满足b n=a n+1+（﹣1）n a n，n∈N*．（Ⅰ）若数列{a n}是等比数列，a n=32，求项数n的值；（Ⅱ）若数列{b n}是常数列，求数列{a n}的前2016项的和S2016．19．已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若m＞0，讨论函数零点的个数．20．已知椭圆的长轴长为4，离心率．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）设过椭圆G的上顶点A的直线l与椭圆G的另一个交点为B，与x轴交于点C，线段AB的中点为D，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于P、Q两点．问：是否存在直线l 使△PDC与△POQ的面积相等（O为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x2＞1}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤1} B．{x|x＞0或x＜﹣1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|0＜x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合B中不等式的解集，找出A与B的公共部分即可确定出交集．【解答】解：∵x2＞1解得：x＞1或x＜﹣1，∴B={x|x＞1或x＜﹣1}，∵A={x|0≤x≤2}，∴A∩B={x|1＜x≤2}．故选：C2．计算：=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】按照复数除法的运算法则，分子分母同乘以1﹣i，计算化简即可．【解答】解：===1+i故选A3．已知两条直线a，b和平面α，若a⊥b，b⊄α，则“a⊥α”是“b∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别判断出充分性和不必要性即可．【解答】解：若a⊥b，b⊄α，a⊥α，则b∥α，是充分条件，若a⊥b，b⊄α，b∥α，推不出a⊥α，不是必要条件，则“a⊥α”是“b∥α”的充分不必要条件，故选：A．4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为（）A．B．C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，得到底面为直角三角形，且∠ACB=90°，侧面PBC⊥底面ABC，再由线面垂直的性质可得AC⊥PC，求解直角三角形可得PA，则答案可求．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，底面为直角三角形，且∠ACB=90°，侧面PBC⊥底面ABC，△BPC是等腰三角形，PO⊥BC，PO=1，BO=OC=1，AC=1，则AC⊥PC，在Rt△POC中，PO=OC=1，∴PC=，则PB=，在Rt△PCA中，PA=．∴三棱锥的最长棱的长为．故选：B．5．执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为15，则判断框应填写（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据框图流程依次计算程序运行的结果，根据输出的a的值，确定跳出循环的i值，从而得判断框的条件．【解答】解：由程序框图知：第一次循环i=1，a=1；第二次循环i=2，a=3；第三次循环i=3，a=7；第四次循环i=4，a=15；∵输出的a的值为15，∴n=4时跳出循环体，∴判断框内的条件为：n＜4．故选：C．6．已知双曲线的离心率，且焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线实轴长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），运用离心率公式和点到直线的距离公式，结合双曲线a，b，c的关系，解方程可得a=3，进而得到双曲线的实轴长2a．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得e==，可设焦点（c，0）到渐近线y=x的距离为4，可得=b=4，由a2+b2=c2，解得a=3，可得该双曲线实轴长为2a=6．故选：A．7．已知等比数列{a n}的公比q≠1，则下面说法中不正确的是（）A．{a n+2+a n}是等比数列B．对于k∈N*，k＞1，a k﹣1+a k+1≠2a kC．对于n∈N*，都有a n a n+2＞0D．若a2＞a1，则对于任意n∈N*，都有a n+1＞a n【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的通项，对选项分别进行分析，即可得出结论．【解答】解：对于A，{a n+2+a n}是公比为q2的等比数列，正确；对于B，对于k∈N*，k＞1，a k﹣1+a k+1=+a k q，∵q≠1，∴a k﹣1+a k+1≠2a k，正确‘对于C，a n a n+2=a n2q2＞0，正确；对于D，若a2＞a1，a＞1，则对于任意n∈N*，都有a n+1＞a n，故不正确，故选：D．8．如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，2015年一季度全区生产总值为1552.38亿元，与去年同一时期相比增长12.9%（如图，折线图中其它数据类同）．根据统计图得出正确判断是（）A．近三年该市生产总值为负增长B．近三年该市生产总值为正增长C．该市生产总值2013年到2014年为负增长，2014年到2015年为正增长D．以上判断都不正确【考点】简单随机抽样．【分析】由折线统计图可知，增长率都是大于0的，故可知答案．【解答】解：由折线统计图可知，增长率都是大于0的，故近三年该市生产总值为正增长，故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（2，m）到焦点的距离为3，则p= 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】依题意知，其准线方程为：x=﹣，利用定义，将抛物线上的点到焦点的距离，转化为它到准线的距离即可．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为：x=﹣，由抛物线的定义知，2﹣（﹣）=3，解得：p=2，故答案为：2．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，则a= ．【考点】余弦定理．【分析】由已知及同角三角函数基本关系式可得sinB的值，利用正弦定理即可解得a的值．【解答】解：∵B∈（0，π），cosB=，可得：sinB==，又∵A=30°，b=2，∴由正弦定理可得：a===．故答案为：．11．在平面直角坐标系xOy中，已知向量，则=0 ．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】根据条件求出然后再根据向量数量积的坐标计算公式即可求出．【解答】解：∵∴=2﹣2（3，1）=（﹣4，2）∴=（1，2）•（﹣4，2）=﹣4+4=0故答案为012．已知，则z=x+4y能取得最大（大或小）值为﹣1 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出平面区域，变形目标函数，平移直线y=﹣x数形结合可得．【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x可知，当直线经过点A（7，﹣2）时，目标函数取最大值，代值计算可得z的最大值为：﹣1，故答案为：大；﹣1．13．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为360 ．【考点】频率分布直方图．【分析】设出公差，利用9个小长方形面积和为1，求出公差，然后求解中间一组的频数．【解答】解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.02，0.02+d，0.02+2d，0.02+3d，0.02+4d，0.02+3d，0.02+2d，0.02+d，0.02，而9个小长方形的面积和为1，可得0.18+16d=1 解得d=，∴中间一组的频数为：1600×（0.02+4d）=360．故答案为：360．14．已知偶函数f（x），奇函数g（x）的图象分别如图（1）、图（2）所示，若f（y0）=0且y0=g（x0），则x0的值为﹣1，0，或1 ．【考点】函数奇偶性的性质；函数的图象．【分析】根据g（x）的图象便可得到﹣1≤y0≤1，而由f（x）的图象及f（y0）=0便可得出y0=0，从而便可由g（x）的图象和g（x0）=0即可解出x0的值．【解答】解：根据g（x）的图象得，﹣1≤y0≤1；∴由f（x）的图象及f（y0）=0得，y0=0；∴g（x0）=0；∴x0=﹣1，0，或1．故答案为：﹣1，0，或1．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由周期公式可得周期，解2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得单调增区间；（Ⅱ）由x∈[﹣，]可得2x﹣∈[﹣，]，可得sin（2x﹣）∈[﹣，1]，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）化简可得=sin2x﹣（1+cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∴f（x）的最小正周期T==π，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+∴函数的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]k∈Z；（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴函数f（x）的最小值和最大值分别为﹣﹣1和0．16．在一次水稻试验田验收活动中，将甲、乙两种水稻随机抽取各6株样品，单株籽粒数制成如图所示的茎叶图：（Ⅰ）运用统计学的知识指出甲、乙两种水稻哪种单株籽粒数更稳定一些？（不需说明理由）（Ⅱ）一粒水稻约为0.1克，每亩水稻约为6万株，估计甲种水稻亩产约为多少公斤？（Ⅲ）分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株，甲品种中选出的籽粒数记为a，乙品种中选出的籽粒数记为b，求a≥b的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（Ⅰ）由茎叶图得种水稻单株籽粒数更稳定一些．（Ⅱ）先求出甲种水稻单株籽粒数的平均数，由此能估计估计甲种水稻亩产约为多少公斤．（Ⅲ）分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株，先求出基本事件总数，再求出a≥b包含的基本事件个数，由此能求出a≥b的概率．【解答】解：（Ⅰ）由茎叶图得种水稻单株籽粒数更稳定一些．（Ⅱ）估计甲种水稻亩产约为：×=1092（公斤）．（Ⅲ）∵分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株，甲品种中选出的籽粒数记为a，乙品种中选出的籽粒数记为b，∴基本事件总数n=6×6=36，a≥b包含的基本事件个数：m=2+2+4+5+6=19，∴a≥b的概率p==．17．如图，已知四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的棱形，∠ABC=60°，侧面SAD为正三角形，侧面SAD⊥底面ABCD，M为侧棱SB的中点，E为线段AD的中点．（Ⅰ）求证：SD∥平面MAC；（Ⅱ）求证：SE⊥AC；（Ⅲ）求三棱锥M﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O，连接MO，由三角形中位线定理可得OM∥SD，然后由线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由侧面SAD为正三角形，E为线段AD的中点，可得SE⊥AD，结合侧面SAD⊥底面ABCD，得SE⊥底面ABCD，则SE⊥AC；（Ⅲ）由已知求出，再由M为SB的中点，得M到底面的距离为，代入三棱锥体积公式求得答案．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接MO，∵底面ABCD是菱形，∴O为BD的中点，又M为侧棱SB的中点，∴OM∥SD，又OM⊂面MAC，SD⊄面MAC，∴SD∥平面MAC；（Ⅱ）证明：∵SAD为正三角形，E为线段AD的中点，∴SE⊥AD，又侧面SAD⊥底面ABCD，且侧面SAD∩底面ABCD=AD，∴SE⊥底面ABCD，而AC⊂底面ABCD，∴SE⊥AC；（Ⅲ）解：∵底面ABCD是边长为2的棱形，∠ABC=60°，∴△ABC为边长是2的正三角形，则，又△SAD为边长是2的正三角形，∴SE=，由（Ⅱ）知SE⊥底面ABCD，即S到底面的距离为，∵M为SB的中点，∴M到底面的距离为，∴．18．数列{a n}中，a1=1，a2=2，数列{b n}满足b n=a n+1+（﹣1）n a n，n∈N*．（Ⅰ）若数列{a n}是等比数列，a n=32，求项数n的值；（Ⅱ）若数列{b n}是常数列，求数列{a n}的前2016项的和S2016．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出．（II）由数列{b n}是常数列，可得b1=a2﹣a1=1．利用a n+1+（﹣1）n a n=1，n∈N*．可得a2k+1+a2k=1，a2k﹣a2k﹣1=1，k∈N*．a2k+1=﹣a2k﹣1，a2k+a2k+2=2．分组求和即可得出．【解答】解：（I）数列{a n}是等比数列，∴a n=32==2n﹣1，解得n=6．（II）∵数列{b n}是常数列，b1=a2﹣a1=1，∴a n+1+（﹣1）n a n=1，n∈N*．∴a2k+1+a2k=1，a2k﹣a2k﹣1=1，k∈N*．∴a2k+1=﹣a2k﹣1，a2k+a2k+2=2．∴数列{a n}的前2016项的和S2016=（a1+a3）+（a5+a7）+…+（a2013+a2015）+（a2+a4）+…+（a2014+a2016）=0+2×504=1008．19．已知函数f（x）=e x，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若m＞0，讨论函数零点的个数．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求函数f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=0，利用参数转化法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=e x，则f′（1）=e，f（1）=e，则函数f（x）在x=1处的切线方程y﹣e=e（x﹣1），即y=ex；（Ⅱ）由=0，得m==，设h（x）=，则h′（x）==，当x＜0时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，且h（x）＞0，当x＞2时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，当0＜x＜2时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，即当x=2时，函数h（x）取得极小值h（2）=，作出函数h（x）的草图如图：当m＞0时，若m＞时，h（x）=m有3个不同的根，即函数g（x）有3个不同的零点，若m=时，h（x）=m有2个不同的根，即函数g（x）有2个不同的零点，若0＜m＜时，h（x）=m有1个不同的根，即函数g（x）有1个不同的零点．20．已知椭圆的长轴长为4，离心率．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）设过椭圆G的上顶点A的直线l与椭圆G的另一个交点为B，与x轴交于点C，线段AB的中点为D，线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于P、Q两点．问：是否存在直线l 使△PDC与△POQ的面积相等（O为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得2a=4，即a=2，e==，可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设A（0，1），直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，求得B的坐标，再由中点坐标公式可得D，求得线段AB的中垂线方程，可得P，Q的坐标，假设存在直线l，使△PDC与△POQ的面积相等（O为坐标原点），运用三角形的面积公式，可得=，即有=，解方程即可得到所求k的值，进而判断存在直线l．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a=4，即a=2，e==，解得c=，b==1，可得椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）设A（0，1），直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=﹣，或x=0．即有B（﹣，），中点D的坐标为（﹣，），可得AB的中垂线方程为y﹣=﹣（x+），化为y=﹣x﹣，可得P（﹣，0），Q（0，﹣），假设存在直线l，使△PDC与△POQ的面积相等（O为坐标原点），即有PD•PC•sin∠DPC=PO•PQ•sin∠OPQ，即有PD•PC=PO•PQ，即为=，即有=，即有=﹣3，解得k=±．故存在直线l，且l的方程为y=±x+1，使△PDC与△POQ的面积相等（O为坐标原点）．2016年6月21日。

2020-2021学年高三数学(理科)第一次高考模拟考试试题及答案解析

@学无止境！@绝密★启用前试卷类型：A 最新第一次高考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学无止境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ∃∈R ，”，则⌝p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ∃∈++<R “使得”的否定是：“210x x x ∀∈++<R ，”D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的一条对称轴方程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年高中生技能大赛中三所学校分别有3名、2名、1名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执行如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 1111．=∠=⋅==∆C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．︒60B ．C ．︒150D ．︒120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最小值，则当,c b 的值分别为方程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.13．一个长方体高为5，底面长方形对角线长为12，则它外接球的表面积为@学无止境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯口直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且的一个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本大题共5小题，每题12分共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满足n b n n a a a a 2222233221=+⋅⋅⋅+++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。

2020-2021学年度山东省聊城市高考一模考试数学（理）试题及答案

2020-2021学年度山东省聊城市高考一模考试数学（理）试题及答案高考模拟试题理科数学（一）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2{|1}A x x =<，{|lg(1)0}B x x =+≥，则 A B =I （）A ．[0,1)B ．(1,)-+∞C ．(0,1)D ．(1,0]-2.设复数2(1)1i z i-=+，则z =（）A ．4B ．2C ．2D ．13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13104S =，65a =，则数列{}n a 的公差为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是（）A ．110B ．15 C ．310 D ．255.设等比数列{}n a 的各项均为正数，其n 前项和为n S ，则“1921202S S S +>”是“数列{}n a 是递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 与抛物线C ：24y x =相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为（）A ．1y x =-B ．25y x =-+C ．3y x =-+D ．23y x =-7.已知函数()(1010)xxf x x -=-，不等式(12)(3)0f x f -+>的解集为（）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞8.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2F 到渐近线的距离为4，且在双曲线C 上到2F 的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C 的左焦点1F 的距离为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1.5，则输入k 的值应为（）A ．4.5B ．6C ．7.5 D．910.在ABC ?中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ?所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ?+?u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（）A ．1B ．2C ．-2D ．-111.如图是某几何体的三视图，其中俯视图为等边三角形，正视图为等腰直角三角形，若该几何体的各个顶点都在同一个球面上，则这个球的体积与该几何体的体积的比为（）A ．73πB ．289πC ．1479πD ．43π12.已知函数3,21(),20x x a x x f x a e x x ?--≤-??+=??--<<??恰有3个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．11,3e ??-- B ．211,e e ??--C ．221,3e ??--D ．21,33??--第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设x ，y 满足约束条件102020x y x y x y -+≥??-≤??+≤?，则12()16x yz =的最大值为．14.某工厂从生产的一批产品中随机抽出一部分，对这些产品的一项质量指标进行了检测，整理检测结果得到如下频率分布表：15.2922()y x x ++的展开式中常数项为． 16.若函数()sin()4f x m x π=+x 在开区间7(0,)6π内，既有最大值又有最小值，则正实数m 的取值范围为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知数列{}n a 满足12a =-，124n n a a +=+. （Ⅰ）证明：{4}n a +是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .18.某教育培训中心共有25名教师，他们全部在校外住宿.为完全起见，学校派专车接送教师们上下班.这个接送任务承包给了司机王师傅，正常情况下王师傅用34座的大客车接送教师.由于每次乘车人数不尽相同，为了解教师们的乘车情况，王师傅连续记录了100次的乘车人数，统计结果如下：（Ⅰ）若随机抽查两次教师们的乘车情况，求这两次中至少有一次乘车人数超过18的概率；（Ⅱ）有一次，王师傅的大客车出现了故障，于是王师傅准备租一辆小客车来临时送一次需要乘车的教师.可供选择的小客车只有20座的A 型车和22座的B 型车两种，A 型车一次租金为80元，B 型车一次租金为90元.若本次乘车教师的人数超过了所租小客车的座位数，王师傅还要付给多出的人每人20元钱供他们乘出租车.以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，判断王师傅租哪种车较合算？19.如图，四棱锥P ABCD -中，PAD ?为等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，22AD BC ==，AB AD ⊥，AB BC ⊥.（Ⅰ）证明：PC BC ⊥；（Ⅱ）若直线PC 与平面ABCD 所成角为60o，求二面角B PC D --的余弦值.20.已知圆224x y +=经过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点和两个顶点，点(0,4)A ，M ，N 是椭圆C 上的两点，它们在y 轴两侧，且MAN ∠的平分线在y 轴上，AM AN ≠. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：直线MN 过定点. 21.已知函数()22xf x e kx =--.（Ⅰ）讨论函数()f x 在(0,)+∞内的单调性；（Ⅱ）若存在正数m ，对于任意的(0,)x m ∈，不等式()2f x x >恒成立，求正实数k 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin()24πρθ+=（Ⅰ）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A 、B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ?u u u r u u u r的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()22f x x a a =++，a R ∈.（Ⅰ）若对于任意x R ∈，()f x 都满足()(3)f x f x =-，求a 的值；（Ⅱ）若存在x R ∈，使得()21f x x a ≤--+成立，求实数a 的取值范围.高考模拟理科数学（一）答案一、选择题1-5: ACBDC 6-10: DADBC 11、12：CA二、填空题13. 4 14. 144 15. 67216. 23m <<+三、解答题17.解：（Ⅰ）∵12a =-，∴142a +=，∵124n n a a +=+，∴1428n n a a ++=+2(4)n a =+，∴1424n n a a ++=+，∴{4}n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ），可知42n n a +=，∴24n n a =-. ∴12n n S a aa =+++2(24)(24)=-+-(24)n++-2(222)4nn =+++-2(12)412n n -=--1224n n +=--.∴1242n n S n +=--.18.解：（Ⅰ）由题意得，在一次接送中，乘车人数超过18的概率为0.8. 记“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18”为事件A ，则()1(10.8)P A =--(10.8)0.96-=.即抽查的两次中至少有一次乘车人数超过18的概率为0.96.（Ⅱ）设X 表示租用A 型车的总费用（单位：元），则X 的分布列为.设Y 表示租用B 型车的总费用（单位：元），则Y 的分布列为.因此以王师傅本次付出的总费用的期望值为依据，租B 型车较合算. 19.证明：（Ⅰ）取AD 的中点为O ，连接PO ，CO ，∵PAD ?为等边三角形，∴PO AD ⊥.底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，∴CO AD ⊥，∵PO CO O =I ，∴AD ⊥平面POC ，∵PC ?平面POC ，∴AD PC ⊥. 又//AD BC ，所以BC PC ⊥.（Ⅱ）由面PAD ⊥面ABCD ，PO AD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，可得OP ，OD ，OC 两两垂直，又直线PC 与平面ABCD 所成角为60o，即60PCO ∠=o，由2AD =，知3PO =，得1CO =.建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,3)P ，(0,1,0)D ，(1,0,0)C ，(1,1,0)B -，(0,1,0)BC =u u u r ，(1,0,3)PC =-u u u r ，(1,1,0)CD =-u u u r ，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =r. ∴030y x z =-=??，令1z =，则(3,0,1)n =r ，设平面PDC 的一个法向量为(',',')m x y z =u r，∴''0'3'0x y x z -=-=??，令'1z =，则(3,3,1)m =u r ， cos ,m n <>u r r m n m n ?=u r ru r r 27727==，∵二面角B PC D --为钝角，∴二面角B PC D --的余弦值为27 -.20.解：（Ⅰ）圆224x y +=与x 轴交点(2,0)±即为椭圆的焦点，圆224x y +=与y 轴交点(0,2)±即为椭圆的上下两顶点，所以2c =，2b =.从而22a =因此椭圆C 的方程为：22184x y +=. （Ⅱ）设直线MN 的方程为y kx m =+.由22184y kx m x y =++=??，消去y 得222(21)4280k x kmx m +++-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122421kmx x k +=-+，21222821m x x k -=+. 直线AM 的斜率1114y k x -=14m k x -=+；直线AN 的斜率2224y k x -=24m k x -=+. 12k k +=1212(4)()2m x x k x x -++2(4)(4)228m km k m --=+-216(1)28k m m -=-. 由MAN ∠的平分线在y 轴上，得120k k +=.又因为AM AN ≠，所以0k ≠，所以1m =.因此，直线MN 过定点(0,1).21.解：（Ⅰ）'()2xf x e k =-，(0,)x ∈+∞，当2k ≤时，因为22xe >，所以'()0f x >，这时()f x 在(0,)+∞内单调递增.当2k >时，令'()0f x >得ln2k x >；令'()0f x <得0ln 2kx <<. 这时()f x 在(0,ln )2k 内单调递减，在(ln,)2k+∞内单调递增. 综上，当2k ≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增，当2k >时，()f x 在(0,ln )2k 内单调递减，在(ln,)2k+∞内单调递增. （Ⅱ）①当02k <≤时，因为()f x 在(0,)+∞内单调递增，且(0)0f =，所以对于任意的(0,)x m ∈，()0f x >.这时()2f x x >可化为()2f x x >，即2(2)20x e k x -+->.设()2(2)2xg x e k x =-+-，则'()2(2)xg x e k =-+，令'()0g x =，得2ln 2k x +=，因为2ln02k +>，所以()g x 在2(0,ln )2k +单调递减.又因为(0)0g =，所以当2(0,ln)2k x +∈时，()0g x <，不符合题意. ②当2k >时，因为()f x 在(0,ln )2k 内单调递减，且(0)0f =，所以存在00x >，使得对于任意的0(0,)x x ∈都有()0f x <.这时()2f x x >可化为()2f x x ->，即2(2)20xe k x -+-+>.设()2(2)2xh x e k x =-+-+，则'()2(2)xh x e k =-+-.（i ）若24k <≤，则'()0h x <在(0,)+∞上恒成立，这时()h x 在(0,)+∞内单调递减，又因为(0)0h =，所以对于任意的0(0,)x x ∈都有()0h x <，不符合题意. （ii ）若4k >，令'()0h x >，得2ln 2k x -<，这时()h x 在2(0,ln)2k -内单调递增，又因为(0)0h =，所以对于任意的2(0,ln )2k x -∈，都有()0h x >，此时取02min{,ln}2k m x -=，对于任意的(0,)x m ∈，不等式()2f x x >恒成立. 综上，k 的取值范围为(4,)+∞. 22.解：（Ⅰ）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=+??=+?（θ为参数）.直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.（Ⅱ）由直线l 的方程20x y +-=可得点(2,0)A ，点(0,2)B .设点(,)P x y ，则PA PB ?u u u r u u u r(2,)(,2)x y x y =--?--.2222x y x y =+--2412x y =+-.由（Ⅰ）知2cos 3sin x y θθ=+??=+?，则PA PB ?u u u r u u u r 4sin 2cos 4θθ=++)4θ?=++.因为R θ∈，所以44PA PB -≤?≤+u u u r u u u r23.解：（Ⅰ）因为()(3)f x f x =-，x R ∈，所以()f x 的图象关于32x =对称. 又()2||22a f x x a =++的图象关于2a x =-对称，所以322a -=，所以3a =-. （Ⅱ）()21f x x a ≤--+等价于2210x a x a ++-+≤. 设()g x =221x a x a ++-+，则min ()(2)(21)g x x a x a =+--+1a a =++. 由题意min ()0g x ≤，即10a a ++≤. 当1a ≥-时，10a a ++≤，12a ≤-，所以112a -≤≤-；当1a <-时，(1)0a a -++≤，10-≤，所以1a <-，综上12a ≤-.。

2020-2021学年高考数学理科模拟试题一及答案解析

最新高考第一次模拟考试试卷数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，只交答题卡．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，复数21ii +的值为 A ．1i -B ．1i +C ．iD ．2i -2．有下列四个命题，其中假命题．．．是 A ．20000,x x x ∃>≤B ．,30xx R ∀∈> C ．000,sin cos 2x R x x ∃∈+=D ．00,lg 0x R x ∃∈=3．如图，OABC 是矩形，B 在抛物线2y x =上，A 为(1,0)，现从OABC 内任取一点，则该点来自阴影部分的概率为A ．12B ．13C ．14D ．164．某种定点投篮游戏的规则如下：每人投篮10次，如果某同学某次没有投进，则罚该同学做俯卧撑2个．现有一同学参加该游戏，已知该同学在该点投篮的命中率为0.6，设该同学参加本次比赛被罚做俯卧撑的总个数记为X ，则X 的数学期望为 A ．4B ．6C ．8D ．125．执行如图所示的程序框图，若输入5n =，则输出的结果是A ．56B ．67 C ．45 D ．130 6．已知x ，y 满足约束条件102202x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值为 A ．6- B ．4- C ．3- D ．2- 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为1(1)S S k k ++=A ．24πB ．12πC ．8πD ．6π8．已知(1)f x +为偶函数，且()f x 在[1,)+∞单调递减，若(2)0f =，则()0f x >的解集为 A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(0,2)D ．(1,2)9．若()2015sin 2016cos f x x x =-的一个对称中心为(,0)a ，则实数a 所在区间可能是A ．(0,)4πB ．(,)43ππC ．(,)32ππD ．3(,)24ππ10．设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且122PF PF =，则双曲线的一条渐近线方程是A．y = B．y = C ．2y x = D ．4y x =11．函数22()10()20x a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，，，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 A ．[1,2]- B ．[1,0]- C ．[1,2] D ．[0,2]12．若数列{}n a 满足：对任意正整数n ，{}1n n a a +-为递减数列，则称数列{}n a 为“差递减数列”．给出下列数列{}n a (*n N ∈)：①3n a n =，②21n a n =+，③n a =，④2nn a n =-，⑤ln1n n a n =+ 其中是“差递减数列”的有 A ．③⑤ B ．①②④ C ．③④⑤ D ．②③第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设集合2{3,log }P a =，{,}Q a b =，若{0}P Q =I ，则P Q =U ． 14．已知当t n =时，36()(0)f t t t t =+>取得最小值，则二项式1()n x x-的展开式中2x 的系数为．15．已知{}n a 是等差数列，12a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若521a a a 、、成等比数列，则5S =．16．如图，椭圆的方程为22162x y +=，A 是其右顶点，B 是该椭圆在第一象限部分上的一点，且4AOB π∠=．若点C 是椭圆上的动点，则OA BC ⋅u u u r u u u r 的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，三条边a b c 、、所对的角分别为A 、B 、C ，且222a b c ab +-=．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若2()cos cos f x x x x =+，求()f B 的最大值，并判断此时ABC ∆的形状．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PAB ∆和PAC ∆均为边长是2的正三角形，且ο90=∠BAC ，O 为BC 的中点．（Ⅰ）证明：⊥PO 平面ABC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）某校数学兴趣小组在研究本地的城市道路与汽车保有量之间的关系（即某地区道路的总里程数和该地区拥有的汽车数量之间的关系）时，得到了近8年的城市道路总里程x （单位：百公里）和汽车保有量y （单位：百辆）的数据8年中任取5年，求恰有2年为“出行便捷年”的概率（请用分数作答）．（Ⅱ）根据上表数据，用变量y 和x 的相关系数说明y 与x 之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数∑∑∑===----=81281281)()())((i i i ii i iy y x xy y x xr ；回归直线的方程是：ˆˆybx a =+，其中121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-，i y ˆ是与i x 对应的回归估计值．参考数据：155=x ，75.169=y ，4200)(812=-∑=i ix x，5.1827)(812=-∑=i i y y ，2750))((81=--∑=i i iy y x x64.80≈42.75≈．20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：24y x =，过焦点且与坐标轴不平行的直线与该抛物线相交于A 、B 两点，记线段AB 中点为00(,)P x y ．（Ⅰ）若02x =，求直线AB 的斜率;（Ⅱ）设线段AB 的垂直平分线与x 轴，y 轴分别相交于点D 、E ．当直线AB 的斜率||||AB DE 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数1()ln()x f x x a x a+=+-+．（Ⅰ）求此函数的单调区间及最小值；（Ⅱ）当a ＝2时，过点(1,1)A --作直线l 与函数()y f x =的图象相切，这样的的直线有多少条？证明你的结论．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．注意：只能选做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲已知AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，CD 是半圆的切线，AC 平分BAD ∠，AD 交半圆于点E ．（Ⅰ）求证：AD CD ⊥；（Ⅱ）若5AB =，1DE =，求AE 的长．23．(本小题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos y x （θ为参数），过点(3,3)P 的直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 533543 (t 为参数)．（Ⅰ）求原点(0,0)到直线l 的距离；（Ⅱ）设直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数11)(--+=x x a x f ，1≥a ．（Ⅰ）当1=a 时，解不等式1)(<x f ；（Ⅱ）若实数a 的取值范围是]4,3[，求)(x f 的图象与直线2=y 所围成的三角形的面积的取值范围．若要功夫深，铁杵磨成针！@学无止境！@。

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高考数学模拟试卷(一)一、选择题：1、设a ＝(2，－3)，b ＝(－4，3)，c ＝(5，6)，则(a ＋3b )·c 等于( )A ．(－50，36)B ．－12C ．0D ．－142、“a ＝81”是“对任意的正数x ，2x ＋x a≥1”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、曲线y ＝x3－x2＋4在点(2，8)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( )A ．1B ．2C ．4D ．84、关于x 的不等式0a x b +<的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式02a x bx ->-的解集为( )A ．{|12}x x <<B ．{|1,2}x x x <->或C ．{|12}x x -<<D ．{|2}x x >5、已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为( )A ．2140B ．1740C ．310 D ．71206、已知f (x )＝x -1，当θ∈(45π，23π)时，f (sin2θ)－f (－sin2θ)可化简为( )A ．2sin θB ．－2cos θC ．2cos θD ．－2sin θ7、已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝( )A. －12B. －2C. 0D. 48、在半径为3的球面上有C B A 、、三点，ABC ∠=90°，BC BA =, 球心O 到平面ABC 的距离是223，则C B 、两点的球面距离是( ) A. 3π B. π C. π34D.2π9、2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) A. 60 B. 48 C. 42 D. 3610、已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是( )A. 0B. 21C. 1D. 25二、填空题：11、一条光线从点(5，3)射入，与x 轴正方向成α角，遇x 轴后反射，若tan α＝3，则反射光线所在直线方程是______________．12、已知⊙M ：x2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上动点，QA 、QB 分别切⊙M 于A 、B 两点，则直线AB 恒过定点______________． 13、已知数列{}n a 满足a1＝1，an ＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n ―1) an ―1(n ≥2)，则{}n a 的通项an ＝_____________．14、已知f (x)是R 上的函数，且f (x ＋2)＝)(1)(1x f x f -+，若f (1)＝32+，则f (2009)＝_______．15、若直角三角形的周长为12+．则它的最大面积为_______________．三、解答题：16、甲、乙等五名志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。

17、设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B 。

18、设函数329()62f x x x x a =-+-。

（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围。

19、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数。

（I ）求1a 及n a ；（II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值。

20、如图，四棱锥P A B C D -的底面是正方形，P D A B C D ⊥底面，点E 在棱PB 上。

（Ⅰ）求证：平面A E C P D B ⊥平面；（Ⅱ）当2PD B =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小。

21、已知抛物线C：22(0)x py p=>上一点(,4)A m到其焦点的距离为174。

（I）求p与m的值；（II）设抛物线C上一点P的横坐标为(0)t t>，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N。

若MN是C的切线，求t的最小值。

高考数学模拟试卷答案（一）一、选择题1、D2、B3、C4、C5、D6、C7、C8、D9、C 10、D二、填空题11、123+-=x y 12、⎪⎭⎫⎝⎛230， 13、⎪⎩⎪⎨⎧≥=)2(2!)1(1n n n 14、2+3 15、41三、解答题：16、解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10PE PE =-=17、解：由cos （A -C ）+cosB=32及B=π-（A+C ）得cos （A -C ）-cos （A+C ）=32，cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=32,sinAsinC=34.又由2b =ac 及正弦定理得 2sin sin sin ,B A C =故 23sin 4B =，3sin 2B = 或 3sin 2B =-（舍去），于是 B=3π 或 B=23π.又由 2b ac =知a b ≤或c b ≤所以 B =3π。

18、解：(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立,所以 8112(6)0m ∆=--≤, 得34m ≤-，即m 的最大值为34-(2) 因为当1x <时, '()0f x >。

当12x <<时, '()0f x <。

当2x >时, '()0f x >。

所以当1x =时,()f x 取极大值 5(1)2f a =-。

当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-。

故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或52a >。

19、解：（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n（Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ，对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或20、（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∵P D A B C D⊥底面， ∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ，∴平面A E C P D B ⊥平面.（Ⅱ）设AC ∩BD=O ，连接OE ，由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点，∴OE//PD ，12OE PD =，又∵P D A B C D ⊥底面，∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，在Rt △AOE中，12O E P D A B A O==， ∴45A O E ︒∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒.21、解：（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：2py -=，根据抛物线定义点)4,(m A 到焦点的距离等于它到准线的距离，即41724=+p ，解得21=p∴抛物线方程为：y x =2，将)4,(m A 代入抛物线方程，解得2±=m（Ⅱ）由题意知，过点),(2t t P 的直线PQ 斜率存在且不为0，设其为k 。

则)(:2t x k t y l PQ -=-，当,,02k kt t x y +-== 则)0,(2kktt M +-。

联立方程⎩⎨⎧=-=-y x t x k t y 22)(，整理得：0)(2=-+-t k t kx x 即：0)]()[(=---t k x t x ，解得,t x =或t k x -=))(,(2t k t k Q --∴，而QP QN ⊥，∴直线NQ 斜率为k1-)]([1)(:2t k x k t k y l NQ ---=--∴，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=---=--y x t k x kt k y 22)]([1)( 整理得：0)()(1122=----+t k t k kx k x ，即：0]1)()[(2=+---+t k k t k x kx0)](][1)([=--+-+t k x t k k kx ，解得：kt k k x 1)(+--=，或t k x -= )]1)([,1)((22k t k k k t k k N +-+--∴，)1()1(1)(]1)([2222222--+-=+--+--+-=∴k t k kt k kkt t k t k k k t k k K NM 而抛物线在点N 处切线斜率：kt k k y k kt k k x 2)(21)(---='=+--=切MN 是抛物线的切线，k t k k k t k kt k 2)(2)1()1(2222---=--+-∴，整理得02122=-++t tk k 0)21(422≥--=∆t t ，解得32-≤t （舍去），或32≥t ，32min =∴t1、只要朝着一个方向努力，一切都会变得得心应手。

22.4.264.26.202217:3217:32:36Apr-2217:322、心不清则无以见道，志不确则无以定功。

二〇二二年四月二十六日2022年4月26日星期二3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。