第1部分 第六章 第5节 宇宙航行

v＝ GRM＝
Gρ·R43πR3＝
43πGρR2
＝ 43×3.14×6.67×10－11×1.41×1011×6.4×1062 m/s ＝4.02×107 m/s。 [答案] (1)1.41×1011 kg/m3 (2)4.02×107 m/s
返回
[借题发挥] 第一宇宙速度 v＝ GRM＝ gR，也可应用于其他星体， 只不过公式中的 M、R、g 应为相应天体的质量、半径和表 面重力加速度。
[思路点拨] 只要保证赤道上的物体不被“甩”掉，其他 地方的物体就不会被“甩”掉。
返回
[解析] (1)假设赤道上的物体刚好不被“甩”掉，则此时
白矮星对物体的万有引力恰好提供物体随白矮星转动的向
心力，设白矮星质量为 M，半径为 r，赤道上物体的质量为
m，则有 GMr2m＝m4Tπ22r，白矮星的质量为 M＝4GπT2r23。白矮星
返回
对应的速度大小即是第一宇宙速度。
又在星球表面附近重力提供做圆周运动的向心力，即 mg＝F 向， 则 mg＝m4Tπ22R，
所以运动周期 T＝2π v20Rh。
答案：(1)v20h2 (2)v0
R 2π 2Rh
2h
v0
返回
[例2] 已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g， 某人造地球卫星在距地球表面高度等于地球半径3倍处做匀 速圆周运动，求：
由 mg＝mvR2得 v＝ gR＝ 9.8×6 400×103 m/s＝7.9 km/s。
返回
(2)第二宇宙速度：在地面上发射物体，使之能够脱离 地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或绕其他行 星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，其大小为v＝ 11.2 km/s。
(3)第三宇宙速度：在地面上发射物体，使之最后能脱 离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的 最小发射速度，其大小为v ＝16.7 km/s。
3．第二宇宙速度为11.2 km/s，其意义表示物体脱离地球的 束缚所需要的最小发射速度。
4．第三宇宙速度为16.7 km/s，其意义为物体脱离太阳引力 的束缚所需的最小发射速度。
返回
返回
[自学教材] 1．人造地球卫星
(1)概念：如图6－5－1所示，当物体 的 初速度足够大时，它将会围绕 地球旋转
Rr ，故 C 正确。 答案：AC
返回
返回
[例1] 人们认为某些白矮星(密度较大的恒星)每秒钟大 约自转一周(引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，地球半径R 约为6.4×103 km)。
(1)为使其表面上的物体能够被吸引住而不致于由于快速 转动而被“甩”掉，它的密度至少为多少？
(2)假设某白矮星的密度约为此值，且其半径等于地球半 径，则它的第一宇宙速度约为多少？
4π2r3
的密度为
ρ
＝
M V
＝
GT2 43πr3
＝
3π GT2
＝
3×3.14 6.67×10－11×12
kg/m3 ＝
1.41×1011 kg/m3。
返回
(2)白矮星的第一宇宙速度，就是物体在万有引力作用下沿 白矮星表面绕它做匀速圆周运动时的速度，即 GMRm2 ＝mvR2。白 矮星的第一宇宙速度为
返回
[例3] 发射地球同步卫星时，先将 卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火， 使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火， 将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相 图6－5－4 切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图6－5－4所示。卫星分别 在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是 ( )
返回
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2 上经过Q点时的加速度 D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上 经过P点时的加速度
返回
相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球 同步卫星，又叫通讯卫星。同步卫星有以下几个特点：
(1)同步卫星的运行方向与地球自转方向一致。 (2)同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，即T＝24 h。 (3)同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度。 (4)要与地球同步，卫星的轨道平面必须与赤道平面平行， 又由于向心力是万有引力提供的，万有引力必须在轨道平面上， 所以同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星 都在赤道的正上方，不可能定点在我国某地上空。
返回
3．同步卫星离地心的距离为 r，运行速度为 v1，加速度为 a1，
地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 a2，第一宇
宙速度为 v2，地球的半径为 R，则
()
A.aa12＝Rr
B.aa12＝Rr
C.vv12＝
R r
D.vv12＝Rr22
返回
解析：同步卫星和地球赤道上的物体绕地心运动的角速度相 同，由 a＝ω2r∝r，可得aa12＝Rr ，所以 A 正确。又由 GMr2m＝ mvr2，得 v＝ GrM，对于同一中心天体有 v∝ 1r，所以vv12＝
而不再落回地面，成为一颗绕地球转动
的人造卫星。
(2)运动规律：一般情况下可认为人 造卫星绕地球做 匀速圆周 运动。
图6－5－1
(3)向心力来源：人造地球卫星的向心力由 地球对它 的万有引力 提供。
返回
2．宇宙速度 (1)第一宇宙速度：v1＝ 7.9 km/s ，又称环绕速度。 (2)第二宇宙速度：v2＝ 11.2 km/s ，又称脱离速度。 (3)第三宇宙速度：v3＝ 16.7 km/s ，也叫逃逸速度。 3．梦想成真 1957年10月， 前苏联 成功发射了第一颗人造卫星； 1969年7月，美国“阿波罗11号”登上 月球 ； 2003年10月15日，我国航天员 杨利伟 踏入太空。
返回
[重点诠释] 对宇宙速度的理解 宇宙速度是满足地球上不同要求的卫星的发射速度，不 能理解成卫星的运行速度。 (1)第一宇宙速度：指人造卫星在地面附近绕地球做匀 速圆周运动所具有的速度，是人造地球卫星的最小发射速度， v＝7.9 km/s。 设地球质量为M，卫星质量为m，卫星到地心的距离为r， 卫星做匀速圆周运动的线速度为v ，根据万有引力定律和牛 顿第二定律得：
返回
1．宇航员在某星球表面以初速度v0竖直向上抛出一个物体， 物体上升的最大高度为h。已知该星球的半径为R，且物 体只受该星球引力的作用。 (1)求该星球表面的重力加速度。 (2)如果要在这个星球上发射一颗贴近它表面运行的卫星， 求该卫星做匀速圆周运动的线速度和周期。
返回
解析：(1)根据运动学规律，物体上抛过程中有 v20＝2gh 所以星 球表面的重力加速度 g＝v20h2。 (2)卫星贴近星球表面运转时其轨道半径近似等于星球的半径， 万有引力提供向心力。根据牛顿第二定律得 GMRm2 ＝mg＝mvR2，v＝ gR＝v0 2Rh。
返回
GMr2m＝mvr2，v＝
GrM。
应用近地条件 r≈R(R 为地球半径)，取 R＝6 400 km，M
＝6×1024 kg，则：
v＝ GRM＝7.9 km/s。 第一宇宙速度的另一种推导：在地面附近，万有引力近
似等于重力，此力提供卫星做匀速圆周运动的向心力。(地球 半径 R、地面重力加速度 g 已知)
返回
2.如图6－5－3中的圆a、b、c，其圆心
均位 于地球的自转轴 线上，对卫星
环绕地球做匀速圆周运动而言，以下
说法正确的是
()
A．卫星的轨道可能为a
B．卫星的轨道可能为b
C．卫星的轨道可能为c
D．同步卫星的轨道只可能为b
图6－5－3
返回
解析：由于物体做匀速圆周运动时，合力一定是指向圆心 的，所以地球卫星的圆心应与地球球心重合，A错误、B、 C正确。同步卫星的轨道必须在赤道上方，选项D正确。 答案：BCD
卫星沿椭圆轨道运行时，在近地点做离心运动，说明近地
点的速度大于第一宇宙速度，D错误。
答案：BCBiblioteka 返回1.人造卫星的轨道
卫星绕地球做匀速圆周运动时
由地球对它的万有引力充当向心力。
因此卫星绕地球做匀速圆周运动的
圆心必与地心重合，而这样的轨道
图6－5－2
有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过
两极点上空的极地轨道。当然也应存在着与赤道平面成某
一角度的圆轨道。如图6－5－2所示。
返回
2．人造卫星的运行规律
(1)人造卫星的运行速率：由 GMr2m＝mrv2得 v＝
GrM，即
为人造卫星绕地球做匀速圆周运动时的线速度。说明轨道半径
越大，卫星做圆周运动的线速度就越小；当 r＝R 时，卫星绕地
面运行，v＝ GRM＝7.9 km/s，这是第一宇宙速度，也是卫星
返回
1．关于第一宇宙速度，下列说法正确的是
()
A．它是人造地球卫星绕地球运行的最小速度
B．它是人造地球卫星在近地圆轨道上的绕行速度
C．它是能使卫星进入近地圆轨道的最小发射速度
D．它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度
解析：第一宇宙速度是卫星的最小发射速度，也是卫星环
绕地球做圆周运动的最大绕行速度，A错误；B、C正确；
(1)卫星的线速度； (2)卫星绕地球做匀速圆周运动的周期。 [思路点拨] 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动所需 的向心力由万有引力提供；物体在地球表面所受的重力等于 万有引力。
返回
[解析] 设卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为 T，根据
万有引力定律和牛顿第二定律得
GM4Rm2＝m4vR2 ，GM4Rm2＝m(2Tπ)2·4R。
返回
解析：卫星绕地球做圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引 力提供，由万有引力定律和牛顿第二定律得 GMr2m＝m(2Tπ)2r， 得 r∝ 3 T2。又 TA∶TB＝1∶8，得rrAB＝ 3 TTBA2＝ 3 182＝14。 由卫星做匀速圆周运动得 v＝2Tπr，所以 v∝Tr ，则vvAB＝rrABTTBA＝14 ×81＝2∶1。 答案：D