运筹学与最优化方法：线性规划案例分析报告
运筹学案例分析报告
运筹学案例分析报告班级：姓名：学号：完成日期：问题一、一、问题描述京成畜产品有限公司计划在市区的东、南、西、北四区建立销售部部门市场，拟议中有10个位置A j(j=1,2,3,4,...,10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定：在东区由A1,A2,A3三个点至多选择两个；在西区由A4,A5两个点中至多选一个；在南区由A6,A7两个点中至少选一个；在北区由A8,A9,A10三个点中至少选两个。
A j各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同而不同，预测情况如下表（单位：万元）。
但投资总额不超过720万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润最大？二、模型建立设0-1变量X i=1（点被选用)或0（A i点没被选用）。
建立数学模型：目标函数:maxZ=36X1+40X2+50X3+22X4+20X5+30X6+25X7+48X8+58X9+61X10约束条件:100X1+120X2+150X3+80X4+70X5+90X6+80X7+149X8+160X9+180X10<=720X1+X2+X3<=2X4+X5>=1X6+X7>=1X8+X9+X10>=2X i>=0,且X i为0-1变量，i=1,2,3,...,10其lingo程序为：model:sets:row/1..5/:b;col/1..10/:c,x;links(row,col):a;endsetsdata:b=720 2 -1 -1 -2;c=36 40 50 22 20 30 25 48 58 61;a=100 120 150 80 70 90 80 140 160 1801 1 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 -1 -10 0 0 0 00 0 0 0 0 -1-1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1;enddatamax=@sum(col(j):c(j)*x(j));@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<=b(i));@for(col(j):@bin(x));end三、模型求解与分析通过lingo程序的求解，我们可以获得如下数据：Global optimal solution found.Objective value: 245.0000 Objective bound: 245.0000 Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostB( 1) 720.0000 0.000000B( 2) 2.000000 0.000000B( 3) -1.000000 0.000000B( 4) -1.000000 0.000000B( 5) -2.000000 0.000000C( 1) 36.00000 0.000000C( 2) 40.00000 0.000000C( 3) 50.00000 0.000000C( 4) 22.00000 0.000000C( 5) 20.00000 0.000000C( 6) 30.00000 0.000000C( 7) 25.00000 0.000000C( 8) 48.00000 0.000000C( 9) 58.00000 0.000000C( 10) 61.00000 0.000000X( 1) 1.000000 -36.00000X( 2) 1.000000 -40.00000X( 3) 0.000000 -50.00000X( 4) 0.000000 -22.00000X( 5) 1.000000 -20.00000X( 6) 1.000000 -30.00000X( 7) 0.000000 -25.00000X( 8) 0.000000 -48.00000X( 9) 1.000000 -58.00000X( 10) 1.000000 -61.00000A( 1, 1) 100.0000 0.000000A( 1, 3) 150.0000 0.000000 A( 1, 4) 80.00000 0.000000 A( 1, 5) 70.00000 0.000000 A( 1, 6) 90.00000 0.000000 A( 1, 7) 80.00000 0.000000 A( 1, 8) 140.0000 0.000000 A( 1, 9) 160.0000 0.000000 A( 1, 10) 180.0000 0.000000 A( 2, 1) 1.000000 0.000000 A( 2, 2) 1.000000 0.000000 A( 2, 3) 1.000000 0.000000 A( 2, 4) 0.000000 0.000000 A( 2, 5) 0.000000 0.000000 A( 2, 6) 0.000000 0.000000 A( 2, 7) 0.000000 0.000000 A( 2, 8) 0.000000 0.000000 A( 2, 9) 0.000000 0.000000 A( 2, 10) 0.000000 0.000000 A( 3, 1) 0.000000 0.000000 A( 3, 2) 0.000000 0.000000 A( 3, 3) 0.000000 0.000000 A( 3, 4) -1.000000 0.000000 A( 3, 5) -1.000000 0.000000 A( 3, 6) 0.000000 0.000000 A( 3, 7) 0.000000 0.000000 A( 3, 8) 0.000000 0.000000 A( 3, 9) 0.000000 0.000000 A( 3, 10) 0.000000 0.000000 A( 4, 1) 0.000000 0.000000A( 4, 3) 0.000000 0.000000A( 4, 4) 0.000000 0.000000A( 4, 5) 0.000000 0.000000A( 4, 6) -1.000000 0.000000A( 4, 7) -1.000000 0.000000A( 4, 8) 0.000000 0.000000A( 4, 9) 0.000000 0.000000A( 4, 10) 0.000000 0.000000A( 5, 1) 0.000000 0.000000A( 5, 2) 0.000000 0.000000A( 5, 3) 0.000000 0.000000A( 5, 4) 0.000000 0.000000A( 5, 5) 0.000000 0.000000A( 5, 6) 0.000000 0.000000A( 5, 7) 0.000000 0.000000A( 5, 8) -1.000000 0.000000A( 5, 9) -1.000000 0.000000A( 5, 10) -1.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 245.0000 1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 0.000000 由此我们可以分析得出最优目标函数值为245.最优解为：X1=1,X2=1,X3=0,X4=0,X5=1,X6=1,X7=0,X8=0,X9=1,X10=1.四、结论当选择A1，A2，A5，A6，A10几个销售点时可获得最大利润245万元。
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
管理运筹学案例分析
【案例1】某厂排气管车间生产计划的优化分析
1．问题的提出 排气管作为发动机的重要部件之一，极大地影响发动机的性能。某
发动机厂排气管车间长期以来，只生产一种四缸及一种六缸发动机的排 气管。由于其产量一直徘徊不前，致使投资较大的排气管生产线，一直 处于吃不饱状态，造成资源的大量浪费，全车间设备开动率不足50%。
税收
15 16 14.8 17 16.5 14.5 15.6 15.5
售价
150 160.1 149 172 166 145.6 157.8 155.8
利润
13.545 14.00114.99 15.56 15.312 12.8735 15.892 13.74
（元）
注：表中售价为含税价。
表C-3 设备加工能力一览表
【案例2】配料问题
某饲料公司生产肉用种鸡配合饲料，每千克饲料所需营养质量要求如表
C－4所示。
表C－4
营养成分 肉用种鸡国家标准 肉用种鸡公司标准
产蛋鸡标准
代谢能
2.7~2.8Mcal/kg
≥2.7Mcal/kg
≥2.65Mcal/kg
粗蛋白
135 ~145g/kg
135 ~145g/kg
≥151g/kg
x6 菜饼 0.32 1.62 360 113 8.1 7.1 5.3 8.4
x7 鱼粉 1.54 2.80 450 0 29.1 11.8 63 27
x8 槐叶粉 0.38 1.61 170 108 10.6 2.2 4.0 4.0
x9 DL-met 23.0
980
x10 骨粉 0.56
300 140
8.摇臂钻床 4.1 4.0 4.0 4.3 4.2 3.8 4.3 4.3
运筹学实践教学报告范文(3篇)
第1篇一、引言运筹学作为一门应用数学分支，广泛应用于经济管理、工程技术、军事决策等领域。
本报告旨在通过运筹学实践教学，验证理论知识在实际问题中的应用效果，提高学生的实践能力和创新能力。
以下是对本次实践教学的总结和反思。
二、实践教学内容1. 线性规划问题本次实践教学选择了线性规划问题作为研究对象。
通过建立线性规划模型，我们尝试解决生产计划、资源分配等实际问题。
- 案例一：生产计划问题某公司生产A、B两种产品，每单位A产品需消耗2小时机器时间和3小时人工时间，每单位B产品需消耗1小时机器时间和2小时人工时间。
公司每天可利用机器时间为8小时，人工时间为10小时。
假设A、B产品的利润分别为50元和30元，请问如何安排生产计划以获得最大利润？- 建模：设A产品生产量为x，B产品生产量为y，目标函数为最大化利润Z = 50x + 30y，约束条件为：\[\begin{cases}2x + y \leq 8 \\3x + 2y \leq 10 \\x, y \geq 0\end{cases}\]- 求解：利用单纯形法求解该线性规划问题，得到最优解为x = 3，y = 2，最大利润为240元。
- 案例二：资源分配问题某项目需要分配三种资源：人力、物力和财力。
人力为50人，物力为100台设备，财力为500万元。
根据项目需求，每种资源的需求量如下：- 人力：研发阶段需20人，生产阶段需30人；- 物力：研发阶段需30台设备，生产阶段需50台设备；- 财力：研发阶段需100万元，生产阶段需200万元。
请问如何合理分配资源以满足项目需求？- 建模：设人力分配量为x，物力分配量为y，财力分配量为z，目标函数为最大化总效用U = x + y + z，约束条件为：\[\begin{cases}x \leq 20 \\y \leq 30 \\z \leq 100 \\x + y + z \leq 500\end{cases}\]- 求解：利用线性规划软件求解该问题，得到最优解为x = 20，y = 30，z = 100，总效用为150。
运筹学实验报告五最优化问题
2018-2019学年第一学期《运筹学》实验报告（五）班级：交通运输171学号： **********姓名： *****日期： 2018.12.6654321m in x x x x x x z +++++=..ts 6,...,2,1,0302050607060655443322116=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥+i x x x x x x x x x x x x x x i i 均为整数，且实验一：一、问题重述某昼夜服务的公共交通系统每天各时间段（每4个小时为一个时段）所需的值班人数如下表所示。
这些值班人员在某一时段开始上班后要连续工作8个小时（包括轮流用膳时间）。
问该公交系统至少需要多少名工作人员才能满足值班的需要？设该第i 班次开始上班的工作人员的人数为x i 人，则第i 班次上班的工作人员将在第（i+1）班次下班。
（i=1,2,3,4,5,6）三、数学模型四、模型求解及结果分析Global optimal solution found.Objective value: 150.0000Objective bound: 150.0000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 4Variable Value Reduced CostX1 60.00000 1.000000X2 10.00000 1.000000X3 50.000001.000000X4 0.000000 1.000000X5 30.00000 1.000000X6 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus DualPrice1 150.0000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 10.00000 0.0000007 0.000000 0.000000根据Lingo程序运行结果分析可知：当第i班次开始上班的工作人员排布如下时，所需人力最少，为150人。
运筹学实例分析及lingo求解
运筹学实例分析及lingo 求解一、线性规划某公司有6个仓库，库存货物总数分别为60、55、51、43、41、52，现有8个客户各要一批货，数量分别为35，37，22，32，41，32，43，38。
各供货仓库到8个客户处的单位货物运输价见表试确定各仓库到各客户处的货物调运数量，使总的运输费用最小。
解：设ijx 表示从第i 个仓库到第j 个客户的货物运量。
ij c表示从第i 个仓库到第j 个客户的单位货物运价，i a 表示第i 个仓库的最大供货量，j d 表示第j 个客户的订货量。
目标函数是使总运输费用最少，约束条件有三个：1、各仓库运出的货物总量不超过其库存数2、各客户收到的货物总量等于其订货数量3、非负约束数学模型为：∑∑===6181)(min i j ijij x c x f⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥===≤∑∑==08,,2,1,6,2,1,,..6181ij j i ij i j ij x j d x i a x t s 编程如下：model : Sets :Wh/w1..w6/:ai;Vd/v1..v8/:dj;links(wh,vd):c,x;endsetsData:ai=60,55,51,43,41,52;dj=35,37,22,32,41,32,43,38;c=6,2,6,7,4,2,5,94,9,5,3,8,5,8,25,2,1,9,7,4,3,37,6,7,3,9,2,7,12,3,9,5,7,2,6,55,5,2,2,8,1,4,3;EnddataMin=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j));@for(wh(i):@sum(vd(j):x(i,j))<=ai(i));@for(vd(j):@sum(wh(i):x(i,j))=dj(j));endGlobal optimal solution found.Objective value: 664.0000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost AI( W1) 60.00000 0.000000 AI( W2) 55.00000 0.000000 AI( W3) 51.00000 0.000000 AI( W4) 43.00000 0.000000 AI( W5) 41.00000 0.000000 AI( W6) 52.00000 0.000000 DJ( V1) 35.00000 0.000000 DJ( V2) 37.00000 0.000000 DJ( V3) 22.00000 0.000000 DJ( V4) 32.00000 0.000000 DJ( V5) 41.00000 0.000000 DJ( V6) 32.00000 0.000000 DJ( V7) 43.00000 0.000000 DJ( V8) 38.00000 0.000000 C( W1, V1) 6.000000 0.000000 C( W1, V2) 2.000000 0.000000 C( W1, V3) 6.000000 0.000000 C( W1, V4) 7.000000 0.000000 C( W1, V5) 4.000000 0.000000 C( W1, V6) 2.000000 0.000000C( W1, V8) 9.000000 0.000000 C( W2, V1) 4.000000 0.000000 C( W2, V2) 9.000000 0.000000 C( W2, V3) 5.000000 0.000000 C( W2, V4) 3.000000 0.000000 C( W2, V5) 8.000000 0.000000 C( W2, V6) 5.000000 0.000000 C( W2, V7) 8.000000 0.000000 C( W2, V8) 2.000000 0.000000 C( W3, V1) 5.000000 0.000000 C( W3, V2) 2.000000 0.000000 C( W3, V3) 1.000000 0.000000 C( W3, V4) 9.000000 0.000000 C( W3, V5) 7.000000 0.000000 C( W3, V6) 4.000000 0.000000 C( W3, V7) 3.000000 0.000000 C( W3, V8) 3.000000 0.000000 C( W4, V1) 7.000000 0.000000 C( W4, V2) 6.000000 0.000000 C( W4, V3) 7.000000 0.000000 C( W4, V4) 3.000000 0.000000 C( W4, V5) 9.000000 0.000000 C( W4, V6) 2.000000 0.000000 C( W4, V7) 7.000000 0.000000 C( W4, V8) 1.000000 0.000000 C( W5, V1) 2.000000 0.000000 C( W5, V2) 3.000000 0.000000 C( W5, V3) 9.000000 0.000000 C( W5, V4) 5.000000 0.000000 C( W5, V5) 7.000000 0.000000 C( W5, V6) 2.000000 0.000000 C( W5, V7) 6.000000 0.000000 C( W5, V8) 5.000000 0.000000 C( W6, V1) 5.000000 0.000000 C( W6, V2) 5.000000 0.000000 C( W6, V3) 2.000000 0.000000 C( W6, V4) 2.000000 0.000000 C( W6, V5) 8.000000 0.000000 C( W6, V6) 1.000000 0.000000 C( W6, V7) 4.000000 0.000000 C( W6, V8) 3.000000 0.000000 X( W1, V1) 0.000000 5.000000 X( W1, V2) 19.00000 0.000000X( W1, V4) 0.000000 7.000000 X( W1, V5) 41.00000 0.000000 X( W1, V6) 0.000000 2.000000 X( W1, V7) 0.000000 2.000000 X( W1, V8) 0.000000 10.00000 X( W2, V1) 1.000000 0.000000 X( W2, V2) 0.000000 4.000000 X( W2, V3) 0.000000 1.000000 X( W2, V4) 32.00000 0.000000 X( W2, V5) 0.000000 1.000000 X( W2, V6) 0.000000 2.000000 X( W2, V7) 0.000000 2.000000 X( W2, V8) 0.000000 0.000000 X( W3, V1) 0.000000 4.000000 X( W3, V2) 11.00000 0.000000 X( W3, V3) 0.000000 0.000000 X( W3, V4) 0.000000 9.000000 X( W3, V5) 0.000000 3.000000 X( W3, V6) 0.000000 4.000000 X( W3, V7) 40.00000 0.000000 X( W3, V8) 0.000000 4.000000 X( W4, V1) 0.000000 4.000000 X( W4, V2) 0.000000 2.000000 X( W4, V3) 0.000000 4.000000 X( W4, V4) 0.000000 1.000000 X( W4, V5) 0.000000 3.000000 X( W4, V6) 5.000000 0.000000 X( W4, V7) 0.000000 2.000000 X( W4, V8) 38.00000 0.000000 X( W5, V1) 34.00000 0.000000 X( W5, V2) 7.000000 0.000000 X( W5, V3) 0.000000 7.000000 X( W5, V4) 0.000000 4.000000 X( W5, V5) 0.000000 2.000000 X( W5, V6) 0.000000 1.000000 X( W5, V7) 0.000000 2.000000 X( W5, V8) 0.000000 5.000000 X( W6, V1) 0.000000 3.000000 X( W6, V2) 0.000000 2.000000 X( W6, V3) 22.00000 0.000000 X( W6, V4) 0.000000 1.000000 X( W6, V5) 0.000000 3.000000 X( W6, V6) 27.00000 0.000000X( W6, V8) 0.000000 3.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 664.0000 -1.000000 2 0.000000 3.000000 3 22.00000 0.000000 4 0.000000 3.000000 5 0.000000 1.000000 6 0.000000 2.000000 7 0.000000 2.000000 8 0.000000 -4.000000 9 0.000000 -5.000000 10 0.000000 -4.000000 11 0.000000 -3.000000 12 0.000000 -7.000000 13 0.000000 -3.000000 14 0.000000 -6.000000 15 0.000000 -2.000000由以上结果可以清楚的看到由各仓库到各客户处的货物调运数量，由此得出的符合条件的最佳运货方案，而使运费最低，最低为664。
运筹学案例分析
运筹学案例分析⼀.案例描述西兰物业公司承担了正⼤⾷品在全市92个零售店的⾁类、蛋品和蔬菜的运送业务，运送业务要求每天4点钟开始从总部发货，必须在7:30前送完货（不考虑空车返回时间）。
这92个零售点每天需要运送货物吨，其分布情况为：5千⽶以内为A区，有36个点，从总部到该区的时间为20分钟；10千⽶以内5千⽶以上的为B区，有26个点，从总部到该区的时间为40分钟；10千⽶以上的为C区，有30个点，从总部到该区的时间为60分钟；A区各点间的运送的时间为5分钟，B区各点间的运送时间为10分钟，C区各点间的运送时间为20分钟，A区到B区的运送时间为20分钟，B区到C 区的运送时间为20分钟，A区到C区的运送时间为40分钟。
每点卸货、验收时间为30分钟。
该公司准备购买规格为2吨的运送车辆，每车购价5万元。
请确定每天的运送⽅案，使投⼊的购买车辆总费⽤为最少。
⼆.案例中关键因素及其关系分析关键因素：1.⾸先针对⼀辆车的运送情况作具体分析，进⽽推⼴到多辆车的运送情况；2.根据案例中的关键点“零售点每天需要运送货物吨”及“规格为2吨的运送车辆”可知就⼀辆车运送⽽⾔，可承担4个零售点的货物量；3.根据案例中的“运送业务要求每天4点钟开始从总部发货，必须在7:30前送完货（不考虑空车返回时间）”可知每天货物运送的总时间为210分钟，超过该时间的运送⽅案即为不合理；4.如下表以套裁下料的⽅法列出所有可能的下料防案，再逐个分析。
三、模型构建1、决策变量设置设已穷举的12个⽅案中⽅案i所需的车辆数为决策变量Xi （i=1，2…12），即：⽅案1的运送车台数为X1；⽅案2的运送车台数为X2；⽅案3的运送车台数为X3；⽅案4的运送车台数为X4；⽅案5的运送车台数为X5；⽅案6的运送车台数为X6；⽅案7的运送车台数为X7；⽅案8的运送车台数为X8；⽅案9的运送车台数为X9；⽅案10的运送车台数为X10；⽅案11的运送车台数为X11；⽅案12的运送车台数为X12。
线性规划应用案例分析
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例6．某工厂要用三种原料1、 2、3混合调配出三种不同规格的 产品甲、乙、丙，数据如右表。 原材料名称 问：该厂应如何安排生产，使利 1 2 润收入为最大？
3
产品名称 规格要求 单价（元/kg） 50 甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% 35 乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% 25 丙 不限 每天最多供应量 100 100 60 单价（元/kg） 65 25 35
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• 利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使 用的原料单价*原料数量，故有 目标函数
Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
设备 A1 A2 B1 B2 B3 原料（元/件） 售价（元/件） Ⅰ 5 7 6 4 7 0.25 1.25 产品单件工时 Ⅱ Ⅲ 10 9 12 8 11 0.35 2.00 0.50 2.80
8
设备的 有效台时 6000 10000 4000 7000 4000
满负荷时的 设备费用 300 321 250 783 200
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目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为： 利润 = [（销售单价 - 原料单价）* 产品件数]之和 -
（每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。
这样得到目标函数：
运筹学中的优化算法与算法设计
运筹学中的优化算法与算法设计运筹学是一门研究如何通过优化决策来解决实际问题的学科。
而优化算法则是运筹学中的关键工具，旨在通过数学方法寻找最优解决方案。
本文将介绍运筹学中常用的优化算法，并讨论其设计和应用。
一、线性规划算法线性规划是运筹学中最基础的优化问题之一，其目标是在给定的线性约束条件下，寻找目标函数的最优解。
常用的线性规划算法包括单纯形算法和内点算法。
单纯形算法是一种迭代算法，通过在顶点之间的移动来逐步逼近最优解。
该算法在实践中表现优秀，但在某些情况下可能会出现效率较低的问题。
内点算法是一种基于路径追踪的算法，通过在可行域内寻找最优解。
相比于单纯形算法，内点算法能够更好地处理大规模问题和边界约束条件。
二、整数规划算法整数规划是线性规划的扩展，其决策变量被限制为整数。
由于整数规划问题的复杂性，常规求解方法往往难以找到最优解。
常用的整数规划算法包括分枝定界法和割平面法。
分枝定界法通过不断地将问题分解为子问题，并在每个子问题中进行求解，最终得到最优解。
该算法的关键在于选择合适的分枝策略，以尽可能地减少子问题的规模。
割平面法是一种利用线性不等式来减小可行域的方法。
通过引入额外的约束条件，该算法能够逐步逼近最优解。
割平面法在求解0-1整数规划等问题时表现出色。
三、进化算法进化算法是一类基于自然进化原理的优化算法，其灵感来源于生物的进化过程。
常见的进化算法包括遗传算法和粒子群优化算法。
遗传算法模拟自然界中的遗传过程，通过选择、交叉和变异等操作来生成新的解，并逐步逼近最优解。
该算法擅长于处理复杂的组合优化问题。
粒子群优化算法模拟鸟群中鸟离食物的搜索过程，通过不断地更新位置和速度来寻找最优解。
该算法对于连续优化问题有较好的效果。
四、模拟退火算法模拟退火算法是一种基于物理退火原理的全局优化算法。
该算法通过模拟金属退火过程中的原子运动来搜索最优解。
模拟退火算法的核心是在求解过程中引入随机性，通过接受劣解的方式跳出局部最优。
运筹学案例分析报告
导言：每一个企业都是为了赚取利润，想要赚取更多的利润就要想办法节约自己的成本，那怎么节约自己的成本呢？运筹学是一门用纯数学的方法来解决最优方法的选择安排的学科。
运输是配送的必需条件，但是怎么才干让武城万事达酒水批发厂在运输问题是节约运输成本呢？我们就运用运筹学的方法来进行分析。
我们对他原来的运输路线进行调查，计算原来需要的运输成本，对它的运输方式我们进行研究然后确定新的运输路线为他节约运输成本。
武城万事达酒水批发有四个仓库存储啤酒分别为 1、2、3、4,有五个销地A、B、C、D、E，各仓库的库存与各销售点的销售量(单位均为 t)，以及各仓库到各销售地的单位运价(元/t)。
半年中， 1、2、3、4 仓库中分别有 300、400、500、300 吨的存量，半年内 A、B、C、D、E 五个销售地的销量分别为 170、370、500、340、120 吨。
且从 1 仓库分别运往 A、B、C、D、E 五个销售地的单位运价分别为 300、350、280、380、310 元，从 2 仓库分别运往 A、B、C、D、E 五个销售地的单位运价分别 310、270、390、320、340 元，从 3 仓库分别运往A、B、C、D、E 五个销售地的单位运价分别 290、320、330、360、300 元，从 4 仓库分别运往 A、B、C、D、E 五个销售地的单位运价分别 310、340、320、350、320 元。
具体情况于下表所示。
求产品如何调运才干使总运费最小？仓库销地123存量300400500 A B D EC武城万事达酒水批发原来的运输方案：E 销售地的产品从 1 仓库供给， D 销售地的产品全由 2 仓库供给， C 销售地 全由 3 仓库供给， A 、B 销售地产品全由4 仓库供给。
即：产生的运输费用为 Z1Z =310*120+320*340+330*500+340*370+310*170=48950011、决策变量的设置设所有方案中所需销售量为决策变量 X ij (i=1、2、3、4，j=A 、B 、C 、D 、E) ， 即：方案 1：是由仓库 1 到销售地 A 的运输量 X 1A方案 2：是由仓库 1 到销售地 B 的运输量 X 1B方案 3：是由仓库 1 到销售地 C 的运输量 X 1C方案 4：是由仓库 1 到销售地 D 的运输量 X 1D方案 5：是由仓库 1 到销售地 E 的运输量 X 1E方案 6：是由仓库 2 到销售地 A 的运输量 X 2A方案 7：是由仓库 2 到销售地 B 的运输量 X 2B方案 8：是由仓库 2 到销售地 C 的运输量 X 2C方案 9：是由仓库 2 到销售地 D 的运输量 X 2D方案 10：是由仓库 2 到销售地 E 的运输量 X 2E方案 11：是由仓库 3 到销售地 A 的运输量 X 3A4 300销量 170 370 500 340 120 1500方案 12：是由仓库 3 到销售地 B 的运输量 X3B方案 13：是由仓库 3 到销售地 C 的运输量 X3C方案 14：是由仓库 3 到销售地 D 的运输量 X3D方案 15：是由仓库 3 到销售地 E 的运输量 X3E方案 16：是由仓库 4 到销售地A 的运输量 X4A方案 17：是由仓库 4 到销售地B 的运输量 X4B方案 18：是由仓库 4 到销售地 C 的运输量 X4C方案 19：是由仓库 4 到销售地D 的运输量 X4D方案 20：是由仓库 4 到销售地E 的运输量 X4E2、目标函数的确定问题是求在运输过程中使总运费最小目标函数为:Min:Z=300X +350X +280X +380X +310X +310X +270X +390X +320X +340 1A 1B 1C 1D 1E 2A 2B 2C 2DX +290X +320X +330X +360X +300X +310X +340X +320X +350X +320X2E 3A 3B 3C 3D 3E 4A 4B 4C 4D 3A3、约束条件：X +X +X +X +X =3001A 1B 1C 1D 1EX +X +X +X +X =4002A 2B 2C 2D 2EX +X +X +X +X =5003A 2B 3C 3D 3EX +X +X +X +X =3004A 4B 4C 4D 4EX +X +X +X =1701A 2A 3A 4AX +X +X +X =3701B 2B 3B 4BX +X +X +X =5001C 2C 3C 4CX +X +X +X =3401E 2E 3E 4Eij4、运用表上作业法对模型求解：检验是否为最优解：仓库 销地3003501 300 300 20 20 10 10 1030370400 40 10 10 10 10200500 10 10 10 10 10300300 10 10 10 10 10150销量【50】【40】【30】4 517010 10 10 10 【10】12010 10 10 【10】行罚数 1 2 3 4 534030 30 50040 存 量列罚数1 23 370 17012010 A B D EC 4231D 2D 3D 4DX +X +X +X =120 X (i=1、2、3、4，j=A 、B 、C 、D )≥ 0X =X -X +X -X =300-290+360-280=901A 1A 3A 3C 1CX =X -X +X -X =310-290+360-320=602A 2A 3A 4D 2DX =X -X +X -X =310-350+360-290=304A 4A 4D 3D 3AX =X -X +X -X =320-360+320-270=103B 3B 3D 2D 2BX =X -X +X -X =340-350+320-270=404B 4B 4D 2D 2BX =X -X +X -X =390-330+360-320=1002C 2C 3C 3D 2DX =X -X +X -X =320-350+360-330=04C 4C 4D 3D 2CX =X -X +X -X =380-360+330-280=701D 1D 3D 3C 1CX =X -X +X -X =310-300+330-280=601E 1E 3E 3C 1CX =X -X +X -X =340-300+360-320=802E 2E 3E 3D 2DX =X -X +X -X =320-350+360-300=304E 4E 4D 3D 3E我们运用表上作业发对模型求得的一个解我们用闭合回路发进行检验，因为检验数全部是非负的，所以我们找出的解是最优解，最优解为：由 1 仓库运往 C 销地 300 吨， 2 仓库运往 B 地 370 吨， 2 仓库运往 D 地 30 吨， 3 仓库运往 A 销地 170 吨， 3 仓库运往 C 销地 200 吨， 3 仓库运往 D 销地 10吨， 3 仓库运往 E 销地 120 吨， 4 仓库运往 D 销地 300 吨.通过上述计算可知：原武城万事达酒水批发运输方案为： E销售地的产品全部由仓库1供给， D销售地的产品全部由仓库2供给， C销售地的产品全部由仓库3供给， A、 B销售地的产品全部由仓库4供给。
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案例：连续投资的优化问题一、题目：某企业在今后五年内考虑对下列项目投资，已知：项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末收回本利115%。
项目B，第三年年初需要投资，到第五年末能收回本利125%，但规定最大投资额不超过40万元。
项目C，第二年年初需要投资，到第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不超过30万元。
项目D，五年内每年年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%。
该企业5年内可用于投资的资金总额为100万元，问它应如何确定给这些项目的每年投资使得到第五年末获得的投资本利总额为最大？二、建立上述问题的数学模型设X1A,X iB,X iC,X iD（i=1.2.3.4.5）为第i年初给项目A,B,C,D的投资额，它们都是待定的未知量。
由于项目D每年年初均可投资，年末收回本利，固每年的投资额应该等于手中拥有的资金额。
建立该问题的线性规划模型如下：Max Z=1.15X4A+1.40X2C+1.25X3B+1.06X5DX1A+X1D=1000000(1)X2A+X2C+X2D=1.06X1D(2)X3A+X3B+X3D=1.15X1A+1.06X2D(3)s.t.X4A+X4D=1.15X2A+1.06X3D(4)X5D=1.15X3A+1.06X4D(5)X3B<=400000(6)X2C<=300000(7)X1A,X iB,X iC,X iD>=0i=1,2,3,4,5经过整理后如下：Max Z=1.15X4A+1.40X2C+1.25X3B+1.06X5DX1A+X1D=1000000-1.06X1D+X2A+X2C+X2D=0-1.15X1A-1.06X2D+X3A+X3B+X3D=0s.t.-1.15X2A-1.06X3D+X4A+X4D=0-1.15X3A-1.06X4D+X5D=0X3B<=400000X2C<=300000X1A,X iB,X iC,X iD>=0i=1,2,3,4,5三、Excel求解过程以及相应的结果（1）在Excel中进行布局并输入相应的公式相应公式说明：其中目标函数单元格B16中公式为：=G3*E11+G4*D12+G5*C13+G6*F14约束条件为投资额的限制以及每年资金分配部分：每年资金分配部分为原模型中约束（1）~（5）：J11=SUMPRODUCT(B11:B14,J3:J6)；K11=SUMPRODUCT(C11:C14,K3:K6)；L11=SUMPRODUCT(D11:D14,L3:L6)；M11=SUMPRODUCT(E11:E14,M3:M6)；N11=SUMPRODUCT(F11:F14,N3:N6)；投资额约束：原模型中约束（6）~（7）D12<=P4;C13<=P5;（2）设置规划求解参数并进行求解如右图所示：另外单击选项-采用线性模型，假定非负（3）规划求解结果与分析实验数据分析：线性模型的优化的结果将显示在Excel的界面中，决策变量及目标函数的位置就会出现相应的优化结果值，目标函数的优化结果值是143.75。
或者在上述规划求解窗口中选择运算结果报告项，点击确定同样得到相应的优化结果值，显示如下图所示。
中间是决策变量的优化结果值，下面是约束条件在最优结果下的状态描述。
最优解为x1A=34.782608,x2A=39.130436,x4A=45,x3B=40,x2C=30,x1D=65.217392,x3A=x2D=x3D=x4D=x5D=0,最优值z=143.75,在最优条件下，所有的约束条件都刚好达到限制值。
目标单元格(最大值)单元格名字初值终值$B$16目标函数值143.75143.75可变单元格单元格名字初值终值$B$11A71.6981132134.7826087$C$11A 6.17863E-1539.13043478$D$11A42.452830180$E$11A045$F$11A00$G$11A00$B$12B00$C$12B00$D$12B4040$E$12B00$F$12B00$G$12B00$B$13C00$C$13C3030$D$13C00$E$13C00$F$13C00$G$13C00$B$14D28.3018867965.2173913$C$14D00$D$14D00$E$14D00$F$14D48.82075470$G$14D00约束单元格名字单元格值公式状态型数值$J$11投资额第1年100$J$11=$J$13到达限制值0 $K$11投资额第2年69.13043478$K$11=$K$13到达限制值0 $L$11投资额第3年40$L$11=$L$13到达限制值0 $M$11投资额第4年45$M$11=$M$13到达限制值0 $N$11投资额第5年0$N$11=$N$13到达限制值0 $C$13C30$C$13<=$P$5到达限制值0 $D$12B40$D$12<=$P$4到达限制值0除了上述运算结果报告之外，还可以选择敏感性报告选择项，点击确定后就会出现相应的敏感性报告如下图所示。
在此报告中分成上下两部分，上部分是对决策变量目标系数的灵敏度分析，给出了目标系数的当前值和允许的增量和减量；下半部分是对各个约束条件右端常数项的灵敏度分析，给出了约束左端的实际值、右端常数项的当前值以及允许的增量和允许的减量。
可变单元格终递减目标式允许的允许的单元格名字值成本系数增量减量$B$11A34.78260870000.032937736 $C$11A39.130********.0336320750$D$11A00001E+30 $E$11A450 1.150.029******* $F$11A00001E+30 $G$11A00001E+30 $B$12B00001E+30 $C$12B00001E+30 $D$12B400.031 1.251E+300.031 $E$12B00001E+30 $F$12B00001E+30 $G$12B00001E+30 $B$13C00001E+30 $C$13C300.0775 1.41E+300.0775 $D$13C00001E+30 $E$13C00001E+30 $F$13C00001E+30 $G$13C00001E+30 $B$14D65.2173913000.0329377360 $C$14D0-0.0303600.030361E+30 $D$14D00001E+30 $E$14D0 -0.02640000100.0264000011E+30 $F$14D00 1.0601E+30 $G$14D00001E+30约束终阴影约束允许的允许的单元格名字值价格限制值增量减量$J$11第1年100 1.401851001E+3036.91550451$K$11第2年69.13043478 1.322501E+3039.13043478 $L$11第3年40 1.21904042.45283019 $M$11第4年45 1.1501E+3045 $N$11第5年0 1.0601E+300四、Lindo求解过程以及相应的结果（1）运行lindo程序，在程序主界面下编辑程序文件，文件内容如下：Max1.15X4A+1.40X2C+1.25X3B+1.06X5DSTX1A+X1D=1000000-1.06X1D+X2A+X2C+X2D=0-1.15X1A-1.06X2D+X3A+X3B+X3D=0-1.15X2A-1.06X3D+X4A+X4D=0-1.15X3A-1.06X4D+X5D=0X3B<=400000X2C<=300000X1A>=0X2A>=0X3A>=0X4A>=0X3B>=0X2C>=0X1D>=0X2D>=0X3D>=0X4D>=0X5D>=0END（2）进行求解运行，输出如下结果：LP OPTIMUM FOUND AT STEP4OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1)1437500.V ARIABLE V ALUE REDUCED COST X4A450000.0000000.000000X2C300000.0000000.000000X3B400000.0000000.000000X5D0.0000000.000000X1A347826.0937500.000000X1D652173.9375000.000000X2A391304.3437500.000000X2D0.0000000.030360X3A0.0000000.000000X3D0.0000000.000000X4D0.0000000.026400ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2)0.000000 1.4018503)0.000000 1.3225004)0.000000 1.2190005)0.000000 1.150000“6) 0.000000 1.060000 7) 0.000000 0.031000 8) 0.0000000.077500NO. ITERATIONS=4RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESV ARIABLE CURRENT ALLOW ABLE ALLOW ABLECOEF INCREASE DECREASEX4A 1.150000 0.029245 0.000000 X2C 1.400000 INFINITY 0.077500 X3B 1.250000 INFINITY 0.031000 X5D 1.060000 0.000000 INFINITY X1A 0.000000 0.000000 0.032938 X1D 0.000000 0.032938 0.000000 X2A 0.000000 0.033632 0.000000 X2D 0.000000 0.030360 INFINITY X3A 0.000000 0.000000 INFINITY X3D 0.000000 0.000000 INFINITY X4D 0.000000 0.026400 INFINITYRIGHTHAND SIDE RANGESROWCURRENT ALLOW ABLE ALLOW ABLE RHS INCREASE DECREASE2 1000000.000000 INFINITY 369155.0625003 0.000000 INFINITY 391304.3437504 0.000000 400000.031250 424528.3125005 0.000000 INFINITY 450000.0000006 0.000000 INFINITY 0.0000007 400000.000000 424528.312500 400000.0000008 300000.000000 391304.343750 300000.000000运行结果分析：“LP OPTIMUM FOUND AT STEP4 表示经过四次迭代求得最优解。