三反证法与放缩法
三 反证法与放缩法
三 反證法與放縮法☆學習目標： 1. 理解並掌握反證法、換元法與放縮法;2. 會利用反證法、換元法與放縮法證明不等式☻知識情景：1. 不等式證明的基本方法：10. 比差法與比商法(兩正數時)．20. 綜合法和分析法．30. 反證法、換元法、放縮法2. 綜合法：從①已知條件、②不等式的性質、③基本不等式等出發,通過邏輯推理, 推導出所要證明的結論. 這種證明方法叫做綜合法. 又叫由 導 法.用綜合法證明不等式的邏輯關係：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒3. 分析法：從要證的結論出發, 逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證的定理、性質等), 從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法.這是一種執 索 的思考和證明方法.用分析法證明不等式的邏輯關係： ☻新知建構：1.反證法：利用反證法證明不等式，一般有下麵幾個步驟：第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；第二步 作出與所證不等式相反的假定；第三步 從條件和假定出發，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；第四步 斷定產生矛盾結果的原因，在於開始所作的假定不正確，於是原證不等式成立. 分析：反設x y +1≥2，y x +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 與x + y >2矛盾。
例2 已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求證：a , b , c > 0 .12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知.21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证且已知例xy y x y x y x ++>+>.,0,0,0.0.0,0)(,0,0,00,0)2(.0,0,0,0)1(.00,0,,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明>>><∴>++<++=++>-=+∴>++<><=∴>==<=≤c b a a ca bc ab bc c b a ca bc ab a c b c b a bc abc a a abc abc a a a a c b a2. 放縮法：“放”和“縮”的方向與“放”和“縮”的量的大小 由題目分析、多次嘗試得出,要注意放縮的適度.常用的方法是：①添加或舍去一些項，如：a a >+12，n n n >+)1(，②將分子或分母放大（或縮小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+- ③應用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，則a a m b b m +<+”④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=； ⑤利用函數的單調性 ⑥利用函數的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦絕對值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；⑧利用常用結論：如：2=>=()*,1k N k ∈>，2=()*,1k N k ∈>⑨應用貝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯ 例3 若a , b , c , d ∈R +，求證：21<+++++++++++<c ad d b d c c a c b b d b a a 證明：記m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵a , b , c , d ∈R +∴1=+++++++++++++++>c b ad d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立。
数学人教A版选修4-5优化课件：第二讲 三 反证法与放缩法
(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减． 又 fπ2＝0，故 x1＝π2. 当 n∈N*时，因为 f(nπ)f((n＋1)π)＝[(－1)nnπ＋1]·[(－1)n＋1(n＋1)π＋1]<0，且函数 f(x)的图象是连续不断的，所以 f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)内至少存在一个零点．又 f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)上是单调的，故 nπ<xn＋1<(n＋1)π. ∴xn1＋1<n1π，x2n1＋1<π12·n12.……………………………………………………8 分 因此，当 n＝1 时，x121＝π42<23；
探究二 利用放缩法证明不等式
[例 2] 设 Sn＝ 1×2＋ 2×3＋…＋ nn＋1， 求证：不等式nn2＋1<Sn<n＋2 12对所有的正整数 n 都成立． [证明] ∵Sn> 12＋ 22＋…＋ n2＝1＋2＋…＋n＝nn2＋1. 且 Sn<1＋2 2＋2＋2 3＋…＋n＋n2＋1 ＝32＋52＋…＋2n2＋1 <12＋32＋52＋…＋2n2＋1＝n＋2 12 ∴nn2＋1<Sn<n＋2 12.
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答案：<
课时作业
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
1．用放缩法证明不等式的过程中，往往采用添项“添舍”放缩、分项放缩、函
人教数学选修4-5全册精品课件：第二讲三反证法与放缩法
三反证法与放缩法学习目标1・理解并掌握反证法、换元法与放缩法；2.会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式.1.将所证的不等式的字母作适当的代换，以达到简化证题过程的目的，这种方法称为换元法•2.证明不等式时，首先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理，得到和命题的条件或己讦明的定理、性质、明显成立的事实等矛盾的结论,以说明假设不正确，从而证明原命题成立.我们把它称之为反证法.3.在证明不等式时，通过把不等式的某些部分的值放大或缩小,简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.思考感悟运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大（或缩小）要适当.如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大.有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式.课堂互动讲练考点突破反证法证明不等式设0<«v2,0v方v2,0vcv2, 求证: (2 —a)9C, (2—&)•«, (2—c)•方不可能同时大于1.【思路点拨】结论若是“都是”、“都不是”、“至少”、“差不多”或“不等于”形式的命题，往往考虑反证法，本题“不大于”的反面是“大于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”・【ss】sa ^(2—a )・C V L(2—b)・avL(2lc)・0VL s(2—a)・c ・(2—b)・a ・(2—c)・bvl ・CD・・• 0AaA290AT2©<CA292—a+a7・・・(2—a )・a /A( 2) H l ・ 回«“(2—3&A L (2—c )・c/Al ・・・・(2—a )a ・(2—3&・(2—c)・c /A L wIr ㊀m^M. •••s ^^ 暑•【名师点评】当题目结论为否定性命题时，常采用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.变式训练1已知f(x)=x2+px+q,⑴求证：/(1)+/(3)-2/-(2)=2；⑵求证：旷(1)1,『(2)1,『(3)1中至少有一个不小于12-证明：(1加1)+/(3)-欲2)=(l+〃+q)+(9+切+q) —2(4+2p+q)=2・⑵假设肛1)1，『(2)1,『(3)1都小于言・则『⑴ l+2『(2)l+|/(3)lv2・而f(l)l+2『(2)l + !A3)IM/⑴+/(3)—欲2)=(l+p+q)+(9+3p+q)—(8+4p+2q)=2 从而导出了两个矛盾的结果.・・・『(1)1、『(2)1、『(3)1中至少有一个不小于乞已知 0>0，6>0, C>0,且 0+方 2=c2.求证:当〃 M3时,a tl +b n <c n.岁点二Ih换元法证明不等式【思路点拨】条件中的^+b2=c2可化为(夕尸L/ + (£)2=1,满足这个关系的务可以用三角代换，变成三角函数式的证明.【证明】sinA=_, cosA=-，c c0<sinA<l,0<cosA<l,/. sin A+cos"A=sin" 一2A «siii2A+cos" 一2A POS%<sin2A+COS2A = 1,即(#)"+(£)"vl・:.a n+b n<c n.④对于pl —込可设工=cos 〃或x=sin 仇【名师点评】 如果两个非负数的和为1,就可用 某个角的正、余弦表示这两个数，使两个变量变成一个以角为变量的三角函数式，三角代换的规律②若 a 2+b 2=r 2(r>0)9 可设 a=rcosa, ③若 r 2^a 2+b 2^R 2(R>r>0),可设 a=ccosa, b =csimz(/WcWR)；x=cos 伏 y=sin 〃；fe=rsina ；为:・号巴+半+1+卡・・・GWZ+9ZZ启z+ra启 s +1+a +ys o e a +9z u le 「z +£0。
《三 反证法与放缩法》教学案3
《反证法与放缩法》教学案教学目标1、理解掌握反证法放缩法的基本原理和思路；2、会用上述方法证明一些简单的不等式.教学重、难点重点：掌握反证法放缩法的基本原理和思路；难点：用反证法放缩法证明一些简单的不等式.教学过程一、反证法：有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明，我们可以间接的方法――反证法去证明，即通过否定原结论―――导出矛盾―――从而达到肯定原结论的目的. 例1、 若x ， y > 0，且x + y >2，则xy +1和y x +1中至少有一个小于2. 反设xy +1≥2，y x +1≥2 ∵x ， y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾∴原式成立(详见课本P 27例1)例2、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a ， b ， c > 0 (课本P 27例2)证：(1)设a < 0， ∵abc > 0， ∴bc < 0又由a + b + c > 0， 则b + c = -a > 0∴ab + bc + ca = a (b + c ) + bc < 0 与题设矛盾(2)若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a >0同理可证：b > 0， c > 0例3、设0 < a ， b ， c < 1，求证：(1 - a )b ， (1 - b )c ， (1 - c )a ，不可能同时大于41. 证：设(1 - a )b >41， (1 - b )c >41， (1 - c )a >41， 则三式相乘： (1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a >641 ①又∵0 < a ， b ， c < 1 ∴412)1()1(02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理：41)1(≤-b b ， 41)1(≤-c c 以上三式相乘： (1 - a )a •(1 - b )b •(1 - c )c ≤641 与①矛盾. ∴(1 - a )b ， (1 - b )c ， (1 - c )a ，不可能同时大于41 二、放缩法：在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候，可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A >B ，我们可以适当的找一个中间量C 作为媒介，证明A >C 且C >B ，从而得到A >B .我们把这种把B 放大到C (或把A 缩小到C )的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段，但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握，技巧性较强，这关系到证明的成败，往往需要根据具体的题目经过多次的探索和试验才能成功，因此必须多练. 比较常用的方法时把分母或分子适当放大或缩小(减去或加上一个正数)使不等式简化易证.例4、若a ， b ， c ， d ∈R +，求证：21<+++++++++++<c a d d b d c c a c b b d b a a 证：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵a ， b ， c ， d ∈R + ∴1=+++++++++++++++>cb a d d b a dc c a c b a bd c b a a m 2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立例5、当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n证：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n∴ n > 2时， 1)1(log )1(log <+-n n n n例6、求证：213121112222<++++n证：∵nn n n n 111)1(112--=-< ∴2222111111111123122334(n-1)n 111111 11222231n n n n++++<+⨯⨯⨯⨯=+-+-++-=-<-＋＋＋＋（）（）（） 思考：若把不等式的右边改成47或3661，你可以证明吗？ 例7、 求证：||||1||1||1b a b a a b a b+≤+++++(课本P 29例4) 证：∵|a +b |≤|a |+|b |⇒|a |+|b |-|a +b |≥0，()(2211().11111:.111a b a b a b a b P a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b ++++-+∴≤++++++-++==+≤++++++++++≤+++++课本“溶液”例结论）（把分母减小，使分式放大）即。
高中数学 第二讲 三 反证法与放缩法课件 新人教A版选修4-5
3．已知函数 y＝f(x)在 R 上是增函数，且 f(a)＋f(－b)<f(b)＋f(－ a)，求证：a<b.
证明：假设 a<b 不成立，则 a＝b 或 a>b. 当 a＝b 时，－a＝－b，则有 f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是 f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)，与已知矛盾． 当 a>b 时，－a<－b，由函数 y＝f(x)的单调性可得 f(a)>f(b)， f(－b)>f(－a)，于是有 f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)，与已知矛盾．故 假设不成立．∴a<b.
利用放缩法证明不等式
[例 2] 已知实数 x，y，z 不全为零．求证： x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2>32(x＋y＋z)．
[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放 缩法证明．
[证明]
x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋34y2
≥
x＋2y2＝x＋2y≥x＋2y.
2．不等式的证明方法——放缩法 放缩法证明的定义： 证 明 不 等 式 时 ， 通 常 把 不 等 式 中 的 某 些 部 分 的 值放___大_ 或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的． 3．放缩法的主要理论依据 (1)不等式的传递性； (2)等量加不等量为 不等量 ； (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．
三
反证法与放缩法
1．不等式的证明方法——反证法 (1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后
由 此假设 出发，结合已知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件，应用公理、定义、定理、性质 等，进行 正确的推理 ，得到和命题的条件(或已证明的定理、 性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从
三反证法与放缩法
把 以 上 四 个 不 等 式 相 加得
abcd a b c d abcd abd bca cbd dac
abcd. 即 ab cd
1 a b c d 2 abd bca cba dac
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
二、放缩法
证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值 放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系 更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变 形,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.
通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具 有较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、 缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较 强的一种证法.
2 x y 2( x y) x y 2,
这与已知条件x y 2矛盾.
1 x 与 1 y 中至少有一个小于2
y
x
反证法主要适用于以下两种情形
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条 件推出结论的线索不够清晰;
(2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨 论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.
证明： x2 xy y2 ( x y )2 3 y2 ( x y )2
人教A版选修4-5 第2讲 3 反证法与放缩法 课件(15张)
知识点二 放缩法证明不等式
4．已知 S＝1＋1×1 2＋1×12×3＋…＋1×2×31×…×n(n 是
大于 2 的自然数)，则有( )
A．S<1
B．2<S<3
C．1<S<2
D．3<S<4
解析：S＝11＋1×1 2＋1×12×3＋…＋1×2×31×…×n<1＋12 ＋212＋213＋…＋2n1－1＝11－－2112n＝2－2n1－1<2.
又因为 S＝1＋1×1 2＋…＋1×2×31×…×n>1.故选 C. 答案：C
5．令
P＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1n，Q＝
n，则 P 与 Q 的大小
关系是________．
解析：P＝1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1≥ n
1＋ n
1 ＋…＋ n
1＝ n
n＝ n
n，当且仅当 n＝1 时取等号，∴P≥Q.
综上所述，正确的命题有 2 个，故选 B. 答案：B
பைடு நூலகம்
3．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列．
求证： a， b， c不成等差数列．
证明：假设 a， b， c成等差数列，则有 a＋ c＝2 b，即 a＋c＋2 ac＝4b.
又∵三个正数 a，b，c 成等比数列． ∴b2＝ac，即 b＝ ac. ∴a＋c＋2 ac＝4 ac，即( a－ c)2＝0， ∴ a＝ c，即 a＝c.从而得 a＝b＝c. ∴a，b，c 也成等差数列，这与已知矛盾． 故假设错误，∴ a， b， c不成等差数列．
命题的结论．
A．①②
B．①②③
C．①②③④
D．②③
解析：在用反证法证明命题时，要把假设，原命题中的条
课件1：三 反证法与放缩法
●反思感悟：用放缩法证明不等式的过程中，往往采用 “添舍”放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不 等式收缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递．
2．求证：1＋212＋312＋…＋n12<2 (n∈N*)． 证明 1＋212＋312＋…＋n12 <1＋11·2＋21·3＋…＋nn1－1 ＝1＋1－12＋12－13＋…＋n－1 1－1n ＝2－1n<2.
第二讲 证明不等式的基本方法
三 反证法与放缩法
自学导引 1.反证法：首先假设要证明的命题是 不正确的 ，然后利用
公理 ，已有的 定义、 定理， 命题的条件 逐 步 分 析，得到和 命题的条件 (或已证明过的 定理 ，或明显 成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立 ， 从而原来的结论正确．
知识点1 反证法证明不等式
【例1】 已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0. 求证：a>0，b>0，c>0. 证明 假设a、b、c不全是正数， 即至少有一个小于或等于0. 又abc>0，不妨假设a<0，则bc<0.
∵b＋c>－a>0，∴－a(b＋c)>0. ∴a(b＋c)<0，又∵bc<0，∴bc＋a(b＋c)<0. 即ab＋bc＋ca<0. 这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾． ∴假设不成立． 故a>0，b>0，c>0成立
3．求证： 1 ＋ 1 ≤1＋ 1 . 1＋|a| 1＋|b| 1＋|a＋b|
证明 ∵1＋1|a|＋1＋1|b|＝11＋＋||ba||＋11＋＋||ba|| ＝11＋＋|a|a|＋|＋|b|b|＋|＋|a1b|≤1＋1＋|a||＋a|＋|b||＋b| 1 ＝1＋1＋|a1|＋|b|≤1＋1＋|a1＋b|.
高中数学教师用书配套课件：第二讲 三 反证法与放缩法 选修4-5
【解题探究】1.“若函数f(x)在［-1,1］内至少有一个值c，使f(c)＞0”的反 设是什么？ 2.“a,b,c,d中至少有一个是负数”的反面是什么？ 探究提示： 1.f(x)在［-1,1］内不存在值c,使f(c)＞0. 2.“a,b,c,d中至少有一个是负数”的反面是“a,b,c,d都是非负数”.
类型 一 用反证法证明否定性问题 【典型例题】 1.否定“自然数a,b,c不都是偶数”时，正确的假设为______. 2.已知三个正数a,b,c成等比数列，但不成等差数列. 求证： 不成等差数列. 【解题探究】1.“不都是”的否定是什么？ 2.题2中，“ 不成等差数列”的反面是什么？
a, b, c
a, b, c
探究提示：
1.不都是的否定是“都是”.
2.“
不成等差数列”的反面是“ 成等差数
列”.
【解析】1.“自然数a,b,c不都是偶数”的否定是“自然数
a,b,c都是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数”.
答案：自然数a,b,c都是偶数
a, b, c
a, b, c
2.假设 成等差数列，则
即
又所三以个正数aa,,bb,c即,成c等比数列，所以b2=aca，即 c 2 b， a c 2 ac 4b，
p 2 1， 4
3 ＃p 3， 2
【拓展提升】“至多”“至少”型问题的证明方法 在证明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解
题的突破口,可转换视角,用反证法证明.在用反证法证明的过程中,由于作出 了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这 个增加的条件,否则将无法推出矛盾.
1.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设
对常词某见语些数学至一语有少个言的否至定一假多设个有要准确，唯 一以免一 个造成原不 是则性的不能错可误. 全 都是
《三 反证法与放缩法》教案新部编本
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《三 反证法与放缩法》教案教学目标1、理解掌握反证法放缩法的基本原理和思路2、会用上述方法证明一些简单的不等式教学重、难点重点：掌握反证法放缩法的基本原理和思路难点：用反证法放缩法证明一些简单的不等式教学过程一、思考导入前面我们曾经研究过不等式的基本性质.那么怎样证明性质⑥“如果a >b >0，那么,2)n N n >∈≥”？老师引导学生完成证明过程：>=<=a =b <a <b .这些都与a >b >0矛盾.>.像这样先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法，叫做反证法.二、典例分析：例1、已知,0,x y >且2,x y +>试证：11,x y y x++中至少有一个小于2. 例2、已知a +b +c >0，ab +bc +ca >0，abc >0，求证：a >0，b >0，c >0.在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小实现证明，这种方法称为放缩法.例3、已知a ，b ，c ，d ∈R +，求证12a b c d a b d b c a c d b d a c<+++<++++++++ 用放缩放证明不等式，关键是放、缩适当.例如上述过程中，如果把和式的4项分母依次缩为a ，b ，c ，d ，，那么和放大为4，显然太大了.例4、已知R b a ∈,，求证||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++上面介绍了不等式证明的几种常用方法，除以上方法外，还有其他一些方法，如在第四讲中要介绍的数学归纳法等.应该注意，不等式证明与数学上所有其他证明问题一样，没有一种适用于所有问题的统一方法，应该对具体问题的特点作具体分析，选择合适的方法.三、课堂小结1、反证法证题的步骤： 若A 成立，求证B 成立.共分三步：(1)提出与结论相反的假设；如负数的反面是非负数，正数的反面是非正数即0和负数(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；(必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.矛盾：与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾.2、放缩法的意义：放缩法发理论依据是不等式的传递性：若,a b b c <<，则a c < 放缩法的操作：若求证P Q <，先证12,n P P P P <<<<L 再证恰有,n P Q <需注意：(1)只有同方向才可以放缩，反方向不可(2)不能放(缩)得太大(小)，否则不会有最后的,n P Q <四、当堂达标 用放缩法证明：n n21211<+++Λ.。
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配套练习
设n为正整数，求证
1 1 1 1 1
2 n1 n 2
2n
已知a,b是实数，求证 :
ab
a
b
.
1 a b 1 a 1 b
配套练习
求证：
（2 n 1 -1） 1 1 1 ... 1 2 n(n n*)
不等式的证明—放缩法
单位：湖南省祁阳县第一中学
主讲：桂爱民
不等式证明的常用方法: 比较法、综合法、分析法
教 学学习目标
1、掌握放缩法的基本原理与思路； 2、通过实例，让学生掌握运用放缩法，证明
不等式的思想方法； 3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分
析问题，解决问题的能力。
重点与难点
1、理解掌握放缩法的基本原理与思路； 2、应用放缩证明一些简单的不等式。
23
n
一个证题方法：
放缩法 二个途径： 1、放大要证b<c,只须寻找b来自使b<b1且b1≤c(放大)
2、缩小
要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
课外作业
P29 习题2.2 第2、3题
在证明不等式过程中，有时为了证明的需 要，可对有关式子适当进行放大或缩小，实现 证明。例如：
要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小)
这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是不等式的传递性。
发现与证明
例1、若a, b, c, dR+，求证：