北师大版初一数学上册找规律

初中数学规律探究题的解法指导
禄丰县和平初级中学郑晓兰
新课标中明确要求：用代数式表示数量关系及所反映的规律，发展学生的抽象思维能力。

根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。

在历年的中考或学业水平考试中屡见不鲜，频繁考查，考生大都感到困难重重，无从下手，导致丢分。

解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。

笔者认为：只要善于观察，细心研究，知难而进，就会走出“山穷水尽疑无路”的困惑，收获“柳暗花明又一村”的喜悦。

一、数式规律探究
通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：
1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。

2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…
3.熟记常见的规律
① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……
(1)
2
n n+
③ 1、3、7、15……2n -1 ④ 1+2+3+4+…n=
(1)
2
n n+
⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)
⑦12+22+32….+n2=1
6
n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n3=
1
4
n2(n+1）
关于寻找“数字序列”规律的思维步骤：
1.观察相邻数字间的共同规律。

2.猜想规律与“序号n”间的对应关系。

3.验证所归纳的结论。

练一练：
请你按照如下的数字规律,分别写出第n个数字：（n为正整数）
(1) 3,6,9,12, 15,… , ____;
(2) 2,5,8,11, 14, … , ____;
(3) 3,9,27, 81,… , ____ ;
(4) 1,-1,1,-1,1,...,_______.
1、给定一列按规律排列的数： 则它的第10个数是_______；
2、一组按规律排列的多项
式它的第10个式子是_______；
3、观察下列算式，用你所发现的规律得出 的末位数字是：
二、图形规律探究
由结构类似，多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻，并且还可以由一个通用的代数式来表示。

这种探索图形结构成元素的规律的试题，解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，再用函数法、观察法解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决问题。

拆图法
餐桌按下面的摆法可坐多少人?
(1) 1张餐桌可坐6人,2张餐桌可坐___人. (2) 若按照上图的摆法摆放餐桌和椅子，完成下表：
关于寻找“图形序列”规律的思维步骤:
1.观察图形的排列规律找到基本图形，找到图形之间的变与不变的规律。

2.猜想规律与“序号n ”间的对应关系。

3.验证所归纳的结论。

联体长方形的摆法：(填空)
,...,7
1
,51,31,1,...,,,,745332b a b a b a b a -+-+,...
2562,1282,642,322,162,82,42,2287654321========20142
(1)如图,摆n个这样联体图形需根火柴;
(2)如图，摆n个这样联体图形需根火柴;
3.（湖南湘潭）为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）
A.6n+2
B.6n+8
C.8n
D.4n+4
（2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）
尝试练习：
1.如图7－①，图7－②，图7－③，图7－④，，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规
律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n个“广”字中的棋子个数是________
2．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角
形中白色三角形有个．
3．图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方
形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s，
则s＝．（用n的代数式表示s）
4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，
则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n个图形中需要黑色瓷
砖__________块（用含n的代数式表示）．
5．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的
规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．
通过对此专题的复习和指导，我想你会有所感悟，有所收获，有所进步.别忘记课后注意巩固训练，展示你的能力，体验成功的快乐！
三、课外拓展：
1.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……那么32008的个位数字是。

2.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2041……由此可判断7100的个位数字是。

3.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据9
5
，
16
12
，
25
21
，
36
32
……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大
门，按此规律第七个数据是。

4.已知a1=
1
123
⨯⨯
+
1
2
=
2
3
，a2=
1
234
⨯⨯
+
1
3
=
3
8
，a3=
1
345
⨯⨯
+
1
4
=
4
15
……按此规律，则a99= 。

5.已知
1
12
⨯
=1-
1
2
，
1
23
⨯
=
1
2
-
1
3
，
1
34
⨯
=
1
3
-
1
4
……，则
1
12
⨯
+
1
23
⨯
+
1
34
⨯
+
…+
1
(1)
n n+
= ；用相同思路探究：
1
13
⨯
+
1
35
⨯
+
1
57
⨯
…+
1
(21)(21)
n n
-+
= 。

第1个第2个第3
个
…
n=n=n
=
（（（
6．如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有 个，第n 幅图中共有 个．
7．如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由_______个圆组成．
8．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．
9．用边长为1cm 的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n 次所搭图形的周长是_______________cm （用含n 的代数式表示）。

10.如图10，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1= ， 5
554C A A C
第1个图形
第2个图形
第3个图形
第4个图形
…
... (1)
第2幅
第3幅
第n 幅
图
5
次 2次 第第4
···
图
10。