中考数学讲义《相似三角形》、《圆》
人教版九年级下册数学《相似三角形的性质》相似说课教学课件复习
B
F
C
6.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，
A
顶点E、H分别在AB、AC上.已知BC＝40 cm，AD＝30 cm .
E
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积.
B
FD
H
G
C
解：（1）∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥FG，EF＝FG＝GH＝EH，
平分线，BC=6 cm,EF=4 cm,BG=4.8 cm.求EH的长.
A
解：∵ △ABC∽△DEF，
BG BC
EH EF（相似三角形对应角平线
的比等于相似比），
4.8 6
,
EH 4
解得EH＝3.2(cm).
即EH的长为3.2cm.
G
B
C
D
H
E
F
★ 相似三角形周长的比等于相似比
探究
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应周长的比是多
直角三角形相似.
2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?
高， 中线， 角平分线， 周长， 面积.
如果两个三角形相似，那
么，对应的这些要素
有什么关系呢？
知识讲解
★ 相似三角形对应线段的比等于相似比
探究
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比是多少？
A
B
A'
C
B'
C'
A
A ' B ' B ' C ' C ' A '
归纳：
由此我们可以得到：
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
人教版九年级数学下册 《相似三角形》相似PPT课件
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.
第三页，共十七页。
注意：相似比为1的两个多边形全等.
性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等; （2）相似多边形周长的比等于相似比; （3）相似多边形面积的比等于相似比的平方.
第十页，共十七页。
【解析】∵12=12×6·AE，∴AE=4. 设矩形的高为a，则4-a4=x6,a=4-23x， ∴y=x·a=-23x2+4x，
∴当x=-42×-23=3时，
y最大值=6，填3，6.
［预测变形２］一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高为22.5 cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图38-4所 示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
解得x=40,
∴当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等.
（2）设改造后的总投资为W元,根据题意，得：
W=12×(120-32x)×(80-x)×6+12×32x×x×10+x×(120-
32x)×4=6x2-240x+28800
=6(x－20)2+26400，
∴当x=20时,W最小=26400.
为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝4,AD＝33,AE＝3, 求AF的长.
【解析】（1）证明∠AFD=∠C，∠ADF=∠CED；（2）由△ADF∽△DEC,得 ADDE=FACD,而AD、DE、CD已知或可求，容易求出FA.
第七页，共十七页。
第十四页，共十七页。
《相似三角形》 讲义
《相似三角形》讲义一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
相似三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它在几何证明、计算以及实际生活中都有着广泛的应用。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是因为三角形的内角和为 180 度，当两个角相等时，第三个角也必然相等。
例如，在三角形ABC 和三角形A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果AB/A'B' ＝ AC/A'C'，且∠A ＝∠A'，那么三角形 ABC 相似于三角形A'B'C'。
3、三边成比例的两个三角形相似如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝AC/A'C'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等这是相似三角形的基本性质之一。
因为相似三角形是通过对应角相等来定义的，所以相似三角形的对应角必然相等。
2、相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边的比值是相等的，这个比值称为相似比。
例如，如果三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，相似比为 k，那么 AB/A'B' ＝BC/B'C' ＝ AC/A'C' ＝ k。
初二数学相似三角形讲义
1．相似三角形相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别。
为加深学生对相似三角形概念的本质的认识，教学时可预先准备几对相似三角形，让学生观察或测量对应元素的关系，然后直观地得出：两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例。
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
形。
另外，相似三角形具有传递性（性质）。
注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。
在对应位置上。
思考问题：思考问题：（1）所有等腰三角形都相似吗？所有等边三角形呢？为什么？么？（2）所有直角三角形都相似吗？所有等腰直角三角形呢？为什么？为什么？2．相似比的概念相似三角形对应边的比K，叫做相似比（或相似系数）。
注：①两个相似三角形的相似比具有顺序性。
②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形。
三角形的特殊情形。
教材通过探讨的方法，根据题设中有平行线的条件，结合5．2节例6定理的结论，再根据三角形的定义，从而得出了这两个三角形相似的结论，这里要强调的是：（1）本定理的导出不仅让学生复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下了基础，它的重要性是显而易见的。
（2）由本定理的题设所构成的三角形有三种可能，除教材中两种情况外还有如左图所示的情形，它可以看成 BC截△截△ADEADE 两边所得，其中BC//DEBC//DE，本质上与右图是一致的。
，本质上与右图是一致的。
（3）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，作题时务必要认真仔细，如本定理的比例式，防止出现的错误，如出现错误，教师要及时予以纠正。
教师要及时予以纠正。
（4）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，还应给学生强调，这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边，对应边应写在对应位置。
第20讲圆与相似三角形的结合复习课件(共38张PPT)
全效优等生
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圆与类似三角形的综合运用 (1)证明圆的切线的常用辅助线是作过切点的半径，证明 直线与这条半径垂直； (2)运用切线的性质时，常连结切点和圆心．
CD＝235.
又∵CF＝FD，∴CF＝12CD＝12×235＝265，
∴EF＝CF－CE＝265－3＝76，
7
∴在 Rt△AFE 中，sin∠EAF＝EAFE＝63＝178.
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2．如图6－20－4，在△ABC中，BA＝ BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D.连 结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
∴AD＝3，BD＝
3.∴B2E＝
33，∴BE＝23
3 .
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(3)如答图②，当 E 与 A 重合时，∵AB 是直径，AD⊥CD， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴C，D，B 共线．
∵AC⊥AB，∴在 Rt△ABC 中，AB＝2 3，AC＝2， ∴tan∠ABC＝AACB＝ 33，∴∠ABC＝30°， ∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°， 当E′在BA的延长线上时，可得∠D′AB>∠DAB＝60°， ∵0°<α<90°，∴α的取值范围是60°<α<90°.
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判定圆中的类似三角形 例1 如图6－20－1，AC是⊙O的直径， 弦BD交AC于点E. (1)求证：△ADE∽△BCE； (2)如果AD2＝AE•AC，求证：CD＝CB.
相似三角形讲义人教版数学九年级下册
第二十七章 相似（二）相似三角形知识点一 相似三角形 要点1.相似三角形的概念三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形.若△ABC 和△A'B'C'相似，则记作△ABC △△A'B'C'.相似三角形对应边的比叫做相似比，通常用“k ”表示.要点2.全等三角形与相似三角形的比较全等三角形相似三角形定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 三个角分别相等、三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形特征 形状相同且大小相等形状相同但大小不一定相等图 形 表 示对应边 相等 成比例 对应角 相等 相等相似比 1 可以是1，也可以是其他正实数注意：△相似三角形的对应性：在记两个三角形相似时，表示对应顶点的字母需写在对应位置. △相似三角形的传递性：若△ABC △△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1△△A 2B 2C 2，则△ABC △△A 2B 2C 2.△相似比的顺序性：相似比与两多边形前后顺序有关，若四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1的相似比为2，则四边形A 1B 1C 1D 1与四边形ABCD 的相似比为21.知识点二 平行线分线段成比例 要点1.平行线分线段成比例（1）基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例由l 3//l 4//l 5，得EF DE BC AB =，DF DE AC AB =，DFEFAC BC =，（2）常见基本图形（3）应用：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.由DE //BC ， 得ACAEAB AD =课堂练习1.如图，直线a //b //c ，它们依次交直线AE 和BF 于点A 、C 、E 和 B 、D 、F ，已知AC =4， CE =6，BD =3，那么DF = .2.如图，直线a //b //c ，它们依次交直线AE 和BF 于点A 、C 、E 和 B 、D 、F ，已知AC =5， CE =6，DF =4，那么BD = .3.如图，直线l 1//l 1//l 1，它们依次交直线AC 和DF 于点A 、B 、C 和 D 、E 、F ，已知DE =5， EF =6，AB =2，那么AC = .4.如图，AC 、BD 交于O 点，AD //BC //EO ，则下列结论一定正确的是（ ） A.BC AD EB AE = B.AD EO OC AO = C.BC EO EB AE = D.OBDOAB AE =知识点三 相似三角形的判定方法 要点1.相似三角形的判定方法—平行定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似类别“A ”型 “X ”型DE 与AB ，AC 相交 DE 与AB ，AC 的延长线相交DE 与AB ，AC 的反向延长线相交课堂练习1.如图，E 是▱ABCD 的边CD 延长线上一点，连接BE ，交AC 于点O ，交AD 于F .图中的相似三角形共有 对.2.如图，E 是▱ABCD 的边BC 延长线上一点，AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD的对角线，则图中的相似三角形共有 对.要点2.相似三角形的判定方法—三边定理三边成比例的两个三角形相似∵''''''A C CAC B BC B A AB == ∴△ABC △△A'B'C'课堂练习1.如图，小正方形的边长均为1，则△ABC 与△DEF是否相似？ (填“是”或“否”)2.如图，下列三个三角形中相似的是 .3.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是（ ）A. B. C. D.判断两个三角形的三边是否成比例的一般步骤： △排：分别将两三角形边的长度按大小顺序排列； △算：分别计算三边的比；△判：由比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例.要点3.相似三角形的判定方法—两边夹角定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ∵'''''A A C A AC B A AB ∠=∠=， ∴△ABC △△A'B'C'练:如图，在△ABC 中，AB =4，BC =8，D 为BC 边上一点，BD =2.求证：△ABD ∽△CBA.要点4.相似三角形的判定方法—两角定理两角分别相等的两个三角形相似 ∵''B B A A ∠=∠∠=∠，∴△ABC △△A'B'C'练.如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在BC 、AB 上，且△BDE=△CAD. （1）求证：△BDE ∽△CAD. （2）求证：△ADE ∽△ABD.注意：利用该判定定理时，相等的角必须是两组成比例边的夹角，否则两个三角形不一定相似. 注意：用两角分别相等来判定三角形相似是常用方法，应掌握好寻找等角的方法。
人教版中考数学复习《第18讲：相似三角形》课件
相似三角形
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
考点一
考点二
考点三
考点一比例线段及比例的性质 1.定义 在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比, 那么这四条线段叫作成比例线段,简称比例线段. 2.比例的基本性质
(1)如果 = ,则 ad=bc
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
������
������
;
d ������ c c±d d
(2)如果 = ,ac ≠0,那么 = ; (3)如果 = ,那么
������ ± ������ ������ ������ ������
=
;
(4)如果 = =…= (b+d+…+n ≠0),那么
������ +������ +…+������ ������ +������ +…+������
∴������������ = ������������ ,
������������ 4
������������
∵AD 是中线,∴CD=2BC=4, ∴ 8 = ������������ ,解得 AC=4 2,故选 B.
9
1
考点梳理自清
考题体验感悟
考法互动研析
命题点
2.(2013· 安徽,13,5分)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分 别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若 S=2,则S1+S2=8 .
相似三角形与圆综合说课讲解
(一）知识复习巩固圆的基本性质：圆周角性质，垂径定理逆定理，切线长定理相似三角形四种判定，及性质(二）例题精讲：例1、已知：如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O的切线BF于点F,B为切点。
求证：(1)BD平分∠CBF;(2)AB⋅BF=AF⋅CD.考点：相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，弦切角定理分析：（1）由于AF是∠BAC的角平分线，那么∠1=∠2，利用弦切角定理可得∠1=∠3，利用同弧所对的圆周角相等，可得∠2=∠4，那么，可证∠3=∠4，即BD平分∠CBF；（2）由于∠3=∠1，∠F=∠F，那么可证△DBF∽△BAF，再利用相似三角形的性质，可得相关比例线段AB：AF=BD：BF，又由于∠1=∠2，同圆里相等的圆周角所对的弧相等，而同圆里相等的弧所对的弦相等，从而BD=CD，等量代换，可得AB：AF=CD：BF，即AB•BF=AF•CD．解答：证明：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2,(2分)∵BF切⊙O于点B，∴∠3=∠2，∴∠3=∠1,(4分)又∵∠2=∠4，∴∠3=∠4,即BD平分∠CBF;(6分)(2)在△DBF和△BAF中，∵∠3=∠1，∠F=∠F，∴△DBF∽△BAF,(8分)∴BDAB=BFAF即AB⋅BF=AF⋅BD(10分)∵∠1=∠2，∴BD=CD,(11分)∴AB⋅BF=AF⋅CD.(12分)例2、已知：如图,△ABC内接于圆,AB=AC,D为延长线上一点,AD交圆于E. 求证：AB2=AD⋅AE.考点：相似三角形的判定与性质，圆周角定理分析：如图，作辅助线；证明△ABE∽△ADB，列出比例式，即可解决问题．解答：证明：如图，连接BE；∵AB=AC，∴∠B=∠ACB；∵∠AEB=∠ACB，∴∠AEB=∠B，而∠BAE=∠BAD，∴△ABE∽△ADB，∴AB:AD=AE:AB，∴AB2=AD⋅AE.例3、如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30∘，C是弦AB上的任意一点(不与点A. B重合)，连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.(1)弦长AB等于______(结果保留根号)；(2)当∠D=20∘时，求∠BOD的度数；(3)当AC的长度为多少时，以A. C. D为顶点的三角形与以B. C. 0为顶点的三角形相似?请写出解答过程。
初三相似三角形讲义
初二升初三数学相似三角形知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比，根据这一性质，可计算角的度数或边的长度。
平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EFBC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4、如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
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[考点1]会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算[考点2]会用比例的基本性质解决有关问题[考点3]会利用三角形的相似解决一些实际问题[考点4]会能利用位似变换将一个图形放大或缩小例1（2013北京中考）例1.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC 上，并且点A，E，D在同一条直线上。
若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m例2 （2012北京中考）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边40cmDE=，20cmEF=，测得边DF离地面的高度1.5mAC=，8mCD=，则树高AB=m．例3 如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=例4 如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为例5（ZFX / P71例2）已知：如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD与点P，Q.（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1的除外）；（2）求BP:PQ:QR的值.例6（ZFX / P71例1）已知：如图，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB=3,BF⊥BP于点B，试在射线BF上找点M，使得以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似，作图并指出相似比k的值.例7（ZFX / P71例3）已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm,BC=7cm,∠B=60°,P为下底BC上一点（不与B、C重合）. 连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B(1)你认为图中哪两个三角形相似，为什么？(2)当点P在底边BC上自点B向C移动过程中，是否存在一点P，使得DE:EC=5:3，如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由.ECFPDCBAEPDC BA例1 在矩形ABCD 中，DC=2，CF ⊥BD 分别交BD 、AD 于点E 、F ，连接BF ．（1）求证：△DEC ∽△FDC ；（2）当F 为AD 的中点时，求sin ∠FBD 的值及BC 的长度例2 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，翻折∠C ，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF （点E 、F 分别在边AC 、BC 上）（1）若△CEF 与△ABC 相似． ①当AC=BC=2时，AD 的长为； ②当AC=3，BC=4时，AD 的长为；（1） 当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？请说明理由。
例3 （ZFX / P72例4）已知：如图，在正方形ABCD 中，AD=12,点E 是边CD 上的动点（点E 不与端点C 、D 重合），AE 的垂直平分线FP 分别交AD 、AE 、BC 于点F 、H 、G ，交AB 的延长线于点P.（1） 设DE=m (0＜m ＜12)，试用含m 的代数式表示HGFH的值； （2） 在（1）的条件下，当21HG FH 时，求BP 的长.HG F E D C BAP例4 （ZFX / P72例5）如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点． ⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ． ①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．相关练习：1. ZFX 课后达标题2. 如图，在△ABC 中∠A=60°，BM ⊥AC 于点M ，CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM ，PN ，则下列结论： ①PM=PN ；②；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC ．其中正确的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.如图，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（ ）①②③A ．甲＞乙，乙＞丙B ．甲＞乙，乙＜丙C ．甲＜乙，乙＞丙D ．甲＜乙，乙＜丙4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A 、C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且QO=OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ．则点P 的坐标为．5. 已知：在△ABC 中，BC>AC ，动点D 绕△ABC 的顶点A 逆时针旋转，且AD=BC ，连接DC. 过AB ，DC 的中点E ，F 作直线，直线EF 与AD ，BC 分别相交于点M ，N. （1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连接HE ，HF ，根据三角形中位线定理和平行线性质，可得结论∠AMF=∠BNE （不需证明）. （2）当点D旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF 与∠BNE 有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明.第1讲：圆中的线段和角[考点1]理解圆及其有关概念，知道圆的对称性，能利用圆的有关概念和性质解决问题[考点2]了解弧、弦、圆心角的关系，能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题[考点3]会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论，能利用垂径定理解决有关问题[考点4]了解圆周角与圆心角的关系；会求圆周角的度数，知道直径所对圆周角是直角；能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题, 能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题. 例1（ZFX / P75 例1）已知：如图，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD. （1） 若AB=32, OC=1, 求CD 的长； （2） 若半径OD=R ，∠AOB=120°, 求CD 的长.M HF(N)ED C B A F N M ED C B AABC D EM NF例2 （ZFX / P76例2）已知：如图，⊙O中，半径OA=4，弦BC经过半径OA的中点P，∠OPC=60°，求弦BC的长。
例3 （ZFX / P79第14题）如图，在坐标平面内，以点M（0，3）为圆心，以23为半径作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E点.（1）求出CP所在直线的解析式；（2）连接AC，求△ACP的面积.例4 （XTZ / P29第13题）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒，点E在量角器上对应的读数是度．例5已知：P为等边△ABC外接弧BC圆上一点，求证：PA=PB+PC相关练习：1. ZFX课后达标题（P78第4题）如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是( )A． B. C. 3 D.22.如图，AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,∠AOD=130°,BC∥OD交⊙O于C,则∠A=．3.（2013陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半第3题图径为7，则GE+FH 的最大值为4. （2013•黔西南州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 与点E ，点P 在⊙O上，∠1=∠C ， （1）求证：CB ∥PD ； （2）若BC=3，sin ∠P=35，求⊙O 的直径．5. (2013年深圳市)如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE 的影子EF 落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。
小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG 的长为3米，HF 的长为1米，测得拱高（弧GH 的中点到弦GH 的距离，即MN 的长）为2米，求小桥所在圆的半径。
6. （2013•资阳）在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD ．（1）如图1，若点D 与圆心O 重合，AC=2，求⊙O 的半径r ；（2）如图2，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA 的度数．7.（2013哈尔滨）如图，在△ABC 中，以BC 为直径作半圆0，交AB 于点D ，交AC 于点E ．AD=AE(1)求证：AB=AC ；(2)若BD=4，BO=AD 的长．8.如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，//AB OC . ①求证：AC 平分OAB ∠.②过点O 作OE AB ⊥于点E ，交AC 于P .若2AB =，30AOE ∠=︒，求PE 的长．9．如图，已知点C 、D 在以O 为圆心，AB 为直径的半圆上，且OC BD ⊥于点M ，CF ⊥AB 于点F 交BD 于点E ，8BD =,2CM =. ①求⊙O 的半径； ②求证：CE = BE .10. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝6,AC ＝4,D 是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连结PA 、PB 、PC 、PD.当BD 的长度为多少时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形？并证明.第2讲：圆中的位置关系[考点1]了解点与圆的位置关系[考点2]了解直线与圆的位置关系；能判定直线与圆的位置关系；能利用直线与圆的位置关系解决简单问题 [考点3]了解圆与圆的位置关系.例1已知：点P 到⊙O 最近的距离为3，最远的距离为11，则⊙O 的半径为.例2（2013•攀枝花）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别是方程x 2﹣4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ） A.外离 B.外切C.相交D.内切例3已知Rt △ABC 的斜边AB ＝8cm ，AC ＝4cm ．(1)以点C 为圆心作圆，当半径为多长时，AB 与⊙C 相切？(2)以点C 为圆心，分别以2cm 和4cm 的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？例4（ZFX / P82例3）如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（-4,0），以点O 1为圆心，8AMFE DC BAO DCBAO 2O 1O xy为半径的圆与x轴交于点A，B，过点A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于点C，以点O2（13,5）为圆心的圆与x轴相切于点D. （1）求直线l的解析式；（2）将⊙O以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙2O1外切时，求⊙O2平移的时间.例5 （ZFX / P82例4）Array如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6㎝，BC=8㎝，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2㎝/s的速度运动，以P为圆心，PQ 长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．（1）t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．相关练习：1. ZFX课后达标题2.如图，已知点(0,6)A B ，经过A 、B 的直线l 以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P 从点B 出发,在直线l 上以每秒1个单位的速度沿直线l 向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t 秒．（1）用含t 的代数式表示点P 的坐标；（2）过O 作OC ⊥AB 于C,过C 作CD ⊥x 轴于D,问：t 为何值时,以P 为圆心、1为半径的圆与直线OC 相切？ 并说明此时⊙P 与直线CD 的位置关系．3. 如图，ABC ∆中，090C ∠=，4AC =，3BC =.半径为1的圆的圆心P 以1个单位/s 的速度由点A 沿AC 方向在AC 上移动，设移动时间为t（单位：s ）.（1）当t 为何值时，⊙P 与AB 相切；（2）作PD AC ⊥交AB 于点D ，如果⊙P 和线段BC 交于点E ，证明：当165t s =时，四边形PDBE 为平行四边形.lx4．如图所示，菱形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上，∠BAD =60°，点A 的坐标为(－2，0)． ⑴求线段AD 所在直线的函数表达式．⑵动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t 秒．求t 为何值时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切？第3讲：圆的切线[考点1]了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系； [考点2]了解切线长的概念，会根据切线长的知识解决简单问题； [考点3]能解决与切线有关的问题。