全国九年级试题初中数学竞赛仙桃市预赛试卷(Word版,含答案)
九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】
九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。
A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 一个等差数列的首项为2，公差为3，则第10项为（）。
A. 29B. 30C. 31D. 324. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(3)的值为（）。
A. 6B. 9C. 12D. 155. 在直角坐标系中，点(3, 4)关于y轴的对称点为（）。
A. (-3, 4)B. (3, -4)C. (-3, -4)D. (4, 3)二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个等腰三角形一定是相似的。
（）2. 任何数乘以0都等于0。
（）3. 二次函数的图像一定是一个抛物线。
（）4. 平行四边形的对角线互相平分。
（）5. 一元一次方程的解一定是整数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个圆的半径为r，则它的周长为______。
2. 若等差数列的首项为a，公差为d，则第n项为______。
3. 若函数f(x) = ax² + bx + c，则它的顶点坐标为______。
4. 在直角坐标系中，点(2, -3)关于原点的对称点为______。
5. 若一个平行四边形的面积为S，底为b，高为h，则S =______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列的定义。
2. 简述二次函数的图像特点。
3. 简述勾股定理。
4. 简述平行线的性质。
5. 简述一元二次方程的解法。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个正方形的边长为10cm，求它的对角线长。
2. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项。
3. 已知函数f(x) = 3x² 12x + 9，求它的顶点坐标。
4. 在直角坐标系中，已知点A(2, 3)和点B(4, 7)，求线段AB的长度。
全国初三初中数学竞赛测试带答案解析
全国初三初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知m 、n 是两个连续正整数，m<n ，且a=mn ，设x=，y=.下列说法正确的是( ).A ．x 为奇数，y 为偶数B ．x 为偶数，y 为奇数C ．x 、y 都为奇数D ．x 、y 都为偶数2.设a 、b 、c 和S 分别为三角形的三边长和面积，关于x 的方程b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x+c 2=0的判别式为Δ.则Δ与S 的大小关系为( ).A ．Δ=16S 2B ．Δ=-16S 2C ．Δ=16SD ．Δ=-16S3..设a 为的小数部分，b 为的小数部分.则的值为( ). A ．+-1B ．-+1C ．--1D ．++14.如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，△ACD 与△BCD 的周长相等，△ABE 与△CBE 的周长相等，记△ABC 的面积为S.若∠ACB=90°，则AD·CE 与S 的大小关系为( ).A 、S=AD·CEB 、S>AD·CEC 、S<AD·CED 、无法确定5.如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，延长边BC 到点P ，使得△PAB 与△PCA 相似.则PC 的长是( ).A ．7B ．8C ．9D ．106.如图，以PQ=2r(r ∈Q)为直径的圆与一个以R(R ∈Q)为半径的圆相切于点P.正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与边CD 切于点Q.若正方形的边长为有理数，则R 、r 的值可能是( ).A.R=5，r="2"B.R=4，r=3/2C.R=4，r="2"D.R=5，r=3/2二、填空题1.已知方程x 2+x-1=0的两个根为α、β.则的值为 .2.把1，2，…，2 008个正整数分成1 004组:a 1，b 1;a 2，b 2;…;a 1 004，b 1 004，且满足a 1+b 1=a 2+b 2=…=a 1004+b 1004.对于所有的i(i=1，2，…，1 004)，a i b i 的最大值为 .3.AD、BE、CF为△ABC的内角平分线.若BD+BF=CD+CE=AE+AF，则∠BAC的度数为 .4.下列四个命题:①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形; ②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形;③一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形;④一组对角相等且这一组对角的顶点所联结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.其中，正确命题的序号是 .三、解答题1.(20分)已知△ABC中，∠A>∠B>∠C，且∠A=2∠B.若三角形的三边长为整数，面积也为整数，求△ABC面积的最小值.2.(25分)已知G是△ABC内任一点，BG、CG分别交AC、AB于点E、F.求使不等式S△BGF ·S△CGE≤kS2△ABC恒成立的k的最小值.3.(25分)已知(x+)(y+)=1.求证:x+y=0.全国初三初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知m、n是两个连续正整数，m<n，且a=mn，设x=，y=.下列说法正确的是( ).A．x为奇数，y为偶数B．x为偶数，y为奇数C．x、y都为奇数D．x、y都为偶数【答案】C【解析】考查知识点：两个连续正整数之间的关系，平方根的意义，奇数和偶数的概念。
仙桃初三试卷数学答案
一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. -√3D. 0.1010010001…答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数、小数（有限小数和无限循环小数）和分数。
选项C是负的无理数，而其他选项都是无理数。
2. 已知函数f(x) = 2x - 3，如果f(x) > 0，那么x的取值范围是（）A. x > 1.5B. x < 1.5C. x > 1.5 或 x < 1.5D. x = 1.5答案：A解析：将不等式2x - 3 > 0解得x > 1.5，所以正确答案是A。
3. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠BAC = 60°，则∠ABC的度数是（）A. 60°B. 30°C. 45°D. 75°答案：A解析：在等腰三角形中，底角相等，所以∠ABC = ∠ACB。
由于∠BAC = 60°，且三角形内角和为180°，所以∠ABC = 180° - 60° - 60° = 60°。
4. 下列哪个图形是轴对称图形？（）A. 正方形B. 长方形C. 等腰三角形D. 平行四边形答案：A解析：轴对称图形是指可以沿某条直线对折后两部分完全重合的图形。
正方形是轴对称图形，而其他选项不是。
5. 已知一次函数y = kx + b的图象经过点（2，3），则k和b的值分别是（）A. k = 1, b = 1B. k = 2, b = 1C. k = 1, b = 2D. k = 2, b = 3答案：A解析：将点（2，3）代入一次函数y = kx + b，得到3 = 2k + b。
由于只有一个方程，无法直接解出k和b的值，但可以通过观察选项发现，只有当k = 1, b = 1时，方程成立。
二、填空题（每题4分，共20分）6. 分数4/5的倒数是______。
仙桃初三数学真题试卷答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 2.5B. -1/3C. √2D. 0.1010010001…答案：C解析：有理数包括整数和分数，而√2是一个无理数，因为它不能表示为两个整数的比值。
2. 已知一元二次方程 x^2 - 5x + 6 = 0，下列哪个选项不是方程的解？（）A. x = 2B. x = 3C. x = 6D. x = -1答案：C解析：将x = 6代入方程，得到36 - 30 + 6 = 12，不等于0，因此x = 6不是方程的解。
3. 在等差数列 {an} 中，若a1 = 3，d = 2，则第10项an = （）A. 21B. 22C. 23D. 24答案：B解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 3，d = 2，n = 10，得到an = 3 + (10 - 1) 2 = 3 + 18 = 21。
4. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，其图像的对称轴是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B解析：二次函数的对称轴公式为x = -b/2a，代入a = 1，b = -4，得到x = -(-4)/21 = 2。
5. 下列哪个图形是轴对称图形？（）A. 正方形B. 等边三角形C. 等腰梯形D. 长方形答案：C解析：轴对称图形是指图形可以沿着一条直线折叠，折叠后的两部分完全重合。
等腰梯形沿着中位线折叠后，两部分完全重合，因此是轴对称图形。
6. 已知正方体的体积为64立方厘米，其表面积为（）A. 96平方厘米B. 128平方厘米C. 160平方厘米D. 192平方厘米答案：B解析：正方体的体积公式为V = a^3，表面积公式为S = 6a^2。
已知V = 64立方厘米，解得a = 4厘米，代入表面积公式得到S = 6 4^2 = 6 16 = 96平方厘米。
7. 下列哪个角度是直角？（）A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°答案：C解析：直角是90°。
全国初中数学竞赛试题及答案(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式22||()||a abc a b c++-+可以化简为（）．（A）2c a-（B）22a b-（C）a-（D）a1（乙）．如果22a=-+11123a+++的值为（）．（A）2-（B2（C）2 （D）22（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果a b，为给定的实数，且1a b<<，那么1121a ab a b++++，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A ）1 （B ）214a - （C ）12（D ）143（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD= 5，则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52（D ）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4（乙）．如果关于x 的方程20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）．OAB CED（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p5（乙）．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为 ．7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O上，以OA 为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，若12OC =，则线段CE 、BD 的长度差是 。
仙桃初三数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x+1) = f(x)，则x的取值范围是（）A. x > 0B. x ≥ 1C. x ≤ 1D. x ≠ 12. 在直角坐标系中，点A(-2, 3)，点B(4, -1)，则线段AB的中点坐标是（）A. (1, 1)B. (1, -1)C. (-1, 1)D. (-1, -1)3. 若a，b是方程x^2 - 4x + 4 = 0的两个根，则a+b的值是（）A. 2B. 4C. -2D. -44. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，若∠BAC=70°，则∠ABC的度数是（）A. 35°B. 45°C. 50°D. 55°5. 下列各组数中，成等差数列的是（）A. 1, 3, 6, 10B. 2, 5, 8, 11C. 3, 6, 9, 12D. 4, 7, 10, 136. 若等比数列{an}中，a1=3，公比q=2，则前5项的和S5等于（）A. 63B. 77C. 93D. 1097. 已知函数y = kx + b的图象经过点(1, 2)和(3, 6)，则该函数的解析式为（）A. y = 2x - 1B. y = 2x + 1C. y = 3x - 1D. y = 3x + 18. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则sinC的值是（）A. √3/2B. √2/2C. 1/2D. 1/√29. 已知数列{an}中，an = 2n - 1，则数列的前10项和S10等于（）A. 90B. 100C. 110D. 12010. 下列函数中，在定义域内是增函数的是（）A. y = x^2 - 4B. y = 2x - 3C. y = -x^2 + 4D. y = 3x^2 - 2二、填空题（每题5分，共25分）11. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x^2 - 3x + 2 = __________.12. 在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，则sinC的值是 __________.13. 已知等差数列{an}中，a1=3，公差d=2，则第10项an= __________.14. 函数y = kx^2 + bx + c的图象经过点(1, 4)和(2, 8)，则该函数的解析式为__________.15. 已知数列{an}中，an = n^2 + 1，则数列的前5项和S5等于 __________.三、解答题（每题15分，共45分）16. 解方程：2x^2 - 5x + 3 = 0.17. 在△ABC中，AB=AC，若∠BAC=70°，求∠ABC的度数。
2009年全国初中九年级数学竞赛仙桃市预赛试题
2009年全国初中数学竞赛仙桃市预赛试题(九年级)注意：考试时间为120分钟，试卷满分为120分.一、选择题（每小题6分，共30分，以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内）a ＞0＞b ＞c ，1=++c b a ,,,b c a c a bM N P a b c+++===,则,,M N P 之间的关系是:（ ）A M ＞ N ＞ PB N ＞P ＞MC P ＞M ＞ND M ＞P ＞N2.如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、AC 边上的点，,DE BC //且8=DBCE S 四边形ADE S ∆ 那么:AE AC 等于（ ）A 1:9B 1:3C 1:8D 1:23.甲乙丙丁四位同学站成一横排照相，如果任意安排四位同学的顺序，那么恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是（ ）A41B 61C 81D 1214.如图,AB 是半圆O 的直径,四边形CDMN 和DEFG 都是 正方形,其中C,D,E 在AB 上, F ,NAB =10,则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是（ ）A 25B 50C π-30D π250-5.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②若点(,)P a b 在第三象限,则点)1,(+--b a Q 在第一象限;③函数11-=x y 的图象平移后可以和函数题号一二三总 分1~56~10 11 12 13 14 得分BA CDE11+=xy 的图象重合;④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个二、填空题（每小题6分，共30分，直接将答案填在题后横线上）“*”：对于任意实数对),y x （恒有)1,1(),(),(2--++=*y x y x y x y x 。
若实数b a ,满足),,(),(),(a b b a b a =*则=a ，=b7.50名同学参加夏令营活动，需要同时搭建可容纳3人和2人的两种帐篷，则有效搭建方案共有种。
九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】
九年级数学竞赛初赛试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。
A. a/2B. a√2C. 2aD. a²2. 下列哪个数是无理数？（）A. √9B. √16C. √3D. √13. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 54. 下列哪个图形不是正多边形？（）A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 正五边形5. 若一个圆的半径为r，则它的周长为（）。
A. 2rB. 2πrC. πr²D. r²/2二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘的结果一定是正数。
（）2. 任何数乘以0都等于0。
（）3. 对角线相等的四边形一定是矩形。
（）4. 一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的解可以用公式x = [-b ± √(b² 4ac)] / 2a求得。
（）5. 任何数都有倒数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则第三个内角的度数为______°。
2. 若2x 5 = 0，则x的值为______。
3. 若一个圆的直径为10cm，则它的面积为______cm²。
4. 若一个等差数列的首项为3，公差为2，则第5项的值为______。
5. 若sinθ = 1/2，且θ是锐角，则θ的度数为______°。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简述勾股定理的内容。
2. 请简述一元一次方程的求解方法。
3. 请简述等差数列的定义及通项公式。
4. 请简述平行四边形的性质。
5. 请简述圆的周长和面积的计算公式。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一个长方形的长是宽的2倍，且长方形的周长是24cm，求长方形的长和宽。
仙桃初三数学试卷答案
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. 0.1010010001…（无限循环小数）D. 2/3答案：D2. 已知等腰三角形底边长为6，腰长为8，则该三角形的周长为（）A. 20B. 24C. 28D. 32答案：C3. 下列函数中，为一次函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 2x^2 + 3C. y = 2x - 3xD. y = 2x^3 + 3答案：A4. 若a、b、c为等差数列，且a + b + c = 15，a + c = 9，则b的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 12答案：B5. 下列各数中，能被3整除的是（）A. 123B. 124C. 125D. 126答案：D6. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（-2，3）D.（3，-2）答案：A7. 若等比数列的前三项分别为2，4，8，则该数列的公比为（）A. 2B. 4C. 8D. 16答案：A8. 下列各图中，是平行四边形的是（）A.B.C.D.答案：C9. 已知等腰三角形底边长为10，腰长为12，则该三角形的面积为（）A. 60B. 70C. 80D. 90答案：C10. 若函数f(x) = 3x + 2，则f(-1)的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）11. 0.3的平方根是________。
答案：±√0.312. 等差数列5，8，11，…的第10项是________。
答案：2513. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(2)的值为________。
答案：014. 下列各数中，负数的倒数是________。
答案：-115. 若等腰三角形底边长为10，腰长为6，则该三角形的周长是________。
答案：22三、解答题（每题10分，共40分）16. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，求该数列的第5项。
全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案
C（第2题图）中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题（本卷满分120分，考试时间120 分钟）一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．1. 从长度是2cm ，2cm ，4cm ，4cm 的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）A ．41B ．31 C ．21D ．12．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，AN ⊥BN于N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长为（ ） A ．38 B ．39 C ．40 D . 41 3．已知1≠xy ，且有09201152=++x x ，05201192=++y y ，则y x的值等于（ ）A ．95 B ．59 C ．52011- D ．2011- 4．已知直角三角形的一直角边长是4为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴 影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图 中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ） A ．6 B . 7 C ．8 D ．9 5．设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，二次函数2)2(2a cx x ba y ----=在1=x 时取最小值b 58-，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形 6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取 出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元 已依次存入数据b ，a ，取出数据的顺序是a ，b ；堆栈（2）的3个 连续存储单元已依次存入数据e ，d ，c ，取出数据的顺序是c ，d ， e ，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则不 同顺序的取法的种数有（ ）A ．5种B ．6种C ．10种D ．12种（1） （2）（第5题图）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）7．若04122=---x x ，则满足该方程的所有根之和为 .8．（人教版考生做）如图A中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切，若AB =4，BE =5，则DE 的长为 ． 8．（北师大版考生做）如图B ，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两个动点，且总使AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，则FGAF= ． 9．已知012=--a a ，且3222322324-=-++-axa a xa a ，则=x ．10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件．11．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成o 45，∠A =o 60，CD =4m ，BC =)2264(-m ，则电线杆AB 的长为 m ．12．实数x 与y ，使得y x +，y x -，xy ，yx四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对),(y x 为 ．三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分） 13.（本题满分20分）已知：))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是完全平方式． 求证： c b a ==．(第11题图)ABCD（第8题图A ）GFECBA（第8题图B ）D14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M ，N 以每秒１个单位的速度分别从点A ，C 同时出发，其中点M 沿AO 向终点O 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了t 秒时，过点N 作NP ⊥BC ，交OB 于点P ，连接MP ． （1）点B 的坐标为 ；用含t 的式子表示点P 的坐标为 ； （2）记△OMP 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求t 为何值时，S 有最大值？（3）试探究：当S 有最大值时，在y 轴上是否存在点T ，使直线MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC 面积的31？若存在，求出点T(第14题图)15.（本题满分20分）对于给定的抛物线b ax x y ++=2，使实数p ，q 适合于)(2q b ap +=. （1）证明：抛物线q px x y ++=2通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.2013年九年级试卷参考答案一、选择题（每小题5分，共30分）1—6 C D B A D C 二、填空题（每小题5分，共30分）： 7. 62-； 8. A ：516；B ：12 ； 9. 4； 10. 12； 11. 26； 12.)1,21(-)1,21(--.三、解答题：（每题20分，共60分）13. 证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a +b +c )x +ab +ac +bc ∵它是完全平方式， ∴△＝0.即4(a +b +c )2－12(ab +ac +bc )=0. ∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca =0,(a －b )2+(b －c )2+(c －a )2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得c b a ==. 14. 解：（1）（6，4）；（2,3t t ）.（其中写对B 点得1分） ··· ………………………………3分 （2）∵S △OMP =12×OM ×23t ，∴S =12×（6 -t ）×23t =213t -+2t ＝21(3)33t --+（0 < t <6）．∴当3t =时，S 有最大值．…………………………………………8分（3）存在．由（2）得：当S 有最大值时，点M 、N 的坐标分别为：M （3，0），N （3，4）， 则直线ON 的函数关系式为：43y x =．设点T 的坐标为（0，b ），则直线MT 的函数关系式为：3b y x b =-+，解方程组433y x b y x b⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得3444b x b b y b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ ∴直线ON 与MT 的交点R 的坐标为34(,)44b bb b++． ∵S △OCN ＝12×4×3＝6，∴S △ORT ＝13S △OCN ＝2． ··················· …………………10分 一、当点T 在点O 、C 之间时，分割出的三角形是△OR 1T 1，二、如图，作R 1D 1⊥y 轴，D 1为垂足，则S △OR 1T 1＝12•RD 1•OT ＝12•34b b+•b ＝2.∴234160b b --=， b.∴b 1 b 2 舍去）此时点T 1的坐标为（0）. ········ ……………………………………………15分② 当点T 在OC 的延长线上时，分割出的三角形是△R 2NE ，如图，设MT 交CN 于点E ， ∵点E 的纵坐标为4，∴由①得点E 的横坐标为312b b-， 作R 2D 2⊥CN 交CN 于点D 2，则 S △R 2NE ＝12•EN •D 2 =12•312(3)b b --•4(4)4b b -+96(4)b b =+＝2.∴24480b b +-=，b2=±.∴b 1＝2，b 2＝2-（不合题意，舍去）． ∴此时点T 2的坐标为（0，2）． 综上所述，在y 轴上存在点T 1（0），T 2（0，2）符合条件．…20分 15. 证明：（1）∵)(2q b ap +=∴b ap q -=2代入抛物线q px x y ++=2中，得0)2(2=++-+-ax p b x y得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+-0202a x b x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4422ba y a x ， 故抛物线q px x y ++=2通过定点)44,2(2b a a --……………………10分 （2）∵b ap q 22-=，∴)2(2224222b ap p q p q p --=⋅-=-=b ap p 422+-=b a a ap p 42222+-+- =)4()(22b a a p ---∴0)()4()4(222≥-=-+-a p b a q p ∴q p 42-与b a 42-中至少有一个非负.∴02=++b ax x 与02=++q px x 中至少有一个方程有实数根.…………20分（备用图）。
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全国初中数学竞赛仙桃市预赛
九年级试题
注意：考试时间为120分钟，试卷满分为120分.
一、选择题（每小题6分，共30分，以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内）
1.设a ＞0＞b ＞c ，
1=++c b a ,,,b c a c a b
M N P a b c
+++===,则,,M N P 之间的关系是:（ ）
A M ＞ N ＞ P
B N ＞P ＞M
C P ＞M ＞N
D M ＞P ＞N
2.如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //
且 8=DBCE S 四边形ADE S ∆ 那么:AE AC 等于（ ）
A 1 : 9
B 1 : 3
C 1 : 8
D 1 : 2
3.甲乙丙丁四位同学站成一横排照相，如果任意安排四位同学的顺序，那么恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是（ ）
A
41 B 61 C 81 D 12
1
4.如图,AB 是半圆O 的直径,四边形CDMN 和DEFG 都是
正方形,其中C,D,E 在AB 上, F ,N 在半圆上.若AB =10,则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是（ ）
A 25
B 50
C π-30
D π250-
5.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②若点(,)P a b 在第三象限,则点)1,(+--b a Q 在第一象限;③函数1
1
-=
x y 的图象平移后可以和函数11
+=
x
y 的图象重合;④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的B
A D
E
命题的个数是:（ ）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
二、填空题（每小题6分，共30分，直接将答案填在题后横线上）
6.规定一种运算“*”：对于任意实数对),y x （恒有)1,1(),(),(2--++=*y x y x y x y x 。
若实数b a ,满足),,(),(),(a b b a b a =*则=a ，=b
7.50名同学参加夏令营活动，需要同时搭建可容纳3人和2人的两种帐篷，则有效搭建方案共有 种。
8.平面直角坐标系中，⊙O 的圆心在坐标原点，半径为2，点A 的坐标为)32,2(，直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点。
则B 点的坐标为
9.如图，点A 、C
在反比例函数)0y x =
<的图象上，
B 、D 在x 轴上，△OAB ，△BCD 均为正三角形，则点
C 的坐标是 . .
10.不定方程7)2+=+xy y x （
的所有整数解为 。
三、解答题（共4个小题，每个小题15分，满分60分）
11．已知实数x 、y 、z 满足4=+y x 及42
+=z xy ，求z y x 32++的值。
12．在边长为1的正方形ABCD 的边AB 上取点P ，边BC 上取点Q ，边CD 上取点
M ，边AD 上取点N 。
如果QN PM ⊥，求CM CQ AN AP +++的值。