全等三角形(最全面的资料)

全等三角形(最全面的资料)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第三章全等三角形专题二、全等三角形的判定知识点：三角形全等的条件：1.三边对应相等的两个三角形全等（可写成“边边边”或“SSS”）如图：在△ABC和△A’B’C’中，AB= A’B’，BC＝B’C’，AC＝A’C’，可以判定△ABC≌△A’B’C’。

2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）如图：如图：在△ABC和△A’B’C’中，AB= A’B’,∠ABC=∠A’B’C’,BC＝B’C’，可以判定△ABC≌△A’B’C’。

3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）如图：在△ABC和△A’B’C’中，∠B=∠B’，BC＝B’C’，∠C=∠C’可以判定△ABC≌△A’B’C’。

4.角边角（ASA）公理推论：有两个角和一角所对边对应相等的两个三角形全等。

（简称为“角边角”或“ASA”）。

如图：在△ABC和△A’B’C’中，∠B=∠B’，∠C=∠C’，AC=A’C’。

可以判定△ABC≌△A’B’C’。

5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）如图：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠B=∠B’＝90︒，AB=A’B’，AC=A’C’。

可以判定△ABC≌△A’B’C’。

补充：1、Rt 中30度所对的直角边等于斜边的一般。

2、Rt 斜边上的中线等于斜边的一半。

典型例题： 1.已知两边⎪⎩⎪⎨⎧→→→SSS HL SAS 找另一边找直角找夹角 例1.如图所示，AD=AE ，点D 、E 在BC 上，BD=CE ，∠1=∠2。

试说明△ABD ≌△ACE 。

B变式练习：1.如图，已知AF=AE ，AC=AD ，CF 与DE 交于点B 。

求证：△ACF ≌△ADE 。

2.如图，AC=BD ，AB=DC ，求证：∠B=∠C 。

3.如图，A 、E 、F 、B 四点在一条直线上，AC ⊥CE ，BD ⊥DF ，AE=BF ，AC=BD ，求证：CF=DE 。

A能力提升：1.如图所示，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠EAD= 90，连接BD 、CE. （1）求证：BD=CE ；（2）观察图形，猜想BD 和CE 之间的位置关系，并证明你的结论。

2. 已知如图：BE 、CF 是△ABC 中AC 、AB 上的高，在射线BE 上截取BP=AC ，在射线CF 上截取CQ=AB 。

求证：（1）AP=AQ ；（2）AP ⊥AQ 。

ED C BA2.已知一边一角⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一条邻边找这条边的对角找这条边的另一个邻角边为角的邻边找任意一角边为角的对边 例2.如图所示，点E 、F 在BC 上，BE=CF ，AB=DC ，∠B=∠C 。

试说明△ABF ≌△DCE 。

DE BCA F变式练习：1.已知：如图，AB=AE ，∠1=∠2，∠B=∠E 。

求证：BC=ED 。

2.如图，点A 、B 、D 、E 在同一直线上，AD=EB ，BC ∥DF ，∠C=∠F 。

求证：AC=EF 。

3.如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AG ，AE ⊥BG 交BG 的延长线于E ，AF ⊥CD 交CD 的延长线于F 。

求证：AE ＝AFAF ED GB C图4能力提升：1. 如图：已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC。

AE是过点A的直线，BD⊥AE于点D，①②③3.如图①所示在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE于E点。

（1）求证：BD=DE+CE；（2）若直线AE绕点A旋转到图②所示的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何请予以证明；（3）若直线AE 绕点A 旋转到如图③所示位置时（BD ＞CE ），其余条件不变，BD 与DE 、CE 的关系如何直接写出结果，不需证明；（4）归纳前三小题，用简捷的语言表述BD 、DE 、CE 之间的关系。

B① ② ③3.已知两角 ⎩⎨⎧→→AASASA 找任一角的对边找两角的夹边例3.如图所示，AB 、CD 交于点O ，E 、F 为AB 上两点，OA=OB ，OE=OF ，∠A=∠B ，∠ACE=∠BDF ，试说明△ACE ≌△BDF 。

变式练习：1.如图2，已知点A 、B 、C 、D 在同一直线上，AC ＝BD ，AM ∥CN ，BM ∥DN 。

求证：AM ＝CN.M NA CB D图22.如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 与CD 相交于点O ，且∠1=∠2，求证：BD=CE 。

21ODBCE能力提升：如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD 是△ABC 的角平分线，∠1=∠C,求证AC=AB+BD 。

专题三、构造全等三角形 1.平移（平行线）构造全等三角形例1、△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC于Q ， 求证：AB+BP=BQ+AQ ．说明：⑴本题也可以在AB 截取AD=AQ ，连OD ，构造全等三角形，即“截长补短法”． （2）本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：①如图（2），过O 作OD ∥BC 交AC 于D ，则△ADO ≌△ABO 来解决． O ABCQDAQAB C P QDO②如图（3），过O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，则△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO来解决．③如图（4），过P作PD∥BQ交AB的延长线于D，则△APD≌△APC来解决．④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP来解决．2.翻折构造全等三角形例2.如图所示，已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，试说明AB=BC+CD。

C AB变式练习1、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于E，并且()ADABAE+=21,求∠ABC+∠ADC的度数。

2、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BEAB CPQ图（4）DOAB CPQ图（5）DO3、如图所示，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，若AB ＞AD ，DC=BC ，试说明∠B+∠D=180°。

ABDC3.旋转构造全等三角形例3.以△ABC ，AB 、AC 为边分别作正方形ADEB 、ACGF ，连接DC 、BF 。

(1)利用旋转的观点，在此题中，△ADC 绕着 点旋转 度可以得到△ 。

(2)CD 与BF 相等吗请说明理由。

(3)CD 与BF 互相垂直吗请说明理由。

变式练习：1、已知：正方形ABCD 中，∠MAN =45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点M ，N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时（如图1），易证BM +DN =MN ．（1）当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的数量关系写出猜想，并加以证明．（2）当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系并说明理由．M BCN图3A DBCNM 图2A DB CNM 图1A D2.如图，在正方形ABCD 的边BC 、CD 上取E 、F 两点，使∠EAF=45°，AH ⊥EF 于H 。

求证：AH=AB 。

4.截长补短法构造全等三角形例4.如图所示，△ABC 中，∠C=2∠B ，∠1=∠2，试说明AB=AC+CD 。

21BA变式练习：1.如图，在ABC ∆中，BD AB CD C B +⊥∠=∠＝。

求证：于且D BC AD ,2。

AC2.如图，已知正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，求证：AB+BE=AC3.如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作∠DMN=60°，射线MN 与∠DBA 外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系4.操作：如图①所示，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以点D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN 。

探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明。

CBM N NCBM N CBM B C① ② ③ ④说明：（1）如果你经过反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经过说明（1）的过程之后，可以从下列①②的条件中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

①AN=NC （如图1-22②所示）；②DM ∥AC （如图1-22③所示）。

附加题：若点M 、N 分别是射线AB 、CA 上的点，其他条件不变，再探索线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图1-22④中画出图形，并说明理由。

①②③6.如图1，已知在△ABC中，AB=AC，CG是AB上的高，D是BC上一点，且DE ⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。

（1）求证：DE+DF=CG；（2）如图2，在△ABC 中，AB=AC，D是BC延长线上一点，点G在AC的延长线上，DG⊥AC于点G，DE⊥F7. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DCB=45°，BD ⊥CD ．过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，点G 为BC 中点，连接EG 、AF ．求证：CF=AB+AF ．5.倍长中线法构造全等三角形例6. 阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明。

已知：如图1-23所示，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE=∠D 。

求证：AB=CD 。

分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形的性质公理或等腰三角形的判定定理，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等。

因此，要证明AB=CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形。

先给出如下三种添辅助线的方法，如图1-24（1）（2）（3）所示，请任意选择其中一种，对原题进行证明。

BBBB（1） （2） （3）变式练习：1.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，D 是AD 上一点，E 是AC 延长线上一点，且BD=CE ，DE 交BC 于点F ，你认为DF 与EF 之间有什么关系你能证明吗2. 在△ABC 中，D 是BC 中点，ED ⊥DF3.如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，且AE=AF 。