数列测试题及答案
数列测试题及答案
（D）3
S9 S
=
6
【解析】设公比为
q
,则
S6 S3
(1 q 3 )S3 S3
＝ 1 ＋ q 3＝ 3
q3＝2
于是
S9 S
1 q3 q6 1 q3
1
1
2
2
4
7 3
6
【答案】B
9、（2009安徽卷理）已知an 为等差数列， a1 + a3 + a5 =105， a2 a4 a6 =99，以 Sn 表 示an的前 n 项和，则使得 Sn 达到最大值的 n 是
2n1
A. n(2n 1)
B. (n 1)2
C. n2
D. (n 1)2
【解析】由 a5 a2n5
22n (n 3)得 an2
22n ， a
n
0 ，则 a
n
2
log2 a1 log 2 a3 log2 a
1
3
(2n
1)
n2
n
，选，
依题意，得 a2009 a45033 1 ，
三、解答题 17、2009 全国卷Ⅱ文）
已知等差数列{ an }中， a3a7 16,a 4 a 6 0, 求{ a n}前 n 项和 s n.
解：设an的公差为 d ，则
aa1132ddaa1 156dd
已知an是首项为 19，公差为-2的等差数列， S n 为 a 的前 n 项和. n
（Ⅰ）求通项 an 及 Sn ；
（Ⅱ）设bn an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列b 的通项公式及其前 n
数列测试题及答案
数列测试题及答案一、选择题1. 已知数列\( a_n \)的通项公式为\( a_n = 3n - 1 \)，那么第10项的值为：A. 29B. 28C. 27D. 26答案：A2. 若数列\( b_n \)的前n项和为\( S_n \)，且\( S_n = n^2 \)，求数列\( b_n \)的第3项：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B二、填空题1. 给定等差数列\( c_n \)，首项\( c_1 = 5 \)，公差\( d = 3 \)，其第5项为________。
答案：202. 若数列\( d_n \)是等比数列，且\( d_1 = 2 \)，公比\( q = 4 \)，求第4项：________。
答案：64三、解答题1. 已知数列\( e_n \)的前n项和为\( S_n \)，若\( S_3 = 21 \)，\( S_5 = 45 \)，求\( e_4 + e_5 \)。
解：由题意得\( e_4 + e_5 = S_5 - S_3 = 45 - 21 = 24 \)。
2. 某等差数列的前5项和为50，且第3项为15，求该数列的首项和公差。
解：设该等差数列的首项为\( a \)，公差为\( d \)，则有：\[ 5a + 10d = 50 \]\[ a + 2d = 15 \]解得：\( a = 5 \)，\( d = 5 \)。
四、证明题1. 证明等差数列中，任意两项的等差中项等于它们的算术平均数。
证明：设等差数列\( f_n \)的首项为\( f_1 \)，公差为\( d \)，任取两项\( f_m \)和\( f_n \)（\( m < n \)），则它们的等差中项为\( f_{\frac{m+n}{2}} \)。
根据等差数列的性质，有：\[ f_{\frac{m+n}{2}} = f_1 + \left(\frac{m+n}{2} -1\right)d \]而算术平均数为：\[ \frac{f_m + f_n}{2} = \frac{f_1 + (m-1)d + f_1 + (n-1)d}{2} = f_1 + \frac{(m+n-2)d}{2} \]由于\( \frac{m+n}{2} - 1 = \frac{m+n-2}{2} \)，所以两者相等，证明了等差中项等于算术平均数。
数列测试题及答案
数列测试题一.选择题1.假如等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）352.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知3432S a =-,2332S a =-,则公比q =（A ）3 （B ）4（C）5（D ）63.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =,则8a 的值为（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）644.设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和,2580a a +=则52S S = (A)-11 (B)-8 (C)5(D)115.已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =225a ,2a =1,则1a = A.21 B.22 C. 2 D.26.已知等比数列{}n a 知足0,1,2,n a n >=,且25252(3)n n a a n -⋅=≥,则当1n ≥时,2123221log log log n a a a -+++=A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -7.公役不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于A. 18B. 24C. 60D. 90 8.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ,若63S S =3 ,则69S S = （A ） 2 （B ） 73 （C ） 83（D ）39.已知{}n a 为等差数列,1a +3a +5a =105,246a a a ++=99,以n S 暗示{}n a 的前n 项和,则使得n S 达到最大值的n 是（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 1810.无限等比数列,42,21,22,1…各项的和等于（） A ．22-B ．22+C ．12+D ．12-11.数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S ,则30S 为 A ．470B ．490C ．495D ．510 12.设,R x ∈记不超出x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ],则{215+},[215+],215+ 二.填空题13.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若36324S S ==，,则9a =.14.在等比数列{}n a 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式n a =．15.设等比数列{}n a 的公比12q =,前n 项和为n S ,则44S a =． 16.已知数列{}n a 知足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________;2014a =_________.三.解答题17.已知等差数列{n a }中,,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .18.已知{}n a 是首项为19,公役为-2的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求通项n a 及n S ;（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .19.已知等差数列{}n a 知足：37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ; （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-,证实数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式. 21.数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S .(1) 求n S ; (2) 3,4nn nS b n =⋅求数列｛n b ｝的前n 项和n T .答案 1.【答案】C【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++=== 2.解析：选B. 两式相减得,3433a a a =-,44334,4a a a q a =∴==.3.答案：A【解析】887644915a S S =-=-=.5.【答案】B【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q⋅=,即22q=,又因为等比数列}{n a 的公比为正数,所以2q =,故211222a a q===,选B 6.【解析】由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 222=,0>n a ,则n n a 2=,+⋅⋅⋅++3212log log a a 2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-,选C.答案：C7.【解析】由2437a a a =得2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++得1230a d +=,再由81568322S a d =+=得 1278a d +=则12,3d a ==-,所以1019010602S a d =+=,.故选C8.【解析】设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3q 3＝2于是63693112471123S q q S q ++++===++【答案】B9.[解析]：由1a +3a +5a =105得33105,a =即335a =,由246a a a ++=99得4399a =即433a = ,∴2d =-,4(4)(2)412n a a n n =+-⨯-=-,由10n n a a +≥⎧⎨<⎩得20n =,选B10.答案B 11.答案：A 【解析】因为22{cos sin }33n n ππ-以3 为周期,故 221010211(32)(31)591011[(3)][9]25470222k k k k k k ==-+-⨯⨯=-+=-=-=∑∑故选A12.【答案】B【解析】可分离求得515122⎧⎫+-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭,51[]12+=.则等比数列性质易得三者组成等比数列. 13.解析：填15. 316132332656242S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩,解得112a d =-⎧⎨=⎩,91815.a a d ∴=+=14.【答案】n-14【解析】由题意知11141621a a a ++=,解得11a =,所以通项n a =n-14. 15.答案：15【解析】对于4431444134(1)1,,151(1)a q s q s a a q q a q q --==∴==--16.【答案】1,0【解析】本题重要考核周期数列等基本常识.属于创新题型. 依题意,得2009450331a a ⨯-==, 17.解：设{}n a 的公役为d ,则即22111812164a da d a d⎧++=-⎨=-⎩解得118,82,2a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或是以()()()()819819n n S n n n n n S n n n n n =-+-=-=--=--，或18.19.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公役为d,因为37a =,5726a a +=,所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得13,2a d ==, 所以321)=2n+1n a n =+-（;n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n . （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =,所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅, 所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1), 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1).20.解：（I）由11,a =及142n n S a +=+,有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+,．．．①则当2n ≥时,有142n n S a -=+．．．．．②②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-,12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =,公比为２的等比数列．（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅,113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n n a 是首项为12,公役为34的等比数列． ∴1331(1)22444n na n n =+-=-,2(31)2n n a n -=-⋅ : (1) 因为222cos sin cos 333n n n πππ-=,故1331185(94)2222k k k -+=+++=,故 1,3236(1)(13),316(34),36n n n k n n S n k n n n k ⎧--=-⎪⎪+-⎪==-⎨⎪+⎪=⎪⎩(*k N ∈) (2) 394,424n n n nS n b n +==⋅⋅ 两式相减得 故 2321813.3322n n n nT -+=--⋅。
高中数学--《数列》测试题(含答案)
高中数学--《数列》测试题（含答案）1.已知数列，它的第5项的值为（）A. B. C. D.【答案解析】D2.若成等比数列，则下列三个数：①②③，必成等比数列的个数为（）A、3B、2C、1D、0【答案解析】C3.在数列{}中，，则等于（）。
A B 10 C 13 D 19【答案解析】解析：C。
由2得，∴{}是等差数列∵4.是成等比数列的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】解析：不一定等比如若成等比数列则选D5.x=是a、x、b成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案解析】D6.已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝（A）－2 （B）－（C）（D）2【答案解析】B解析：a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 Þ d＝－7.（2009福建卷理）等差数列的前n项和为，且 =6，=4，则公差d等于A．1 B C.- 2 D 3【试题来源】【答案解析】C解析∵且.故选C8.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，A. B. C. D.【答案解析】C解析:由得，，则，，选C.9.(2009年广东卷)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=A. B. C. D.2【答案解析】B解析：设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B10.已知数列…，则是该数列的A.第项B.第项C.第项D.第项【答案解析】C11.等差数列中，，那么的值是A． 12 B． 24 C ．16 D． 48【答案解析】B12.等差数列，，，则数列前9项的和等于A．66 B．99 C. 144 D. 297【答案解析】B13.等差数列中，，则A．8 B．12 C．24 D．25【答案解析】B14.等比数列{an}中，a4=4，则等于A．4 B．8 C．16 D．32【答案解析】C15.设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则=A． B． C． D．【答案解析】C17若数列的前项和，则A.7B.8C.9D.17【答案解析】A18.等差数列的前项和为，若，则A.1004B.2008C.2009D.2010【答案解析】C19.若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a4=（） A．12 B．7C．9 D．15【答案解析】B20.（）A． B． C． D．【答案解析】D。
数列测试题及答案
数列测试题及答案一、选择题1. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，那么a_5的值为：A. 15B. 31C. 63D. 127答案：B2. 数列{a_n}是等差数列，公差为3，且a_3=12，则a_1的值为：A. 3B. 6C. 9D. 12答案：B3. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=3a_n，那么数列的通项公式为：A. a_n = 2 * 3^{n-1}B. a_n = 2 * 3^nC. a_n = 3 * 2^{n-1}D. a_n = 3^n答案：B二、填空题4. 已知数列{a_n}的前n项和S_n=n^2，求a_3的值。
答案：65. 数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为4，求a_5的值。
答案：128三、解答题6. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+n，求数列的前5项。
答案：a_1 = 1a_2 = a_1 + 1 = 2a_3 = a_2 + 2 = 4a_4 = a_3 + 3 = 7a_5 = a_4 + 4 = 117. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=5，a_4=14，求数列的通项公式。
答案：a_n = 5 + (n-1) * 3 = 3n + 28. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_{n+1}=2a_n+1，求数列的前5项。
答案：a_1 = 2a_2 = 2a_1 + 1 = 5a_3 = 2a_2 + 1 = 11a_4 = 2a_3 + 1 = 23a_5 = 2a_4 + 1 = 479. 已知数列{a_n}是等比数列，首项为3，公比为2，求数列的前5项。
答案：a_1 = 3a_2 = 3 * 2 = 6a_3 = 6 * 2 = 12a_4 = 12 * 2 = 24a_5 = 24 * 2 = 4810. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=3a_n-2，求数列的前5项。
(完整版)数列单元测试卷含答案
数列单元测试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置.第Ⅰ卷(选择题)一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( )A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋12．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n3．．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( ) A．2 B.3 C．6 D．74．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( )A．49 B.50 C．51 D．525．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B.100 C．145 D．1906．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )A．1 B.2 C．4 D．87．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23 D ．－19．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则A ．1 033 B.1 034 C ．2 057 D ．2 05811.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（ ） A.11 B.1 C. 约等于1 D.212．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( )A ．27 B.28 C ．29 D ．30第II 卷(非选择题)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则前8项的和S 8＝________(用数字作答)．14．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.15．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2.则{a n }的通项公式a n =________16．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d ＜0； ②S 9一定小于S 6； ③a 7是各项中最大的一项； ④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号)三.解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列，若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．18．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和.20．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．21．（12分）（全国卷）设数列{}n a 满足+3+…+（2n -1） =2n ，.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a na n ＋2n(n ∈N *)．(1)证明：数列{2na n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .数列单元测试卷（解答）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．数列3,5,9,17,33，…的通项公式a n等于( )A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n＋1解析：选B 由于3＝2＋1,5＝22＋1,9＝23＋1，…，所以通项公式是a n＝2n＋1，故选B. 2．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n解析：选C A为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列．3．记等差数列的前n项和为S n，若a1=1/2，S4＝20，则该数列的公差d＝________.( ) A．2 B.3 C．6 D．7解析：选B S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3.4．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( )A．49 B.50 C．51 D．52解析：选D ∵2a n＋1－2a n＝1，∴a n＋1－a n＝12，∴数列{a n}是首项a1＝2，公差d＝12的等差数列，∴a101＝2＋12(101－1)＝52.5．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B.100 C．145 D．190解析：选B 设公差为d ， ∴(1＋d )2＝1×(1＋4d )， ∵d ≠0,∴d ＝2，从而S 10＝100.6．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( ) A ．1 B.2 C ．4 D ．8解析：选A 因为a 3a 11＝a 27，又数列{a n }的各项都是正数，所以解得a 7＝4，由a 7＝a 5·22＝4a 5，求得a 5＝1.7．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根B.有两个相等实根 C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根解析：选A 由于a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，即3a 5＝9， ∴a 5＝3，方程为x 2＋6x ＋10＝0，无实数解．8．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23 D ．－1解析：选B 设数列{b n }的通项b n ＝11＋a n ，因{b n }为等差数列，b 3＝11＋a 3＝13，b 7＝11＋a 7＝12，公差d ＝b 7－b 34＝124， ∴b 11＝b 3＋(11－3)d ＝13＋8×124＝23，即得1＋a 11＝32，a 11＝12.9．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项 B.第12项 C ．第13项 D ．第6项解析：选C 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项．10．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则A ．1 033 B.1 034 C ．2 057 D ．2 058 解析：选A 由已知可得a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，于是ab n ＝b n ＋1， 因此(b 1＋1)＋(b 2＋1)＋…＋(b 10＋1)＝b 1＋b 2＋…＋b 10＋10＝20＋21＋…＋29＋10 ＝1－2101－2＋10＝1 033.11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ．记[]n n a b lg =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]199lg =.则b 11的值为（ ） A.11 B.1 C. 约等于1 D.2解析：设{}n a 的公差为d ，据已知有1×72128d +=， 解得 1.d =所以{}n a 的通项公式为.n a n = b 11=[lg11 ]=112．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如下图所示：则第七个三角形数是( )A ．27 B.28 C ．29 D ．30解析：选 B 法一：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28. 法二：由图可知第n 个三角形数为n n ＋12，∴a 7＝7×82＝28.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则前8项的和S 8＝________(用数字作答)． 解析：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)知{a n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，由通项公式及前n 项和公式知S 8＝a 11－q 81－q ＝1·1－281－2＝255.答案： 25514．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.解析：由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n .则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15. 答案：1515．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－2n 2＋n ＋2. 则{a n }的通项公式a n =________ [解] ∵S n ＝－2n 2＋n ＋2，当n ≥2时，S n －1＝－2(n －1)2＋(n －1)＋2 ＝－2n 2＋5n －1， ∴a n ＝S n －S n －1＝(－2n 2＋n ＋2)－(－2n 2＋5n －1) ＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3， ∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.16．在等差数列{a n }中，其前n 项的和为S n ，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，有下列四个命题： ①此数列的公差d ＜0； ②S 9一定小于S 6； ③a 7是各项中最大的一项； ④S 7一定是S n 中的最大项．其中正确的命题是________．(填入所有正确命题的序号) 解析：∵S 7＞S 6，即S 6＜S 6＋a 7， ∴a 7＞0.同理可知a 8＜0. ∴d ＝a 8－a 7＜0.又∵S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＜0， ∴S 9＜S 6.∵数列{a n }为递减数列，且a 7＞0，a 8＜0， ∴可知S 7为S n 中的最大项． 答案：①②④三、解答题(共4小题，共50分)17．(12分) (1) (全国卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,求S n(2) 已知{b n }是各项都是正数的等比数列，若b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列，求数列{b n }的通项公式．解: (1)设等差数列首项为a 1,公差为d, 则a 4+a 5=2a 1+7d=24,① S 6=6a 1+d=6a 1+15d=48,②由①②得d=4.a 1=-2S N =-2n+n(n-1) ×4/2=2n 2-4n(2)由题意可设公比为q ，则q ＞0，由b 1＝1，且b 2，12b 3,2b 1成等差数列得b 3＝b 2＋2b 1，∴q 2＝2＋q ，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)， 故数列{b n }的通项公式为b n ＝1×2n －1＝2n －1.18．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝2n.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32. 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8， b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .19. (12分)已知等差数列{a n }前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列{|a n |}的前10项和. 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则a 2=a 1+d,a 3=a 1+2d, 由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得a n =2-3(n-1)=-3n+5,或a n =-4+3(n-1)=3n-7. 故a n =-3n+5,或a n =3n-7.(2)当a n =-3n+5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列; 当a n =3n-7时,a 2,a 3,a 1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件. 故|a n |=|3n-7|=记数列{|a n |}的前n 项和为S n . S 10=|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+……+|a 10|=4+1+(3×3-7)+(3×4-7)+……+(3×10-7) =5+[2×8+8×7×3/2] =10520．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ①，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12. 又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1②，①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12， 故数列{c n }是等比数列． (2)∵c 1＝a 1－1＝－12， ∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ， a n －1＝1－12n －1.故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n . 又b 1＝a 1＝12， 所以b n ＝12n . 21．（12分）（全国卷）设数列{}n a 满足+3+…+（2n -1） =2n ，. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和. 解:（1）因为+3+…+（2n -1）=2n ，故当n ≥2时， +3+…+（-3） =2（n -1） 两式相减得（2n -1）=2所以= (n≥2)又因题设可得 =2.从而{} 的通项公式为 =.（2）记 {}的前n 项和为 ，由（1）知 = = - . 则 = - + - +…+ - = .22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a n a n ＋2n (n ∈N *)． (1)证明：数列{2n a n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知可得a n ＋12n ＋1＝a na n ＋2n ， 即2n ＋1a n ＋1＝2n a n＋1，即2n ＋1a n ＋1－2na n ＝1. ∴数列{2n a n}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知2na n ＝2a 1＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝2nn ＋1. (3)由(2)知b n ＝n ·2n . S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1， 相减得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝21－2n 1－2－n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。
数列测试题及答案
数列测试题及答案数列测试题及答案 数列测试题及答案： ⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分． 1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则a7为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6. 答案：A 2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满⾜S33－S22＝1，则数列{an}的公差是( ) A.12 B．1 C．2 D．3 解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代⼊S33－S22＝1，得d＝2，故选C. 答案：C 3．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 011等于( ) A．1 B．－4 C．4 D．5 解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，… 故{an}是以6为周期的数列， ∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1. 答案：A 4．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是( ) A．d＜0 B．a7＝0 C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最⼤值 解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0. ⼜S7＞S8，∴a8＜0. 假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0. ∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成⽴，故S9＜S5.∴C错误. 答案：C 5．设数列{an}是等⽐数列，其前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公⽐q的值为( ) A．－12 B.12 C．1或－12 D．－2或12[ 解析：设⾸项为a1，公⽐为q， 则当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，适合题意． 当q≠1时，a1(1－q3)1－q＝3a1q2， ∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0， 解得q＝1(舍去)，或q＝－12. 综上，q＝1，或q＝－12. 答案：C 6．若数列{an}的通项公式an＝5 252n－2－425n－1，数列{an}的最⼤项为第x项，最⼩项为第y 项，则x＋y等于( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：an＝5252n－2－425n－1＝525n－1－252－45， ∴n＝2时，an最⼩；n＝1时，an最⼤． 此时x＝1，y＝2，∴x＋y＝3. 答案：A 7．数列{an}中，a1 ＝15,3an＋1＝ 3an－2(n∈N *)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( ) A．a21a22 B．a22a23 C．a23a24 D．a24a25 解析：∵3an＋1＝3an－2， ∴an＋1－an＝－23，即公差d＝－23. ∴an＝a1＋(n－1)d＝15－23(n－1)． 令an＞0，即15－23(n－1)＞0，解得n＜23.5. ⼜n∈N*，∴n≤23，∴a23＞0，⽽a24＜0，∴a23a24＜0. 答案：C 8．某⼯⼚去年产值为a，计划今后5年内每年⽐上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个⼚的总产值为( ) A．1.14a B．1.15a C．11×(1.15－1)a D．10×(1.16－1)a 解析：由已知，得每年产值构成等⽐数列a1＝a，w an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)． ∴总产值为S6－a1＝11×(1.15－1)a. 答案：C 9．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最⼤值为( ) A．25 B．50 C．1 00 D．不存在 解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10. ∴a7＋a14＝10. ⼜a7＞0，a14＞0，∴a7a14≤a7＋a1422＝25. 答案：A 10．设数列{an}是⾸项为m，公⽐为q(q≠0)的等⽐数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn( ) A．在直线mx＋qy－q＝0上 B．在直线qx－my＋m＝0上 C．在直线qx＋my－q＝0上 D．不⼀定在⼀条直线上 解析：an＝mqn－1＝x，①S2nSn＝m(1－q2n)1－qm(1－qn)1－q＝1＋qn＝y，② 由②得qn＝y－1，代⼊①得x＝mq(y－1)，即qx－my＋m＝0. 答案：B 11．将以2为⾸项的偶数数列，按下列⽅法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的⾸项为( ) A．n2－n B．n2＋n＋2 C．n2＋n D．n2－n＋2 解析：因为前n－1组占⽤了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(n－1)n2项，所以第n组的⾸项为数列2,4,6，…的第(n－1)n2＋1项，等于2＋(n－1)n2＋1－12＝n2－n＋2. 答案：D 12．设m∈N*，log2m的整数部分⽤F(m)表⽰，则F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)的值是( ) A．8 204 B．8 192 C．9 218 D．以上都不对 解析：依题意，F(1)＝0， F(2)＝F(3)＝1，有2 个 F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个． F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个． F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个． … F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29个． F(1 024)＝10，有1个． 故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10. 令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，① 则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.② ①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210 ＝ 2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2， ∴T＝8×210＋2＝8 194， m] ∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204. 答案：A 第Ⅱ卷 (⾮选择共90分) ⼆、填空题：本⼤题共4个⼩题，每⼩题5分，共20分． 13．若数列{an} 满⾜关系a1＝2，an＋1＝3an＋2，该数列的通项公式为__________． 解析：∵an＋1＝3an＋2两边加上1得，an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴{an＋1}是以a1＋1＝3为⾸项，以3为公⽐的等⽐数列， ∴an＋1＝33n－1＝3n，∴an＝3n－1. 答案：an＝3n－1 14．已知公差不为零的等差数列{an}中，M＝anan＋3，N＝an＋1an＋2，则M与N的⼤⼩关系是__________． 解析：设{an}的公差为d，则d≠0. M－N＝an(an＋3d)－[(an＋d)(an＋2d)] ＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N. 答案：M＜N 15．在数列{an}中，a1＝6，且对任意⼤于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y＝6上，则数列{ann3(n＋1)}的前n项和Sn＝__________. 解析：∵点(an，an－1)在直线x－y＝6上， ∴an－an－1＝6，即数列{an}为等差数列． ∴an＝a1＋6(n－1)＝6＋6(n－1)＝6n， ∴an＝6n2. ∴ann3(n＋1)＝6n2n3(n＋1)＝6n(n＋1)＝61n－1n＋1 ∴Sn＝61－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1.＝61－1n＋1＝6nn＋1. 答案：6nn＋1 16．观察下表： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 … 则第__________⾏的各数之和等于2 0092. 解析：设第n⾏的各数之和等于2 0092， 则此⾏是⼀个⾸项a1＝n，项数为2n－1，公差为1的等差数列． 故S＝n×(2n－1)＋(2n－1)(2n－2)2＝2 0092，解得n＝1 005. 答案：1 005 三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分． 17．(10分)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1(n∈N*)，令bn＝an－2. (1)求证：{bn}是等⽐数列，并求bn； (2)求通项an并求{an}的前n项和Sn. 解析：(1)∵bn＋1bn＝an＋1－2an－2＝12an＋1－2an－2＝12an－1an－2＝12， ∴{bn}是等⽐数列． ∵b1＝a1－2＝－32， ∴bn＝b1qn－1＝－32×12n－1＝－32n. (2)an＝bn＋2＝－32n＋2， Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝－32＋2＋－322＋2＋－323＋2＋…＋－32n＋2 ＝－3×12＋122＋…＋12n＋2n＝－3×12×1－12n1－12＋2n＝32n＋2n－3. 18．(12分)若数列{an}的`前n项和Sn＝2n. (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满⾜b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝anbnn，求数列{cn}的通项公式及其前n 项和Tn. 解析：(1)由题意Sn＝2n， 得Sn－1＝2n－1(n≥2)， 两式相减，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)． 当n＝1时，21－1＝1≠S1＝a1＝2. ∴an＝2 (n＝1)，2n－1 (n≥2). (2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)， ∴b2－b1＝1， b3－b2＝3， b4－b3＝5， … bn－bn－1＝2n－3. 以上各式相加，得 bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3) ＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2. ∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n， ∴cn＝－2 (n＝1)，(n－2)×2n－1 (n≥2)， ∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1， ∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n－2)×2n. ∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)×2n ＝2(1－2n－1)1－2－(n－2)×2n ＝2n－2－(n－2)×2n ＝－2－(n－3)×2n. ∴Tn＝2＋(n－3)×2n. 19．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等⽐数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成⼀个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式． 解析：(1)依题意，得 3a1＋3×22d＋5a1＋5×42d＝50，(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，解得a1＝3，d＝2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1， 即an＝2n＋1. (2)由已知，得bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1) ＝4(1－2n)1－2＋n＝2n＋2－4＋n. 20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban－2n＝(b－1)Sn. (1)证明：当b＝2时，{an－n2n－1}是等⽐数列； (2)求通项an. 新课标第⼀⽹ 解析：由题意知，a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn， ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1， 两式相减，得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1， 即an＋1＝ban＋2n.① (1)当b＝2时，由①知，an＋1＝2an＋2n. 于是an＋1－(n＋1)2n＝2an＋2n－(n＋1)2n ＝2an－n2n－1. ⼜a1－ 120＝1≠0， ∴{an－n2n－1}是⾸项为1，公⽐为2的等⽐数列． (2)当b＝2时， 由(1)知，an－n2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)2n－1 当b≠2时，由①得 an ＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b2－b2n ＝ban－12－b2n， 因此an＋1－12－b2n＋1＝ban－12－b2n＝2(1－b)2－bbn. 得an＝2， n＝1，12－b[2n＋(2－2b)bn－1]， n≥2. 21．(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24⼩时后⼜⼀个超历史最⾼⽔位的洪峰到达，为保证万⽆⼀失，抗洪指挥部决定在24⼩时内另筑起⼀道堤作为第⼆道防线．经计算，如果有 20辆⼤型翻⽃车同时作业25⼩时，可以筑起第⼆道防线，但是除了现有的⼀辆车可以⽴即投⼊作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有⼀辆车到达并投⼊⼯作．问指挥部⾄少还需组织多少辆车这样陆续⼯作，才能保证24⼩时内完成第⼆道防线，请说明理由． 解析：设从现有这辆车投⼊⼯作算起，各车的⼯作时间依次组成数列{an}，则an－an－1＝－13. 所以各车的⼯作时间构成⾸项为24，公差为－13的等差数列，由题知，24⼩时内最多可抽调72辆车． 设还需组织(n－1)辆车，则 a1＋a2＋…＋an＝24n＋n(n－1)2×－13≥20×25. 所以n2－145n＋3 000≤0， 解得25≤n≤120，且n≤73. 所以nmin＝25，n－1＝24. 故⾄少还需组织24辆车陆续⼯作，才能保证在24⼩时内完成第⼆道防线． 22．(12分)已知点集L＝{(x，y)|y＝mn}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈N*. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (3)设cn＝5nan|PnPn＋1|(n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值． 解析：(1)由y＝mn，m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)， 得y＝2x＋1，即L：y＝2x＋1. ∵P1为L的轨迹与y轴的交点， ∴P1(0,1)，则a1＝0，b1＝1. ∵数列{an}为等差数列，且公差为1， ∴an＝n－1(n∈N*) ． 代⼊y＝2x＋1，得bn＝2n－1(n∈N*)． (2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)． ＝5n2－n－1＝5n－1102－2120. ∵n∈N*， (3)当n≥2时，Pn(n－1,2n－1)， ∴c2＋c3＋…＋cn ＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.。
数列测试题及答案解析
数列测试题及答案解析一、选择题1. 已知数列{an}满足a1=2，an+1 = 2an，判断数列{an}是否为等比数列。
A. 是B. 不是C. 无法判断答案：A2. 若数列{bn}是等差数列，且b3=5，b5=9，求b7。
A. 11B. 13C. 无法确定答案：B二、填空题1. 给定数列{cn}，其中c1=1，cn+1 = cn + n，求c5的值。
答案：152. 已知等差数列{dn}的首项d1=3，公差d=2，求d20的值。
答案：43三、解答题1. 求等比数列{en}的前n项和Sn，若e1=1，公比q=3。
解：根据等比数列前n项和公式Sn = e1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入e1=1和q=3，得到Sn = (1 - 3^n) / (1 - 3)。
2. 已知等差数列{fn}的前n项和为Tn，若f1=2，d=3，求T10。
解：根据等差数列前n项和公式Tn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)，代入f1=2和d=3，得到T10 = 10/2 * (2*2 + (10 - 1)*3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155。
四、证明题1. 证明数列{gn}，其中gn = n^2，是一个单调递增数列。
证明：设n≥2，我们需要证明对于任意的n，有gn ≥ gn-1。
即证明n^2 ≥ (n-1)^2。
展开得n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1 > 0，所以数列{gn}是单调递增的。
2. 证明等差数列{hn}的任意两项hn和hm（m > n）之和等于它们中间项的两倍。
证明：设等差数列{hn}的首项为h1，公差为d。
根据等差数列的定义，hn = h1 + (n - 1)d，hm = h1 + (m - 1)d。
将两项相加得hn + hm = 2h1 + (m + n - 2)d。
由于m > n，所以m + n - 2 = m - 1 + n - 1，即hn + hm = h1 + (m - 1)d + h1 + (n - 1)d = 2h1 + (m + n - 2)d = 2h((m + n - 1)/2)，这正是它们中间项的两倍。
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数列测试题及答案数列测试题及答案数列测试题及答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则a7为( ) A．6 B．7 C．8 D．9解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6.答案：A2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是( )A.12 B．1 C．2 D．3解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故选C.答案：C3．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 011等于( )A．1 B．－4 C．4 D．5解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…故{an}是以6为周期的数列，∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1.答案：A4．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是( )A．d＜0 B．a7＝0C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.又S7＞S8，∴a8＜0.假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0.∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成立，故S9＜S5.∴C错误.答案：C5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q的值为( )A．－12 B.12C．1或－12 D．－2或12[解析：设首项为a1，公比为q，则当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，适合题意．当q≠1时，a1(1－q3)1－q＝3a1q2，∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0，解得q＝1(舍去)，或q＝－12.综上，q＝1，或q＝－12.答案：C6．若数列{an}的通项公式an＝5 252n－2－425n－1，数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y等于( )A．3 B．4 C．5 D．6解析：an＝5252n－2－425n－1＝525n－1－252－45，∴n＝2时，an最小；n＝1时，an最大．此时x＝1，y＝2，∴x＋y＝3.答案：A7．数列{an}中，a1 ＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N *)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( )A．a21a22 B．a22a23 C．a23a24 D．a24a25解析：∵3an＋1＝3an－2，∴an＋1－an＝－23，即公差d＝－23.∴an＝a1＋(n－1)d＝15－23(n－1)．令an＞0，即15－23(n－1)＞0，解得n＜23.5.又n∈N*，∴n≤23，∴a23＞0，而a24＜0，∴a23a24＜0.答案：C8．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )A．1.14a B．1.15aC．11×(1.15－1)a D．10×(1.16－1)a解析：由已知，得每年产值构成等比数列a1＝a，wan＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)．∴总产值为S6－a1＝11×(1.15－1)a.答案：C9．已知正数组成的`等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最大值为( )A．25 B．50 C．1 00 D．不存在解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10. ∴a7＋a14＝10.又a7＞0，a14＞0，∴a7a14≤a7＋a1422＝25.答案：A10．设数列{an}是首项为m，公比为q(q≠0)的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn( )A．在直线mx＋qy－q＝0上B．在直线qx－my＋m＝0上C．在直线qx＋my－q＝0上D．不一定在一条直线上解析：an＝mqn－1＝x，①S2nSn＝m(1－q2n)1－qm(1－qn)1－q＝1＋qn＝y，②由②得qn＝y－1，代入①得x＝mq(y－1)，即qx－my＋m＝0.答案：B11．将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的首项为( )A．n2－n B．n2＋n＋2C．n2＋n D．n2－n＋2解析：因为前n－1组占用了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n －1)＝(n－1)n2项，所以第n组的首项为数列2,4,6，…的第(n－1)n2＋1项，等于2＋(n－1)n2＋1－12＝n2－n＋2.答案：D12．设m∈N*，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)的值是( )A．8 204 B．8 192C．9 218 D．以上都不对解析：依题意，F(1)＝0，F(2)＝F(3)＝1，有2 个F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个．F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个．F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个．…F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29个．F(1 024)＝10，有1个．故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10.令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，①则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.②①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210 ＝2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2，∴T＝8×210＋2＝8 194， m]∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204.答案：A第Ⅱ卷 (非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若数列{an} 满足关系a1＝2，an＋1＝3an＋2，该数列的通项公式为__________．解析：∵an＋1＝3an＋2两边加上1得，an＋1＋1＝3(an＋1)，∴{an＋1}是以a1＋1＝3为首项，以3为公比的等比数列，∴an＋1＝33n－1＝3n，∴an＝3n－1.答案：an＝3n－114．已知公差不为零的等差数列{an}中，M＝anan＋3，N＝an ＋1an＋2，则M与N的大小关系是__________．解析：设{an}的公差为d，则d≠0.M－N＝an(an＋3d)－[(an＋d)(an＋2d)]＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N.答案：M＜N15．在数列{an}中，a1＝6，且对任意大于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y＝6上，则数列{ann3(n＋1)}的前n项和Sn＝__________.解析：∵点(an，an－1)在直线x－y＝6上，∴an－an－1＝6，即数列{an}为等差数列．∴an＝a1＋6(n－1)＝6＋6(n－1)＝6n，∴a n＝6n2.∴ann3(n＋1)＝6n2n3(n＋1)＝6n(n＋1)＝61n－1n＋1∴Sn＝61－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1.＝61－1n＋1＝6nn＋1.答案：6nn＋116．观察下表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…则第__________行的各数之和等于2 0092.解析：设第n行的各数之和等于2 0092，则此行是一个首项a1＝n，项数为2n－1，公差为1的等差数列．故S＝n×(2n－1)＋(2n－1)(2n－2)2＝2 0092，解得n＝1 005.答案：1 005三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1(n∈N*)，令bn＝an－2.(1)求证：{bn}是等比数列，并求bn；(2)求通项an并求{an}的前n项和Sn.解析：(1)∵bn＋1bn＝an＋1－2an－2＝12an＋1－2an－2＝12an－1an－2＝12，∴{bn}是等比数列．∵b1＝a1－2＝－32，∴bn＝b1qn－1＝－32×12n－1＝－32n.(2)an＝bn＋2＝－32n＋2，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝－32＋2＋－322＋2＋－323＋2＋…＋－32n＋2＝－3×12＋122＋…＋12n＋2n＝－3×12×1－12n1－12＋2n＝32n＋2n－3.18．(12分)若数列{an}的前n项和Sn＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝anbnn，求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn.解析：(1)由题意Sn＝2n，得Sn－1＝2n－1(n≥2)，两式相减，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)．当n＝1时，21－1＝1≠S1＝a1＝2.∴an＝2 (n＝1)，2n－1 (n≥2).(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，…bn－bn－1＝2n－3.以上各式相加，得bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2.∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n，∴cn＝－2 (n＝1)，(n－2)×2n－1 (n≥2)，∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1，∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n－2)×2n.∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)×2n＝2(1－2n－1)1－2－(n－2)×2n＝2n－2－(n－2)×2n＝－2－(n－3)×2n.∴Tn＝2＋(n－3)×2n.19．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n 项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．解析：(1)依题意，得3a1＋3×22d＋5a1＋5×42d＝50，(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，解得a1＝3，d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，即an＝2n＋1.(2)由已知，得bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1)＝4(1－2n)1－2＋n＝2n＋2－4＋n.20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban－2n＝(b－1)Sn.(1)证明：当b＝2时，{an－n2n－1}是等比数列；(2)求通项an. 新课标第一网解析：由题意知，a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，两式相减，得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，即an＋1＝ban＋2n.①(1)当b＝2时，由①知，an＋1＝2an＋2n.于是an＋1－(n＋1)2n＝2an＋2n－(n＋1)2n＝2an－n2n－1.又a1－ 120＝1≠0，∴{an－n2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2)当b＝2时，由(1)知，an－n2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)2n－1当b≠2时，由①得an ＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b2－b2n＝ban－12－b2n，因此an＋1－12－b2n＋1＝ban－12－b2n＝2(1－b)2－bbn.得an＝2， n＝1，12－b[2n＋(2－2b)bn－1]，n≥2.21．(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24小时后又一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线．经计算，如果有 20辆大型翻斗车同时作业25小时，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作．问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24小时内完成第二道防线，请说明理由．解析：设从现有这辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列{an}，则an－an－1＝－13.所以各车的工作时间构成首项为24，公差为－13的等差数列，由题知，24小时内最多可抽调72辆车．设还需组织(n－1)辆车，则a1＋a2＋…＋an＝24n＋n(n－1)2×－13≥20×25.所以n2－145n＋3 000≤0，解得25≤n≤120，且n≤73.所以nmin＝25，n－1＝24.故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24小时内完成第二道防线．22．(12分)已知点集L＝{(x，y)|y＝mn}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈N*.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(3)设cn＝5nan|PnPn＋1|(n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值．解析：(1)由y＝mn，m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，得y＝2x＋1，即L：y＝2x＋1.∵P1为L的轨迹与y轴的交点，∴P1(0,1)，则a1＝0，b1＝1.∵数列{an}为等差数列，且公差为1，∴an＝n－1(n∈N*) ．代入y＝2x＋1，得bn＝2n－1(n∈N*)．(2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)．＝5n2－n－1＝5n－1102－2120.∵n∈N*，(3)当n≥2时，Pn(n－1,2n－1)，∴c2＋c3＋…＋cn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.。