2019-2020高中北师版数学选修2-3第2章 §4 二项分布

§4 二项分布1．n 次独立重复试验进行n 次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”； (2)每次试验“成功”的概率均为p ，“失败”的概率均为1－p ； (3)各次试验是相互独立的，则这n 次试验称为n 次独立重复试验． 2．二项分布(1)若用随机变量X 表示n 次独立重复试验的次数，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )．(2)若一个随机变量X 的分布列如(1)所述，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为X ～B (n ，p )．思考：二项分布与两点分布有什么关系？[提示] (1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A 发生(X ＝1)或不发生(X ＝0)；二项分布是指在n 次独立重复试验中事件A 发生的次数X 的分布列，试验次数为n 次(每次试验的结果也只有两种：事件A 发生或不发生)，试验结果有n ＋1种：事件A 恰好发生0次，1次，2次，…，n 次．(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n ＝1的二项分布．1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( ) A ．34 B ．38 C ．13 D ．14B [抛一枚硬币，正面朝上的概率为12，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝38.]2．独立重复试验满足的条件是________．(填序号) ①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生和不发生两种情况； ③每次试验中发生的机会是均等的； ④每次试验发生的事件是互斥的．①②③ [由n 次独立重复试验的定义知①②③正确．]3．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (X ＝2)等于________．80243 [P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－134＝80243.]4．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．38[抛掷一枚硬币出现正面的概率为12，由于每次试验的结果不受影响，故由独立重复试验可知，所求概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38.]【例1】 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求：(1)甲恰好击中目标2次的概率； (2)乙至少击中目标2次的概率； (3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．[解] (1)甲恰好击中目标2次的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝38. (2)乙至少击中目标2次的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2027.(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A ，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B 1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1，B 2为互斥事件．P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233·C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝118＋19＝16.独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验.(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆.(2)计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.1．某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率；[解] (1)记“预报一次准确”为事件A ，则P (A )＝0.8. 5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P ＝C 25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，因此“5次预报中恰有2次准确”的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P ＝C 05×(0.2)5＋C 15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.所以所求概率为1－P ＝1－0.01＝0.99.所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99.到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X 为途中遇到红灯的次数．求(1)随机变量X 的分布列；(2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．思路探究：求随机变量的分布列，首先应根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后再求随机变量取各个值的概率．[解] (1)由题意X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，则P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫250⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫251⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252⎝ ⎛⎭⎪⎫351＝36125， P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫253⎝ ⎛⎭⎪⎫350＝8125. ∴X 的分布列为(2)到”．因此有P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－27125＝98125.解决这类问题的一般步骤(1)判断所述问题是否是相互独立试验； (2)建立二项分布模型；(3)求出相应概率；(4)写出分布列.2．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数X的分布列．[解]由题意，得到的次品数X～B(2,0.05)，P(X＝0)＝C02×0.952＝0.902 5；P(X＝1)＝C12×0.05×0.95＝0.095；P(X＝2)＝C22×0.052＝0.002 5.因此，次品数X的分布列如下：1．王明在做一道单选题时，从A，B，C，D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？[提示]做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布．2．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？[提示]服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．3．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？[提示]不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n 次独立重复试验，随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．【例3】 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．(1)求随机变量ξ的分布列；(2)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB )．思路探究：(1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n ＝3，p ＝23；(2)AB 表示事件A 、B 同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．[解] (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且 p (ξ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎪⎫1－233＝127，P (ξ＝1)＝C 1323⎝⎛⎭⎪⎫1－232＝29，P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.所以ξ的分布列为0分”这一事件，所以AB ＝C ＋D ，且C ，D 互斥，又P (C )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23⎣⎢⎡ 23×13×12＋13×23×⎦⎥⎤12＋13×13×12＝1034， P (D )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13×12＝435， 由互斥事件的概率公式得 P (AB )＝P (C )＋P (D ) ＝1034＋435＝3435 ＝34243.对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解.3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率． [解] (1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验．故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝6581，所以甲射击4次，至少有一次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－234－2＝827；P (B 2)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫343×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－344－3＝2764. 由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝P (A 2)P (B 2)＝827×2764＝18.所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.1．P (X ＝k )＝C k n ·p k (1－p )n －k .这里n 为试验次数，p 为每次试验中成功的概率，k 为n 次试验中成功的次数．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其一；其二是重复性，即试验重复地进行了n 次；其三是各次试验相互独立.1.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有2次击中目标的概率为( )A ．81125B ．54125C ．36125D ．27125B [恰有两次击中目标的概率是C 23·0.62(1－0.6)＝54125.] 2．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )A ．227B ．19C ．29D ．127B [每种颜色的球被抽取的概率为13，从而抽取三次，球的颜色全相同的概率为C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝3×127＝19.] 3．一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为________．4 [由1－C 0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n>0.9，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<0.1，所以n ≥4.故n 的最小值为4.]4．某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A 片区房源的概率为________.827[每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，设申请A 片区房源记为A ，则P (A )＝13，所以恰有2人申请A 片区的概率为C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.]5．某中学学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列．[解] 由题意知，用X 表示成功的人数，则X 服从n ＝3，p ＝34的二项分布， 于是有P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫34k×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－343－k ，k ＝0,1,2,3. 所以X 的分布列为。