大学数学公式总结大全
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
a
x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22=
'='?-='?='-='='2
2
22
11
)(11
)(11
)(arccos 11
)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-
='+=
'--
='-=
'?
?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C
a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C
a a dx a C
x ctgxdx x C
x dx tgx x C
ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x
x
)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222
22
22
2C a
x
x a dx C x a x
a a x a dx C a x a
x a a x dx C a x
arctg a x a dx C
ctgx x xdx C tgx x xdx C
x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2
2222222?
????++-=-+-+--=-+++++=+-=
==-C
a
x a x a x dx x a C
a x x a a x x dx a x C
a x x a a x x dx a x I n
n xdx xdx I n n n
n arcsin 22ln 22)ln(221
cos sin 22
2222222
2222222
22
2
22
2
π
π
一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式：
·和差角公式： ·和差化积公式：
2
sin
2sin 2cos cos 2cos
2cos 2cos cos 2sin
2cos 2sin sin 2cos
2sin
2sin sin β
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβ
αβα-+=--+=+-+=--+=+α
ββαβαβαβ
αβαβ
αβαβαβ
αβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?=
±?±=
±=±±=±1
)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(
·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：
C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=
-=
2
arccos 2
arcsin π
π
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率：
定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：
)
,,(),,(),,(30
))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}
,,{,0
),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()
()()
(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y
x y x x z x z z y z y -=
-=-=-+-+-==????
?====-'+-'+-''-=
'-='-??
?
??===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：
上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线
ωψ?ωψ?ωψ?方向导数与梯度：
多元函数的极值及其求法： 重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式：
??????????????????Ω
∑
∑
∑
∑
∑
Ω
∑=++==?
A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n
div )cos cos cos (...
,0div ,div )cos cos cos ()(
成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：
—高斯公式的物理意义γβαννγβα斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： 常数项级数： 级数审敛法：
绝对收敛与条件收敛： 幂级数：
函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数：
周期为l 2的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念： 阳光怡茗工作室
一阶线性微分方程： 全微分方程： 二阶微分方程：
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
二阶常系数非齐次线性微分方程
概率公式部分
1．随机事件及其概率
吸收律：A AB A A
A A =?=??Ω
=Ω?)( A
B A A A A
A =???
=??=Ω?)(
反演律：B A B A =? B A AB ?=
2．概率的定义及其计算
若B A ? )()()(A P B P A B P -=-?
对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 3．条件概率 乘法公式 全概率公式 Bayes 公式
4．随机变量及其分布 分布函数计算
5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p *Possion 定理
有
,2,1,0!)
1(lim ==---∞
→k k e
p p C k
k
n n k n
k n n λλ
(3) Poisson 分布 )(λP 6．连续型随机变量 阳光怡茗工作室
(1) 均匀分布 ),(b a U (2) 指数分布 )(λE
(3) 正态分布 N (? , ? 2 ) *N (0,1) — 标准正态分布 7.多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y )的分布函数 边缘分布函数与边缘密度函数 8.
连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G ) (2)二维正态分布
9.二维随机变量的 条件分布 10.随机变量的数字特征 数学期望
阳光怡茗工作室
随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 X 的 k 阶绝对原点矩
X 的 k 阶中心矩 X 的 方差
X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 X ,Y 的 二阶混合原点矩
X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 X ,Y 的相关系数 X 的方差
D (X ) =
E ((X - E (X ))2) 协方差 相关系数
线性代数部分
梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。 沟通：突出各部分内容间的联系。
充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。阳光怡茗工作室
大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。 基本运算
①A B B A +=+
②()()C B A C B A ++=++
③()cB cA B A c +=+ ()dA cA A d c +=+ ④()()A cd dA c =
⑤00=?=c cA 或0=A 。
()()
T T
A c cA =。
转置值不变A A T
=
逆值变A
A
11
=
- ()321,,ααα=A ，3阶矩阵 有关乘法的基本运算
线性性质 ()B A B A B A A 2121+=+， 结合律 ()()BC A C AB = ()k
k
k
B A AB =不一定成立！
A AE =，A EA =
()kA kE A =，()kA A kE =
与数的乘法的不同之处
()k
k
k
B A AB =不一定成立！
无交换律 因式分解障碍是交换性
一个矩阵A 的每个多项式可以因式分解，例如 无消去律（矩阵和矩阵相乘） 当0=AB 时0=?/A 或0=B 由0≠A 和00=?/=B AB
由0≠A 时C B AC AB =?/=（无左消去律） 特别的 设A 可逆，则A 有消去律。
左消去律：C B AC AB =?=。
右消去律：C B CA BA =?=。
如果A 列满秩，则A 有左消去律，即
①00=?=B AB ②C B AC AB =?= 可逆矩阵的性质 i ）当A 可逆时， T A 也可逆，且()
()
T
T
A A 11
--=。 k A 也可逆，且()
()
k
k
A A 11
--=。
数0≠c ，cA 也可逆，()
1
1
1--=
A c
cA 。 ii ）A ，B 是两个n 阶可逆矩阵AB ?也可逆，且()
111
---=A B AB 。
推论：设A ，B 是两个n 阶矩阵，则E BA E AB =?= 命题：初等矩阵都可逆，且 命题：准对角矩阵
kk A A A A 0
000
0000
002211
=
可逆?每个ii A 都可逆，记1
122
111
1
00
00
0000
----=kk
A A A A
伴随矩阵的基本性质：阳光怡茗工作室
当A 可逆时， E A A A
=*
（求逆矩阵的伴随矩阵法）
()()
???
? ?
?==----A A A
A A 1
111
* 伴随矩阵的其他性质
1*-=A A A
②()
(),**T
T
A A =
④()*,**A B AB =
⑤()
()k
k
A A **=，
2=n 时， ()A A =** ???
?
??--=d c b a A *
关于矩阵右上肩记号：T ，k ，1-，*
i) 任何两个的次序可交换， 如()
()T
T
A A **=，
()
()
**11
--=A A 等
ii) ()()
111
,---==A B AB A B AB T
T
T
，
线性表示
βααααααβ=+++?→s s s x x x 221121,,,有解 ()βααα=?x s ,,,21 有解()(
)T
s x x x ,,1 =
β=Ax 有解，即β可用A 的列向量组表示 ()s r r r C AB ,,,21 ==，()n A ααα,,,21 =， 则n s r r r ααα,,,,,,2121 →。 s t αααβββ,,,,,,2121 →，
则存在矩阵C ，使得()()C s t αααβββ,,,,,,2121 =
线性表示关系有传递性 当p s t r r r ,,,,,,,,,212121 →→αααβββ， 则p t r r r ,,,,,,2121 →βββ。 等价关系：如果s
ααα,,,21 与
t βββ,,,21 互相可表示
t s βββααα,,,,,,2121 ←→
记作t s βββααα,,,,,,2121 ?。 线性相关阳光怡茗工作室
1=s ，单个向量α，0=αx α相关0=?α
2=s ，21,αα相关?对应分量成比例 21,αα相关n n b a b a b a :::2211===? ①向量个数s =维数n ，则n 1,,αα 线性相（无）关()01≠=?n αα ()n A ααα,,,21 =，0=Ax 有非零解0=?A
如果n s >，则s ααα,,,21 一定相关
0=Ax 的方程个数 ③如果s ααα,,,21 无关，而βααα,,,,21s 相关，则s αααβ,,,21 → 证明：设c c c s ,,,1 不全为0，使得011=+++βααc c c s s 则其中0≠c ，否则s c c ,,1 不全为0，011=++s s c c αα ，与条件s αα,,1 无关矛 盾。于是s s c c c c ααβ--- = 11 。 ④当s ααβ,,1 →时，表示方式唯一s αα 1?无关 （表示方式不唯一s αα 1?相关） ⑤若s t ααββ,,,,11 →，并且s t >，则t ββ,,1 一定线性相关。 证明：记()s A αα,,1 =，()t B ββ,,1 =， 则存在t s ?矩阵C ，使得 AC B =。 0=Cx 有s 个方程，t 个未知数，t s <，有非零解η，0=ηC 。 则0==ηηAC B ，即η也是0=Bx 的非零解，从而t ββ,,1 线性相关。 各性质的逆否形式 ①如果s ααα,,,21 无关，则n s ≤。 ②如果s ααα,,,21 有相关的部分组，则它自己一定也相关。 ③如果s αα 1无关，而s ααβ,,1 →/，则βααs ,,1 无关。 ⑤如果s t ααββ 11→，t ββ 1无关，则s t ≤。 推论：若两个无关向量组s αα 1与t ββ 1等价，则t s =。 极大无关组 一个线性无关部分组()I ，若()I #等于秩()I →6421,,,αααα，()I 就一定是极大无关组 ①s ααα,,,21 无关?()s s =αααγ,,, 21 ②()()s s s ααγβαααγαααβ,, ,,,, ,,,12121 =?→ 另一种说法： 取s ααα,,,21 的一个极大无关组()I ()I 也是βααα,,,,21s 的极大无关组?()β,I 相关。 证明：()()ββααβ,,,1I I s ?→?→ 相关。 ③β可用s αα,,1 唯一表示()()s s s ==?ααγβααγ,, ,,, 11 ④()()s t s s t ααγββααγααββ,, ,,,,, ,,,,11111 =?→ ⑤??t s ββαα,,,,11 ()()()t t s s ββγββααγααγ,, , ,, 1111 == 矩阵的秩的简单性质 A 行满秩：()m A r = A 列满秩：()n A r = n 阶矩阵A 满秩：()n A r = A 满秩A ?的行（列）向量组线性无关 A ?可逆 0=?Ax 只有零解，β=Ax 唯一解。 矩阵在运算中秩的变化 初等变换保持矩阵的秩 ①()()A r A r T = ②0≠c 时，()()A r cA r = ③()()()B r A r B A r +≤± ④()()(){}B r A r AB r ,m in ≤ ⑤A 可逆时，()()B r AB r = 弱化条件：如果A 列满秩，则()()B AB γγ= 证：下面证0=ABx 与0=Bx 同解。 η是0=ABx 的解0=?ηAB ηη?=?0B 是0=Bx 的解 B 可逆时，()()A r AB r = ⑥若0=AB ，则()()n B r A r ≤+（A 的列数，B 的行数） ⑦A 列满秩时()()B r AB r = B 行满秩时()()A r AB r = ⑧()()()B r A r n AB r +≥+ 解的性质 1．0=Ax 的解的性质。阳光怡茗工作室 如果e ηηη,,,21 是一组解，则它们的任意线性组合e e c c c ηηη+++ 2211一定也 是解。 2．()0≠=ββAx ①如果e ξξξ,,,21 是β=Ax 的一组解，则 e e c c c ξξξ+++ 2211也是β=Ax 的解121=+++?e c c c e e c c c ξξξ+++ 2211是0=Ax 的解021=+++?e c c c 特别的： 当21,ξξ是β=Ax 的两个解时，21ξξ-是0=Ax 的解 ②如果0ξ是β=Ax 的解，则n 维向量ξ也是β=Ax 的解0ξξ-?是0=Ax 的解。 解的情况判别 方程：β=Ax ，即βααα=+++n n x x x 2211 n αααβ,,,21 → ()()A A γβγ>| ()()n A A ==γβγ| ()()n A A <=γβγ| 方程个数m ： ①当()m A =γ时，()m A =βγ|，有解 ②当n m <时，()n A <γ，不会是唯一解 对于齐次线性方程组0=Ax ， 只有零解()n A =?γ（即A 列满秩） （有非零解()n A λ是A 的特征值λ?是A 的特征多项式A xE -的根。 两种特殊情形： （1）A 是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。 （2）()1=A r 时：A 的特征值为()A tr ,0,,0,0 特征值的性质 命题：n 阶矩阵A 的特征值λ的重数()A E r n --≥ λ 命题：设A 的特征值为n ,, , 21λλλ ，则 命题：设η是A 的特征向量，特征值为λ，即ληη=A ，则 ①对于A 的每个多项式()A f ，()()ηηx f A f = ②当A 可逆时，ηλ η1 1 = -A ，ηλ η| |*A A = 命题：设A 的特征值为n ,,, 2 1λλλ ，则 ①()A f 的特征值为()()()n f f f ,,, 2 1λλλ ②A 可逆时，1-A 的特征值为 n 1,,1, 12 1λλλ *A 的特征值为 n A A A 2 1||,,||, ||λλλ ③T A 的特征值也是n ,, , 21λλλ 特征值的应用 ①求行列式n A ,,, ||2 1λλλ = ②判别可逆性阳光怡茗工作室 λ是A 的特征值E A A E 0 λλ-?=-?不可逆 E A λ-可逆λ?不是A 的特征值。 当()0=A f 时，如果()0≠c f ，则cE A -可逆 若λ是A 的特征值，则()λf 是()A f 的特征值()0=?λf 。 ()c c f ?≠0不是A 的特征值AcE ?可逆。 n 阶矩阵的相似关系 当UA AU =时，A B =，而UA AU ≠时，A B ≠。 相似关系有i ）对称性：A B B A ~~? B AU U =-1 ，则1-=UBU A ii ）有传递性：B A ~，C B ~，则C A ~ B AU U =-1 ，C BV V =-1，则 命题 当B A ~时，A 和B 有许多相同的性质 ①B A = ②()()B A γγ= ③A ，B 的特征多项式相同，从而特征值完全一致。 A 与 B 的特征向量的关系：η是A 的属于λ的特征向量η1 -?U 是B 的属于λ的特征向量。 正定二次型与正定矩阵性质与判别 可逆线性变换替换保持正定性 ()n x x x f ,,,21 变为()n y y y g ,,,21 ，则它们同时正定或同时不正定 B A -~，则A ，B 同时正定，同时不正定。 例如AC C B T =。如果A 正定，则对每个0≠x （C 可逆，0≠x ，0≠∴Cx ！） 我们给出关于正定的以下性质 A 正定E A -?~ ?存在实可逆矩阵C ，C C A T =。 A ?的正惯性指数n =。 A ?的特征值全大于0。 A ?的每个顺序主子式全大于0。 阳光怡茗工作室 判断A 正定的三种方法： ①顺序主子式法。 ②特征值法。 ③定义法。 基本概念 对称矩阵A A T =。 反对称矩阵A A T -=。 简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1 ，台角正上方的元素都为0。 如果A 是一个n 阶矩阵，A 是阶梯形矩阵?A 是上三角矩阵，反之不一定 矩阵消元法：（解的情况） ①写出增广矩阵()βA ，用初等行变换化()βA 为阶梯形矩阵() γB 。 ②用() γB 判别解的情况。 i ）如果()γB 最下面的非零行为() d 0,,0 ，则无解，否则有解。 ii ）如果有解，记γ是() γB 的非零行数，则 n = γ时唯一解。 n <γ时无穷多解。 iii ）唯一解求解的方法（初等变换法） 去掉()γB 的零行，得() 00 γB ，它是()c n n +?矩阵，0B 是n 阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。 则0 ≠n n b ii n n b b ?≠?--01 1都不为0。 () () () ηβE r B A ?→??→?行 行 η就是解。 阳光怡茗工作室 一个n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a 21 22221 11211 的值： ①是!n 项的代数和 ②每一项是n 个元素的乘积，它们共有!n 项 n nj j j a a a 2121其中n j j j 21是n ,,2,1 的一个全排列。 ③n nj j a a 11 前面乘的应为()() n j j j 211τ- ()n j j j 21τ的逆序数 代数余子式 ij M 为ij a 的余子式。 定理：一个行列式的值D 等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。 一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。 范德蒙行列式 ∏<-=j i i j n a a a a a )(1 11 11 2n C 个 乘法相关 AB 的()j i ,位元素是A 的第i 行和B 的第j 列对应元素乘积之和。 乘积矩阵的列向量与行向量 （1）设n m ?矩阵()n A ααα,,,21 =，n 维列向量()T n b b b ,,,21 =β，则 矩阵乘法应用于方程组 方程组的矩阵形式 β=Ax ， ()()T m b b b ,,,2 1 =β 方程组的向量形式 （2）设C AB =， AB 的第i 个列向量是A 的列向量组的线性组合，组合系数是B 的第i 个列向量的各分量。 AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合，组合系数是A 的第i 个行向量的各分量。 矩阵分解 当矩阵C 的每个列向量都是A 的列向量的线性组合时，可把C 分解为A 与一个矩阵B 的乘积 特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题 对角矩阵从右侧乘一矩阵A ，即用对角线上的元素依次乘A 的各列向量 对角矩阵从左侧乘一矩阵A ，即用对角线上的元素依次乘A 的各行向量 于是A AE =，A EA = ()kA kE A =，()kA A kE = 两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘 对角矩阵的k 次方幂只须把每个对角线上元素作k 次方幂 对一个n 阶矩阵A ，规定()A tr 为A 的对角线上元素之和称为A 的迹数。 于是 ()() T k T k T αβαβαβ1 -=()[]T k T tr αβαβ1 -= ()T T tr αααα= 其他形式方阵的高次幂也有规律 例如：??? ? ? ??=101020101A 初等矩阵及其在乘法中的作用阳光怡茗工作室 （1）()j i E ,：交换E 的第j i ,两行或交换E 的第j i ,两列 （2）())(c i E ：用数()0≠c 乘E 的第i 行或第i 列 （3）())(,c j i E ：把E 的第j 行的c 倍加到第i 行上，或把E 的第i 列的c 倍加到第j 列上。 初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A 等同于对A 作一次相当的初等行（列）变换 乘法的分块法则 一般法则：在计算两个矩阵A 和B 的乘积时，可以先把A 和B 用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A 的纵向分割与B 的横向分割一致。 两种常用的情况 （1）B A ,都分成4块 ???? ??=22211211 A A A A A ，??? ? ??=22211211 B B B B B 其中1i A 的列数和j B 1的行数相等，2i A 的列数和j B 2的行数相关。 （2）准对角矩阵 矩阵方程与可逆矩阵 两类基本的矩阵方程 （都需求A 是方阵，且0≠A ） （I ）的解法： （II ）的解法，先化为T T T B x A =。 ( )()T T T x E B A →。 通过逆求解：B Ax =，B A x 1 -= 可逆矩阵及其逆矩阵 定义：设A 是n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵H ，使得E AH =，且E HA =，则称A 是可逆矩阵，称H 是A 的逆矩阵，证作1-A 。 定理：n 阶矩阵A 可逆0≠?A 求1-A 的方程（初等变换法） 伴随矩阵 线性表示 β可以用s ααα,,,21 线性表示，即β可以表示为s ααα,,,21 的线性组合， 也就是存在s c c c ,,,21 使得 βααα=+++s s c c c 2211 记号：s αααβ,,,21 → 线性相关性 线性相关：存在向量i α可用其它向量s i i αααα,,,,,111 +-线性表示。 线性无关：每个向量i α都不能用其它向量线性表示 定义：如果存在不全为0的s c c c ,,,21 ，使得02211=+++s s c c c ααα 则称 s ααα,,,21 线性相关，否则称s ααα,,,21 线性无关。 即：s ααα,,,21 线性相（无）关011=++?s s x x αα 有（无）非零解 ()0,,,21=?x s ααα 有（无）非零解 极大无关组和秩 定义：s ααα,,,21 的一个部分组()I 称为它的一个极大无关组，如果满足： i ）()I 线性无关。 ii ）()I 再扩大就相关。 定义：规定s ααα,,,21 的秩()()I s #,,, 21=αααγ 。 如果s ααα,,,21 每个元素都是零向量，则规定其秩为0。 有相同线性关系的向量组 定义：两个向量若有相同个数的向量：s s βββααα,,,,,,,2121 ，并且向量方程 0,2211=+++s s x x x ααα 与02211=+++s s x x x βββ 同解，则称它们有相同的线性关系。 ①对应的部分组有一致的相关性。 421,,ααα的对应部分组421,,βββ， 若421,,ααα相关，有不全为0的421,,c c c 使得 0442211=++αααc c c ， 即()0,,0,,0,,421 c c c 是02211=+++s s x x x ααα 的解， 从而也是02211=+++s s x x x βββ 的解，则有 0442211=++βββc c c ， 321,,βββ也相关。 ②极大无关组相对应，从而秩相等。 ③有一致的内在线表示关系。 设：()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，则 02211=+++s s x x x ααα 即 0=Ax ， 02211=+++s s x x x βββ 即 0=Bx 。 s ααα,,,21 与s βββ,,,21 有相同的线性关系即0=Ax 与0=Bx 同解。 反之，当0=Ax 与0=Bx 同解时，A 和B 的列向量组有相同的线性关系。 矩阵的秩 定理：矩阵A 的行向量组的秩=列向量组的秩 规定()=A r 行（列）向量组的秩。 ()A r 的计算：用初等变换化A 为阶梯形矩阵B ，则B 的非零行数即()A r 。 命题：()A A r =的非零子式阶数的最大值。阳光怡茗工作室 方程组的表达形式 1．?? ?????=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222212********* 2．β=Ax η是解βη=?A 3．βααα=+++n n x x x 2211 有解n αααβ,,,21 →? 基础解系和通解 1．0=Ax 有非零解时的基础解系 e ηηη,,,21 是0=Ax 的基础解系的条件： ①每个i η都是0=Ax 的解 ②e ηηη,,,21 线性无关 ③0=Ax 的每个解e ηηηη,,,21 → ③/ ()A n l γ-= 通解 ①如果e ηηη,,,21 是0=Ax 的一个基础解系，则0=Ax 的通解为 e e c c c ηηη+++ 2211，i c 任意 ②如果0ξ是()0≠=ββAx 的一个解，e ηηη,,,21 是0=Ax 的基础解系，则β=Ax 的通解为 e e c c c ηηηξ++++ 22110，i c 任意 特征向量与特征值 定义：如果0≠η，并且ηA 与η线性相关，则称η是A 的一个特征向量。此时，有数λ，使得 ληη=A ，称λ为η的特征值。 设A 是数量矩阵E λ，则对每个n 维列向量η，ληη=A ，于是，任何非零列向量都是E λ的特征向量，特征值都是λ。 ①特征值有限特征向量无穷多 若ληη=A ，()()ηλληηηc c cA c A === ②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。 ③计算时先求特征值，后求特征向量。 特征向量与特征值计算 η?是()0=-x A E λ的非零解 命题：①λ是A 的特征值0 =-? A E λ ②η是属于λ的特征向量η?是()0 =-x A E λ的非零解 称多项式A xE -为A 的特征多项式。 λ是A 的特征值λ?是A 的特征多项式A xE -的根。 λ的重数：λ作为A xE -的根的重数。 n 阶矩阵A 的特征值有n 个：n ,, , 21λλλ ，可能其中有的不是实数，有的是多重的。 计算步骤： ①求出特征多项式A xE -。 ②求A xE -的根，得特征值。 ③对每个特征值i λ，求()0 =-x A E i λ的非零解，得属于i λ的特征向量。 n 阶矩阵的相似关系 设A ，B 是两个n 阶矩阵。如果存在n 阶可逆矩阵U ，使得B AU U =-1 ，则称A 与B 相似， 记作B A ~。 阳光怡茗工作室 n 阶矩阵的对角化 基本定理 A 可对角化?A 有n 个线性无关的特征向量。 设可逆矩阵()n U ηηη,,,21 =，则 i i i A ηλη=?，n i ,,2,1 = 判别法则 A 可对角化?对于A 的每个特征值λ，λ的重数()A E n --=λγ。 高中数学公式大全及总结 高中的数学公式定理大集中 三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα 2cotα＝1 sinα 2cscα＝1 cosα 2secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”） 诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。） sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα 2tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα 2tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ·和差角公式：·和差化积公式： 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( ·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：·余弦定理： ·反三角函数性质： 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用： 曲率： 定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用： 方向导数与梯度： 多元函数的极值及其求法： 重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式： 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数： 级数审敛法： 绝对收敛与条件收敛： 幂级数： 函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数： 周期为的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念： 阳光怡茗工作室https://www.360docs.net/doc/823193498.html, 一阶线性微分方程： 全微分方程： 二阶微分方程： 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 高中文科数学公式及知识点速记 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减 函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. *二次函数： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+- 4、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =' )(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±. （2）' ' ' ()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 指数函数、对数函数 分数指数幂 (1)m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m n m n a a - = = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 根式的性质 （1）当n a =； 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 大学高等数学公式 ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·平方关系： sin^2(α+cos^2(α=1 tan^2(α+1=sec^2(α cot^2(α+1=csc^2(α ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β=(tanα+tanβ/(1-tanα·tanβ tan(α-β=(tanα-tanβ/(1+tanα·tanβ ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sin γ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ- sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ/(1-tanα·tanβ- tanβ·tanγ-tanγ·tanα ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2^(1/2sin(α+t，其中 sint=B/(A^2+B^2^(1/2 cost=A/(A^2+B^2^(1/2 tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2^(1/2cos(α-t，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα cos(2α=cos^2(α-sin^2(α=2cos^2(α-1=1-2sin^2(α tan(2α=2tanα/[1-tan^2(α] ·三倍角公式： sin(3α=3sinα-4sin^3(α cos(3α=4cos^3(α-3cosα ·半角公式： sin(α/2=±√((1-cosα/2 cos(α/2=±√((1+cosα/2 tan(α/2=±√((1-cosα/(1+cosα=sinα/(1+cosα=(1-cosα/sinα ·降幂公式 从中学到大学 数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高中数学常用公式及常用结论 1. 包含关系 A B A A B B A B C U B C U A A C U B C U ABR 2 ．集合 { a 1, a 2 , , a n } 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n – 1 个；非空子集有 2n – 1 个；非空的真子集有 2n – 2 个 . 3.充要条件 （ 1）充分条件：若 （ 2）必要条件：若 （ 3）充要条件：若 p q ，则 p 是 q 充分条件 . q p ，则 p 是 q 必要条件 . p q ，且 q p ，则 p 是 q 充要条件 . 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然 . 4. 函数的单调性 (1) 设 x 1 x 2 a,b , x 1 x 2 那么 (x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 f (x)在 a,b 上是增函数； x 2 x 1 (x x ) f ( x ) f ( x ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x)在 a, b 上是减函数 . 1 2 1 2 x 1 x 2 (2) 设函数 y f ( x) 在某个区间内可导，如果 f (x) 0 ，则 f (x) 为增函数；如果 f ( x) 0 ，则 f ( x) 为减函 数 . f ( x) 和 g( x) 都是减函数 , , 和函数 f ( x) g( x) 也是减函数 ; 5. 如果函数 则在公共定义域内 如果函数 y f (u) 和 u g (x) 在其对应的定义域上都是减函数 , 则复合函数 y f [ g( x)] 是增函数 . 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么 这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7. 对于函数 y f (x) ( x R ), f (x a) f (b x) 恒成立 , 则函数 f ( x) 的对称轴是函数 a b x ; 两个函 a b 2 数 y f (x a) 与 y f (b x) 的图象关于直线 x 对称 . 2 8. 几个函数方程的周期 ( 约定 a>0) （ 1） f (x) f (x a) ，则 f (x) 的周期 T=a ； （ 2）， f ( x a) 1 ( f ( x) 0) ，或 f (x a) 1 f ( x) ( f (x) 0) , 则 f ( x) 的周期 T=2a ； f (x) 9. 分数指数幂 m 1 m 1 (1) a n （ a 0, m, n N ，且 n 1 ） .(2) a n 0, m, n N ，且 n 1） . n a m m （ a a n 10．根式的性质 （ ） ( n a )n a . （ 2）当 n 为奇数时， n n a ；当 n 为偶数时， n a n | a | a, a 0 . 1 a a, a 0 11．有理指数幂的运算性质 (1) a r a s a r s ( a 0, r , s Q ) .(2) (a r ) s a rs (a 0, r , s Q) .(3) (ab)r a r b r (a 0, b 0, r Q) . 12. 指数式与对数式的互化式log a N b a b N (a 0, a 1, N 0) . ①.负数和零没有对数，② .1 的对数等于 0： log a 1 0 ，③ .底的对数等于 1： log a a 1 ， ④ .积的对数： log a (MN ) log a M log a N ，商的对数： log a M log a M log a N ， N n log a b 幂的对数： log a M n nlog a M ； log a m b n m 高等数学公式 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=， 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x 龙正中学05级高中数学公式总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2 的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是???? ??--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式） c bx ax x f ++=2 )(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 二、 三角函数 1、 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、 同角三角函数的关系中， 平方关系是：1cos sin 2 2=+αα，αα2 2 sec 1=+tg ，αα2 2 csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频率是 πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y sin =的递增区间是?? ? ?? ?+ - 222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是?????? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22， -)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是?? ? ? ? + -22 πππ πk k ，)(Z k ∈ 6、和角、差角公式：=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos( βαβαβαsin sin cos cos = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 小学到大学所有数学公式.txt真正的好朋友并不是在一起有说不完的话题，而是在一起就算不说话也不会觉得尴尬。你在看别人的同时，你也是别人眼中的风景。要走好明天的路，必须记住昨天走过的路，思索今天正在走着的路。1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、 1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1 、正方形 C周长 S面积 a边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 、正方体 V:体积 a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3 、长方形 C周长 S面积 a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积 a底 h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形 s面积 a底 h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积 a上底 b下底 h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形 高中数学常用公式及结论 1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 2 集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集 有22n -个. 3 二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2) 顶点式2 ()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时， 设为此式） （4）切线式：02 ()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的 横坐标为0x 时，设为此式） 4 真值表： 同真且真，同假或假 5 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 充要条件： (1)、p q ?，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件； （2）、p q ?，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ?，则P 是q 的必要不充分条件； 4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。 6 函数单调性: 增函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而增大。 （2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的 1212 ,,x x D x x ∈<且，都有 12()() f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。D 则就是f （x ）的递增区间。 减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。 （2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的 1212 ,,x x D x x ∈<且，都有 12()() f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。D 则就是f （x ）的递减区间。 单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数； 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 高等数学公式导数公式: (tgx)’ =sec x (ctgx)' = -CSC x (secx) '=secx tgx (cscx) ‘ = -cscx ctgx (a v vi vii viii ix x r = a x l na (log a xr — xl na (arcsin x)，= . 1 2 J1-X2 1 (arccos x)'= —一’ V1—x2 1 (arctgx)'= __2 1 +x (arcctgx)，= -— 1 + x 基本积分表: Jtanxdx = -In cos^C Jcotxdx=ln sinx +C Jsecxdx= In secx+tgx +C Jcscxdx = In |cscx -ctg* +C dx J _2 a +x 「dx J 巴 =fsec xdx =tgx +C ' cos x 、 dx 2 J ——=fcsc xdx = -ctgx + C 'sin X ‘ fsecx tgxdx = secx + C J cscx ctgxdx =-cscx+C x fa x d^-^ +C In a f shxdx = chx + C 2 2 x -a dx —2 2 a -x dx I n 2 =Jsin n xdx = Jcos n xdx = jJ x2 +a2dx f J x2 -a2dx jV a2-x2dx 1 x =— arctg — a 丄In 2a 丄In 2a a g +( X +a 匕 +C a -x x = arcsi n- +C a Jchxdx = shx + C 三角函数的有理式积分: □1 I nd n __________ 2 , _________ =—V x^a^ — In(x + V x2+ a2) +C 2 2 __________ 2 L X I 2 2 a.『 =—v x -a ........... 2 2 ________ 2 2 -x2+ "^arcsin- + C 2 -一In X + V x2 -a2+C 2u sin X = ---------- 7c os x=Wy, dx 2du = 2 1 +u 高中数学公式大全.txt鲜花往往不属于赏花的人，而属于牛粪。。。道德常常能弥补智慧的缺陷，然而智慧却永远填补不了道德空白人生有三样东西无法掩盖：咳嗽贫穷和爱，越隐瞒，就越欲盖弥彰。抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2，0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a，b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式： S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 高考基础知识（公式） 一、集合 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 子集：一般地, ,A A A ???,若,A B B C ??则A C ? 真子集：一般地, A ??,若,A B B C ?? 则A C ? 交集：一般地, A A A =I ,A B B A =I I ,A A ?=?=?I I 并集：一般地, A A A =U ,A B B A =U U ,A A A ?=?=U U 集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个子集（包括空集）；非空子集有21n -个；即真子集有21n -个；非空的真子集有22n -个. 充要条件：1、p q ?, 则p 是q 的充分条件；反之（若q p ?）, q 是p 的必要条件； 2、p q ?, 且q p ?, 则p 是q 的充要条件； 3、p q ?, 且q ≠>p , 则p 是的q 充分不必要条件； 4、p ≠>q , 且q p ?, 则p 是q 的必要不充分条件； 5、p ≠>q , 且q ≠>p , 则是p 是q 的既不充分又不必要条件。 二、指数与对数 指数性质：(1)1、1p p a a -= ； （2）、0 1a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ ；(5) 、n a =（0,,a m n N *>∈, 1n >） (6) 、m n a =0,,a m n N *>∈, 且1n >） (7)当n 为偶数时 a =； 当n 为奇数时 ,0 ||,0a a a a a ≥?==?-≠>>∈且2n ≥则 (1)、log ()log log a a a MN M N =+; (2)、 log log log a a a M M N N =- (3)、log log ()n a a M n M n R =∈; (4) 、log log m n a a n N N m = (5)、 log 10a = (6)、 log a b a b = (7)、 log 1a a = （8）、换底：log log log m a m N N a = (0,1,0,1,0)a a m m N >≠>≠> (9)、推论：log log 1a b b a ?= ; 22 log log a a N N == 指数与对数的关系: log b a N b a N =?= (0,1,0)a a N >≠> 大学高等数学公式汇总大全（珍藏版） 常用导数公式： 常用基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 大学数学公式大全 大学数学公式大全 奇函数：关于原点对称f(-x)=-f(x)：偶函数：关于y 轴对称 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： ?Skip Record If...? a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(2 21 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π高中数学公式大全及总结
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