2013高中数学精讲精练(新人教A版)第09章_圆锥曲线

2012高中数学精讲精练第九章圆锥曲线

【方法点拨】

解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。

1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.

2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.

3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.

4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程

第1课 椭圆A

【考点导读】

1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌

握椭圆简单的几何性质;

2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何

性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】

1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2

213

x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭

圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是

2.椭圆142

2

=+y x 的离心率为

23

3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则

该椭圆的标准方程是

22

1164

x y += 4. 已知椭圆

19

82

2=++y k x 的离心率21=e ，则k 的值为544k k ==-或 【范例导析】 例1.（1）求经过点35

(,)22

-

，且229445x y +=与椭圆有共同焦点的椭圆方程。 （2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P （3,0）在该椭圆

上，求椭圆的方程。

【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a 、b 、c 的方程组，解方程组求得a 、b 的值;③写出方程.

解：（1）∵椭圆焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为22

221y x a b

+=（0a b >>），

由椭圆的定义知，

2a ===

∴10a =，又∵2c =，∴222

1046b a c =-=-=，

所以，椭圆的标准方程为

22

1106

y x +=。 （2）方法一：①若焦点在x 轴上，设方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，

∵点P （3,0）在该椭圆上∴

29

1a

=即29a =又3a b =，∴21b =∴椭圆的方程为2

219

x y +=. ②若焦点在y 轴上，设方程为()22

2210y x a b a b

+=>>，

∵点P （3,0）在该椭圆上∴

29

1b

=即29b =又3a b =，∴281a =∴椭圆的方程为22

1819

y x += 方法二：设椭圆方程为()2

2

10,0,Ax By A B A B +=>>≠.∵点P （3,0）在该椭圆

上∴9A=1，即19A =,又3a b =∴1181B =或，

2

81a =∴椭圆的方程为2219

x y +=或

22

1819

y x +=. 【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x 轴上，设方程为

()222210x y a b a b +=>>，若焦点在y 轴上，设方程为()22

2210y x a b a b

+=>>，有时为了运算方便，也可设为2

2

1Ax By +=，其中

0,0,A B A B >>≠.

例2.点A 、B 分别是椭圆

120

362

2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。 （1）求点P 的坐标；

（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。

【分析】①列方程组求得P 坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围. 解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)

设点P(x ,y ),则AP =（x +6, y ）,FP

=（x －4, y ）,由已知可得

22

213620(6)(4)0

x y x x y ?+=???+-+=?

则22

x +9x －18=0, x =23或x =－6.

由于y >0,只能x =

23,于是y =235. ∴点P 的坐标是(23,2

35) (2) 直线AP 的方程是x －3y +6=0. 设点M(m ,0),则M 到直线AP 的距离是

2

6+m .

于是2

6+m =6m -,又－6≤m ≤6,解得m =2. 椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d

有

2

2

2

2

22549

(2)4420()15992

d x y x x x x =-+=-++-=-+, 由于－6≤m ≤6, ∴当x =

2

9

时,d 取得最小值15 点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.

【反馈练习】

1.如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（0，1）

2.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2

3.椭圆3

1222y x +

=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的7倍

4.若椭圆2215x y m +=的离心率e =,则m 的值为2533或

5.．椭圆13422=+y x 的右焦点到直线x y 3=的距离为2

6.与椭圆22

143x y +=具有相同的离心率且过点（2，22186x y +=或22

3412525

y x += 7.椭圆

14

162

2=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是10

8. 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为

3

5

4和3

5

2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出a 和b （或2

a 和2

b ）的值．从而求得椭圆方程．

解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=

PF ，3

5

22=PF ． 从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．

从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF

Rt ?中，2

1

s i n 12

21==

∠PF PF F PF ， 可求出6

21π

=

∠F PF ，3

526

cos

21=

?=π

PF c ，从而3102

22=-=c a b ．

∴所求椭圆方程为

1103522=+y x 或15

1032

2=+y x ．

第2课 椭圆B

【考点导读】

1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题;

2. 能解决椭圆有关的综合性问题. 【基础练习】

1.曲线

()2216106x y m m m +=<--与曲线()22

15959x y n n n

+=<<--的（D ） A 焦点相同 B 离心率相等 C 准线相同

D 焦距相等

2.如果椭圆

116252

2=+y x 上的点A 到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别是20

103，

3 离心率3

5

=e ，一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是2291520x y += 【范例导析】

例1.椭圆122

22=+b

y a x （a>b>0）的二个焦点F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，M 是椭圆上一点，

且021=?F F 。

求离心率e 的取值范围.

分析:离心率与椭圆的基本量a 、b 、c 有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围.

解：设点M 的坐标为(x ，y)，则),(1y c x M F +=，),(2y c x M F -=。由

021=?M F M F ，得x 2-c 2+y 2=0，即x 2-c 2=-y 2。 ①

又由点M 在椭圆上，得y 2=b 2222x a

b -，代入①，得x 2-

c 22

222b x a b -=，即

2222

2c

b a a x -=。

∵0≤2

x ≤2a ，∴0≤2a 222c

b a -≤2a ，即0≤222

c c a -≤1，0≤112-e ≤1，解得22≤e ≤1。

又∵0＜e ＜1，∵2

2

≤e ≤1. 例2.如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2等差数列.

(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标.

分析：第一问直接可有第一定义得出基本量a ，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决. 解：(1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3. 故椭圆方程为9

252

2y x +

=1.

(2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=5

9.因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，

根据椭圆定义，有|F 2A |=

54(425－x 1),|F 2C |=54(4

25

－x 2)， 由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×5

9

,由此得出：x 1+x 2=8.

设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=2

2

1x x +=4.

【反馈练习】

1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

2

2 2．已知F 1、F 2为椭圆

2

212

x y +=的两个焦点，过F 1作倾斜角为4π的弦AB ，则△F 2AB 的面积为

4

3

3.已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，

4.椭圆

136

1002

2=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的例2

距离是 12

5.椭圆19252

2=+y x 上不同三点()11y x A ，，??

? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距

离成等差数列． 求证:821=+x x ；

证明：由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：

a

c

x c

a AF =

-12

，∴ 11545x ex a AF -=-=．

同理 25

4

5x CF -

=． ∵ BF CF AF 2=+，且5

9=BF ， ∴ 5

18

54554521=??? ??-+??? ??-x x ，即 821=+x x ．

第3课 双曲线

【考点导读】

1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质

2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题. 【基础练习】

1.双曲线22

1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则14

m =-

2. 方程

13

322

=+--k y k x 表示双曲线，则k 的范围是33k k ><-或

3．已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为x y 2

1

±=，则此双曲线的离心率为5

4. 已知焦点12(5,0),(5,0)F F -，双曲线上的一点

P 到12,F F 的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为22

1916

x y -=

【范例导析】

例 1. (1) 已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点12,P P

坐标分别为

9

(3,),(,5)4

-，求双曲线的标准方程;

（2）求与双曲线19

162

2=-y x 共渐近线且过()

332-，A 点的双曲线方程及离心率． 分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a 、b 、c 的方程组，解方程组求得a 、b 的值;③写出方程. 解：（1）因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设所求双曲线的标准方程为

22

2

21(0,0)y x a b a b -=>>①； ∵点12,P P 在双曲线上，∴点12,P P 的坐标适合方程①。

将9(3,2),(,5)4-

分别代入方程①中，得方程组：22

2

22

22(319()

2541

a

b a

b ?--=????-=?? 将21a 和21b 看着整体，解得221116

119

a b ?=????=??，

∴2216

9

a b ?=??=??即双曲线的标准方程为221169y x -=。

点评：本题只要解得22,a b 即可得到双曲线的方程，没有必要求出,a b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。

（2）解法一：双曲线

19

162

2=-y x 的渐近线方程为：x y 43±= 当焦点在x 轴时，设所求双曲线方程为122

22=-b

y a x ()0,0a b >>

∵

34a b =，∴a b 4

3

= ① ∵()

332-，A 在双曲线上 ∴

19

122

2=-b a ② 由①－②，得方程组无解

当焦点在y 轴时，设双曲线方程为122

22=-b x a y ()0,0a b >>

∵

4

3=a b ，∴a b 34

= ③

∵()

332-，A 在双曲线上，∴112

922=-b

a ④

由③④得4

92=a ，42

=b

∴所求双曲线方程为：144

922=-x y 且离心率35=e 解法二：设与双曲线

191622=-y x 共渐近线的双曲线方程为：()09

162

2≠=-λλy x ∵点()

332-，A 在双曲线上，∴4

1

991612-=-=

λ ∴所求双曲线方程为：

4

1

91622-=-y x ，即144

922=-x y ．

点评：一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲

线系方程()022

22≠=-λλb

y a x 求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件

确定参数λ．

例 2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 解：如图:

以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020）

设P （x ,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y =－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360

由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线122

22=-b

y a x 上， 依题意得a =680, c =1020，

1

3405680340568010202

2

22

2

22222=?-?=-=-=∴y

x a c b 故双曲线方程为

用y =－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|,

10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处.

例3.双曲线)0,1(122

22>>=-b a b

y a x 的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），

且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.5

4

c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围.

解：直线l 的方程为

1=+b

y

a x ，即 .0=-+a

b ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离2

2

1)1(b

a a

b d +-=

，

同理得到点（－1，0）到直线l 的距离2

2

2)1(b

a a

b d ++=

.222

221c

ab

b a ab d d s =

+=

+= 由,5

42,54c c ab c s ≥≥

得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即

解不等式，得

.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是.52

5

≤≤e 点拨：本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.

【反馈练习】

1.双曲线14

22

2-=-y x 的渐近线方程为x y 2±= 2.已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为22

1412

x y -

= 3.已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且

21PF PF ⊥，2||||21=?PF PF ，则该双曲线的方程是14

22

=-y x

4. 设P 是双曲线22

2x y 19

a －＝上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，1F 、

2F 分别是双曲线左右焦点，若1PF =3,则2PF =7

5.与椭圆

221255

x y +=共焦点且过

点的双曲线的方

程22

1=

6. （1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点()31-，P 且离心率为2的双曲线标准方程．

（2）求以曲线0104222=--+x y x 和222-=x y 的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．

解：（1）设所求双曲线方程为：()0122≠=-k k y k x ，则()1312

=--k

k ，

∴191=-k k ，∴8-=k ，∴所求双曲线方程为

18

82

2=-x y （2）∵?????-==--+2

20

104222

2x y x y x ，∴???==23y x 或???-==23y x ，∴渐近线方程为x y 32±=

当焦点在x 轴上时，由

3

2

=a b 且6=a ，得4=b ． ∴所求双曲线方程为

116

362

2=-y x 当焦点在y 轴上时，由

3

2

=b a ，且6=a ，得9=b ． ∴所求双曲线方程为

181

362

2=-x y

7.设双曲线122

22=-b

y a x )0(b a <<的半焦距为c ，直线l 过)0,(a 、),0(b 两点，且

原点到直线l 的距离为

c 4

3

，求双曲线的离心率． 分析：由两点式得直线l 的方程，再由双曲线中a 、b 、c 的关系及原点到直线l 的距离建立等式，从而解出

a

c

的值． 解：由l 过两点)0,(a ，),0(b ，得l 的方程为0=-+ab ay bx ．

由点到l 的距离为

c 43，得c b

a a

b 4322=+．

将2

2

a c

b -=代入，平方后整理，得0316)(1622

222=+?-c

a c a ．

令x c

a =22，则0316162

=+-x x ．解得43=x 或41=x ．

而a c e =

，有x

e 1=．故33

2=e 或2=e ． 因b a <<0，故2122

22>+=+==a

b a b a a

c e ，

所以应舍去3

3

2=

e ．故所求离心率2=e ． 说明：此题易得出错误答案：2=e 或3

3

2=

e ．其原因是未注意到题设条件)0(b a <<，从而离心率2>e ．而

23

3

2<，故应舍去．

8.已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，离心率为

，且过点

(

4,．

（1）求双曲线方程；（2）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120MF MF ?=

；

（3）对于（2）中的点M ，求21MF F ?的面积．

解：（1）由题意，可设双曲线方程为22x y λ-=，又双曲线过点(4,，解得6λ=

∴ 双曲线方程为226x y -=；

（2）由（1）可知，a b ==c = ∴ ()

1F -，()

2F

∴ ()13,MF m =-- ，()

23,MF m =- ， ∴ 212

3MF MF m ?=- ， 又点()3,M m 在双曲线上， ∴ 2

96m -=，

∴ 2

3m =， 即120MF MF ?= ；

（3）121211

622

S F MF F F m ==?= ∴21MF F ?的面积为6．

第4课 抛物线

【考点导读】

1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质.

2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题. 【基础练习】

1.焦点在直线x －2y －4=0上的抛物线的标准方程是2

8=-2

=16或y x x y

2.若抛物线2

2y px =的焦点与椭圆22

162

x y +=的右焦点重合，则p 的值为4 3.抛物线)0(42

<=a ax y 的焦点坐标是__(a ,0)_

4.抛物线2

12y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是(

5．点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值2

【范例导析】

例1. 给定抛物线y 2=2x ，设A （a ，0），a ＞0，P 是抛物线上的一点，且｜P A ｜=d ，试求d 的最小值． 解：设P （x 0，y 0）（x 0≥0），则y 02=2x 0，

∴d =｜P A ｜=2020)(y a x +-

=0202)(x a x +-=12)]1([20-+-+a a x ． ∵a ＞0，x 0≥0，

∴（1）当0＜a ＜1时，1－a ＞0，

此时有x 0=0时，d m i n =12)1(2-+-a a =a ． （2）当a ≥1时，1－a ≤0， 此时有x 0=a －1时，d m i n =12-a ．

例2.如图所示，直线1l 和2l 相交于点M ，1l ⊥2l ，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若△AMN 为锐角三角形，

7=AM ，3=AN ，且6=BN ，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．

分析：因为曲线段C 上的任一点是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C 所满足的抛物线方程． 解：以1l 为x 轴，MN 的中点为坐标原点O ，建立直角坐标系．

由题意，曲线段C 是N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中

例

A 、

B 分别为曲线段的两端点．

∴设曲线段C 满足的抛物线方程为：),0,)(0(22>≤≤>=y x x x p px y B A 其中A x 、

B x 为A 、B 的横坐标

令,p MN =则)0,2

(),0,2(p

N p M -

，3,17==AN AM ∴由两点间的距离公式，得方程组：??????

?

=+-=++92)2

(17

2)2

(22

A A A A

px p x px p x 解得???==14A x p 或

???==22

A

x p ∵△AMN 为锐角三角形，∴

A x p

>2

，则4=p ，1=A x 又B 在曲线段C 上，4262

=-=-

=∴p

BN x B 则曲线段C 的方程为).0,41(82

>≤≤=y x x y

【反馈练习】

1.抛物线2

8

y x =的准线方程是2x =-

2.抛物线)0(2

≠=a ax y 的焦点到其准线的距离是

2

|

|a 3.设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42

=的焦点，A 为抛物线上的一点，若

4-=?，则点A

的坐标为(2,2±

4.抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是

43

5.若直线l 过抛物线2y ax =(a>0)的焦点，并且与y 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a =

14

6.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长

.

解：以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，

如图，由题意知，|AB |=20，|OM |=4，A 、B 坐标分别为(－10，－4）、(10，－4） 设抛物线方程为x 2=－2py ,将A 点坐标代入，得100=－2p ×(－4),解得p =12.5, 于是抛物线方程为x 2=－25y

.

由题意知E 点坐标为(2，－4)，E ′点横坐标也为2，将2代入得y =－0.16,从而|EE ′|= (－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.

7.已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴，且过点P （2,2），过F 的直线交抛物线于A ，B 两点.（1）求抛物线的方程；

（2）设直线l 是抛物线的准线，求证：以AB 为直径的圆与直线l 相切．

第6题

分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．用待定系数法求得方程，对于第二问的

证明只须证明12

MM AB =，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切.

解：（1）设抛物线的方程()220y px p =>，将（2，2）代入得1p =∴所求抛物线方程为22y x =

（2）证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知：BF BB AF AA ==

11, 在直角梯形A A BB 11中：

AB BF AF BB AA MM 21

)(21)(21111=+=+=

AB MM 21

1=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切．

点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．

第5课 圆锥曲线的统一定义

【考点导读】

1. 了解圆锥曲线的第二定义.

2. 能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题. 【基础练习】

1.抛物线2

6y x =的焦点的坐标是3(,0)2, 准线方程是32

x =-

2..如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=

，