初中数学概率题解题技巧梳理,中考数学概率题型归纳与经典例题及答案解析
专题1.8概率精讲精练-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 (解析版)【人教版】
专题1.8概率精讲精练【目标导航】【知识梳理】一、确定事件和随机事件1、确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。
二、频率与概率1. 概率的概念一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).2. 频率与概率的关系当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.学科+网三、概率的计算1. 公式法一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝n m2. 列表法当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.3. 画树状图当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.4. 几何概型一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝A事件发生的面积总面积,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算.5. 游戏公平性判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平.【典例剖析】【考点1】随机事件【例1】（2021•扬州）下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）A．3天内将下雨B．打开电视，正在播新闻C．买一张电影票，座位号是偶数号D．没有水分，种子发芽【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、3天内将下雨，是随机事件；B、打开电视，正在播新闻，是随机事件；C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件；D、没有水分，种子不可能发芽，故是不可能事件；故选：D．【变式1.1】（2021•东湖区模拟）掷一枚质地均匀的硬币6次，下列说法正确的是（ ）A．必有3次正面朝上B．可能有3次正面朝上C．至少有1次正面朝上D．不可能有6次正面朝上【分析】根据等可能事件发生的可能性，以及可能性的大小进行判断即可．【解答】解：掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能反面向上，可能性是均等的，不会受到前一次的影响，掷一枚质地均匀的硬币6次，不一定3次正面朝上，因此A选项不符合题意，“可能有3次正面朝上”是正确的，因此B选项正确；可能6次都是反面向上，因此C不符合题意，有可能6次正面向上，因此D选项不符合题意；故选：B．【变式1.2】（2020秋•饶平县校级期末）下列事件中，属于必然事件的为（ ）A．打开电视机，正在播放广告B．任意画一个三角形，它的内角和等于180°C．掷一枚硬币，正面朝上D．在只有红球的盒子里摸到白球【分析】打开电视机，正在播放广告是随机事件；任意画一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件；掷一枚硬币，正面朝上是随机事件；在只有红球的盒子里摸到白球是不可能事件，综合做出判断即可．【解答】解：打开电视机，可能在播广告，也可能不在播放广告，因此A选项不符合题意，任意三角形的内角和都是180°，因此选项B符合题意，掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面向上，因此选项C不符合题意，在只有红球的盒子里是摸不到白球的，因此选项D不符合题意，故选：B．【变式1.3】（2021•越秀区模拟）在等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中任选两个不同的图形，那么下列事件中为不可能事件的是（ ）A．这两个图形都是轴对称图形B．这两个图形都不是轴对称图形C．这两个图形都是中心对称图形D．这两个图形都不是中心对称图形【分析】直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义、结合不可能事件的定义分析得出答案．【解答】解：A．等腰三角形和等腰梯形都是轴对称图形，是可能的，因此选项A不符合题意；B．等腰三角形、等腰梯形、平行四边形、矩形中有3个图形是轴对称图形，故这两个图形都不是轴对称图形是不可能事件，因此选项B符合题意；C．平行四边形和矩形都是中心对称图形，是可能的，因此选项C不符合题意；D．等腰三角形和等腰梯形都不是中心对称图形，是可能的，因此选项D不符合题意；故选：B．【考点2】事件的可能性【例2】（2020秋•徐汇区期末）从标有1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，可能性最大的是（ ）A．卡片上的数字是合数B．卡片上的数字是2的倍数C．卡片上的数字是素数D．卡片上的数字是3的倍数【分析】可能性最大的是就是符合条件的卡片最多的．【解答】解：A、卡片上的数字是合数：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，共11张；B、卡片上的数字是2的倍数2×1，2×2，2×3，2×4，2×5，2×6，2×7，2×8，2×9，2×10，共10张；C、卡片上的数字是素数的有2，3，5，7，11，13，17，19，共8张；D、卡片上的数字是3的倍数3×1，3×2，3×3，3×4，3×5，3×6，共6张．故选：A．【变式2.1】（2020秋•瑞安市期中）某班有25名男生和20名女生，现随机抽签确定一名学生做代表参加学代会，则下列选项中说法正确的是（ ）A．男、女生做代表的可能性一样大B．男生做代表的可能性较大C．女生做代表的可能性较大D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定【分析】求出男、女生做代表的可能性，判断即可．【解答】解：A、错误．男、女生做代表的可能性分别为2545=59，2045=49，男生的可能性大．本选项不符合题意．B、正确．本选项符合题意．C、错误．男生的可能性大．本选项不符合题意．D．错误．本选项不符合题意．故选：B．【变式2.2】（2021秋•利川市期末）在一次比赛前，教练预言说：“这场比赛我们队有70%的机会获胜”，则下列说法中与“有70%的机会获胜”的意思接近的是（ ）A．他这个队赢的可能性较大B．若这两个队打10场，他这个队会赢7场C．若这两个队打100场，他这个队会赢70场D．他这个队必赢【分析】概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．【解答】解：A、根据概率的意义，正确；B、概率仅仅反映了这一事件发生的可能性的大小，若这两个队打10场，他这个队可能会赢7场，但不会是肯定的，所以错误；C、和B一样，所以错误；D、根据概率的意义，错误．故选：A．【变式2.3】（2022秋•丰顺县校级月考）宋代陆游所作的哲理诗《冬夜读书示子聿》有如下四句：①纸上得来终觉浅；②少壮工夫老始成；③绝知此事要躬行；④古人学问无遗力．这四句诗歌的顺序被打乱了，兰兰想把这几句诗歌调整为正确的顺序，则她第一次就调整正确的可能性大小是（ ）A ．112B ．118C ．124D ．130【分析】根据四句诗随机排列组合的情况得出结论即可．【解答】解：四句诗随机排列组合共有4×3×2＝24（种），正确的顺序只有一种，故第一次就调整正确的可能性大小是124，故选：C ．【考点3】概率公式【例3】（2021秋•松山区期末）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A 和B ，在余下的点中任取一点C ，使△ABC 为直角三角形的概率是（ ）A ．12B ．25C ．47D ．37【分析】找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．【解答】解：如图，C 1，C 2，C 3，C 4均可与点A 和B 组成直角三角形．P =47，故选：C ．【变式3.1】（2021秋•牟平区期末）下列计算3②3a 2﹣2a ＝a ③（2a 2）3＝6a 6④a 8÷a 4＝a 2⑤−3，其中任意抽取一个，运算结果正确的概率是（ ）A ．35B ．25C ．15D ．45【分析】随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【解答】解：运算结果正确的有⑤，则运算结果正确的概率是15，故选：C ．【变式3.2】（2021秋•紫阳县期末）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了灰色．现在要从其余13个白色小方格中任选出一个也涂成灰色，则使整个涂灰部分为轴对称图形的概率是（ ）A ．213B ．313C ．413D ．513【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格，再利用概率公式求解即可．【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．则使整个涂灰部分为轴对称图形的概率是413．故选：C ．【变式3.3】（2022秋•成安县期中）如图所示的是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅲ”所在区域内的概率是（ ）A ．14B ．112C ．16D ．712【分析】由图知，“Ⅲ”所在区域读音的圆心角度数为360°﹣90°﹣60°＝210°，再根据概率公式求解即可．【解答】解：由图知，“Ⅲ”所在区域读音的圆心角度数为360°﹣90°﹣60°＝210°，所以指针落在数字“Ⅲ”所在区域内的概率是210°360°=712，故选：D ．【考点5】几何概率【例4】（2022秋•玄武区期中）如图，在一块正三角形飞镖游戏板上画一个正六边形（图中阴影部分），假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影部分的概率为（ ）A ．13B ．49C ．12D ．23【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【解答】解：如图，根据等边三角形和正六边形的性质，可知图中所有小三角形的面积都相等，∴任意投掷飞镖一次，飞镖投中阴影部分的概率为69=23．故选：D ．【变式4.1】（2022秋•湖口县期中）如图，一个小球在地板上滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）A．13B．23C．14D．12【分析】用黑砖的面积除以总面积即可得出答案．【解答】解：由图知，若设方砖的边长为a，则地板的总面积为3a×4a＝12a2，黑砖的面积为12×2a×3a＝3a2，∴小球最终停留在黑砖上的概率是3a212a2=14，故选：C．【变式4.2】（2022秋•明山区校级月考）如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是（ ）A．18B．14C．38D．12【分析】根据几何面积得出概率即可．【解答】解：由图知，黑色区域的面积占大正方形面积的616=38，∴它最终停留在黑色区域的概率是3 8，故选：C．【变式4.3】（2022•南京模拟）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（ ）A．12B．13C．25D．35【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A发生时涉及的图形面积除以一次试验涉及的图形面积，设正六边形的边长为a，过A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥CE于E，先求出△ABC的面积，阴影的面积＝3S△ABC，再求出△BCE的面积，代入公式计算即可．【解答】解：设正六边形边长为a，过A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥CE于E，如图所示：∵正六边形的内角为180°−360°6=120°，在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AC ＝a ，则AD =12a ，CD =，∴BC =2CD =，∴在Rt △BCE 中，∠BEC =90°，∠BCE =60°，BC =，则CE ，BE =32a ，则灰色部分面积为3S △ABC =3×12BC ⋅AD =3×12××12a 2，白色区域面积为2S △BCE =2×12CE ⋅BE ×32a =2，2，飞镖落在白色区域的概率P 212，故选：A ．【考点5】用频率估计概率【例5】（2022秋•金水区校级期中）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入6个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中66次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ）A ．28个B ．29个C ．30个D ．32个【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．【解答】解：设盒子里有白球x 个，得：66x =66400，解得：x ≈30．经检验结果符合题意．答：盒中大约有白球30个．故选：C．【变式5.1】（2021秋•禹州市期末）木箱里装有仅颜色不同的9张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出一张卡片后记下颜色后再放回，经过多次的重复实验，发现摸到红色卡片的频率稳定在0.6附近，则估计木箱中蓝色卡片有（ ）A．6张B．8张C．10张D．4张【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：设木箱中蓝色卡片有x个，根据题意得：x=1﹣0.6，x9解得：x＝6，经检验x＝6是原方程的解，则估计木箱中蓝色卡片有6张．故选：A．【变式5.2】（2021秋•无为市期末）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共40个，除颜色不同外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在25%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（ ）A．4B．8C．12D．16【分析】用球的总个数分别乘以摸到红色球和黑色球的频率求出其对应个数，继而可得答案．【解答】解：由题意知，红色球的个数为40×25%＝10（个），黑色球的个数为40×45%＝18（个），所以口袋中白色球的个数为40﹣10﹣18＝12（个），故选：C．【变式5.3】（2021秋•宛城区期末）某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）A ．从装有相同质地的3个红球和2个黄球的暗箱中随机取一个红球B ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”C ．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面D ．抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数之和超过7【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P ＝0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【解答】解：A 、从装有相同质地的3个红球和2个黄球的暗箱中随机取一个红球，取到的红球的概率是35=0.6，不符合题意；B 、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为13≈0.33，符合题意；C 、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率是14=0.25，不符合题意；D 、抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数之和超过7的概率1536，不符合题意．故选：B ．【考点6】树状图与列表法求概率【例6】（2021秋•宜城市期末）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4．先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m ，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n ．（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m ，n ）可能的结果；（2）若m ，n 都是方程x 2﹣7x +12＝0的解时，则小明获胜；若m ，n 都不是方程x 2﹣5x +6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，m ，n 都是方程x 2﹣5x +6＝0的解的结果有4个，m ，n 都不是方程x 2﹣5x +6＝0的解的结果有2个，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）树状图如图所示：（2）∵m ，n 都是方程x 2﹣7x +12＝0的解，∴m＝3，n＝4，或m＝4，n＝3，由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣7x+12＝0的解的结果有4个（包括m＝n＝3，和m＝n＝4两种情况），同理m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解（m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2）的结果有2个，小明获胜的概率为412=13，小利获胜的概率为212=16，∴小明获胜的概率大．【变式6.1】（2021秋•利川市期末）第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，用列表法或画树状图法求下列事件的概率：（1）取出的2个球都是黄球；（2）取出的2个球中1个白球、1个黄球．【分析】（1）列表展示所有6种等可能的结果数，找出2个球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解；（2）找出2个球中1个白球、1个黄球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：列表如下：第一个盒子第二个盒子白球白球黄球白球（白球，白球）（白球，白球）（白球，黄球）黄球（白球，黄球）（白球，黄球）（黄球，黄球）所有可能情况有6种，（1）所有可能情况有6种．其中2个黄球的可况有1种，P=1 6；（2）所有可能情况有6种，其中1个黄球一个白球的可能情况有3种，P=1 2．【变式6.2】（2021秋•平泉市期末）佳佳和琪琪两位同学玩抽数字游戏，5张卡片上分别写有2，4，6，8，x这5个数字，其中两张卡片上的数字是相同的．从中随机抽出一张，已知P(抽到数字6的卡片)=2 5．（1）求这5张卡片上的数字的众数．（2）若佳佳已抽走一张数字2的卡片，琪琪准备从剩余4张卡片中抽出一张．①所剩的4张卡片上数字的中位数与原来5张卡片上数字的中位数是否相同？并简要说明理由．②琪琪先随机抽出一张卡片后放回，之后又随机抽出1张，用列表法（或树状图）求琪琪两次都抽到数字6的概率．【分析】（1）根据抽到数字6的卡片的概率为25可得x值，从而可得众数；（2）①分别求出前后两次的中位数即可；②画出树状图，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵2、4、6、8、x这五个数字中，P（抽到数字6的卡片）=2 5，则数字6的卡片有2张，即x＝6，∴五个数字分别为2、4、6、6、8，则众数为：6；（2）①相同，理由是：原来五个数字的中位数为：6，抽走数字2后，剩余数字为4、6、6、8，则中位数为：662=6，所以前后两次的中位数相同；②根据题意画树状图如下：可得共有16种等可能的结果，其中两次都抽到数字6的情况有4种，则琪琪两次都抽到数字6的概率为：416=14．【变式6.3】（2022秋•福鼎市期中）某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题：（1）杨老师采用的调查方式是 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”）；（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数 150° ．（3）如果全班征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别不同的概率．【分析】（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．（2）由题意得：所调查的4个班征集到的作品总数为：6÷90360=24（件），C 班作品的件数为：24﹣4﹣6﹣4＝10（件）；继而可补全条形统计图；用C 班作品数除以总作品数再乘360°即可求出扇形统计图中C 班作品数量所对应的圆心角度数．（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生性别不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．故答案为：抽样调查．（2）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷90360=24（件），C 班有24﹣（4+6+4）＝10（件），补全条形图如图所示，扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数360°×1024=150°；故答案为：150°；（3）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，两名学生性别不同的有12种情况，∴恰好选取的两名学生性别不同的概率为1220=35．【考点7】概率与函数方程综合题【例7】（2020秋•兰州期中）已知a，b可以取﹣2，﹣1，1，2中的任意一个值（a≠b），则直线y＝ax+b 经过第一、二、四象限的概率是 ．【分析】列表得出所有等可能的结果数，找出a与b都为正数，即为直线y＝ax+b经过第一、二、四象限的情况数，即可求出所求的概率．【解析】列表如下：﹣2﹣112﹣2（﹣1，﹣2）（1，﹣2）（2，﹣2）﹣1（﹣2，﹣1）（1，﹣1）（2，﹣1）1（﹣2，1）（﹣1，1）（2，1）2（﹣2，2）（﹣1，2）（1，2）所有等可能的情况数有12种，其中直线y＝ax+b经过第一、二、四象限的情况数有4种，则P=412=13．故答案为：1 3．【变式7.1】（2020秋•金牛区校级期中）从﹣1，0，1，2，3这五个数中，随机取出一个数，记为a，那么使关于x的方程2x a2=1有解，且使关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0有两个不相等的实数根的概率为 ．【分析】由题意得使关于x 的方程2x a2=1有解，且使关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ＝0有两个不相等的实数根的a 的值有4个，由概率公式即可得出答案．【解析】∵使关于x 的方程2x a2=1有解，∴a 可取﹣1，0，1，2，3这五个数，∵一元二次方程x 2﹣3x +a ＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×1×a ＝9﹣4a ＞0，解得：a ＜94，∴a 可取﹣1、0、1、2，共有四个，∴从﹣1，0，1，2，3这五个数中，随机取出一个数，符合条件的有4个，∴使关于x 的方程2x a2=1有解，且使关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ＝0有两个不相等的实数根的概率为45，故答案为：45．【变式7.2】（2020秋•金牛区校级期中）有五张大小形状相同的卡片，分别写有1～5这五个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a ，则a 的值使得关于x 的分式方程ax−2x−2−1=6x−2有整数解的概率为 ．【分析】解分式方程得出x =6a−1，根据分式方程有整数解得出a ≠4且a ≠1，再分别求出a ＝2、3、5时x 的值，利用概率公式即可得出答案．【解析】∵ax−2x−2−1=6x−2，∴ax ﹣2﹣（x ﹣2）＝6，∴（a ﹣1）x ＝6，则x =6a−1，∵分式方程有整数解，∴6a−1≠2且a ﹣1≠0，∴a ≠4且a ≠1，当a ＝2时，x ＝6；当a ＝3时，x ＝3；当a ＝5时，x =32（舍），∴使分式方程有整数解的a 的值有两个，∴a 的值使得关于x 的分式方程ax−2x−2−1=6x−2有整数解的概率为25，故答案为：25．【变式7.3】（2020秋•武侯区校级期中）有六张正面分别标有数字﹣1，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，则抽取的卡片上的数字为不≥x−5的解的概率为 ．【分析】先求出不等式组的整数解，再由概率公式可求解．≥x−5，∴1＜x ≤4，∴不等式组的整数解为2，3，4，≥x−5的解的概率=36=12，故答案为12．【变式7.4】（2020秋•锦江区校级期中）已知a 为正整数，且二次函数y ＝x 2+（a ﹣7）x +3的对称轴在y 轴右侧，则a 使关于y 的分式方程ay−4y−1−2=y 1−y 有正整数解的概率为 ．【分析】利用二次函数的性质得到−a−72＞0，解得a ＜7，求得a 的值为1，2，3，4，5，6，再把分式方程化为1﹣ay +4y ﹣12＝1，解得y =2a−1，接着分别把a 的值代入确定分式方程为整数解所对应的a 的值，然后根据概率公式求解．【解析】∵二次函数y ＝x 2+（a ﹣7）x +3的对称轴在y 轴右侧．∴−a−72＞0，∴a ﹣7＜0，∴a ＜7，∵a 是正整数，∴a 的值为1，2，3，4，5，6，分式方程ay−4y−1−2=y 1−y 可化为ay ﹣4﹣2（y ﹣1）＝﹣y ，解得y =2a−1，∵关于y 的分式方程ay−4y−1−2=y 1−y 有正整数解，∴a ﹣1＞0，解得a ＞1，当a ＝2时，y ＝2，当a ＝3时，y ＝1；∴a 使关于y 的分式方程ay−4y−1−2=y 1−y 有正整数解的概率为=26=13．故答案为：13．【变式7.5】（2020秋•青羊区校级期中）从﹣3，0，12，1，2这5个数中任取一个数记为m ，则能使二次函数y ＝（x ﹣2）2+m的顶点在x 轴上方的概率为 35 ．【分析】根据概率公式直接求解即可．【解析】∵在﹣3，0，12，1，2这5个数中，能使二次函数y ＝（x ﹣2）2+m 的顶点在x 轴上方的3个，分别是12，1，2，∴能使二次函数y ＝（x ﹣2）2+m 的顶点在x 轴上方的概率为35；故答案为：35．【考点8】游戏的公平性【例8】（2021秋•古丈县期末）学完《概率初步》后，小诚和小明两个好朋友利用课外活动时间自制A 、B 两组卡片共5张，A 组三张分别写有数字2，4，6，B 组两张分别写有3，5．它们除了数字外没有任何区别．他俩提出了如下两个问题请你解答：（1）随机从A 组抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A 组、B 组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果；（3）如果他俩还制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则小诚获胜；否则小明获胜．请问这样的游戏规则对小诚、小明双方公平吗？请说明理由．【分析】（1）A 组共有3张卡片，其中2有1张，据此解答．（2）根据题意画出树状图即可；（3）根据（1）计算出各自获胜的概率即可得出结论．【解答】解：（1）∵A组共有3张卡片，其中2有1张，∴P（抽到数字为2）=1 3．（2）画树状图如下：∴有六种等可能的结果；（3）不公平，理由如下：由（1）知，2×3＝6是3的倍数；2×5＝10不是3的倍数；4×3＝12是3的倍数；4×5＝20不是3的倍数；6×3＝18是3的倍数；6×5＝30是3的倍数；故小诚获胜的概率为46=23，小明获胜的概率是13，∴这样的游戏规则对小诚、小明双方不公平．【变式8.1】（2021秋•逊克县期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．（1）请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．（2）请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．（列出一种即可）【分析】（1）用列举法列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式求出淘淘和明明赢的概率，然后进行比较，即可得出答案；（2）根据概率公式进行设计，设计出两个人的概率相等即可．【解答】解：（1）根据题意列表如下：和123456。
中考数学专题复习题 概率(含解析)
xx中考数学专题复习题：概率一、选择题1.在学习掷硬币的概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是”，小明做了下列三个模拟实验来验证．取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值．把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值．将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间放一个圆锥如图，从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值．上面的实验中，合理的有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在附近，则n的值约为A. 20B. 30C. 40D. 503.小明做“用频率估计概率”的实验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是A. 同时抛掷两枚硬币，落地后两枚硬币正面都朝上B. 一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C. 抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是3D. 一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球4.下列事件中是必然事件的是A. 明天太阳从西边升起B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中C. 抛出一枚硬币，落地后正面朝上D. 实心铁球投入水中会沉入水底5.不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是A. 摸出的是3个白球B. 摸出的是3个黑球C. 摸出的是2个白球、1个黑球D. 摸出的是2个黑球、1个白球6.下列说法中不正确的是A. 函数的一次项系数是B. “明天降雨的概率是”表示明天有半天都在降雨C. 若a为实数，则是不可能事件D. 一个盒子中有白球m个，红球6个，黑球n个每个球除了颜色外都相同，如果从中任取一个球，取得的是红球的概率与不是红球的概率相同，那么m与n的和是67.三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是A. B. C. D.8.把八个完全相同的小球平分为两组，每组中每个分别协商1，2，3，4四个数字，然后分别装入不透明的口袋内搅匀，从第一个口袋内取出一个数记下数字后作为点P的横坐标x，然后再从第二个口袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标，则点落在直线上的概率是A. B. C. D.9.下列算式；；；；．运算结果正确的概率是A. B. C. D.10.向如图所示的地砖上随机地掷一个小球，当小球停下时，最终停在地砖上阴影部分的概率是A. B. C. D.二、填空题11.一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概率都是，那么添加的球是______ ．12.已知四个点的坐标分别是，，，，从中随机选取一个点，在反比例函数图象上的概率是______．13.有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字都是奇数的概率为______ ．14.如图，随机地闭合开关，，，，中的三个，能够使灯泡，同时发光的概率是______ ．15.下列事件：过三角形的三个顶点可以作一个圆；检验员从被检查的产品中抽取一件，就是合格品；度量五边形的内角和，结果是；测得某天的最高气温是；掷一枚骰子，向上一面的数字是3，其中必然事件的有______ ，随机事件的有______ 只填序号16.我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率进行估计，用计算机随机产生m个有序数对y是实数，且，，它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部如果统计出这些点中到原点的距离小于或等于1的点有n个，则据此可估计的值为______ 用含m，n的式子表示17.为了估计一个不透明的袋子中白球的数量袋中只有白球，现将5个红球放进去这些球除颜色外均相同随机摸出一个球记下颜色后放回每次摸球前先将袋中的球摇匀，通过多次重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中白球的个数大约为______．18.黔东南下司“蓝每谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在，该果农今年的蓝莓总产量约为800kg，由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产量约是______ kg．19.“的估计”有很多方法，下面这个随机模拟实验就是一种，其过程如下：如图，随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计落在圆内的米粒数m 与正方形内的米粒数n，并计算频率；在相同条件下，大量重复以上试验，当显现出一定稳定性时，就可以估计出的值为请说出其中所蕴含的原理：_____．20.小静和哥哥两人都很想去观看某场体育比赛，可门票只有一张哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2、3、5、9的四张牌给小静，将数字为4、6、7、8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小静和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小静去；如果和为奇数，则哥哥去哥哥设计的游戏规则______填“公平”或“不公平”．三、计算题21.甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数，则甲胜；否则乙胜这个游戏对双方公平吗？请列表格或画树状图说明理由．22.研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续．活动结果：摸球实验活动一共做了50次，统计结果如下表：无记号有记号球的颜色红色黄色红色黄色摸到的次数182822推测计算：由上述的摸球实验可推算：盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？盒中有红球多少个？23.某篮球运动员去年共参加40场比赛，其中3分球的命中率为，平均每场有12次3分球未投中．该运动员去年的比赛中共投中多少个3分球？在其中的一场比赛中，该运动员3分球共出手20次，小亮说，该运动员这场比赛中一定投中了5个3分球，你认为小亮的说法正确吗？请说明理由．24.抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：本次抽样调查共抽取了多少名学生？求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．25.小明学习电学知识后，用四个开关按键每个开关键闭合的可能性相等、一个电源和一个灯泡设计了一个电路图若小明设计的电路图四个开关按键都处于打开状态如图所示，求任意闭合一个开关按键，灯泡能发光的概率；若小明设计的电路图四个开关按键都处于打开状态如图所示，求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率用列表或树状图法【答案】1. D2. B3. C4. D5. A6. B7. A8. B9. A10. B11. 红球12.13.14.15. ；16.17. 20个18. 56019. 用频率估计概率20. 不公平21. 解：根据题意列表如下：1234 1234所有等可能的情况数有16种，其中两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数的情况有：，，，，，共5种，甲获胜，乙获胜，则该游戏不公平．22. 解：由题意可知，50次摸球实验活动中，出现红球20次，黄球30次，红球所占百分比为，黄球所占百分比为，答：红球占，黄球占；由题意可知，50次摸球实验活动中，出现有记号的球4次，总球数为，红球数为，答：盒中红球有40个．23. 解：设该运动员共出手x个3分球，根据题意，得，解得，个，答：运动员去年的比赛中共投中160个3分球；小亮的说法不正确；3分球的命中率为，是40场比赛来说的平均水平，而在其中的一场比赛中，命中率并不一定是，所以该运动员这场比赛中不一定投中了5个3分球．24. 解：，所以本次抽样调查共抽取了50名学生；测试结果为C等级的学生数为人；补全条形图如图所示：中考数学专题复习题 概率（含解析）11 /11，所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D 等级的学生有56名； 画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2， 所以抽取的两人恰好都是男生的概率．25. 解：任意闭合一个开关按键，灯泡能发光的概率； 画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的结果数为6， 所以同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】。
概率计算方法全攻略
概率计算方法全攻略概率计算方法全攻略在新课标实施以来，中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查，体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点，现对概率计算方法阐述如下:一.公式法P(随机事件)=的结果数随机事件所有可能出现果数随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P （不可能事件）=0；0<P(随机事件)<1.例1 (07河北)图1中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌，其中只有两块木牌的背面贴有中奖标志，则随机翻动一块木牌中奖的概率为________．解析: 本题考查用公式法求概率,在随机翻动木牌过程中，一共有6种可能的翻牌结果,其中有2种为中奖,所以P(中奖)=3162 . 说明: 本题采用了一种较为有趣的试题背景，重在考查学生对概率模型的理解、以及对随机事件发生概率值的计算. 二.面积法例2 如图2是地板格的一部分，一只图1蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_______.解析：因为四块地板的面积各不相同，故应分别求出阴影部分的面积为2×1+2×3=8，总面积为：2×1+2×2+2×3+1×5=17，面积之比即为所求概率. 所以P(随意停留在阴影部分)=178.评注:几何概型也就是概率的大小与面积大小有关,事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形的面积.三.树形图法例3 不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为12 .（1）试求袋中蓝球的个数.（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到都是白球的概率.解析：⑴设蓝球个数为x 个 .由题意得21122=++x ∴x=1 答：蓝球有1个 （2）树状图如下：∴两次摸到都是白球的概率 =61122=. 说明:解有关的概率问题首先弄清：①需要关注的是发生哪个或哪些结果.②无论哪种都是机会均等的.本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都一一罗列出来,便于计算结果. 四.列表法例4 (07山西)如图3，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？黄白2白1蓝黄白1蓝黄白2（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．解析:(1)所求概率是.2142= (2)解法一(树形图):共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是.61122= 解法二(列表法):12 3图图3第一次抽取12 3 第二次抽取 21 3 31 2 41 2 1共有12种可能的结果(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率是.61122 评注:本题考查学生对用树状图或列表法求概率的掌握情况,用树状图法或列表法列举出的结果一目了然,当事件要经过多次步骤（三步以上)完成时,用这两种方法求事件的概率很有效.概率计算一个20面体,每个面都是等边三角形,如果截去所有的顶角,它将成为多少面体?共有多少个顶点？共有多少条棱？1条件概率 P(A|B)=Nab/Nb=P(AB)/P(B)=AB包含的基本事件数/B包含的基本事件数相对独立事件 P(A*B)=P(A)*P(B) 事件A发生与事件B的发生没有关系独立重复事件 P=C(n,k)P(k次方)(1-p)(n-k次方)【本讲教育信息】一. 教学内容：概率计算二. 重点、难点：1. 古典概型∴2. A、B互斥，则3. A的对立事件，4. A、B独立，则【典型例题】[例1] 从5双不同的鞋中任取四只，求至少配成一双的概率。
初中数学概率技巧及练习题附解析
④ 10盒笔芯一共有10×20=200（支），
由详解①知黑色笔芯共有24支，
将10盒笔芯混在一起，从中随机抽取一支笔芯，恰好是黑色的概率是24÷200=0.12，
故④正确；
综上有三个正确结论，
故答案为C.
【点睛】
本题主要考查了与概率有关的知识点.在本题中求出黑色笔芯的数量是关键，求某事件的概率时，主要求该事件的数量与总数量的比值；还需要掌握必然事件的概念，即必然事件是一定会发生的事件.
故选C
4．下列事件是必然事件的是（）
A．某彩票中奖率是 ，买100张一定会中奖
B．长度分别是 的三根木条能组成一个三角形
C．打开电视机，正在播放动画片
D．2018年世界杯德国队一定能夺得冠军
【答案】B
【解析】
【分析】
必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【详解】
A、某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖，属于随机事件，不符合题意；
9．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【详解】
画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，
∴两次都摸到黄球的概率为 ，
故选A．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
初中数学概率技巧及练习题附答案解析
故答案为A.
【点睛】
本题的主要关键是理解必然事件的概念，再根据必然事件的概念进行判断；需要掌握：
必然事件：事先肯定它一定会发生的事件；
不确定事件：无法确定它会不会发生的事件；
不可能事件：一定不会发生的事件.
16．某市环青云湖竞走活动中，走完全部行程的队员即可获得一次摇奖机会，摇奖机是一个圆形转盘，被等分成16个扇形，摇中红、黄、蓝色区域，分获一、二、三等奖，奖品分别为自行车、雨伞、签字笔．小明走完了全程，可以获得一次摇奖机会，小明能获得签字笔的概率是（）
【详解】
检查某批次灯泡的使用寿命调查具有破坏性，应采用抽样调查，A错；
一年有366天所以367个人中必然有2人同月同日生，B对；
可能性是1％的事件在一次试验中有可能发生，故C错；
3，5，4，1，-2按从小到大排序为-2，1，3，4，5，3在最中间故中位数是3，D错．
故选B.
【点睛】
区分并掌握可能性、全面调查与抽样调查的定义及中位数的概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
10．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件；③若甲组数据的方差是 ，乙组数据的方差是 ，则甲数据比乙组数据稳定；④圆内接正六边形的边长等于这个圆的半径，其中正确说法的个数是（）
C、∵易建联罚球投篮的命中率大约是82.3%，
∴易建联罚球投篮1次，命中的可能性较大，故本选项正确；
中学初三数学概率试卷试题总结计划大全含答案
一、概率基础知识1.随机事件的定义：在相同条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。
2.必然事件的定义：在一定条件下一定发生的事件叫做必然事件。
3.不可能事件的定义：在一定条件下一定不发生的事件叫做不可能事件。
4.概率的定义：一个事件发生的可能性叫做这个事件的概率，用0到1之间的实数表示，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。
二、概率计算方法1.直接计算法：如果一个事件包含的样本点数是有限的，可以直接计算每个样本点发生的可能性，然后求和得到事件的概率。
2.间接计算法：如果一个事件不包含所有样本点，可以通过计算不发生这个事件的概率，然后用1减去这个概率得到事件的概率。
3.条件概率：在条件B发生的条件下，事件A发生的概率叫做A 在B条件下的条件概率，用P(A|B)表示。
4.独立事件的概率：如果两个事件A和B相互独立，那么事件A 发生的条件下事件B发生的概率等于事件B发生的概率，即P(B|A)=P(B)。
三、典型题型及解题方法1.求一个事件的概率：直接根据定义计算，或者利用间接计算法。
例1：抛一枚硬币，求正面向上的概率。
解：因为硬币只有正反两面，所以正面向上和反面向上的概率都是1/2。
2.求条件概率：利用条件概率的定义，即P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
例2：抛两枚硬币，求第一枚硬币正面向上，第二枚硬币反面向上的条件概率。
解：第一枚硬币正面向上，第二枚硬币反面向上的样本点有(正，反)和(反，正)，总共4个样本点，所以P(A∩B)=2/4=1/2。
第一枚硬币正面向上的概率是1/2，所以P(B)=1/2。
所以P(A|B)=(1/2)/(1/2)=1。
3.求独立事件的概率：利用独立事件的定义，即P(A∩B)=P(A)P(B)。
例3：抛两枚硬币，求第一枚硬币正面向上，第二枚硬币反面向上同时发生的概率。
解：第一枚硬币正面向上的概率是1/2，第二枚硬币反面向上的概率是1/2，所以P(A∩B)=1/2×1/2=1/4。
中考数学复习考点知识与题型专题讲解27--- 概率(解析版)
中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题27概率【知识要点】知识点一概率的有关概念概率的概念：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率.事件类型：①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为知识点二概率计算利用列举法求概率方法一:直接列举法求概率当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。
方法二:列表法求概率当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
方法三：树状图法求概率当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
利用频率估计概率实际上，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.用频率估计概率，虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大.【考查题型】考查题型一判断事件发生可能性的大小典例1．（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）下列事件是必然事件的是（）A．任意一个五边形的外角和为540°B．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次C．13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的D．太阳从西方升起【答案】C【提示】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可【详解】解：A．任意一个五边形的外角和等于540，属于不可能事件，不合题意；B．投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次是随机事件，不合题意；C. 13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的，属于必然事件，符合题意；D．太阳从西方升起，属于不可能事件，不合题意；故选：C．变式1-1．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）下列事件中是不可能事件．．．．．的是()A．守株待兔B．瓮中捉鳖C．水中捞月D．百步穿杨【答案】C【提示】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．【详解】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合；B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合；C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合；D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合；故选C.变式1-2．（2021·湖北武汉市·中考真题）两个不透明的口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（）A．两个小球的标号之和等于1B．两个小球的标号之和等于6C．两个小球的标号之和大于1D．两个小球的标号之和大于6【提示】随机事件是指在某个条件下有可能发生有可能不会发生的事件，根据此定义即可求解．【详解】解：从两个口袋中各摸一个球，其标号之和最大为6，最小为2，选项A：“两个小球的标号之和等于1”为不可能事件，故选项A错误；选项B：“两个小球的标号之和等于6”为随机事件，故选项B正确；选项C：“两个小球的标号之和大于1”为必然事件，故选项C错误；选项D：“两个小球的标号之和大于6”为不可能事件，故选项D错误．故选：B．变式1-3．（2021·江苏泰州市·中考真题）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关C．只闭合3个开关D．闭合4个开关【答案】B【提示】C D或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案．观察电路发现，闭合,A B或闭合,【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路，只闭合1个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意；闭合4个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意；只闭合2个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意；只闭合3个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意．故选B．考查题型二简单概率计算典例2．（2021·辽宁葫芦岛市·中考真题）一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（）A．16B．13C．12D．23【答案】D【提示】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【详解】解：摸到红球的概率为：42423=+．故选D．变式2-1．（2021·辽宁丹东市·中考真题）四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（）A．14B．12C．34D．1【答案】C【提示】由四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形四个图案．中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形四个图案．中心对称图形的是圆、平行四边形，正六边形，∴从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为：34．故选：C．变式2-2．（2021·广西中考真题）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（）A．16B．14C．13D．12【答案】C【提示】由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，∴它有6种路径，∵获得食物的有2种路径，∴获得食物的概率是：21=63，故选：C．变式2-3．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是（）A．0.75B．0.625C．0.5D．0.25【答案】A【提示】根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，可得两个元件同时不正常工作的概率为0.25，进而由概率的意义可得一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率．【详解】解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，即某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，则两个元件同时不正常工作的概率为0.25；故在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为10.25=0.75，故选A.变式2-4．（2021·宁夏中考真题）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A．14B．12C．35D．34【提示】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；2、6、7；4、6、7；其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况，所以能构成三角形的概率是21 42 ，故选：B．变式2-5．（2021·辽宁阜新市·中考真题）一个不透明的袋子中有红球、白球共20个这些球除颜色外都相同将袋子中的球搅匀后，从中随意摸出1个球，记下颜色后放回，不断重复这个过程，共摸了100次，其中有30次摸到红球，由此可以估计袋子中红球的个数约为( )A．12B．10C．8D．6【答案】D【提示】根据题意，可以计算出袋子中红球的个数，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，袋子中红球的个数约为：20×30100=6，故选D．变式2-5．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是110，则袋中黑球的个数为（）A．27B．23C．22D．18【提示】袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到5152310x=++，然后利用比例性质求出x即可．【详解】解：设袋中黑球的个数为x，根据题意得5152310x=++，解得22x=，即袋中黑球的个数为22个．故选C．变式2-6．（2021·浙江衢州市·中考真题）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是（）A．13B．14C．16D．18【答案】A【提示】直接利用“Ⅱ”所示区域所占圆周角除以360，进而得出答案．【详解】解：由扇形统计图可得，指针落在数字“Ⅱ”所示区域内的概率是：1201= 3603．故选：A．变式2-7．（2021·山东中考真题）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( )A．25B．12C．35D．无法确定【答案】B【提示】根据正六方形性质可得，阴影面积=空白部分面积,根据面积比求概率..【详解】如图，根据正六方形的性质可得，△AOC≅△ABC（SSS）,同理△EOC≅△EDC, △AFE≅△AOE, 所以，阴影面积=空白部分面积所以，飞镖落在白色区域的概率为1 2故选B变式2-8．（2021·广西桂林市·中考真题）如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转盘1次，则当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是（）A．12B．13C．14D．16【答案】D【提示】用阴影部分扇形个数除以扇形的总个数即可得．【详解】解：当转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是16，故选：D．考查题型三用列举法求概率典例3．（2021·北京中考真题）不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A．14B．13C．12D．23【答案】C【提示】先根据题意画出树状图，再利用概率公式计算即可．【详解】解：画树状图如下：所以共4种情况：其中满足题意的有两种，所以两次记录的数字之和为3的概率是21. 42故选C．变式3-1．（2021·四川绵阳市·中考真题）将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（）A．23B．12C．13D．16【答案】A【提示】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有一个篮子为空的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：三个不同的篮子分别用A、B、C表示，根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种，则恰有一个篮子为空的概率为62 93 ．故选：A．变式3-2．（2021·黑龙江牡丹江市·朝鲜族学校中考真题）现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（）A．13B．49C．35D．23【答案】B【提示】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．【详解】解：列表如下：由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，所以摸出的两个球颜色相同的概率为49．故选：B．变式3-3．（2021·山东临沂市·中考真题）从马鸣、杨豪、陆畅，江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务队，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是（）A．112B．18C．16D．12【答案】C【提示】列表得出所有等可能的情况数，找出所选两人恰好是马鸣和杨豪的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：列表得：所有等可能的情况有12种，其中恰好抽到马鸣和杨豪的情况有2种，恰好抽到马鸣和杨豪的概率是21 126，故选C.考查题型四判断游戏公平性典例4．（2021·山东威海市·中考真题）小伟和小梅两位同学玩掷骰子的游戏，两人各掷一次均匀的骰子，以掷出的点数之差的绝对值判断输赢．若所得数值等于0，1，2，则小伟胜：若所得数值等于3，4，5，则小梅胜（1）请利用表格分别求出小伟、小梅获胜的概率（2）判断上述游戏是否公平．如果公平，请说明理由；如果不公平，请利用上表修改游戏规则，以确保游戏的公平性【答案】（1）P（小伟胜）＝23，P（小梅胜）＝13；（2）游戏不公平；修改为：两次掷出的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜．【提示】（1）利用列表法表示所有可能出现的结果情况，并求出小伟胜、小梅胜的概率；（2）依据获胜的概率判断游戏的公平性，修改规则时，利用差的绝对值的形式，使两人获胜的概率相等即可．【详解】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：表中总共有36种可能的结果，每一种结果出现的可能性相同，“差的绝对值”为0，1，2共有24种，“差的绝对值”为3，4，5的共有12种，∴P（小伟胜）＝2436＝23，P（小梅胜）＝1236＝13，答：小伟胜的概率是23，小梅胜的概率是13；（2）∵23≠13，∴游戏不公平；根据表格中“差的绝对值”的不同情况，要使游戏公平，即两人获胜的概率相等，于是修改为：两次掷出的点数之差的绝对值为1，2，则小伟胜；否则小梅胜，这样小伟、小梅获胜的概率均为12．变式4-1．（2021·四川中考真题）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格：D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．垃圾分类知识测试成绩统计表请结合统计表，回答下列问题：（1）求本次参与调查的学生人数及m，n的值；（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．【答案】（1）400人，180,35%m n ==；（2）1120人；（3）不公平，树状图见解析【提示】（1）由优秀的人数除以所占比例得出本次参与调查的学生人数；进而求出m 和n 的值；（2）由总人数乘以良好和优秀所占比例即可；（3）先画树状图展示所有12种等可能的结果，找出和为奇数的结果有8种，再计算出小明参加和小亮参加的概率，比较两概率的大小可判断这个游戏规则是否公平．【详解】（1）本次参与调查的学生人数为：20÷5%=400（人），m =400×45%=180，∵400﹣20﹣60﹣180=140，∴n =140÷400×100%=35%；（2）5600×2060400+=1120（人）， 即估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数为1120人；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，∴P （小明参加）=812=23， P （小亮参加）=1﹣23=13，∵23≠13，∴这个游戏规则不公平．变式4-2．（2021·山东青岛市·中考真题）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形、同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．【答案】这个游戏对双方公平，理由见解析【提示】画出树状图，求出配成紫色的概率即可求解．【详解】解：这个游戏对双方公平，理由如下：如图，∵由树状图可知，所有可能发生的组合有6种，能配成紫色的组合有3种，∴P（紫色）=31 =62，∴这个游戏对双方公平．考查题型五用频率估计概率典例5．（2021·湖南湘潭市·中考真题）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是（）A．0.25B．0.3C．25D．30【答案】B【提示】先计算出八年级（3）班的全体人数，然后用选择“5G时代”的人数除以八年级（3）班的全体人数即可．【详解】由图知，八年级（3）班的全体人数为：25+30+10+20+15=100（人）选择“5G时代”的人数为：30人∴选择“5G时代”的频率是：30=0.3 100故选：B．变式5-1．（2021·辽宁盘锦市·中考真题）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下．根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm的概率是（）A．0.32B．0.55C．0.68D．0.87【答案】C【提示】先计算出样本中身高不低于170cm的频率，然后根据利用频率估计概率求解．【详解】解：样本中身高不低于170cm的频率5501300.681000+==，所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm的概率是0.68．故选：C．变式5-2．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）A．26m B．27m C．28m D．29m【提示】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x ，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．【详解】假设不规则图案面积为x ，由已知得：长方形面积为20， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：20x ， 当事件A 实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A 发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上有：0.3520x =，解得7x =． 故选：B ．变式5-3．（2021·辽宁营口市·中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）A ．0.90B ．0.82C ．0.85D ．0.84【提示】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论．【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．故选：B．。
2024年中考数学抢分秘籍(解析版)(全国通用版)：统计与概率
秘籍08统计与概率概率预测☆☆☆☆☆题型预测解答题☆☆☆☆☆考向预测①数据的整理、描述和分析。
②概率问题。
统计与概率是全国中考的必考内容！但总有一部分学生，因为粗心，因为混淆概念等的小错误就丢了分数。
1．从考点频率看，统计与概率是高频考点，通常考查条形统计图、扇形统计图和树状图。
2．从题型角度看，选择题、填空题较多，同时考查多个考点的综合性题目以解答题为主，分值9分左右！1.平均数2.中位数：几个数据按从小到大的顺序排列时，①m＝，n＝；②补全条形统计图；③根据调查数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B类；④180×10%=18（万户）．信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的中考统计与概率是基础题。
条形统计图和扇形统计图的结合经常考查求总量、画条形统计图、求扇形度数和估计等。
数据整理和分析常考的知识点有众数、中位数、平均数和方差。
有时也会考查频率和频数。
请根据图表信息，回答下列问题．(1)参加此次调查的总人数是______人，频数统计表中a＝(2)在扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角度数是______°(3)该校准备开展以“劳动美”为主题的教育活动，要从报名的得，请用树状图或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．【答案】(1)150，60(2)36(3)恰好抽到一名男生和一名女生的概率为2请根据所给信息解答下列问题：(1)填空：① a____________，②(2)若把统计表每组中各个成绩用这组数据的中间值代替（例如：的200名学生成绩的平均数；(3)规定海选成绩不低于90分记为种等可能的结果，其中甲、乙两人选到的两本名著是《三国演义》和《红楼梦》的结果有(1)扇形统计图中的%n ________%，B项活动所在扇形的圆心角的大小是________ ．(2)甲同学想参加A、B、C三个活动中的一个，乙同学想参加B、C、E这三个活动中的一个，若他们随机抽选其中一个活动的概率相同，请用列表法或画树状图法，求他们同时选中同一个活动的概率．【答案】(1)15，72(2)13已知测试成绩F组的全部数据为96，95，97，96，99请根据以上信息，完成下列问题：(1)m＝，a＝，并补全条形统计图．(2)F组成绩的中位数是．组同学中有两名是九年级的，其余两名是其他年级的，现从故答案为：50，72 ．（2）解：将F组成绩的成绩从低向高排列为：则中位数为969796.5 2．故答案为96.5．共有12种等可能情况，其中恰好有一名是九年级学生的有∴P（恰好有一名是九年级学生【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的结合、中位数、用树状图求概率等知识点，正确画出请根据图表中的信息，解答下列问题：(1)填空：b ，抽取的学生竞赛成绩的中位数落在，请你估计全校此次抽取的学生竞赛成绩的平均数为1 100（3）解：此次竞赛成绩为“优秀”的学生人数为此次竞赛成绩为“优秀”的学生人数为720【点睛】本题考查频数分布直方图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答．5．（2023·江苏徐州·统考一模）校园安全问题受到全社会的广泛关注，．十分熟悉、根据以上信息解答下列问题：(1)本次接受调查的学生共有人，扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是(2)请补全条形统计图；(3)若该中学共有学生1800人，估计该校学生中对校园安全知识的了解程度达到【答案】(1)60，90(2)见解析（3）根据题意，155 180060060（人）答：该校学生中对校园安全知识的了解程度达到【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．6．（2023·江苏苏州·统考二模）2023年春节假期，苏州文旅全面复苏，接待人次、旅游收入双创新高：重请你根据统计图中的信息，解决下列问题：(1)这次调查一共抽取了___名同学：扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数形统计图．(2)若小志所在学校共有3000名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱生总人数．（2）解：189 ********60（名），答：估计该校最喜爱“穹窿山景区”和“灵岩山景区【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，补全条形统计图，利用样本估计总体的知识，将条形统计图和扇形统计图的数据加以联系，并注重数形结合是解答本题的关键．7．（2023·广东河源·统考一模）某校为了解本校学生对十大”知识竞赛（百分制），从中分别随机抽取了根据以上信息，解答下列问题：(1)直接写出上述a，b，c(2)你认为这次竞赛中哪个年级成绩更好，为什么？(3)若该校九年级共500人参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩优秀（【答案】(1)40；96；91.5(2)九年级成绩相对更好，理由见解析(1)本次调查的学生共有人；扇形统计图中，区域A所对应的扇形圆心角的度数是(2)将条形统计图补充完整；(3)该中学共有学生2400人，请估算该校参与声乐类和书法类社团的学生总人数；(4)校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各持人．请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和【答案】(1)50，100.8（3）解：14162400144050（人），答：该校参与声乐类和书法类社团的学生总人数约有（4）解：用1A ，2A 表示男同学，1B ，1A 2A 1B 1A （2A ，1A ）（四个等级，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图表，根据图表信息，(1)随机抽取的学生共______(2)若全校有1400人参加了知识竞赛，请你估计其中等级为(3)若成绩为100分的学生有甲、乙、丙、丁四人，学校将从这四人中随机选出表或画树状图的方法，求甲、乙两人被同时选中的概率．【答案】(1)60,84结果：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）∴共有12种等可能性的结果，其中甲、乙两人被同时选中的结果有设甲、乙两人被同时选中的事件为M，请结合图中的信息，解决下列问题：(1)请求出接受问卷调查的人数，并补全条形统计图；(2)请求出扇形统计图中“满意”部分的圆心角度数；(3)该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这性，2位女性．请用画树状图或列表的方法求出选择回访的市民为“一男一女【答案】，统计图见解析（2）20360144 50，（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，其中是“一男一女”的有8种情况，∴一男一女的概率为82=123．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率b．七年级成绩在8090x 的数据如下（单位：分）808185858585858585c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表：年级平均数中位数众数方差分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩．名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数．(1)这次被调查的学生共有_______人；(2)请补全条形统计图；(3)在数独比赛项目中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中随机选取两名参加数独决赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【答案】(1)200人(2)见解析（3）解：甲乙(1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是(2)补全条形统计图；(3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的）利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，再利用总人数减去其他课程的人数求得选（3）解：画树状图如下：共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为(1)训练前成绩的中位数是分，训练后成绩的众数是(2)训练后比训练前平均分增加了多少分？(3)如果该校九年级有400名学生，那么估计训练后成绩为满分的人数有多少人？【答案】(1)8，10(2)训练后平均分增加了1.08分(3)192人。
中考数学复习专题32：概率及其求法(含中考真题解析)
专题32 概率及其求法☞解读考点1．在一个不透明的袋子中，装有红球、黄球、篮球、白球各1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出一个球，取出红球的概率为（ ）A ． 12B ． 13C ． 14 D ． 1【答案】C ．考点：概率公式．2．下列事件是必然事件的为（ ） A ．明天太阳从西方升起 B ．掷一枚硬币，正面朝上C ．打开电视机，正在播放“河池新闻”D ．任意一个三角形，它的内角和等于180° 【答案】D ．3．若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是（）A．15B．25C．35D．45【答案】C．【解析】试题分析：这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率=3 5．故选C．考点：1．概率公式；2．中心对称图形．4．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是15，则n的值为（）A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】C．【解析】试题分析：∵摸到红球的概率为15，∴2125n=+，解得n=8．故选C．考点：概率公式．5．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B．【解析】试题分析：由题意可得，3a×100%=20%，解得，a=15．故选B．考点：利用频率估计概率．6．下列事件发生的概率为0的是（）A．射击运动员只射击1次，就命中靶心B．任取一个实数x，都有0 x≥C．画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cmD．抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为6 【答案】C．7．如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为b，关于a、b大小的正确判断是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不能判断【答案】B．【解析】试题分析：∵正六边形被分成相等的6部分，阴影部分占3部分，∴a=36=12，∵投掷一枚硬币，正面向上的概率b=12，∴a=b，故选B．考点：几何概率．8．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（）A．112B．512C．16D．12【答案】A．考点：概率公式．9．小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】B．【解析】试题分析：小强和小华玩“石头、剪刀、布”游戏，所有可能出现的结果列表如下：∵由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布）．∴小明和小颖平局的概率为：39=13．故选B ．考点：列表法与树状图法． 10．如图，随机闭合开关1S 、2S 、3S 中的两个，则灯泡发光的概率是（ ）A ．43B ．32C ．31D ．21【答案】B ． 【解析】试题分析：列表如下：共有6种情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是46=23．故选B ．考点：1．列表法与树状图法；2．图表型．11．在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记作为第一次传球），则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是（ ）A ．12B ．14C ．38 D ．58【答案】B ．考点：列表法与树状图法．12．）在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A．13B．23C．16D．34【答案】B．【解析】试题分析：分母含有字母的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a+1，a+2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率=46=23．故选B．考点：1．概率公式；2．分式的定义；3．综合题．13．从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数12yx图象上的概率是（）A．12B．13C．14D．16【答案】D．【解析】试题分析：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，点（a ，b ）在函数12y x =图象上的有（3，4），（4，3），∴点（a ，b ）在函数12y x =图象上的概率是：212=16．故选D ．考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征．14．从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（ ）A ．21B ．31C ．41D ．51【答案】C ．考点：1．列表法与树状图法；2．三角形三边关系．15．斯）如图，A ．B 是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是（ ）A ．256B ．51C ．254D ．257【答案】A ．考点：1．概率公式；2．三角形的面积．16．若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是（ ）A ．12B ．23C ．25D ．35【答案】C ． 【解析】试题分析：列表得：∵共有30种等可能的结果，与7组成“中高数”的有12种情况，∴与7组成“中高数”的概率是：1230=25．故选C ．考点：1．列表法与树状图法；2．新定义．17．色盲是伴X 染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为 （结果精确到0.01） 【答案】0.07． 【解析】试题分析：观察表格发现，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在常数0.07左右，故男性中，男性患色盲的概率为0.07，故答案为：0.07． 考点：利用频率估计概率．18．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是 ．【答案】15．考点：1．几何概率；2．勾股定理．19．写一个你喜欢的实数m 的值 ，使得事件“对于二次函数21(1)32y x m x =--+，当3x <-时，y 随x 的增大而减小”成为随机事件．【答案】答案不唯一，2m <-的任意实数皆可，如：﹣3． 【解析】试题分析：21(1)32y x m x =--+，12bx m a =-=-，∵当3x <-时，y 随x 的增大而减小，∴13m -<-，解得：2m <-，∴2m <-的任意实数皆可．故答案为：答案不唯一，2m <-的任意实数皆可，如：﹣3．考点：1．随机事件；2．二次函数的性质；3．开放型．20．有9张卡片，分别写有1~9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的不等式组43(1)122x x x x a ≥-⎧⎪⎨--<⎪⎩有解的概率为____．【答案】49．考点：1．解一元一次不等式组；2．含字母系数的不等式；3．概率公式；4．压轴题． 21．）从﹣3，﹣2，﹣1，0，4这五个数中随机抽取一个数记为a ，a 的值既是不等式组2343111x x +<⎧⎨->-⎩的解，又在函数2122y x x =+的自变量取值范围内的概率是 ． 【答案】25．【解析】试题分析：∵不等式组2343111x x +<⎧⎨->-⎩的解集是：10132x -<<，∴a 的值是不等式组的解的有：﹣3，﹣2，﹣1，0，∵函数2122y x x =+的自变量取值范围为：2220x x +≠，即0x ≠且1x ≠-，∴a 的值在函数2122y x x =+的自变量取值范围内的有﹣3，﹣2，4；∴a 的值既是不等式组2343111x x +<⎧⎨->-⎩的解，又在函数2122y x x =+的自变量取值范围内的有：﹣3，﹣2；∴a 的值既是不等式组2343111x x +<⎧⎨->-⎩的解，又在函数2122y x x =+的自变量取值范围内的概率是：25．故答案为：25．考点：1．概率公式；2．解一元一次不等式组；3．函数自变量的取值范围；4．综合题． 22．）从﹣2，﹣1，0，1，2这5个数中，随机抽取一个数记为a ，则使关于x 的不等式组21162212x x a -⎧≥-⎪⎨⎪-<⎩有解，且使关于x 的一元一次方程32123x a x a-++=的解为负数的概率为 ．【答案】35．考点：1．概率公式；2．一元一次方程的解；3．解一元一次不等式组；4．综合题；5．压轴题．23．如图，直线24y x=+与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为．【答案】（﹣1，2）．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．坐标与图形变化-平移；4．数形结合．24．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB，将△AOB沿过点B 的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为．【答案】1322y x =-+． 【解析】试题分析：∵A （0，4），B （3，0），∴OA=4，OB=3，在Rt △OAB 中，=5，∵△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点A′处，∴BA′=BA=5，CA′=CA ，∴OA′=BA′﹣OB=5﹣3=2，设OC=t ，则CA=CA′=4﹣t ，在Rt △OA′C 中，∵222''OC OA CA +=，∴2222(4)t t +=-，解得t=32，∴C 点坐标为（0，32），设直线BC 的解析式为y kx b =+，把B （3，0）、C （0，32）代入得3032k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1322y x =-+．故答案为：1322y x =-+． 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．待定系数法求一次函数解析式；3．综合题．25．今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题： （1）求全班学生人数和m 的值．（2）直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段．（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．【答案】（1）50，18；（2）落在51﹣56分数段；（3）2 3．（2）∵全班学生人数：50人，∴第25和第26个数据的平均数是中位数，∴中位数落在51﹣56分数段；（3）如图所示：将男生分别标记为A1，A2，女生标记为B1P（一男一女）=46=23．考点：1．列表法与树状图法；2．频数（率）分布表；3．扇形统计图；4．中位数．26．某校为了选拔学生参加“汉字听写大赛”，对九年级一班、二班各10名学生进行汉字听写测试．计分采用10分制（得分均取整数），成绩达到6分或6分以上为及格，得到9分为优秀，成绩如表1所示，并制作了成绩分析表（表2）．表1表2（1）在表2中，a= ，b= ；（2）有人说二班的及格率、优秀率均高于一班，所以二班比一班好；但也有人认为一班成绩比二班好，请你给出坚持一班成绩好的两条理由；（3）一班、二班获满分的中同学性别分别是1男1女、2男1女，现从这两班获满分的同学中各抽1名同学参加“汉字听写大赛”，用树状图或列表法求出恰好抽到1男1女两位同学的概率．【答案】（1）8，7.5；（2）一班的平均成绩高，且方差小，较稳定；（3）1 2．（3）列表得：∵共有6种等可能的结果，一男一女的有3种，∴P（一男一女）=36=12．考点：1．列表法与树状图法；2．加权平均数；3．中位数；4．众数；5．方差．27．城港）现有三张反面朝上的扑克牌：红桃2、红桃3、黑桃x（1≤x≤13且x为奇数或偶数）．把牌洗匀后第一次抽取一张，记好花色和数字后将牌放回，重新洗匀第二次再抽取一张．（1）求两次抽得相同花色的概率；（2）当甲选择x为奇数，乙选择x为偶数时，他们两次抽得的数字和是奇数的可能性大小一样吗？请说明理由．（提示：三张扑克牌可以分别简记为红2、红3、黑x）【答案】（1）59；（2）一样．（2）他们两次抽得的数字和是奇数的可能性大小一样，∵x为奇数，两次抽得的数字和是奇数的可能性有4种，∴P（甲）=49，∵x为偶数，两次抽得的数字和是奇数的可能性有4种，∴P（乙）=49，∴P（甲）=P（乙），∴他们两次抽得的数字和是奇数的可能性大小一样．考点：列表法与树状图法．28．端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习惯．某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱粽子的情况，随机抽取了50名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图（注：每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择）请根据统计图完成下列问题：（1）扇形统计图中，“很喜欢”所对应的圆心角为度；条形统计图中，喜欢“糖馅”粽子的人数为人；（2）若该校学生人数为800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”粽子的人数之和；（3）小军最爱吃肉馅粽子，小丽最爱吃糖馅粽子．某天小霞带了重量、外包装完全一样的肉馅、糖馅、枣馅、海鲜馅四种粽子各一只，让小军、小丽每人各选一只．请用树状图或列表法求小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的粽子的概率．【答案】（1）144，3；（2）600；（3）1 3．（2）学生有800人，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”粽子的人数之和为800×（1﹣25%）=600（人）；（3）肉馅、糖馅、枣馅、海鲜馅四种粽子分别用A、B、C、D表示，画图如下：∵共12种等可能的结果，其中小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的粽子有4种，∴P（小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的粽子）=412=13．考点：1．列表法与树状图法；2．用样本估计总体；3．扇形统计图；4．条形统计图．29．某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛．各参赛选手的成绩如图：九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100九（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99通过整理，得到数据分析表如下：（1）直接写出表中m、n的值；（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由；（3）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选二个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率．【答案】（1）m=94，n=95.5；（2）①九（2）班平均分高于九（1）班；②九（2）班的成绩比九（1）班稳定；③九（2）班的成绩集中在中上游，故支持九（2）班成绩好（任意选两个即可）；（3）1 3．（3）用A1，B1表示九（1）班两名98分的同学，C2，D2表示九（2）班两名98分的同学，画树状图，如图所示：所有等可能的情况有12种，其中另外两个决赛名额落在同一个班的情况有4种，则P（另外两个决赛名额落在同一个班）=412=13．考点：1．列表法与树状图法；2．加权平均数；3．中位数；4．众数；5．方差．30．为增强学生环保意识，某中学组织全校2000名学生参加环保知识大赛，比赛成绩均为整数，从中抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成如图统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）若抽取的成绩用扇形图来描述，则表示“第三组（79.5～89.5）”的扇形的圆心角为度；（2）若成绩在90分以上（含90分）的同学可以获奖，请估计该校约有多少名同学获奖？（3）某班准备从成绩最好的4名同学（男、女各2名）中随机选取2名同学去社区进行环保宣传，则选出的同学恰好是1男1女的概率为．【答案】（1）144；（2）640；（3）2 3．（2）估计该校获奖的学生数=16100%50×2000=640（人）；（3）列表如下：所有等可能的情况有12种，其中选出的两名主持人“恰好为一男一女”的情况有8种，则P（选出的两名主持人“恰好为一男一女”）=812=23．故答案为：23．考点：1．列表法与树状图法；2．用样本估计总体；3．频数（率）分布直方图；4．扇形统计图．31．甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率．【答案】（1）13；（2）12．考点：列表法与树状图法．32．（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）（2）如果甲跟另外n（n≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是（请直接写出结果）．【答案】（1）13；（2）21nn．【解析】试题分析：（1）先画树状图，由树状图可得总结果与传到甲手里的情况，根据传到甲手里的情况比上总结过，可得答案；（2）根据第一步传的结果是n，第二步传的结果是2n，第三步传的结果是总结过是3n，传给甲的结果是n（n﹣1），根据概率的意义，可得答案．考点：列表法与树状图法．33．活动1：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三位同学丙→甲→乙的顺序依次从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，计算甲胜出的概率．（注：丙→甲→乙表示丙第一个摸球，甲第二个摸球，乙最后一个摸球）活动2：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，4的4个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，请你对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序：→ → ，他们按这个顺序从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，则第一个摸球的同学胜出的概率等于，最后一个摸球的同学胜出的概率等于．猜想：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，…，n（n为正整数）的n个小球，这些球除标号外都相同，充分搅匀，甲、乙、丙三名同学从袋中各摸出一个球（不放回），摸到1号球胜出，猜想：这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系．你还能得到什么活动经验？（写出一个即可）【答案】（1）13；（2）丙、甲、乙、14，14；（3）P（甲胜出）=P（乙胜出）=P（丙胜出），抽签是公平的，与顺序无关．（答案不唯一）．【解析】试题分析：（1）画出树状图法，判断出甲胜出的概率是多少即可．试题解析：（1）如图1，，甲胜出的概率为：P（甲胜出）=1 3；（2）如图2，，对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序：丙→甲→乙，则第一个摸球的丙同学胜出的概率等于14，最后一个摸球的乙同学胜出的概率也等于14，故答案为：丙、甲、乙、14，14；（3）这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系为：P（甲胜出）=P（乙胜出）=P（丙胜出）．得到的活动经验为：抽签是公平的，与顺序无关．（答案不唯一）．考点：列表法与树状图法．34．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和﹣2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣1、0和2．小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P的坐标为（x，y）．（1）请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标；（2）求点P在一次函数1+=xy图象上的概率．【答案】（1）点P所有可能的坐标为：（1，﹣1），（1，0），（1，2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，2）；（2）1 3．∴点P所有可能的坐标为：（1，﹣1），（1，0），（1，2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，2）；（2）∵只有（1，2），（﹣2，﹣1）这两点在一次函数1+=xy图象上，∴P（点P在一次函数y=x+1的图象上）=26=13．考点：1．列表法与树状图法；2．一次函数图象上点的坐标特征．35．端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习惯．某校数学兴趣小组为了了解本校学生喜爱粽子的情况，随机抽取了50名同学进行问卷调查，经过统计后绘制了两幅尚不完整的统计图（注：每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选择）请根据统计图完成下列问题：（1）扇形统计图中，“很喜欢”所对应的圆心角为度；条形统计图中，喜欢“糖馅”粽子的人数为人；（2）若该校学生人数为800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”粽子的人数之和；（3）小军最爱吃肉馅粽子，小丽最爱吃糖馅粽子．某天小霞带了重量、外包装完全一样的肉馅、糖馅、枣馅、海鲜馅四种粽子各一只，让小军、小丽每人各选一只．请用树状图或列表法求小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的粽子的概率．【答案】（1）144，3；（2）600；（3）1 3．（2）学生有800人，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”粽子的人数之和为800×（1﹣25%）=600（人）；（3）肉馅、糖馅、枣馅、海鲜馅四种粽子分别用A、B、C、D表示，画图如下：∵共12种等可能的结果，其中小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的粽子有4种，∴P（小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的粽子）=412=13．考点：1．列表法与树状图法；2．用样本估计总体；3．扇形统计图；4．条形统计图．【2014年题组】1．南平中考）一个袋中只装有3个红球，从中随机摸出一个是红球（）A．可能性为13B．属于不可能事件C．属于随机事件D．属于必然事件【答案】D．【解析】试题分析：因为袋中只装有3个红球，所以从中随机摸出一个一定是红球，所以属于必然事件，故选D．考点：1．随机事件；2．可能性的大小．2．三明中考）小亮和其他5个同学参加百米赛跑，赛场共设1，2，3，4，5，6六个跑道，选手以随机抽签的方式确定各自的跑道．若小亮首先抽签，则小亮抽到1号跑道的概率是（）A．16B．15C．12D．1【答案】A．考点：概率公式．3．长沙中考）100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是．【答案】1 20．【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，∵100件外观相同的产品中有5件不合格，∴从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是：51 10020．考点：概率公式．4．梅州中考）下列事件中是必然事件是（）A、明天太阳从西边升起B、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中C、实心铁球投入水中会沉入水底D、抛出一枚硬币，落地后正面向上【答案】C．【解析】试题分析：A、明天太阳从西边升起，是不可能事件；B、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中，是随机事件；C、实心铁球投入水中会沉入水底，是必然事件；D、抛出一枚硬币，落地后正面向上，是随机事件．故选C．考点：必然事件．5．南通中考）在如图所示（A，B，C三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在区域的可能性最大（填A或B或C）．【答案】A．考点：1．几何概率；2．转换思想的应用．6．疆乌鲁木齐中考）在一个不透明的口袋中有颜色不同的红、白两种小球，其中红球3只，白球n 只，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率为34，则n= ．【答案】9． 【解析】试题分析：∵从3只红球，n 只白球的袋中任取一个球，摸出白球的概率为34，∴n 3n 34=+．解得：n=9，经检验：x=9是原分式方程的解． ∴n=9．考点：1．概率公式；2．分式方程的应用7．台州中考）抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各1双（除颜色外其余都相同）在看不见的情况下随机摸出两只袜子，他们恰好同色的概率是 ．【答案】13．【解析】试题分析：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，它们恰好同色的有4种情况，∴它们恰好同色的概率是：41123=．考点：1．列表法或树状图法；2．概率．8．南京中考）从甲、乙、丙三名同学中随机抽取环保志愿者，求下列事件的概率： （1）抽取1名，恰好是甲； （2）抽取2名，甲在其中．【答案】（1）13；（2）23．（2）∵抽取2名，可得：甲乙，甲丙，乙丙，共3种等可能的结果，甲在其中的有2种情况，∴抽取2名，甲在其中的概率为：2 3．考点：概率．9．古包头、乌兰察布中考）有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．【答案】（1）答案见试题解析；（2）1 6．试题解析：解：（1）画树状图得：∴（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）．（2）∵当k 0<，b 0<时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限，∴所选出的m ，n 能使一次函数y=mx+n 的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3﹣4），（﹣4，﹣3）．∴所选出的m ，n 能使一次函数y=mx+n 的图象经过第二、三四象限的概率为：21126 ． 考点：1．树状图法；2．概率；3．一次函数图象与系数的关系．10．省中考）某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下：将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片（除数字外其余都相同）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去． （1）请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果； （2）你认为这个规则公平吗？请说明理由． 【答案】（1）答案见试题解析；（2）这个游戏公平．考点：1．列表法或树状图法；2．概率；3．游戏公平性．☞考点归纳归纳 1：概率的有关概念 基础知识归纳： 1、确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件． 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件． 2、随机事件：。
九年级数学概率问题专项(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：概率问题的处理思路①确定模型：摸球模型（放回），摸球模型（不放回），面积模型；②借助__________和_________分析可能出现的所有情况；注：在分析时，需要结合实际情况来进行考虑．③明确所求目标，计算．概率问题专项一、单选题(共10道，每道10分)1.下列说法正确的是( )A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨B.“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛2次就有一次正面朝上C.“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖D.“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳定在附近答案：D解题思路：随机事件的概率是指其发生可能性的大小，是对结果可能性大小的猜测．A：“明天降雨的概率是80%”是指“明天降雨”这个事件发生的可能性是80%，而具体会不会下雨，下多长时间的雨，事先无法预计，故A选项错误；B：“抛一枚硬币正面朝上的概率为”是指“抛一枚硬币正面朝上”这个事件发生的可能性是，是一种可能性，抛两次可能一次也没有正面朝上，故B选项错误；C：“彩票中奖的概率为1%”是指“彩票中奖”这个事件发生的可能性是1%，而买100张彩票会不会中奖无法确定，故C选项错误；D：“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的频率稳定在附近，并且抛掷次数越多，频率越稳定于，符合大量的重复试验中，利用频率估计概率的方法，故D选项正确．试题难度：三颗星知识点：概率的意义2.事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰熔化．上述三个事件的概率分别记为，，，则，，的大小关系正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：先判定事件A，B，C分别属于什么事件，再对其概率的大小进行比较．事件A：打开电视，它正在播广告，可能发生也可能不发生，是一个随机事件，所以；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7，是必然发生的，属于必然事件，所以；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰熔化，是一定不会发生的，属于不可能事件，所以．∴．试题难度：三颗星知识点：概率的意义3.如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形，任意旋转这个转盘1次，当旋转停止时，指针指向阴影区域的概率是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：该几何体被分成6部分，阴影部分占2部分，任意旋转这个转盘1次指针指向6个部分的概率相同，∴指针指向阴影区域的概率是．故选B．试题难度：三颗星知识点：几何概率模型—转盘概率4.在某栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：∵观众第三次翻牌时，总共还有18个商标牌，其中有4个是有奖的，∴第三次观众翻牌获奖的概率为．故选B．试题难度：三颗星知识点：概率公式5.学校组织校外实践活动，安排九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：1．解题要点属于摸球模型中的放回类型，按小明与小红两人分别选车分两层．2．解题过程用1，2，3分别表示第一辆车，第二辆车，第三辆车，画出树状图如下，共有种情况，其中小明和小红同车的有3种可能，∴小明和小红同车的概率为．试题难度：三颗星知识点：列表法与树状图法6.甲、乙两同学手中均有分别标注1，2，3的三张纸牌，甲制定了游戏规则：两人同时各出一张牌，当两纸牌上的数字之和为偶数时甲赢，奇数时乙赢．则甲同学赢的概率为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：1．解题要点①属于不放回类型，按甲、乙两人分别出牌分两层；②注意目标是求“甲”同学赢的概率．2．解题过程画出树状图如下，共有9种可能的情况，其中两纸牌上的数字之和为偶数的有5种，∴甲同学赢的概率为．试题难度：三颗星知识点：列表法与树状图法7.从2，3，4，5中任意选两个数，分别记作和，那么点在函数的图象上的概率是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：画出树状图如下，共有种情况，其中符合题意的有2种情况，∴点在函数的图象上的概率是．试题难度：三颗星知识点：列表法与树状图法8.有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能打开另一把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁的概率是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：用代表两把不同的锁，用代表三把钥匙，由题意，假设钥匙能打开锁，钥匙能打开锁，画出树状图如下，共有6种等可能的情况，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次能打开锁有3种情况，故一次能打开锁的概率为．故选C．试题难度：三颗星知识点：列表法与树状图法9.定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”，如“947”就是一个“V数”．若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V 数”的概率是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：画出树状图如下，共有12种等可能结果，其中能与2组成“V数”的结果有6种，∴能与2组成“V数”的概率是．故选B．试题难度：三颗星知识点：列表法与树状图法10.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想数字，把乙所猜数字记为，且，分别取0，1，2，3，若，满足，则称甲、乙两人“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，得出“心有灵犀”的概率为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：画树状图如下，共有种情况，其中，满足的有2+3+3+2=10种情况，故得出“心有灵犀”的概率为．试题难度：三颗星知识点：列表法与树状图法。