高考数学理科试题汇编--直线和圆
2024年高考数学一模好题分类汇编：直线与圆、圆锥曲线(解析版)
直线与圆、圆锥曲线题型01 直线与圆题型02 椭圆题型03 双曲线题型04 抛物线题型01 直线与圆1(2024·浙江·校联考一模)圆C :x 2+y 2-2x +4y =0的圆心C 坐标和半径r 分别为()A.C 1,-2 ,r =5B.C 1,-2 ,r =5C.C -1,2 ,r =5D.C -1,2 ,r =5【答案】A【详解】圆C :x 2+y 2-2x +4y =0，即C :x -1 2+y +2 2=5，它的圆心C 坐标和半径r 分别为C 1,-2 ,r = 5.故选：A .2(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)“a ≤-5或a ≥5”是“圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:(x +a )2+(y -2a )2=36存在公切线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【详解】圆C 1的圆心为0,0 ，半径r 1=1，圆C 2的圆心为-a ,2a ，半径r 2=6，所以两圆的圆心距为d =C 1C 2 =a 2+4a 2=5a 2，两圆内含时，即5a 2<6-1 ，解得-5<a <5，所以当两圆有公切线时，a ≥5或a ≤-5，所以“a ≤-5或a ≥5”是“圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:(x +a )2+(y -2a )2=36存在公切线”的充要条件．故选：C ．3(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知圆C 1:(x -3)2+y 2=1,C 2:x 2+(y -a )2=16，则下列结论正确的有()A.若圆C 1和圆C 2外离，则a >4B.若圆C 1和圆C 2外切，则a =±4C.当a =0时，圆C 1和圆C 2有且仅有一条公切线D.当a =-2时，圆C 1和圆C 2相交【答案】BCD【详解】C 13,0 ,C 20,a ,C 1C 2 =9+a 2,r 1=1,r 2=4.若C1和C 2外离，则C 1C 2 =9+a 2>r 1+r 2=5，解得a >4或a <-4，故A 错误；若C 和C 外切，C C =9+a 2=5，解得a =±4，故B 正确；当a =0时，C 1C 2 =3=r 2-r 1,C 1和C 2内切，故C 正确；当a =-2时，3<C 1C 2 =13<5,C 1和C 2相交，故D 正确.故选：BCD4(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为x =3ty =4t -1 (t 为参数)，直线l 2的参数方程为x =12s y =32s(s 为参数).(1)求这两条直线的普通方程(结果用直线的一般式方程表示)；(2)若这两条直线与圆C :(x -3)2+(y -4)2=m 2都相离，求m 的取值范围.【答案】(1)l 1:4x -3y -3=0，l 2:3x -y =0(2)4-332<m <33-42【详解】(1)直线l 1的参数方程为x =3t y =4t -1 ，则4x =12t3y =12t -3 ，两式相减得4x -3y -3=0直线l 2的参数方程为x =12sy =32s ，则s =2x 代入y =32s ，得y =3x ,3x -y =0；(2)圆C 的圆心为3,4 ，半径为m ，若l 1,l 2与圆C :(x -3)2+(y -4)2=m 2相离，所以12-12-35>m33-42>m，即35>m 33-42>m，解得4-332<m <33-42.5(2024·重庆·统考一模)过点P 作圆C :x 2+y 2-4x -43y +15=0的两条切线，切点分别为A ,B ，若△PAB 为直角三角形，O 为坐标原点，则OP 的取值范围为()A.2-2,2+2B.4-2,4+2C.2-2,2+2D.4-2,4+2【答案】D【详解】圆C :(x -2)2+(y -23)2=1的圆心C (2,23)，半径r =1，由PA ,PB 切圆C 于点A ,B ，且△PAB 为直角三角形，得∠APB =90°,|PA |=|PB |，连接AC ,BC ，则∠CAP =∠CBP =90°，即四边形APBC 是正方形，|PC |=2，因此点P 在以点C 为圆心，2为半径的圆上，而|OC |=22+(23)2=4，于是|OP |max =4+2,|OP |min =4-2，所以OP 的取值范围为4-2,4+2 .故选：D6(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知圆C ：x 2+y 2-4x -14y +45=0及点Q (-2,3)，则下列说法正确的是()A.直线kx -y -2k +1=0与圆C 始终有两个交点B.若M 是圆C 上任一点，则|MQ |的取值范围为22,62C.若点P (m ,m +1)在圆C 上，则直线PQ 的斜率为14D.圆C 与x 轴相切【答案】B【详解】依题意，圆C ：(x -2)2+(y -7)2=8，圆心C (2,7)，半径r =22，对于A ，直线kx -y -2k +1=0恒过定点(2,1)，而点(2,1)在圆C 外，则过点(2,1)的直线与圆C 可能相离，故A 不正确；对于B ，|CQ |=42，点Q 在圆C 外，由CQ -r ≤MQ ≤CQ +r 得：22≤MQ ≤62，故B 正确.对于C ，点P (m ,m +1)在圆C 上，则(m -2)2+(m -6)2=8，解得m =4，而点Q (-2,3)，则直线PQ 的斜率为m -2m +2=13，故C 不正确；对于D ，点C (2,7)到x 轴距离为7，大于圆C 的半径，则圆C 与x 轴相离，即圆C 与x 轴不相切，故D 不正确；故选：B7(2024·河北·校联考一模)已知圆C :x 2+2x +y 2-1=0，直线mx +n y -1 =0与圆C 交于A ，B 两点.若△ABC 为直角三角形，则()A.mn =0B.m -n =0C.m +n =0D.m 2-3n 2=0【答案】A【详解】因为圆C :x 2+2x +y 2-1=0，圆心为C -1,0 ，半径为r =2，即CA =CB =2因为△ABC 为直角三角形，所以AB =CB2+CA 2=2,设圆心C -1,0 到直线mx +n y -1 =0的距离为d ，d =-m -nm 2+n 2=m +nm 2+n 2由弦长公式AB =2r 2-d 2得d =1，所以m +nm 2+n2=1，化简得mn =0.故选：A .8(2024·广东深圳·校考一模)已知圆C ：x 2+y 2-2kx -2y -2k =0，则下列命题是真命题的是()A.若圆C 关于直线y =kx 对称，则k =±1B.存在直线与所有的圆都相切C.当k =1时，P x ,y 为圆C 上任意一点，则y +3x 的最大值为5+3D.当k =1时，直线l :2x +y +2=0,M 为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的切线MA ,MB ，切点为A ，B ，则CM ⋅AB 最小值为4【答案】BCD【详解】解：圆C ：x 2+y 2-2kx -2y -2k =0，整理得：x -k 2+y -1 2=k +1 2，所以圆心C k ,1 ，半径r =k +1 >0，则k ≠-1对于A ，若圆C 关于直线y =kx 对称，则直线过圆心，所以1=k 2，得k =±1，又k =-1时，r =0，方程不能表示圆，故A 是假命题；对于B ，对于圆C ，圆心为C k ,1 ，半径r =k +1 >0，则k ≠-1，当直线为x =-1时，圆心到直线的距离d =k -(-1) =k +1 =r ，故存在直线x =-1，使得与所有的圆相切，故B 是真命题；对于C ，当k =1时，圆的方程为x -1 2+y -1 2=4，圆心为C 1,1 ，半径r =2由于P x ,y 为圆C 上任意一点，设y +3x =m ，则式子可表示直线y =-3x +m ，此时m 表示直线的纵截距，故当直线与圆相切时，可确定m 的取值范围,于是圆心C 1,1 到直线y =-3x +m 的距离d =3+1-m12+32=r =2，解得m =3-3或m =5+3，则3-3≤m ≤5+3，所以y +3x 的最大值为5+3，故C 为真命题；对于D ，圆的方程为x -1 2+y -1 2=4，圆心为C 1,1 ，半径r =2，如图，连接AC ,BC ，因为直线MA ,MB 与圆C 相切，所以MA ⊥AC ,MB ⊥BC ，且可得MA =MB ，又AC =BC =r =2，所以MC ⊥AB ，且MC 平分AB ，所以S =1CM ⋅AB =2S =2×1MA ⋅AC ，则CM ⋅AB =2MA ⋅AC =2CM 2-r 2×2=4CM 2-4，则CM ⋅AB 最小值即CM 的最小值，即圆心C 1,1 到直线l :2x +y +2=0的距离d =CM min =2+1+222+12=5，所以CM ⋅AB 的最小值为4，故D 为真命题.故选：BCD .9(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知直线y =kx +2k ∈R 交圆O :x 2+y 2=9于P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 两点，则3x 1+4y 1+16 +3x 2+4y 2+16 的最小值为()A.9 B.16C.27D.30【答案】D【详解】由题设直线与y 轴的交点为A 0,2 ，设弦PQ 的中点为E x ,y ，连接OE ，则OE ⊥PQ ，即OE ⊥AE ，所以OE ⋅AE=0，即x ,y ⋅x ,y -2 =x 2+y y -2 =0，所以点E 的轨迹方程为x 2+(y -1)2=1，即E 的轨迹是以0,1 为圆心，1为半径的圆，设直线l 为3x +4y +16=0，则E 到l 的最小距离为4+165-1=3，过P ､E ､Q 分别作直线l 的垂线，垂足分别为M ,R ,N ，则四边形MNQP 是直角梯形，且R 是MN 的中点，则ER 是直角梯形的中位线，所以MP +NQ =2ER ，即3x 1+4y 1+165+3x 2+4y 2+165=2ER ，即3x 1+4y 1+6 +3x 2+4y 2+6 =10ER ≥30，所以3x 1+4y 1+16 +3x 2+4y 2+16 的最小值为30.故选：D .10(2024·吉林延边·统考一模)已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是圆O :x 2+y 2=4上的两点，则下列结论中正确的是()A.若点O 到直线AB 的距离为2，则AB =22B.若AB =23，则∠AOB =π3C.若∠AOB =π2，则x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为6D.x 1x 2+y 1y 2的最小值为-4【答案】ACD【详解】依题意，圆O :x 2+y 2=4的圆心O 0,0 ，半径为r =2如图所示：对于A 选项：因为点O 到直线AB 的距离为2，所以AB =2r 2-d 2=22，故选项A 正确；对于B 选项：因为AB =23，且OA =OB =r =2，所以在△ABC 中，由余弦定理可得：cos ∠AOB =OA2+OB 2-AB 22OA OB=4+4-122×2×2=-12,所以∠AOB =2π3，故选项B 错误；对于C 选项：由x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 =2x 1+y 1-12+x 2+y 2-12，其几何意义为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 到直线x +y -1=0的距离之和的2倍设A ,B 的中点为C x 0,y 0 ,结合梯形的中位线可知：则有x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 =22x 0+y 0-12，因为∠AOB =π2，所以AB =4+4=22,在直角三角形△OAB 中，OC =12AB =2,所以点C 的轨迹为以原点0,0 为圆心，2为半径的圆.因为0,0 到x +y -1=0的距离为d =0+0-12=22，所以x 0+y 0-12max=22+2=322，所以x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 max =22x 0+y 0-12max=6，故选项C 正确；对于D 选项：因为x 1x 2+y 1y 2=OA ⋅OB =2×2×cos OA ,OB，所以当OA ,OB所成的角为π时，x 1x 2+y 1y 2 min =2×2×cosπ=-4.故选项D 正确;故选：ACD .题型02椭圆11(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)如果椭圆x 2k +8+y 29=1(k >-8)的离心率为e =12，则k =()A.4B.4或-54C.-45D.4或-45【答案】B【详解】解：因为椭圆x 2k +8+y 29=1(k >-8)的离心率为e =12，当k +8>9时，椭圆焦点在x 轴上，可得：a =k +8,b =3,∴c =a 2-b 2=k -1,∴e =k -1k +8=12，解得k =4，当0<k +8<9时，椭圆焦点在y 轴上，可得：a =3,b =k +8,∴c =a 2-b 2=1-k ,∴e =c a=1-k 3=12，解得k =-54．∴k =4或k =-54.故选：B ．12(2024·福建厦门·统考一模)设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 交于A ，B 两点，若F 1F 2 =2，且△ABF 2的周长为8，则()A.a =2B.C 的离心率为14C.|AB |可以为πD.∠BAF 2可以为直角【答案】AC【详解】由F 1F 2 =2c =2⇒c =1，如下图△ABF 2周长为4a =8⇒a =2，故b 2=a 2-c 2=3，所以，椭圆离心率为e =12，A 对，B 错；当AB ⊥x 轴，即AB 为通径时|AB |min =2b 2a =3，且|AB |<2a =4，所以3≤|AB |<4，故|AB |可以为π，C 对；由椭圆性质知：当A 为椭圆上下顶点时∠BAF 2最大，此时cos ∠BAF 2=a 2+a 2-4c 22a2=12，且∠BAF 2∈(0,π)，故(∠BAF 2)max =π3，即∠BAF 2不可能为直角，D 错.故选：AC13(2024·云南曲靖·统考一模)已知P 为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点，F 1,F 2分别为C 的左、右焦点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2外接圆半径与其内切圆半径之比为52，则C 的离心率为．【答案】57【详解】由题意，在Rt △PF 1F 2中|F 1F 2|=2c ,|PF 1|+|PF 2|=2a ,∠F 1PF 2=90°，所以其外接圆半径R =|F 1F 2|2=c ，内切圆的半径为|PF 1|+|PF 2|-|F 1F 2|2=a -c ，故c a -c =52⇒e =c a =57.故答案为：5714(2024·重庆·统考一模)已知点F 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为π3的直线交椭圆于P ,Q 两点，FP +FQ =FP -FQ ，则该椭圆的离心率为．【答案】3-1/-1+3【详解】令椭圆的左焦点为F ，半焦距为c ，分别连接F P ，F Q ，由FP +FQ =FP -FQ ，得四边形FPF Q 为矩形，而∠FOP =π3，则△OFP 为正三角形，所以|FP |=c ，FP =3c ，∴2a =PF +|PF ∣=(3+1)c ，则椭圆离心率为e =ca =3-1，故答案为：3-1.15(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知P 为椭圆C :x 29+y 23=1上的一个动点，过P 作圆M :(x -1)2+y 2=2的两条切线，切点分别为A ,B ，则AB 的最小值为.【答案】2105/2510【详解】设P x ,y ,∠MAB =θ，由已知MA ⊥AP ，由对称性可得AB ⊥PM ,所以∠PAB +∠MAB =π2,∠MPA +∠PAB =π2，且sin θ=2PM，因为PM =(x -1)2+y 2=(x -1)2+3-x 23=23x -322+52，因为-3≤x ≤3，所以PM ≥102，当且仅当x =32时等号成立，所以sin θ=2PM≤25，又θ∈0,π2 ，所以cos θ=1-sin 2θ≥15=55，所以AB =22cos θ≥22×55=2105.所以AB 的最小值为2105.故答案为：2105.16(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)若椭圆C 1和C 2的方程分别为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和x 2a 2+y 2b2=λ(a >b >0,λ>0且λ≠1)则称C 1和C 2为相似椭圆．己知椭圆C 1:x 24+y 23=1,C 2:x 24+y 23=λ(0<λ<1)，过C 2上任意一点P 作直线交C 1于M ，N 两点，且PM +PN=0，则△MON 的面积最大时，λ的值为()A.13B.12C.34D.32【答案】B【详解】当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为x =x 0，-2λ≤x 0≤2λ，联立x 24+y 23=1x =x，可得x =x 0y =±3×1-x 24 ，所以MN =23×1-x 204，所以△MON 的面积为S △MON =3x 01-x 204，由PM +PN =0 ，可得P 为MN 的中点，所以P x 0,0 ，因为点P 在椭圆C 2上，所以x 0=±2λ，所以S △MON =23×λ1-λ ，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =sx +t ，联立x 24+y 23=1y =sx +t ，消去y 得，4s 2+3 x 2+8stx +4t 2-12=0，∴Δ=64s 2t 2-44s 2+3 4t 2-12 =484s 2-t 2+3 >0，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8st 4s 2+3，x 1x 2=4t 2-124s 2+3，∴y 1+y 22=s x 1+x 2 +2t 2=-4s 2t 4s 2+3+t =3t4s 2+3，所以P 点坐标为-4st 4s 2+3,3t4s 2+3，因为点P 在椭圆C 2上，所以t 2=λ4s 2+3 ，因为原点O 到直线MN 的距离为t1+s 2，MN =1+s 2x 2-x 1 =1+s 2×x 1+x 2 2-4x 1x 2，所以△MON 的面积为S △MON =12t x 1-x 2 =23t 4s 2-t 2+34s 2+3=23×λ4s 2+3 ×1-λ 4s2+34s 2+3=23×λ1-λ ，综上，S △MON =23×λ1-λ ，又0<λ<1，又S △MON =23×λ1-λ =23×-λ-122+14，所以当λ=12时，△MON 的面积最大.故选：B .【点睛】关键点点睛：由PM +PN =0可得P 为MN 的中点，由此得到t 2=λ4s 2+3 ，将此关系代入S △MON 并化简可将S △MON 表示为一个变量的函数，从而利用二次函数求最值.17(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为63，点P 0,2 在椭圆C 上，过点P 的两条直线PA ，PB 分别与椭圆C 交于另一点A ，B ，且直线PA ，PB ，AB 的斜率满足k PA +k PB =4k AB k AB ≠0 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)证明直线AB 过定点；(3)椭圆C 的焦点分别为F 1，F 2，求凸四边形F 1AF 2B 面积的取值范围．【答案】(1)x 212+y 24=1(2)证明见解析(3)24611,82 【详解】(1)由题设得b =2ca =63a 2=b 2+c 2，解得a 2=12，所以C 的方程为x 212+y 24=1；(2)由题意可设l AB :y =kx +m (m ≠2)，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y =kx +mx 212+y 24=1，整理得1+3k 2 x 2+6kmx +3m 2-12=0，Δ=36k 2m 2-41+3k 2 3m 2-12 =1212k 2-m 2+4 >0．由韦达定理得x 1x 2=3m 2-121+3k 2，x 1+x 2=-6mk1+3k 2，由k PA +k PB =4k AB 得y 1-2x 1+y 2-2x 2=4k ，即kx 1+m -2x 1+kx 2+m -2x 2=4k ，整理得2mk (m -2)=24-m 2 k ，因为k ≠0，得m 2-m -2=0，解得m =2或m =-1，m =2时，直线AB 过定点P (0,2)，不合题意，舍去；m =-1时，满足Δ=364k 2+1 >0，所以直线AB 过定点(0,-1)．(3))由(2)得直线l AB :y =kx -1，所以x =1k(y +1)，由x =1k (y +1)x 212+y 24=1，整理得1k 2+3y 2+2k 2y +1k 2-12=0，Δ=361k2+4>0，由题意得S F 1AF 2B =12F 1F 2 y1-y 2=22y 1-y 2 =1221k 2+41k 2+3，因为k AF 2=122，所以k 2>18，所以0<1k2<8，令t =1k 2+4，t ∈(2,23)，所以S F 1AF 2B =122t t 2-1=1221t -1t，在t ∈(2,23)上单调递减，所以S F 1AF 2B 的范围是24611,82．18(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)如图，D 为圆O ：x 2+y 2=1上一动点，过点D 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，连接BA 并延长至点W ，使得WA =1，点W 的轨迹记为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若过点K -2,0 的两条直线l 1，l 2分别交曲线C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点；于P ，Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得∠ORP +∠ORQ =π2？若存在，求出点R 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析，-65,0 (3)存在，R (0,±2)【详解】(1)设W x ,y ，D (x 0,y 0)，则A (x 0,0),B (0,y 0)，由题意知AB =1，所以WA =AB ，得(x 0-x ,-y )=(-x 0,y 0)，所以x 0=x2y 0=-y，因为x 2+y 20=1，得x 24+y 2=1，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意可知，直线l 1,l 2不平行坐标轴，则可设l 1的方程为：x =my -2，此时直线l 2的方程为x =-1my -2．由x =my -2x 24+y 2=1，消去x 得：(m 2+4)y 2-4my =0，解得：y =4m m 2+4或y =0(舍去)，所以x =m ⋅4m m 2+4-2=2m 2-8m 2+4，所以M 2m 2-8m 2+4,4m m 2+4 ，同理可得：N 2-8m 24m 2+1,-4m4m 2+1．当m ≠±1时，直线MN 的斜率存在，k MN =4mm 2+4+4m 4m 2+12m 2-8m 2+4-2-8m 24m 2+1=4m (5m 2+5)16m 4-16=5m 4m 2-4，则直线MN 的方程为y =5m 4m 2-4x +65，所以直线MN 过定点-65,0 ．当m =±1时，直线MN 斜率不存在，此时直线MN 方程为：x =-65，也过定点-65,0 ，综上所述：直线MN 过定点-65,0 ．(3)假设存在点R 使得∠ORP +∠ORQ =π2，设R 0,t ，因为∠ORP +∠ORQ =π2，所以∠ORQ =∠OPR ，即tan ∠ORQ =tan ∠OPR ，所以|OQ ||OR |=|OR ||OP |，所以|OR |2=|OP |⋅|OQ |，直线x =x 0与曲线C 交于不同的两点G 、H ，易知G 、H 关于x 轴对称，设G (x 0,y 0),H (x 0,-y 0)(y 0≠±1,y 0≠0)，易知点S 0,1，直线SG 方程是y =y 0-1x 0x +1，令y =0得点P 横坐标x P =-x 0y 0-1，直线SH 方程是y =y 0+1-x 0x +1，令y =0得点Q 横坐标x Q =x 0y 0+1，由|OR |2=|OP |⋅|OQ |，得t 2=x 20|y 20-1|，又G (x 0,y 0)在椭圆上，所以x 204+y 20=1，所以t 2=4，解得t =±2，所以存在点R (0,±2)，使得∠ORP +∠ORQ =π2成立．19(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，且点1,-32在椭圆上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点(-1,0)与椭圆交于M ,N 两点，椭圆C 的左、右顶点分别为A ,B ，直线BN 的斜率为k 1，直线AM 的斜率为k 2，求证：k 21+k 22k 1⋅k 2为定值．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【详解】(1)由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且点1,-32 在椭圆上，可得c a =12，所以b 2a 2=1-c 2a 2=1-12 2=34，又点1,-32 在该椭圆上，所以1a 2+94b 2=1，所以a 2=4，b 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)证明：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由于该直线斜率不为0，可设L MN ：x =my -1，联立方程x =my -1和x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2-6my -9=0，Δ>0恒成立，根据韦达定理可知，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1·y 2=-93m 2+4,my 1·y 2=-32y 1+y 2 ，k 1=y 2x -2,k 2=y 1x +2，k 2k 1=y 1(x 2-2)(x 1+2)y 2=y 1(my 2-3)(my 1+1)y 2=my 1y 2-3y 1my 1y 2+y 2，∴k 2k 1=-32(y 1+y 2)-3y 1-32(y 1+y 2)+y 2=3，∴k 21+k 22k 1∙k 2=k 1k 2+k 2k 1=103．20(2024·吉林延边·统考一模)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点为F 2，上顶点为H ，O 为坐标原点，∠OHF 2=30°，点1,32在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设经过点F 2且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点P -2,0 ，Q 2,0 ．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记△MPQ ，△NPQ 的面积分别为S △MPQ ，S △NPQ ，求S △MPQS △NPQ的值．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)13【详解】(1)由∠OHF 2=30°，得b =3c (c 为半焦距)，∵点1,32 在椭圆E 上，则1a 2+94b2=1．又a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =3，c =1．∴椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)由(1)知F 21,0 ．设直线l :x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由x =my +1x 24+y 23=1消去x ，得3m 2+4 y 2+6my -9=0．显然Δ=144m 2+1 >0．则y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4．∴my 1y 2=32y 1+y 2 ．由P -2,0 ，Q 2,0 ，得直线AP 的斜率k 1=y 1x 1+2，直线BQ 的斜率k 2=y 2x 2-2．又k 1 =OM OP ，k 2 =ON OQ，OP =OQ =2，∴OMON =k 1k 2 ．∴S △MPQ S △NPQ =12PQ⋅OM 12PQ⋅ON =OM ON =k 1 k 2 ．∵k 1k 2=y 1x 2-2 x 1+2 y 2=y 1my 2-1 my 1+3 y 2=my 1y 2-y 1my 1y 2+3y 2=32y 1+y 2 -y 132y 1+y 2 +3y 2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13．∴S △MPQ S△NPQ=13．21(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点为F 2,0 ，点2,3 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 的两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A ,B 两点和P ,Q 两点，设AB ,PQ 的中点分别为M ,N ，求△FMN 面积的最大值．【答案】(1)x 28+y 24=1(2)49【详解】(1)由题意知c =2．又a 2=b 2+c 2，所以a 2=b 2+4．把点2,3 代入椭圆方程，得2b 2+4+3b2=1，解得b 2=4．故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．(2)由题意知直线AB ,PQ 的斜率均存在且不为零．设直线AB 的方程为y =k x -2 k ≠0 ，且A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．由y =k x -2x 28+y 24=1消去y ，得1+2k 2 x 2-8k 2x +8k 2-8=0．所以x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2-81+2k 2．而y 1+y 2=k x 1-2 +k x 2-2 =k x 1+x 2 -4k =-4k1+2k 2，所以M 4k 21+2k 2,-2k 1+2k 2 ．同理得N 42+k 2,2k 2+k 2．若4k 21+2k 2=42+k 2，则k =±1，此时直线MN 的斜率不存在，可得直线MN :x =43．此时MN =43，所以S △FMN =12×43×23=49；若k ≠±1，则直线MN 的斜率为-2k1+2k 2-2k 2+k 24k 21+2k 2-42+k 2=3k21-k 2，可得直线MN ：y +2k 1+2k 2=3k 21-k 2 x -4k 21+2k 2．化简，得y =3k 21-k 2x -43 ．所以直线MN 过定点T 43,0 ．所以S △FMN =S △FTM +S △FTN =12×23×-2k 1+2k 2 +12×23×2k2+k 2=13×2k 1+2k 2+13×2k 2+k 2=13×2k 3+3k 21+2k 2 2+k 2 =2k 1+k 22k 4+5k 2+2=2k +1k 2k 2+1k2 +5．令t =k +1k∈2,+∞ ，则S △FMN =f t =2t 2t 2-2 +5=2t2t 2+1．因为f t =21-2t22t2+12<0，所以f t 在t∈2,+∞上单调递减．所以f t <f2 =49，即S△FMN<49.综上，S△FMN≤4 9 .所以当k=±1时，△FMN的面积取得最大值4 9．【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，定点问题，最值问题；意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，分类讨论的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，是解题的关键，此方法是考查的重点，需要熟练掌握.22(2024·山西晋城·统考一模)已知椭圆P:x26+y22=1的焦点是椭圆E的顶点，椭圆Q:x26+y29=1的焦点也是E的顶点．(1)求E的方程；(2)若F x0,y0，C，D三点均在E上，且CF⊥DF，直线CF，DF，CD的斜率均存在，证明：直线CD过定点(用x0，y0表示)．【答案】(1)x24+y23=1(2)过定点x07,-y07,证明见解析.【详解】(1)因为6-2=2，所以P的焦点为(-2,0)，(2,0)，因为9-6=3，所以Q的焦点为(0,-3)，(0,3)，所以可设E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则a=2，b=3，故E的方程为x24+y23=1．(2)证明：设C x1,y1，D x2,y2，直线CD:y=kx+m．k FC=y1-y0x1-x0，k FD=y2-y0x2-x0．因为CF⊥DF，所以k CF⋅k FD=-1，即x1-x0x2-x0+y1-y0y2-y0=0，即x1x2-x0x1+x2+x20+y1y2-y0y1+y2+y20=0①，将y=kx+m代入E的方程，得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，则Δ=483+4k2-m2>0，x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，y1+y2=k x1+x2+2m=6m3+4k2，y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+km x1+x2+m2=-12k2+3m23+4k2，将以上4个式子代入①，得x20-x0⋅-8km3+4k2+4m2-123+4k2+y20-y0⋅6m3+4k2+-12k2+3m23+4k2=0，即4kx0+m2+34x20-3+3y0-m2+4k2y203-4k2=0②，34y20代入②得4kx 0+m +y 0 kx 0+m -y 0 =3kx 0+m -y 0 kx 0-m +y 0 ，即kx 0+m -y 0 kx 0+7m +y 0 =0，因为CF ⊥DF ，所以F 不在直线CD 上，则kx 0+m -y 0≠0，则m =-y 0+kx 07，所以直线CD :y =k x -x 07 -y 07过定点x 07,-y 07 .【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，将韦达定理代入表达式化简为4kx 0+m 2+34x 20-3 +3y 0-m 2+4k 2y 203-4k 2 =0并利用点在椭圆上进一步化简是本题关键.23(2024·浙江·校联考一模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1,F 2，点P x 0,y 0 为椭圆C 上异于顶点的一动点，∠F 1PF 2的角平分线分别交x 轴、y 轴于点M 、N ．(1)若x 0=12，求PF 1 ；(2)求证：PM PN为定值；(3)当△F 1PN 面积取到最大值时，求点P 的横坐标x 0．【答案】(1)PF 1 =94(2)证明见解析(3)x 0=3-1【详解】(1)由已知得F 1-1,0 ，x 204+y 203=1⇒y 20=3-3x 204则PF 1 =x 0+1 2+y 20=2+12x 0．所以当x 0=12时，PF 1 =94；(2)设M m ,0 ，在△F 1PF 2中，PM 是∠F 1PF 2的角平分线，所以PF 1 PF 2=MF 1 MF 2，由(1)知PF 1 =2+12x 0，同理PF 2 =x 0-1 2+y 20=2-12x 0，即2+12x 02-1x =m +11-m ，解得m =14x 0，所以M 14x 0,0 ，过P 作PH ⊥x 轴于H ．所以PM PN=MH OH=34．(3)记△F 1PN 面积的面积为S ，由(1)可得，S =12F 1M ⋅y 0+13y 0 =16x 0+4 344-x 20 =312x 0+4 4-x 20，其中x 0∈-2,0 ∪0,2 ，则S =-364-x 2x 20+2x 0-2 ，当x 0∈-2,0 ∪0,3-1 时，S >0,S 单调递增；当x 0∈3-1,2 时，S <0,S 单调递减．所以当x 0=3-1时，S 最大．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用导函数求解面积表达式的最值，注意函数的定义域.24(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知如图，点B 1,B 2为椭圆C 的短轴的两个端点，且B 2的坐标为0,1 ，椭圆C 的离心率为22.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 不经过椭圆C 的中心，且分别交椭圆C 与直线y =-1于不同的三点D ,E ,P (点E 在线段DP 上)，直线PO 分别交直线DB 2,EB 2于点M ,N .求证：四边形B 1MB 2N 为平行四边形.【答案】(1)x 22+y 2=1(2)证明见解析【详解】(1)由题知b =1,c a =22,a 2=b 2+c 2. 解得a 2=2,b 2=1.故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)方法一：显然直线l 不能水平，故设直线l 方程为x =k y +t t ≠0 ，设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,N x N ,y N ,M x M ,y M ，由x =k y +t ,x 22+y 2=1得k 2+2 y 2+2k t y +t 2-2=0，令Δ>0得，k 2-t 2+2>0.所以y 1+y 2=-2k t k 2+2,y 1y 2=t 2-2k 2+2，令y =-1，得P t -k ,-1 .故直线PO 方程为y =1k-tx ，直线DB 方程为y =y 1-1x +1.由y =1k -txy =y 1-1x 1x +1 得x M =k -tx 1x 1+k -t 1-y 1=k -tx 1k +t y 1，将x M 中x 1,y 1换成x 2,y 2得x N =k-tx 2k +t y 2.∴x M +x N =k-tx 1k +t y 1+k-tx 2k +t y 2=k-tx 1k +t y 2 +x 2k +t y 1k +t y 1 k +ty 2，∵x 1k +t y 2 +x 2k +t y 1 =k x 1+x 2 +t x 1y 2+x 2y 1 =k k y 1+t +k y 2+t +t k y 1+t y 2+k y 2+t y 1 =k 2+t 2y 1+y 2 +2k ty 1y 2+1 =-2k t k 2+t 2 +2k t k 2+t 2k 2+2=0,∴O 为线段MN 中点，又O 为B 1B 1中点，∴四边形B 1MB 2N 为平行四边形.方法二：设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,M x M ,y M ,N x N ,y N .直线B 2D 方程为y =y 1-1x 1x +1，当直线l 的斜率不存在时，设l 方程为x =x 0x 0≠0 ，此时P x 0,-1 ，直线PO 方程的为y =-1x 0x ，由y =-1x 0xy =y 1-1x 0x +1得x M=-x 0y 1，同理x N =-x 0y 2,∵y 1=-y 2∴x M +x N =0，当直线l 斜率存在时，设l 方程为y =kx +t t ≠0 ，由y =kx +t ,x22+y 2=1 得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-2=0.令Δ>0得，1+2k 2-t 2>0.由韦达定理得x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-21+2k 2.将y =-1代入y =kx +t 得P -1-tk,-1 ∴直线PO 的方程为y =kt +1x 由y =y 1-1x 1x +1y =k t +1x得x M=-x 11+t y 1-1 1+t -kx 1=-x 11+t ktx 1+t 2-1同理可得x N =-x 21+tktx 2+t 2-1.∴x M +x N =-t +1 x 1ktx 1+t 2-1+x 2ktx 2+t 2-1=-t +12ktx 1x 2+t 2-1 x 1+x 2ktx 1+t 2-1 ktx 2+t 2-1∵2ktx 1x 2+t 2-1 x 1+x 2 =2kt 2t 2-2 +t 2-1 -4kt=0，∴x M +x N =0，综上所述，x M +x N =0,∴O 为线段MN 中点，又O 为B 1B 1中点，∴四边形B 1MB 2N 为平行四边形.【点睛】关键点点睛：证明四边形B 1MB 2N 为平行四边形的方法用对角线相互平分得到.25(2024·河北·校联考一模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为12，经过点F 1且倾斜角为θ0<θ<π2的直线l 与椭圆交于A 、B 两点(其中点A 在x 轴上方)，△ABF 2的周长为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面(平面AF 1F 2)与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面(平面BF 1F 2)互相垂直．①若θ=π3，求异面直线AF 1和BF 2所成角的余弦值；②是否存在θ0<θ<π2 ，使得折叠后△ABF 2的周长为152？若存在，求tan θ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)①1328；②存在；tan θ=33514．【详解】解：(1)由椭圆的定义知：AF 1 +AF 2 =2a ,BF 1 +BF 2 =2a ，所以△ABF 2的周长L =4a =8，所以a =2，又椭圆离心率为12，所以c a =12，所以c =1，b 2=a 2-c 2=3，由题意，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)①由直线l ：y -0=3x +1 与x 24+y 23=1，联立求得A 0,3 ，(因为点A 在x 轴上方)以及B -85,-353 ，再以O 为坐标原点，折叠后原y 轴负半轴，原x 轴，原y 轴正半轴所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则F 10,-1,0 ，A 0,0,3 ，B 353,-85,0，F 20,1,0 ，F 1A =0,1,3 ，BF 2 =-353,135,0 ．记异面直线AF 1和BF 2所成角为φ，则cos φ=cos <F 1A ,BF 2 > =F 1A ⋅BF2 F 1A BF 2=1328；②设折叠前A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，折叠后A ，B 在新图形中对应点记为A ′，B ′，A ′x 1,y 1,0 ，B ′x 2,0,-y 2 ，由A ′F 2 +B ′F 2 +A ′B ′ =152，AF 2 +BF 2 +|AB |=8，故AB -A ′B ′ =12，将直线l 方程与椭圆方程联立my =x +1x 24+y 23=1，得3m 2+4 y 2-6my -9=0，y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系(原x 轴仍然为x 轴，原y 轴正半轴为y 轴，原y 轴负半轴为z 轴)；A ′B ′ =x 1-x 22+y 12+y 22，AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2，所以AB -A ′B ′ =x 1-x 22+y 1-y 2 2-x 1-x 22+y 21+y 22=12，(i )又-2y 1y 2x 1-x 22+y 1-y 2 2+x 1-x 22+y 21+y 22=12，所以x 1-x 1 2+y 1-y 2 2+x 1-x 2 2+y 21+y 21=-4y 1y 2，(ii )由(i )(ii )可得x 1-x 22+y 1-y 2 2=14-2y 1y 2，因为x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=1+m 2 y 1-y 2 2=14-2y 1y 2 2，所以1+m 26m 3m 2+42+363m 2+4=14+183m 2+42，即1441+m3m 2+42=14+183m 2+42，所以12+12m 23m 2+4=14+183m 2+4，解得m 2=2845，因为0<θ<π2，所以tan θ=1m =33514．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是根据折叠前、后三角形△ABF 2周长的变化，得到AB -A ′B ′ =12，进而根据两点间的距离公式及韦达定理进行求解.题型03 双曲线26(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1-22,0 ,F 222,0 ，且满足条件p ，可以解得双曲线C 的方程为x 2-y 2=4，则条件p 可以是()A.实轴长为4B.双曲线C 为等轴双曲线C.离心率为22D.渐近线方程为y =±x【答案】ABD【详解】设该双曲线标准方程为x 2a 2-y 2b2=1，则c =2 2.对于A 选项，若实轴长为4，则a =2，∴b 2=c 2-a 2=4，符合题意；对于B 选项，若该双曲线为等轴双曲线，则a =b ，又c =22，a 2+b 2=c 2=8，可解得a 2=b 2=4，符合题意；对于C 选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D 选项，若渐近线方程为y =±x ，则a =b ，结合a 2+b 2=c 2=8，可解得a 2=b 2=4，符合题意，故选：ABD .27(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知A 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点，O 为坐标原点，B ,C 为双曲线E 上两点，且AB +AC =2AO ，直线AB ,AC 的斜率分别为2和14，则双曲线E 的离心率为()A.2B.52C.62D.2【答案】C【详解】A a ,0 ，设B x 0,y 0 ,C -x 0,-y 0 ，则x 20a 2-y 20b2=1，则k AB =y 0x 0-a =2,k AC =y 0x 0+a =14，k AB ⋅k AC =y 20x 20-a 2=b 2x 20a2-1 x 20-a 2=b 2a 2=14×2=12，∴e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b a 2=1+12=62.故选：C【点睛】求解双曲线离心率有关的问题，可以利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得a 和c ，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得a 2,c 2或a 2,b 2的等量关系式，由此来求得离心率.28(2024·云南曲靖·统考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 ，过其右焦点F 作一条直线分别交两条渐近线于A ,B 两点，若A 为线段BF 的中点，且OA ⊥BF ，则双曲线C 的渐近线方程为()A.y =±2xB.y =±3xC.y =±5xD.y =±12x【答案】B【详解】由题设作出图形，双曲线渐近线为y =±b a x ，F (c ,0)，则直线BF :y =-ab (x -c )，故y =-a b(x -c )y =-b a x，可得x =a 2c a 2-b 2，故y =-abc a 2-b 2，即B a 2c a 2-b 2,-abca 2-b2，又三角形BOF 为等腰三角形，所以|OB |2=a 2ca 2-b22+abc a 2-b22=c 2，则a 4+a 2b 2=(a 2-b 2)2，整理得b 2a 2=3⇒ba =3，即双曲线C 的渐近线方程为y =±3x .故选：B29(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右顶点分别为A 1,A 2,F 为C 的右焦点，C 的离心率为2，若P 为C 右支上一点，PF ⊥FA 2，记∠A 1PA 2=θ0<θ<π2，则tan θ=()【答案】A【详解】设C 的焦距为2c ，点P x 0,y 0 ，由C 的离心率为2可知c =2a ,b =3a ，因为PF ⊥FA 2，所以x 0=c ，将P c ,y 0 代入C 的方程得c 2a 2-y 20b 2=1，即y 0 =3b ，所以tan ∠PA 2F =3b c -a =3,tan ∠PA 1F =3bc --a=1，故tan θ=tan ∠PA 2F -∠PA 1F =3-11+3×1=12．故选:A ．30(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是右支上一点，满足AF 1⊥AF 2，直线AF 2交双曲线于另一点B ，且BF 1 -AF 1 =2a ，则双曲线的离心率为．【答案】102【详解】AF 2 =x ，则AF 1 =2a +x ，又BF 1 -AF 1 =2a ，所以BF 2 =AF 1 =2a +x ，则AB =AF 2 +BF 2 =2a +2x ，BF 1 =2a +AF 1 =4a +x ，又AF 1⊥AF 2，所以三角形AF 1B 为直角三角形，则AF 1 2+AB 2=BF 1 2,即2a +x 2+2a +2x 2=4a +x 2，化为x 2+ax -2a 2=0，解得x =a 或者x =-2a (舍)，此时AF 1 =3a ，在直角三角形AF 1F 2中，AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2,即9a 2+a 2=4c 2，所以c 2a2=e 2=52，所以e =102.故答案为：102.31(2024·浙江·校联考一模)已知A ,B 分别是双曲线C :x 24-y 2=1的左，右顶点，P 是双曲线C 上的一动点，直线PA ，PB 与x =1交于M ,N 两点，△PMN ,△PAB 的外接圆面积分别为S 1,S 2，则S1S 2的最小值为()【答案】A【详解】由已知得，A -2,0 ，B 2,0 ，由双曲线的对称性，不妨设P x ,y 在第一象限，所以k PA =y x +2，k PB =yx -2，所以k PA ⋅k PB =y x +2⋅y x -2=y 2x 2-4=x 24-1x 2-4=14，设直线PA 的方程为：y =k x +2 ,k >0，则直线PB 的方程为：y =14kx -2 ，同时令x =1，则y M =3k ，y N =-14k，所以MN =3k +14k,k >0，设△PMN ,△PAB 的外接圆的半径分别为r 1，r 2，由正弦定理得，2r 1=MNsin ∠MPN=MNsin ∠APB，2r 2=ABsin ∠APB，所以r 1r 2=MN AB =3k +14k 4≥23k ⋅14k 4=34，当且仅当3k =14k，即k =36时取等号，所以S 1S 2=πr 21πr 22=r 1r 22=316.故选：A【点睛】结论点睛：若A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，P 为双曲线上一动点，则直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值.32(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知O 为坐标原点，双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为62，点P x 1,y 1 是C 的右支上异于顶点的一点，过F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足是M ，|MO |=2，若双曲线C 上一点T 满足F 1T ⋅F 2T=5，则点T 到双曲线C 的两条渐近线距离之和为()A.22B.23C.25D.26【答案】A【详解】设半焦距为c ，延长F 2M 交PF 1于点N ，由于PM 是∠F 1PF 2的平分线，F 2M ⊥PM ，所以△NPF 2是等腰三角形，所以PN =PF 2 ，且M 是NF 2的中点.根据双曲线的定义可知PF 1 -PF 2 =2a ，即NF 1 =2a ，由于O 是F 1F 2的中点，所以MO 是△NF 1F 2的中位线，所以MO =12NF 1 =a =2，又双曲线的离心率为62，所以c =3，b =1，所以双曲线C 的方程为x 22-y 2=1.所以F 1(-3,0)，F 2(3,0)，双曲线C 的渐近线方程为x ±2y =0，设T (u ,v )，T 到两渐近线的距离之和为S ，则S =|u +2v |3+|u -2v |3，由F 1T ⋅F 2T=(u -3)(u +3)+v 2=u 2+v 2-3=5，即u 2+v 2=8，又T 在x 22-y 2=1上，则u 22-v 2=1，即u 2-2v 2=2，解得u 2=6，v 2=2，由|u |>2|v |，故S =2u3=22，即距离之和为2 2.故选：A .【点睛】由平面几何知识，PN =PF 2 ，依据双曲线的定义，可将|MO |=2转化为用a 表示，进而的双曲线的标准方程.33(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB =3F 2A，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为()A.7B.5C.3D.2【答案】A【详解】因为CB =3F 2A ，所以△F 1AF 2∽△F 1BC ，设F 1F 2 =2c ，则F 2C =4c ，设AF 1 =t ，则BF 1 =3t ，AB =2t ．因为BF 2平分∠F 1BC ，由角平分线定理可知，BF 1 BC=F 1F 2 F 2C=2c 4c =12，所以BC =2BF 1 =6t ，所以AF 2 =13BC =2t ，由双曲线定义知AF 2 -AF 1 =2a ，即2t -t =2a ，t =2a ，①又由BF 1 -BF 2 =2a 得BF 2 =3t -2a =2t ，所以BF 2 =AB =AF 2 =2t ，即△ABF 2是等边三角形，所以∠F 2BC =∠ABF 2=60°．在△F 1BF 2中，由余弦定理知cos ∠F 1BF 2=BF 12+BF 2 2-F 1F 2 22⋅BF 1 ⋅BF 2，即12=4t 2+9t 2-4c 22⋅2t ⋅3t，化简得7t 2=4c 2，把①代入上式得e =ca =7，所以离心率为7．故选：A ．34(2024·山西晋城·统考一模)双曲线C :x 2-y 2=m 2(m >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P (t ,s )(s ≠0)为C 的右支上一点，分别以线段PF 1，PF 2为直径作圆O 1，圆O 2，线段OO 2与圆O 2相交于点M ，其中O 为坐标原点，则()A.O 1O 2 =3mB.OM =mC.点(t ,0)为圆O 1和圆O 2的另一个交点D.圆O 1与圆O 2有一条公切线的倾斜角为π4【答案】BCD【详解】C 的方程可化为x 2m 2-y 2m2=1，可得a =m ，b =m ，c =2m ．由O 1为PF 1的中点，O 2为PF 2的中点，得O 1O 2 =12F 1F 2 =2m ，A 错误．由O 2为PF 2的中点，O 为F 1F 2的中点，得OO 2 =12PF 1 ，则OM =OO 2 -MO 2 =12PF 1 -PO 2 =12PF 1 -12PF 2 =a =m ，B 正确．设点Q 为圆O 1和圆O 2的另一个交点，连接PQ ，由O 1O 2⎳x 轴，可得O 1O 2⊥PQ ，O 1O 2为△PF 1F 2的中位线，则直线O 1O 2平分线段PQ ，则点Q 必在x 轴上，可得点Q 的坐标为(t ,0)，C 正确．如图，若BD 为圆O 1与圆O 2的一条公切线，B ，D 为切点，连接O 1B ，O 2D ，过点O 2作O 2A ⊥O 1B ，垂足为A ．由O 1O 2 =2m ，O 1A =O 1B -O 2D =12PF 1 -12PF 2 =a =m ，得sin ∠AO 2O 1=AO 1 O 1O 2=m 2m=22，。
高考试题分类汇编数学( 理科)之专题直线与圆( word解析版)
20XX 年高考试题数学（理科）直线与圆一、选择题:1．(20XX 年高考江西卷理科9)若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 A ．(3-，3) B ．(3-，0)∪(0，3) c ．[3-，3] D ．(-∞，3-)∪(3，+∞) 答案：B解析：曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33,00,33 2.(20XX 年高考重庆卷理科8)（8）在圆22260x y x y +--=内，过点()0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（A ）52 （B ）102 （C ）152 （D ）202二、填空题:1.(20XX 年高考安徽卷理科15)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线【命题意图】本题考查直线方程、直线过定点、充分必要条件、存在性问题、命题真假的判定，考查学生分析、判断、转化、解决问题能力，此类问题正确的命题要给出证明，错误的要给出反例，此题综合性较强，难度较大.【答案】①③⑤【解析】①正确，设122y x =+，当x 是整数时，y 是无理数，（x ，y ）必不是整点.②不正确，设k 2，b =2，则直线y 2(1)x -过整点（1,0）.③正确，直线l 经过无穷多个整点，则直线l 必然经过两个不同整点，显然成立；反之成立，设直线l 经过两个整点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则l 的方程为211211()()()()x x y y y y x x --=--，令x =121()x k x x +-（k Z ∈），则x ∈Z ，且y =211()k y y y -+也是整数，故l 经过无穷多个整点.④不正确，由③知直线l 经过无穷多个整点的充要条件是直线经过两个不同的整点,设为111(,)P x y ，222(,)P x y ，则l 的方程为211211()()()()x x y y y y x x --=--，∵直线方程为y kx b =+的形式，∴12x x ≠，∴y =2112212121y y y x y x x x x x x --+--，∴k ，b ∈Q ，反之不成立，如1134y x =+，则334x y =-，若y ∈Z ，则334x y =-∉Z ，即k ，b ∈Q ，得不到y kx b =+经过无穷个整点.⑤正确，直线y 1)x -只过整点（1,0）.2.(20XX 年高考重庆卷理科15)设圆C 位于抛物线22y x =与直线3x =所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半径能取到的最大值为1。
历届高考直线与圆试题汇编
历届高考直线与圆试题汇编专题九：解析几何第二十五讲直线与圆一、选择题1.(2018全国卷Ⅲ) 直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆 (x-2)²+y²=2 上，则ΔABP 面积的取值范围是：A。
[2,6]B。
[4,8]C。
[2,32]D。
[22,32]2.(2018天津) 已知圆 x+y-2x=0 的圆心为 C，直线 y=3-x相交于 A，B 两点，则ΔABC 的面积为：3.(2018北京) 在平面直角坐标系中，记 d 为点P(cosθ,sinθ) 到直线 x-my-2=0 的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为：A。
1B。
2C。
3D。
44.（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C：(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a>b>0) 的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切，则 C 的离心率为：A。
√(3/32)B。
1/√(3/32)C。
√(3/8)D。
1/√(3/8)5.（2017新课标Ⅲ）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上。
若AP=λAB+μAD，则λ+μ 的最大值为：A。
3B。
2√2C。
5D。
26.（2015山东）一条光线从点 (-2,-3) 射出，经 y 轴反射后与圆 (x+3)²+(y-2)²=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为：A。
-2/5 或 5/2B。
-5/2 或 2/5C。
-2/3 或 3/2D。
-3/2 或 2/37.（2015新课标2）已知圆 C1：(x-1)²+y²=1，圆 C2：(x-2)²+y²=4，则圆 C1 与圆 C2 的公共弦所在直线的斜率为：A。
1/3B。
1/2C。
2/3D。
3/48.（2015新课标2）过三点 A(1,3)，B(4,2)，C(1,-7) 的圆交于 y 轴于 M、N 两点，则 MN 的长度为：A。
(完整版)全国高考数学直线与圆的方程试题汇编
全国高考数学试题汇编——直线与圆的方程一、选择题:1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D )A ．1B ．3C ．2D ．52．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的（ C ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90︒，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ）A ．1133y x =-+B ．113y x =-+C ．33y x =-D ．113y x =+解析：本题有新意，审题是关键．旋转90︒则与原直线垂直，故旋转后斜率为13-．再右移1得1(1)3y x =--． 选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．4．(全国I 卷理科10）若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，,则 （ B ）A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 2）,P 2（5,6）的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的 比λ的值为( A ）A ．－13B ．－15C ．15D ．13（重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－13，则点B 分有向线段PA 所成的比是( A ）A ．－32B ．－12C ．12D ．36．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 （ C ）A ．[B ．(C ．[D ．( 7．（辽宁文、理科3)圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是 ( C )A ．(k ∈B ．(,)k ∈-∞⋃+∞C ．(k ∈D ．(,)k ∈-∞⋃+∞8．（陕西文、理科5）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ C )A B ． C ．- D ．-9．（安徽文科11)若A为不等式组0,0,2xyy x⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤表示的平面区域,则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为( C ）A．34B．1C．74D．210．（湖北文科5）在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组,1x yx⎧⎪⎨<⎪⎩≤的点(,)x y的集合用阴影表示为下列图中的（ C ）11．（辽宁文科9）已知变量x、y满足约束条件10,310,10,y xy xy x+-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤≤≥则z＝2x+y的最大值为( B ) A．4 B．2 C．1 D．－412．（北京理科5）若实数x，y满足10x yx yx-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤，则z=3x+y的最小值是（ B ）A．0 B．1 C．3D．9（北京文科6）若实数x，y满足10x yx yx-+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤,则z=x+2y的最小值是（ A ）A．0 B．21C．1 D．213．(福建理科8)若实数x、y满足错误!，则错误!的取值范围是（ C ）A．(0，1) B．（0，1］C．(1，+∞) D．[1，+∞）（福建文科10）若实数x、y满足20,0,2,x yxx-+⎧⎪>⎨⎪⎩≤≤则yx的取值范围是（ D ）A．（0,2）B．（0，2）C．（2,+∞) D．[2,+∞）14．（天津理科2文科3）设变量y x ,满足约束条件0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则目标函数y x z +=5的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．5 （ D ）15．（广东理科4）若变量x 、y 满足24025000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥,则32z x y =+的最大值是（ C ）A ．90B ．80C ．70D ．4016．（湖南理科3）已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则x+y 的最大值是（ C ）A ．2B ．5C ．6D ．8（湖南文科3）已知变量x 、y 满足条件120x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，，，则x +y 是最小值是( C ）A ．4B ．3C ．2D ．117．（全国Ⅱ卷理科5文科6）设变量x ，y 满足约束条件：,22,2y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥则y x z 3-=的最小值为( D ）A ．－2B 。
理科数学高考真题分类汇编 直线与圆答案
c = 5 ，故所求直线的方程为2x + y + 5 = 0 或 2x + y − 5 = 0 ．
8．C【解析】设过 A, B,C 三点的圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ，
D + 3E + F +10 = 0 则 4D + 2E +F +20 = 0 ，解得 D = −2, E = 4, F = −20 ，
专题九 解析几何
第二十五讲 直线与圆
答案部分
2019 年
1.解析 由直线 l 的参数方程消去 t，可得其普通方程为 4x − 3y + 2 = 0 ．
则点（1，0）到直线 l 的距离是 d = 41− 3 0 + 2 = 6 ．故选 D．
42 + (−3)2 5
2.
解析
解法一：由
y=
x+ 4 x
(x
D − 7 E + F + 50 = 0 所求圆的方程为 x2 + y2 − 2x + 4 y − 20 = 0 ，令 x = 0 ，得 y2 + 4 y − 20 = 0 ，
设 M (0, y1) ，N (0, y2 ) ，则 y1 + y 2 = −4 ， y1 y2 = −20 ， 所以 | MN |=| y1 − y2 |= ( y1 + y2 )2 − 4 y1 y2 = 4 6 ． 9．C【解析】圆 C 标准方程为 (x − 2)2 + ( y −1)2 = 4 ，圆心为 C(2,1) ，半径为 r = 2，
2 2 = 1． 22
3．C【解析】由题意可得 d = | cos − msin − 2 | = | msin − cos + 2 |
2024届全国高考数学复习考点好题专项(直线与圆)练习(附答案)
A.x-√3y+3=0
B.x+√3y+3=0
C.√3x-y+3=0
D.√3x+y+3=0
)
7.(多选题)(2023 广东惠州模拟)已知直线 l:kx-y-k=0 与圆 M:x2+y2-4x-2y+1=0,则下列说法正确的是
(
)
A.直线 l 恒过定点(1,0)
B.圆 M 的圆心坐标为(2,1)
2
2
20 20
√2
√2,所以直线
和圆相切.
3.D 答案解析 如图,令直线 l 与圆 C 交于点 A,B,依题意,∠ACB=120°,而圆 C 的圆心 C(2,0),半
径 r=2,∠ABC=30°,因此点 C 到直线 l 的距离 d=rsin 30°=1,于是 d=
|3|
2 2
=1,
整理得 n=±2√2m,
√2
所以直线 l 的斜率 k=- =± .
4
4.C 答案解析 (方法一)由 x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,该方程表示圆心为(2,1),半径为 3
的圆.
设 x-y=u,则 x-y-u=0,且由题意知直线 x-y-u=0 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 有公共点,则
2024 届全国高考数学复习考点好题专项（直线与圆）练习
一、必备知识夯ห้องสมุดไป่ตู้练
1.(2023 浙江温州三模)已知直线 l1:x+y=0,l2:ax+by+1=0,若 l1⊥l2,则 a+b=(
A.-1
B.0
高考数学试题分类汇编——直线与圆
高考数学试题分类汇编直线与圆一． 选择题：1.（全国一10）若直线1x ya b+=与圆221x y +=有公共点，则（ D ）A ．221a b +≤B ．221a b +≥C ．22111a b+≤D ．2211a b+≥12.（全国二3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D ） A ．1B ．3C ．2D ．53.（全国二6）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值为（ D ） A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-4.（安徽卷10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ D ）A ．[3,3]B ．(3,3)C ．33[33-D ．33(,)33-5.（安徽卷11） 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为 ( C )A ．34B ．1C ．74D ．56.（北京卷6）若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2z x y =+的最小值是（ A ）A ．0B ．12C ．1D ．27.（福建卷2）“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的C A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.（福建卷10)若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩则y x 的取值范围是DA.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞)9.（广东卷6）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ C ）A 、10x y ++=B 、10x y +-=C 、10x y -+=D 、10x y --=10.（海南卷10）点P （x ，y ）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是（ B ）A. [0，5]B. [0，10]C. [5，10]D. [5，15]11.（湖北卷5）在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组,1x y x ⎧≤⎪⎨⎪⎩的点(,)x y 的集合用阴影表示为下列图中的C12.（湖南卷3．已条变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥,0,2,1y x y x 则y x +的最小值是( C )A ．4 B.3 C.2 D.113.（辽宁卷3）圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ B ） A ．(22)k ∈-，B ． (33)k ∈-，C ．(2)(2)k ∈--+∞，，∞D ．(3)(3)k ∈--+∞，，∞ 14.（辽宁卷9）已知变量x y ，满足约束条件1031010y x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ B ） A ．4B ．2C ．1D ．4-15.（山东卷11）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ B ）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭16.（陕西卷5）直线30x y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ A ）A 3或3-B ．3-33C ．33-3D ．3-3317.（四川卷6）直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )（Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+（Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+18.（天津卷2）设变量x y ，满足约束条件012 1.x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥则目标函数5z x y =+的最大值为（ D ） A ．2B ．3C ．4D ．519.（浙江卷10）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于C （A ）12 （B ）4π （C ）1 （D ）2π 20.（重庆卷3)曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)的普通方程为C(A)1)1()1(22=++-y x(B)1)1()1(22=+++y x(C) 1)1()1(22=-+-y x(D)1)1()1(22=-++y x二． 填空题：1.（全国一13）若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．92.（福建卷14）若直线3x+4y +m =0与圆x 2+y 2-2x +4y +4=0没有公共点，则实数m 的取值范围是 . (,0)(10,)-∞⋃+∞3.（广东卷12）若变量x ，y 满足240,250,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z =3x +2y 的最大 值是________。
高考数学最新真题专题解析—直线与圆(全国通用)
高考数学最新真题专题解析—直线与圆（全国通用）考向一 求圆的方程【母题来源】2022年高考全国乙卷（理科）【母题题文】过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；【试题解析】解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭； 【命题意图】本题考查圆的一般方程的形式，通过解方程组求一般方程中的系数. 【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为低档题，是历年高考的热点． 常见的命题角度有：（1）直线的方程；（2）圆的方程；（3）直线与圆的位置关系；（4）圆与圆的位置关系. 【得分要点】（1）正确写出圆的一般方程的形式； （2）解方程组；（3）一般式转化为标准式. 考向二 直线与圆的位置关系【母题来源】2022年高考全国甲卷（文科）【母题题文】 若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．【答案】22(1)(1)5x y -++=【试题解析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上， ∴点M 到两点的距离相等且为半径R ， 2222(3)(12)(2)-+-=+-=a a a a R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，5R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径的关系求解.【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空题出现，多为低档题，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）直线的方程；（2）圆的方程；（3）直线与圆的位置关系；（4）圆与圆的位置关系. 【得分要点】（1）正确写出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离；（3）由直线与圆的位置关系确定圆心到直线的距离与半径之间的关系. 真题汇总及解析一、单选题1．（湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二下学期期末数学试题）“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直求出m 的值，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直, 则()()2310m m ⨯++⨯-=，解得：2m =或3m =-，所以“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的充分不必要条件. 故选：B.2．（2022·四川乐山·高一期末）圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的方程是（ ） A ．22(3)16x y -+= B ．22(3)9x y +-= C ．22(3)16x y +-= D ．22(3)9x y -+= 【答案】D 【解析】【分析】先求得圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程. 【详解】圆222440x y x y +-+-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为3 设点(1,2)-关于直线10x y +-=的对称点为(,)m n ，则211121022n m m n +⎧=⎪⎪-⎨+-⎪+-=⎪⎩ ，解之得30m n =⎧⎨=⎩ 则圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的圆心坐标为(3,0) 则该圆的方程为22(3)9x y -+=， 故选：D ．3．（2022·四川成都·模拟预测（文））直线410mx y m 与圆2225x y +=相交，所得弦长为整数，这样的直线有（ ）条 A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【答案】C 【解析】 【分析】求出过定点(4,1)32(5,6)，最长的弦长为直径10，则弦长为6的直线恰有1条，最长的弦长为直径10，也恰有1条，弦长为7，8，9的直线各有2条，即可求出答案. 【详解】直线410mx y m 过定点(4,1)，圆半径为5， 最短弦长为2251732(5,6)，恰有一条，但不是整数；弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去； 最长的弦长为直径10，也恰有1条； 弦长为7，8，9的直线各有2条，共有8条， 故选：C ．4．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知直线(0)y kx k =>与圆()()22:214C x y -+-=相交于A ，B 两点23AB =k ＝（ ） A ．15B ．43C ．12D ．512【答案】B 【解析】 【分析】圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d ，则2211k d k-=+而224312AB d r ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以22111k d k -=+，解方程即可求出答案. 【详解】圆()()22:214C x y -+-=的圆心()2,1C ，2r =所以圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d ，则2211k d k -=+而224312AB d r ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以22111k d k -=+，解得：43k =. 故选：B.5．（2022·全国·模拟预测）直线:3410l x y +-=被圆22:2440C x y x y +---=所截得的弦长为（ ） A ．25B ．4 C ．3D ．22【答案】A 【解析】 【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可. 【详解】由题意圆心()1,2C ，圆C 的半径为3， 故C 到:3410l x y +-=22381234+-=+，故所求弦长为2223225-=故选：A.6．（2022·全国·模拟预测）若圆()()()22140x a y a -+-=>与单位圆恰有三条公切线，则实数a 的值为（ ） A 3B ．2 C ．2D ．23【答案】C 【解析】 【分析】两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系，圆心距12d r r =+. 【详解】由题，两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系（两条外公切线，一条内公切22121a +=+，结合0a >解得22a =故选：C.7．（2022·湖南岳阳·模拟预测）已知点A （2，0），B （0，﹣1），点P 是圆x 2+（y ﹣1）2＝1上任意一点，则PAB △ 面积最大值为（ ） A ．2 B ．45C ．51D ．52【答案】D 【解析】 【分析】结合点到直线距离公式及图形求出圆上点P 到直线AB 距离的最大值，由此可求PAB △面积的最大值.【详解】 由已知=5AB要使PAB △的面积最大，只要点P 到直线AB 的距离最大． 由于AB 的方程为21x y+=-1，即x ﹣2y ﹣2＝0， 圆心（0，1）到直线AB 的距离为d 022455--==， 故P 到直线AB 451， 所以PAB △面积的最大值为()114551=522AB d ⎫⨯⨯+⎪⎪⎝⎭故选：D ．8．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆22:(2)(6)4-+-=C x y ，点M 为直线:80l x y -+=上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形CAMB 周长取最小值时，四边形CAMB 的外接圆方程为（ ）A ．22(7)(1)4-+-=x yB ．22(1)(7)4-+-=x yC ．22(7)(1)2-+-=x yD ．22(1)(7)2-+-=x y【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用切线长定理求出四边形CAMB 周长最小时点M 的坐标即可求解作答. 【详解】圆22:(2)(6)4-+-=C x y 的圆心(2,6)C ，半径2r =，点C 到直线l 的距离22221(1)d ==+-依题意，CA AM ⊥，四边形CAMB 周长2222||2||42424CA AM CM CA d +=+-+-242(22)48=+-=，当且仅当CM l ⊥时取“=”，此时直线:80CM x y +-=，由8080x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得点(0,8)M ，四边形CAMB 的外接圆圆心为线段CM 中点(1,7)222(1)(7)2-+-=x y .故选：D9．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆C 过圆221:42100C x y x y ++--=与圆222:(3)(3)6C x y ++-=的公共点．若圆1C ，2C 的公共弦恰好是圆C 的直径，则圆C的面积为（ ） A ．115πB ．265πC 130πD ．1045π【答案】B【解析】 【分析】根据题意求解圆1C ，2C 的公共弦方程，再计算圆2C 中的公共弦长即可得圆C 的直径，进而求得面积即可 【详解】由题，圆1C ，2C 的公共弦为2242100x y x y ++--=和22(3)(3)6x y ++-=的两式相减，化简可得2110x y -+=，又()23,3C -到2110x y -+=的距离()2232311512d --⨯+==+-，故公共弦长为22262655⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故圆C 265C 的面积为265π故选：B10．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知圆:C 22(1)4x y -+=与抛物线2(0)y ax a =>的准线相切，则=a （ ） A ．18B ．14C ．4D ．8【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切可得124a-=，求解即可． 【详解】因为圆:C 22(1)4x y -+=的圆心为(1,0)，半径为2r =抛物线2(0)y ax a =>的准线为14y a=-，所以124a -=，即18a =， 故选：A.二、填空题11．（2022·江苏南京·模拟预测）已知ABC 中，()30A -,，()3,0B ，点C 在直线3yx 上，ABC 的外接圆圆心为()0,4E ，则直线EC 的方程为______． 【答案】344y x =+ 【解析】 【分析】圆心E 到点B 的距离即为半径，可得到外接圆的方程，联立圆的方程与直线的方程，得到C 点坐标，利用直线方程两点式即可求解. 【详解】因为ABC 的外接圆圆心为()0,4E ，所以ABC 22345+=， 即ABC 的外接圆方程为()22425x y +-=．联立()223425y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得47x y =⎧⎨=⎩，或30x y =-⎧⎨=⎩， 所以()4,7C 或()3,0C -（与A 点重合），舍， 所以直线EC 的方程为747440y x --=--，即344y x =+． 故答案为：344y x =+.12．（2022·天津二中模拟预测）已知圆221:4C x y +=与圆222:860C x y x y m +-++=外切，此时直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长_________． 34【解析】 【分析】将圆2C 的方程写成标准形式，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得m ，接着计算2C 到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果. 【详解】由题可知：221:4C x y +=222:860C x y x y m +-++=，即()()224325-++=-x y m且25025->⇒<m m()()224030225-+--=-m ，解得16m = 所以2:C ()()22439x y -++=2C 到直线的距离为2243211-=+d 2C 的半径为R 则直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长为22129342-=-R d 故答案为： 3413．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））直线:10l x my m +--=被圆O ；223x y +=截得的弦长最短，则实数m =___________.【答案】1 【解析】 【分析】求出直线MN 过定点A （1,1），进而判断点A 在圆内，当OA MN ⊥时，|MN |取最小值，利用两直线斜率之积为-1计算即可. 【详解】直线MN 的方程可化为10x my m +--=，由1110y x -=⎧⎨-=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线MN 过定点A （1，1）， 因为22113+<，即点A 在圆223x y +=内. 当OA MN ⊥时，|MN |取最小值，由1OA MN k k =-，得111m ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，∴1m =， 故答案为：1.14．（2022·上海静安·模拟预测）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆()22:34C x y -+=相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为____________．【答案】22154x y -=【解析】 【分析】根据已知条件得出双曲线的渐近线方程及圆的圆心和半径，进而得出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线与圆相切，得出圆心到渐近线的距离等于半径，结合双曲线中,,a b c 三者之间的关系即可求解. 【详解】由题意可知，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=.由圆C 的方程为()2234x y -+=，得圆心为()3,0C ，半径为2r =.因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为3,0.3c =又因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆()22:34C x y -+=相切，22302b a a b ⨯±⨯=+22c=，解得2b =.所以222945a c b =-=-=,所以该双曲线的标准方程为22154x y -=.故答案为：22154x y -=.15．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知函数()22x xe ef x e -=（其中e是自然对数的底数），若在平面直角坐标系xOy 中，所有满足()()0f a f b +>的点(),a b 都不在圆C 上，则圆C 的方程可以是______（写出满足条件的一个圆的方程即可）．【答案】221x y +=（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，得到()(2)0f x f x +-=，且关于点(1,0)中心对称，得到2a b +>，进而化简得到2x y +≤，即可得到答案. 【详解】由题意，函数222e e ()e e ex x x xf x --==-在R 上单调递增，且()(2)0f x f x +-=， 所以曲线()y f x =关于点(1,0)中心对称，所以()()0f a f b +>，即2a b +>， 在平面直角坐标系xOy 中所有满足()()0f a f b +>，即2a b +>的点(,)a b 都不在圆C 上，所以圆C 上的点都满足2x y +≤，即圆C 在2x y +≤表示的半平面内， 故圆C 可以是以原点为圆心，半径为1的圆，圆C 的方程可以为221x y +=. 故答案为：221x y +=（答案不唯一）.三、解答题16．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知动点(),M x y 是曲线C 上任一点，动点M 到点10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭的距离和到直线14y =-的距离相等，圆M 的方程为()2221x y +-=．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)设1A 、2A 、3A 是C 上的三个点，直线12A A 、13A A 均与圆M 相切，判断直线23A A 与圆M 的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析(2)若直线12A A 、13A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得出曲线C 是以10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线14y =-为准线的抛物线，进而可求得曲线C 的方程；（2）分析可知直线12A A 、13A A 、23A A 的斜率都存在，设()2111,A x x 、()2222,A x x 、()2333,A x x ，其中1x 、2x 、3x 两两互不相等，利用二次方程根与系数的关系以及点到直线的距离公式以及几何法判断可得出结论.(1)解：由题设知，曲线C 上任意到点10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭的距离和到直线14y =-的距离相等，因此，曲线C 是以10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线14y =-为准线的抛物线，故曲线C 的方程为2x y =.(2)解：若直线23A A 的斜率不存在，则直线23A A 与曲线C 只有一个交点，不合乎题意，所以，直线12A A 、13A A 、23A A 的斜率都存在，设()2111,A x x 、()2222,A x x 、()2333,A x x ，则1x 、2x 、3x 两两互不相等，则1222121212A Ax x k x x x x -==+-，同理1313A A k x x =+，2323A A k x x =+， 所以直线12A A 方程为()()21121y x x x x x -=+-，整理得()12120x x x y x x +--=，同理可知直线13A A 的方程为()13130x x x y x x +--=， 因为直线12A A 与圆M ()12212211x x x x +=++，整理可得()222121211230x x x x x -++-=，同理可得()222131311230x x x x x -++-=，所以2x 、3x 为方程()2221111230x x x x x -++-=的两根，则11x ≠±，所以，1232121x x x x +=--，21232131x x x x -=-，圆心M 到直线23A A ()2211221231222123122111321211112111x x x x x x x x x x x x +-+-+-===+++⎛⎫+- ⎪--⎝⎭，所以直线23A A 与圆M 相切. 综上，若直线12A A 、13A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.17．（2022·四川成都·模拟预测（理））点P 为曲线C 上任意一点，直线l ：x ＝－4，过点P 作PQ 与直线l 垂直，垂足为Q ，点()1,0F -，且2PQ PF =． (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上的点()()000,1M x y x ≥作圆()2211x y ++=的两条切线，切线与y 轴交于A ，B ，求△MAB 面积的取值范围．【答案】(1)22143x y +=(2)212S ⎡∈⎢⎣ 【解析】 【分析】（1）设点(),P x y ，通过2PQ PF =得到等式关系，化简求得曲线方程； （2）设切线方程()00y y k x x -=-，通过点到切线的距离，化简成k 的一元二次方程，再韦达定理得出12,k k 与00,x y 的等式关系，再求出||AB 弦长，消去12,k k ，再求面积即可．(1)设(),P x y ，由2PQ PF =，得()2241x x y +=++22143x y +=，所以曲线C 的方程为22143x y +=；(2)设点()00,M x y 的切线方程为()00y y k x x -=-（斜率必存在），圆心为()1,0F -，r ＝1所以()1,0F -到()00y y k x x -=-的距离为：00211k y kx d k-+-==+平方化为()()2220000022110x x k x y k y +-++-=，设P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k则()0012200212x y k k x x ++=+，201220012y k k x x -=+ 因为P A ：()010y y k x x -=-，令x ＝0有010A y y k x =-，同理020B y y k x =-所以()()()()222200000201212120414214A B x y x x y AB y y x k k x k k k k +-+-=-=-=+-=又因为22004123y x =-代入上式化简为0062x AB x +=+ 所以3200000006611122222MABx x x S x AB x x x ++=⋅⋅=⋅=++△[]01,2x ∈ 令()3262x x f x x +=+，[]1,2x ∈，求导知()f x 在[]1,2x ∈为增函数，所以2126S ∈⎢⎣．18．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线:24=-l y x ．设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使2=MA MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 【答案】(1)3y =或34120x y +-=(2)120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）求出圆心的坐标，设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求出相应的参数值，即可得出所求切线的方程； （2）设点(),M x y ，由已知可得()2214x y ++=，分析可知圆C 与圆()2214x y ++=有公共点，可得出关于a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.(1)解：联立241y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，即圆心()3,2C ，所以，圆C 的方程为()()22321x y -+-=.若切线的斜率不存在，则切线的方程为0x =，此时直线0x =与圆C 相离，不合乎题意；所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为3y kx =+，即30kx y -+=， 23111+=+k k ，整理可得2430k k +=，解得0k =或34-.故所求切线方程为3y =或334y x =-+，即3y =或34120x y +-=.(2)解：设圆心C 的坐标为(),24a a -，则圆C 的方程为()()22241x a y a -+--=⎡⎤⎣⎦，设点(),M x y ，由2=MA MO 可得()222232x y x y +-+整理可得()2214x y ++=，由题意可知，圆C 与圆()2214x y ++=有公共点，所以，()221233a a ≤+-，即22512805120a a a a ⎧-+≥⎨-≤⎩，解得1205a ≤≤.所以，圆心C 的横坐标a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
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2008年高考数学试题分类汇编直线与圆一．选择题： 1，（上海卷15）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ D ） Ａ．弧AB B ．弧BC C ．弧CD D ．弧DA 2.（全国一10）若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ D ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．22111a b +≥3.（全国二5）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（ D ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-4.（全国二11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ A ）A ．3B ．2C ．13-D ．12- 5.（北京卷5）若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x yz +=的最小值是（ B ）A ．0B ．1CD ．96.（北京卷7）过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ C ） A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o7.（四川卷４）直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+ 8.（天津卷2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为D（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）59.（安徽卷8）．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ C ）A．[ B．(C．[]33-D．(33-10.（山东卷11）已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为B（A ）106 （B ）206 （C ）306 （D ）40611.（山东卷12）设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142,080192y x y x y x ，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是C（A ）[1,3] (B)[2,10] (C)[2,9] (D)[10,9]12.（湖北卷9）过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有C A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条13.（湖南卷3）已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是( C )A.2B.5C.6D.814.（陕西卷50y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ C ）AB．C．-D．-15.（陕西卷10）已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ B ）A ．7B ．5C ．4D ．316.（重庆卷3)圆O 1:0222=-x y x ＋和圆O 2: 0422=-y y x ＋的位置关系是B(A)相离(B)相交(C)外切 (D)内切17.（辽宁卷3）圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ C ） A．(k ∈B．()k ∈-+U ∞，∞ C．(k ∈D．()k ∈--+U ∞，∞二．填空题：1.（天津卷15）已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为__________________．22(1)18x y ++=2.（全国一13）若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．93.（四川卷14）已知直线:40l x y -+=与圆()()22:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最小值为_______。
24.（安徽卷15）若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为745.（江苏卷9）在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程： 。
110x y p a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.11b c -6.（重庆卷15）直线l 与圆04222=+a y x y x －＋＋ (a<3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为 . x-y+1=0 7.（福建卷14)若直线3x+4y+m=0与圆 ⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是 . (,0)(10,)-∞⋃+∞8.（广东卷11）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线 方程是 ．10x y -+=9.（浙江卷17）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于____________。
1 三．解答题： 1．（北京卷19）（本小题共14分）已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=o时，求菱形ABCD 面积的最大值． 解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x =+． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上，所以212640n ∆=-+>，解得n <<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则1232nx x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．所以122ny y +=． 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，． 由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上， 所以3144n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o， 所以AB BC CA ==．所以菱形ABCD的面积2S AC =． 由（Ⅰ）可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=，所以234343(316)433S n n ⎛⎫=-+-<< ⎪ ⎪⎝⎭． 所以当0n =时，菱形ABCD 的面积取得最大值43．2.（江苏卷18）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求： （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论． 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． （Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）； 令()220f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．（Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=令y ＝0 得20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ． 令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=. （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－（b ＋1）＋b ＝0，右边＝0， 所以圆C 必过定点（0，1）． 同理可证圆C 必过定点（－2，1）． 3.（湖北卷19）（本小题满分13分）如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=︒，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于．．．22，求直线l 斜率的取值范围.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）（Ⅰ）解法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝221321)32(2222＝）（+--++＜｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.∴曲线C 的方程为12222=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜ ｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为a by a x (12222=-＞0，b ＞0）.则由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-4113222222b a ba ）（解得a 2=b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12222=-y x(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0. ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠-0)1(64)4(01222φk k k ⇔⎩⎨⎧-±≠331ππk k ∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E （x ，y ），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=k x x kk --=-16,14212,于是｜EF ｜＝2212221221))(1()()(x x k x y x x -+=++-＝.132214)(1222212212kk k x x x x k --⋅+=-+⋅+而原点O 到直线l 的距离d ＝212k+，∴S △DEF =.132213221122121222222kk k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅ 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有 解得.22,022********2≤≤-≤--⇔≥--k k k k k ③综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2). 解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠-0)1(64)4(01222φk k k ⇔⎩⎨⎧-±≠331ππk k ∴k ∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得 ｜x 1-x 2｜=.132214)(22221221kk kx x x x --=-∆=-+ ③当E 、F 在同一去上时（如图1所示），S △OEF ＝;21212121x x OD x x OD S S ODE ODF -⋅=-⋅=-∆∆ 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.+=∆∆ODF OEF S S S △ODE =.21)(212121x x OD x x OD -⋅=+⋅ 综上得S △OEF ＝,2121x x OD -⋅于是 由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =.132222kk --若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥∆OEF S.22,022*******2≤≤-≤-⇔≥--k k k k k 解得 ④综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.。