2012年高考真题理科数学解析汇编：直线与圆

2012年高考真题理科数学解析汇编：直线与圆
一、选择题
1 ．（2012年高考（天津理））设
m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=m x n y ++-与圆
22(1)+(y 1)=1x --相切,则+m n 的取值范围是
（ ）
A
．[1 B
．(,1)-∞∞
C
．[2- D
．(,2)-∞-∞
2 ．（2012年高考（浙江理））设a ∈R,则“a =1”是“直线l 1:ax +2y -1=0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0
平行”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3 ．（2012年高考（重庆理））对任意的实数k,直线y=kx+1与圆222
=+y x
的位置关系一定是
（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交但直线不过圆心
D ．相交且直
线过圆心
4 ．（2012年高考（陕西理））已知圆2
2:40C x
y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则 （ ）
A ．l 与C 相交
B ．l 与
C 相切C ．l 与C 相离
D ．以上三个选项均有可能 5 ．（2012年高考（大纲理））正方形ABCD 的边长为1,点
E 在边AB 上,点
F 在边BC
上,3
7
AE BF ==,动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 （ ）
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
二、填空题
6 ．（2012年高考（天津理））如图,已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的
延长线相交于点D ,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ,与AB 相交于点
F ,=3AF ,=1FB ,3
=
2
EF ,则线段CD 的长为______________.
7 ．（2012年高考（浙江理））定义:曲线C 上的点到直线l
的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线C 1:y =x 2
+a 到直线l :y =x 的距离等于C 2:x 2
+(y +4)
2
=2到直线l :y =x 的距离,则实数a =______________.
8 ．（2012年高考（上海理））若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量,则l 的倾斜角的大小为
__________(结果用反三角函数值表示).
9 ．（2012年高考（山东理））如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在
D
(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于
(2,1)时,OP
的坐标为______________.
10．（2012年高考（江苏））在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线
2y kx =-上
至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是____.
3(7
619(0,74
F ⨯519(,0)73
F ⨯2,)
74⨯3
23(0,)
74F ⨯3(1,)7
2012年高考真题理科数学解析汇编：直线与圆参考答案
一、选择题 1. 【答案】D
【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,重要不等式,一元二次不等式的解法,并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.
【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(
1)+(y 1)=1x -
-相切,∴圆心(1,1)到直线的距离为d ,所以2
1(
)2
m n mn m n +=++≤,设=t m n +, 则
2
1+14
t t ≥,解得(,2)t ∈-∞-∞ . 2.
【答案】A 【解析
】当a =1时,直线l 1:x +2y -1=0与直线l 2:x +2y +4=0显然平行;若直线
l 1与直线l 2平行,则有:2
1
1
a a =
+,解之得:a =1 or a =﹣2.所以为充分不必要条件. 3. 【答案】C
【解析】圆心(0,0)C 到直线10kx y -+=的距离为1
1
d r =
<<=,且圆心(0,0)C 不在该直线上.
法二:直线10kx y -+=恒过定点(0,1),而该点在圆C 内,且圆心不在该直线上,故选C. 【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与圆的位置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用d 与r 的大小为判断.当0d r ≤<时,直线与圆相交,当d r =时,直线与圆相切,当d r >时,直线与圆相离.
4. 解析: 2
2
304330+-⨯=-<,所以点(3,0)P 在圆C 内部,故选A. 5. 答案B
【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用.通过相似三角形,来确定反射后的点的落的位置,结合图像分析反射的次数即可.
【解析】如图,易知3(,0)7E .记点F 为1F ,则13(1,)7
F 由反射角等于入射角知,44173-⨯,得25(,1)73F ⨯
又由531734-⨯⨯得323(0,)74
F ⨯,依此类推,
42(1,)F 、519(,0)F 、619(0,)F 、73(,1)F .由对称性
知,P 点与正方形的边碰撞14次, 可第一次回到E 点.
法二:结合已知中的点E,F 的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到EA 点时,需要碰撞14次即可.
二、填空题
3
【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系,相交弦定理,切割线定理,相似三角形的概念、判定与性质.
【解析】∵=3AF ,=1FB ,3
=2
EF ,由相交弦定理得=AF FB EF FC ⋅⋅,所以=2FC ,又∵BD ∥CE,∴=AF FC AB BD ,4==23AB BD FC AF ⋅⨯=8
3
,设=CD x ,则=4AD x ,再由切割线定理得2
=BD CD AD ⋅,即284=()3x x ⋅,解得4=3x ,故4=3
CD .
7. 【答案】9
4
【解析】C 2:x 2+(y +4) 2
=2,圆心(0,—4),圆心到直线l :y =x 的距离为
:d =
=故曲线C 2到直线l :y =x
的距离为d d r d '=-=另一方面:曲线C 1:y =x 2
+a ,令20y x '==,得:12
x =,曲线C 1:y =x 2
+a 到直线l :y =x 的距离的点为(12,14a +
),94
d a '==
⇒=
. 8. [解析] 方向向量)2,1(=,所以2=l k ,倾斜角α=arctan2.
9. 【解析】因为圆心移动的距离为2,所以劣弧2=PA ,即圆心角
2
=∠P C A
,,
则
2
2π
-
=∠PCA ,所以2c o s
)2
2s i n (-=-=π
PB ,
2
sin )2
2cos(=-=π
CB ,
所
以
2s i n 22-=-=CB x p ,2cos 11-=+=PB y p ,所以)2cos 1,2sin 2(--=OP .
另解1:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为⎩⎨
⎧+=+=θ
θ
sin 1cos 2y x ,且
223,2-==∠πθPCD ,则点P 的坐标为⎪⎩
⎪⎨⎧
-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ,即
)2cos 1,2sin 2(--=OP .
3
【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离
【解析】∵圆C 的方程可化为:()2
241x y -+=,∴圆C 的圆心为(4,0),半径为1. ∵由题意,直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -,以该点为圆心,1为半径的圆与圆
C 有
公共点;
∴存在0x R ∈,使得11AC ≤+成立,即min 2AC ≤. ∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-
,
2≤,解得403
k ≤≤
. ∴k 的最大值是
43
.。