高中数学必修1 第二章 方程与不等式2.1 第1课时
2．1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小．知识点一基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.知识点二重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．预习小测自我检验1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系________．答案T≤40解析“限重40吨”是不超过40吨的意思．2．设M＝x2，N＝2x－1则M与N的大小关系是________．答案M≥N解析因为M－N＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以M≥N.3．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．答案c－2b解析c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)<0.4．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________．答案 2一、用不等式(组)表示不等关系例1《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行，身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.解由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h≤1.5，身高超过1.5米可表示为h>1.5，身高不足1.2米可表示为h<1.2，物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：反思感悟(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等式所联系的量． ②用适当的不等号连接． ③多个不等关系用不等式组表示． (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换跟踪训练1 某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后试卷的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解 提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20(2.5≤x <6.5)．二、作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2；当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2. 延伸探究1．若a >0，b >0，a 5＋b 5与a 3b 2＋a 2b 3的大小关系又如何？ 解 (a 5＋b 5)－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 5－a 3b 2＋b 5－a 2b 3 ＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)． ∵a >0，b >0，∴(a －b )2≥0，a ＋b >0，a 2＋ab ＋b 2>0. ∴a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3.2．对于a n ＋b n ，你能有一个更具一般性的猜想吗？解 若a >0，b >0，n >r ，n ，r ∈N *，则a n ＋b n ≥a r b n －r ＋a n －r b r .反思感悟 比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方式的形式或一些易判断符号的因式积的形式． 跟踪训练2 已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34， 又∵⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，x －1<0， ∴(x －1)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34<0，∴x 3－1<2x 2－2x .重要不等式典例 已知a >0，求证：a ＋1a ≥2.证明 方法一 利用a 2＋b 2≥2ab .∵a >0，∴a ＋1a ＝(a )2＋⎝⎛⎭⎫1a 2≥2a ·1a＝2.方法二 a ＋1a －2＝(a )2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－2＝⎝⎛⎭⎫a －1a 2≥0，∴a ＋1a≥2.[素养提升] 由a ＋1a构建重要不等式的形式，通过逻辑推理进行证明．1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45. 2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人需满足的关系式是( ) A ．5x ＋4y <200 B ．5x ＋4y ≥200 C ．5x ＋4y ＝200 D ．5x ＋4y ≤200答案 D解析 由题意x ，y 满足的不等式关系为500x ＋400y ≤20 000，即5x ＋4y ≤200. 3．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ≥b D ．a ≤b答案 C解析 a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以a ≥b . 4．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________． 答案 x <y解析 x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0，所以x <y . 5．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆，y 辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组为________________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N*解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *，即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.1．知识清单：(1)实际问题，找不等关系，构建不等式(组)． (2)比较大小． (3)重要不等式． 2．方法归纳：作差法．3．常见误区：实际问题中变量的实际意义．1．下列说法正确的是( )A ．某人月收入x 元不高于2 000元可表示为“x <2 000”B ．小明的身高为x ，小华的身高为y ，则小明比小华矮可表示为“x >y ”C ．变量x 不小于a 可表示为“x ≥a ”D ．变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ” 答案 C解析 对于A ，x 应满足x ≤2 000，故A 错误；对于B ，x ，y 应满足x <y ，故B 错误；C 正确；对于D ，y 与a 的关系可表示为“y ≤a ”，故D 错误．2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x (cm)应满足的不等式为( ) A ．4×x0.5≥100B ．4×x0.5≤100 C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100答案 C解析 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5 m ．由题意可得4×x 0.5>100. 3．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关答案 A解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0，∴M >N .4．若y 1＝2x 2－2x ＋1，y 2＝x 2－4x －1，则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1<y 2D ．随x 值变化而变化答案 A5．如图，在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上述的不等关系正确的是( )A ．a >4bB ．(a ＋4)(b ＋4)＝200C.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，(a ＋4)(b ＋4)＝200 D.⎩⎪⎨⎪⎧a >4b ，4ab ＝200 答案 C解析 由题意知a >4b ，根据面积公式可以得到(a ＋4)(b ＋4)＝200，故选C.6．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________.(不用化简)答案 5x －2(19－x )≥80，x ∈N *解析 这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，即5x －2(19－x )≥80，x ∈N *. 7．某商品包装上标有重量500±1克，若用x 表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________． 答案 |x －500|≤1解析 ∵某商品包装上标有重量500±1克， 若用x 表示商品的重量，则－1≤x －500≤1， ∴|x －500|≤1.8．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．答案x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0. ∴x 1＋x2≤12. 9．已知a ，b ∈R ，x ＝a 3－b ，y ＝a 2b －a ，试比较x 与y 的大小． 解 因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2(a －b )＋a －b ＝(a －b )(a 2＋1)， 所以当a >b 时，x －y >0，所以x >y ； 当a ＝b 时，x －y ＝0，所以x ＝y ； 当a <b 时，x －y <0，所以x <y .10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A ，B 含量及成本如下表：若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x ，y 表示混合食物成本c 元，并写出x ，y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ， 又x ＋y ＋z ＝100，∴c ＝400＋7x ＋5y ，由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000及z ＝100－x －y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.11．已知0<a 1<1,0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝N D ．无法确定答案 B解析 ∵0<a 1<1,0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0， ∴M >N ，故选B.12．若0<a 1<a 2，0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12 答案 A解析 令a 1＝0.1，a 2＝0.9；b 1＝0.2，b 2＝0.8.则A 项a 1b 1＋a 2b 2＝0.74；B 项，a 1a 2＋b 1b 2＝0.25；C 项，a 1b 2＋a 2b 1＝0.26，故最大值为A.13．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N *)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N *)．14．若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2________a 1b 2＋a 2b 1.(填“>”“<”“＝”) 答案 >解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1) ＝a 1(b 1－b 2)＋a 2(b 2－b 1) ＝(b 1－b 2)(a 1－a 2)， ∵a 1<a 2，b 1<b 2， ∴b 1－b 2<0，a 1－a 2<0， 即(b 1－b 2)(a 1－a 2)>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.15．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c )，那么P 与Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q 答案 A解析 ∵P －Q ＝a 2＋b 2＋c 2＋3－2(a ＋b ＋c ) ＝a 2－2a ＋1＋b 2－2b ＋1＋c 2－2c ＋1＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2≥0，又∵a ，b ，c 为不全相等的实数，∴等号取不到， ∴P >Q ，故选A.16．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？解 设寝室到教室的路程为s ，步行速度为v 1，跑步速度为v 2，则甲用时t 1＝12s v 1＋12s v 2，乙用时t 2＝2s v 1＋v 2，t 1－t 2＝s 2v 1＋s 2v 2－2sv 1＋v 2＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫v 1＋v 22v 1v 2－2v 1＋v 2＝(v 1＋v 2)2－4v 1v 22v 1v 2(v 1＋v 2)·s ＝(v 1－v 2)2·s2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，∴甲用时多．∴乙先到达教室．。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1第1课时实数大小的比较与不等式课件新人教A版必修第一册
则ቐ28 + 58 ≤ 1 800,
, ∈ ∗ .
探索点二 比较数(式)的大小
【例 2】 若 a=2x2+1,b=x2+2x,c=-x-3,试比较 a,b,c 的
大小.
【解题模型示范】
【跟踪训练】
3.变式练将本例中条件变为 a=(x+5)(x+7),b=(x+6)2,
(2)抓关键词,找到不等关系;
(3)用不等式(组)表示不等关系.
(4)利用不等式(组)表示不等关系时,思维要严密、规范,要
注意不等关系中的等号是否能够取到.
【跟踪训练】
1.雷电的温度大约是 28 000 ℃,比太阳表面温度的
4.5 倍还要高.设太阳表面温度为 t ℃,那么 t 应满足的不等
式是 4.5t<28 000 .
表示它们之间的 不等关系 .含有这些不等号的式子叫做不等式.
2.重要不等式
一般地,∀a,b∈R,有 a2+b2≥ 2ab ,当且仅当 a=b 时,等号成立.
【思考】
根据不等式中文字语言与数学符号之间的关系完成
下表中的内容.
文字语言 大于
数学符号
至多
≤
>
小于
至少
<
≥
文字语言 大于等于 不少于小于等于 不多于
216 m2,靠墙的一边长为 x m,其中的不等关系可用不
等式(组)如何表示?
解:矩形菜园靠墙的一边长为 x
即(14- )m,根据已知,得
-
m,则另一边长为
< ≤ ,
(- ) ≥ .
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
2.1等式性质与不等式性质(第1课时)课件(人教版)
= 3 2 ( − 1) + ( − 1) = (3 2 + 1)( − 1).
由 ≤ 1，得 − 1 ≤ 0，而3 2 + 1 > 0，
∴(3 2 + 1)( − 1) ≤ 0.
键.在变形中，一般变得越彻底，越有利于下一步的判断.其中变形的技能较多，
常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.
【巩固练习2】
（1)已知 ∈ ，比较3 3 与3 2 − + 1的大小.
解(1)：∵3 3 − (3 2 − + 1) = (3 3 − 3 2 ) + ( − 1)
园的面积不小于1102 ，靠墙的一边长为 .试用不等式表示其中的不等关系.
解：由于矩形菜园靠墙的一边长为 ，而墙长为18，∴0 < ≤ 18，
这时菜园的另一条边长为
30−��
2
= 15 − 2 .
因此菜园的面积 = ∙ (5 − 2)，
依题意有 ≥ 110，即 ∙ (5 − 2) ≥ 110.
想一想
设儿童的身高为米，如何利用不等式或不等式组来表示“身高深过1.2 m(含1.2 m)而不超过
1.5 m”、“身高深1.5 m”和“身高不足1.2米”呢？
【提示】
1. 不等关系与不等式
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、
大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不
设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂
线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQ
人教版高中数学B版必修一《第二章 等式与不等式——一元二次方程的解集及其根与系数的关系》课件
一
二
课前篇 自主预习
2.填空
方程 ax2+bx+c=a
x+2������������
2+4������������-������2(a≠0),
4������
(1)当 Δ=b2-4ac>0 时,方程的解集为
-������+
������2-4������������ 2������
,
-������-
������2-4������������ 2������
么可得 x=± ������或 mx+n=± ������,从而通过降次转化为一元一次方程. (2)配方法: 用配方法解一元二次方程的一般步骤是: ①化二次项系数为1:用二次项系数去除方程两边,将方程化为 x2+px+q=0的形式; ②移项:把常数项移至方程右边,将方程化为x2+px=-q的形式; ③配方:方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,使方程左边成 为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数,把方程化为 (x+m)2=n(n≥0)的形式; ④用直接开平方法解变形后的方程.
=
4������������ 4������.
(2)原方程等价于(x-2)(x+1)=0,
∴方程的两根为 x1=2,x2=-1.
x1+x2=1,x1x2=-2.
课前篇 自主预习
-8-
-9-
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
反思感悟 一元二次方程的常见解法 (1)开平方法:如果方程能化成 x2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那
x1+x2= 2������ + 2������
2.1等式性质与不等式性质课件——高中数学人教A版必修第一册
1．若 x∈R，y∈R，则( ) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
解析：选 A.因为 x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋ 1>0，所以 x2＋y2>2xy－1，故选 A.
bc 的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由 ac2>bc2，知 c≠0，故 c2>0，所以 a>b 成立，故②正
确．
③中，a<b，⇒a2>ab，a＜b，⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2，故③
a<0
b<0
正确．故填②③.
(2)证明：因为 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为 c>a，所以 c－a>0，所以 0<c－a<c－b. 上式两边同乘（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又因为 a>b>0，所以c－a a>c－b b.
用不等式(组)表示不等关系
(1)某车工计划在 15 天里加工零件 408 个，最初三天中， 每天加工 24 个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规 定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工 x 个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． (2)用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙 长 18 m，要求菜园的面积不小于 110 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系．
湘教版高中数学必修第一册第2章2-1-1第1课时不等关系与不等式课件
辑推理素养．
必备知识·情境导学探新知
你见过图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车 道只能供小客车行驶，而且小客车的行驶速度v1(单位：km/h，下同) 应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和 货车行驶，而且车的行驶速度
v2应该满足60≤v2≤100．
知识点 基本事实 如果a－b>0，那么a>b； 如果a－b＝0，那么a＝b； 如果a－b<0，那么a<b．反过来也成立．
题号
1
B．v≤120 km/h或d≥10 m
2
C．v≤120 km/h或d<10 m
3
D．v<m/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于
5
10 m，即d≥10 m，故选A．]
4．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5 倍还要 题号
依据 a>b⇔__a_－__b_>_0____；a＝b⇔__a_－__b_＝__0__；a<b⇔__a_－__b_<_0__ 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差__与_0的
结论 大小
体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式a≥b等价于“a不小于b”．
(√ )
(2)若x－2≤0，则x<2．
反思领悟 作差法比较两个实数大小的基本步骤
[跟进训练] 2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
类型3 不等关系的实际应用 【例3】 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说： “如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说： “你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是 一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
高中数学必修一第二章 2.1 第1课时
2．1 等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小．知识点一基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.依据如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？答案作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.知识点二重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．预习小测自我检验1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T 满足关系________．答案T≤40解析“限重40吨”是不超过40吨的意思．2．设M＝x2，N＝2x－1则M与N的大小关系是________．答案M≥N解析因为M－N＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以M≥N.3．如果a>b，那么c－2a与c－2b中较大的是________．答案c－2b解析c－2a－(c－2b)＝2b－2a＝2(b－a)<0.4．已知a，b∈R，若ab＝1，则a2＋b2的最小值是________．答案 2一、用不等式(组)表示不等关系例1《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行，身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.文字表述身高在1.2～1.5米身高超过1.5米身高不足1.2米物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米符号表示解由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．身高在1.2～1.5米可表示为1.2≤h≤1.5，身高超过1.5米可表示为h>1.5，身高不足1.2米可表示为h<1.2，物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：反思感悟(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等式所联系的量． ②用适当的不等号连接． ③多个不等关系用不等式组表示． (2)常见的文字语言与符号语言之间的转换跟踪训练1某套试卷原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后试卷的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解 提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20(2.5≤x <6.5)． 二、作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2. 延伸探究1．若a >0，b >0，a 5＋b 5与a 3b 2＋a 2b 3的大小关系又如何？ 解 (a 5＋b 5)－(a 3b 2＋a 2b 3)＝a 5－a 3b 2＋b 5－a 2b 3＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2) ＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)． ∵a >0，b >0，∴(a －b )2≥0，a ＋b >0，a 2＋ab ＋b 2>0. ∴a 5＋b 5≥a 3b 2＋a 2b 3.2．对于a n ＋b n ，你能有一个更具一般性的猜想吗？解 若a >0，b >0，n >r ，n ，r ∈N *，则a n ＋b n ≥a r b n －r ＋a n －r b r .反思感悟 比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号．作差法比较实数的大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方式的形式或一些易判断符号的因式积的形式． 跟踪训练2 已知x <1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． 解 ∵(x 3－1)－(2x 2－2x )＝x 3－2x 2＋2x －1 ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1)＝x 2(x －1)－(x －1)2＝(x －1)(x 2－x ＋1)＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，x －1<0，∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0，∴x 3－1<2x 2－2x .重要不等式典例 已知a >0，求证：a ＋1a ≥2.证明 方法一 利用a 2＋b 2≥2ab .∵a >0，∴a ＋1a ＝(a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2≥2a ·1a＝2.方法二 a ＋1a －2＝(a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2≥0，∴a ＋1a≥2.[素养提升] 由a ＋1a构建重要不等式的形式，通过逻辑推理进行证明．1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z>45B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y>380，z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x>95，y>380，z>45D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y>380，z>45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45. 2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人需满足的关系式是( ) A ．5x ＋4y <200 B ．5x ＋4y ≥200 C ．5x ＋4y ＝200 D ．5x ＋4y ≤200答案 D解析 由题意x ，y 满足的不等式关系为500x ＋400y ≤20 000，即5x ＋4y ≤200. 3．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ≥b D ．a ≤b 答案 C解析 a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，所以a ≥b . 4．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________． 答案 x <y解析 x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0，所以x <y . 5．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆，y 辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组为________________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N*解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N*，即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N*.1．知识清单：(1)实际问题，找不等关系，构建不等式(组)． (2)比较大小． (3)重要不等式． 2．方法归纳：作差法．3．常见误区：实际问题中变量的实际意义．1．下列说法正确的是( )A ．某人月收入x 元不高于2 000元可表示为“x <2 000”B ．小明的身高为x ，小华的身高为y ，则小明比小华矮可表示为“x >y ”C ．变量x 不小于a 可表示为“x ≥a ”D ．变量y 不超过a 可表示为“y ≥a ” 答案 C解析 对于A ，x 应满足x ≤2 000，故A 错误；对于B ，x ，y 应满足x <y ，故B 错误；C 正确；对于D ，y 与a 的关系可表示为“y ≤a ”，故D 错误． 2．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100m 以外的安全区，导火索的长度x (cm)应满足的不等式为( ) A ．4×x0.5≥100B ．4×x0.5≤100C ．4×x0.5>100D ．4×x0.5<100答案 C解析 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5 m ．由题意可得4×x0.5>100.3．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关答案 A解析 ∵M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0，∴M >N .4．若y 1＝2x 2－2x ＋1，y 2＝x 2－4x －1，则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2 B ．y 1＝y 2C ．y 1<y 2D ．随x 值变化而变化答案 A5．如图，在一个面积为200m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上述的不等关系正确的是( )A ．a >4bB ．(a ＋4)(b ＋4)＝200C.⎩⎪⎨⎪⎧a>4b ，(a ＋4)(b ＋4)＝200D.⎩⎪⎨⎪⎧a>4b ，4ab ＝200答案 C解析 由题意知a >4b ，根据面积公式可以得到(a ＋4)(b ＋4)＝200，故选C.6．某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分．某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：________.(不用化简)答案 5x －2(19－x )≥80，x ∈N *解析 这个学生至少答对x 题，成绩才能不低于80分，即5x －2(19－x )≥80，x ∈N *.7．某商品包装上标有重量500±1克，若用x 表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为________． 答案 |x －500|≤1解析 ∵某商品包装上标有重量500±1克， 若用x 表示商品的重量， 则－1≤x －500≤1， ∴|x －500|≤1.8．若x ∈R ，则x 1＋x2与12的大小关系为________．答案x 1＋x2≤12解析 ∵x 1＋x2－12＝2x －1－x22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0.∴x 1＋x2≤12. 9．已知a ，b ∈R ，x ＝a 3－b ，y ＝a 2b －a ，试比较x 与y 的大小． 解 因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2(a －b )＋a －b ＝(a －b )(a 2＋1)， 所以当a >b 时，x －y >0，所以x >y ； 当a ＝b 时，x －y ＝0，所以x ＝y ； 当a <b 时，x －y <0，所以x <y .10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A ，B 含量及成本如下表：甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg)1194若用甲、乙、丙三种食物各x kg 、y kg 、z kg 配成100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用x ，y 表示混合食物成本c 元，并写出x ，y 所满足的不等关系． 解 依题意得c ＝11x ＋9y ＋4z ， 又x ＋y ＋z ＝100，∴c ＝400＋7x ＋5y ，由⎩⎪⎨⎪⎧600x ＋700y ＋400z ≥56 000，800x ＋400y ＋500z ≥63 000及z ＝100－x －y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130.∴x ，y 所满足的不等关系为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≥160，3x －y ≥130，x ≥0，y ≥0.11．已知0<a 1<1,0<a 2<1，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．无法确定答案 B解析 ∵0<a 1<1,0<a 2<1，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0， ∴M >N ，故选B.12．若0<a 1<a 2，0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12答案 A解析 令a 1＝0.1，a 2＝0.9；b 1＝0.2，b 2＝0.8.则A 项a 1b 1＋a 2b 2＝0.74；B 项，a 1a 2＋b 1b 2＝0.25；C 项，a 1b 2＋a 2b 1＝0.26，故最大值为A.13．一个盒子中红、白、黑三种球分别为x 个、y 个、z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的13，白球与黑球的个数之和至少为55，则用不等式(组)将题中的不等关系表示为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N *)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2≤z ≤x 3，y ＋z ≥55(x ，y ，z ∈N *)．14．若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2________a 1b 2＋a 2b 1.(填“>”“<”“＝”) 答案 >解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1) ＝a 1(b 1－b 2)＋a 2(b 2－b 1) ＝(b 1－b 2)(a 1－a 2)， ∵a 1<a 2，b 1<b 2， ∴b 1－b 2<0，a 1－a 2<0， 即(b 1－b 2)(a 1－a 2)>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.15．已知a ，b ，c 为不全相等的实数，P ＝a 2＋b 2＋c 2＋3，Q ＝2(a ＋b ＋c )，那么P 与Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q答案 A解析 ∵P －Q ＝a 2＋b 2＋c 2＋3－2(a ＋b ＋c ) ＝a 2－2a ＋1＋b 2－2b ＋1＋c 2－2c ＋1 ＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2≥0，又∵a ，b ，c 为不全相等的实数，∴等号取不到， ∴P >Q ，故选A.16．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？解 设寝室到教室的路程为s ，步行速度为v 1，跑步速度为v 2，则甲用时t 1＝12s v1＋12s v2，乙用时t 2＝2s v1＋v2，t 1－t 2＝s 2v1＋s 2v2－2s v1＋v2＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫v1＋v22v1v2－2v1＋v2＝(v 1＋v 2)2－4v 1v 22v 1v 2(v 1＋v 2)·s ＝(v 1－v 2)2·s 2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，∴甲用时多．∴乙先到达教室．。
人教B版高中数学必修第一册精品课件 第2章 等式与不等式 2.2.1 第1课时 不等式的性质
1 ≤ + ≤ 5,
所以,由
不是等价变形,要使能成为等价变形,
⇒
-1 ≤ ≤ 3
-1 ≤ - ≤ 3
只能保持a+b,a-b各为一个整体.
正解:设 3a-2b=m(a+b)+n(a-b),
+ = 3,
则
解得
- = -2,
1
= 2,
5
= 2.
1
5
∴-6≤3a-2b≤14.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防
范?
提示:在1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3中,a,b是通过这两个式子相互制约的变量,而由
此两式推出0≤a≤4,-1≤b≤3后,a,b不再具有彼此的制约关系,而是分别取各自
区间的值,自然就导致了取值范围的扩大.例如:当a=4,b=3时,a+b=7.
形;(3)确定符号;(4)得出结论.
对差的变形可考虑配方或因式分解的方法.
【变式训练1】 设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小.
解:x-y=(m4-m3n)-(n3m-n4)=m3(m-n)-n3(m-n)=(m-n)(m3-n3)
=(m-n)2(m2+mn+n2).
∵m≠n,
a-b<0⇔ a<b ;
a-b=0⇔ a=b ;
a-b>0⇔ a>b .
3.通过比较两式之差的符号来判断两式的大小,这种方法通常称为作差法.
4.已知M=x2-3x+7,N=-x2+x+1,则(
A.M<N
B.M>N
C.M=N
人教A版高中数学必修一课件 《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式(第1课时)
即不等
式的解集的端点值是相应方程的根．
32
【例 3】 已知关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|2<x<3}，求 关于 x 的不等式 cx2＋bx＋a<0 的解集．
[思路点拨]
由给定不等式 的解集形式
→
确定a<0及关于 a，b，c的方程组
→
用a表示b，c
→
代入所求 不等式
→
求解cx2＋bx＋a<0 的解集
25
2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．
[解] 原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0， 化简为(x＋1)(ax－2)≥0. ∵a<0，∴(x＋1)x－2a≤0. 当－2<a<0时，2a≤x≤－1； 当a＝－2时，x＝－1；
26
当a<－2时，－1≤x≤2a. 综上所述，
当－2<a<0时，解集为x2a≤x≤－1
40
已知以 a，b，c 为参数的不等式如 ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他 不等式的解集时，一般遵循：
1根据解集来判断二次项系数的符号； 2根据根与系数的关系把 b，c 用 a 表示出来并代入所要解的不等式； 3约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.
31
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解
2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.1.1等式的性质与方程的解集课件新人教B版必修1
类型二 十字相乘法分解因式 【典例】把下列各式因式分解. (1)x2+3x+2 (2)6x2-7x-5 (3)5x2+6xy-8y2
2.方程x(x-1)=x的根是 ( )
A.x=2
B.x=-2
C.x1=-2，x2=0
D.x1=2，x2=0
【解析】选D.因为x(x-1)=x，所以x2-x=x，
所以x2-2x=0，所以x(x-2)=0，所以x1=2，x2=0.
3.(多选题)下列等式中，是恒等式的是 ( ) A.(x-2)(x+2)=x2-4 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(-3+m)·(3+m)=m2-9 D.16x2-9=24x
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)计算(2a+5)(2a-5)=2a2-25. ( ) (2)因式分解过程为：x2-3xy-4y2=(x+y)(x-4). ( ) (3)用因式分解法解方程时部分过程为： (x+2)(x-3)=6，所以x+2=3或x-3=2. ( )
提示：(1)×.(2a+5)(2a-5)=(2a)2-25=4a2-25. (2)×.x2-3xy-4y2=(x+y)(x-4y). (3)×.若(x+2)(x-3)=0，可化为x+2=0或x-3=0.
2.选B.方法一：(x+3y)2-(3x+y)2 =x2+6xy+9y2-(9x2+6xy+y2) =x2+6xy+9y2-9x2-6xy-y2 =8y2-8x2.
方法二： (x+3y)2-(3x+y)2 =[(x+3y)+(3x+y)][(x+3y)-(3x+y)] =(x+3y+3x+y)(x+3y-3x-y) =(4x+4y)(-2x+2y)=4(x+y)×2(-x+y) =8y2-8x2.