《锐角三角函数》综合测试题
《锐角三角函数》综合测试题一、选择题（每题3分，满分30分）1．若角a 是等腰直角三角形的一个锐角，则a sin 的值是（ ） A ．21B ．22C ．1D ．22．已知α为锐角，且tan （090－α）＝3，则α的度数为（ ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 3．Rt △ABC 中，∠B=900，已知cosA=53，BC=8，则AC 的长为（ ） A ．3 B ．6 C ．10 D ．84．铁路路基横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2：3，顶宽是3米，路基高为4米，则路基的下底宽是（ ）A ．15米B ．12米C ．9米D ．7米5．如图，小颖利用有一个锐角是030的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的眼睛离地面的距离），那么这棵树高是（ ）A ．m )23335(+B ．m )2335(+C ．m 335 D ．4m 6．下列各式中不正确的是（ ）A ．160cos 60sin 022=+ B ．160cos 60sin 0=+C ．055cos 35sin = D ．045sin 45tan >7．如图，在△ABC 中，∠ACB=090，CD ⊥AB 于D ，若AC=32，AB=23，则tan ∠BCD 的值为（ ）A ．2B ．22C ．36D ．338．如图，已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65π2cm ，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则cos θ的值为（ ）A ．125 B ．135第7题图 ACBDθ第8题图第5题图EA BCD 030C ．1310 D ．1312 9．已知32tan =a ，则锐角a 的取值范围是（ ）A ．00＜a ＜030 B ．030＜a ＜045 C ．045＜a ＜060 D ．060＜a ＜090 10．如图，是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成的角∠AMC=030，在教室地面的影长MN=32m ，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1m ，则窗户的上檐到教室地面的距离AC 为（ ）A ．32mB ．3mC ．3.2mD ．233m 二、填空题（每题3分，满分24分）11．如图，∠a 的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则sin a = ．12．在△ABC 中，已知0)21(cos 21sin 2=-+-B A ，则△ABC 按角分属于 三角形．13．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则B cos 的值为 ．14．如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，连接OC ．若OC=5，CD=8，则tan ∠COE= ．15．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE=6，sinA=53，则菱形的周长是 ． 16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=090，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值是 ．17．学校校园内有块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化环境，预计花园每平方米造价30元，学校建这个花园至少需要投资 元．第10题图M NA B C第14题图AO C E DB第15题图AB CDE 第13题图AB C第11题图Aα18．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东060方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东030方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC= 米．（结果用根号表示）三、解答题（满分46分）19．（8分）先化简，再求代数式)2(2ab ab a a b a ———÷的值，其中130tan 30+=a ，045cos 2=b ．20．（8分）如图，在△ABC 中，∠C=090，点D 在BC 上，BD=4，AD=BC ，cos ∠ADC=53． 求：（1）DC 的长；（2）sinB 的值．21．（10分）某大学计划为新生配备如图1所示的折叠椅．图2是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿的长AB 和篷布面的宽AD 各应设计为多少cm ？（结果精确到0.1cm ）22．(10分)如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知6BC =米，9AB =米，中间平台宽度DE 为2米，DM EN ，为平台的两根支柱，DM EN ，垂直于AB ，垂足分别为M N ，，30EAB ∠=，45CDF ∠=．求DM 和BC 的水平距离BM ．（精确到0.1A C BMD第16题图第18题图A B C北P060030A第17题图BCm 300120m 310 第20题图B D CA图1BAOD100º 32 cm图2第21题图米，参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）23．（10分）如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处．（1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h ）．（参考数据：3 1.73≈，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）四、拓展创新题（满分20分）24．（10分）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高．图1为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶()M 的仰角α=35°，在点A 和塔之间选择一点B ，测出看塔顶()M 的仰角β=45°，然后用皮尺量出A 、B 两点间的距离为18.6m ，量出自身的高度为1.6m ．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan35°≈0.7，结果保留整数）．（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为m a （如图2），你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：______________________________； ②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？________________________________．AN MBFCED 第22题图MMNNBAC Dαβ P第24题图 图1图2北东CDB E 60° 76° 第23题图25．（10分）如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=023，量得树干倾斜角∠BAC=038，大树被折断部分和坡面所形成的角∠ADC=060，AD=4m ．（1）求∠CAE 的度数；（2）求这课大树折断前后的高度？（结果精确到个位） （参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4）．参考答案：一、1～5 BACAA ；6～10 BBDBB ． 二、11．54；12．直角；13．22；14．34；15．40；16．33；17．6750；18．3250． 三、19．原式=ba —1，将13+=a ，1=b 代入，原式=33．20．解：（1）设DC=x 3，∵cos ∠ADC=ADDC，∴AD=x x ADC DC 5533cos ==∠． ∴BC=AD=x 5．又∵BD=BC —DC=435=-x x ，解得2=x ，∴DC=x 3=6． （2）在Rt △ACD 中，AD=10，DC=6，∴AC=22DC AD -=8．同理，在Rt △ACB ，求的AB=412．∴在Rt △ACB 中，sinB=414144128==AB AC ． 21．解：连接AC ，BD ．∵OA=OB=OC=OB ，∴四边形ACBD 为矩形． ∵∠DOB=100º, ∴∠ABC=50º． 由已知得AC=32．在Rt △ABC 中，sin ∠ABC=ABAC ，∴AB=ABC AC ∠sin =︒50sin 32≈41.8（cm ）．tan ∠ABC=BC AC ，∴BC=ABC AC ∠tan =︒50tan 32≈26.9 （cm ）．∴AD=BC =26.9（cm ）22．解：设BM=x 米，∵45CDF ∠=，∴CF=DF=x ．又6BC =米，∴EN=BF=BC —CF=6—x ．∵AB=9，ED=2，∴AN=AB —BM —MN=9—x —2=7—x ．在Rt △ANE 中，第25题图B FDE CA3823060tanA=tan 030=AN EN =x x——76=33，解得，x =2311—≈4.6（米）．∴DM 和BC 的水平距离BM 约为4.6米．23．解：（1）设AB 与l 交于点O ，在Rt △AOD 中，∠OAD=060，AD=2，∴OA=060cos AD=4．又AB=10，∴OB=AB —OA=6．在Rt △BOE 中，∠OBE=∠OAD=060，∴BE=060cos ⋅OB =3（Km ）． ∴观察点B 到航线l 的距离为3Km ．（2）在Rt △AOD 中，OD=AD ·060tan =32．在Rt △BOE 中，OE=BE ·060tan =33．∴DE=OD+OE=35．在Rt △CBE 中，∠CBE=076，BE=3，∴CE=BE ·tan ∠CBE=076tan 3．∴CD=CE —DE=076tan 3—35≈3.38．5min=h 121，∴121CD =12CD=12×3.38≈40.6（Km/h ）． 答：该轮船航行的速度约为40.6Km/h ．四、24．解：（1）设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为x cm ，则ME=（6.1-x ）m ．∵045=∠β，∴DE=ME=6.1-x ，∴CE=176.186.1+=+-x x ． ∵035tan tan ==αCE ME ，∴7.0176.1=+-x x ，解得45=x ． ∴太子灵踪塔的高度为45m ．（2）①测角仪、皮尺；②站在P 点看塔顶的仰角、自身的高度．（注：答案不唯一）． 25．解：（1）延长BA 交EF 于点G ．在Rt AGE △中，23E ∠=°，∴67GAE ∠=°． 又∵38BAC ∠=°，∴180673875CAE ∠=--=°°°°． （2）过点A 作AH CD ⊥，垂足为H ． 在ADH △中，604ADC AD ∠==°，，cos DH ADC AD ∠=，∴2DH =．sin AHADC AD∠=，∴AH =． 在Rt ACH △中，180756045C ∠=--=°°°°，∴AC =CH AH ==210AB AC CD =+=≈（米）． 答：这棵大树折断前高约10米．C 60° 38°BDE23°AFHG。
锐角三角函数练习卷(含答案)
锐角三角函数练习卷(含答案)
一、选择题
1. 设角A为锐角，且sin(A) = 0.6，那么A的近似值是多少？- A）36.87°
- B）45°
- C）53.13°
- D）64.04°
答案：C）53.13°
2. 三角函数tan(A)的值是斜边长与________的比值。
- A）对边长
- B）邻边长
- C）斜边长
- D）角A的弧度
答案：B）邻边长
3. 三角函数cot(A)的值是邻边长与________的比值。
- A）对边长
- B）斜边长
- C）角A的弧度
- D）斜边长的倒数
答案：A）对边长
二、填空题
4. 已知角B是锐角，且cos(B) = 0.8，那么角B的近似值是________度。
答案：37°
5. 已知角C是锐角，且tan(C) = 0.5，那么角C的近似值是________度。
答案：26.57°
三、计算题
6. 已知三角形的两边分别为5和12，夹角为60°，求第三边的长度。
答案：13
7. 已知一个角的弧度为π/3，求sin和cos的值。
答案：sin(π/3) = (√3) / 2, cos(π/3) = 1 / 2
四、证明题
请证明：sin^2(A) + cos^2(A) = 1，其中A是任意角。
证明：
由三角恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1可得：
sin^2(A) + cos^2(A) = (1 - cos^2(A)) + cos^2(A) = 1
证毕。
《锐角三角函数》测试卷
锐角三角函数测试题姓名： ___________ 学号： ____________ 班别： ____________ 成绩： __________一、选择题（每题4 分。
共 36 分）1、在 Rt △ABC 中，∠ C=90 °， a = 1 , c = 4 , 则 sinA 的值是()151C 、1D 、15A 、B 、34154、在△ ABC 中， C 90 ，假如tan A 5 ，那么 sin B 的值等于（ ）2 125 12 5 12B 、C 、A 、13D 、513123、 在中，，若，则 的值为（）A. 1B.2C.3 D.2224、如图，为了丈量河两岸 A 、 B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点 C ，测得 AC ＝ a ，∠ ACB＝ ，那么 AB 等于（）AaCA. a sinB. a cosC. a ta nD. a cot5、假如 sin 2α ＋ sin 230°＝１那么锐角 α 的度数是（）Ａ．１５°Ｂ．３０°Ｃ．４５°Ｄ．６０°B第 4题图6、AE 、CF 是锐角△ ABC 的两条高，假如 AE ：CF=3：2，则 sinA ：sinC 等 于（ ）（ A ）3： 2（B ） 2：3（C ）9：4 （ D ）4： 9C7、如图，在△ ABC 中，∠ C = 90 °，∠ B = 50 °， AB = 10 ，则 BC 的长为（）1010tan50 ° B 、 10cos50 ° C 、 10sin50 ° D 、 cos50 °A8、王（第 16题） B英同学从 A 地沿北偏西 60o 方向走 100m 到 B 地，再从 B 地向正南方向 走200m 到 C 地，此时王英同学离 A 地 （ ）（ A ） 50 3 m （ B ）100 m （ C ） 150m（ D ） 100 3 m9、化简 (tan 30 1)2 ＝（）A 、 13B 、 3 1C 、 31D 、313 3二、填空题（每题 4 分，共 20 分） 10、计算： 2sin60 =°.11、某坡面的坡角为 60°，则它的坡比是12、锐角Ａ知足２ｓｉｎ ( Ａ－１５０)＝ 3则∠Ａ＝＿＿＿＿CA DB13、图 7 是引拉线固定电线杆的表示图。
人教中考数学专题《锐角三角函数》综合检测试卷及详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【解析】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．∵四边形AOCD为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DH⊥AB于点F，AB为直径，∴DH=2DF，在Rt△OFD中，sin∠AOD=，∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2．考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．3．如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【解析】试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C （0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定△ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵点C在抛物线C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．②在（I）式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．假设存在满足条件的a值．∵AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，∴OP⊥BC．如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO=，∴，解得：a=．∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+m）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m ． ∴D （﹣m ，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如图2所示，设对称轴与x 轴交于点E ，则DE=3，BE=AB=，OE=OB ﹣BE=﹣m ．∵tan ∠ABD=，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD ，∴△ABD 为等边三角形．作∠ABD 的平分线，交DE 于点P 1，则P 1E=BE•tan30°=×=1，∴P 1（﹣m ，1）；在△ABD 形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P 2、P 3、P 4． 在Rt △BEP 2中，P 2E=BE•tan60°=•=3，∴P 2（﹣m ，﹣3）；易知△ADP 3、△BDP 4均为等边三角形，∴DP 3=DP 4=AB=2，且P 3P 4∥x 轴． ∴P 3（﹣﹣m ，3）、P 4（3﹣m ，3）．综上所述，到△ABD 的三边所在直线的距离相等的所有点有4个， 其坐标为：P 1（﹣m ，1），P 2（﹣m ，﹣3），P 3（﹣﹣m ，3），P 4（3﹣m ，3）．【考点】二次函数综合题．4．在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点()0,0O ，点()3,0A ，点()0,4C，连接OB ，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOCB ，旋转角为()0360αα︒<<︒，得到矩形ADEF ，点,,O C B 的对应点分别为,,D E F . (Ⅰ)如图，当点D 落在对角线OB 上时，求点D 的坐标； (Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下，AB 与DE 交于点H . ①求证BDE DBA ∆≅∆； ②求点H 的坐标.(Ⅲ)α为何值时，FB FA =.(直接写出结果即可).【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472(,)2525；(Ⅱ)①证明见解析；②点H 的坐标为(3，258)；(Ⅲ)60α=︒或300︒. 【解析】 【分析】(Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥，根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长，根据矩形的性质可得AB 、OB 的长，在Rt △OAM 中，利用∠BOA 的余弦求出OM 的长，由旋转的性质可得OA=AD ，利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ，在Rt △ODN 中，利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长，即可得答案；(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA ，根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=，利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ；②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ，BE=AD ，即可证明△BHE ≌△DHA ，可得DH=BH ，设AH=x ，在Rt △ADH 中，利用勾股定理求出x 的值即可得答案；（Ⅲ）如图，过F 作FO ⊥AB ，由性质性质可得∠BAF=α，分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况，根据FB=FA 可得OA=OB ，利用勾股定理求出FO 的长，由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数. 【详解】(Ⅰ)∵点()30A ，，点()04C ，， ∴3,4OA OC ==. ∵四边形OABC 是矩形， ∴AB=OC=4，∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的 ∴3AD AO ==.在Rt OAB ∆中，225OB OA AB +=， 过A D 、分别作B,DN OA AM O ⊥⊥ 在Rt ΔOAM 中，OM OA 3cos BOA OA OB 5∠===， ∴9OM 5=∵AD=OA ，AM ⊥OB ，∴18OD 2OM 5==. 在Rt ΔODN 中：DN 4sin BOA OD 5∠==，cos ∠BOA=ON OD =35， ∴72DN 25=，54ON 25=. ∴点D 的坐标为5472,2525⎛⎫⎪⎝⎭.(Ⅱ)①∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的， ∴OA AD 3,ADE 90,DE AB 4∠===︒==. ∴OD AD =.∴DOA ODA ∠∠=.又∵DOA OBA 90∠∠+=︒，BDH ADO 90∠∠+=︒ ∴ABD BDE ∠∠=.又∵BD BD =， ∴ΔBDE ΔDBA ≅.②由ΔBDE ΔDBA ≅，得BEH DAH ∠∠=，BE AD 3==， 又∵BHE DHA ∠∠=，∴ΔBHE ΔDHA ≅. ∴DH=BH ，设AH x =，则DH BH 4x ==-， 在Rt ΔADH 中，222AH AD DH =+， 即()222x 34x =+-，得25x 8=， ∴25AH 8=. ∴点H 的坐标为253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. (Ⅲ)如图，过F 作FO ⊥AB ， 当0<α≤180°时，∵点B 与点F 是对应点，A 为旋转中心，∴∠BAF为旋转角，即∠BAF=α，AB=AF=4，∵FA=FB，FO⊥AB，∴OA=12AB=2，∴cos∠BAF=OAAF =12，∴∠BAF=60°，即α=60°，当180°<α<360°时，同理解得：∠BAF′=60°，∴旋转角α=360°-60°=300°.综上所述：α60=︒或300︒.【点睛】本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.5．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A关于直线CD的对称点E，设点D运动时间为t（s）．（1）若△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；（2）若△BDE为直角三角形，求t的值；（3）当S△BCE≤92时，所有满足条件的t的取值范围（所有数据请保留准确值，参考数据：tan15°=23【答案】（1）332；（23秒或3秒；（3）6﹣3【解析】【分析】（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由，可得t 的值；（2）分两种情况：①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，根据t的值；②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四边形CAED 是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①当△BCE在BC的下方时，②当△BCE在BC的上方时，分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论．【详解】解：（1）如图1，连接AE，由题意得：AD=t，∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，∴BC=2AC=6，∴∵点A、E关于直线CD的对称，∴CD垂直平分AE，∴AD=DE，∵△BDE是以BE为底的等腰三角形，∴DE=BD，∴AD=BD，∴；（2）△BDE为直角三角形时，分两种情况：①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，∵CD垂直平分AE，∴AD=DE=t，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2t，∴∴②当∠EDB=90°时，如图3，连接CE，∵CD垂直平分AE，∴CE=CA=3，∵∠CAD=∠EDB=90°，∴AC∥ED，∴∠CAG=∠GED，∵AG=EG，∠CGA=∠EGD，∴△AGC≌△EGD，∴AC=DE，∵AC∥ED，∴四边形CAED是平行四边形，∴AD=CE=3，即t=3；综上所述，△BDE为直角三角形时，t的值为3秒或3秒；（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①当△BCE在BC的下方时，过B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，如图4，当AC=BH=3时，此时S△BCE=12AE•BH=12×3×3=92，易得△ACG≌△HBG，∴CG=BG，∴∠ABC=∠BCG=30°，∴∠ACE=60°﹣30°=30°，∵AC=CE，AD=DE，DC=DC，∴△ACD≌△ECD，∴∠ACD=∠DCE=15°，tan∠ACD=tan15°=t3=23，∴t=6﹣3由图形可知：0＜t＜6﹣3时，△BCE的BH越来越小，则面积越来越小，②当△BCE在BC的上方时，如图3，CE=ED=3，且CE⊥ED，此时S△BCE=12CE•DE=12×3×3=92，此时t=3，综上所述，当S△BCE≤92时，t的取值范围是6﹣3．【点睛】本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是⊙C外一点，连接CP交⊙C于点Q，点P关于点Q的对称点为P′，当点P′在线段CQ上时，称点P为⊙C“友好点”．已知A(1，0)，B(0，2)，C(3，3)(1)当⊙O的半径为1时，①点A，B，C中是⊙O“友好点”的是；②已知点M在直线y＝﹣33x+2 上，且点M是⊙O“友好点”，求点M的横坐标m的取值范围；(2)已知点D(23，0)，连接BC，BD，CD，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，半径为1，若在△BCD 上存在一点N，使点N是⊙T“友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围．【答案】(1)①B；②0≤m3(2)﹣3t＜3【解析】【分析】(1))①根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，所以点B是⊙O“友好点”；②设M(m，﹣3m+2 )，根据“友好点”的定义，OM＝223222m m⎛⎫+-+≤⎪⎪⎝⎭，由此求解即可；(2)B(0，2)，C(3，3)，D(23，0)，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，点N是⊙T“友好点”，NT≤2r＝2，所以点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点H．易知∠BDO＝30°，∠OBD＝60°，NT＝3HT，直线BD：y＝﹣3x+2，可知H(t，﹣3t+2)，继而可得NT＝﹣12t+332，由此可得关于t的不等式，解出t的范围即可.【详解】(1)①∵r＝1，∴根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，∴点B是⊙O“友好点”，∵OC＝2233+=32>2r＝2，∴点C不是⊙O“友好点”，A(1，0)在⊙O上，不是⊙O“友好点”，故答案为B；②如图，设M(m 3+2 )，根据“友好点”的定义，∴OM223222m m⎛⎫+-+≤⎪⎪⎝⎭，整理，得2m2﹣3≤0，解得0≤m3∴点M的横坐标m的取值范围：0≤m3；(2)∵B(0，2)，C(3，3)，D30)，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，点N是⊙T“友好点”，∴NT ≤2r ＝2，∴点N 只能在线段BD 上运动，过点T 作TN ⊥BD 于N ，作TH ∥y 轴，与BD 交于点H ．∵tan ∠BDO ＝3323OB OD == ∴∠BDO=30°，∴∠OBD ＝60°，∴∠THN=∠OBD=60°，∴NT ＝HT•sin ∠THN=32HT ， ∵B (0，2)，D 30)，∴直线BD ：y ＝﹣33x +2， ∵H 点BD 上，∵H (t ，﹣33t +2)， ∴HT ＝﹣33t +2﹣(﹣1)＝﹣33t +3， ∴NT 333+3)＝﹣12t 33 ∴﹣12t 33， ∴t ≥﹣3当H 与点D 重合时，点T 的横坐标等于点D 的横坐标，即t ＝3，此时点N 不是“友好点”，∴t ＜3故圆心T 的横坐标t 的取值范围：﹣3t ＜3【点睛】本题是圆的综合题，正确理解“友好点”的意义，熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函数是解题的关键．7．如图，直线y＝1 2 x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣12x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象，直接写出满足12x+2≥﹣12x2+bx+c的x的取值范围；（3）设点D为该抛物线上的一点、连结AD，若∠DAC＝∠CBO，求点D的坐标．【答案】（1）213222y x x=--+；（2）当x≥0或x≤﹣4；（3）D点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【解析】【分析】（1）由直线y＝12x+2求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）观察图象，找出直线在抛物线上方的x的取值范围；（3）如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E，先求出CO＝1，AO＝4，再由∠DAC＝∠CBO，得出tan∠DAC＝tan∠CBO，从而有，DE COAE BO=,最后分类讨论确定点D的坐标．【详解】解：（1）由y＝12x+2可得：当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），把A、B的坐标代入y＝﹣12x2+bx+c得：322bc⎧=-⎪⎨⎪=⎩，，∴抛物线的解析式为：213222y x x=--+（2）当x≥0或x≤﹣4时，12x+2≥﹣12x2+bx+c（3）如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E，由213222y x x=-+令y＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣4，∴CO＝1，AO＝4，设点D的坐标为（m，213222m m--+），∵∠DAC＝∠CBO，∴tan∠DAC＝tan∠CBO，∴在Rt△ADE和Rt△BOC中有DE COAE BO=，当D在x轴上方时，213212242--+=+m mm解得：m1＝0，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D的坐标为（0，2）．当D在x轴下方时，213(2)12242---+=+m mm解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D的坐标为（2，﹣3），故满足条件的D点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式．解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类讨论是第（3）题的难点．8．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：y＝13x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．①当点F1移动到点B时，求t的值；②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-43x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，1010=10；②F点移动到F'10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，t=4，S=12×(12+454)×11=10238；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，PKF K'=13，PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PKKG'＝31539tt--+＝43，t=7，S=15×（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），∴30040k bb+=⎧⎨=⎩，∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y＝﹣43x+40，直线AB 与直线DE 的交点P （21，12），由题意知F （30，15），∴EF ＝15；（2）①易求B （0，5），∴BF ＝1010， ∴当点F 1移动到点B 时，t ＝101010÷＝10；②当点H 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'的距离是10t ，在Rt △F'NF 中，NF NF '=13， ∴FN ＝t ，F'N ＝3t ，∵MH'＝FN ＝t ，EM ＝NG'＝15﹣F'N ＝15﹣3t ，在Rt △DMH'中，43MH EM '=， ∴41533t t =-， ∴t ＝4， ∴EM ＝3，MH'＝4，∴S ＝1451023(12)11248⨯+⨯=； 当点G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'的距离是10t ， ∵PF ＝310，∴PF'＝10t ﹣310，在Rt △F'PK 中，13PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝43， ∴t ＝7，∴S ＝15×（15﹣7）＝120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．9．现有一个“Z “型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB 为20cm ，BC 为60cm ，∠ABC ＝90，∠BCD ＝60°，求该工件如图摆放时的高度（即A 到CD 的距离）．（结果精确到0.1m ，参考数据：≈1.73）【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm ．【解析】【分析】过点A 作AP ⊥CD 于点P ，交BC 于点Q ，由∠CQP ＝∠AQB 、∠CPQ ＝∠B ＝90°知∠A ＝∠C ＝60°，在△ABQ 中求得分别求得AQ 、BQ 的长，结合BC 知CQ 的长，在△CPQ 中可得PQ ，根据AP ＝AQ +PQ 得出答案．【详解】解：如图，过点A 作AP ⊥CD 于点P ，交BC 于点Q ，∵∠CQP＝∠AQB，∠CPQ＝∠B＝90°，∴∠A＝∠C＝60°，在△ABQ中，∵AQ＝（cm），BQ＝AB tan A＝20tan60°＝20（cm），∴CQ＝BC﹣BQ＝60﹣20（cm），在△CPQ中，∵PQ＝CQ sin C＝（60﹣20）sin60°＝30（﹣1）cm，∴AP ＝AQ+PQ＝40+30（﹣1）≈61.9（cm），答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键．10．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝43，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，（1）求弦AD的长；（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON 等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．【答案】（1）23（2）当ON等于13﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形（3）不变，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD 的长；（2）连DE 、ME ，易得当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰，根据垂径定理得推论得OE ⊥DM ，易得到△ADC 为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=12；当MD=ME ，DE 为底边，作DH ⊥AE ，由于∠DAE=30°，得到，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，又∠M=∠DAE=30°，MD=ME ，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到；（3）连AP 、AQ ，DP ⊥AB ，得AC ∥DP ，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB ，∠AQC=∠P ，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD ，易证得△AQC ≌△APD ，得到DP=CQ ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD ，而△ADC 为等边三角形，DP-DQ 的值．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 中点，BC ＝∴AD ＝12BC ＝ （2）连DE 、ME ，如图，∵DM ＞DE ，当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰，∴OE ⊥DM ，又∵AD ＝AC ，∴△ADC 为等边三角形，∴∠CAD ＝60°，∴∠DAO ＝30°，∴∠DON ＝60°，在Rt △ADN 中，DN ＝12AD ，在Rt △ODN 中，ON ＝3DN ＝1， ∴当ON 等于1时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；当MD ＝ME ，DE 为底边，如图3，作DH ⊥AE ，∵AD ＝∠DAE ＝30°，∴DH ∠DEA ＝60°，DE ＝2，∴△ODE 为等边三角形，∴OE ＝DE ＝2，OH ＝1，∵∠M ＝∠DAE ＝30°，而MD ＝ME ，∴∠MDE＝75°，∴∠ADM＝90°﹣75°＝15°，∴∠DNO＝45°，∴△NDH为等腰直角三角形，∴NH＝DH＝3，∴ON＝3﹣1；综上所述，当ON等于1或3﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；（3）当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变，DP﹣DQ＝23．理由如下：连AP、AQ，如图2，∵∠C＝∠CAD＝60°，而DP⊥AB，∴AC∥DP，∴∠PDB＝∠C＝60°，又∵∠PAQ＝∠PDB，∴∠PAQ＝60°，∴∠CAQ＝∠PAD，∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，∴△AQC≌△APD，∴DP＝CQ，∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝23．【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．。
中考数学真题精选之《锐角三角函数》综合解答题
中考数学真题精选之《锐角三角函数》综合解答题1．如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC＝10.4m，BC＝1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为多少m？（结果保留整数．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）2．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，√2≈1.41）3．徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点C 处，用测角仪测得塔顶A的仰角∠AFE＝36°，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点D处，测得塔顶A的仰角∠AGE＝30°．若测角仪距地面的高度FC＝GD＝1.6m，CD ＝70m，求电视塔的高度AB（精确到0.1m）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin30°≈0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）4．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．问题解决：（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据√2≈1.414，√3≈1.732）5．今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD 是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝57cm，支架AN＝43cm，扶手的一部分BE＝16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.8°＝0.91，cos65.8°＝0.41，tan65.8°＝2.23）6．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A 处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．（1）求登山缆车上升的高度DE；（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）7．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）8．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A 点的南偏东25°方向3√2km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．9．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）10．2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC 的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．（1）求点A离地面的高度AO；（2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：√3≈1.73）11．“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）12．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）．13．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）14．鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且tan∠DAB=43；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45°．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，CD∥AB，GF⊥FB）．（1）求自动扶梯AD的长度；（2）求大型条幅GE的长度．（结果保留根号）15．综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A 与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG 的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．16．如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE的B点测得∠CBE＝30°，从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得∠CDE＝45°．（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）（2）若从D点继续沿DE的方向走（12√3+12）米到达P点．求tan∠CPE的值．17．如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”、“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸、某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下，如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m．求“龙”字雕塑CD的高度，（B，C，D三点共线，BD⊥AB，结果精确到0.1m）（参考数据：sin38°＝0.62，cos38°＝0.79，tan38°＝0.78，sin53°＝080，cos53°＝0.60，tan53°＝1.33）18．2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂AC＝BC＝10m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）19．东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m 处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离（结果精确到1m）（参考数据：sin68，2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）20．某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73．结果精确到0.1km）．21．我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°，求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到1m/s）．（参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42）22．根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度问题解决任务1分析规划选择两个观测位置：点和点．获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．任务2推理计算计算发射塔的图上高度MN．任务3换算高度楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．23．“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为120°，当其中一片风叶OB与塔干OD叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角∠OED＝45°，风叶OA 的视角∠OEA＝30°．（1）已知α，β两角和的余弦公式为：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，请利用公式计算cos75°；（2）求风叶OA的长度．24．图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．（1）求∠GAC的度数；（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）25．某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10米，坡角α＝30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）（1）求点D到地面BC的距离；（2）求该建筑物的高度AB．。
中考数学锐角三角函数综合经典题含答案
中考数学锐角三角函数综合经典题含答案一、锐角三角函数1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22-＝26（分米），EF FK∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝22-（2）＝26，63∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到1cm ）？【答案】【解析】过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可．4．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定5．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，，求PD的长；(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.如图，连接BP，∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由（1）△PAC∽△PDF得，即.∴PD的长为.（3）如图，连接BP，BD，AD，∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.∵，∴.∵△AGP∽△DGB，∴.∵△AGD∽△PGB，∴.∴，即.∵，∴.∴与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.6．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．试题解析：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），∴CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45°．在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得 x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数7．如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：（1）点的坐标（用含的代数式表示）；（2）当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值．【答案】解：（1）过作轴于，，，，，点的坐标为．（2）①当与相切时（如图1），切点为，此时，，，．②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，过作于，则，，．③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，则，，．过作轴于，则，，化简，得，解得，，．所求的值是，和．【解析】（1）过作轴于,利用三角函数求得OD、DC的长，从而求得点的坐标⊙P 与菱形OABC 的边所在直线相切，则可与OC 相切；或与OA 相切；或与AB 相切，应分三种情况探讨：①当圆P 与OC 相切时，如图1所示，由切线的性质得到PC 垂直于OC ，再由OA=+t ，根据菱形的边长相等得到OC=1+t ，由∠AOC 的度数求出∠POC 为30°，在直角三角形POC 中，利用锐角三角函数定义表示出cos30°=oc/op ，表示出OC ，等于1+t 列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值；②当圆P 与OA ，即与x 轴相切时，过P 作PE 垂直于OC ，又PC=PO ，利用三线合一得到E 为OC 的中点，OE 为OC 的一半，而OE=OPcos30°，列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值；③当圆P 与AB 所在的直线相切时，设切点为F ，PF 与OC 交于点G ，由切线的性质得到PF 垂直于AB ，则PF 垂直于OC ，由CD=FG ，在直角三角形OCD 中，利用锐角三角函数定义由OC 表示出CD ，即为FG ，在直角三角形OPG 中，利用OP 表示出PG ，用PG+GF 表示出PF ，根据PF=PC ，表示出PC ，过C 作CH 垂直于y 轴，在直角三角形PHC 中，利用勾股定理列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值，综上，得到所有满足题意的t 的值．8．在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点()0,0O ，点()3,0A ，点()0,4C ，连接OB ，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOCB ，旋转角为()0360αα︒<<︒，得到矩形ADEF ，点,,O C B 的对应点分别为,,D E F .(Ⅰ)如图，当点D 落在对角线OB 上时，求点D 的坐标；(Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下，AB 与DE 交于点H .①求证BDE DBA ∆≅∆；②求点H 的坐标.(Ⅲ)α为何值时，FB FA =.(直接写出结果即可).【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472(,)2525；(Ⅱ)①证明见解析；②点H 的坐标为(3，258)；(Ⅲ)60α=︒或300︒.【解析】【分析】 (Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥，根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长，根据矩形的性质可得AB 、OB 的长，在Rt △OAM 中，利用∠BOA 的余弦求出OM 的长，由旋转的性质可得OA=AD ，利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ，在Rt △ODN 中，利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长，即可得答案；(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA ，根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=，利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ；②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ，BE=AD ，即可证明△BHE ≌△DHA ，可得DH=BH ，设AH=x ，在Rt △ADH 中，利用勾股定理求出x 的值即可得答案；（Ⅲ）如图，过F 作FO ⊥AB ，由性质性质可得∠BAF=α，分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况，根据FB=FA 可得OA=OB ，利用勾股定理求出FO 的长，由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数.【详解】(Ⅰ)∵点()30A ，，点()04C ，， ∴3,4OA OC ==.∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC=4，∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的∴3AD AO ==.在Rt OAB ∆中，225OB OA AB =+=， 过A D 、分别作B,DN OA AM O ⊥⊥在Rt ΔOAM 中，OM OA 3cos BOA OA OB 5∠===， ∴9OM 5= ∵AD=OA ，AM ⊥OB ， ∴18OD 2OM 5==. 在Rt ΔODN 中：DN 4sin BOA OD 5∠==，cos ∠BOA=ON OD =35， ∴72DN 25=，54ON 25=. ∴点D 的坐标为5472,2525⎛⎫⎪⎝⎭.(Ⅱ)①∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴OA AD 3,ADE 90,DE AB 4∠===︒==.∴OD AD =.∴DOA ODA ∠∠=.又∵DOA OBA 90∠∠+=︒，BDH ADO 90∠∠+=︒∴ABD BDE ∠∠=. 又∵BD BD =，∴ΔBDE ΔDBA ≅.②由ΔBDE ΔDBA ≅，得BEH DAH ∠∠=，BE AD 3==，又∵BHE DHA ∠∠=，∴ΔBHE ΔDHA ≅.∴DH=BH ，设AH x =，则DH BH 4x ==-，在Rt ΔADH 中，222AH AD DH =+，即()222x 34x =+-，得25x 8=， ∴25AH 8=. ∴点H 的坐标为253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. (Ⅲ)如图，过F 作FO ⊥AB ，当0<α≤180°时，∵点B 与点F 是对应点，A 为旋转中心，∴∠BAF 为旋转角，即∠BAF=α，AB=AF=4，∵FA=FB ，FO ⊥AB ，∴OA=12AB=2， ∴cos ∠BAF=OA AF =12， ∴∠BAF=60°，即α=60°，当180°<α<360°时， 同理解得：∠BAF′=60°，∴旋转角α=360°-60°=300°.综上所述：α60=︒或300︒.【点睛】本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.9．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E ．设P 是»AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ．（1）求证：△PAC ∽△PDF ；（2）若AB ＝5，¼¼AP BP=，求PD 的长．【答案】(1)证明见解析；（2310 【解析】【分析】 （1）根据AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，得到¶¶ADAC =，∠ACD ＝∠B ，由∠FPC ＝∠B ，得到∠ACD ＝∠FPC ，可得结论；（2）连接OP ，由¶¶APBP =，得到OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ，根据AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB ＝90°，由于AC ＝2BC ，于是得到tan ∠CAB ＝tan ∠DCB ＝BC AC ，得到12CE BE AE CE ==，求得AE ＝4BE ，通过△OPG ∽△EDG ，得到OG OP GE ED=，然后根据勾股定理即可得到结果．【详解】（1）证明：连接AD，∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴¶¶AD AC=，∴∠ACD＝∠B＝∠ADC，∵∠FPC＝∠B，∴∠ACD＝∠FPC，∴∠APC＝∠ACF，∵∠FAC＝∠CAF，∴△PAC∽△CAF；（2）连接OP，则OA＝OB＝OP＝15 22 AB=，∵¶¶AP BP=，∴OP⊥AB，∠OPG＝∠PDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2BC，∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝BCAC，∴12 CE BEAE CE==，∴AE＝4BE，∵AE+BE＝AB＝5，∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，∴△OPG∽△EDG，∴OG OP GE ED=，∴2.52 OE GE OPGE CE-==，∴GE＝23，OG＝56，∴PG5 6 =，GD23 =，∴PD＝PG+GD【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得△OPG ∽△EDG 是解题的关键．10．阅读下面材料：观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，过A 作AD ⊥BC 于D （如图），则sin B ＝AD c ，sin C ＝AD b ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即sin sin b c B C = ．同理有：sin sin c a C A =，sin sin a b A B=，所以sin sin sin a b c A B C ==． 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．（1）如图，△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝60，则AB ＝ ；（2）如图，一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A 的距离AB ．（3）在（2）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）【答案】（1）6；（2）6海里；（36+2 【解析】【分析】（1）根据材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，写出比例关系，代入数值即可求得AB的值.（2）此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出∠A的角度，过B作BM⊥AC于M，求出∠MBC=30°，求出MC，由勾股定理求出BM，求出AM、BM的长，由勾股定理求出AB即可；（3）在三角形ABC中，∠A=45，∠ABC=75，∠ACB=60，过点C作AC的垂线BD，构造直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的长，进而可求出sin75°的值．【详解】解：（1）在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=60，则∠A=60°，∵ABsinC =sinBCA，∴45ABsin o=60sin60o，即2 =3，解得：AB=206.（2）如图，依题意：BC=60×0.5=30（海里）∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=180°∵∠DCB=30°，∴∠CBE=150°∵∠ABE=75°．∴∠ABC=75°，∴∠A=45°，在△ABC中，sin AB ACB∠=BCsin A∠即60?ABsin=3045?sin，解之得：AB=156．答：货轮距灯塔的距离AB=156海里．（3）过点B作AC的垂线BM，垂足为M.在直角三角形ABM中，∠A=45°，6，所以3BDC中，∠BCM=60°，BC=30°，可求得CM=15，所以3，15315+156sin75°6+2．【点睛】本题考查方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是熟练掌握解直角三角形方法．11．如图，A（0，2），B（6，2），C（0，c）（c＞0），以A为圆心AB长为半径的¶BD 交y轴正半轴于点D，¶BD与BC有交点时，交点为E，P为¶BD上一点．（1）若c＝3，①BC＝，¶DE的长为；②当CP＝2时，判断CP与⊙A的位置关系，井加以证明；（2）若c＝10，求点P与BC距离的最大值；（3）分别直接写出当c＝1，c＝6，c＝9，c＝11时，点P与BC的最大距离（结果无需化简）【答案】（1）①12，π；②详见解析；（2）①65；②65（3）答案见详解 【解析】【分析】 （1）①先求出AB ，AC ，进而求出BC 和∠ABC ，最后用弧长公式即可得出结论；②判断出△APC 是直角三角形，即可得出结论；（2）分两种情况，利用三角形的面积或锐角三角函数即可得出结论；（3）画图图形，同（2）的方法即可得出结论．【详解】 （1）①如图1，∵c ＝3+2，∴OC ＝3，∴AC ＝3﹣2＝3∵AB ＝6，在Rt △BAC 中，根据勾股定理得，BC ＝12，tan ∠ABC ＝AC AB3 ∴∠ABC ＝60°，∵AE ＝AB ，∴△ABE 是等边三角形，∴∠BAE ＝60°，∴∠DAE ＝30°， ∴»DE的长为306180π⨯＝π， 故答案为12，π；②CP 与⊙A 相切．证明：∵AP ＝AB ＝6，AC ＝OC ﹣OA ＝63， ∴AP 2+CP 2＝108，又AC 2＝（63）2＝108，∴AP 2+PC 2＝AC 2．∴∠APC ＝90°，即：CP ⊥AP ．而AP 是半径，∴CP 与⊙A 相切．（2）若c ＝10，即AC ＝10﹣2＝8，则BC ＝10．①若点P 在»BE上，AP ⊥BE 时，点P 与BC 的距离最大，设垂足为F ， 则PF 的长就是最大距离，如图2，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12BC ×AF ， ∴AF ＝AB AC BC ⋅＝245， ∴PF ＝AP ﹣AF ＝65； ②如图3，若点P 在»DE 上，作PG ⊥BC 于点G ，当点P 与点D 重合时，PG 最大．此时，sin ∠ACB ＝PG AB CP BC =， 即PG ＝AB CP BC ⋅＝65∴若c ＝10，点P 与BC 距离的最大值是65； （3）当c ＝1时，如图4，过点P 作PM ⊥BC ，sin ∠BCP ＝AB PMBC CD= ∴PM ＝67423737AB CD BC ⋅⨯===423737； 当c ＝6时，如图5，同c ＝10的①情况，PF ＝6﹣1213=1213613-，当c ＝9时，如图6，同c ＝10的①情况，PF ＝4285685-，当c ＝11时，如图7，点P 和点D 重合时，点P 到BC 的距离最大，同c ＝10时②情况，DG 18117． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，勾股定理和逆定理，三角形的面积公式，锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数是解本题的关键．12．如图，AB 为O e 的直径，C 、D 为O e 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒. （2）若2ABD BDC ∠=∠. ①求证：CF 是O e 的切线. ②当6BD =，3tan 4F =时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203CF =. 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =34，即可求出CF ． 【详解】解：（1）AB 是O e 的直径，且D 为O e 上一点，90ADB ∴∠=︒， CE DB ⊥Q ， 90DEC ∴∠=︒， //CF AD ∴，180DAC ACF ∴∠+∠=︒. （2）①如图，连接OC . OA OC =Q ，12∴∠=∠. 312∠=∠+∠Q ， 321∴∠=∠.42BDC Q ∠=∠，1BDC ∠=∠， 421∴∠=∠， 43∴∠=∠，//OC DB ∴. CE DB ⊥Q ， OC CF ∴⊥.又OC Q 为O e 的半径， CF ∴为O e 的切线.②由（1）知//CF AD ，BAD F ∴∠=∠，3tan tan 4BAD F ∴∠==， 34BD AD ∴=. 6BD =Q483AD BD ∴==， 226810AB ∴=+=，5OB OC ==. OC CF Q ⊥， 90OCF ∴∠=︒，3tan 4OC F CF ∴==，解得203CF =. 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 与直线y ＝12x ﹣3分别交x 轴、y 轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，连接CD 交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标； （2）求∠DCB 的正切值；（3）如果点F 在y 轴上，且∠FBC ＝∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标．【答案】（1）21y 234x x =-+-，D （4，1）；（2）13；（3）点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）． 【解析】 【分析】 （1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx+c ，即可求解； （2）求出则点E （3，0），EH ＝EB•sin ∠OBC ＝5，CE ＝32，则CH ＝5，即可求解；（3）分点F 在y 轴负半轴和在y 轴正半轴两种情况，分别求解即可． 【详解】 （1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3， 则点B 、C 的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c ＝﹣3， 将点B 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx ﹣3得：0＝﹣14×36+6b ﹣3，解得：b ＝2， 故抛物线的表达式为：y ＝﹣14x 2+2x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6或2， 即点A （2，0），则点D （4，1）； （2）过点E 作EH ⊥BC 交于点H ，C 、D 的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1）， 直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣3，则点E （3，0）， tan ∠OBC ＝3162OC OB ==，则sin ∠OBC 5，则EH＝EB•sin∠OBC＝5，CE＝32，则CH＝5，则tan∠DCB＝13 EHCH=；（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），则BC＝35，∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，tan∠DBE＝164-＝12，故：∠DBE＝∠OBC，则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，①当点F在y轴负半轴时，过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，则∠GFC＝∠OBC＝α，设：GF＝2m，则CG＝GFtanα＝m，∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，即：5＝2m，解得：m＝5CF22GF CG+5＝15，故点F（0，﹣18）；②当点F在y轴正半轴时，同理可得：点F（0，1）；故：点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定∠FBC ＝∠DBA+∠DCB ＝∠AEC ＝45°，是本题的突破口．14．如图，在ABC △中，10AC BC ==，3cos5C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以PA 长为半径的P e 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE CB ⊥于点E .()1当P e 与边BC 相切时，求P e 的半径；()2联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围；()3在()2的条件下，当以PE 长为直径的Q e 与P e 相交于AC 边上的点G 时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）409；（2）)25880010x x x y x -+=<<；（3）105- 【解析】 【分析】（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=45，sinC=HP CP =R 10R -=45，即可求解； （2）PD ∥BE ，则EB PD ＝BFPF，即：2248805x x x y xy--+=，即可求解；（3）证明四边形PDBE 为平行四边形，则AG=GP=BD ，即：5求解． 【详解】（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=35， sinC=HP CP =R 10R -=45，解得：R=409； （2）在△ABC 中，AC=BC=10，cosC=35， 设AP=PD=x ，∠A=∠ABC=β，过点B 作BH ⊥AC ，则BH=ACsinC=8， 同理可得：CH=6，HA=4，AB=45，则：tan ∠CAB=2BP=()2284x +-=2880x x -+， DA=25x ，则BD=45-25x ，如下图所示，PA=PD ，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，tanβ=2，则cosβ=5，sinβ=5，EB=BDcosβ=（45-25x）×5=4-25x，∴PD∥BE，∴EBPD＝BFPF，即：2248805x x x yx y--+-=，整理得：y=()25x x8x800x10-+<<；（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，两个圆交于点G，则PG=PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，∵点Q时弧GD的中点，∴DG⊥EP，∵AG是圆P的直径，∴∠GDA=90°，∴EP∥BD，由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，∴AG=EP=BD，∴5设圆的半径为r，在△ADG中，55AG=2r，5551+，则：55相交所得的公共弦的长为5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．15．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ，切点为G ，连接AG 交CD 于K ． （1）如图1，求证：KE ＝GE ； （2）如图2，连接CABG ，若∠FGB ＝12∠ACH ，求证：CA ∥FE ； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CG 交AB 于点N ，若sin E ＝35，AK ＝10，求CN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD 是等腰三角形．证明见解析；（3201013【解析】 试题分析：（1）连接OG ，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA 可得∠AGO=∠OAG ，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG ，这样即可得到KE=GE ；（2）设∠FGB=α，由AB 是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE 可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE 中可得∠E=2α，由∠FGB=12∠ACH 可得∠ACH=2α，这样可得∠E=∠ACH ，由此即可得到CA ∥EF ； （3）如下图2，作NP ⊥AC 于P ，由（2）可知∠ACH=∠E ，由此可得sinE=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，可得AC=5a ，CH=4a ，则tan ∠CAH=43CH AH =，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC ，从而可得CK=AC=5a ，由此可得HK=a ，tan ∠AKH=3AHHK=，10a ，结合10可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH 中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG 可得∠ACG=∠AKH ， 在Rt △APN 中，由tan ∠CAH=43PN AP=，可设PN=12b ，AP=9b ，由tan ∠ACG=PN CP =tan ∠AKH=3可得CP=4b ，由此可得AC=AP+CP=13b =5，则可得b=513，由此即可在Rt △CPN 中由勾股定理解出CN 的长. 试题解析：（1）如图1，连接OG ．∵EF 切⊙O 于G ， ∴OG ⊥EF ，∴∠AGO+∠AGE=90°， ∵CD ⊥AB 于H ， ∴∠AHD=90°， ∴∠OAG=∠AKH=90°， ∵OA=OG ， ∴∠AGO=∠OAG ， ∴∠AGE=∠AKH ， ∵∠EKG=∠AKH ， ∴∠EKG=∠AGE ， ∴KE=GE ． （2）设∠FGB=α， ∵AB 是直径， ∴∠AGB=90°，∴∠AGE =∠EKG=90°﹣α， ∴∠E=180°﹣∠AGE ﹣∠EKG=2α，∵∠FGB=12∠ACH ， ∴∠ACH=2α， ∴∠ACH=∠E ， ∴CA ∥FE ．（3）作NP ⊥AC 于P ． ∵∠ACH=∠E ， ∴sin ∠E=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，AC=5a ， 则224AC CH a -=，tan ∠CAH=43CH AH =， ∵CA ∥FE ，∴∠CAK=∠AGE，∵∠AGE=∠AKH，∴∠CAK=∠AKH，∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH=AHHK =3，AK=2210AH HK a+=，∵AK=10，∴1010a=，∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG，∵∠ACN=∠ABG，∴∠AKH=∠ACN，∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt△APN中，tan∠CAH=43PNAP=，设PN=12b，则AP=9b，在Rt△CPN中，tan∠ACN=PNCP=3，∴CP=4b，∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，∴13b=5，∴b=513，∴CN=22PN CP+=410b⋅=2010 13．。
人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步测试题及答案
人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步测试题及答案任务一 求锐角三角函数值子任务1 利用参数法求锐角三角函数值母题1 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3AC ,则tan B=( )A .13B .3C .√1010 D .3√1010变式练1：在直角三角形ABC 中,若2AB=AC ,则cos C 的值为( )A .12或2√35B .12或2√55 C .√32或2√55 D .√32或2√35子任务2 构造直角三角形求锐角三角函数值母题2 如图,已知钝角三角形ABC ,点D 在BC 的延长线上,连接AD ,若∠DAB=90°,∠ACB=2∠D ,AD=2,AC=32,求tan D 的值.变式练2：如图,△ABC与△BDC均为直角三角形,若∠ACB=30°,∠DBC=45°,求∠ADB的正切值.母题3如图,在△ABC中,CA=CB=4,cos C=14,则sin B的值为()A.√102B.√153C.√64D.√104变式练3：如图,在Rt△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=12BD,连接AC.若tan B=53,则tan∠CAD的值为.子任务3利用等角转换法求锐角三角函数值母题4如图,在半径为3的☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则tan D=()A.2√2B.√24C.13D.2√23【关键点拨】变式练4：如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=1∠BAC,求sin∠BPC.2子任务4利用网格求锐角三角函数值母题5如图,这是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上,线段AB,PQ相交于点M,则图中∠QMB的正切值是.【关键点拨】变式练5：如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sin∠BAC=()A.√1313B.√66C.√2613D.√2626子任务5在折叠问题中求锐角三角函数值母题6如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,将△ABC折叠,使点A落在BC边上的点D 处,EF为折痕,若AE=3,则sin∠BFD的值为.【关键点拨】变式练6：直角三角形纸片ABC,两直角边BC=4,AC=8,现将△ABC纸片按图中方式折叠,使点A 与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值是()A.12B.34C.1D.43任务二 由一个锐角的三角函数值求三角形的边长母题7 在Rt △ABC 中,∠C=90°,sin A=35,AC=8 cm,则BC 的长度为( )A .3 cmB .4 cmC .5 cmD .6 cm变式练7：已知∠A 是锐角,sin A=35,则cos A 的值为( )A .35B .45C .34D .54任务三 由一个锐角的三角函数值求三角形的面积母题8 已知△ABC 中,tan B=23,BC=6,过点A 作BC 边上的高,垂足为点D ,且满足BD ∶CD=2∶1,则△ABC 面积的所有可能值为 .变式练8：在△ABC 中,AB=3√6,AC=6,∠B=45°,则BC= .任务四 锐角三角函数的探究问题母题9 如图1,在Rt △ABC 中,以下是小亮探究asinA 与bsinB 之间关系的方法:∵sin A=a c ,sin B=b c , ∴c=a sinA ,c=bsinB ∴asinA =bsinB .根据你掌握的三角函数知识,在图2的锐角三角形ABC 中,探究asinA ，bsinB ，csinC 之间的关系,并写出探究过程.图1 图2变式练9：把(sin α)2记作sin 2α,根据图完成下列各题:图1图2(1)如图1,sin 2A 1+cos 2A 1= ,sin 2A 2+cos 2A 2= sin 2A 3+cos 2A 3= .(2)观察上述等式后猜想:在Rt △ABC 中,∠C=90°,总有sin 2A+cos 2A= . (3)如图2,在Rt △ABC 中证明(2)题中的猜想.(4)已知在△ABC 中,∠A+∠B=90°,且sin A=1213,求cos A 的值.参考答案母题1 A 提示:在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3AC∴tan B=AC BC =AC 3AC =13.故选A .变式练1 C 提示:①当AC 为直角边时∵2AB=AC∴BC=√AB 2+AC 2=√5AB∴cos C=AC BC =2AB √5AB =2√55;②当AC 为斜边时 ∵2AB=AC∴BC=√AC 2-AB 2=√3AB∴cos C=BC AC =√3AB 2AB=√32. 综上,cos C=2√55或√32. 故选C .母题2 解:∵∠ACB=∠D+∠CAD ,∠ACB=2∠D∴∠CAD=∠D∴CA=CD. ∵∠DAB=90°∴∠B+∠D=90°,∠BAC+∠CAD=90° ∴∠B=∠BAC ∴AC=CB∴BD=2AC=2×32=3. 在Rt △ABD 中,∵∠DAB=90°,AD=2∴AB=√32-22=√5∴tan D=AB AD =√52.变式练2解:如图,过点A 作DB 延长线的垂线,垂足为点E 则∠E=90°,∠ABE=45°,AE=BE.设AE=BE=x ,则AB=√2x ,BC=√6x ,BD=CD=√3x∴DE=√3x+x ,∴tan ∠ADB=AE DE =(√3+1)x =√3+1=√3-12.母题3 D 提示:如图,过点A 作AD ⊥BC ,垂足为D在Rt △ACD 中,CD=CA ·cos C=1∴AD=√AC 2-CD 2=√15.在Rt △ABD 中,BD=CB-CD=3,AD=√15.∴AB=√BD 2+AD 2=2√6.∴sin B=AD AB =√104.故选D . 变式练3 15 提示:如图,延长AD ,过点C 作CE ⊥AD ,垂足为E.在Rt △BAD 中,tan B=AD AB =53. 可设AD=5x ,则AB=3x.∵∠CDE=∠BDA ,∠CED=∠BAD ∴△CDE ∽△BDA∴CE AB =DE AD =CD BD =12 ∴CE=32x ,DE=52x ∴AE=AD+DE=152x ∴在Rt △AEC 中,tan ∠CAD=CE AE =15.故答案为15.母题4 A 提示:如图,连接BC.∵AB 是直径,∴∠ACB=90°. ∵☉O 的半径为3,∴AB=6 ∴BC=√AB 2-AC 2=√62-22=4√2∴tan D=tan A=BC AC =4√22=2√2. 故选A .变式练4 解:如图,作AD ⊥BC 于点D.∵AB=AC=5,BC=8∴BD=CD=4,∠BAD=12∠BAC. ∵∠ADB=90°,∴sin ∠BAD=BD AB =45.又∵∠BPC=12∠BAC∴∠BPC=∠BAD ∴sin ∠BPC=45. 母题5 2 提示:如图,过点Q 作QC ∥BA ,连接PC∴∠QMB=∠CQP. 由题意得CQ 2=22+22=8 PC 2=42+42=32 PQ 2=22+62=40∴PC 2+CQ 2=PQ 2∴△PCQ 是直角三角形 ∴∠PCQ=90°∴tan ∠CQP=PC CQ =√22√2=2∴tan ∠QMB=tan ∠CQP=2. 故答案为2.变式练5 D 提示:如图,延长AC 到点D ,连接BE 交CD 于点O∴BE ⊥CD ,AB=√22+32=√13,OB=12BE=12√12+12=√22∴sin ∠BAC=OB AB =√22√13=√2626. 故选D .母题6 13 提示:∵在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4∴∠A=∠B.由折叠的性质得到△AEF ≌△DEF∴∠EDF=∠A ∴∠EDF=∠B∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180° ∴∠CDE=∠BFD. 又∵AE=DE=3∴CE=4-3=1.在直角△ECD 中,sin ∠CDE=CEED =13∴sin ∠BFD=13. 故答案为13.变式练6 B 提示:根据题意,BE=AE.设BE=x ,则CE=8-x. 在Rt △BCE 中,x 2=(8-x )2+42 解得x=5∴CE=8-5=3∴tan ∠CBE=CE CB =34.故选B .母题7 D 提示:∵sin A=BCAB =35∴设BC=3x ,AB=5x. 又∵AC 2+BC 2=AB 2∴82+(3x )2=(5x )2解得x=2或x=-2(舍去)∴BC=3x=6 cm . 故选D .变式练7 B 提示:∵sin 2A+cos 2A=1∴cos A=√1−(35) 2=45. 故选B .母题8 8或24 提示:如图1所示∵BC=6,BD ∶CD=2∶1∴BD=4.∵AD ⊥BC ,tan B=23∴AD BD =23∴AD=23BD=83∴S △ABC =12BC •AD=12×6×83=8. 如图2所示∵BC=6,BD ∶CD=2∶1,∴BD=12.∵AD ⊥BC ,tan B=23,∴AD BD =23,∴AD=23BD=8 ∴S △ABC =12BC •AD=12×6×8=24. 综上所述,△ABC 面积的所有可能值为8或24. 故答案为8或24.图1 图2变式练8 3√3+3或3√3-3 提示:①当△ABC 为锐角三角形时 过点A 作AD ⊥BC 于点D ,如图1.图1∵AB=3√6,∠B=45°∴AD=BD=AB ·sin 45°=3√3∴CD=√AC 2-AD 2=3,∴BC=BD+CD=3√3+3. ②当△ABC 为钝角三角形时过点A 作AD ⊥BC 交BC 延长线于点D ,如图2.图2∵AB=3√6,∠B=45°∴AD=BD=AB ·sin 45°=3√3∴CD=√AC 2-AD 2=3∴BC=BD-CD=3√3-3.综上,BC 的长为3√3+3或3√3-3.故答案为3√3+3或3√3-3.母题9 解:a sinA =b sinB =c sinC .理由如下:如图,过点A 作AD ⊥BC ,过点B 作BE ⊥AC在Rt △ABD 中,sin B=AD c ,即AD=c sin B 在Rt △ADC 中,sin C=AD b ,即AD=b sin C∴c sin B=b sin C ,即b sinB =c sinC 同理可得a sinA =c sinC则a sinA =b sinB =c sinC .变式练9 解:(1)1;1;1 提示:sin 2A 1+cos 2A 1=122+√322=14+34=1 sin 2A 2+cos 2A 2=1√22+1√22=12+12=1 sin 2A 3+cos 2A 3=352+452=925+1625=1.故答案为1;1;1.(2)1.(3)在题图2中,∵sin A=a c ,cos A=b c ,且a 2+b 2=c 2 则sin 2A+cos 2A=a c 2+b c 2=a 2c 2+b 2c 2=a 2+b 2c 2=c 2c 2=1 即sin 2A+cos 2A=1.(4)在△ABC 中,∠A+∠B=90°,∴∠C=90°. ∵sin 2A+cos 2A=1,∴12132+cos 2A=1 解得cos A=513或cos A=-513(舍去),∴cos A=513.。
中考数学总复习《锐角三角函数》专题训练(附带答案)
中考数学总复习《锐角三角函数》专题训练(附带答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________命题点1直角三角形的边角关系及简单应用1(2022广西北部湾经济区)如图,某博物馆大厅电梯的截面图中,AB的长为12米,AB与AC的夹角为α,则高BC是() A.12sin α米B.12cos α米C.12sinα米 D.12cosα米(第1题) (第2题)2(2022福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,则高AD约为(参考数据:sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan27°≈0.51)()A.9.90 cmB.11.22 cmC.19.58 cmD. 22.44 cm3(2022随州)如图,已知点B,D,C在同一直线的水平地面上,在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α,在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β,若CD=a,则建筑物AB的高度为()A.atanα-tanβB.atanβ-tanαC.atanαtanβtanα-tanβD.atanαtanβtanβ-tanα(第3题) (第4题)4(2022乐山)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=√5,点D 是AC 上一点,连接BD.若tan A=12,tan ∠ABD=13,则CD 的长为 ( )A.2√5B.3C.√5D.25(2022益阳)如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,若sin A=45,则cos B= .(第5题) (第6题)6(2022常州)如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠ABC=90°,DB 平分∠ADC.若AD=1,CD=3,则sin ∠ABD= .7(2022广州)如图,AB 是☉O 的直径,点C 在☉O 上,且AC=8,BC=6.(1)尺规作图:过点O 作AC 的垂线,交AC ⏜于点D ,连接CD (保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)所作的图形中,求点O 到AC 的距离及sin ∠ACD 的值.命题点2解直角三角形的实际应用 角度1背靠背型8(2022安徽)如图,为了测量河对岸A ,B 两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C ,测得A ,B 均在C 的北偏东37°方向上,沿正东方向行走90米至观测点D ,测得A 在D 的正北方向上,B 在D 的北偏西53°方向上.求A ,B 两点间的距离.参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75.9(2022抚顺)如图,B港口在A港口的南偏西25°方向上,距离A港口100海里处.一艘货轮航行到C处,发现A港口在货轮的北偏西25°方向,B港口在货轮的北偏西70°方向.求此时货轮与A港口的距离(结果取整数.参考数据:sin 50°≈0.766,cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.192,√2≈1.414)角度2母子型10(2022天津)如图,某座山AB的顶部有一座通讯塔BC,且点A,B,C在同一条直线上.从地面P处测得塔顶C的仰角为42°,测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32 m,求这座山AB的高度(结果取整数).(参考数据:tan 35°≈0.70,tan 42°≈0.90)11(2022连云港)我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔,是苏北地区现存最高和最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度,如图所示,小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE=45°,再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE=53°,AB=10 m;小亮在点G处竖立标杆FG,小亮所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上,FG=1.5 m,GD=2 m.(1)求阿育王塔的高度CE;(2)求小亮与阿育王塔之间的距离ED.(注:结果精确到0.01 m.参考数据:sin 53°≈0.799,cos 53°≈0.602,tan 53°≈1.327)角度3拥抱型12(2021自贡)如图,在一次数学课外实践活动中,小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°,从综合楼底部A处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30°,综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:tan 37°≈0.75,tan 53°≈1.33,√3≈1.73)角度4实物型13(2022吉林)动感单车是一种新型的运动器械.图(1)是一辆动感单车的实物图,图(2)是其侧面示意图.△BCD为主车架,AB为调节管,点A,B,C在同一直线上.已知BC长为70 cm,∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34 cm时,求点A到CD的距离AE的长度(结果精确到1 cm).(参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan58°≈1.60)图(1)图(2)14(2022成都)2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”,某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.如图,当张角∠AOB=150°时,顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10 cm,此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究,最后联系黄金比知识,发现当张角∠A'OB=108°时(点A'是点A的对应点),用眼舒适度较为理想,求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长.(结果精确到1 cm.参考数据:sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08)角度5其他类型15(2022山西)随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产和生活,如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之间的距离,他们借助无人机设计了如下测量方案:如图,无人机在AB,CD两楼之间上方的点O处,点O距地面AC的高度为60 m,此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°,楼CD上点E处的俯角为30°,沿水平方向由点O飞行24 m到达点F,测得点E处俯角为60°,其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB 与CD 之间的距离AC 的长(结果精确到1 m.参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,√3≈1.73).分类训练15 锐角三角函数1.A2.B 【解析】 ∵AB=AC ,AD ⊥BC ,∴BD=CD=12BC=22 cm .在Rt △ABD 中,tan ∠ABD=ADBD ,∴AD=BD ·tan ∠ABD=22×tan 27°≈22×0.51=11.22(cm). 3.D 【解析】 设AB=x.在Rt △ABD 中,tan β=AB BD =x BD ,∴BD=xtanβ,∴BC=CD+BD=a+xtanβ.在Rt △ABC 中,tan α=ABBC =xa+xtanβ,∴x=atanαtanβtanβ-tan α.4.C 【解析】 如图,过点D 作DE ⊥AB 于点E.∵tan A=DE AE =12,tan ∠ABD=DE BE =13,∴AE=2DE ,BE=3DE ,∴2DE+3DE=5DE=AB.在Rt △ABC 中,tan A=12,BC=√5,∴BC AC =√5AC =12,∴AC=2√5,∴AB=√AC 2+BC 2=5,∴DE=1,∴AE=2,∴AD=√AE 2+DE 2=√22+12=√5,∴CD=AC-AD=√5,故选C .5.456.√66 【解析】 如图,过点D 作DE ⊥BC ,垂足为E ,则四边形ABED 是矩形,∴BE=AD=1,DE=AB ,∠ADB=∠CBD.∵DB 平分∠ADC ,∴∠ADB=∠CDB ,∴∠CBD=∠CDB ,∴CB=CD=3,∴CE=BC-BE=3-1=2,∴DE=√CD 2-CE 2=√32-22=√5,∴BD=√DE 2+BE 2=√(√5)2+12=√6,∴sin ∠ABD=AD BD =√6=√66.7.【答案】 (1)作图如图所示.(2)设(1)中AC 的垂线交AC 于点F ,则OF ⊥AC∴AF=CF=12AC=4. 又点O 是AB 的中点∴OF 是△ABC 的中位线∴OF=12BC=3,即点O 到AC 的距离为3. ∵AB 是☉O 的直径 ∴∠ACB=90°∴AB=√AC 2+BC 2=√82+62=10 ∴OD=5∴DF=OD-OF=5-3=2∴在Rt △CDF 中,CD=√DF 2+CF 2=√22+42=2√5 ∴sin ∠ACD=DFCD =2√5=√55.8.【答案】如图,由题意知,∠ECA=37°,CD=90,∠ADC=90°,∠ADB=53°,AD∥EC∴∠BCD=53°,∠BDC=∠ADC-∠ADB=37°,∠A=37°∴∠BCD+∠BDC=90°∴∠CBD=90°,即AC⊥BD.在Rt△CBD中,BD=CD cos∠BDC=90cos 37°≈90×0.80=72.在Rt△ABD中,AB=BDtanA =72tan37°≈720.75=96.答:A,B两点间的距离为96 m.9.【答案】如图,过点B作BH⊥AC于点H,根据题意,得∠BAC=25°+25°=50°,∠BCA=70°-25°=45°.在Rt△ABH中,AB=100,∠BAH=50°,sin∠BAH=BHAB ,cos∠BAH=AHAB∴BH=AB·sin∠BAC≈100×0.766=76.6,AH=AB·cos∠BAC≈100×0.643=64.3.在Rt△BHC中,∠BCH=45°∴CH=BH=76.6∴AC=AH+CH=64.3+76.6≈141.答:货轮距离A港口约141海里.10.【答案】根据题意,得BC=32,∠APC=42°,∠APB=35°.在Rt△PAC中,tan∠APC=ACPA∴PA=ACtan∠APC.在Rt△PAB中,tan∠APB=ABPA∴PA=ABtan∠APB.∵AC=AB+BC∴AB+BCtan∠APC =AB tan∠APB∴AB=BC·tan∠APBtan∠APC-tan∠APB =32×tan35°tan42°−tan35°≈32×0.700.90−0.70=112(m).答:这座山AB的高度约为112 m.11.【答案】(1)在Rt△CAE中,∵∠CAE=45°∴CE=AE.∵AB=10∴BE=AE-10=CE-10.在Rt△CEB中,由tan 53°=CEBE =CE CE-10得tan 53°(CE-10)=CE,∴CE≈40.58.答:阿育王塔的高度约为40.58 m.(2)由题意知Rt△FGD∽Rt△CED∴FGCE =GDED,即 1.540.58=2ED,∴ED≈54.11.答:小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11 m.归纳总结解直角三角形实际应用的一般步骤①审题:根据题意画出图形,建立数学模型.②构造直角三角形:将已知条件转化到示意图中,把实际问题转化为解直角三角形问题.③列关系式:选择合适的边角关系式,使运算简便、准确.④检验:得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,同时还要注意结果有无对精确度的要求.12.【答案】在Rt△BAD中,tan∠BDA=ABAD,∠BDA=53°∴AD=ABtan53°≈18.05(米).在Rt△CAD中,tan∠CAD=CDAD,∠CAD=30°第 11 页 共 11页 ∴CD=AD ·tan ∠CAD=√33AD ≈10.4(米).故办公楼的高度约为10.4米.13.【答案】 在Rt △ACE 中,∠AEC=90°,∠C=58°,AC=AB+BC=34+70=104 ∴AE=AC sin C=104×sin 58°≈104×0.85≈88.答:点A 到CD 的距离AE 的长度约为88 cm .14.【答案】 在Rt △ACO 中,∠AOC=180°-∠AOB=30°,AC=10 cm∴OA=2AC=20 cm .在Rt △A'DO 中,∠A'OD=180°-∠A'OB=72°,OA'=OA=20 cm∴A'D=A'O sin ∠A'OD ≈20×0.95=19(cm).答:顶部边缘A'处离桌面的高度A'D 的长约为19 cm .15.【答案】 分别延长AB ,CD 与直线OF 交于点G ,点H ,如图则∠AGO=∠EHO=90°.又∵∠GAC=90°,∴四边形ACHG 是矩形∴GH=AC.由题意,得AG=60,OF=24,∠AOG=70°,∠EOF=30°,∠EFH=60°.在Rt △AGO 中,∠AGO=90°,tan ∠AOG=AG OG ∴OG=AG tan∠AOG =60tan70°≈602.75≈21.8.∵∠EFH 是△EOF 的外角∴∠FEO=∠EFH-∠EOF=60°-30°=30°∴∠EOF=∠FEO ,∴EF=OF=24.在Rt △EHF 中,∠EHF=90°,cos ∠EFH=FH EF ∴FH=EF ·cos ∠EFH=24×cos 60°=12∴AC=GH=GO+OF+FH=21.8+24+12≈58(m).答:楼AB 与CD 之间的距离AC 的长约为58 m.。
锐角三角函数的综合常考50题
《各章节核心资料“锐角三角函数”50道常考题型》【韩春成内部核心资料（33）】知识构架一、 三角函数基础二、 锐角三角函数与代数综合 三、 化简求值 四、 比较大小五、 三角函数与几何综合典题精练三角函数基础1. 【易】︒的值是____________．2. 【易】（江西南昌十五校联考）计算：tan60︒=_______．3. 【易】（沈阳）在Rt ABC △中，C ∠为直角，sin A cos B 的值是（ ） A ．12 B C ．1 D ．4. 【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料4）在ABC △中，90C =︒∠，1tan 3A =，则sinB =（ ）A B ．23 C ．34D 5. 【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料4）若3cos 4A =，则下列结论正确的为（ ） A ．030A ︒<<︒∠ B ．3045A ︒<<︒∠ C ．4560A ︒<<︒∠ D ．6090A ︒<<︒∠ 6. 【易】（2013年广东省佛山市高中阶段招生考试数学试题）如图，若60A ∠=︒，20m AC =，则BC 大约是（结果精确到0.1m ）（ ）A ．34.64mB ．34.6mC ．28.3mD ．17.3mA CB7. 【易】（浙江省初中毕业生学业考试（湖州市））如图，已知在Rt ABC △中，90C ∠=︒，13AB =，12AC =，则cos B 的值为________8. 【易】如图，ABC △中，90C ∠=︒，12AC =，5BC =．⑴ 求AB 的长；⑵ 求sin A 、cos A 的值； ⑶ 求22sin cos A A +的值； ⑷ 比较sin A 与cos B 的大小．9. 【易】（石家庄市42中二模）在Rt ABC △中，90C ∠︒＝，1BC =，2AC =，则tan A 的值为（ ）A ．2B ．12CD10. 【易】（莆田市初中毕业、升学考试试卷）已知在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5sin 13A =，则tan B 的值为____________． 11. 【易】已知α为锐角，且5sin 13α=，求cos α的值；12. 【易】（贵阳市初中毕业生学业数学考试试题卷）如图，P 是α∠的边OA 上一点，点P的坐标为（12，5），则tan α等于（ ）A ．513B ．1213C ．512D ．125BCACBA13. 【难】用几何方法求15︒角的三角函数值．14. 【中】（杭州市各类高中招生文化考试）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AB BC =，现给出下列结论：①sin A ；②1cos 2B =；③tan A ；④tan B 结论是__________（只需填上正确结论的序号）锐角三角函数与代数综合15. 【易】（淮南市洞山中学第四次质量检测）在ABC △中，若()2sin 1tan 0A B -=，则C ∠的度数是（ ）A ．45︒B ．60︒C ．75︒D ．105︒16. 【易】（海南省中考数学科模拟）在ABC △中，()2tan 12cos 0C B -=，则A ∠=______． 17. 【易】（安徽省芜湖市中考）已知锐角A 满足关系式22sin 7sin 30A A -+=，则sin A 的值为（ ）A ．12B ．3C ．12或3D ．418. 【易】求适合下列条件的锐角α：2cos(10)α+︒19. 【中】若方程222210x ax a -+-=的一个根是sin α，则它的另一个根必是cos α或cos α-．20. 【中】已知ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别是,,,a b c 若,a b 是关于x 的一元二次方程2(4)480x c x c -+++=的两个根，且925sin .c a A =⑴求证：ABC △是直角三角形； ⑵求ABC △的三边长．化简求值21. 【易】（北大附中初二第二学期期末考试）计算：tan60tan 45cos30︒-︒︒的值是___________．22. 【易】（延庆县2011-2012学年第一学期期末试卷）tan452cos30sin60-+23. 【易】（深圳初三月考）计算：2cos30cos45tan45-+°°°°24. 【易】（深圳初三月考）已知tan 2A =，求3sin cos sin cos A AA A-+的值25. 【易】（初三深圳实验第一次月考）()114cos0π 3.14tan 453-⎛⎫︒--+︒+ ⎪⎝⎭的值．26. 【易】（初三期末）sin30tan60+°°°的值为__________． 27. 【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料4）计算sin60tan 45cos30-的值是____________．已知3tan 0 A A ∠=则______．28. 【易】21220103tan303-⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭29. 【易】（滨州市初级中学学业水平考试）计算：()12112|52009π2-⎛⎫-++-⨯- ⎪⎝⎭．30. 【易】（怀化市初中毕业学业考试试卷）先化简，再求值：()20tan60a ab a b b a b-⨯--⋅︒-，其中1a b =，三角函数与几何综合31. 【易】（江苏沭阳银河学校质检题）在ABC △中，若tan 1A =，sin B ABC △是______三角形． 32. 【易】（江苏沭阳银河学校质检题）一等腰三角形的两边长分别为4cm 和6cm ，则其底角的余弦值为_____． 33. 【易】（兴仁中学一模）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，若6BC =，8AC =，则tan ACD ∠的值为（ ）A ．35B ．45C ．43D ．3434. 【易】（温州市泰顺九校模拟、第一学期期末考试九年级数学试卷）直线2y x =与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是（ ）A ．tan 2α=B ．1tan 2α=C ．sin 2α=D ．cos 2α=35. 【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料4）等腰ABC △中，5AB AC ==，8BC =，求底角B ∠的四个三角函数值．36. 【易】（南汇区九年级数学期末质量抽查试卷）在ABC △中，::2a b c =，那么cos A 的值为（ ）． ABC ．12DDCBA37. 【易】（北京二中分校第一学期初三期中）已知：如图，ABC △中，135A ∠=︒，2tan 3B =，8AB =，求AC ．38. 【易】（宝山区二模、北大附中2010-2011学年度初二第二学期期末考试）如图，ABC△中，AB AC =，4cos 5ABC ∠=，点D 在边BC 上，6BD =，CD AB =． ⑴求AB 的长；⑵求ADC ∠的正切值．39. 【易】（福建厦门）已知：如图，在ABC △中，90C ∠=︒DE BC ∥，3DE =，9BC =．⑴求ADAB的值； ⑵若10BD =，求sin A ∠的值．ABCCDABEDCBA40. 【易】（浦东新区中考预测）如果等腰三角形的腰长为13厘米，底边长为10厘米，那么底角的余切值等于（ ）A ．513B ．1213C ．512D ．12541. 【易】（罗湖初三第一次月考）如果ABC △中，sin cos A B ==，则下列最确切的结论是（ ）A ．ABC △是直角三角形B ．ABC △是等腰三角形 C ．ABC △是等腰直角三角形D ．ABC △是锐角三角形42. 【易】（延庆县第一学期期末试卷）在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(100)，，点B 在第一象限内，5BO =，3sin 5BOA =∠．求：⑴点B 的坐标；⑵cos BAO ∠的值．43. 【易】（遂宁市初中毕业生学业考试）如图，已知O ⊙的两条弦AC ，BD 相交于点E ，70A =︒∠，50C =︒∠，那么sin AEB ∠的值为（ ）A ．12BCD44. 【易】（九年级第一模拟试题）如图，在菱形ABCD 中，DE AB ⊥，4sin 5A =，2BE =，则tan BDE ∠的值是（ ）A ．12BC ．2 DABCDE45. 【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料4）（2012年初三期末）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AB CD ==，AC AB ⊥，4AC =，则sin DAC ∠=（ ）A ．12 BCD ．2 46. 【易】（福建福州中考）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30︒、45︒，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一条直线上，则A 、B 两点的距离是（ ）A ．200米 B． C．D．)1001米47. 【易】（东城二模）如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处．使斜边CD AB ∥，则α∠的余弦值为__________．锐角三角函数48. 【易】（江苏省竞赛题）如图，等腰Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，D 为BC 中点，将ABC ∆折叠，使A 点与D 点重合，若EF 为折痕，则BED ∠sin 的值为_______．DCBA45°30°DC BAACB DOα30°D EFABC49. 【易】（南充市中考题）如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，BCE ∆沿BE 折叠为BFE ∆，点F 落在AD 上， ⑴ 求证：ABF ∆∽DFE ∆；⑵ 若31sin =∠DFE ，求EBC ∠tan 的值．50. 【易】（济南市中考题）如图，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则AOB ∠cos 的值是（ ）E《各章节核心资料“锐角三角函数”50道常考题型》答案【韩春成内部核心资料（33）】三角函数基础1.2.3. 【答案】D4. 【答案】D5. 【答案】B6.【答案】A7. 【答案】5138. 【答案】⑴∵90C ∠=︒，12AC =，5BC =，∴13AB ==． ⑵5sin 13BC A AB ==，12cos 13AC A AB ==． ⑶∵22525sin ()13169A ==，2212144cos ()13169A ==，∴2225144sin cos 1169169A A +=+= ⑷∵5cos 13BC B AB ==， ∴sin cos A B =．9. 【答案】B 10. 【答案】125 11. 【答案】121312. 【答案】C13. 【答案】如图所示，画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=︒，D15︒30︒CBA1AC =，2AB =，30ABC ∠=︒，BC延长CB 到D ，使2BD BA ==，连接AD ，则15ADC ∠=︒．在Rt ACD ∆中，15ADC ∠=︒，1AC =，2DC =∵222AD DC AC =+2(21=+86432=+=++2262(2)=++2=∴AD =依定义得：sin15︒==；cos15︒==； tan152︒==- cot152︒=14. 【答案】②③④根据题意，因为90C =︒∠，2AB BC =，则该直角三角形是含30︒角的直角三角形，则12BC AB AC =∶∶1BC =，2AB =，AC 1sin 2BC A AB ==，②1cos 2BC B AB ==，③tan BC A AC ==④tan AC B BC ==，则答案为②③④. 锐角三角函数与代数综合15.【答案】C 16.【答案】105︒ 17.【答案】A18. 【答案】20α=︒【解析】∵2cos(10)α+︒=cos(10)α+︒=． ∵cos30︒=1030α+︒=︒，∴20α=︒． 19. 【答案】不妨设方程的另一根为m ，由一元二次方程的根系关系可知sin m a α+=，21sin 2a m α-=， 故2(sin )1sin 2m m αα+-=，整理可得22sin (sin )1m m αα=+-，即22sin 1m α+=，又22sin cos 1αα+=，故cos m α=±．20. 【答案】⑴∵,a b 是方程2(4)480x c x c -+++=的两个根，∴4,48a b c ab c +=+=+．∴222222()2(4)2(48)816816a b a b ab c c c c c c +=+-=+-+=++--=∴ABC ∆是直角三角形()90C ∠=︒．⑵在Rt ABC ∆中，sin a A c=，并代入925sin c a A =得22925.c a = ∴34,.55a cbc == 由344455a b c c c c +=++=+，． ∴10c =，且此时0∆>，从而68a b ==，化简求值21. 【答案】122. 【答案】tan452cos30sin60-+=12-+=1=1）． 23. 【答案】124. 【答案】5325. 【答案】126. 27. 【答案】0，30︒28. 【答案】1029. 【答案】2-30. 【答案】()20tan60a ab a b b a b-⨯--⋅︒- ()1a a b b a b-=⨯--a b =-1a b =，∴原式12=-三角函数与几何综合31. 【答案】等腰直角．32. 【答案】34或13． 33. 【答案】D34. 【答案】A35. 【答案】3sin 5B =，4cos 5B =，3tan 4B =，4cot 3B =． 36. 【答案】B37.【答案】38. 【答案】⑴过点A 作AH BC ⊥，垂足为H∵AC AB =∴BC HC BH 21== 设x CD AC AB ===∵6=BD∴6+=x BC ，26+=x BH 在Rt △AHB 中，，又54cos =∠ABC ∴5426=+x x解得：10=x ，所以10=AB ⑵821===BC HC BH 2810=-=-=CH CD DH在Rt △AHB 中，222AB BH AH =+，又10=AB ，∴6=AH 在Rt △AHD 中，326tan ===∠DH AH ADC ∴ADC ∠的正切值是339. 【答案】⑴∵DE BC ∥，∴ADE ABC △∽△． ∴AD AB ＝13DE BC =. ⑵过点D 作DG BC ⊥，垂足为G ．∴DG AC ∥．∴A BDG =∠∠．又∵DE BC ∥，∴四边形ECGD 是平行四边形．∴DE CG =．∴6BG =．在Rt DGB △中，GOB A ∠=∠∴sin A =∠35．AB BH ABC =∠cos40. 【答案】C41. 【答案】C42. 【答案】⑴如图，作BH OA ⊥，垂足为H在Rt OHB △中，5BO =，3sin 5BOA ∠=， 3BH ∴=．4OH ∴=．∴点B 的坐标为(43)，．⑵10OA =，4OH =，6AH ∴=．在Rt AHB △中，3BH =，AB ∴=．cos AH BAO AB ∴∠==． 43.【答案】D 44.【答案】A 45.【答案】B 46. 【答案】D47. 【答案】12 锐角三角函数48. 【答案】35△AFE ≌△DFE ，45A FDE ∠=∠=︒，∵135135CDF EDB DEB EDB ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴ 2DEB CDF AC CF x ∠=∠==，设，，则21DF AF x CD ==-=，，由2(2)x -= 22351 44x x DF +==，得，，3sin sin 5CF BED CDF DF ∠=∠== 49. 【答案】⑴略⑵由△ABF ∽△DFE，得EF DF BF AB ===，故tan tan EF EBC EBF BF ∠=∠=．50.△AOB 为直角三角形．。
锐角三角函数测试的题目
《锐角三角函数》测试卷考试时间：90分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）A． B． C． D．2．（3分）如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（）A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的C ．没有变化D．不能确定3．（3分）若锐角α满足cosα＜且tan α＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°4．（3分）如果α是锐角，且sinα=，那么cos（90°﹣α）的值为（）A． B． C． D．5．（3分）在△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB的值为（）A． B．1 C． D．6．（3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为精彩文档（）A．120° B．135° C．145° D．150°7．（3分）计算：tan45°+sin30°= （）A．2 B ． C ． D ．8．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm9．（3分）如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A ．B ． C．5 D ．10．（3分）如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC 上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是（）A ．B ．C ．D ．精彩文档精彩文档第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（3分）已知＜cosA ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是 ．12．（3分）若α为锐角，且，则m 的取值范围是 ．13．（3分）已知α为一锐角，且cos α=sin60°，则α= 度． 14．（3分）已知∠A+∠B=90°，若，则cosB= ．15．（3分）比较大小：sin44° cos44°（填＞、＜或=）． 16．（3分）已知∠A 是Rt △ABC 的一个内角，且sinA ＜，那么∠A 的取值范是 ．17．（3分）将sin20°、cos20°、cos40°、cos80°的值由小到大的顺序排列 ．18．（3分）计算：tan44°•tan45°•tan46°= ．三．解答题（共10小题，满分66分）19．（10分）（1）计算：sin45°．(2)计算（3﹣π）0+﹣2cos60°．20．（8分）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A 在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）精彩文档20．（8分）放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝线AD，BD 均为线段，≈1.414，≈1.732，最后结果精确到1米）．21．（8分）目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）精彩文档22．（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为42cm，灯罩BC 长为32cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm ，参考数据：≈1.732）23．（8分）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．精彩文档24．（8分）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD 为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）精彩文档25．（8分）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．26．（8分）△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长？精彩文档2017年11月30日老九的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理求出BC，根据正弦的概念计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC==12，∴sinA==，故选：B．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c 的比叫做∠A的正弦是解题的关键．2．（3分）如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（）A．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的C．没有变化D．不能确定【考点】T1：锐角三角函数的定义．【分析】根据△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变和余切的概念解答．【解答】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变．故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键．3．（3分）若锐角α满足cos α＜且tan α＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜精彩文档60°【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【专题】12 ：应用题．【分析】先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出45°＜α＜90°；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出0＜α＜60°；从而得出45°＜α＜60°．【解答】解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cos α＜，∴0＜cos α＜，又∵cos90°=0，cos45°=，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tan α＜，∴0＜tan α＜，又∵tan0°=0，tan60°=，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选B．【点评】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．4．（3分）如果α是锐角，且sinα=，那么cos（90°﹣α）的值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】T3：同角三角函数的关系．【专题】11 ：计算题．【分析】根据互为余角三角函数关系，解答即可．【解答】解：∵α为锐角，，精彩文档∴cos（90°﹣α）=sinα=．故选B．【点评】本题考查了互为余角的三角函数值，熟记三角函数关系式，是正确解答的基础．5．（3分）在△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB的值为（）A ．B．1 C ． D ．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【分析】根据互为余角两角的关系，可得sinB，根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由△ABC中，∠C=90°，cosA=，得sinB=．由B是锐角，得∠B=30°，tanB=tan30°=，故选：C．【点评】本题考查了互为余角三角函数的关系，一个角的余弦等于它的余角的正弦．6．（3分）把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=，则∠2的度数为（）A．120°B．135°C．145°D．150°【考点】T5：特殊角的三角函数值；JA：平行线的性质．【分析】首先根据特殊角的三角函数值即可求得∠1的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余，以及平行线的性质即可求解．精彩文档【解答】解：∵sin∠1=，∴∠1=45°，∵直角△EFG中，∠3=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，∴∠4=180°﹣∠3=135°，又∵AB∥CD，∴∠2=∠4=135°．故选B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，以及直角三角形的性质、平行线的性质，正确理解平行线的性质是关键．7．（3分）计算：tan45°+sin30°=（）A．2 B ．C ．D ．【考点】T5：特殊角的三角函数值．【专题】11 ：计算题．【分析】将tan45°=1，sin30°=，分别代入，然后合并即可得出答案．【解答】解：∵tan45°=1，sin30°=，∴tan45°+sin30°=1+=．故选C．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握tan45°=1，sin30°=，难度一般，注意记忆一些特殊角的三角函数值．8．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是（）精彩文档A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【考点】T7：解直角三角形；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】根据垂直平分线的性质得出BD=AD，再利用cos∠BDC==，即可求出CD的长，再利用勾股定理求出BC的长．【解答】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，∴BD=AD，∴CD+BD=8，∵cos∠BDC==，∴=，解得：CD=3，BD=5，∴BC=4．故选A．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．9．（3分）如图，△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB的长为（）A ．B ．C．5 D ．【考点】T7：解直角三角形．【专题】16 ：压轴题．【分析】作CD⊥AB于D，构造两个直角三角形．根据锐角三角函数求得CD、AD的长，再根据锐角三角函数求得BD的长，从而求得AB的长．精彩文档【解答】解：作CD⊥AB于D．在直角三角形ACD中，∠A=30°，AC=，∴CD=，AD=3．在直角三角形BCD 中，，∴BD==2．∴AB=AD+BD=5．故选C．【点评】巧妙构造直角三角形，熟练运用锐角三角函数的知识求解．10．（3分）如图所示，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=，AC 上有一点E，满足AE：CE=2：3，则tan∠ADE的值是（）A ．B ．C ．D ．【考点】T7：解直角三角形．【专题】16 ：压轴题．【分析】过E点作CD的平行线交AD于F，设AE=2a，则CE=3a．tan∠C=，EF和DF分别可用a的代数式来表达，即可得出tan∠ADE的值．【解答】解：过E点作CD的平行线交AD于F．如图：∵AD是等腰△ABC底边上的高，tan∠B=，∴EF⊥AD，tan∠C=．设AE=2a，∵AE：CE=2：3，∴CE=3a，AC=5a．精彩文档∵tan∠C=，∴sin∠C=，cos∠C=．在直角△ADC中，AD=ACsin∠C=5a ×=3a．在直角△AFE中，AF=AE×sin∠AEF=AE×sin∠C=2a ×=．EF=AE×cos∠AEF=AE×cos∠C=2a ×=．在直角△DFE中，tan∠ADE=．故选B．【点评】考查等腰三角形的性质和三角函数的性质．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是20°＜∠A ＜30°．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】利用特殊角的三角函数值以及互余两角的锐角三角函数关系得出∠A的取值范围．【解答】解：∵＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．故答案为：20°＜∠A＜30°．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数值，得出sin70°=cos20°是解题关键．精彩文档12．（3分）若α为锐角，且，则m的取值范围是．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】根据余弦值的取值范围，列不等式求解．【解答】解：∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性．明确锐角三角函数的取值范围：正余弦的锐角三角函数值都是大于0而小于1，正余切的锐角三角函数值都是大于0．13．（3分）已知α为一锐角，且cosα=sin60°，则α= 30 度．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【专题】11 ：计算题．【分析】根据∠A，∠B均为锐角，若sinA=cosB，那么∠A+∠B=90°即可得到结论．【解答】解：∵sin60°=cos（90°﹣60°），∴cosα=cos（90°﹣60°）=cos30°，即锐角α=30°．故答案为：30．【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，牢记互余两角的三角函数关系是解答此类题目的关键．14．（3分）已知∠A+∠B=90°，若，则cosB= ．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【分析】根据互为余角的三角函数的关系：一个角的正弦等于它余角的余弦，可得答案．【解答】解：由∠A+∠B=90°，若，得精彩文档cosB=，故答案为：．【点评】本题考查了互为余角三角函数的关系，一个角的正弦等于它余角的余弦．15．（3分）比较大小：sin44°＜cos44°（填＞、＜或=）．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】首先根据互余两角的三角函数的关系，得cos44°=sin46°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．【解答】解：∵cos44°=sin46°，正弦值随着角的增大而增大，又∵44°＜46°，∴sin44°＜cos44°．故答案为＜．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．同时考查了互余两角的三角函数的关系．16．（3分）已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且sinA ＜，那么∠A的取值范是0°＜∠A＜45°．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】根据锐角三角函数值的变化规律正弦值随着角的增大而增大可以求出∠A的取值范围．【解答】解：∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，∵sinA ＜，∴0°＜∠A＜45°．【点评】考查了锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小．精彩文档17．（3分）将sin20°、cos20°、cos40°、cos80°的值由小到大的顺序排列cos80°＜sin20°＜cos40°＜cos20°．【考点】T2：锐角三角函数的增减性．【分析】把正弦转化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律，余弦值是随着角的增大而减小这一规律进行排列．【解答】解：∵sin20°=cos70°，余弦值随着角的增大而减小，∴cos80°＜sin20°＜cos40°＜cos20°．【点评】本题主要考查锐角三角形的增减性，在一个单调区间里，正弦函数和正切函数随角度增大而增大，余弦和余切反之．18．（3分）计算：cot44°•cot45°•cot46°= 1 ．【考点】T4：互余两角三角函数的关系．【分析】根据互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值就可以求解．【解答】解：cot44°•cot45°•cot46°=cot44°•cot46°•cot45°=1•cot45°=1．【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系、特殊角的三角函数值．三．解答题（共10小题，满分80分，每小题8分）19．（8分）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A 在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】如图，直角△ACD和直角△ABD有公共边AD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AD表示出CD与BD，根据CB=BD﹣CD即可列方程，从而求得AD的长，与170海里比较，确定轮船继续向前行驶，有无触礁危险．【解答】解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险理由如下：如图所示．精彩文档则有∠ABD=30°，∠ACD=60°．∴∠CAB=∠ABD，∴BC=AC=200海里．在Rt△ACD中，设CD=x海里，则AC=2x，AD===x，在Rt△ABD中，AB=2AD=2x，BD===3x，又∵BD=BC+CD，∴3x=200+x，∴x=100．∴AD=x=100≈173.2，∵173.2海里＞170海里，∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．【点评】本题主要考查了三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．20．（8分）放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝线AD，BD 均为线段，≈1.414，≈1.732，最后结果精确到1米）．精彩文档【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】作DH⊥BC于H，设DH=x米，根据三角函数表示出AH于BH的长，根据AH﹣BH=AB得到一个关于x的方程，解方程求得x的值，进而求得AD ﹣BD的长，即可解题．【解答】解：作DH⊥BC于H，设DH=x米．∵∠ACD=90°，∴在直角△ADH中，∠DAH=30°，AD=2DH=2x，AH=DH÷tan30°=x，在直角△BDH中，∠DBH=45°，BH=DH=x，BD=x，∵AH﹣BH=AB=10米，∴x﹣x=10，∴x=5（+1），∴小明此时所收回的风筝的长度为：AD﹣BD=2x ﹣x=（2﹣）×5（+1）≈（2﹣1.414）×5×（1.732+1）≈8米．答：小明此时所收回的风筝线的长度约是8米．【点评】本题考查了直角三角形的运用，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求得DH的长是解题的关键．21．（8分）目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，）精彩文档【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．【解答】解：此车没有超速．理由如下：过C作CH⊥MN，垂足为H，∵∠CBN=60°，BC=200米，∴CH=BC•sin60°=200×=100（米），BH=BC•cos60°=100（米），∵∠CAN=45°，∴AH=CH=100米，∴AB=100﹣100≈73（m），∴车速为m/s．∵60千米/小时=m/s，又∵14.6＜，∴此车没有超速．【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB 的长是解题关键．22．（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为42cm，灯罩BC 长为32cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）【考点】T8：解直角三角形的应用．【分析】根据sin30°=，求出CM的长，根据sin60°=，求出BF的长，得出CE的长，即可得出CE的长．【解答】解：由题意得：CD⊥AE，过点B作BM⊥CE，BF⊥EA．∵灯罩BC长为32cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，∵CM⊥MB，即三角形CMB为直角三角形，∴sin30°==，∴CM=16cm，在直角三角形ABF中，sin60°=，∴=，解得：BF=21，又∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=16+21+2≈54.4cm．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是54.4cm．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知求出CM，BF的长是解决问题的关键．23．（8分）如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】12 ：应用题．【分析】设EC=x，则在RT△BCE中，可表示出BE，在Rt△ACE中，可表示出AE，继而根据AB+BE=AE，可得出方程，解出即可得出答案．【解答】解：设EC=x，在Rt△BCE中，tan∠EBC=，则BE==x，在Rt△ACE中，tan∠EAC=，则AE==x，∵AB+BE=AE，∴300+x=x，解得：x=1800，这座山的高度CD=DE﹣EC=3700﹣1800=1900（米）．答：这座山的高度是1900米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是两次利用三角函数的知识，求出BE及AE的表达式，属于基础题，要能将实际问题转化为数学计算．24．（8分）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD 为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】在Rt△ABD中，求出BD，在Rt△ACD中，求出CD，二者相加即为楼高BC．【解答】解：在Rt△ABD中，∠BDA=90°，∠BAD=45°，∴BD=AD=20．在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=60°，∴CD=AD=20．∴BC=BD+CD=20+20（m）．答：这栋楼高为（20+20）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，将原三角形转化为两个直角三角形是解题的关键．25．（8分）如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高（精20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）．【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】121：几何图形问题．【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可．【解答】解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，由题意得，BC=EF=6米，BE=CF=20米，斜坡AB的坡度i为1：2.5，在Rt△ABE中，=，∴AE=50米．在Rt△CFD中，∠D=30°，∴DF=CFcot∠D=20米，∴AD=AE+EF+FD=50+6+20≈90.6（米）．故坝底AD的长度约为90.6米．【点评】本题考查了坡度及坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．26．（8分）△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长？【考点】T7：解直角三角形．【分析】首先过点C作CD⊥AB于D点，由在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，即可求得CD与AD的长，又由在Rt△CDB中，∠B=45°，即可求得BD的长，继而求得答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于D点，在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，∴CD=AC=×4=2，∴AD===2，在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=2，∴CD=DB=2，∴AB=AD+DB=2+2．【点评】此题考查了解直角三角形的应用．注意准确作出辅助线是解此题的关键．27．（8分）计算：（3﹣π）0+﹣2cos60°．【考点】T5：特殊角的三角函数值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．【分析】本题涉及实数运算、二次根式化简等多个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式=1+3﹣=3．【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数．28．（8分）计算：sin45°．【考点】T5：特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=﹣×+×=﹣+1=0．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．。
中考数学《锐角三角函数的综合》专项训练含详细答案
中考数学《锐角三角函数的综合》专项训练含详细答案一、锐角三角函数1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，33米，∵AB=AE-BE=6米，则3，解得：3则BE=（33+3）米．在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+3）米．∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P 作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12或33.【解析】【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形；（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴''DC DP DB DF = ， ∴△DP'C ∽△DF'B ；②当∠F′DB=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴'12DF BD =， ∴tan ∠DBF′='12DF BD =；当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB ，不符合题意；当∠DF′B=90°时，如图所示，∵DF′=DF=12BD ， ∴∠DBF′=30°， ∴tan ∠DBF′=33.【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.4．如图，矩形OABC 中，A(6，0)、C(0，3、D(0，3)，射线l 过点D 且与x 轴平行，点P 、Q 分别是l 和x 轴的正半轴上的动点，满足∠PQO ＝60º．(1)点B的坐标是，∠CAO＝ º，当点Q与点A重合时，点P的坐标为；(2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．【答案】（1）（6，23）． 30．（3，33）（2）()()()()243x430x3331333x x3x5S{23x1235x93543x9+≤≤-+-<≤=-+<≤>【解析】解：（1）（6，23）． 30．（3，33）．（2）当0≤x≤3时，如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，可得EF PE DC31==OQ PO DO333==，∴EF=13（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为：EFQO14343S S EF OQ OC 3x x 43233==+⋅=+=+梯形（）（） 当3＜x≤5时，如图2，()HAQ EFQO EFQO 221S S S S AH AQ 243331333 x 43x 3=x x 32232∆=-=-⋅⋅=+---+-梯形梯形。