一道高考题的解后反思
对一道光学高考题的错解纠正和反思
对 比 以 上 两 种 解
法， 主 要 问 题 是 在 哪 里
标挡住 ， 此 处 看 不 到 船 尾 端 Ｑ； 继 续下潜 Ａ ｈ 一４ ． ０ ｍ， 恰 好 能看见 Ｑ ． 求： （ １ ）水 的 折 射 率 ｎ ； （ ２ ）赛 艇 的长 度 ｚ ． （ 可 用
给 出 正 确 的解 答 ．
方法 ２ ： 变质量二体 系 动量定 理． 对 由空 中绳段 ， 和 分离质元 ｄ ｍ 构 成 的二 体 系 ， 由质 点 系 动量 定 理 有
进 入 眼睛 ， 则 Ｒ 点 以下 则 必 能 进 入 眼 睛 ，这 是 符 合 题
意 的． 反 思： 高 考 试
ｓ ｉ ｎ ｃ 一 一 手 ．
ｔ ａ ｎ ｃ 一 丽 ． ‘
㈩
（ ５ ）
／
图５
题的解 析版一 般 出
由 （ ４ ） 、 （ ５ ） 式 得 ｚ 一 （ 学一 ３ ． ８ ） ｍ ≈ ３ ． ３ ｍ ．
根式表示 ） 解析： （ １ ）如 图 ２所
‘ ：
浮标
Ｑ
发 生 全 反 射． 错 解 认 为 在 Ｒ 点 发 生 全反 射 ， 如 图 ４所 示 ， 理 解 为 Ｑ 点 发 出 的 光 线 在 Ｒ 点 发 生
示， 设过 Ｐ点光 线 ， 恰 好 被 浮标挡 住 时 ， 入射角、 折射 角分别为 ａ 、 卢 ， 则
习 中 引 起误 导 ．
题 目． （ ２ ０ １ １
错 误 的． 今 给 出 正 确
的解 法 如 下 ． （ ２ ）当 潜 水 员 恰 好能看见 船尾 Ｑ时 ， 船 尾 发 出 到 人 眼 光
会选择恰当方法是一题多解反思后的更高境界——一道高考参数取值范围问题的解题策略比较
ｇ ：号 ＝ ） 一 ＋ １
因此 ｇ ｘ 在 （ ， ］ 调递增 ， （ ） ０１单 此时
＞， ０
因此
６ 一 ≥
．
综 上所 述 ， ０＞１时 ， ≥ 一 ； ０＜口 １ 当 ６ 当 ≤
时 ，≥ ～ ６ ．
Ｃ ］ 值 ｇ１＝ 孚一 ＝ ， ｇ ）最 ＝（ 一 了 一 （ 大 ） １
题目 已知函数 ） ÷ ＋ ＋ ３其 ＝ ＋ ，
中口 ． ≠０
１ 上恒成 立 ， ］ 即
（ ） ｎ ６ 足什 么条件 时 ） 得极 值 ？ １ 当 ，满 取 （） ２ 已知 ｎ＞ ， ０ 且 ） 区间 （ １ 上 单 调递 在 ０， ］
增 ， 用 。表示 出 ６的取值 范 围． 试 下 面仅 给 出第 （ ） ２ 小题 的求 解方法 ．
由题 意知 ｆ （ ）＝ ｔ ２ｘ＋１ Ｃ， ｂ Ｘ ＋ ｉ ＞０在 区 间 （ ， ０
或 ：一 １ ２ （ 去） ＝一 管 舍云Ｊ ・ ．
１ 上恒成 立 ， ］ 即
６ 一 ， （１ ≥ 芋一 ｏ ］ １ ∈ ，． 设 （ ＝ 警 ， （１则 ｇ ） 一 一 ０］ １ ∈ ，，
① 当 １∈（ ，］ 即 口 ０ １ ， ≥ｌ时 ，
√０
①去 （） 时 Ｅ’， 当 ’ ， （Ⅱ √ ０， 、 ， ８ １ ∈ ０ 得 ＾ ， ｇ） ；（， ， ）． ｇ） ＞ ∈１）ｇ ＜于 （ （ 。 时 ｏ是 （ 在 （ 上调增 （ 单递， 。 单递，去］ 调减 此 ， 在， 上 因
［ ）
即
１
ｇ） 芋 ≤２ 一Ｃ （一（＋）一 ｘ ａ － ，
等 号成 立 的条 件为 ＝ １∈（ ， ］ 此 时 ０１ ，
√０
思解 思源 思教——一道高考试题的探究及反思
（） ２ 思路 ： 二 次 曲线 系 方 程， 过 两 曲线 用 经
（ Ｙ ０ ． Ｙ ，）＝ （ ）＝０的公 共 点 的 曲线 系 方程 是 ， （ Ｙ Ａ・ （ Ｙ Ｏ 但不 包括 曲线 （ Ｙ ，）＋ ，）＝ （ ，）＝
０； ） 反之 ， 曲线 系方 程 （ ＇ ． ）＋Ａ ・ （ ｙ ０并 ， ． ）＝
二
上 两点 ， Ⅳ（ ，） 线段 Ａ 点 １２ 是 Ｂ的 中点． （） １ 求直 线 Ａ Ｂ的方 程 ； （） ２ 如果 线 段 Ａ 的垂 直平 分 线 与 双 曲线 相 交 Ｂ
于 Ｃ Ｄ 两 点 ， 么 Ａ Ｂ， ， 四 点 是 否 共 圆？ 为 ， 那 ， ＣＤ 什么？
（ ０ ５年 湖北 卷 ） Ａ， ２０ 设 Ｂ是椭 圆 ３ ＋ ＝ Ｙ Ａ上
径 圆 在 的 圆
解法 三 ：
＋ 一） （÷ ＝ ｙ
（） ２ 思路 ： 根据 圆的几何性质 圆心一定在 弦的
垂直 平 分线 上 ， 以根 据 两 条 弦 的 垂直 平 分 线 的 交 所 点 找 出圆心 Ｎ， 证 明 Ⅳ到 四个点 Ａ， Ｐ， 然后 Ｂ， Ｑ的距 离 相等 即可．
１２ ２ 源 于高 考 ．． 类 似 的高考 题前 几年就 出现过 ：
１
线 Ｐ 的方程 ：Ｙ Ｙ＝０ 则 过 Ａ， Ｐ， 的二 次 曲 Ｑ ４ ｘ— ， Ｂ， Ｑ 线 系方程 为 ： （Ｙ Ｙ一 ） ４ ｘ— ）＋ ２ ＋，一 ４ ｘ＋ １ （Ｙ Ｙ Ａ（ ） ２）＝ （ ０Ａ 为参 数 ） 展 开整理 得 ： ．
（ ） 点 Ｐ关 于原 点 ０的对称 点 为 Ｑ， 明 ： ２设 证 Ａ，
Ｐ， Ｑ 四点 在 同一 圆上 ． Ｂ，
√芋 ＋ ÷＝ｆ （ 鞠２ ） ． ＿ （ ｆ ３－ 丁ｆ ．
一道高考题引发的教学思考
一道高考题引发的教学思考2022全国甲卷 14 题：若双曲线C：y2 一= 1(m> 0)的渐近线与圆x2 + (y 一 2)2 = 1相切，则m=.双曲线渐近线方程x一my= 0，由点 (0,2)到直线距离易得= 1 不m=该题属于基础题，但对于该题命题者背后到底想考查一个二次曲线间什么关系？双曲线渐近线 (离心率)刻画双曲线张口大小，换言之与渐近线相切刻画出圆与双曲线恒有 3 个交点. 因此可以考虑将该题作如下变式：变式 1：若双曲线C：y2 一= 1(m> 0)与圆E：x2 + (y一 2)2 = 1有三个不同交点，则m取值范围是 .学生解决问题过程如下：〈y2 一= 1 不(m2 +1)y2 一4y 一m2 +3=0........ *|l x2 +(y一2)2 =1= 16一 4(m2 +1)(3 一m2 ) = 4(m2 一 1)2学生试图用判别式刻画二次曲线间交点个数，却出现了 > 0恒成立的情况. 问题出在哪儿？学生思路是否正确呢？其实仔细观察发现双曲线C与圆E恒有一个公共点 (0,1) ，由两条曲线对称性可知关于y的二次方程*只需要在(1,+w)再产生一个解即可满足条件. 由韦达定理得4 3 一m21+y1 = 2 不y1 = 2 >1不0<m<1这样就可以顺利得到答案.反思：学生为何会m+1 m+1走入这样的解题误区而导致解题出错？原因一：还停留在初中对二次函数(方程) 研究仅限于整个实数集；原因二：受限于直线与二次曲线研究，而对于二次曲线与二次曲线研究不够深入，缺乏深度思考.对该题继续作以下变式：变式 2:已知点P为椭圆C：x2 + y2 = 1上一动点，点 A (0，1)，求线段PA最大值.4 32学生在解决变式 2 ，3 时非常迅速，作图很快出答案，大多数都认为当点 P 运动到椭圆下顶点(0,一)时线段PA达到最大 . 可事实真的如此？我们用代数法探究：变式 2：设点P(m,n), A(0,1), f (n) = PA= m+ (n一 1) = 一3n一2n+ 5,n=[一, ]关于 n 的二次函数开口向下，对称轴n=一3 ，：在 [一, ] 单调递减，f (n)max= f (一)= 2+ 4：PA max = +1，答案与学生预期吻合.变式3：设P(m, n), A(0, 1 ), f (n) = PA2 = m2 + (n一1 )2 = 一1n2 一n+ 17, n=[一, ]关于 n 的二次函数开口向下，对称轴n=一，：在[一, 一]单调递增， [一, ]单调递减f (n)max = f (一) = 5：PA max= ，答案与学生预期发生了冲突.那么到底问题出在哪儿？将问题一般化，探究点 A 坐标对于最值影响.变式 4：已知点 P 为椭圆C：+ = 1(a> b> 0)上一动点，点A (0，t) (t> 0) ，求线ab段PA最大值.P(m, n), A(0,t), f (n) = PA= m+ (n一t) = (1 一)n一 2tn+ a+ t , n=[一b, b]关于n2bb2t的二次函数开口向下，对称轴n=一 2 .c当n= 一共一b不t> c2时，f (n)在[一b, b]单调递减f(n)max =f(一b)=(b+t)2当n= 一>一b不t想c2时，f(n)在[一b,一]单调递增，[一,b]单调递减cbccb2ta2t22 a2t221学生的疑问便可以迎刃而解，华罗庚老先生说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，该题能够很好的诠释这句话.数学教学中要立足于学生问题产生的原因，针对学生问题去解决问题，做学生学习生活的陪伴者，将课堂还给学生立足于立德树人，服务选材.。
一道高考题的解后反思
（Ｉ 是 否 存在平行 于 Ｏ １） Ａ的直 线 ， 使 得直 线 ， ， 与 椭 圆 Ｃ有 公共 点 ，且直 线 Ｏ Ａ与 ， 的距 离等 于 ４ ７ 若 存在 ， 出直线 ， 求 的方程 ； 不存在 ， 若 请说 明理 由． １试题 评析 本题 巧妙 地 把直 线 与 椭 圆 的位置 关系 的考 查 和
平行 线 间 的距 离公 式 的考 查 融合 在 一 起 ，直 线 只要 满 足题 目所 给 的两个 条件 即可 ．
则 ： 解 ± 有 ４ 得： ， 挣 ， ２
由于 ｍ＝ ２ １ 仨 ４ ３ ４ ３ ， ＋ ＿ ４ ３ 卜 √ ，√ ］
故 这样 的直线 ， 不存在 ．
法 二 依 题意 ，直线 的方程为 ： ３ 一２ ｘ ｙ＝０，
体 意识 和 参 与度 ，才能 在教 学 活 动 中不 断 发展 学 生
良好的个性 ，如好奇心 ；坚强的信念与意志 ；数学
思维 品质 等 ．教 师 要做 到 胜不 骄 败 不馁 ，这样 才 能
意 识 和 能力 ，使 学 生处于 自觉能 动 的 学 习状态 ，感
受 学 习的成 功和乐 趣 ．
设椭 圆 Ｃ上的任意一点Ｐ４ｏＯ ２３ｉ ） ＜ ｚ ， （ ｓ ， ｓ ００ ｃ ４ ｎ （ ２）
则 点 Ｐ到 直线 ， 的距 离
２解法剖析
ｖ
２
１，
２
解
（ Ｉ）椭 圆 Ｃ： ＋ ＝１．过 程 略 ．
１ Ｏ ｌＺ
ｄ ｌ ｓ ｓ ｌ８ｓ 詈 ＝２ ｉ ｉ ） ｃ 。 ｎ ｌ 一
２ ６ ３１ 师要转 变教 育观念 ．教
福 建 中学数 学
２ １ 年 第 ９期 ０２
身 的知识 结 构 ，适 应新 课 程 的要 求 ，不断 提 高 自身 理 论专 业素养 ．
在反思中探索 在探索中创新——记一次解高考题的经历
所 以异面直线 ｃ Ｄ与 Ｓ Ｂ所成 的角为 ａｃ０ ． ｒｃｓ （） ２ 由题 意 ， Ｂ 为 等腰 三角 形 ， Ｂ Ｅ ＝ ＡＡ Ｅ Ａ
１０， ２ 。
‘ ． ．
所以 Ｓ Ｃ＝
， Ｈ＝ Ｂ
，Ｈ ＝ Ｃ
， 理 同
Ｓ Ｄ＝Ｓ ｎ ， Ｃ＝
推关 系中 ｎ ＝ｌ ＋—Ｌ 也有 “ ”把 两个 ” １， １ 都改 为 Байду номын сангаас
‘ — ｌ ‘
｛” 就成为了全日 制普通高级中学教科书（ 必
＇ １
常数 “ ” 结果会 怎样 ？把 一个 “ ” 为常数 “ ” 把 ｎ， １改 ｎ、
１
修） 数学第一 册 （ ）人 教 版 ） １０页习 题 ３ １ ３ 上 （ 第 １ ， ．
。 ＡＣ Ｆ为正三角形 ， Ｄ
。
．
．
Ｃ ＝ ＤＦ ， Ｆ
又 Ｂ Ｃ＝ＤＥ，
‘
．
／ ＢＣＤ ＝ ／ ＣＤＥ＝ １ ０ ． ２ 。
．
ＢＦ＝ ＥＦ ．
（） １求异 面直线 ∞ 与 ｓ Ｂ所成 的 角（ 用反 三角 函数值表示） ；
（） ２ 证明 Ｂ ＿ ＣＪ 平面 Ｓ Ｂ； Ａ
为常数“ ”把 另一个 “ ” 为常数 “ ” ｎ， １改 一ａ 结果会 怎
样 ？把一 个“ ” ｌ 改为常数“ ” 把另一个 “ ” 为常数 ａ， １改 “” ６ 结果又怎样 ？
（） ３这个数列 ｎ 的变化趋 势怎样？有没 有极限
存在 ？这 个数列 有没 有通 项公 式 ａ ， 如果有 ， 样 怎
（） ３ 用反三角函数值表示 二面角 Ｂ—Ｓ Ｃ—Ｄ 的 大小 （ 本小 问不必写 出解答过 程） ． 第 ３小问括号 里的 内容 “ 小 问不必 写 出解答 本 过程” 引起笔者的兴趣 ， 于是对该 小问的 解法 作了一
一道试题的解法探究与教学反思
一道试题的解法探究与教学反思广西南宁市第三十六中学（530001） 庞 毅［摘 要］通过对一道高三摸底试题进行考情分析、解法探究和问题拓展，揭示试题的本质，并从注重解题经验积累培养数学运算素养、注重信息技术应用培养学生数字素养两个方面提出教学反思。
［关键词］解法探究；教学反思；圆锥曲线；信息技术［中图分类号］ G 633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）05-0025-03解析几何是高考加强“综合性”考查的重要载体。
广西南宁市2024届高中毕业班摸底测试第21题将直线与椭圆的位置关系以及长度计算相结合，问题设计紧扣高考评价体系的“基础性、综合性、应用性、创新性”考查要求，既基础又开放，对高三数学复习备考具有重要的参考意义。
一、试题呈现与考情分析（一）试题呈现已知平面上动点E 到点A （1，0）与到圆B ：x 2+y 2+2x -15=0的圆心B 的距离之和等于该圆半径。
记Ε的轨迹为曲线Γ。
（1）说明Γ是什么曲线，并求Γ的方程；（2）设C 、D 是Γ上关于x 轴对称的不同两点，点M 在Γ上，且M 异于C 、D 两点，O 为原点，直线CM 交x 轴于点P ，直线DM 交x 轴于点Q ，试问||OP ·||OQ 是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。
评析：本题主要考查椭圆的定义、标准方程、几何性质和直线方程等主干知识，考查通过代数运算结果判断几何性质的坐标法和函数与方程、转化与化归以及数形结合等数学思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养。
第（2）问是开放性问题，重点考查学生的创新能力和探索精神。
（二）考情分析本题的考试情况如表1所示。
表1 考情分析题目第21题实考人数54110满分12平均分1.15标准差1.77难度0.15区分度0.21满分率0.16零分率29.52从统计的结果来看，本题总体平均分1.15，难度0.15，这个结果出乎命题组的预料。
高三试卷反思数学
时光荏苒，转眼间我们已迈入高三这个紧张而关键的阶段。
数学作为高考的重要科目之一，一直以来都备受重视。
在这段时间里，我认真对待每一次的数学试卷，但成绩总是不尽如人意。
通过对最近一次数学试卷的反思，我总结出以下几点：一、基础知识掌握不牢固在这次数学试卷中，我发现自己在基础知识方面存在不少漏洞。
比如，对于一些基本概念、公式和定理，我虽然能够熟练背诵，但在实际应用中却容易出现错误。
这主要是因为我在学习过程中没有注重知识的理解和运用，只是死记硬背。
因此，在今后的学习中，我要加强对基础知识的理解和掌握，做到灵活运用。
二、解题思路不够清晰在解答数学题时，我发现自己的解题思路不够清晰。
有时候，面对一道题目，我明明知道答案，却无法找到合适的解题方法。
这主要是因为我在解题过程中没有养成良好的思维习惯，没有及时总结归纳解题方法。
为了提高解题能力，我要在平时的学习中多思考、多总结，形成一套适合自己的解题思路。
三、计算能力有待提高在这次数学试卷中，我犯了较多的计算错误。
这主要是因为我在平时的学习中，对计算题不够重视，导致计算能力没有得到很好的锻炼。
为了提高计算能力，我要在今后的学习中多做一些计算题，特别是那些需要细心和耐心完成的题目。
四、时间分配不合理在这次数学试卷中，我因为时间分配不合理，导致有些题目没有足够的时间去思考和解答。
这主要是因为我在做题时，对于难题和易题没有做好区分，导致在难题上浪费了过多的时间。
为了提高时间利用效率，我要在今后的学习中，合理分配时间，确保在规定时间内完成所有题目。
五、心态调整不到位在这次数学试卷中，我因为紧张和焦虑，导致在考试过程中出现了一些失误。
这主要是因为我在考试前没有做好心态调整，没有保持良好的心态。
为了在今后的考试中发挥出更好的水平，我要学会调整心态，保持冷静和自信。
总结：通过对这次数学试卷的反思，我认识到了自己在数学学习上的不足之处。
在今后的学习中，我要努力改进，不断提高自己的数学能力。
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２０ 年 １ ０４ 月第 ３ ．０ ．２ 版 ２１２１
充分性： 因为ｌ ＋Ｐ ： ｃ所以ｌ 葡 一 Ｆｌ ２ ， 葡
维普资讯
２ ０ 第 ２期 ０８年
河北理 科教 学研 究
短 文 集锦
＋ Ｆ ４２ Ｉ ＋Ｉ Ｆ 一 ． Ｐ ＋ 帝 Ｉ Ｅ Ｐ ： ｃ ｉ ＋ Ｐ ・ ＝ ｊ — ２ 帝 Ｉ ２ Ｅ Ｐ Ｐ １ 一 Ｐ —
Ｐ≥３
Ｇｒ ｔ ｎ ｅｒ ｓ 不等式知 ：Ｐ ≤４ ＋ Ｒ ＋ ｅｅ ４ ｒ
３ｒ ２
的新颖的填空题 ， 若将其推广为一般， 则得
定 理 Ｅ， Ｆ是 椭 圆 ２ Ｘ
２
＝
＋
１ 。＞６＞ （
Ｅ ｌ 不等式 ：Ｒ＞２ ｕｒ ｅ １ ｒ
进 而 得 ： ∑ ｔ ＜ ｔ ｔ ２ ｔ ２
焦点 ， Ｐ是椭 圆或双 曲线 上一点 ， ｆ 若
＋
ｔ 成等差数列 ， 比数列 ｛ 的前 ｎ项和为 等 ａ｝ ｓ ， ｐ ， ， 成 等 差 数 列 ， 有 ： 若 ｒ ｔ 则
２ ａ ＋ ｐ ｋ ｌ ａ ＋ ． １ ｒ ｍ １ ａ ＋ ＋ｔｎ １（ ）
Ｊ ２， ＝ 半焦距为 ， 则△ Ｆ的面积 ＝
３ 问题 的引 申
２０ ０７高考全 国卷 （ 第 １ 题是 ： 比 Ｉ） ５ 等
数列 ｛ 的前 ｎ项 和为 ， ａ｝ 已知 ｌ２ ， ， ２ ３３ Ｓ 成等差数列 ， ｛ 的公 比为 则 ａ｝ 人教社高 中数学教 材 （０ ３ ２ ０ 年版 ） 第一 册（ ） １８例 ４是 ： 上 Ｐ２ 已知 是等 比数 列 ｛ 的前 ｎ ａ｝ 项和 ， ， ， 成等差数列 ， ３ ６ ９ 求 证 ａ ， ８ａ 成等差数列． ２ａ ， ５
≤— — —
≤—
＿ 一
曲线上的半焦距为 。则葡 ・ ：０的充分 ， 膏 必要条件是Ｉ ＋Ｐ － ｃ 葡 一 ＦＩ ２ ． 证明 必要性： 因为葡 ． ：０ 所以 ，
Ｅ Ｐ上 即 ， Ａ Ｆ 是 直 角 三 角 形 ， 即 ＥＰ 且
４Ｒ２ ２Ｒｒ４４ｒ ４Ｒ２ Ｒ２４ Ｒ２ ２ － ４ － ２ － ４ － Ｒ２
２ ｒ的一个 有趣 的隔离 ：
推论 ：２ ≤２ ＋ ｒ ｒ １ ∑ （ ６一ｃ Ｒ≤ ）≤ ２ ＋ １∑ （ 一ｃ ｒ ６ ） 定 ∑ ＜
≥ ｚ ≥
：
反 思
ｌ遥 ＿
＿ ＿ ＿ ＿
…
２ ０ 年高考全国卷 Ⅱ有这样一题 ：Ｆ ， ０７ ｌ
２
Ｆ是 曲 ２号＝ 的 右 点 在Ｐ ２ 双 线Ｘ 一 １左 焦 ，
＝
４ ｃ①
在 △ Ｆ 中 由 向量 几 何 意 义 得 Ｉ Ｅ 一 — Ｐ
一
＿ ＿ 秽 ．的 ： ！霉
， 。
＿ ＿
Ｐ ：ＩＰ一 Ｉ 商 Ｉ ２ ， ＦＩ Ｐ 葡 ：Ｉ ： ｃ所以。葡 Ｉ Ｉ ２
＋ＩＦ ２ Ｅ Ｆ 一 ． ４ ⑦ 帝 Ｉ— 葡 ・ ： ｃ Ｐ ２ Ｐ 一 ＝ （ Ｐ ４ ①一 ②得化简整理即 ． ： ． 商 帝 ０
一
ｔ ｔ
３
：
０ 或双 曲线 一 ：１ 口＞０ ｂ＞０ 的左 右 ） 一点， 椭圆或双
（ 二 ＝！ 垒 ）
ｒ Ｐ
— 一
（ ＝ ＝ ２一
２
ｐ 一２ ｒ ｆ Ｒ２ ４ －３ 一２ － ｒ Ｚ Ｒｒ － ２ ４ ４ ４ Ｒｒ４ ｒ ） － Ｒｒ４ ２
‘ ．
① ， Ｊ Ｆ Ｐ ２ ０， ｌ ￣ － ｌ Ｆ ：９。故 Ｚ
： ｃ ： ，
ｌ ：
代入 得ｌ ＋ Ｆｌ ２ ． ① 丽 一２： Ｐ
’
． 一 ＜ √ 号卜
・ ． ・
２ 问题 的推广
∑ ０ ＝２ （ Ｒｒ ） ３ Ｐ Ｐ 一６ 一３ ， ｒ
ｒ．
该 问题将 向量 数 量 积 、 向量 的模 和 圆锥 曲线 焦点 三 角形 融 为一 体 ， 一 道难 易 适 中 是
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２０ ０ ８年 第 ２期 故 ： ≤２ ＋上 ∑ （ ｒ ８ ６一ｃ ）
ｒ
河 北理科 教 学研 究
短 文集锦
（ 安徽 省 舒 城县 杭 埠镇 中心 学校 丁遵 标
２ １２ ） ３ ３ ３
。ｔ 曩
由此 ，我 们便 可得 到欧拉 不 等式 ：Ｒ≥
—
Ｅ ：９￣故 知 ｌ ０，
．
ｌ ：
：。设 ０ ，
故 ：∑ ＜
是坐标 原 点， 由向量 中点 公 式 知葡 ＝ 则
幽
，
参考文献
１ 匡继 昌 ． 常用 不等 式 ［ Ｍ］ ． 山东 科 学技 术 出版 社
．
即 ＋ Ｆ： 葡 铮ｌ ＋ 葡 一 ２ Ｐ 南
．
ｌ：２Ｉ — ｌ ＰＯ ：２ｃ
在 双曲 线上， 且两 ・ ： ， ｌ ＋ ０则 两
Ｐ ２＝ Ｆ Ｉ
１ 问题 的解法
证 明： ‘ ． ‘
√ ＿ 厂 （ 。
＝ ｒ
（ Ｐ一０ （ ） Ｐ—ｂ （ ） Ｐ—ｃ ）
２ ０２
（ 以下简 称 问题 ） ．
２Ｐ
０
‘
解 ： 坐 标 原 点 是 ０， 三 角 形 Ｆ Ｐ ２ 设 在 ｌ Ｆ
‘ ・
≤
０
云 而
２
Ｐ
＿＿ 二
一Ｔ ｜一 １旦 ： Ｐ
中， 由题意及 向量 中点 公 式知 ２ ： ＋ 所以 ｌ ＋ ｌ ｌ Ｏ ：２ — Ｐ ｌ ： Ｐ ｌ Ｏ ２一 Ｉ
，
又． ＜一 蒂＝１ ‘一 １ ‘ １ ＋ （ ） 一 ，
若引 申到焦点三角形的面积 ， 进行思考 ，
则 可得 到 定理 Ｅ、 Ｆ是 椭 圆 ＋ ＝１ ０＞ｂ＞ （
ａ‘ 。 ０‘ 。
ｏ 或 曲线 一 ＝１ 。＞０ ６＞ｏ 的左 右 ） （ ， ）
他们都可用如下命题来解答 ．
命 题 ： Ｐ， ， ， ， ， ∈ Ｎ 且 Ｐ， ， 设 ｒ ｔ ｋ ｍ ｎ ， ｒ