一道高考题的解后反思

Ｐ≥３
Ｇｒ ｔ ｎ ｅｒ ｓ 不等式知 ：Ｐ ≤４ ＋ Ｒ ＋ ｅｅ ４ ｒ
３ｒ ２
的新颖的填空题 ， 若将其推广为一般， 则得
定 理 Ｅ， Ｆ是 椭 圆 ２ Ｘ
２
＝
＋
１ 。＞６＞ （
Ｅ ｌ 不等式 ：Ｒ＞２ ｕｒ ｅ １ ｒ
进 而 得 ： ∑ ｔ ＜ ｔ ｔ ２ ｔ ２
３ 问题 的引 申
２０ ０７高考全 国卷 （ 第 １ 题是 ： 比 Ｉ） ５ 等
数列 ｛ 的前 ｎ项 和为 ， ａ｝ 已知 ｌ２ ， ， ２ ３３ Ｓ 成等差数列 ， ｛ 的公 比为 则 ａ｝ 人教社高 中数学教 材 （０ ３ ２ ０ 年版 ） 第一 册（ ） １８例 ４是 ： 上 Ｐ２ 已知 是等 比数 列 ｛ 的前 ｎ ａ｝ 项和 ， ， ， 成等差数列 ， ３ ６ ９ 求 证 ａ ， ８ａ 成等差数列． ２ａ ， ５
２ ｒ的一个 有趣 的隔离 ：
推论 ：２ ≤２ ＋ ｒ ｒ １ ∑ （ ６一ｃ Ｒ≤ ）≤ ２ ＋ １∑ （ 一ｃ ｒ ６ ） 定 ∑ ＜
≥ ｚ ≥
：
反 思
ｌ遥 ＿
＿ ＿ ＿ ＿
…
２ ０ 年高考全国卷 Ⅱ有这样一题 ：Ｆ ， ０７ ｌ
２
Ｆ是 曲 ２号＝ 的 右 点 在Ｐ ２ 双 线Ｘ 一 １左 焦 ，
—
Ｅ ：９￣故 知 ｌ ０，
．
ｌ ：
：。设 ０ ，
故 ：∑ ＜
是坐标 原 点， 由向量 中点 公 式 知葡 ＝ 则
幽
，
参考文献
１ 匡继 昌 ． 常用 不等 式 ［ Ｍ］ ． 山东 科 学技 术 出版 社
．
即 ＋ Ｆ： 葡 铮ｌ ＋ 葡 一 ２ Ｐ 南
．
ｌ：２Ｉ — ｌ ＰＯ ：２ｃ
２０ 年 １ ０４ 月第 ３ ．０ ．２ 版 ２１２１
充分性： 因为ｌ ＋Ｐ ： ｃ所以ｌ 葡 一 Ｆｌ ２ ， 葡
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２ ０ 第 ２期 ０８年
河北理 科教 学研 究
短 文 集锦
＋ Ｆ ４２ Ｉ ＋Ｉ Ｆ 一 ． Ｐ ＋ 帝 Ｉ Ｅ Ｐ ： ｃ ｉ ＋ Ｐ ・ ＝ ｊ — ２ 帝 Ｉ ２ Ｅ Ｐ Ｐ １ 一 Ｐ —
≤— — —
≤—
＿ 一
曲线上的半焦距为 。则葡 ・ ：０的充分 ， 膏 必要条件是Ｉ ＋Ｐ － ｃ 葡 一 ＦＩ ２ ． 证明 必要性： 因为葡 ． ：０ 所以 ，
Ｅ Ｐ上 即 ， Ａ Ｆ 是 直 角 三 角 形 ， 即 ＥＰ 且
４Ｒ２ ２Ｒｒ４４ｒ ４Ｒ２ Ｒ２４ Ｒ２ ２ － ４ － ２ － ４ － Ｒ２
焦点 ， Ｐ是椭 圆或双 曲线 上一点 ， ｆ 若
＋
ｔ 成等差数列 ， 比数列 ｛ 的前 ｎ项和为 等 ａ｝ ｓ ， ｐ ， ， 成 等 差 数 列 ， 有 ： 若 ｒ ｔ 则
２ ａ ＋ ｐ ｋ ｌ ａ ＋ ． １ ｒ ｍ １ ａ ＋ ＋ｔｎ １（ ）
Ｊ ２， ＝ 半焦距为 ， 则△ Ｆ的面积 ＝
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２０ ０ ８年 第 ２期 故 ： ≤２ ＋上 ∑ （ ｒ ８ ６一ｃ ）
ｒ
河 北理科 教 学研 究
短 文集锦
（ 安徽 省 舒 城县 杭 埠镇 中心 学校 丁遵 标
２ １２ ） ３ ３ ３
。ｔ 曩
由此 ，我 们便 可得 到欧拉 不 等式 ：Ｒ≥
在 双曲 线上， 且两 ・ ： ， ｌ ＋ ０则 两
Ｐ ２＝ Ｆ Ｉ
１ 问题 的解法
证 明： ‘ ． ‘
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
√ ＿ 厂 （ 。
＝ ｒ
（ Ｐ一０ （ ） Ｐ—ｂ （ ） Ｐ—ｃ ）
２ ０２
（ 以下简 称 问题 ） ．
２Ｐ
０
‘
解 ： 坐 标 原 点 是 ０， 三 角 形 Ｆ Ｐ ２ 设 在 ｌ Ｆ
若引 申到焦点三角形的面积 ， 进行思考 ，
则 可得 到 定理 Ｅ、 Ｆ是 椭 圆 ＋ ＝１ ０＞ｂ＞ （
ａ‘ 。 ０‘ 。
ｏ 或 曲线 一 ＝１ 。＞０ ６＞ｏ 的左 右 ） （ ， ）
他们都可用如下命题来解答 ．
命 题 ： Ｐ， ， ， ， ， ∈ Ｎ 且 Ｐ， ， 设 ｒ ｔ ｋ ｍ ｎ ， ｒ
‘ ・
≤
０
云 而
２
Ｐ
＿＿ 二
一Ｔ ｜一 １旦 ： Ｐ
中， 由题意及 向量 中点 公 式知 ２ ： ＋ 所以 ｌ ＋ ｌ ｌ Ｏ ：２ — Ｐ ｌ ： Ｐ ｌ Ｏ ２一 Ｉ
，
又． ＜一 蒂＝１ ‘一 １ ‘ １ ＋ （ ） 一 ，
＝
４ ｃ①
在 △ Ｆ 中 由 向量 几 何 意 义 得 Ｉ Ｅ 一 — Ｐ
一
＿ ＿ 秽 ．的 ： ！霉
， 。
＿ ＿
Ｐ ：ＩＰ一 Ｉ 商 Ｉ ２ ， ＦＩ Ｐ 葡 ：Ｉ ： ｃ所以。葡 Ｉ Ｉ ２
＋ＩＦ ２ Ｅ Ｆ 一 ． ４ ⑦ 帝 Ｉ— 葡 ・ ： ｃ Ｐ ２ Ｐ 一 ＝ （ Ｐ ４ ①一 ②得化简整理即 ． ： ． 商 帝 ０
一
ｔ ｔ
３
：
０ 或双 曲线 一 ：１ 口＞０ ｂ＞０ 的左 右 ） （ ， ）
焦点 ， Ｐ是椭 圆或双曲线上的一点， 椭圆或双
（ 二 ＝！ 垒 ）
ｒ Ｐ
— 一
（ ＝ ＝ ２一
２
ｐ 一２ ｒ ｆ Ｒ２ ４ －３ 一２ － ｒ Ｚ Ｒｒ － ２ ４ ４ ４ Ｒｒ４ ｒ ） － Ｒｒ４ ２
‘ ．
① ， Ｊ Ｆ Ｐ ２ ０， ｌ ￣ － ｌ Ｆ ：９。故 Ｚ
： ｃ ： ，
ｌ ：
代入 得ｌ ＋ Ｆｌ ２ ． ① 丽 一２： Ｐ
’
． 一 ＜ √ 号卜
・ ． ・
２ 问题 的推广
∑ ０ ＝２ （ Ｒｒ ） ３ Ｐ Ｐ 一６ 一３ ， ｒ
ｒ．
该 问题将 向量 数 量 积 、 向量 的模 和 圆锥 曲线 焦点 三 角形 融 为一 体 ， 一 道难 易 适 中 是