第九章 法方程解算方法
方程的解法与应用
方程的解法与应用方程是数学中一个重要的概念，可以用来表示数值之间的关系，并帮助解决实际问题。
本文将重点介绍方程的解法和应用。
一、方程的定义方程是一个数学等式，其中包含一个或多个未知数。
方程的目标就是找到使等式成立的未知数的值。
例如，2x + 3 = 7 就是一个简单的方程，未知数为x。
二、一元线性方程的解法一元线性方程是指只包含一个未知数x的方程，且其最高次项为1。
解一元线性方程的方法有两种：移项法和消元法。
1. 移项法移项法是通过移动方程中的项，使方程等式的两边相等，进而得到未知数的值。
例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以先将3移到等式右边，得到2x = 4，然后再将2x除以2，得到x = 2。
2. 消元法消元法是通过运用等式的性质，将方程中的某些项相互抵消，最终得到未知数的值。
例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以先将3移到等式右边，得到2x = 4，然后再将2x除以2，得到x = 2。
三、二元线性方程组的解法二元线性方程组是指包含两个未知数x和y的方程组。
解二元线性方程组的方法有图解法、代入法和消元法。
1. 图解法图解法是通过在坐标系中绘制方程的图形，寻找图形的交点来得到未知数的值。
例如，对于方程组{2x + 3y = 7x - y = 1}，我们可以画出两个直线的图形，然后找到它们的交点，该交点的x 和y坐标即为方程组的解。
2. 代入法代入法是先解其中一个方程得到一个未知数的值，然后将该值代入到另一个方程中求解另一个未知数的值。
例如，对于方程组 {2x + 3y = 7x - y = 1}，我们可以先解出第二个方程得到x = 2，然后将x = 2代入到第一个方程中求解y的值。
3. 消元法消元法是通过消去方程组中的某些项，将方程组化为更简单的形式，然后求解未知数的值。
例如，对于方程组{2x + 3y = 7x - y = 1}，我们可以通过将第二个方程乘以2得到2x - 2y = 2，然后将这个方程与第一个方程相减消去x的项，得到y = 1，再代入到任意一个方程中求解x的值。
九章算术中方程术的算法
九章算术中方程术的算法
《九章算术》是中国古代数学著作，其中“方程术”是其中的一部分。
方程术主要解决线性方程组问题，其算法主要包括以下几个步骤：
1.收集：将所有的项收集到一起，并按照方程的顺序排列。
2.加法消元：通过加法消元法，将多个方程中的某个未知数系数化为0，从而消除该未知
数。
3.移项：将方程中的某个未知数系数移到等号的另一边，从而得到该未知数的值。
4.除法：通过除法运算，将某个未知数的系数化为1，从而得到该未知数的值。
5.求解：通过上述步骤，可以得到所有未知数的值。
(完整版)方程求解的常用方法(方法最全最详细)
(完整版)方程求解的常用方法(方法最全最
详细)
方程求解的常用方法(完整版)
一、代入法
代入法是一种简单而常用的方程求解方法。
该方法适用于一元
方程或者多元方程中的某个变量可用其他变量表示的情况。
步骤：
1. 将已知的变量用其他变量表示。
2. 将上述表示式代入方程中。
3. 化简方程并解出未知变量。
二、因式分解法
因式分解法是一种适用于二次方程等特定形式方程的求解方法。
步骤：
1. 将方程化为等式为0的形式。
2. 尝试将方程进行因式分解。
3. 求解得到每个因子等于0时的解。
4. 将得到的解代入方程中验证是否为方程的解。
三、配方法
配方法是一种用于解决二次方程的方法。
步骤：
1. 将一次项系数化为完全平方。
2. 将方程进行配方。
3. 化简方程并解出未知变量。
四、分离变量法
分离变量法适用于一些可分离变量的常微分方程求解。
步骤：
1. 将方程通过合适的方式分离出未知变量。
2. 对两边同时积分。
3. 解出未知变量。
五、线性方程组的解法
对于线性方程组，有多种方法可用于求解。
常见的方法有：
1. 列主元消元法
2. 克莱姆法则
3. 逆矩阵法
4. 矩阵消元法
以上是方程求解过程中常用的方法，使用不同的方法可以根据具体的方程形式选择合适的解法。
当然，在实际应用中，还有更多方法可供选择，但本文只提供了一些常见且常用的方法。
请注意，方程求解过程中应谨慎使用其他未经证实的方法或内容。
解方程的方法有哪几种
解方程的方法有哪几种解方程，是数学中的基础知识，也是数学运用的重要工具。
在日常生活和工作中，我们经常会遇到各种各样的方程问题，因此掌握解方程的方法是非常重要的。
在数学中，解方程的方法有多种，下面我们将逐一介绍这些方法。
首先，我们来介绍一元一次方程的解法。
一元一次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
解一元一次方程的方法主要有两种，一种是利用加减消元法，另一种是利用代入法。
加减消元法是指通过加减运算，将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边，从而求出未知数的值。
而代入法则是将已知的数值代入方程中，通过计算得出未知数的值。
这两种方法都是解一元一次方程的常用方法，可以根据具体情况选择使用。
其次，我们来介绍一元二次方程的解法。
一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
解一元二次方程的方法主要有公式法、配方法和因式分解法。
公式法是指利用一元二次方程的求根公式，直接代入系数求解方程。
配方法是指通过变形将一元二次方程化为完全平方式，再进行求解。
因式分解法则是将一元二次方程进行因式分解，再利用因式分解的性质求解方程。
这些方法都是解一元二次方程的常用方法，可以根据具体情况选择使用。
最后，我们来介绍多元一次方程组的解法。
多元一次方程组是指含有多个未知数和多个方程的方程组。
解多元一次方程组的方法主要有代入法、加减消元法、克莱姆法则和矩阵法。
代入法是指将一个方程的解代入到另一个方程中，从而逐步求解未知数的值。
加减消元法是通过加减运算，将方程组化简为最简形式，再求解未知数的值。
克莱姆法则是利用行列式的性质求解方程组的未知数值。
矩阵法则是将方程组表示为矩阵形式，通过矩阵运算求解未知数的值。
这些方法都是解多元一次方程组的常用方法，可以根据具体情况选择使用。
总之，解方程的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
掌握这些方法不仅可以帮助我们解决数学问题，也可以在实际生活和工作中发挥重要的作用。
解方程（组）的十五种技巧
解方程（组）的十五种技巧
解方程（组）的十五种技巧包括：
移项法：将方程左右两边上的变量移动到另一边。
加减法：同时加减方程左右两边的相同项，以使得左边或右边为零。
乘除法：乘或除方程的左右两边的相同数，以使得左边或右边的系数为1。
用分数或小数代替：把方程的整数解转化为分数或小数解。
消元法：通过将方程组中的某些方程相加或减来消除其中一个未知数。
高斯消元法：通过将方程组的系数矩阵转化为一个上三角矩阵来求解方程组。
高斯-约旦法：通过将方程组的系数矩阵转化为一个单位矩阵来求解方程组。
分数解法：通过多项式除法或数学证明的方法解决分数方程。
因数分解法：通过因数分解的方法解决方程。
牛顿迭代法：通过牛顿迭代法求解方程。
导数法：通过函数的导数和原函数来解决方程。
拉林法：通过构造拉普拉斯矩阵来求解方程组。
配方法：通过代入值来求解方程。
牛顿-raphson法：通过对函数的近似值进行迭代来求解方程。
这些技巧可以根据具体的方程类型和求解目的来选择使用。
常用的解方程的技巧包括移项法，加减法，乘除法，高斯消元法和高斯-约旦法。
数学方程式的解法
检验未知数的值是否满足原方 程
移项与合并同类项
移项：将方程 中的同类项合 并，使未知数
系数为1
合并同类项： 将方程中的同 类项合并，简
化方程
注意事项：移 项时注意符号 变化，合并同 类项时注意系 数相加或相减
举例说明：通 过具体例子说 明移项与合并 同类项的方法
化为整式方程
定义：将分式方 程转化为整式方 程的过程
公式法
定义：公式法是 一种通过代数运 算和公式来解一 元高次方程的方 法。
步骤：首先将方 程化为标准形式， 然后利用求根公 式或因式分解法 求解。
适用范围：适用 于所有一元高次 方程。
注意事项：在使 用公式法时，需 要注意方程的根 可能是复数，需 要特别处理。
方程组的解法总 结与比较
感谢您的观看
因式分解法
定义：将一元二次方程转化为 两个一元一次方程，然后求解
步骤：移项、提取公因式、合 并同类项、求解
适用范围：当一元二次方程的 系数为整数且可以提取公因式 时使用
注意事项：在提取公因式时需 要注意符号和系数的处理
分式方程的解法
去分母
将方程两边同时乘以最简公分 母
消去分母，得到整式方程
解整式方程，得到未知数的值
一元高次方多 个一元一次方程的乘积
步骤：提取公因式、分组分解、 十字相乘法
适用范围：适用于一元高次方 程且系数之间存在某种关系
注意事项：分解因式时需注意 符号和运算的准确性
配方法
定义：将一元高次方程转化为可解的一元低次方程的方法 步骤：移项、配方、开方、求解 适用范围：一元高次方程且最高次项系数为1 注意事项：配方时需保持等式平衡，开方时注意正负根的取舍
加减消元法
方程的主要解法
方程的主要解法
在数学中，解方程是求出满足方程式的未知数值的过程。
方程的主要解法取决于方程的类型和次数。
以下是常见的方程主要解法：
1. 一元一次方程的解法：
一元一次方程的一般形式为：ax + b = 0，其中a和b是已知常数，x是未知数。
解法：通过移项和合并同类项，将方程化简为x = -b/a的形式，即可得到方程的解。
2. 一元二次方程的解法：
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。
解法：可以使用配方法、因式分解、求根公式（二次方程的根公式）等方法来求解方程的解。
3. 一元高次方程的解法：
对于一元高次方程（三次及以上），一般没有通用的代数解法。
在一些特殊情况下，可以使用因式分解、降阶等方法进行求解。
4. 二元一次方程组的解法：
二元一次方程组的一般形式为：
{ ax + by = c
{ dx + ey = f
其中a、b、c、d、e、f为已知常数，x和y为未知数。
解法：可以使用消元法、代入法或Cramer法则等方法求解方程组的解。
5. 高阶多元方程组的解法：
对于高阶多元方程组，解法往往较为复杂，可以使用线性代数的知识和数值计算方法来求解。
需要注意的是，解方程的过程可能涉及代数运算、因式分解、开方等数学技巧，解方程时应根据方程的具体形式选择合适的解法，并注意验证解的合法性。
在实际问题中，解方程是数学在各个领域的基础和关键步骤，具有重要的应用价值。
解方程的两种方法
解方程的两种方法解方程是代数学中的基本技能，在多种数学问题中都有着重要的应用。
解方程包括一元一次方程、一元二次方程、多元一次方程等多种形式。
在解方程过程中，有两种常用的方法，分别是代数法和图像法。
下面将详细介绍这两种方法的步骤和相关参考内容。
一、代数法代数法是一种通过代数运算的方法来解方程的方式。
主要步骤如下：1. 找到方程中的未知数。
2. 确定方程的类型，并利用对应的方法进行变形，使得未知数的系数或次数逐步降低。
3. 运用代数运算的规则，逐步消去未知数的系数或次数，得到未知数的值。
4. 检验解是否符合原方程，并给出最终的答案。
对于不同类型的方程，可以采用不同的变形方法，如一元一次方程可以利用加减法、乘除法等进行变形，一元二次方程可以利用配方法、公式法等进行变形。
在代数法的解题过程中，需要熟练掌握各种代数运算规则和方程变形的方法。
相关参考内容：1. 书籍推荐：《高中数学解题大全》、《代数方程题解》等。
2. 在线资源：数学学习网站中常常有关于代数法解方程的详细讲解和例题，如中国好老师网、作业帮、超星学习通等。
二、图像法图像法是通过绘制方程的图像，利用几何和图像分析的方法来解方程。
主要步骤如下：1. 将方程转化为函数的形式，即将方程中的未知数表示为函数的自变量。
2. 在坐标系中绘制函数的图像。
3. 根据图像和问题的具体要求，确定方程的解，包括零点、极值、交点等。
4. 检验解是否符合原方程，并给出最终的答案。
图像法的优势在于能够直观地观察方程的性质和特点，对于一些复杂方程或者无法通过代数运算得到解析解的方程，图像法可以起到辅助解题的作用。
相关参考内容：1. 书籍推荐：《数学图形解》、《数学应用题解》等。
2. 在线资源：数学学习网站中常常有关于图像法解方程的教学视频和实例练习，如中国好老师网、作业帮、超星学习通等。
总结：代数法和图像法是解方程的两种常用方法，代数法注重代数运算和方程变形，适用于多种类型的方程；图像法注重几何和图像分析，适用于观察方程的性质和作图求解。
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介绍法方程未知数及其函 数、法方程系数阵行列式和逆 矩阵的解算方法，及其在测量 平差中的应用。
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法方程解算方法与平差应用实例
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本章主要内容
法方程原位替换快速解算方法
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F f i 1
k 1
t
2 uk ( k 1)
nkk ( k 1)
(25)
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法方程解算方法与平差应用实例
3. 法方程未知数及其函数解的紧凑格式
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利用（21）式和（20）式可求得法方程未知数，利用 （23）式和（25）式可求得法方程未知数的函数值，这些计 算均可在“紧凑格式”表1中进行。
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本次课主要内容：
一、正定矩阵的三角分解
二、具有正定系数阵的法方程及其函数的解算
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一、正定矩阵的三角分解
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设法方程的系数阵为正定矩阵，即： 对称 n11 n n （1） 21 22 N nt1 nt 2 ntt 将N分解为下三角阵L与其转置矩阵的乘积，即 （2） N L LT 式中
2 2.5 7 1 5 5 17 3 2 2 2.5 5 5 3 2 117 7 12
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2 1 2 4 1 N 41 1 17 2.5 5 2.5 4.5 3 (2 2.5 3 1 5 2.5 17 4.5 2 2 2.5 2.5 5 4.5 2 117 3) 144 4 1 2 2 2 N 22 1 1 4.5 3 2 3 7
k 1
k 1 i 1
nkk ( k 1) n jk( k 1) nik( k 1) nkk ( k 1)
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(i 2,..., t ) (8) ( j i 1, i 2,, t )
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顾及（6）式、（7）式和（8）式对（16）式归纳整理得
k 1
其中
yi ui(i 1) / nii(i 1) （i=1，2，…，t） (17) i 1 n ik ( k 1) u k ( k 1) ui(i 1) ui (18) nkk ( k 1) k 1 u10 u1 , (i 1,2,, t )
t ,t t ,1 t ,1
或
NX U
其中N 阵正定
X x1 x2 ... xt T U u1 u2 ... ut T
(9) (10) (11) (12) (13)
将（2）式代入（9）式得： L LT X U 令 LT X Y Y y1 y2 ... yt T
i 1
i 1,2,..., t j i 1,..., t
( j 2,3,, t )
（5）
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（6）
顾及（6）式对（5）式归纳整理可得
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lii nii(i 1)
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线性方程组 解算求逆1
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线性方程组 解算求逆2 主页
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作 业:
第九章习题8
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法方程解算方法与平差应用实例
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第二节 逆矩阵原位替换快速解算方法
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授课目的要求: 明确逆矩阵原位替换快速解 算的基本原理，掌握其求解的方法步骤。 重 点、难 点: 在紧凑格式中求逆的方法步骤。
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l ji
其中
1 nii( i 1)
n ji(i 1)
(i 1,2,, t ) ( j i 1,, t )
(7)
nii(i 1) nii
i 1
2 nik ( k 1)
n ji(i 1) n ji n j10 n j1
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本次课主要内容：
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经典矩阵求逆法回顾
一、正定矩阵三角分解求逆法概述 二、求矩阵的分解下三角阵的逆阵 三、利用分解下三角阵的逆阵求原矩阵的逆阵 四、正定矩阵三角分解求逆的紧凑格式 五、算例 六、课堂练习
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17 11 N11 1 2.5 5
2.5 4.5 3
5 3 7
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17 4.5 7 2.5 3 5 2.5 3 5 5 4.5 5 3 3 17 2.5 2.5 7 301.25
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L l11 l 21 l t1 l 22 lt 2 ... l tt
（3）
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分解式又可表示为：
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对称 l11 n11 n n 21 22 l21 nt1 nt 2 ntt lt 1
( 4.0 ) ( 2.0 ) ( 1.0 ) ( 17.0 ) ( 2.5 ) ( 5.0 ) ( -17.5 ) ( 4.5 ) ( 3.0 ) ( 0.0 ) ( 7.0 ) ( 36.0 ) 主页 x1= x2= x3= x4=
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( 2.0 ) ( 1.0 )
( -7.0 )
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2 1 2 2 1 N 21 1 2.5 4.5 3 5 3 7 (2 4.5 7 1 3 5 2.5 3 2 2 4.5 5 3 3 2 1 2.5 7) 12.5 2 1 2 31 N 31 1 17 2.5 5 5 3 7
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x1=
( 4.0 ) ( 2.0 ) ( 17.0 )
x2=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
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( 1.0 )
( 2.0 ) ( 1.0 )
(
(
2.5 ) ( 4.5 )
5.0 ) ( 3.0 )
( ( 7.0 ) ( -7.0 ) ( 36.0 )
x3=
x4=
( -17.5 )
0.0 )
则有
LY U
(14) (15)
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将（3）式、（14）式和（11）式代入（15）式，并用 比较法可解得
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i 1
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yi ( ui lik y k ) / lii （i=1，2，…，t） (16)
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经典矩阵求逆法回顾
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4 计算矩阵N的逆阵
由公式
2 1 2 2 17 2.5 5 N 1 2.5 4.5 3 2 5 3 7 1 1 N ji mm N N
1.计算代数余子式
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2. 求法方程未知数的函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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设法方程未知数的函数为：
F f1 x1 f 2 x2 f t xt f t 1
(22)
将（21）式和（20）式依次代入上式并归纳整理得：
F f t 1
k 1
表1 线性对称方程组解算的紧凑格式 1 2 … t
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的函数不只一个, 则每增加一个函数在表1中增加一行, 填 入相应 f i 和 f t 1 的值，按计算F的方法计算即可。
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4. 算例 已知法方程
4 x1 2 x2 17 x 2 2.5x 2 5x 2
t
f k ( k 1)uk ( k ik ( k 1) f k ( k 1) f i( i 1) f i nkk ( k 1) k 1 f10 f1
(23)
(24)
当（22）式中 fi= ui (i=1,2,...,t) 时，又可得：
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xi
1 nii(i 1)
(ui(i 1)
k i 1
n
t
ki ( i 1) k
x )
(i t 1,...,1) (20)
当 i=t 时有：
xt
ut (t 1) ntt( t 1)
(21)
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