高考数学测试卷(含答案)
高考数学测试卷
第Ⅰ卷 （选择题，共12分）
一、选择题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知角α为第三象限角，且3
tan 4α=
，则sin cos αα+= A ．7
5
- B ．15- C ．15
D ．
7
5
2．已知12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，
满足21π
2
PF F ∠=，连接1PF 交y 轴于点Q ，若22QF c =，则双曲线的离心率是
A ．2
B ．3
C ．12+
D ．13+
3．已知点O 在二面角AB αβ--的棱上,点P 在半平面α内,且45POB ∠=o
．若对于半平面β内异于O 的任意一点Q ,都有45POQ ∠≥o
,则二面角AB αβ--的取值范围是 A ．π[0,]4
B ．ππ[,]42
C ．π[,π]2
D ．π[,π]4
4．已知x ∈R 且0x ≠，θ∈R ，则2
22
(1sin )(1cos )x x x
θθ+-+--+的最小值是 A ．22
B ．8
C ．122+
D ．942-
第Ⅱ卷（非选择题部分，共38分）
二、填空题：本大题共4小题，6个空格，每个空格3分，共18分.
5．若6
2()a x x
-
展开式中3x 项的系数为12-，则a = ▲ ；常数项是 ▲ . 6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π
3
A ∠=，7,5a b ==，点D 满
足2BD DC =u u u r u u u r
，则边c = ▲ ；AD = ▲ .
7．已知直线1l ：210x y -+=，直线2l ：420x y a -+=，圆C ：2
2
20x y x +-=.
若C 上任意一点P 到两直线1l ，2l 的距离之和为定值25a = ▲ . 8．现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人. 从中选出4人
担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有 ▲ 种不同的选法.
三、解答题：本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9．(本小题满分10分) 已知函数()sin3cos cos3sin cos 2f x x x x x x =-+． (Ⅰ) 求π()4
f 的值； (Ⅱ) 求()f x 的单调递增区间．
10．(本小题满分10分) 已知1F ,2F 是椭圆C ：2
212
x y +=的左右焦点，,A B 是椭圆C 上的两点，且都在x 轴上方，1AF 2BF ∥，设21,AF BF 的交点为M ． （Ⅰ）求证：
12
11AF BF + 为定值； （Ⅱ）求动点M 的轨迹方程．
厚德教育高中数学答题卷
一、选择题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分
1、___________
2、_____________
3、______________
4、_____________
二、填空题：本大题共4小题，6个空格，每个空格3分，共18分．
5.________，______；
6. _________，__________；
7.________________；8. __________________；
三、解答题：本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9. (本小题满分10分)
10、(本小题满分10分)
高考数学测试卷参考答案
二、 选择题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分
1-4ACCD
二、填空题：本大题共4小题，6个空格，每个空格3分，共18分．
5. 2，60；
6. 8；
7. 18-；
8. 60；
三、解答题：本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9. (本小题满分10分)
解 (Ⅰ) 因为 π3ππ3πππ
()sin cos cos sin cos 444442
f =-+
02222
=
⨯++ 1=
所以 π
()14
f = …………………………………………………………5分
(Ⅱ) 因为 ()sin(3)cos 2f x x x x =-+
π
)4
x =
+ …………………………………………………9分
（化简出现在第（Ⅰ）小题中同样给4分） 由正弦函数的性质得 πππ
2π2+2π242k x k -
+≤≤+，Z k ∈ 解得
3ππ
ππ88
k x k -
+≤≤+，Z k ∈ 所以
()f x 的单调递增区间是3ππ
[π, π]88
k k -
++，Z k ∈………………………14分
10．(本小题满分10分)解：
（I ）证1：设直线1AF 所在直线的方程为1x my =- ，
与椭圆方程联立
2222,
1,
x y x my ⎧+=⎨
=-⎩ 化简可得()
22+2-210m y my -= 因为A 点在x 轴上方， 所以
22A y m =
+
所以
(12
02
A m AF y m +=-=
+
同理可得：(22
02
B m BF y m -=-=
+…………4分
所以
211AF =，
221BF =
所以
2212
11+AF BF =
2⎛⎫
221-m m +
⎪
⎭
=………………………………7分 证2：如图2所示，延长1AF 交椭圆于1B ,由椭圆的对称性可知：112B F BF =,
所以 只需证明
111
11+AF B F 为定值， 设直线1AF 所在直线的方程为1x my =- ，与椭圆方程联立
2222,1,
x y x my ⎧+=⎨
=-⎩ 化简可得：()22
+2-210m y my -=
所以
111122
11111
++
AF B F y y y
⎛⎫
=-
⎪⎪
⎭
=
=
==7分
（II）解法1：设直线
2
AF，
1
BF所在直线的方程为
1
1
x k y
=+，
2
1
x k y
=-
1
2
1,
1,
x k y
x k y
=+
⎧
⎨
=-
⎩
所以M点的坐标为
12
21
21
2
k k
x
k k
y
k k
+
⎧
=
⎪-
⎪
⎨
⎪=
⎪-
⎩
……………………………………10分
又因为
1
122
A A
A A A
x my
k m
y y y
--
===-，
2
122
B B
B B B
x my
k m
y y y
++
===+所以
12
22
2211
+=+=22
2
A B B A
k k m m m
y y y y
m
⎛⎫
-++-
⎪
⎝⎭
⎛⎫
=
⎝
所以()
12
+226
k k m m m
=+=，
22
21
-2
k k
⎛⎫
=
所以
12
21
21
2
k k
x
k k
y
k k
+
⎧
===
⎪-
⎪
⎨
⎪===
⎪-
⎩
所以()
22
1 0
91
88
x y
y
+=>……………………………………………………15分
解法2：
如图3所示，设1122,AF d BF d ==，则
11
2
MF d MB d =， 所以 111
1111212
MF d d MF BF BF d d d d =⇒=⋅++
又因为122BF BF a +==
所以122BF BF d ==
所以()
12
1
111212
d d d MF BF d d d d =⋅=++ ……………………………………10分
同理可得(
)21
212
d d MF d d =
+，所以
(
)(
)12
2
1
12
1212
12
12
2d d d d d d MF MF d d d d d d +=
+=+++ ……………12分
由(I)
可知
121221
111+d d d d d d =+ ……………………………………………14分
所以12MF MF +=
所以动点M 的轨迹方程为()22
1 09188
x y y +=>………………………………15分
第10题图3
1
2。
2023年全国统一高考数学试卷(北京卷)含答案
2023年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学本试卷满分150分.考试时间120分钟.一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x ∣∣，则M N （）A.{21}x x ∣B.{21}x x ∣C.{2}xx ∣ D.{1}xx ∣2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是( ，则z 的共轭复数z （）A.1B.1C.1D.13.已知向量a b，满足(2,3),(2,1)a b a b rrrr，则22||||a b rr（）A.2B.1C.0D.14.下列函数中，在区间(0,) 上单调递增的是（）A.()ln f x x B.1()2xf xC.1()f x xD.|1|()3x f x 5.512x x的展开式中x 的系数为（）．A.80B.40C.40D.806.已知抛物线2:8C y x 的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x 的距离为5，则||MF （）A.7B.6C.5D.47.在ABC V 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B ，则C （）A.π6B.π3C.2π3 D.5π68.若0xy ，则“0x y ”是“2y xx y”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为145，则该五面体的所有棱长之和为（）A.102mB.112mC.117mD.125m10.已知数列 n a 满足 31166(1,2,3,)4n n a a n，则（）A.当13a 时， n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M 恒成立B.当15a 时， n a 为递增数列，且存在常数6M ，使得n a M 恒成立C.当17a 时， n a 为递减数列，且存在常数6M ，使得n a M 恒成立D.当19a 时， n a 为递增数列，且存在常数0M ，使得n a M 恒成立二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数2()4log xf x x ，则12f____________．12.已知双曲线C 的焦点为(2,0) 和(2,0)，离心率为，则C 的方程为____________．13.已知命题:p 若, 为第一象限角，且 ，则tan tan ．能说明p 为假命题的一组, 的值为 __________， _________．14.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ，则7a ___________；数列 n a 所有项的和为____________．15.设0a，函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a ，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a 上单调递减；②当1a 时，()f x 存在最大值；③设 111222,,,M x f x xa N x f x x a ，则||1MN ；④设 333444,,,P x f x xa Q x f x x a ．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.如图，在三棱锥 P ABC 中，PA 平面ABC ，1PA AB BC PC，．（1）求证：BC 平面PAB ；（2）求二面角A PC B 的大小．17.设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x．（1）若(0)2f，求 的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33上单调递增，2π13f，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求, 的值．条件①：π3f；条件②：π13f；条件③：()f x 在区间ππ,23上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b 的离心率为3，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC ．（1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y 交于点N ．求证：//MN CD ．20.设函数3()e ax b f x x x ，曲线()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x ．（1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x ，求()g x 的单调区间；（3）求()f x 的极值点个数．21.已知数列 ,n n a b 的项数均为m (2)m ，且,{1,2,,},n n a b m L ,n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ．对于 0,1,2,,k m L ，定义max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m L ∣，其中，max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ，求0123,,,r r r r 的值；（2）若11a b ，且112,1,2,,1,j j j r r r j m L ，求n r ；（3）证明：存在 ,,,0,1,2,,p q s t m L ，满足,,p q s t 使得t p sq A B A B ．参考答案【1题答案】A 【2题答案】D 【3题答案】B 【4题答案】C 【5题答案】D 【6题答案】D 【7题答案】B 【8题答案】C 【9题答案】C 【10题答案】B 【11题答案】1【12题答案】22122x y 【13题答案】9π4π3【14题答案】48384【15题答案】②③【16题答案】（1）证明略（2）π3【17题答案】（1）π3.（2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件③可解得1 ，π6.【18题答案】（1）0.4（2）0.168（3）不变【19题答案】（1）22194x y （2）证明略【20题答案】（1）1,1a b（2）略（3）3个【21题答案】（1）00r ，11r ，22r ，33r （2）,n r n n N （3）证明略。
2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)
2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。
2023年高考数学真题-新高考Ⅰ卷数学(含答案及详细解析)
2023年高考数学真题-新高考Ⅰ卷数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合M={−2，−1，0，1，2}，N={x|x2−x−6⩾0}，则M∩N=（）A．{−2，−1，0，1}B．{0，1，2}C．{−2}D．{2}2．已知，则=（）A．−i B．i C．0D．13．已知向量a=(1，1)，b=(1，−1).若(a+λb)⊥(a+µb)，则（）A．λ+µ=1B．λ+µ=−1C．λµ=1D．λµ=−14．设函数在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是（）A．(−∞，−2]B．[−2，0)C．(0，2]D．[2，+∞)5．设椭圆的离心率分别为.若，则（）A．B．C．D．6．过点(0，−2)与圆x2+y2−4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα=（）A．1B．C．D．7．记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：为等差数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．已知，则（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（）A．的平均数等于的平均数B．的中位数等于的中位数C．的标准差不小于的标准差D．的极差不大于的极差10．噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限间值，是实际声压.下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（）A．B．C．D．11．已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则（）A．f(0)=0B．f(1)=0C．f(x)是偶函数D．x=0为f(x)的极小值点12．下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有（）A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种(用数字作答).14．在正四棱台中，，则该棱台的体积为. 15．已知函数f(x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.16．已知双曲线的左、右焦点分别为.点在上.点在轴上，，则的离心率为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.17．已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A−C)=sinB.（1）求sinA；（2）设AB=5，求AB边上的高.18．如图，在正四棱柱中，.点分别在棱上，，.（1）证明：；（2）点在棱上，当二面角为时，求.19．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.20．设等差数列的公差为，且，令，记分别为数列，的前项和.（1）若，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求.21．甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则，记前次(即从第1次到第次投篮)中甲投篮的次数为，求.22．在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0，)的距离，记动点P的轨迹为W.（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于.答案解析部分1．【答案】C【知识点】交集及其运算；一元二次方程【解析】【解答】∵，∴，∴，即，则。
2023届高考数学综合测试(全国卷部分)(解析版)
)高三数学综合测试一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集 {U x =Z ∈x ≤3}，集合A ={ 3,−−1, 2,3}，B = {−3,0,1, 2}，则( UB A ∩= （ ） A ．∅B ．{}1C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】C 【详解】因为全集{}{}{}3333,2,1,0,1,2,3U x x x x =∈≤=∈−≤≤=−−−Z Z ，又因为{}3,1,2,3A =−−，{}3,0,1,2B =−，则{}2,0,1U A =− ，因为(){}0,1U A B ∩=.故选：C. 2．若虚数z 使得z 2+z 是实数，则z 满足（ ） A ．实部是12−B ．实部是12C ．虚部是0D ．虚部是12【答案】A 【详解】设i z a b =+（,R a b ∈且0b ≠），222222(i)(i)2i i (2)i z z a b a b a ab b a b a a b ab b +=+++=+−++=+−++，2z z+是实数，因此20ab b +=，0b =（舍去），或12a =−．故选：A ． 3．已知向量,ab 的夹角为120 ，且,a b 是函数()256f x x x −=+的两个零点.若()(2)a b a λλ+⊥> ，则λ=（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A 【详解】解：因为函数()256f x x x −=+的两个零点分别为2，3，所以2,3a b == 或3,2a b == . 又()a b a λ+⊥ ，所以()0a b a λ+⋅= ，则20a a b λ+⋅= ，即2||cos1200a a b λ+=. 当2,3a b == 时，142302λ+×××−=，解得43λ=（舍去）；当3,2a b == 时，193202λ+×××−=，解得3λ=，满足2λ>. 综上，3λ=故选：A4．已知函数1,()2,xx x a f x x a +≤ = > ，若()f x 的值域是R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],0−∞B ．[]0,1C ．[)0,∞+D ．(],1−∞【答案】B 【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数1y x =+和()2x g x =的图象如下图所示： 由图可知，当0x =或1x =时，两图象相交，若()f x 的值域是R ，以实数a 为分界点，可进行如下分类讨论： 当a<0时，显然两图象之间不连续，即值域不为R ；同理当1a >,值域也不是R ； 当01a ≤≤时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是R ； 综上可知，实数a 的取值范围是01a ≤≤.故选：B5．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D （第一段圆弧），再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧…….以此类推，当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）A ．14πB ．18πC ．24πD ．30π【答案】D 【详解】依题意，每段圆弧的圆心角为2π3，第一段圆弧到第n 段圆弧的半径构成等差数列：1，2，3，…，n.， 所以当得到的“蚊香”恰好有9段圆弧时，“蚊香”的长度为π(19)292π330+××=.故选：D. 6．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm ，高10cm ，加工方法为在底面中心处打一个半径为r cm 且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r 的值应设计为（ ） A ．BC ．4D ．5【答案】D 【详解】大圆柱表面积为2215π10215π750π×+××= 小圆柱侧面积为102πr ×，上下底面积为22πr所以加工后物件的表面积为2750π20π2πr r +−，当=5r 时表面积最大.故选：D7．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中π0,0,02A ωϕ−>><<.在已知21x x 的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（ ） A ．ωB ．ϕC ．φωD ．sin A ϕ【答案】B 【详解】根据图象可知，函数()f x 的图象是由sin y A x ω=向右平移ϕω−个单位得到的；由图可知12()()0fx f x ==，利用整体代换可得120,πx x ωϕωϕ+=+=， 所以21πx x ϕϕ−=−，若21x x 为已知，则可求得21π1x x ϕ=−.故选：B 7*．已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω=+>< .若55,662424f x f x f x f x ππππ+=−−−+=−−，且()f x 在区间,32ππ上单调，则ω=（ ） A ．43B ．43或4 C ．4D ．43或203【答案】B 【详解】由66f x f x ππ+=−−，得函数()f x 的图象关于点,06π中心对称； 由552424f x f x ππ−+=−−，得函数()f x 的图象关于直线524x π=−对称，所以5,62442T kTk ππ −−+∈ Z ，解得()3,212T k k π∈+Z ， 即()23,212k k ππω=∈+Z ，得()412,3k k ω+=∈Z.因为()f x 在区间,32ππ上单调，所以232T ππ−≤，即3T π≥， 所以23ππω≥，解得6ω≤.又()412,3k k ω+=∈Z ，所以0k =或1k =.当0k =时，43ω=，则4,36k k πϕπ×+=∈Z ，得29k πϕπ=−. 由2πϕ<，得29πϕ=−，此时()42sin 39f x x π =− ，当524x π=−时，5sin 1242f ππ−=−=−，符合题意； 当1k =时，4ω ，则4,6k k πϕπ×+=∈Z ，得2,3k k πϕπ=−∈Z . 由2πϕ<，得3πϕ=，此时()sin 43f x x π=+， 当524x π=−时，5sin 1242f ππ−=−=−，符合题意. 综上，43ω=或4ω .故选：B. 8．已知圆22:1C x y +=，点P 为直线:240l x y −−=上一动点，下列结论不正确的是（ ） A ．直线l 与圆C 相离B ．圆C 上有且仅有一个点到直线l 的距离等于1C ．过点P 向圆C 引一条切线P A ，A 为切点，则PA的最小值为D ．过点P 向圆C 引两条切线P A 和PB ，A 、B 为切点，则直线AB 过定点【答案】B 【详解】对于A ，圆心(0,0)C 到直线 240x y −−=的距离1d r =>=，所以直线与圆相离，故A 正确； 对于B ，由A知d =011d r∴<−=<，故圆C 上有2个点到直线l 的距离等于1，故B 错误； 对于C，||PA = ，当且仅当PC 与直线240x y −−=垂直时等号成立，所以PA 的最小C 正确； 对于D ，设点00(,)P x y ，则00240x y −−=，即00122y x =−， 由切线性质可知,,,C A B P 四点共圆，且圆的直径为CP ，所以圆的方程为22220000()()224x y x y x y +−+−=， 两圆的方程作差，得公共弦AB 所在直线方程为001xx yy +=， 即001(2)12xx y x +−=，整理可得01()2102x y x y +−−=，解方程102210x y y += −−= ，解得1412x y= =−， 所以直线AB 过定点11,42−，故D 正确.故选：B9．已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，点P 在线段1B C 上，有下列四个结论：①11AB CD ⊥；②点P 到平面1A BD③二面角11A B C D −−的余弦值为23；④若四面体11B ACD 的所有顶点均在球O 的球面上，则球O的体积为. 其中所有正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】如图，连接1DC .因为四边形11DCC D 为正方形，所以11DC CD ⊥.又11AB DC ∥，所以11AB CD ⊥，故①正确；因为11//B C A D ，1A D ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ， 所以1//B C 平面1A BD ，所以点P 到平面1A BD 的距离即为点1B 到平面1A BD 的距离d .因为1111B A BD D A BB V V −−=三棱锥三棱锥，所以2111111332d ×=××××，解得d =②正确； 由题意知111,AB C D B C 为全等的等边三角形，当点P 为1B C 的中点时，连接1,AP D P ，则111,AP B C D P B C ⊥⊥，所以1APD ∠为二面角11A B C D −−的平面角.由题意知11AD AP D P===，在1APD △中，由余弦定理，得22211112cos AD AP D P AP D P APD ∠=+−×××，即22212cos APD ∠+−，所以11cos 3APD ∠=，故③错误； 因为四面体11B ACD 的外接球即为正方体1111ABCD A B C D −的外接球，所以球O34π3V =×，故④错误. 综上，正确结论的个数是2.故选：B.10．已知函数()1,0,2,0.x f x x x a x −< = −+≥若()f x 的图象上至少有两对点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2 −∞B ．1,2 +∞C ．10,2D ．[]0,1【答案】C 【详解】解：当0x <时，()1f x x =−，则其关于y 轴对称的图象所对应的函数解析式为1,0y x x=>. 由题意知当0x >时，1y x=与2y x a =−+的图象至少有两个公共点，即方程12x a x=−+在区间(0,)∞+内至少有两个实根.令12,021,212,2x x xy a y x x x x x+−<≤ ==−−= −+> ，在同一平面直角坐标系中分别作出y a =与12(0)y x x x=−−>的图象，如图：由图可知，若直线y a =与曲线12(0)y x x x=−−>至少有两个公共点，则102a ≤≤.故实数a 的取值范围是10,2.故选：C.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的左直径的圆与C 的渐近线在第一象限交于点M .若AOM 的内切圆半径为3abc，则C 的离心率为（ ） ABCD【答案】A 【详解】由题意知(),0A a −，双曲线C 过第一程为222x y c +=.联立222,,b y x a x y c =+=解得,x a y b = = 或,,x a y b =− =− 所以(),M a b ，则AM 又,,OA a OM c AOM == 的内切圆半径为3abc，所以11(232ab a c ab c ×+×=2c a =−.结合222+=a b c ，得223420c ac a −−=， 所以23420e e −−=，解得e =e .故选：A12．已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=.若()f x 的图象关于点()3,0中心对称，322g x+ 为偶函数，且()()12,33g g ==−，则20231()k g k ==∑（ ）A ．670 B ．672 C ．674 D ．676【答案】D 【详解】因为()f x 的图象关于点()3,0中心对称，所以()()33f x f x +=−−+，则()()6f x f x =−−+，所以()()6f x f x ′′=−+，即()()6g x g x =−+，所以()()33g x g x +=−+，所以函数()g x 的图象关于直线3x =对称.又322g x + 为偶函数，所以332222g x g x +=− ，则3322g x g x+=−，所以()g x 的图象关于直线32x =对称，所以()()333332222g x g x g x g x +=+−=−+=，所以()g x 的周期为3T =.由3322g x g x+=−，得()()212g g ==.又()33g =−，所以()()()1231g g g ++=.故20231()[(1)(2)(3)]674(1)6742676k g k g g g g ==++×+=+=∑.故选：D. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若椭圆22221(0)2x y m m m +=>+的某两个顶点间的距离为4，则m 的可能取值有（写出所有可能值）、2【详解】由题意可知，a b m ===，若这两个顶点为长轴的两个端点时，4,m =若这两个顶点为短轴的两个端点时，24,2m m ==；4,m =14．已知函数()()()2ln ,f x ax x a f x =+∈R 的导函数为()f x ′，且()13f ′=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为__________.【答案】320x y −−=【详解】由()2ln (f x ax x a =+∈R ），得()12f x ax x′=+，所以()121f a ′=+. 令213a +=，得1a =，所以()2ln f x x x =+，则()11f =.故所求切线方程为()131y x −=−，即320x y −−=. 故答案为：320x y −−=15．记正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()22221231111111141n na a a a n ++++=−−−−+ .若不等式1n n S a λ+ 恒成立，则实数λ的取值范围是__________.【答案】4,3 +∞【详解】因为()22221231111111141n n a a a a n ++++=−−−−+ ①， 所以当2n ≥时，222212311111111114n n a a a a n −−++++=−−−− ②. ①-②，得()()2111141441n n n a n nn n −=−=−++，所以222441(21)n a n n n =++=+， 因为数列{}n a 是正项数列，则()21*n a n =+.当1n =时，()21111411a =−×+，则13a =，符合()*式， 从而21n a n =+，{}n a 是首项为3，公比为2的等差数列，所以()232122nn n S n n ++==+， 由1n n S a λ≥+，得()2222n n n λ+≥+，即2222n n nλ+≥+.令()()()222122212(1)111n n f n n n n n n ++===++−+−+，因为()()111g n n n =+−+在N n ∗∈时单调递增， 所以()()2111f n n n =+−+单调递减，则当1n =时，()f n 取得最大值，且为43，所以43λ≥.故答案为：4,3+∞.16．()()()111222333,,,,,P x y P x y P x y 是函数()f x 的图象上不重合的三点，若函数()f x 满足：当1230x x x ++=时，总有123,,P P P 三点共线，则称函数()f x 是“零和共线函数”．若3y x ax =+是“零和共线函数”，则a 的范围是__________． 【答案】R 【详解】由3()y f x x ax ==+的定义域为R ，又33()()()()()f x x a x x ax f x −=−+−=−+=−， 所以，R a ∈有()y f x =均为奇函数，且(0)0f =，即()y f x =图象在y 轴一侧的点，在其另一侧一定存在关于原点对称的点， 所以，上述y 轴两侧关于原点的对称点与原点可构成满足题设的123,,P P P 三点， 综上，对于R a ∈，都有3y x ax =+是“零和共线函数”.故答案为：R 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17(本小题满分12分）在ABC 中，2AB =，D 为AB中点，CD = .(1)若BC =AC 的长； (2)若2BAC BCD ∠=∠ ，求AC 的长. 【答案】【详解】（1）在BDC中，222cos 2BD CD BC BDCBD CD +−∠==⋅，则cos cos ADC BDC ∠=−∠ ， 在ADC △中，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+−⋅⋅∠12(4=+−=，所以2AC =. （2）设,AC x BC y ==，在ADC △和BDC1,sin sin sin x y ADC BCD BDC =∠∠∠， 又sin sin ADC BDC ∠=∠，得sin sin BAC BCD ∠=∠BDC中，cos BCD ∠ 由2BAC BCD ∠=∠，有sin 2sin cos BAC BCD BCD ∠=∠∠2，整理得：()2221y x y =+，①又由cos cos ,ADC BDC ∠=−∠226x y +=，② 联立①②得，3227120x x x −−+=，即()()2340x x x −+−=.，解得3x =或x =11x <<，故x =AC =18(本小题满分12分）口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止. (1)记总的抽取次数为X ，求E （X ）；(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y ，求E （Y ） 【答案】(1)325(2)6，答案见解析 【详解】（1）X 可能取值为4，5，6，7，()()()()4364333354477747C C C C 141054,5,6,7C 35C 35C 3520C 3P X P x P X P X ============， ()141020324567353535355E X =×+×+×+×= ； （2）Y 可能取值为4，5，6，7，设甲袋和乙袋抽取次数分别为1Y 和2Y ，()()()2111122314C 8C 422C C 11P Y P Y P Y ======⋅，()()()()()2111112211222224413343218C C C C 523C C C C P P Y P Y P Y P Y Y +===⋅+⋅=====，()()()()()11113122212222234341743318C C C C 62C C C C P Y P P Y P Y Y P Y ====+==⋅==+⋅，()()()1132222134C C 876413C C P Y P P Y Y ======⋅ ，()14764567618181818E Y =×+×+×+×=. 19(本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB DC ，AB =2AD =2CD =2，点E 是PB 的中点.(1)证明：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若直线PB 与平面P ACP -AC -E 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析【详解】（1）∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PC AC ⊥.∵2AB =，由1ADCD ==，AD DC ⊥且ABCD 是直角梯形，∴AC BC ==222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥. ∵PC BC C ∩=，PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥平面PBC .∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC（2）∵PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PC BC ⊥.由（1）知AC BC ⊥.∵PC AC C ∩=，PC ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ， ∴BPC ∠即为直线PB 与平面PAC 所成角.∴sin BC BPC PB ∠=PB =2PC = 取AB 的中点G ，连接CG ，以点C 为坐标原点，分别以CG ､CD ､CP 为x 轴､y 轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()002P ,,，()1,1,0A ，()1,1,0B −，11,,122E−， ∴()1,1,0CA = ，()0,0,2CP =，11,,122CE =−设()111,,m x y z = 为平面PAC 的法向量，则111020m CA x y m CP z ⋅=+= ⋅== ， 令11x =，得10z =，11y =−，得()1,1,0m =−设()222,,x n y z =为平面ACE 的法向量，则22222011022n CA x y n CE x y z ⋅=+=⋅=−+=，令21x =，则21y =−，21z =−，得()1,1,1n −−.∴cos,m n<>由图知所求二面角为锐角，所以二面角P AC E−−.20 (本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左焦点为1F，点P在C上，1PF的最大值为1+，且当1PF垂直于长轴时，1PF=(1)求C的方程；(2)已知点,D O为坐标原点，与OD平行的直线l交C于,A B两点，且直线DA，DB分别与x轴的正半轴交于,E F两点，试探究OE OF+是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】(1)2212xy+=(2)是，OE OF+为定值2【详解】（1）1PF的最大值为a c+，当1PF垂直于长轴时，将x c=−代入椭圆可得222bya=，则21bPFa=，所以22221a cbaa b c+===+，解得11abc===，所以C的方程为2212xy+=（2）OE OF+为定值.由题可知直线OD，且直线DA，DB分别与x轴的正半轴交于,E F两点，故设直线l的方程为()()1122(0),,,,y mm A x y B x y=+<.联立2212y x mxy=++=得2210x m+−=，则()222Δ)4124m m−−=−+>，解得m<<，则0m<<，所以21212,1x x x xm+=−，直线DA的方程为)1y x−，令0y=，得1x=1E，所以11OE =−，同理可得11OF=−故2OE OF+=−2−2=22=，所以OE OF+为定值2.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解. 21(本小题满分12分）已知函数()2ln 1xf x x x x =++. (1)证明：()f x 恰有一个零点； (2)设函数()()()()()22ln 1,1g x a x x F x f x g x x =+−−=++.若()F x 至少存在两个极值点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)()2,1−− 【详解】（1）证明：令()0f x =，得2ln 01xx x x +=+.又0x >，所以2ln 0x x x ++=. 令()2ln t x x x x =++，则()1210t x x x=++>′，所以()t x 在区间()0,∞+上单调递增. 又211e 10,(1)20e e t t + =−+<=>，所以存在唯一的01(1)e ,x ∈，使得()00t x =，即()t x 在区间()0,∞+内恰有一个零点，故函数()f x 恰有一个零点. （2）由题意知()()2ln ln 111x Fx x a x x x =++−++，所以()1ln 2111x F x a x x + =++++′. 因为函数()F x 至少存在两个极值点，所以方程ln 2101x a x +++=+至少有两个不等实根. 令()ln 21x x x ϕ+=+，则()221ln 2111ln (1)(1)x x x x x x x x ϕ+−− ==−+−′++. 令()11ln r x x x=−+−，则()2110r x x x ′=−−<， 所以函数()r x 在区间()0,∞+上单调递减.又()10r =，所以当()0,1x ∈时，()0r x >，即()x ϕ′>0，此时()x ϕ单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0r x <，即()0x ϕ′<，此时()x ϕ单调递减，且当0x →时，()();11x ϕ∞ϕ→−=；当1x >时，()0x ϕ>；当x →+∞时，()0x ϕ→.要使()10x a ϕ++=在区间()0,∞+内至少有两个不等实根， 则函数()x ϕ的图象与直线1y a =−−在区间(0,)+∞上至少有两个交点. 作出函数()x ϕ的图象，如图所示，则011a <−−<，解得21a −<<−.此时，()F x ′在区间()0,1和区间()1,+∞内各有一个零点，分别设为12,x x ，则当10x x <<或2x x >时，()0F x ′<；当12x x x <<时，()0F x ′>，故1x 为()F x 的极小值点， 2x 为()F x 的极大值点，符合题意.故实数a 的取值范围是()2,1−−.【点睛】用导数研究函数零点的方法：（1）涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．（2）含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x 表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用B 2铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
高考数学试卷真题及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 函数f(x) = 2x - 3的图像是：A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 椭圆答案：C2. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z的取值范围是：A. z = 1 ± 2iB. z = 1 ± √2iC. z = 1 ± 2D. z = 1 ± √3i答案：B3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 20，a1 = 2，则公差d为：A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A4. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则sinA的值为：A. 3/5B. 4/5D. 5/3答案：A5. 函数y = log2(x - 1)的图像是：A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 椭圆答案：B6. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 32，a1 = 2，则公比q为：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：B7. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为：A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-3, -2)D. (-2, -3)答案：A8. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 4在区间[1, 3]上单调递增，则a的值为：A. 1C. 3D. 4答案：B9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的图像是：A. 抛物线B. 双曲线C. 直线D. 椭圆答案：A10. 在等差数列{an}中，若a1 = 1，d = 2，则第10项an为：A. 19B. 20C. 21D. 22答案：C二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
）11. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的顶点坐标为__________。
答案： (1, 0)12. 若复数z满足|z - 1| = 2，则z的取值范围是__________。
2024年北京市高考数学卷含答案 .
2024年北京市高考数学卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M ={x|−4<x ≤1} N ={x|−1<x <3} 则M ∪N =（ ）。
A ．{x|−4<x <3}B ．{x|−1<x ≤1}C ．{0,1,2}D ．{x|−1<x <4}2．已知zi =i −1，则z =（ ）。
A ．1−iB ．−iC ．−1−iD ．13．求圆x 2+y 2−2x +6y =0的圆心到x −y +2=0的距离（ ）。
A ．2√3B ．2C ．3√2D ．√64．(x −√x)4的二项展开式中x 3的系数为（ ）。
A ．15B ．6C ．−4D ．−13 5．已知向量a ⃗ 和b ⃗ ，则(a +b ⃗ )·(a −b⃗ )=0是a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ 的（ ）条件。
A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知f(x)=sinωx(ω>0) f(x 1)=−1 f(x 2)=1 |x 1−x 2|min =π2则ω=（ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．记水的质量为d =S−1lnn并且d 越大水质量越好。
若S 不变 且d 1=2.1 d 2=2.2 则n 1与n 2的关系为（ ）。
A ．n 1<n 2 B ．n 1>n 2C ．若S <1，则n 1<n 2；若S >1，则n 1>n 2；D ．若S <1，则n 1>n 2；若S >1，则n 1<n 2；8．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥。
四条侧棱分别为4 4 2√2 2√2。
则该四棱锥的高为（ ）。
A ．√22B ．√32C ．2√3D ．√39．已知(x 1,y 1)，(x 2,y 2)是函数y =2x 图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）。
2021年全国新高考卷数学试题含答案
2021年全国新高考卷数学试题含答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^2 + 12. 已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B等于（）A. {x|0＜x＜2}B. {x|0＜x≤2}C. {x|0≤x＜3}D. {x|0≤x≤2}3. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模等于（）A. 0B. 1C. 2D. z5. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A. y = e^xB. y = ln(x)C. y = x^2D. y = 1/x二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个平行线的斜率相等。
（）2. 若矩阵A可逆，则其行列式值不为0。
（）3. 任何两个实数的和都是实数。
（）4. 二项式展开式中，各项系数的和等于2的n次方。
（）5. 函数y = x^3在区间（∞，+∞）上单调递增。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若向量a=(1，2)，b=(1，3)，则向量a与向量b的夹角余弦值为______。
2. 在等比数列{bn}中，若b1=2，公比q=3，则b6=______。
3. 若函数f(x)=3x^24x+1，则f'(x)=______。
4. 三角形内角和为______。
5. 圆的标准方程为(xa)^2+(yb)^2=r^2，其中圆心坐标为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的极值的定义。
2. 什么是排列组合？请举例说明。
3. 请写出余弦定理的公式。
4. 简述概率的基本性质。
5. 举例说明平面向量的线性运算。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的最小值。
2. 设有4个红球，3个蓝球，求从中任取3个球，恰有2个红球的概率。
高考数学试题卷(附答案)
高考数学试题卷（附答案）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{}2230P x x x =∈--≤N 和{}21,Q x x k k ==-∈Z ，则集合()UP Q ⋂的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4．2．已知复数z 在复平面内对应点的坐标是()2,1-，则21z z +=+（ ） A ．15i 22- B ．15i 22+ C ．53i 22- D ．53i 22+3．如图所示，在三棱台'''A B C ABC -中，沿平面'A BC 截去三棱锥'A ABC -，则剩余的部分是（ ）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．组合体4．已知cos 21sin cos 3ααα=+则3πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．13CD ．13-5．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,A x y ，()22,B x y 在椭圆22:12x C y +=上，且直线OA ，OB 的斜率之积12-，则22221121x y x y -+-=（ ）A ．1B ．3C ．2D ．526．如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB ，CD ，EF ，GH 分别是单位圆上的四段弧，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若sin cos tan ααα<<，则点P 所在的圆弧是（ ）A ．ABB ．CDC ．CDD ．GH7．如图，对于曲线Γ所在平面内的点O ，若存在以O 为顶点的角α，使得对于曲线Γ上的任意两个不同的点A ，B 恒有AOB α∠≤成立，则称角α为曲线Γ的相对于点O 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Γ的相对于点O 的“确界角”．已知曲线121,0,:41,0,x xe x C y x x x -⎧+≥⎪=⎨++<⎪⎩（其中 2.71828e =是自然对数的底数），O 为坐标原点，则曲线C 的相对于点O 的“确界角”为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 8．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B ，C ，D ，其中()60n Ω=，()30n A =，()10n B =，()20n C =，()30n D =，()40n A B ⋃=，()10n A B ⋂=，()60n A D ⋃=，则（ ）A ．A 与B 不互斥 B ．A 与D 互斥但不对立C ．C 与D 互斥D ．A 与C 相互独立二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知D 是ABC △的边BC 上的一点（不包含顶点），且AD AB AC x y =+，其中,x y ∈R ，则（ ） A ．1x y +=B ．21x y +=C2≥D ．22log log 2x y +≤-10．已知函数()()ln 1f x x x =+，则（ ） A ．()f x 在()0,+∞单调递增 B ．()f x 有两个零点C ．曲线()f x 在11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点处切线的斜率为1ln2-- D ．()f x 是奇函数11．已知曲线2:16y x Γ=，直线l 过点()4,0F 交Γ于A ，B 两点，下列命题正确的有（ ） A ．若A 点横坐标为8，则24AB = B ．若()2,3P ，则AP AF +的最小值为6C ．原点O 在AB上的投影的轨迹与直线60x +-=有且只有一个公共点 D ．若2AF FB =，则以线段AB 为直径的圆的面积是81π12．如图，以正方形的一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作，保持所作的直角三角形都相似，得四个正方形，记为A 、B 、C 、D ，其面积记为A S ，B S ，C S ，D S ，则下列结论正确的有（ ）A ．A DBC S S S S +=+ B ．AD B C S S S S ⋅=⋅ C ．2A D B S S S +≥D ．2A D C S S S +<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．6x ⎛- ⎝的展开式中的常数项为______．（用数字作答） 14．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，120ABC ∠=︒，棱长均为4，AB ，1CC 的中点分别为P 、Q ，则三棱锥11P A D Q -的体积为______．15．设(),0,,013, 1.x xe xf x e x x x -⎧<⎪=≤≤⎨⎪->⎩若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则()()()112233x f x x f x x f x ++的取值范围是______．16．已知双曲线22:26x y C λ-=过点，则其方程为______；设1F ，2F 分别为双曲线C 的左右焦点，D 为右顶点，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限），设M ，N 分别为12AF F △，12BF F △的内心，则MD ND -的取值范围是______（第一个空2分，第二个空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
全国统一高考数学练习卷及含答案 (1)
普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知,2||,1||==b a 且)(b a -与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A60B30C135D452、若直线l 上的一个点在平面α内，另一个点在平面α外，则直线l 与平面α的位置关系（）A．l ⊂αB．l ⊄αC．l ∥αD．以上都不正确3、两个平面若有三个公共点，则这两个平面()A．相交B．重合C．相交或重合D．以上都不对4、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n +=22，那么它的通项公式是（）A、12-=n a n B、12+=n a n C、14-=n a n D、14+=n a n 5、曲线||x y =与1+=kx y 的交点情况是（）A、最多有两个交点B、有两个交点C、仅有一个交点D、没有交点6、已知集合},2|||{},23|{>=<<-=x x P x x M 则=⋂P M （）A、}2223|{<<-<<-x x x 或B、RC、}23|{-<-x x D、}22|{<<x x 7、甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为（）（A）60%（B）30%（C）10%（D）50%8.如图，在正方形ABCD 中，E、F、G、H 是各边中点，O 是正方形中心，在A、E、B、F、C、G、D、H、O 这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（）A．6个B．7个C．8个D．9个9.如图，正四面体ABCD 中，E 为AB 中点，F 为CD 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°10.如图，正三棱柱111C B A ABC -中，AB＝1AA ，则1AC 与平面C C BB 11所成的角的正弦值为（）A．22B．515C．46D．3611.抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（）A．0B．23C．2D．312.已知椭圆22221a y x =+（a＞0）与A（2，1），B（4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（）A．2230<<a B．2230<<a 或282>aC．223<a 或282>a D．282223<<a 二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.方程log2|x|=x2－2的实根的个数为______.2.1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是由60个C 原子组成的分子，它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种,则C60分子中形状为五边形的面有______个，形状为六边形的面有______个.3.在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______.4.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=－f(x)，且在［－1，0］上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x=1对称；③f(x)在［0，1］上是增函数；④f(x)在［1，2］上是减函数；⑤f(2)=f(0),其中正确判断的序号为______(写出所有正确判断的序号).三、大题：(满分70分)1.如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.2.设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.3.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.4.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.5、如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º（Ⅰ）证明：AB⊥PC（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ，求三棱锥P ABC -体积。
2024年贵州高考数学卷子
贵州省贵阳市(新版)2024高考数学人教版测试(综合卷)含答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$在$x=1$处的切线斜率为6，则$f(x)$的导数$f'(x)$等于（）A. 6B. 12C. 3D. 0答案：B2. 已知函数$y = \sqrt{1 - 2x}$，则其定义域为（）A. $(-\infty, 0]$B. $(-\infty, \frac{1}{2}]$C. $[0, +\infty)$D. $(-\infty, +\infty)$答案：B3. 若等差数列$\{a_n\}$的前5项和为35，公差为2，则$a_1$等于（）A. 3B. 5C. 7D. 9答案：B4. 若函数$y = \log_2(x - 1)$的图像与直线$y = 2$相交，则$x$的取值范围是（）A. $x > 2$B. $x \geq 3$C. $x > 3$D. $x \geq 2$答案：C5. 已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且$a^2 + b^2 = 2c^2$，则三角形ABC的形状是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定答案：A6. 若函数$y = \frac{1}{x}$的图像与直线$y = mx + b$相切，则斜率$m$等于（）A. 1B. -1C. 0D. 无法确定答案：B7. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则其极值点为（）A. $x = 1$B. $x = -1$C. $x = 0$D. $x = 2$答案：B8. 若等比数列$\{a_n\}$的公比为2，且$a_3 = 8$，则$a_1$等于（）A. 1B. 2C. 4D. 8答案：C二、填空题（每题5分，共30分）9. 若函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$在区间（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是______。