统计物理学基础
2017 大学物理2 统计物理学基础 作业+典型题
第21章 统计物理学基础一、作业教材：P193 - P19421-1（能量均分定理）；21-2（理想气体内能，理想气体状态方程）；21-3（麦克斯韦速率分布）；21-4（能量均分定理，三种速率）；21-5（统计方法，速率分布函数）；21-6（三种速率）；21-7（玻尔兹曼分布律）；21-9（理想气体状态方程，方均根速率）；21-10（平均碰撞频率和平均自由程）；二、 典型题1. 一瓶氢气和一瓶氧气温度相同，若氢气分子的平均平动动能为 w = 6.21×10-21 J ．试求：(1) 氧气分子的平均平动动能和方均根速率；(2) 氧气的温度。
(阿伏伽德罗常量N A ＝6.022×1023 mol -1，氧气分子摩尔质量m = 32 g ，玻尔兹曼常量k ＝1.38×10 -23 J·K -1)涉及知识点：温度概念，平均平动动能解：(1) ∵ T 相等, ∴氧气分子平均平动动能＝氢气分子平均平动动能w＝6.21×10-21 J ．且 ()()483/22/12/12==m w v m/s(2) ()k w T 3/2=＝300 K ．2. 水蒸气分解为同温度T 的氢气和氧气，即222O 21H O H +→，也就是1摩尔的水蒸气可分解成同温度的1摩尔氢气和21摩尔氧气。
当不计振动自由度时，求此过程中内能的增量。
涉及知识点：理想气体内能解： 1 mol H 2O 的内能 32i E RT RT == 分解成 1 mol H 2 522i E RT RT == 0.5 mol O 2 50.524i E RT RT ==5533244E RT RT RT RT ∆=+-= 3. 用绝热材料制成的一个容器，体积为 2V 0 ，被绝热板隔成 A , B 两部分，A 内储有 1 mol 单原子理想气体，B 内储有2 mol 双原子理想气体。
A ,B 两部分压强相等均为p 0 ,两部分体积均为V 0 ，求（1）两种气体各自的内能；（2）抽去绝热板，两种气体混合后处于平衡时的温度。
量子统计物理学基础（精品pdf）
设系统和热源组成的复合系统的总能量为E0，系统处于能量Es（E0>>Es）。 这时热源可处于能量为Er=E0‐Es的任何一个状态，由等概率假设得：
Ps ∝ Ω(E0 − Es ).
但
S
∝
ln
Ω(E0
−
Es
)
=
ln
Ω(E0
)
+
∂ ln Ω ∂Er
( ) Er =E0 − Es = ln Ω(E0 ) − βEs .
由薛定鄂方程 ih
∂
|ψ i (t) ∂t
>
=
Hˆ
|ψ i (t)
>, Hˆ
为系统的哈密顿算符，可得
∑ ih
∂ρˆ (t)
∂t
=
i
ih ⎢⎣⎡ ∂
|ψ i (t)
∂t
>
Pi
<ψ
i
(t)
|
+|ψiFra bibliotek(t)
>
Pi
∂
<ψi
∂t
(t)
|⎤ ⎥⎦
=
(Hˆρˆ
−
ρˆHˆ
),
所以
∂ρˆ (t) = 1 (Hˆρˆ − ρˆHˆ ) ≡ [Hˆ , ρˆ ],
系统的动力学函数或力学量：表征系统的状态，并能加以观测的量，它是q,p 的函数，可记为b(q,p)。其中，表征系统能量的动力学函数H(q,p)非常重要， 称为哈密顿量(Hamiltonian)。
系统的运动方程（哈密顿正则方程）：
q&i
=
∂H (q, ∂pi
p)
,
p& i
=
−
统计物理学基础
统计物理学基础统计物理学是物理学中的一个重要分支，它研究的是宏观物质系统中涉及大量微观粒子的行为规律。
在统计物理学中，我们利用统计学原理和概率论方法，对微观粒子的统计行为进行建模和研究，从而揭示了宏观物质的特性和性质。
本文将介绍统计物理学的基础概念及其在物理学研究中的应用。
一、热力学基础热力学是统计物理学的基础，通过研究系统的热力学性质和宏观态函数，我们可以了解到系统的宏观行为。
热力学中有一些基本概念值得我们关注。
1. 熵熵是描述系统混乱程度的物理量，也是热力学中的基本概念。
对于一个封闭系统，其熵通常会趋向于增加，即系统趋向于更加混乱的状态。
熵的概念在统计物理学中得到了解释，我们可以通过统计粒子的微观状态来计算系统的熵。
2. 温度温度是衡量物体热平衡状态的物理量，也是热力学中的重要参数。
在统计物理学中，温度与粒子的平均动能有关，我们可以通过统计粒子的能级分布来确定系统的温度。
3. 热力学势热力学势是描述系统内能与外界能量交换的物理量，常见的热力学势包括内能、自由能、焓和吉布斯函数。
这些热力学势在统计物理学中起到了至关重要的作用，它们可以与微观粒子的分布函数相联系，进一步揭示系统的性质。
二、统计力学基础统计物理学的另一个重要组成部分是统计力学，它是从微观粒子的角度来研究宏观物质行为的一种方法。
统计力学利用概率论和统计学的方法，建立微观粒子的统计模型，得到宏观物质的宏观性质。
1. 统计分布统计分布是由微观粒子的分布函数得到的，其中最常用的统计分布包括玻尔兹曼分布、费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布。
这些分布函数可以描述粒子的能级分布和粒子间的相互作用，从而揭示了系统的宏观性质。
2. 统计系综统计系综是统计物理学中用来描述系统的概率分布的数学方法。
常见的统计系综包括微正则系综、正则系综和巨正则系综。
通过分析不同的统计系综，我们可以得到系统的平衡状态和宏观性质。
三、应用领域统计物理学在物理学的研究中具有广泛的应用，尤其在凝聚态物理学和热力学领域。
统计物理学的基本原理
统计物理学的基本原理统计物理学是研究大量粒子的宏观性质与微观行为之间关系的学科。
它的发展使得我们能够理解和描述物质的性质，特别是在处于热平衡状态下的系统。
本文将探讨统计物理学的基本原理，包括其基本概念、定律及其在物理学和其他领域中的应用。
统计物理学的基本概念统计物理学的核心在于利用概率和统计方法研究微观状态与宏观状态之间的联系。
宏观态是指系统的大规模特性，如温度、压力和体积等，而微观态则是指系统中所有粒子具体的位置和动量。
为了连接这两者，统计物理使用了几种重要的概念。
熵熵是统计物理中一个关键的概念，它可以被视为系统微观状态的不确定性度量。
一个系统的熵越高，代表可用的微观状态越多，系统越混乱。
例如，在热力学第二定律中，孤立系统的熵总是趋向增加，这意味着熵是不可逆的，反映了自然向更高无序状态发展的趋势。
微观状态与宏观状态在统计物理中，一个宏观状态对应着多个可能的微观状态。
例如，一个气体在一定温度和压力下可以通过不同方式实现这些参数。
这些微观状态通过概率分布函数来描述，进一步建立了宏观性质与微观行为之间的联系。
概率分布当涉及到多个粒子时，统计物理依赖于概率分布来描述系统。
最常见的是麦克斯韦-玻尔兹曼（Maxwell-Boltzmann）分布，它描述了气体中分子的速度分布。
此外，还有费米-狄拉克（Fermi-Dirac）分布和玻色-爱因斯坦（Bose-Einstein）分布，用于描述具有不同统计特性的粒子。
统计力学定律统计物理学有几个基础定律，它们帮助我们理解如何从微观行为推导出宏观性质。
这些定律如同热力学定律，提供了一种科学的方法来研究和解释复杂现象。
热力学第一定律热力学第一定律，即能量守恒定律，它说明了能量既不能被创造也不能被摧毁，只能从一种形式转变为另一种形式。
在统计物理中，该定律与系统内粒子的动能和势能有关，强调了内能的变化如何影响系统的行为。
热力学第二定律热力学第二定律引入了熵增加原则，指出在任何孤立系统中，熵总是趋向增加。
统计物理
③ 在平衡状态时，每个分子指向任何方向的概率都是一样的， 或者说，分子速度按方向的分布是均匀的
vx2
v y2
vz2
1 v2 3
讨论:
p
1 3
nmv2
2 3
n
1 2
mv2
2 3
n t
压强公式将宏观量 p 和微观量
的统计平均值联系在一起。
2. 气体分子平均平动动能与温度关系
2 NA M
2M
( NAm )
答案 (A)
例 一容器中贮有理想气体，压强为0.010mmHg 15
高，温度为270C，问在1cm3中有多少分子，这些
分子动能之总和为多少？
解： P nkT n P
kT
N
nV
PV kT
1.33 1.38 1023 300
106
3.211016个
以 ε i (i=1,2,…) 表示粒子的第 i 个能级, gi 表示能级 ε i 的简并度， Ni 表示能级 ε i 上的粒子数，
通常以 Ni 表示数列 N1 ,N2 ,N3 ,…Ni …，称为一个分布。 满足两个约束条件(总粒子数和总能量守恒）的可能分布
是大量的。 对每一个分布还应有若干个微观态。
步骤3：求dt 时间内 ,各种速度分子对 ds 的总冲量。
dI
2mvix
vix 0
nids vixdt
1 2
i
2mvi2xn i dsdt
i
mnivix2dsdt
dt内各种速度分子对ds 的总冲量为:
10
1
统计物理学基础考试试题
统计物理学基础考试试题一、选择题（共20题，每题5分，共100分）1. 在统计物理学中，下列哪个量描述了系统的混乱程度？a) 有效微观状态数b) 温度c) 熵d) 可逆过程2. 玻尔兹曼常数的值为多少？a) 6.022 x 10^23b) 1.38 x 10^-23c) 8.314d) 9.813. 下列哪个条件不属于理想气体的状态方程？a) PV = nRTb) PV = NkTc) PV = µRTd) PV = mRT4. 统计物理学中，下列哪个理论用于描述费米子和玻色子？a) 麦克斯韦-玻尔兹曼统计b) 玻尔兹曼分布c) 费米-狄拉克分布d) 波尔兹曼分布5. 帕斯卡原理是关于流体力学中什么性质的定律？a) 压力b) 温度c) 摩擦力d) 密度6. 在满足玻尔兹曼分布的条件下，某系统中气体分子的速率分布呈什么形状？a) 高斯分布b) 均匀分布c) 二项分布d) 泊松分布7. 统计物理学中，下列哪个定理描述了独立粒子系统的可分辨性？a) 第一定理b) 巨正则分布定理c) 统计关系定理d) 等概率定理8. 熵增定理是统计物理学中的一个重要定理，它表明什么？a) 封闭系统的熵总是增加b) 封闭系统的熵总是减少c) 封闭系统的熵保持不变d) 封闭系统的熵可能增加、减少或保持不变9. 物体的热容量与下列哪个量有关？a) 温度变化率b) 质量c) 比热容d) 热传导系数10. 统计物理学中，下列哪种分布函数用于描述具有确定能量的粒子的分布？a) 麦克斯韦-玻尔兹曼分布b) 玻尔兹曼分布c) 费米-狄拉克分布d) 波尔兹曼分布11. 统计物理学中，巨正则系综理论是用于描述什么类型的系统的统计力学理论？a) 封闭系统b) 开放系统c) 平衡系统d) 非平衡系统12. 统计物理学中，下列哪个表达式可用于计算能量守恒系统的微观态数目？a) S = k ln Wb) S = k ln Pc) S = k ln Vd) S = k ln T13. 玻尔兹曼分布定律描述了哪种物理现象？a) 能量守恒b) 牛顿第一定律c) 细胞分裂d) 热平衡14. 系统的熵增定律是一个自发的过程吗？a) 是b) 不是15. 统计物理学中，费米-狄拉克分布函数用于描述哪类粒子？a) 玻色子b) 费米子c) 中微子d) 热中子16. 统计物理学中的平衡态指的是什么？a) 系统的热力学平衡b) 系统的力学平衡c) 系统的电化学平衡d) 系统的热平衡17. 统计物理学中，下列哪个理论描述了粒子之间相互作用的统计力学？a) 玻尔兹曼分布b) 统计关系定理c) 计数原理d) 平衡态理论18. 玻尔兹曼分布是用来描述有多少种微观态？a) 有限种b) 无限种19. 统计物理学中，分子平均速率与温度有什么关系？a) 分子平均速率与温度无关b) 分子平均速率与温度成正比c) 分子平均速率与温度成反比d) 分子平均速率与温度关系无法确定20. 统计物理学中，下列哪个原理描述了一个封闭系统的能量分布？a) 熵增定律b) 流式定理c) 统计关系定理d) 等概率原理二、简答题（共5题，每题20分，共100分）1. 请简要解释费米-狄拉克分布函数的物理意义及其应用。
统计物理学的基本原理
统计物理学的基本原理摘要统计物理学是物理学中的一个重要分支，它通过对大量微观粒子的状态进行统计分析，解释了许多宏观现象和物质性质的规律性。
本文将介绍统计物理学的基本概念、基本原理以及相关应用。
首先，我们将简要介绍统计物理学的研究对象和目标；然后，我们将介绍热力学和宏观统计物理学的基本概念和原理；最后，我们将探讨量子统计和涨落等附加讨论。
1. 研究对象和目标统计物理学研究的对象是具有巨大粒子数目（通常是Avogadro常数级别）的系统。
这些系统可以是气体、固体、液体或凝聚态物质，甚至可以是宇宙等复杂系统。
统计物理学通过建立粒子数巨大的系统的平均特征描述，捕捉微观粒子个体行为与宏观特征之间的关系。
其主要目标是解释与预测热力学性质，如温度、压强、熵等，以及材料性质，如导电性、磁性等。
2. 热力学与宏观统计物理学热力学是研究宏观系统平衡态性质的科学。
其核心概念包括热容、内能、熵、温度等。
基于这些概念，热力学建立了一系列定律和公式，用于描述系统在平衡态下的性质变化。
宏观统计物理学是建立在热力学基础上的一种推导方法。
它利用分子运动论假设与统计分析方法，将微观粒子行为与宏观性质联系起来。
通过定义配分函数和自由能等概念，宏观统计物理学推导出了各种平衡态性质与微观粒子参数之间的关系。
例如，玻尔兹曼分布描述了粒子在给定能级上的分布；吉布斯关系则给出了相应温度下能量、压强和容积之间的关系。
3. 量子统计与涨落量子统计是描述具有玻色-爱因斯坦或费米-迪拉克性质的粒子（如光子或电子）行为的统计方法。
与经典统计不同，量子统计考虑了存在多个粒子处于同一量子态的可能性，并以波函数描述多粒子系统。
涨落是指系统中各种物理量在时间或空间上的随机波动。
在统计物理学中，涨落可用于解释噪声现象、相变等非平衡态过程。
涨落引入了新概念如湍流、包络函数以及噪声谱密度等，这些都是揭示系统非线性特征和微细结构关联程度的重要工具。
4. 统计物理学的应用统计物理学在许多领域有广泛应用。
统计力学基础知识点
统计力学基础知识点统计力学是物理学的一个重要分支，研究宏观系统中的粒子统计行为和宏观性质与微观状态之间的关系。
本文将介绍统计力学的基础知识点，包括热力学基本概念、热力学函数和分布函数等。
一、热力学基本概念1. 系统和环境在热力学中，我们研究的对象称为系统，与系统发生相互作用的一切外界部分称为环境。
2. 状态变量和过程变量状态变量是系统状态的特征量，如温度、压力、体积等；而过程变量是系统随时间变化的量，如功、热量等。
3. 热平衡和热力学平衡态当系统与环境之间达到热平衡时，它们之间不再有净的热量传递。
处于热力学平衡态的系统各部分之间没有净的宏观运动。
二、热力学函数1. 内能和焓内能是系统中原子或分子的动能和势能的总和，通常用符号U表示。
而焓是在恒压条件下定义的，用符号H表示，它等于内能加上系统对外界所做的功。
2. 熵熵是热力学函数中的一个重要概念，它表示系统的无序程度。
熵增原理是热力学第二定律的基础，它说明了孤立系统的熵总是趋向于增加。
3. 自由能和吉布斯函数自由能F是判断系统是否能自发发生变化的指标，如果在恒温、恒容条件下自由能减小，说明系统趋于平衡。
吉布斯函数G是在恒温、恒压条件下定义的，它将系统的内能、熵和对外界所做的功综合考虑在内。
三、分布函数1. 经典统计和量子统计根据统计物体粒子是否具有可区分性，我们将统计力学分为经典统计和量子统计。
经典统计适用于大量粒子系统，而量子统计适用于微观系统。
2. 环境状态和系统状态环境状态是指环境的宏观性质，如温度和压力；而系统状态是指系统的微观状态，如粒子的动量和位置。
3. 分布函数和配分函数分布函数描述了系统中粒子的分布情况，它包括玻尔兹曼分布、费米-狄拉克分布和波色-爱因斯坦分布。
配分函数是描述整个系统的状态的函数，它与能级和温度有关。
四、热力学理论和统计力学理论的关系热力学理论是基于宏观实验结果和经验定律建立的，而统计力学理论则是从微观角度上解释和推导热力学规律。
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函数关系：
f ( p,V , T ) 0
M 理想气体 pV RT M mol p
M 气体质量 M mol 气体的摩尔质量
I ( p1 ,V1 , T1 )
R 普适气体常量 8.31J / mol K
o
II ( p2 ,V2 , T2 )
V
例：氧气瓶的压强降到106Pa即应重新充气，以免混入
两点说明： •平衡态是一种热动平衡
处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因 为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏
观量不随时间改变。
•平衡态是一种理想状态 若系统所受外界影响可以忽略，宏观性质只有 很小变化时，可近似看作是平衡态。
物态方程（状态方程） 当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的
伽尔顿板实验 从入口投入小球 与钉碰撞 落入狭槽 ( 偶然 ) 再投入小球： 经一定段时间后 , 大 量小球落入狭槽。 分布情况： 中间多，两边少。 重复几次 ，结果相似。 单个小球运动是随机的 , 大量小球运动分布是确定 的。
小球数按空间 位置 分布曲线
统计规律特点: (1)只对大量偶然的事件才有意义. (2)它是不同于个体规律的整体规律. (3)大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。 统计物理学的任务: 对平衡态下的热现象进行微观描述，然后运用 统计的方法求得： (1)宏观量与微观量的统计平均值的关系，揭示宏 观量的微观本质； (2)平衡态下微观量的统计分布。
算术平均值 对于离散型 随机变量
N N N
i i i i
N
i
N
统计平均值 lim
N
i
i
N
i lim ( N i N ) i Pi
N
随机变量的统计平均值等于一切可能状态 的概率与其相应的取值 i 乘积的总和。
对于连续型随机变量 统计平均值
6-1
物质的微观结构
热力学系统：
大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。
外界：热力学系统以外的物体。 微观粒子体系的基本特征
(1)分子(或原子)非常微小。
(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大.
(3)分子之间存在相互作用力－－分子力.
(4)分子或原子的运动是杂乱无章的。
6-2
宏观量
理想气体分子的动理论
i
N
i
Ai
N
1
概率归一化条件
2. 概率分布函数
随机变量 在确定条件下，一个变量以确定的不 相同的概率取各种不同的值，称这个 变量为随机变量。 (1) 离散型随机变量 取值有限、分立
1 2 S 表示方式 P1 P2 PS
Pi 0 ( i 1,2, S ) 有 Pi 1
剩余
设可供 x 天使用 原有
x 每天用量
p2 V2 M 2 T
p1 V1 M1 T
p3 V3 M 3 T
分别对它们列出状态方程，有
M1 p1 V1 RT M mol
p1V1M mol M1 RT
M2 p2 V2 RT M mol
p2V2 M mol M2 RT
M3 p3 V3 RT M mol
三、 统计的基本概念
1. 概率 如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当 N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。
NA P ( A) lim N N
概率的性质: (1) 概率取值域为 0 P ( A) 1 (2) 各种可能发生的事件的概率总和等于1.
Pi ( Ai )
2 . 统计假设 ①容器内任一位置附近单位体积内的分子数不比其 他位置占优势； ②分子沿任一方向的运动不比其他方向的运动占优势。 ① 分子数密度处处相等； ②分子速度在各方向上的分量的各种平均值相等。
一、系统状态的描述 描述热力学系统宏观整体的特征和状态的参量。
如 压强 p、体积 V、温度 T 等。
微观量 描述单个微观粒子特征和运动状态的物理量。
如分子的质量、 直径、速度、动量、能量 等。 微观量与宏观量有一定的内在联系。
平衡态: 在无外界的影响下，系统所有可观察的宏 观性质不随时间改变的稳定状态。 设一容器，用隔板将其 隔开，当隔板右移时， 分子向右边扩散 在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就 是非平衡态。但随着时间的推移，各处的密度、 压强、温度等都达到了均匀，无外界影响，状态 保持不变，就是平衡态。
p3V3 M mol M3 RT
V1 V3 M1 M 3 xM2
M 1 M 3 ( p1 p3 )V1 (130 10) 32 9.6天 x 1 400 M2 p2V2
二、分子热运动的无序性和统计规律性
分子热运动 无序性 单个分子运动情况 具有很大的偶然性。 什么是统计规律性？ 大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。 统计性 大量分子的集体表现 存在一定规律性。
i 1 S
(2) 连续型随机变量 随机变量x的概率密度
取值无限、连续 变量取值在x—x+dx间 隔内的概率
dP ( x ) ( x) dx
概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。
( x ) 又称为概率分布函数（简称分布函数）。
( x )dx 1
3. 统计平均值
x xdP ( x ) x ( x )dx
lim i N i N
i lim ( N i N ) i Pi
N N
比较！
四、理想气体的微观模型和统计假设
1. 理想气体微观模型 分子本身的大小比起它们之间的平均距离 可忽略不计。 除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。 分子间的碰撞是完全弹性的。 分子所受重力忽略不计。 理想气体分子是弹性的自由运动的质点。
其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压
强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶
氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。 解: 根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气 体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为
p1 V1 M1
p2 V2 M 2
p3 V3 M 3 使用时的温度为T