统计物理基础知识
统计物理基础知识
热力学统计物理
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2011年 14日星期二 2011年6月14日星期二
求能量曲面 ε 内的量子态数， 内的量子态数，只要求出数空间中能量曲面 内的体积就行了。 内的体积就行了。 数空间中能量为 的等能面是半径为 能量曲面 能量曲面 ε
ε
ε
1 2 2
R =( nx2 +ny2 +nz
)
内的量子态数为
n s
热力学统计物理
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维球体的“体积” 半径为R 半径为R的 n维球体的“体积”是
Vn ( R ) = ∫ ⋯ ∑
p1, p2,⋯ pr ,
构成2r 维相空间（ 构成2r 维相空间（ 2量子描述
µ 空间）。 空间）。
量子态，一组量子数表征。 量子态，一组量子数表征。
热力学统计物理
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二、系统微观状态的经典描述和量子描述 系统微观状态的经典描述和量子描述 个近独立全同粒子组成的系统。 N个近独立全同粒子组成的系统。 经典粒子可以分辨 1、 经典粒子可以分辨
n y , n y = 0, ± 1, ± 2 ⋯
pz =
2π ℏ h nz = nz , nz = 0, ±1, ±2⋯ L L
三维自由粒子能量的可能值为
1 2π 2ℏ2 2 ε = ( px2 + py 2 + pz 2 ) = nx + ny2 + nz 2 ) 2 ( 2m mL
热力学统计物理
简便方法： 简便方法：
µ 空间体积元
内的态数= 内的态数=
统计物理知识点总结
统计物理知识点总结一、统计力学的基本概念1. 微观态和宏观态统计物理研究的对象是处于宏观系统中的微观粒子，其中微观态是指粒子的位置和动量的具体取值，宏观态是指系统的宏观物理性质，例如温度、压强等。
2. 系统的能级系统的能级是指系统各种可能的微观态所对应的能量值，通常将系统的能级表示为E_i，i=1,2,3,...,N。
3. 概率分布统计物理中，概率分布描述了系统各种微观态出现的概率，通常表示为P_i，i=1,2,3,...,N。
4. 统计物理的基本假设统计物理的基本假设包括系统处于平衡态、系统微观态的等可能性、独立粒子假设等，这些假设为统计物理的推导提供了基本条件。
二、玻尔兹曼分布1. 玻尔兹曼分布的概念玻尔兹曼分布描述了理想气体在平衡状态下各个微观态的出现概率与相应能级之间的关系，通过玻尔兹曼分布可以推导出热力学的一些基本性质。
2. 玻尔兹曼分布的表达式玻尔兹曼分布的概率分布表达式为P_i=exp(-E_i/kT)/Z，其中E_i表示系统的能级，k为玻尔兹曼常数，T表示系统的温度，Z为配分函数。
3. 玻尔兹曼分布的重要性质玻尔兹曼分布是理想气体状态密度的重要分布律，它描述了系统各个微观态的出现概率与相应能级之间的关系，为热力学性质的计算提供了重要依据。
三、配分函数1. 配分函数的概念配分函数是统计物理中的一个重要概念，它描述了系统各个微观态的出现概率和相应能级之间的关系，可以用来计算系统的热力学性质。
2. 配分函数的表达式配分函数通常用Z表示，它的表达式为Z=Σ(exp(-E_i/kT))，其中E_i表示系统的能级，k 为玻尔兹曼常数，T表示系统的温度，Σ表示对系统所有可能的微观态求和。
3. 配分函数的重要性质配分函数是统计物理的重要概念之一，通过配分函数可以计算系统的内能、熵、平均能级等重要热力学性质，它是统计物理推导的基础。
四、热力学性质1. 内能系统的内能是系统中所有粒子的动能和势能之和，通过配分函数可以计算系统的内能，它是系统热力学性质的重要参量。
统计物理学基础
统计物理学基础统计物理学是物理学中的一个重要分支，它研究的是宏观物质系统中涉及大量微观粒子的行为规律。
在统计物理学中，我们利用统计学原理和概率论方法，对微观粒子的统计行为进行建模和研究，从而揭示了宏观物质的特性和性质。
本文将介绍统计物理学的基础概念及其在物理学研究中的应用。
一、热力学基础热力学是统计物理学的基础，通过研究系统的热力学性质和宏观态函数，我们可以了解到系统的宏观行为。
热力学中有一些基本概念值得我们关注。
1. 熵熵是描述系统混乱程度的物理量，也是热力学中的基本概念。
对于一个封闭系统，其熵通常会趋向于增加，即系统趋向于更加混乱的状态。
熵的概念在统计物理学中得到了解释，我们可以通过统计粒子的微观状态来计算系统的熵。
2. 温度温度是衡量物体热平衡状态的物理量，也是热力学中的重要参数。
在统计物理学中，温度与粒子的平均动能有关，我们可以通过统计粒子的能级分布来确定系统的温度。
3. 热力学势热力学势是描述系统内能与外界能量交换的物理量，常见的热力学势包括内能、自由能、焓和吉布斯函数。
这些热力学势在统计物理学中起到了至关重要的作用，它们可以与微观粒子的分布函数相联系，进一步揭示系统的性质。
二、统计力学基础统计物理学的另一个重要组成部分是统计力学，它是从微观粒子的角度来研究宏观物质行为的一种方法。
统计力学利用概率论和统计学的方法，建立微观粒子的统计模型，得到宏观物质的宏观性质。
1. 统计分布统计分布是由微观粒子的分布函数得到的，其中最常用的统计分布包括玻尔兹曼分布、费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布。
这些分布函数可以描述粒子的能级分布和粒子间的相互作用，从而揭示了系统的宏观性质。
2. 统计系综统计系综是统计物理学中用来描述系统的概率分布的数学方法。
常见的统计系综包括微正则系综、正则系综和巨正则系综。
通过分析不同的统计系综，我们可以得到系统的平衡状态和宏观性质。
三、应用领域统计物理学在物理学的研究中具有广泛的应用，尤其在凝聚态物理学和热力学领域。
大学物理 第20章 统计物理学基础
温度是气体分子平均平动动能的量度，具有统计意义。
1 2 t m 3 kT 2 2
3kT 3kN AT 3RT m mN A M
2
2ຫໍສະໝຸດ 3RT M171) 常温常压下，分子的数密度 n～1025 / m3 2) 分子的平均平动动能
3 t kT 2 3 1.38 1023 300 2 21 3.88 10 2 eV 6.2110 J
Ni Wi lim (即 Ai 出现的概率） N N
所以 A AW1 A2W2 AnWn AWi 1 i
i 1
n
7
20.2
20.2.1
温度与压强
微观量与宏观量
热学的研究对象： 大量微观粒子组成的宏观体系 热力学系统 或简称系统 宏观状态参量 宏观量: 描述系统整体特征的物理量. 如: 气体的 V, P, T...
（3）归一化条件:
n n
对所有可能发生的事件的概率之和必为1.
Ni Ni N lim Wi N N N N 1 或 i 1 i 1
dw 1
6
(4) J,K为相容事件(可同时出现），则同时发生J和K的概率.
W WK WJ
---- 概率乘法定理
20.1.3 统计平均 系统的宏观量是在测量时间内,系统所有微观状态中相 应的微观量的统计平均值!
系统处于平衡态时,系统的宏观量具有稳定值,而单 个粒子的微观量在不断变化.
动态平衡
统计物理认为: 在平衡态下系统的宏观量是在测量时间内,系统 所有微观状态中相应的微观量的统计平均值! 平衡态是概率最大的状态
9
平衡态是概率最大的状态
a b c d 4个可分辨热运动粒子，在等容体A,B两室中： A a b a b a b a c b c a b a c b c c d b d a d d c b a c d c d d d B 1 （中间隔板打开） 斯特令公式
热力学和统计物理
热力学和统计物理一、基本概念1. 热力学- 系统与外界- 热力学研究的对象称为系统，系统以外与系统有相互作用的部分称为外界。
例如，研究气缸内气体的性质时，气缸内的气体就是系统，气缸壁、活塞以及周围的环境等就是外界。
- 平衡态- 一个孤立系统经过足够长的时间后，宏观性质不再随时间变化的状态称为平衡态。
例如，将一个盛有热水的容器放在绝热环境中，经过一段时间后，水的温度不再变化，水就达到了平衡态。
平衡态可以用一些宏观参量来描述，如压强p、体积V、温度T等。
- 状态参量- 用来描述系统平衡态的宏观物理量称为状态参量。
- 几何参量：如体积V，它描述了系统的几何大小。
对于理想气体，体积就是气体分子所能到达的空间范围。
- 力学参量：压强p是典型的力学参量，它是垂直作用于容器壁单位面积上的力。
- 热学参量：温度T是热学参量，它反映了物体的冷热程度。
从微观角度看，温度与分子热运动的剧烈程度有关。
2. 统计物理- 微观态与宏观态- 微观态是指系统内每个粒子的微观状态（如每个粒子的位置、动量等）都确定的状态。
而宏观态是指由一些宏观参量（如压强、体积、温度等）确定的状态。
一个宏观态往往包含大量的微观态。
例如，对于一个由N个粒子组成的气体系统，给定气体的压强、体积和温度，这就是一个宏观态，但这些粒子的具体位置和动量有多种可能组合，每一种组合就是一个微观态。
- 等概率原理- 对于处于平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观态出现的概率相等。
这是统计物理的一个基本假设。
二、热力学定律1. 热力学第零定律- 如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，则这两个系统彼此也必定处于热平衡。
这一定律为温度的测量提供了依据。
例如，我们可以用温度计（第三个系统）去测量不同物体（两个系统）的温度，当温度计与物体达到热平衡时，就可以确定物体的温度，并且如果两个物体与同一温度计达到热平衡，那么这两个物体之间也处于热平衡，它们具有相同的温度。
天津市考研物理学复习资料统计物理基础知识梳理
天津市考研物理学复习资料统计物理基础知识梳理统计物理学是物理学中的一个重要分支，研究的对象是物质的宏观统计性质以及宏观物理量的统计规律。
在天津市考研中，统计物理学作为物理学的一门必修课程，对于学生们来说是一个重要的复习内容。
本文将为大家梳理天津市考研物理学复习资料中的统计物理学的一些基础知识，希望对大家复习有所帮助。
一、热力学基础概念1. 系统和环境在热力学中，我们将要研究的对象称为系统，而与系统有能量和物质交换的外部部分则称为环境。
2. 状态量和过程量热力学中，状态量是指与系统的状态有关的物理量，如温度、压力等；而过程量则是指与系统的状态变化有关的物理量，如热量、功等。
3. 平衡态和非平衡态平衡态是指系统处于稳定状态，各个宏观性质保持不变；非平衡态则是指系统处于不稳定状态，各个宏观性质处于变化过程中。
二、统计物理学基本框架统计物理学的基本框架是建立在微观粒子的运动规律上的。
通过统计物理学的方法，我们可以将宏观物理量与微观粒子的动力学联系起来。
1. 经典统计物理学经典统计物理学适用于宏观物理系统，其中的粒子之间的相互作用是经典力学描述的。
通过经典统计物理学，我们可以计算出宏观物理量的统计规律，如分子平均速度、能量分布等。
2. 量子统计物理学量子统计物理学适用于微观粒子系统，其中的粒子之间的相互作用是量子力学描述的。
通过量子统计物理学，我们可以计算出微观粒子系统的物理量统计规律，如费米子和玻色子的分布等。
三、热力学基本定律热力学是研究能量转化和宏观性质变化的学科，其基本定律为热力学第一定律和热力学第二定律。
1. 热力学第一定律热力学第一定律也称为能量守恒定律，它指出能量的变化等于系统对外界做功和从外界吸收的热量之和。
2. 热力学第二定律热力学第二定律也称为熵增定律，它指出孤立系统的熵总是不会减小，而在实际过程中总是增大或保持不变。
四、统计物理学中的分布律统计物理学中有几个重要的分布律，它们可以用于描述微观粒子在宏观物理系统中的分布情况。
统计物理初步知识点
统计物理初步知识点统计物理是一门研究大量微观粒子行为对宏观系统性质的影响的学科。
它基于统计学原理，通过对粒子的统计分布和概率进行分析，研究宏观系统的性质。
1.宏观系统和微观粒子的关系宏观系统是由大量微观粒子组成的。
微观粒子可以是原子、分子或更小的粒子。
统计物理的目标是通过研究微观粒子的行为，了解宏观系统的性质。
2.统计物理的基本假设统计物理建立在一些基本假设上。
其中之一是“等概率假设”，即在一个孤立系统中，所有的微观状态出现的概率是相等的。
这个假设为统计物理的研究提供了基础。
3.统计物理中的基本概念为了描述宏观系统，统计物理引入了一些基本概念，如粒子的分布函数和状态密度。
分布函数描述了粒子在空间中的分布情况，而状态密度则描述了系统在不同能量状态下的情况。
4.统计物理的热力学性质统计物理的研究重点之一是研究热力学性质，如温度、压力和熵。
通过统计物理的方法，我们可以推导出宏观系统中这些热力学性质与微观粒子的关系。
5.统计物理的量子性质统计物理也涉及到量子力学的应用。
在微观粒子尺度上，量子效应变得显著，我们不能再忽略粒子之间的量子行为。
统计物理提供了处理量子系统的方法和理论。
6.统计物理在不同领域的应用统计物理在许多领域都有广泛的应用，例如凝聚态物理、高能物理和生物物理等。
它为我们理解材料的性质、核反应的过程以及生物分子的结构提供了重要的工具。
7.统计物理的未来发展随着科学技术的不断进步，统计物理仍然是一个活跃的领域，我们可以预见它在未来会有更多的发展。
在人工智能和大数据分析的背景下，统计物理的方法将会得到更广泛的应用。
总结起来，统计物理是一门研究微观粒子行为对宏观系统性质影响的学科。
通过基本假设和概念，我们可以了解宏观系统的热力学性质，并且可以处理量子系统。
统计物理在许多领域都有应用，并且有着广阔的发展前景。
通过进一步研究和应用统计物理的方法，我们可以更深入地了解自然界中的各种现象。
数学中的统计物理学
数学中的统计物理学统计物理学是一门研究微观尺度粒子的运动和相互作用如何导致宏观物理现象和性质的学科。
其应用领域非常广泛，涵盖了统计力学、热力学、量子力学等多个领域。
在数学中，统计物理学起到了重要的理论支撑作用，为物理学研究提供了精确的数学模型和方法。
一、统计物理学的基础1. 宏观物质的微观描述统计物理学通过描述粒子的运动状态和相互作用，从而研究微观尺度粒子的行为对宏观物质性质的影响。
它建立了一种桥梁，将微观尺度和宏观尺度连接起来。
2. 概率论和统计学的应用概率论和统计学是统计物理学的重要工具。
通过概率统计方法，统计物理学可以预测和解释复杂系统的行为，并得出一些概率性的结论。
3. 统计物理学的基本原理统计物理学有许多基本原理，如热力学第一、二定律、玻尔兹曼方程等。
这些原理为统计物理学的发展提供了基础，也为其他学科的研究提供了理论支持。
二、统计物理学的数学方法1. 分布函数分布函数是统计物理学中的一个重要概念。
它描述了粒子在不同状态下的分布情况，如位置分布、速度分布等。
分布函数可以通过微分方程或者分布函数演化方程进行描述和求解。
2. 统计物理学的动力学方程统计物理学中的动力学方程主要包括费米-狄拉克分布、玻色-爱因斯坦分布等。
这些方程用来描述系综中粒子分布的演化，从而得到系统的宏观性质。
3. 磁化曲线磁化曲线是统计物理学中的一个重要研究对象，它描述了系统磁化强度和外加磁场的关系。
通过磁化曲线可以分析物质的磁性特性，了解不同温度下物质的行为。
三、统计物理学的应用领域1. 凝聚态物理学凝聚态物理学主要研究固态物质的性质和现象。
统计物理学在凝聚态物理学中起到了重要的作用，如用固体物理的理论和方法来解释材料的性质和行为。
2. 热力学热力学是研究物质内部能量转换和宏观性质的学科。
统计物理学运用概率和统计的方法，对热力学中的系统进行建模和计算，解释和预测系统的行为。
3. 量子统计量子统计是研究粒子在量子力学框架下的统计行为的学科。
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第六章 小结
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一、粒子运动状态的经典描述和量子描述 粒子运动状态的经典描述和量子描述 经典描述： 1经典描述：粒子自由度为
r
广义坐标 广义动量
q1, q2 ,⋯, qr
1 2 ε = p 将能量动量关系 2m 代入得态密度 2π V
D (ε ) = h
3
4π V 2 内的量子态数 = 3 p dp h
(2m ) ε
3 2
1 2
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例① 一
n 维气体，粒子的能量动量关系为 ε = α p s 维气体，
µ 空间的N个代表点。 空间的N个代表点。
2、量子描述 可分辨的全同粒子组成的量子系统 的全同粒子组成的量子系统。 可分辨的全同粒子组成的量子系统。 确定系统的微观状态归结为确定每一个粒子的状态 粒子的状态。 确定系统的微观状态归结为确定每一个粒子的状态。 不可分辨的全同粒子组成的量子系统 由不可分辨的全同粒子组成的量子系统 确定系统的微观状态归结为确定每 一个单粒子态中的粒子数 单粒子态中的粒子数。 一个单粒子态中的粒子数。
{al }
l
∑a Ω{a } ∑a Ω{a }
{al }
l l l
∑Ω{al}
{al }
=
{al }
l
l
Ω{al }
= al
玻耳兹曼分布
玻耳兹曼分布 玻色分布 费米分布
al = ωl e
a
l
−α − βε l
=
ω
+ β ε
eα
l
l
− 1
al =
e
α + βεl
ωl
+1
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n 以
x
n
y
n
z
为直角坐标构成三维量子数数空间（ 为直角坐标构成三维量子数数空间（简称数空 间）。 nx , ny , nz = 0, ±1, ±2,⋯ 在数空间中， 在数空间中，以
分割空间交成的每一“点”，数组 ( n x , n y , n z 分割空间交成的每一“
µ 空间中能量为 ε
和 ε + dε
两个等能面间的相体积
/
h
r
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能谱关系为 等能面
ε=
1 2 ( px + py2 + pz2 ) 的三维自由粒子， 的三维自由粒子， 2m
ε
(p
内的量子态数为
1 ∑(ε ) = h3 ∫⋯
∫
4π c1 = 2, c2 = π , c3 = 3
∂ ∑ (ε ∂ε
!
是
ε
ε + d ε 内的量子态数
D (ε ) d ε =
)
= B V
(n )ε
1 1 n d ε = n V (n )C n ε h α s n
s −1
n s
n −1 s
dε
d ε
n s
1 1 B = n Cn h α
n s
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维球体的“体积” 半径为R 半径为R的 n维球体的“体积”是
Vn ( R ) = ∫ ⋯ ∑
ωl
经典极限条件或非简并性条件。 经典极限条件或非简并性条件。
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• 最概然分布和分布函数 玻耳兹曼等概率原理： 玻耳兹曼等概率原理：对于处在平衡态的孤立 系统， 系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相 等的。 等的。 最概然分布：宏观上出现的概率最大的分布。 最概然分布：宏观上出现的概率最大的分布。
V = 3
采用周期性边界条件求解自由粒子的薛定谔 方程，得动量的3 方程，得动量的3个
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分量的可能值为
2π ℏ h px = nx = nx , nx = 0, ±1, ±2⋯ L L 2π ℏ h
py = L ny = L
)
代表粒子的一个许可状态。 代表粒子的一个许可状态。 即粒子的一个许可态对应于数空间中一个“点”。 即粒子的一个许可态对应于数空间中一个“ 在此数空间中边长为1的小立方体（单位体积） 在此数空间中边长为1的小立方体（单位体积）数目 数是相等的，平均地讲， 与“点”数是相等的，平均地讲，每单位体积包含一 个整数点。因此， 个整数点。因此，数空间中一单位体积对应于粒子的 一个许可态。 一个许可态。
2
x
+ py 2 + pz 2 ≤2 mε
)
dxdydzdpx dpy dpz
3 4πV 2mε 2 4πV = 3 ∫ p dp = 3 ( 2mε ) 2 h 0 h 3 1 ∂∑( ε ) 2πV D( ε ) = = 3 ( 2m) 2 ε 2 h ∂ε
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Ω M .B =
Ω B. E = ∏
l
(ωl + al −1)! al !(ωl − 1) !
l
N! ∏ ωl al ∏ al ! l
l
ΩF . D = ∏
ωl ! al !(ωl − al )!
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排列： 排列： 若 n1
个元素相同， 个元素相同， n 2 个元素相同， …… 个元素相同， = 则全排列
3 2
2mL2ε 的球面 = 2 h
1 2
3 4 3 4π 2mL2ε 4πV ∑(ε ) = 3π R = 3 h2 = 3h3 ( 2mε ) 2
能量间隔 能量间隔
ε
ε + dε
内的量子态数
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p1, p2,⋯ pr ,
构成2r 维相空间（ 构成2r 维相空间（ 2量子描述
µ 空间）。 空间）。
量子态，一组量子数表征。 量子态，一组量子数表征。
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•
二、系统微观状态的经典描述和量子描述 系统微观状态的经典描述和量子描述 个近独立全同粒子组成的系统。 N个近独立全同粒子组成的系统。 经典粒子可以分辨 1、 经典粒子可以分辨
n y , n y = 0, ± 1, ± 2 ⋯
pz =
2π ℏ h nz = nz , nz = 0, ±1, ±2⋯ L L
三维自由粒子能量的可能值为
1 2π 2ℏ2 2 ε = ( px2 + py 2 + pz 2 ) = nx + ny2 + nz 2 ) 2 ( 2m mL
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k n
n! A = ( k ≤ n) ( n − k )!
k n
n! C = ( n − k )! k ! 组合： 组合：
n! n1 !n2 !⋯nm !
玻色系统和费米系统 （对所有能级） 对所有能级）
Ω B .E ≈ Ω F .D ≈
al ≪ 1
ωl
=
al
≪ 1
∏
l
ωla
l
al !
Ω M .B N!
∑
n
ε s pi 2 ≤ α i =1
1 ε dp1dp2 ⋯ dpn = n V ( n ) Cn h α 2
n s
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C
n
=
π
n 2
n 2
n 维空间中半径为1的单位球体的“体积”， 维空间中半径为1的单位球体的“体积”
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求能量曲面 ε 内的量子态数， 内的量子态数，只要求出数空间中能量曲面 内的体积就行了。 内的体积就行了。 数空间中能量为 的等能面是半径为 能量曲面 能量曲面 ε
ε
ε
1 2 2
R =( nx2 +ny2 +nz
)
内的量子态数为
• 量子态密度 自由粒子，质心平移运动的能量是准连续的， 自由粒子，质心平移运动的能量是准连续的， 引入量子态密度（称态密度）概念。 引入量子态密度（称态密度）概念。 量子态密度： 量子态密度：与粒子运动空间的维度性 粒子的能谱 和粒子的自旋有关。 和粒子的自旋有关。 计算方法： 计算方法： 量子力学方法
（
α
为一常数， 为一常数，
s
为一正整数）， 为一正整数），
试证明： 试证明：粒子的量子态密度
D (ε ) ∝ ε
n −1 s
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证： 即
n维自由粒子