01.矩阵理论与方法_预备知识
矩阵入门
a 22 am2 a 2n a mn
看几个具体的线性变换的例子
1.恒等变换
y1 x1 , y x , 2 2 y n xn .
1 1 En 1
2.2.2
称为数 与矩阵A的乘法，简称数乘. 记作： A或A
数与矩阵相乘 a11 a12 a 21 a22 A A am1 am 2
a1n a2 n amn
P (cos cos sin sin , 1
cos sin
sin cos
P1 ( x1 , y1 ) P1 (cos x sin y ,sin x cos y )
x cos y sin
即
y1 x1 0 0, y2 0 x2 0, yn 0 0 xn ,
n
阶单位阵
y1 1 x1 , 2.线性变换 y 2 2 x2 , y n n xn .
即
1 0 0 0 0 2 0 0 n
21 22 31 32
t1 b11 x1 b12 x2 , t2 b21 x1 b22 x2 , t b x b x , 31 1 32 2 3
y2 a21 (b11x1 b12 x2 ) a22 (b21x1 b22 x2 ) a21 (b31 x1 b32 x2 ),
3 = aik bkj ? k 1
定义2.4 设
矩阵论基础知识总结
矩阵论基础知识总结一、引言矩阵论是线性代数的重要分支，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念、运算规则、特殊类型矩阵以及矩阵的应用。
二、矩阵的基本概念1. 定义：矩阵是由m行n列的数按照一定的顺序排列而成的矩形数表，常用大写字母表示，如A、B。
2. 元素：矩阵的每个数称为元素，用小写字母表示，如a、b。
一个矩阵的第i行第j列的元素可以表示为a_ij。
3. 阶数：矩阵的行数和列数分别称为矩阵的行数和列数，记作m×n，其中m表示行数，n表示列数。
4. 主对角线：从左上角到右下角的对角线称为主对角线。
三、矩阵的运算规则1. 矩阵的加法：两个相同阶数的矩阵相加，即对应元素相加。
2. 矩阵的数乘：一个矩阵的每个元素都乘以同一个数。
3. 矩阵的乘法：若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则矩阵A与矩阵B的乘积C为一个新的矩阵，其中C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
四、特殊类型矩阵1. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。
零矩阵与任何矩阵相加等于其本身。
2. 对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的矩阵。
对角矩阵的乘法可以简化为主对角线上元素的乘积。
3. 单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其余元素为0的对角矩阵。
单位矩阵与任何矩阵相乘等于其本身。
4. 转置矩阵：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
5. 逆矩阵：对于方阵A，若存在一个方阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵，则称B为A的逆矩阵。
五、矩阵的应用1. 线性方程组：矩阵可以用于求解线性方程组，通过矩阵的运算可以将线性方程组转化为矩阵方程，从而求解未知数的值。
2. 向量空间：矩阵可以表示向量空间中的线性变换，通过矩阵的乘法可以实现向量的旋转、缩放等操作。
3. 数据处理：矩阵可以用于数据的存储和处理，通过矩阵运算可以实现数据的加工、筛选、聚合等操作。
4. 图像处理：图像可以表示为像素矩阵，通过矩阵运算可以实现图像的平移、旋转、缩放等操作。
矩阵论知识要点范文
矩阵论知识要点范文矩阵论（Matrix theory）是线性代数的一门重要分支，研究的是矩阵的性质、运算以及与线性方程组、线性变换等数学对象之间的关系。
矩阵论在多个领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
以下是一些矩阵论的重要知识要点：1.矩阵表示：矩阵由行、列组成，可以表示为一个矩形的数表。
矩阵的大小由行数和列数确定，常用的表示方法是用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
2.矩阵运算：矩阵可以进行加法和乘法运算。
矩阵的加法是对应元素相加，矩阵的乘法是按照一定规则进行计算得到一个新的矩阵。
3.矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵按照主对角线进行镜像变换得到的新矩阵。
对于一个m×n的矩阵，转置后得到一个n×m的矩阵。
4.矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，满足AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
逆矩阵的存在与唯一性为解线性方程组提供了便利。
5.矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
秩是矩阵的一个重要性质，与矩阵的解空间、零空间等直接相关。
6.矩阵的特征值和特征向量：对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，其中λ为一个常数，则称常数λ为矩阵A的特征值，非零向量x称为对应于特征值λ的特征向量。
矩阵的特征值和特征向量可以用来描述线性变换的性质。
7.矩阵的相似性：如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵B与A相似。
相似矩阵具有一些相似的性质，如秩、迹、特征值等。
8.矩阵分解：矩阵分解是将一个复杂的矩阵表示分解为一些简单矩阵的乘积或和的形式，常见的分解方法有LU分解、QR分解、特征值分解等。
9. 矩阵的迹：矩阵的迹是主对角线上各个元素的和，记作tr(A)。
矩阵的迹与矩阵的特征值、秩等有一定的关系。
10.矩阵方程：矩阵方程是形如AX=B的方程，其中A、B为已知矩阵，X为未知矩阵。
矩阵方程的研究可以帮助解决线性方程组、线性变换等相关问题。
矩阵理论及方法(谢冬秀,雷纪刚,陈桂芝编著)PPT模板
第7章矩阵的广义逆与直积及其应用
7.1矩阵的几种广义逆
01
7.1.1广义逆矩阵的基本概 念
03
7.1.3自反减号逆A<sup></sup><sub>r</sub>
05
7.1.5最小二乘广义逆A<sup></sup><sub>l</sub>
02
7.1.2减号逆
04
7.1.4极小范数广义逆A<sup></sup><sub>m</sub>
01
习题6
06
6.2随机矩 阵与双随 02 机 矩 阵
6 . 5 T o e p l 05 itz矩阵与 Hankel
矩阵
04
6.4广义对 角占优矩阵
6.3M矩
03
阵与 Stieltje
s矩阵
第6章几类特殊矩阵
6.1非负矩阵
6.1.2非负矩 阵谱半径的 界
6.1.1Perron -Frobenius 定理
2.4.3常用的 直接三角分 解法
第2章矩阵的变换与分解
2.5QR分解
2.5.1QR分解的概念
2.5.2QR分解的实际求 法
2.5.3基于QR分解的参 数估计问题
2.5.4矩阵与Hessenberg矩 阵的正交相似问题
04 第3章矩阵范数及其应用
第3章矩阵范数及其应用
3.1向量范数
3.2矩阵范数
06
7.1.6加号逆 A<sup>+</sup>
第7章矩阵的广义逆与直积及其应用
7.2广义逆与线性方程组的解
矩阵理论(完整版)
2
6.
P 范数： || x || p (
| x |
i 1 i
n
p 1/ p
)
1 p
7. 8.
向量序列极限： lim x
k
(k )
a lim xi( k ) ai
k
(i 1, 2,
, n) lim || x( k ) a || 0
nn
， 存 在 可 逆 矩 阵 T C
nn
， 使 得 A T T ， 当 A 正 定 时 ，
H
A T H IT T H T 。
4. 矩阵 A Cr
H
mn
，则有： rank ( A) rank ( A A) rank ( AA ) ； A A、AA 的特征值均为非负实数
3.2 矩阵的谱分解（只适用于方阵）
1. 2. 单纯矩阵：矩阵的代数重数等于几何重数。单纯矩阵可对角化。 正规矩阵：满足 A A AA 的 n 阶复矩阵。正规矩阵是单纯矩阵。
H H
n k A , i j ， Ai En A C nn 是单纯矩阵，则 A 可分解为： A i Ai ， Ai Aj i i 1 0, i j i 1
nn
2 H 2 H
n
n
（b）. 酉不变性：对任一的酉矩阵 U、V P ，有 || A ||m2 || U AV ||m2 || UAV
||2 m2 ，
|| A ||m2 || UA ||m2 || AV ||m2 || UAV ||m2
14. 矩阵范数与向量范数相容：若 || Ax ||a || A ||m || x ||a ，称 || ||m 为与向量范数 || ||a 相容的矩阵范数。 —2—
矩阵知识点归纳范文
矩阵知识点归纳范文矩阵是线性代数中一个重要的概念，具有广泛的应用。
矩阵可以表示一个线性方程组的系数矩阵，也可以用于描述图像处理、网络分析等领域。
以下是矩阵的基础知识点的归纳：1.矩阵的定义与表示：矩阵是一个有序的数表，通常用大写字母表示。
矩阵的元素可以是实数或复数。
矩阵通常用方括号[]或圆括号(表示，不同的元素用逗号或空格隔开。
矩阵的行数与列数分别称为矩阵的阶。
2.矩阵的运算：-矩阵的加法：两个相同阶的矩阵相加，即对应位置的元素相加。
-矩阵的乘法：两个矩阵相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵乘法可以表示为A*B=C。
3.矩阵的转置：矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行。
转置后的矩阵记作A^T。
转置满足以下性质：-(A^T)^T=A-(A+B)^T=A^T+B^T-(k*A)^T=k*A^T4.矩阵的逆：对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得A*B=B*A=I，其中I是单位矩阵，则称A可逆，B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
要求A可逆的一个必要条件是A的行列式不等于零。
逆矩阵满足以下性质：-(A^(-1))^(-1)=A-(A*B)^(-1)=B^(-1)*A^(-1)-(k*A)^(-1)=(1/k)*A^(-1)5.矩阵的行列式：矩阵 A 的行列式用 det(A) 表示，是一个数值，用于判断矩阵是否可逆。
行列式满足以下性质：- 如果 A 的其中一行（列）为 0，或者 A 的两行（列）相同，则det(A)=0。
-交换A的两行（列），行列式的值取负。
-如果A的其中一行（列）的元素全部乘以一个非零常数k，行列式的值乘以k。
-将A的其中一行（列）的元素与另一行（列）对应位置的元素相加乘以一个常数k，行列式的值不变。
6.矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵行（列）的最大线性无关组中的向量个数。
秩可以用来判断矩阵的行（列）是否线性相关。
矩阵分析理论的基础知识
矩阵分析理论的基础知识
§1. §2. §3.
线性空间与度量空间
线性空间与内积空间的同构
线性变换
线性变换的矩阵表示 不变子空间与点到子空间的距离
§4 §5
§1
线性空间和度量空间
一、线性空间
1. 数域
定义 1： 若复数的一个非空集合 P 含有非零的数， 且其中任意两数的和、 差、积、商（除数不为 0）仍在这个集合中，则称数集 P 为一个数域
性质1
( , k ) k ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
性质2
性质3
性质4
设 , V
则有
） ( , )2 ( , ) ( , ) （见 P36 Th1
2. 长度 设 为内积空间V的任一元素，称
<7> 若 与 正交，则，
2
2
2
该性
质可以推广到有限个元素的情形。
§
2 线性空间与内积空间的同构
一、线性空间的同构——线性空间的一种关系（利 用它可以研究线性空间的性质） 1. 定义：设 V1 ， 2 是线性空间P上的两个线性空间， V 若 V1 与 V2 之间有一个一一对应 ，使得对 x, y V1 及 k P 有： ① ( x y) ( x) ( y) ② (k ) k ( ) 则称V1与 V2 同构， 称为从 V1 到 V2 的同构映射，记为：
间, 所谓 V1 与 V2 的和，是指由所有能表示成1 +
2 ，而1 V1 ，2 V2 的向量组成的子集合，记
作 V1 + V2 ，即 V1 + V2 = { | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 }
矩阵理论知识点范文
矩阵理论知识点范文矩阵理论是线性代数中的重要内容，应用广泛，在数学、计算机科学、物理学、工程学等领域都有重要的应用。
矩阵理论的核心是对矩阵的性质和运算规则进行研究。
1.矩阵的定义和表示矩阵是一个按照长方形排列的数表，其中的元素可以是任意类型的数，如实数、复数、矢量等。
矩阵可以用方括号[]或者圆括号()来表示，行和列的数量称为矩阵的维数。
例如，一个3行4列的矩阵可以表示为：A=[a11,a12,a13,a14][a21,a22,a23,a24][a31,a32,a33,a34]其中aij代表矩阵A的第i行第j列的元素。
2.矩阵的运算矩阵之间可以进行加法、减法和乘法运算。
矩阵的加法和减法要求矩阵具有相同的维数，即行数和列数相等。
加法运算通过对应位置的元素相加得到新的矩阵，减法运算通过对应位置的元素相减得到新的矩阵。
矩阵的乘法是矩阵理论的核心内容，其运算规则较为复杂。
两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
矩阵相乘的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵相乘的运算规则是，第一个矩阵的第i行与第二个矩阵的第j列的元素依次相乘，并将乘积相加得到结果矩阵的第i行第j列的元素。
3.矩阵的性质矩阵具有许多重要的性质，其中包括：-矩阵的转置：将矩阵的行和列进行交换，得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
-矩阵的迹：矩阵主对角线上元素的和称为矩阵的迹，用Tr(A)表示。
-矩阵的行列式：是一个标量值，用，A，表示，可以用于判断矩阵是否可逆。
-矩阵的逆：对于可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I表示单位矩阵。
-矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵的列向量或行向量的最大无关个数。
4.矩阵的特殊类型在矩阵理论中，有一些特殊类型的矩阵具有重要的性质，如：-对角矩阵：主对角线以外的元素都为零的矩阵。
-上三角矩阵：主对角线以下的元素都为零的矩阵。
-下三角矩阵：主对角线以上的元素都为零的矩阵。
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数域的相关概念-半群、群
定义：设代数系统V=<A,•>，•为A上的二元运算，若•满足结合 律，则称V为半群。 定义：设<G,∘>是代数系统，∘为二元运算。如果∘可结合，存 在单位元e∈G，且对G中任何元素x，都有x-1∈G，则称G为群。
矩阵理论与方法
第0章 预备知识 庄 伯 金
Bjzhuang@
信息与通信工程学院 庄伯金 bjzhuang@
1
主要内容
数域相关概念 矩阵的基本概念 行列式的基本概念
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2
数域的相关概念-二元运算
det( A) aij Aij aij (1)i j M ij
i 1 i 1
n
n
j 1 n
j 1 n
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17
行列式的基本性质
1.若矩阵的两行（或列）交换位置，则行列式数值不变，符号 相反。 2.若矩阵的某行（或列）为其他行（或列）的标量乘积，则行 列式为0。 3.若矩阵的某行（或列）为其他两行（或两列）的和，则行列 式为0。
A A
H
* T
A
T *
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10
矩阵的基本运算
矩阵和：两个 m n 矩阵A aij 和 B bij ，其和 A B ， 其元素定义为：
A B ij aij bij Aij aij
n
9.三角（上三角或下三角）矩阵的行列式等于其主对角元素的 乘积。 10.若矩阵
A 可逆，则 det( A1 ) 1 det( A) 。
注：若矩阵行列式不为零，则矩阵可逆，称为非奇异矩阵。
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19
15
行列式的概念
余子式：矩阵 A 去掉第 i 行和第 j 列之后得到的剩余行列式记 作 M ij ，称为元素 aij 的余子式。 a11 a1 j a1n M ij ai1 aij ain an1 anj ann 代数余子式：将余子式带上符号，称为代数余子式，记作 Aij
Aij (1)i j Mij
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16
行列式的概念
行列式递归定义：一个 n n 矩阵的行列式等于其任意行（或 列）的元素与其对应代数余子式乘积之和。即
det( A) aij Aij aij 列式为1。
5.任何一个方阵和它的转置矩阵行列式相同。 6.两个矩阵乘积的行列式等于它们的行列式乘积。
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行列式的基本性质
7.给定任意一个常数 ，矩阵的II型初等行（列）变换的行 列式为原来矩阵行列式的 倍。 8.给定任意一个常数 ，则 det( A) det( A) 。
14
行列式的概念
定义（递归定义）：一个 n n 正方矩阵 A 的行列式记作 或 det( A) ，其形式定义为：
A
a11 a1n det( A) A an1 ann
若
A a C11，则其行列式的结果为 det( A) a。
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定义：设集合A，函数F:A×A→A称为A上的二元运算，简称 为二元运算。 A上的任意两个元素都可以进行二元运算，且结果唯一； 运算的结果还在A内，即运算在A上封闭。 可以用•, *, ∘等符号表示二元运算，称为算符。 代数常数 单位元：设•为A上的二元运算，元素e∈A，如果对任意的 x∈A，都有e•x=x•e=x，则称e为运算•的单位元或幺元。 零元：设•为A上的二元运算，元素θ∈A，如果对任意的 x∈A，都有θ•x=x •θ=θ，则称θ为运算•的零元。
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数域的相关概念-二元运算
逆元：设•为A上的二元运算，e为•的幺元，对于元素m∈A， 如果存在y∈A，满足y•m=m•y=e，则称y为m的逆元。 运算性质 交换律：设•为集合A上的二元运算，如果对于任意的元素 x,y∈A，都有x•y=y•x成立，则称运算•在A上可交换。 结合律：设•为集合A上的二元运算，如果对于任意的元素 x,y,z∈A，都有(x•y)•z= x•(y•z)成立，则称运算•在A上可 结合。 分配律：设•和*为集合A上的两个二元运算，如果对于任意 的x,y,z∈A，都有x*(y•z)=(x*y)•(x*z)和 (x•y)*z=(x*z)•(y*z)成立，则称运算*对•可分配。
ABij aik bkj
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k 1
11
矩阵的基本运算
基本运算规律
矩阵加法满足交换律和结合律；
A B B A,( A B) C A ( B C )
矩阵乘积满足结合律，但不满足交换律；
b1 b bm
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9
矩阵的基本运算
A 的转置记作 A ，为 n m 转置：矩阵 A aij 为 m n 矩阵， 矩阵，其元素定义为：
T
T A ij a ji 共轭：矩阵 A的复数共轭 A* 仍为 m n 矩阵，其元素定义为： * * A a ij ij 共轭转置：矩阵 A 的复共轭转置 A H为 n m 矩阵，其元素定 H * 义为： A a ji ij
初等列变换：令 m n 矩阵 A 的 n 个列向量分别为 a1 ,..., am
I型初等列变换：互换矩阵的任意两列。 II型初等列变换：矩阵一列元素同乘一个非零常数 。
a p aq
ap ap
注：初等列变换只有两种类型。
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定义：
a11 a1n A Cmn A a ij am1 amn 信息与通信工程学院 庄伯金
bjzhuang@
8
矩阵的基本概念
行向量：1 n 矩阵称为行向量。记作 a a1 an 列向量：m 1 矩阵称为列向量。记作
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6
数域的相关概念-环、域
定义：设<R,+,*>是环 若环中乘法*适合交换律，则称R是交换环。 若环中乘法*存在单位元，则称R是含幺环。 若∀a,b∈R，ab=0⇒a=0∨b=0，则称R是无零因子环。 若R既是交换环、含幺环、也是无零因子环，则称R是整环。 定义：设R是整环，且R中至少含有两个元素，若∀a∈R*=R-{0}， 都有a-1∈R*，则称R是域。 典型的域：有理数域、实数域、复数域
n
m n 矩阵 A 标量积： aij ，是一个标量，标量乘积 A 仍 为 m n 矩阵，其元素定义为： m n 矩阵 A aij 和 r s 矩阵 B bij ，当 n r 矩阵乘积： 时可定义乘积 AB，为 m s 矩阵，其元素定义为：
( AB)C A( BC ), AB BA
矩阵乘法对加法满足分配律。
A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
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12
矩阵的初等变换
初等行变换：令 m n 矩阵 A 的 m 个行向量分别为 r1 ,..., rm
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5
数域的相关概念-环
定义：设<R,+,*>是代数系统，+和*是二元运算，如果满足以 下条件： <R,+>构成交换群； <R,*>构成半群； *运算关于+运算适合分配律。 则称<R,+,*>是一个环。 +运算的单位元记作0，*运算中的单位元记作1。 a*0=0*a=0
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7
矩阵的基本概念
a11 a1n A am1 amn 称为 m n矩阵，是一个按长方阵列排列的数集。 数集通常为实数集或复数集。可分别记为 a11 a1n A R mn A a ij am1 amn
I型初等行变换：互换矩阵的任意两行。 II型初等行变换：矩阵一行元素同乘一个非零常数 。
rp rq
rp rp
III型初等行变换：将某一行元素同乘一个非零常数后加给另一行。
rp rq rq
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13
矩阵的初等变换